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p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 摘要 本文分为三部分，第一部分是研究p r a n d t l 方程组整体解的存在惟性p r a n d t l 方程组来自于流体力学中边界层理论，已有许多理论，数值计算和试验方面的结果 由于对于小粘性流体p r a n d t l 方程组是n a v i e r - s t o k e s 方程的近似已被理实验所证实， 而p r a n d t l 方程组解的计算明显比n a v i e r - s t o k e s 方程来得容易，因此p r a n d t l 方程已经 成为边界层理论发展的基础和研究流体力学的重要组成部分p r a n d t l 方程的数学理论 研究对于揭示小粘性流体的运动本质具有重要的意义o l e i n i k 和s a m o k h i n ( 1 9 1 ) 给出 了一些系统的理论研究结果，并提出了一些公开问题公开问题之一是p r a n d t l 方程是 否存在整体解o l e i n i k ( 【1 5 】) 在1 9 6 6 年证明了问题p r a n d t l 方程组在一定的初边值条 件下存在惟一的局部古典解( 若三给定，则要求时间t 很小；若时间t 任意，则要求五 很b ) 2 0 0 4 年辛周平和张立群( 【2 5 】) 证明了整体弱解( b v 解) 的存在性近期又有 一些文献讨论整体弱解的存在性和唯性( 见f 2 吲，f 2 7 】) p r a n d t l 方程解的爆破问题的 讨论见参考文献【8 】本文第一章考虑的是非定常p r a n d t l 方程，在边界层外自由速度， u ( t ，z ) = 矿仉( t ，z ) ，m 1 情况下，p r a n d t l 方程的可解性问题，此时u ( x ，t ) 的二阶导数 具有奇性，已有的整体解存在性结果都要求u ( z ，t ) 0 ，且充分光滑本文先利用c r o c c o 变换，首先将p r a n d l 方程变换成个奇异抛物方程，然后将其正则化，并对正则化方程 的解及其一阶导数作一致估计，最后证明了b v 空间整体解的存在性在解的存在性的 讨论中作者克服了由于方程退化所带来的边值问题的适定性困难和由于方程系数不光 滑对先验估计所带来的困难在第一章中还讨论了弱解的唯性，解的唯性证明是有 难度的、并富于技巧从弱解唯性的讨论中可看出本章给出的弱解定义是适定的 本文第二部分是讨论类具有扰动系数的退化抛物方程解的渐进性质，我们证明了 扰动问题的解的极限( _ 0 ) 是某退化抛物方程的解证明的方法是先把具扰动项的 退化抛物方程正则化，然后证明正则化问题的解的h s l d e r 一致连续性和满足的先验估 计。最后由正则化问题解的性质导出了g _ 0 时解的极限性质 本文第三部分是讨论一类具强非线性源的非散度型退化抛物方程的解的性质首先 是讨论这类方程在有界域上的初边值问题，其次由有界域上初边值的结果，推出无界域 上初值问题的解的某些性质 关键词：p r a n d t l 方程；整体解；存在惟性；扰动；退化抛物 p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 i i a b s t r a c t t h i sp a p e re o n s i s t so ft w oc h a p t e r s c h a p t e rli s1 ；os t u a yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e e o fs o l u t i o n st ot h ep r a n d t ls y s t e m i nt h i sc h a p t e r ，w ea 8 s u 鹏t h a tt h ev e l o c i t ya to u t e re d g e o ft h eb o u n d a r yl a y e rt r ( t ，z ) = 扩仉( t ，功，m 1 w ec o n s i d e rt h eg l o b a l le x i s t e n c eo ft h e s o l u t i o n w ef i r s tt r a n s l a t et h ei n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ep r a n d t ls y s t e mt o t h ei n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ras i n g l ep a r a b o l i ce q u a t i o n ( 1 1 9 ) b yt h ec r o e e o e h 蛆g e t h e n 骶r e g u l a