（光学专业论文）三能级原子中原子相干对双模纠缠的影响.pdf

i 摘摘 要要 近二十年来，信息论和量子理论之间的交叉，产生了一门新的学科一量子信 息。量子信息充分利用量子理论中的态叠加原理和纠缠概念，展现了许多经典信息 科学不可能完成的功能，诸如量子密集编码、量子隐形传态、量子计算等。原子相 干作为量子光学最基本的一个特性之一，也是目前量子光学与激光物理研究的重要 前沿课题。近年来的研究表明，原子相干可产生许多重要的物理效应，如相干布居 捕获、关联发射激光、无反转激光和电磁诱导透明等。 本文中，我们通过引入两种不同的原子相干注入原子相干和驱动原子相干， 利用段路明等人提出的纠缠判据，详细研究了梯形三能级原子系统中原子相干对双 模纠缠的影响。研究表明：在注入原子相干的模型中，只有在原子相干存在的前提 下，双模纠缠态才可以产生，并且双模纠缠度与系统的增益系数和失谐量有很密切 的关系；在驱动相干的模型中，双模的纠缠与系统驱动场的强度有很密切的关系。 在驱动场很弱的时候，双模的纠缠并不能产生，随着系统驱动场强的增大，双模纠 缠态才能建立，且双模的纠缠度随着驱动场强的增强经历一个先变大然后又减小的 过程。 关键词：关键词： 量子纠缠 原子相干 三能级原子 ii abstract in the past two decades, quantum information becomes a new science which is the cross of the information and quantum theory. entanglement is one of the most characteristic properties of the quantum information theory and plays an essential role in quantum information processing such as quantum teleportation, quantum computation, and quantum cryptography. atomic coherence, as a basic feature of quantum systems, has attracted much attention in the research of quantum optics in the past decades. it can lead to various effects, such as electromagnetically induced transparency (eit), correlated spontaneous emission laser, population trapping, and a laser without inversion and so on. in this paper, we investigate the effect of atomic coherence on the two-mode entanglement of three-level atoms in cascade configuration according to the entanglement criterion proposed by duan et al. we show that, in the model of initially preparing the atoms in a coherent superposition of the states, atom coherence induces the entanglement of the two modes cavity fields. the degree of entanglement has a close relation with the gain coefficients and the detuning. in the model of driving atom coherence, the two- mode entanglement has a close relation with the pump intensity of the driving field. no entangled states can be built when the pump intensity is very weak. with the increasing of the pump intensity, the degree of the entanglement increases initially, then decreases. key words： quantum entanglement atom coherence three-level atom 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 1 1 综综 述述 1.1 引言引言 信息时代，人类对信息需求的日益增加，促使人们不断地致力于信息技术的更 新和发展。量子力学与信息科学的结合便诞生了一门新的科学量子信息科学。 所谓量子信息科学，实质上就是研究用量子态编码信息，进行信息处理、传输的理 论与技术。物理学家将信息的基元由经典比特扩展到量子态，应用于量子通信和量 子计算理论。信息的演变遵从薛定鄂方程，信息的传输是量子态在量子通道中的传 送，信息处理是量子态的么正变换，信息的提取是对量子系统实行的量子测量 1 ， 所以量子信息具有经典信息所没有的许多新特征和无法比拟的优势。1996 年，量子 信息的先驱之一，ibm 实验室的 c.h.bennett 在自然杂志上宣称，量子计算机 将进入工程时代 2 3 , 。同年，美国科学杂志称，量子计算机引起了计算机领域 的革命 4 。人们越来越坚信，量子信息科学为信息科学的发展开创了新的原理和方 法，将在 21 世纪发挥出巨大潜力。 近年来，随着量子信息学的蓬勃发展，量子纠缠得到了广泛的应用，诸如应 用于量子密钥分配、量子密集编码、量子隐形传态、量子纠错码、量子计算等领域 3 14 。而且，量子纠缠态在信息领域中具有的独特功能，在提高运算速度、确保信 息安全、增大信息容量和提高检测精度等方面可能突破现有的经典信息系统的极限 1 。因此，对量子纠缠态的深入研究，诸如纠缠量化、制备、操纵和控制等，无论 是对于量子信息的基本理论还是对未来的实际应用都具有十分重要的意义。而且， 量子信息学的发展又直接推动了纠缠态理论的研究与发展。 2 1.2 量子比特量子比特 现有的经典信息以比特作为信息单元。从物理的角度来讲，比特是一个两态系 统，它可以制备为两个可识别状态中的一个，如是与非，真或假，0 或 1。在数字 电视机中电容器平板之间的电压可表示为信息比特，有电荷代表 1，无电荷代表 0。 一个比特的信息还可以用光子的两个不同偏振状态或原子的两个不同能级来编码。 量子信息单元称之为量子比特，它是两个逻辑态的叠加 22 0101 01 ,1.cccc=+= (1.1) 以0和1这两个独立态为基矢，张起一个二维复矢量空间，所以也可以说一个量 子比特就是一个二维hilbert空间。一般地，n个量子的态张起一个2n维hilbert空 间， 存在2n个相互正交的态。 通常取2n个基底态为i，i是一个n位二进制数。n个 量子比特的一般态可以表示成为这2n个基底态的线性叠加。例如，3个量子比特有 8个相互正交的态，它的基底态可以取作 000 , 001 , 011 ,., 111 . （1.2） 它的一般态为 8 1 l l c i = =， (1.3) i就是式（1.2）中的8个态之一， l c 是叠加系数。 信息一旦量子化，量子力学的特性便成为量子信息的物理基础，主要变现为 以下三点： (1) 量子纠缠: n(大于1)个量子比特可以处于量子纠缠态，子系统的局域状态不 是相互独立的，对于一个子系统的测量会获取另外子系统的状态。 (2) 量子不可克隆: 量子力学的线性特性禁止对任意量子态实行精确的复制，量 子不可克隆定理和不确定性原理构成量子密码术的物理基础。 (3) 量子叠加性和相干性: 量子比特可以处在两个本征态的叠加态上， 在对量子比 3 特的操作过程中，两态的叠加振幅可以互相干涉，这就是所谓的量子相干性。 1.3 量子纠缠在量子信息中的应用量子纠缠在量子信息中的应用 量子通信是量子信息中研究起步较早的领域，比较典型的通信方式有用量子信 道传送经典比特量子密集编码 6 ；用经典通讯辅助传送量子态量子隐形传 态 7 ；以及信息的保密传送量子密码术 8 。 1.3.1 量子密集编码量子密集编码 图 1.1 量子密集编码的原理图 量子密集编码是将纠缠态应用于量子信息的一个典型实例。密集编码是利用一 个epr对来编码和传输两个经典比特。由于事先可以将epr对分配给通讯双方， 所以在物理上只需传输一个量子比特就可以实现两个经典比特的通信。这个结果十 分出乎预料，因为通常认为利用一个量子比特只能提取一个经典比特的信息量。图 1是量子密集编码的原理图 15 ，alice将两比特的经典信息通过么正变换编码于纠缠 粒子之上。alice可能对粒子执行四种么正变换， 4 10 :( 00 ; 11 ), 01 01 :( 01 ; 10 ), 10 01 :( 01 ; 10 ), 10 10 :( 00 ; 11 ), 01 i x y z （1.4） 不同的变换相应于不同的数字编码0、1、2、3，同时变换之后，纠缠粒子对的量子 态成为一个确定的贝尔基态(见表1-1 )。