r i z et h ep r o b l e m ( 1 1 9 ) a n d t od ob o l r l ep r i o re s t i m a t e st oth es o l u t i o n o ft h er e g u l a r i z e dp r o b l e m i 馏t l y , w ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b s ! s o l u t i o na n ds t u a r t h et m i q u e n e 鹤o fs o l u t i o n t h es e c o n dp a r ti nt h i sp a p e ri st os t u d yt h el i m i tb e h a v i o u ro ft h es o l u t i o nt o8 0 l l l e d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hs h i f te l e m e n ti w ep r o v et h a tt h el i m i t0 _ o ) o ft h e s o l u t i o nt ot h ep r o b l e mw i t hs h i f te l e m e n ti st h es o l u t i o nt ot h ed e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n w i t h o u t8 h i f te l e m e n t f i r s t l y , t h ed e g e n e r a t ep a r a b o l i cw i t hs h i f te l e m e n ti sr e g u l a r i z e d s e c o n d l y , s o m ep r i o re s t i m a t eo fs o l u t i o n st ot h er e g u l a z i z e dp r o b l e ma 托o b t a i n e d l a s t l y , t h e c h a r a c t e ro ft h el i m i t0 _ o ) o ft h es o l u t i o ni sp r o v e d t h et h i r dp a r ti nt h i sp a p e ri st os t u d yt h ep r o p e r t i e st o8 0 l n ed e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q t m t i o nn o ti nd i v e r g e n e ef o r mw i t hs t r o n g l yn o n l i n e a rf l o t l r e 8 t h ef i r s ts e c t i o ni sa b o u tt h e i n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e mt ot h i se q t t a t i o nw i t hb o u n d e d s e t t h es e c o n d 僦 t i o ni sa b o u t8 0 1 1 3 t e p r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nt ot h ei n i t i a lp r o b l e mw i t hu n b o u n d e d s e t k e y w o r d s ：p r a n d t le q u a t i o n ；g l o b a ls o l u t i o n ；e x i s t e n c ea n dt m i q u e n e e ；s h i f t ；d e g e n - e r a t ep a r a b o l i c 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：伶；厂袭 砷年 f 歹月， 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“ ) 日期：叫年歹, 9 1 e 1 日期：力习年月e l 炙、耳j 一钉殳 徐驰 名 名 签 签 者 师 p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 第一章p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性 1 1 绪论 1 1 1 物理背景 在十九世纪的末期，建立在欧拉( e u l e r ) 方程基础上的理论流体力学取得了相当大 的发展但是对许多实际问题在理论与实验结果上仍存在较大的分歧后来为了描述带 有粘性的流体运动，引进了n a v i e r - s t o k e s 方程，然而由于存在着许多数学上的本质困 难，此方程除特别的情况外一般很难用来研究粘性流体的理论对于粘性流体的理论研 究还相当有限迄今为止，粘性如何影响流体的运动仍然没有完全解决 1 9 0 4 年普朗特( p r a n d t l ) 于海德堡( h e i d e l b e r g ) 召开的第三届国际数学大会上提 出了个新的理论一边界层理论( 【2 0 1 ) 根据普朗特的观点，当粘性小的流体流过固体 表面时。