而后alice将她的粒子传输给bob，bob对 两个粒子实行bell基测量(集合联合测量)，测量结果可使bob确认alice所做的是 哪一种变换，于是他就可以得知alice发送的是03中的哪个数字，从而获得由 alice传送给他的两个比特的经典信息。因此，alice仅送给bob一个粒子便能成功 传送了两个比特的经典信息，这就是所谓的量子密集编码。当然，由于事先bob已 持有一个粒子，因此，本质上讲每个量子比特仍然最多传送一个比特信息。量子密 集编码具有保密性强并且可以有效地传递信息的优点。 表 1-1 5 分离变量量子密集编码实验研究已由奥地利的a.zeilinger小组 16 于1996年率 先完成。近年来，量子密集编码由分离变量系统推广到连续变量系统 17 18, 。 1.3.2 量子隐形传态量子隐形传态 量子隐形传态是利用两个经典比特传输一个量子比特。它的关键之处是在于使 用纠缠态，即alice 和bob之间通讯并且各自拥有epr纠缠对当中的一个。两个 关联粒子形成的epr纠缠对可表示为： 0 1 ( 0011 ), 2 =+ (1.5) 假定alice拥有第一个粒子，而bob拥有第二个粒子。通讯中通过量子测量所造成 的纠缠塌缩来传递量子信息。 1993年，c. h. bennett等 7 四个国家的六位科学家联合发表了题为“由经典和 epr信道传送未知量子态”的开创性文章，提出了量子隐形传送的方案，其目标是 利用经典比特传输量子态，并且在接收方重构量子态。基本思想是：将原物的信息 分成经典信息和量子信息两部分，它们分别由经典通道和量子通道传送给接收者。 经典信息是发送者对原物进行某种测量而获得的，量子信息是发送者在测量中未提 取的其余信息，接收者获得这两种信息之后，就可以制造出原物的完美复制品。在 这个过程中，原物未被传送给接收者，它始终留在发送者处，被传送的仅仅是原物 的量子态，因此被称为量子态的隐形传送。原物的量子态对发送者来说甚至可以一 无所知，原物的量子态在发送者进行测量来提取经典信息时已遭破坏，接收者在恢 复原物量子态时将别的粒子(甚至可以是与原物不同的粒子)置于原物的量子态上。 因此恢复过程是量子态的重构。由于量子信息对量子态的隐形传送是必不可少的， 所以过程将不违背量子不可克隆定理，同时经典信息也必不可少，而经典信息的传 送速度不可能快于光速，因此量子隐形传态也不会违背相对论的光速最大原理。 原理如图1.2示 15 ，假定alice拥有一个未知量子态 01=+ , (1.6) 6 并且想把这个态输给bob，这时三个粒子(待传粒子与组成epr对的两个粒子)的初 始态可以写为： 0 1 0( 0011 )1 ( 0011 ) 2 1 (000011100111 ) 2 =+ + (1.7) 图 1.2 量子隐形传送原理图 这里alice持有三个粒子本征态的前两个比特，bob持有最后一个比特。alice 对这个态应用可控非门 not c和hadamard变换，之后所得系统的量子态就可以表示 为： 1 00 (01 )01 (10 )10 (01 )11 (10 ) 2 + (1.8) alice通过测量前两个量子比特， 三粒子系统将塌缩到式子(1.8)各项所表示的四种可 能的量子态之一上。bob此时持有的量子比特的状态依赖于alice的测量结果。alice 把所测结果通过经典通道传输给bob之后，bob只需要按照下表对他的量子比特做 一个相应的么正变换，就可以把他所持有的粒子制备到被隐形传送的未知量子态 上。 7 表 1-2 连续变量的量子隐形传态方案是1994年由l. d. vaidman首次提出 19 ，1998年由 美国h. j. kimble小组 20 利用两个相位相干的正交位相压缩光在 50分束器上耦合 产生一对连续变量的epr纠缠光束， 首次完成了连续变量的量子隐形传态实验， 最近， 美国h. j. kimble小组 21 对量子隐形传态实验进行改进后，实现了保真度0.610.02 的量子态隐形传送。澳大利亚国立大学的w. p. bowen,研究组 22 ，利用两个经典相干 量子独立的压缩光和分束器产生了明亮epr纠缠态，并用于实现了量子隐形传态(保 真度为0.640.02)。以上实验传输的未知态是一个相干态，然而从隐形传态本身来 讲，应该能传输任意量子态(包括纠缠态、压缩态等)，最近，日本的一个小组 23 已 经从实验上完成了压缩态的隐形传送，保真度达到0.850.05。 1.3.3 量子密码术量子密码术 二十世纪七十年代，s. j. wiesner 24 提出了利用非正交态进行加密的“共轭编码” 思想。后来受这一思想的启发，c. h. bennett等 25 提出了bb84密钥分配方案，直 接将量子物理应用到保密通讯中，建立了量子密码术的概念。量子密码术突破了传 统加密方法的束缚， 以量子状态作为密钥具有不可复制性， 可以说是“绝对安全”的。 任何截获或测试量子密钥的操作都会改变量子状态。这样截获者得到的只是无意义 8 的信息，而信息的合法接收者也可以从量子态的改变知道密钥曾被截取过。后来人 们也提出了各种bb84方案的变形。1994，a. k. ekert 26 提出了利用epr纠缠对实 现密钥分配的方案。第一个实验演示量子密钥传输是由美国和加拿大的c. h. bennett和g. brassard等人 27 完成的。近年来，科学家们已经在量子密码术的相关 研究中取得了重大进展，能在光纤中传递量子密码。近几年有几个公司制造了量子 保密通讯的样机并且已经有产品问世，所以说量子密码术是量子信息当中最先实用 化的一个 28 。如今人类信息交换越来越频繁，对信息安全的要求也越来越迫切，因 此量子密码术也更显得重要。科学家希望，将来可以实现1000公里距离的量子密 码传输。这样就可以利用卫星来传递信息，并在全球范围内建立起保密的信息交换 体系。 以前量子密码术的研究工作是围绕分离变量体系展开的。 由于连续变量量子 密码术可以利用目前成熟的光通讯技术，并有着高传输效率的发展潜力，近年来， 一些小组也把目光投向了连续变量量子密码术，提出了不同的连续变量量子保密通 讯方案 29 30, 。大多数方案都是利用压缩态，或者由压缩产生的纠缠态作为密钥的载 体 29 。基于相关态的方案也已经提出并已实验实现 30 。 1.4 本人的工作本人的工作 目前，量子纠缠态的产生和制备在量子信息过程中起着重要的作用。原子相干 作为量子光学最基本的一个特性之一，可产生许多重要的物理效应，如相干布居捕 获、无反转激光、电磁诱导透明和折射率增强等。本文我们通过引入两种不同的原 子相干注入原子相干和驱动原子相干，利用段路明等人提出的纠缠判据，详细 研究了梯形三能级原子系统中原子相干对双模纠缠的影响。研究表明：在注入原子 相干的模型中，只有在原子相干存在的前提下，双模纠缠态才可以产生，并且双模 纠缠度与系统的增益系数和失谐量有很密切的关系；在驱动相干的模型中，双模的 纠缠和系统驱动场的强度有很密切的关系。在驱动场很弱的时候，双模的纠缠并不 9 能产生，随着系统驱动场强的增大，双模纠缠态才能建立，且双模的纠缠度随着驱 动场强的增强经历一个先是变大然后又减小的过程。 10 2 量子纠缠的定义、分类和判定量子纠缠的定义、分类和判定 虽然量子纠缠地位至关重要，然而，目前人们对它的认识仍处于初步阶段。定 性的和定量的描述量子纠缠已是迫在眉睫的任务。本文主要研究原子相干对梯形三 能级原子中双模纠缠的影响。我们先介绍一下对量子纠缠的历史回顾、概念、分类 和判定的描述。 2.1 量子纠缠态的历史回顾量子纠缠态的历史回顾 量子纠缠指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，即对于一 个子系统的测量结果无法独立于其它子系统的测量参数。具有这种关联的多体系的 特殊形式的量子态被称之为量子纠缠态。近些年来，随着量子信息这一新兴领域的 蓬勃发展，量子纠缠态逐渐被人们所熟悉，但它并不是什么新生事物。量子力学中 纠缠的概念最初是由爱因斯坦等人为了论证量子力学中几率波解释的不完备性而 提出的，称之为einstein-podolsky-rosen(epr) 佯谬 31 。 量子力学的正统解释是哥本哈根学派的纯几率解释，其代表人物是bohr、 heisenberg、born等人。他们认为对于一个处于叠加态的物体，能随机地选择一种 状态，其几率由波函数确定，并且认为几率解释是最终的结论，不可能对它再作进 一步确定。这是微观世界的本性。可以说，今天的大多数物理学家都是在默认量子 力学波函数诠释正确性的基础上，从事有关科研工作的。然而微观世界真的是被几 率解释所支配，再没有更深层次的理论来解释量子力学了吗？伟大的物理学家爱因 斯坦对此一直持否定态度，最著名的事例是在1935年同podolsky和rosen一起提 出的epr佯谬 31 。爱因斯坦等人在epr中的论文中提出如下一个量子态： 12120 ( ,)exp / () x xixxxp dp + =+ ?, (2.1) 其中， 12 ,x x 分别指代两个粒子的坐标。这样一个量子态的基本特征就是它不能写成 两个子系统量子态的直积形式： 11 1212 ( ,)() ()x xxx, (2.2) 薛定谔将这样的量子态称为纠缠态。