可将流体分为两个区域个是固体边界附近很薄的区域，称为边界层，在该 区域内粘性起主要作用，另个区域是边界层外的区域，粘性可以忽略根据此事实， 对n - s 方程的各项进行量级分析，去掉量级小的项，就得到边界层方程( p r a n d t l 方程) 由于p r a n d t l 方程既在数学上简化了n - s 方程，得出的计算结果又与实际相符合，因此 p r a n d t l 方程已经成为边界层理论的基础和研究流体力学的重要组成部分研究p r a n d t l 方程的数学理论对于揭示小粘性流体的运动具有重要意义有人这样说，在近代流体力 学的历史上，没有一种别的理论能像边界层理论那样引起了如此巨大而深远的影响，它 开辟了2 0 世纪流体力学顺利发展的道路下面我们简单地介绍p r a n d t l 方程的推导过 程( 【删) ： n a v i e r - s t o k e s 方程描述的是不可压流体的数学模型假设流体在一个三维的区域 运动，速度向量v = ( u ，t ，t | ，) ，其中牡，t j ，t l ，是y 在坐标轴z ，影，2 上的投影对于个非 定常的不可压缩流体，在不考虑质量压力的情况下，n a v i e r - s t o k e s 方程有如下形式t o t + 仳瓦+ 移面+ 叫瓦。一；盖+ 比u ， 窑+ 仳象+ 移舅+ 叫象= 一万l 面o p + v a v , ，、 瓦+ 仳瓦+ 移瓦+ 叫瓦。一石面+ 等+ 乱筹+ t ，等+ 叫筹= 一言塞+ y a w , 。 瓦蜘瓦蜘面+ 叫瓦。一；麦+ 砌a ，角t ， 瓦+ 面+ 瓦2 o p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 2 其中l ， 0 是动力粘性系数，p = p ( t ，z ，y ) 是压强。p 是流体的密度，是l a p l a c e 算子 现在考虑一特殊情形；一直线流经过一个二维平面 o z x ，一 0 的情况的讨论见参考文献【2 7 1 我们引进c r o c c o 变换( 【5 】) ： 丁吐= z ，7 = 芳，叫( r ，专，7 ) = 丝u 由( 1 1 1 ) ，经过计算，易得。 t l i ，= u w ， t i ，t = 珥t i ，+ u 嘶， t l i 霉= 伽+ u t 飞， = u w w , 7 ， = ( u t t ，) 叩势= ( u 伽) 叩伽 将( 1 1 0 ) 中第一式关于y 求导一次。并利用( 1 1 0 ) 中第二式，有。 再由( 1 1 0 ) 式中第一式有 + t + 秽= t 上踟 移= 堑坠竺坠二竺= 竺丝 结合( 1 1 2 ) ( 1 1 4 ) 可推导出t t + t i u w + a t + b w t l ，2 t = 0 ( l ，7 ) q r ， 其中q 蕾= ( r ，7 ) l o 丁 z0 专 l ，0 o ，r ( o ) = 0 ，当z 0 时，( z ) 0 并且考虑的初 ：；：二二：兰2t(t。y)=。u(岛z。)=。 。1 2 1 ， i l i mt ( t ，z ，y ) = 阢 i ，。_ f 蚶7 u 吣+ a w + b w - - l e w 2 _ 0 ，( r 走 叩) ， 邢忐咖啡朋) 2 褊， 以下忐”- 0 ， ( 1 2 2 ) l 删一铷t t ，+ ( 酞+ 告) = o ， 叼= o a = ( - r 2 1 1 7 2 ) 以+ ( 1 一7 ) 等，b = 写, p z _ u r ! 一等一，7 以 a = ( ) 以+ ( 一7 ) 鲁，= 一，- 一罾一，7 以 p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 6 现在考虑下面的常微分问题； ft , w i n , k _ _ w m - l , k + ，7 一t , m , k _ _ w m , k - i + a m , k + w m k - - i ) ( w m - 1 k + h ) 2 i ；矿，七( 1 ) = 0 ，) w m 一1 ，知( o ) t 嵋七( o ) 一谬 t l ，m 一1 七( o ) + ，知= o ， i l 钮站= 砧( k h ，叩) ，m = 1 ，i t h i ；k = 0 ，1 ，i x h ， ( 1 2 3 ) 这里c = 吹+ 告 在一定初边值条件下。