爱因斯坦等人提出纠缠态的目的意在说明在承 认局域性和实在性的前提下，量子力学的描述是不完备的。玻尔虽然对此作出了相 应的回答，但玻尔的助手说，epr的文章对玻尔的影响极为重大。因为玻尔从中看 到了在考虑多粒子时量子理论会导致纯粹的量子效应。然而，无论是玻尔还是爱因 斯坦，都没有洞悉他们所讨论的纠缠态的全部含义，在经过了数十年的努力之后， 这些含义才逐渐地被发掘出来。 为了将量子力学纳入经典决定论的框架，从二十世纪五十年代以来，人们提出 了一个又一个的隐变量理论，引进这些隐变量的目的，就是希望将量子力学中不能 对某些观测量做出精确预言的事实归结为还不能精确知道的隐变量，而一旦这些隐 变量决定后，就可以精确的给出任何可观测量。作为一个有价值的隐变量理论，其 结果必须在一定的条件下回到量子力学给出的结果，同时又能预言某些新的与量子 力学不同的东西，这样才能通过新的实验来检验隐变量理论是否正确。随着量子信 息科学的发展，量子纠缠在量子信息领域中起着越来越重要的作用，纠缠态才找到 了其施展作为的主战场。现在，量子纠缠态可以被用于量子密钥分配、量子浓缩编 码、量子隐形传态、量子纠错码、量子计算等领域。对量子纠缠的深入研究无论是 对于量子信息的基本理论还是对未来潜在的实际应用都将产生深远的影响。 2.2 量子纠缠态的定义量子纠缠态的定义 什么样的量子态才算是纠缠态呢？对于一个由n个子系统构成的复合系统， 如 果系统的密度矩阵不能写成各个子系统的密度矩阵的直积的线性和的形式，则这个 复合系统就是纠缠的，即 (1)(2)() . n iiii i p , (2.3) 这里，0 i p，并且1 i p= 。 考虑体系a、b组成的二体系纯态情形。设a的一组力学量完全集的共同本征 12 态记为u，u代表一组完备量子数，b的一组力学量完全集的共同本征态记为v， v代表一组完备量子数，则 ab uv可以作为复合体系a+b的一个完备基，复合 体系的任意量子态 ab 可以表示成它们的线性叠加。 . uv abab uv cuv=. (2.4) 如果整个体系的态矢量 ab 不可能写成子系统态矢量的直积形式 ab uv(,u v 任意)时，则称量子态 ab 为纠缠态。而直积形式的量子态 ab uv( ,u v 任意)， 称为非纠缠态，而体系一般状态则是这种直积形式量子态的线性叠加，这就构成纠 缠态。 以上定义可以推广到多体系或多自由度体系。 对混合态情况，两个子系统构成的复合系统的混合态，当且仅当不能表示成 ()()() , (0,0). iiiii ii a bpa ba bpp= （2.5） 形式，使其中每个成分态( , ) i a b都是可分离态时，这样的混合态是混合纠缠态。 否则，就称它是一个混合非纠缠态。 量子纠缠是量子力学描述微观粒子的一种现象，在量子力学中微观粒子是指具 有波粒二象性的物质。 量子纠缠是指量子体系不仅能处于一系列的稳定状态(定态)， 也可以处于它们的叠加态中，或者说粒子以这样一种方式耦合在一起，以致整个体 系不能再用其组成成分的各自状态来描述。如果测量处于叠加态原子的某种物理属 性(能量)，得到的是叠加态中所有可能的能量值中的某一个值。也就是说有时得到 的是这个值，有时得到的是另一个值。每个能量值出现的几率大小则取决于波函数 的平方。实际上可以认为量子纠缠是量子相干的表现形式。量子纠缠不能够用经典 物理解释，它实际上是由几率波叠加而成的，具有非定域性，非常奇特。 2.3 量子纠缠态的分类量子纠缠态的分类 量子纠缠态从其物理系统的实现上来说， 可分为分离变量系统的纠缠态和连续 13 变量的纠缠态两种。 2.3.1 分离变量系统的纠缠态分离变量系统的纠缠态 最初的量子信息处理方案都是针对离散变量(如自旋和极化)的量子体系提出的， 也就是我们常说的量子比特体系。在量子比特体系的量子纠缠中，有一种基本形式， 可表示为如下的四个量子纠缠态： () () 1 ,(2.6) 2 1 .(2.7) 2 ababab ababab =+ + =+ 这四个态构成两比特体系所张开的四hilbert 空间的一组标准正交基，被称为bell 基。它们具有非局域关联的性质，其单粒子的约化密度矩阵都是 2 10 1 . 012 i 由于它 们是具有最大纠缠的纯态，也常被称作最大纠缠态，即不可能通过任何方式再增大 它的纠缠度量了。由于bell态的这种独有特性，使得它在量子信息学中有着极为重 要的应用。 纠缠不仅仅局限于两方，多粒子纠缠有着更为复杂微妙的性质，多粒子纠缠对 于量子通信是完全必要的，不过在实验上实现也更为困难。然而，构造多粒子纠缠 态，最初的动机是针对“量子理论是否完备”的争论而引发的。以三粒子体系为例， 最常用的就是 ghz态 1 ( 000111 ), 2 ghz =+ (2.8) 和w形式 1 ( 001010100 ). 3 w =+ (2.9) 而且，w态与ghz态之间不能通过局域操作和经典通信相互转换。y6155660003 至于更多粒子的纯态纠缠，其结构和分类更为复杂。最常用的多粒子纠缠态， 都是ghz态： 14 12.12.12 1 (.). 2 i nnn e =+ (2.10) 即n个两能级粒子(1,2,n)的ghz态，表明了n体之间的一种最大关联。它也具 有与bell态类似的纠缠关联性质， 这一点使得它与bell态一样成为检验量子力学非 局域性的有利工具。 2.3.2 连续变量系统的纠缠态连续变量系统的纠缠态 人们总是愿意将他们的研究与他们的生产与生活联系起来的。因此，人们当然并 不满足微观的量子态的研究。可喜的是，量子信息不仅在微观而且在介观尺度上都 已经得以实现。连续变量的量子态，例如相干态等。1994年，借助非局域测量方法， vaidman 19 最早从理论上提出了连续变量量子隐形传态的概念。1998年，braunstein 和kimble 20 的研究表明，利用双模压缩真空态作为纠缠通道，可以实现连续变量的 量子态隐形传送。同年，kimble小组 32 使用两个相位相干的正交压缩光通过在50/50 的分束器上的耦合所形成的一对连续变量epr纠缠态， 在实验上实现了连续相干光场 的量子隐形传态，它们所使用的输入态为相干光场，由于压缩度和探测效率的影响， 最终测量的保真度0.580.02f=。该方案克服了在分离变量隐形传态实验中极低探 测效率的缺陷，实现了完全可考的量子隐形传态，引起了科学界的广泛关注，此项 研究工作被列为1998年世界十大科技新闻之一。近几年来，连续变量的纠缠在实验 上取得了巨大的成功，各种各样的产生方案也相继提出, 例如，光束分裂器 33 、原 子系综 34 和冷原子 35 等。 2.4 纠缠态判据纠缠态判据 根据2.1中纠缠态的定义，我们可知对于一个由n个子系构成的复合系统， 如果系统的密度矩阵不能写成各个子系密度矩阵的直积的线性和的形式，则称此系 统是纠缠的。公式可以表示如下： 15 (1)(2)() . n iiii i p ， (2.11) 这里，0 i p ，并且1 i p= 。 一般情况下，当遇到一个具体的密度矩阵时，我们不知道它是否可以分解成子 系密度矩阵直积形式，也就是说，我们不清楚它是纠缠的还是非纠缠的(可分的)。 最先研究分离变量可分性问题并取得重要进展的是peres 36 ，他给出了判定两个子 系系统的量子态为可分的必要条件。peres判据可以陈述为：两体系统的量子态 ab 若为可分态，则它的部分转置矩阵 ab 半正定。这里 ab 和 ab 的矩阵元关系为： ,mnababababmn mnmn =, (2.12) () aa mn和() bb 分别表示子系统a和b中任意一组取定的正交归一基。有了 这个可分性纠缠态的判据后，如果我们找到一个量子态密度矩阵的部分转置矩阵有 负的本征值，则可以判定此量子态是纠缠的。人们将部分转置为负定的情形称为 npt，相反，把部分转置为半正定则称为ppt。后来，horodecki等人 37 证 明了，对于2 2和2 3系统，peres判据(ppt)是可分态的充分必要条件。但是对于 其它情况的两子系系统(维度大于2 3系统)，peres判据只是不可分的必要条件。 2000年，duan (段路明)等人 38 和simon 39 分别独立地给出了高斯连续变量量 子系统的不可分判据。 前者是基于计算一对einstein-podolsky-rosen (epr)型算符的 总方差而得到的。 而后者是直接将分离变量的peres-horodecki判据推广到连续变量 的高斯态。 在本文中我们主要运用了duan et al 的判据， 下面我们来介绍一下其判据的主要 思想。 考虑如下的类epr型算符， 12 1 uc xx c =+， (2.13) 12 1 vc pp c =. (2.14) 16 假 定c是 任 意 的 非 零 实 数 ， 其 中 共 轭 正 交 分 量jx， j p满 足 对 易 关 系 ,.( , 1,2) jjjj xpij j=。duan等的判据可以陈述为：对于任意的可分量子态， 由公式(2.13)和(2.14)所定义的两个epr型算符的总方差满足不等式 ()() 22 2 2 1 uvc c +. (2.15) 换言之，如果两个epr型算符的总方差违反不等式(2.15)，那么由量子态所构成 的系统将是不可分的(或纠缠的)。duan等的判据给出了任意两体连续变量量子系统 的纠缠的充分条件。此外，对于所有的高斯态，此判据被证明是不可分的充分必要 条件。 17 3 原子相干及相干态原子相干及相干态 3.1 原子相干原子相干 众所周知原子相干和量子干涉是人们在研究原子和量子光场相互作用中的热点 问题 40 43 。 它们可导致许多有趣的新奇的物理现象产生如原子的相干布居捕获cpt： (coherent population trapping) 44 51 ， 无反转激光lwi：(lasing without inversion) 52 56 和电磁诱导透明eit：(electromagnetically induced transparency) 57 61 等，其核心的物 理思想就是通过建立起的原子相干，导致原子的两个发射吸收跃迁通道之间产生相 消的量子干涉，此相消干涉完全抑制原子的发射吸收，使得原子即使在共振跃迁的 情况下仍对光场具有“免疫力”。 3.2 引起原子相干的两种途径引起原子相干的两种途径 注入原子相干：注入原子相干：在原子注入到腔与腔场发生相互作用之前，原子已经被制备到 某两个能级的相干叠加态，则这两个能级之间有一定的关联。由此建立的原子相干 称为注入原子相干。 驱动原子相干驱动原子相干：在原子的两个能级之间外加一个相干驱动场，使原子的这两个 能级之间建立某种关联。这种方式建立的原子相干称为驱动原子相干。 3.3 相干态相干态 相干态的波函数具有最小不确定度，在量子力学所允许的范围内，最接近于经 典场。数态场具有确定的幅度，但相位完全不确定。而处在相干态的光场的相位、 幅度的不确定度完全相等。 相干态是光场的湮灭算符a的本征态，即 18 a =. (3.1) 利用上式将相干态以数态的本征态为基矢进行展开，可得表达式 2 2 0! n n en n = = . (3.2) 接下来，我们讨论相干场的重要特性： （i） 处于相干态的光场满足泊松分布 由（2.5）式，我们得到 2 ( ) ! nn nn ene p nnn nn =, (3.3) （ii）相干态的过完全集性 设和为a的两个不同的本征矢，本征值分别为、，利用(3.2)，可 以得出 * * 22 22 22 * 1 exp() 00 2 1 exp() 00 2 1 exp(2) 2 aa aa ee eee + + =+ =+ =+ , (3.4) 从上面的式子，我们可以看到相干态一般不正交，但是仍然具有完备性。一般 的相干态是定义在整个复平面上的，由(3.2)可得 22 21() 00 11 ! ! rmni mn mn mn ddrerde m n + = , (3.5) 将 2 () 0 2 i m n mn d e = ， 2 22 0 ! rn dr ern = ，代入式(3.5)，同时利用完备 性条件|1 n nn= ,我们得到 2 1 1d = ， (3.6) 此即是相干态的完备性条件。由上讨论可知相干态构成了不正交的完全集，此即称 为过完备性。 19 （iii）具有最小不确定性 描述光场的正则坐标算符q、正则动量算符p可以表示为 () 2 qaa + =+ ? ， () 2 piaa + = ? . (3.7) 利用（3.7）式，我们很容易求出相干态中坐标和动量的方差满足 2 22 ()() 4 xp= ? ， (3.8) 即相干态为最小不确定性的量子态或者说最接近经典态的量子态。 20 4 注入原子相干对双模纠缠的影响注入原子相干对双模纠缠的影响 4.1 引言引言 三能级原子较之二能级原子具有更加丰富的能级结构和组态，它与量子光场的 相互作用具有更多的可调参数，从而具有更丰富的物理内容。在三能级原子与量子 光场的相互作用系统中，人们关注得最多的就是原子相干和量子干涉问题， 它是相 互作用系统中产生许多新奇有趣的物理现象的物理根源。对一个梯形三能级原子， 当原子被相干地激发到上两个能级时，原子将通过发射光子而发生跃迁。原子被相 干地激发到两个上能级则原子的两个上能级之间就具有一定的关联。为了同后面介 绍的驱动原子相干相区别,这种在原子与场相互作用前就处于某种相干叠加态而导致 的原子相干称为注入原子相干。 4.2 基本理论基本理论 我们考虑在梯形三能原子处在双模腔场中，其相互作用示意图如4.1所示。 图 4.1 梯形三能级原子示意图 原子上能级a、中能级b和下能级c的能量分别为, abc ?。其中上能级和 下能级具有相同的宇称，中能级具有相反的宇称。ab 和bc的跃迁是偶 极允许的，其频率分别为 1 和 2 ，ac是偶极不允许的。系统的哈密顿量可写 21 成 0 hhv=+， (4.1) 其中自由的哈密顿量为 01 11222 , , i i a b c hiiv a av a a = =+ ?. (4.2) 相互作用哈密顿量为 111222 ()()vg a aba baga bca cb=+?. (4.3) 其中 1 a和 2 a是场1和2 的湮灭算符, j g是相应的原子和场的耦合常数。 我们假定第 j个原子在任意时刻 j t注入到腔中，其最初的布居( ) j aaaa t=和( ) j cccc t=，且最 初的相干 () 12 * ( )( ) i vvtjj accaac tte + =，其中, aacc 和 ac 对所有的原子都是相同 的。利用量子光学的基本知识，我们可以得到系统的密度矩阵的主方程 62 ()() ()() ()() 111 111222222 121122121221 1,21,2 11 ll 22 1 ll 2 1 ,2, 2 aacc ac iiiiiiiiiiii ii d a aaaa aaa dt a aaaa aaa iva aaaa aa a = = + + h.c. (4.4) 其中 i 是裸腔频率， 2 2 a r g=是线性增益系数（我们取 12 ggg=） ， i 是腔肠 的衰减速率，是原子能级的衰减速率（为计算简单起见，我们假定原子三个能级 的相等） 。() kk li= ，其中 11ab =和 22bc =是和腔肠相对 应的单光子失谐量。为了方便，我们令 12 = = ，则 1 (1)l =，所以 12 lll =。 根据系统的主方程，我们可以得到系统的一阶和二阶运动方程的表示形式 22 () () () 11112 22122 * 11111112 * 22222212 1221112212122 ,(4.5 ) ,(4.5 ) 2re2 ,(4.5 ) 2re,(4.5 ) .(4.5 ) d ac ad aa dt d adacab dt d a aca ada agc dt d a aca ada ad dt d a ada ad a acca ade dt = + = = + = + =+ c.c c.c 其中的系数表示形式为 ()() ()() 11111 22221 112 212 1 l,(4.6 ) 2 1 l,(4.6 ) 2 1 l,(4.6 ) 2 1 l.(4.6 ) 2 aa cc ac ac civa civb dc dd =+ =+ = = 接下来我们在稳态下，求解方程组。我们发现 1122 0aaaa=，且二阶项 解的形式为 2 11 322 222 2 22 322 22 2 1212 222 2 (rec)g ,(4.7 ) rec2(rec )2rec (rec) ,(4.7 ) 2(rec )2rec (rec ) .(4.7 ) (rec ) g a aa g a ab g a aa ac + =+ + = + += 其中， 21 2 aa gl=,(1,2) i d l i=。 4.3 原子相干对系统双模纠缠的影响原子相干对系统双模纠缠的影响 众所周知，纠缠是一个非常奇怪且复杂的现象，在现实中我们判断一个系统是 否处于纠缠态会面临很大的困难。在本文中，我们利用段路明等人的判据来判定系 23 统是否处于纠缠态。 按照这种判据 38 ，如果系统的一个态是纠缠的话，这两个模 的einstein-podolsky-rosen (epr)算子 u 和 v 的量子涨落满足下面的不等式， ()() 22 2 2 1 uvc c + + (4.8) 其中 12 1 , uc xx c =+ 12 1 ,vcpp c = (4.9) 且() 2 jjj xaa=+， () 2 jjj paai=( j=1,2) 是模1 和2 的正交算 子，它们满足下面的关系 () ,1, 2 jjjj xpij j = . (4.10) 在稳态的条件下，方程(4.8)可简化为 ()() 22 2 2 1 2,uvc c + =+ (4.11) 其中 (4.12) 比较方程(4.11)和(4.8)，我们可以得到纠缠判据的一种简单表示形式：如果0， 我们可以断定这个态是纠缠的。 为了更方便的分析原子相干对双模腔场纠缠态的影响，我们引入一个反映原 子处于各能级概率的参数， 2 1 ,(4.13 ) 2 1 ,(4.13 ) 2 1 .(4.13 ) 2 aa cc ac a b c + = = = 其中11 。 当1= 时，0 aaac =， 也就是说原子完全处于下能级； 当1= 24 时，0 ccac =，原子完全处于上能级；当11 时，原子处于上能级和下能 级的叠加态。 在图4.2中，我们做了随参数和无量纲失谐量三维图，其中无量纲的 增益系数1 =。我们可以清楚的看出，在1 的情况下（原子注入时处于上能 级和下能级的叠加态） ，的值是小于0的（0=除外） ，也就是说，双模腔场处 于一个纠缠态。在增益系数一定的情况下，双模的纠缠随着失谐量的变大先是变大 然后变小。我们还发现，对于0=，不管原子是否相干，双模腔场的纠缠都不能 产生，这可用文献63的结果来说