可证明。 叶七，w i n , k _ 广w m - 一l , k ，w i n , k _ 广w m 一, k - 1 ，( 1 一”+ ) 叫黔 当m h 乃正h 0 ，肛l = o ； r a b i n o w i t s c h ： 伽，p l 0 ，r = 2 ； e l l i s ： 伽，l l 0 ，r o ； o s t w a l d d e w 舱l ：p o = 0 ，p l 0 ， - 1 ； b i n g h a m ：p o ，弘l 0 ，= - 1 大量的物理实验证明了对于非牛顿流体也存在着边界层现象现在我们考虑应力张 量依赖于形变速度张量的幂的非线性粘性不可压缩流的o s t w a l d - d ew a e l 模型 假设牡l ，t 2 ，u 3 是关于坐标轴x l ，z 2 ，z 3 的速度分量，令 铲两( t t i + 警e 巧。瓦+ 菘 p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 8 表示形变速度张量的分量对于非牛顿流的幂定律模型，应力张量( ) 有以下的形式。 勺= 一如p + ( 去e d e l t a ) 孚，7 i 0 其中p 是压强，k 是流体紧致性( c o n s i s t e n c y ) 指标，如为k r o n e c k e r 指标当0 o 然后利用c r o c c o 变换，由问题( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 取吉= 1 ) 可得到如下的初边值问题： ( 1 2 9 ) & ， i | j 1 堕挑 + 丝 一卜 mq讲岛 1 2 -k 旦锄 七一p + 垒c l p 一 = 塑如 呦 m + = 丝况塑锄 l = “ p = q | | = ， 俨 坠汐 叩 姚 + 半 限 叫蕞勘 扩上叭一 = 扣 + ， 咖 一小 铀 鬻 a 议 扩 + 扯 一 譬 = 叩 批扩 渺 邶咖一 r ，l ， 嘶 以 陋 p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 9 对问题( 1 2 9 ) 文献【2 7 】给出了问题( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 当0 1 时( 非定常可膨胀流边界层问题) 局部b v 弱解的存在惟性 注1 1 本章给的条件中u = u ( t ，z ) = x r a 仉巩 0 ，m 1 由于u ( t ，z ) 在 z = 0 时为零，所考虑的方程类型与文献俐、廖刀不同，有本质的困难需要克服 注1 2 由伯努力守恒律可以看出文献俐中的条件允p 0 与本章条件珥+ 厂酞0 ( 1 2 1 定理2 1 ) 一致 注1 3 我们在仔细阅读了文献口彰后发现，若假设u = 矿巩，巩 0 ，文献口彰 得到局部古典解存在性是要求m 2 ，而本章的结果是要求m 1 1 1 3b v 函数及其性质 为了后面的应用，本节不加证明地将b v 函数的有关性质做一简单介绍 定义1 1 于开集g 上可积。且对所有变量x l ，钇，的广义导数郄是测度的函数 全体，记为b v ( g ) = t l 1 ( g ) ；i 差( g ) m ( g ) i ，其中r e ( g ) 是集合g 的有界变差 测度对u b v ( g ) ，定义 酬回州k c q + 若l 是l ( g ) 定理1 1b v ( g ) 在定义j j 范数意义下是b a n a c h 空间 定理1 2 设u ( z ) b y ( g ) ，且乱扛) 具紧支集，那么 e l i m o 慨( t ) 一牡慨g ) 20 ， i v 五( u ) l ( g ) 1 w l ( a ) ，她i v 五( 仳) i ( g ) = i v u l ( a ) 其中五是u 的磨光函数， i v t i ( g ) 是( 等，罄) 在g 上的全变差 定理1 3u ( x ) b v ( g ) 的充要条件是：u 在g 上可积且满足 ，l 西( z + ) 一j 6 i ( z ) i 如七l 九i ， 其中j 5 i 是扩在g 上的零延拓 p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程篮曲性质一1 0 定理1 4 设b y ( c ) ，歹= l ，2 g 是有界域，还假设存在常数b 使得 f ci 让j l d = 0 ；岵( s ) = 万2 ( 1 一詈) + 剀在迹的意义下满足初边值条件 注2 1 定义2 j 中的偿砂式蕴含着t t ，在广义意义下满足以j 砂的第一式，因此 在f i t 上是有界的测度 p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解蝗性厦 一1 2 证明：( 2 3 ) 中的第三项积分非负，在此式中令p _ 0 ，得到 小叫协拍蚶c 训似+ 上t 酬) y 则协4 ， 一v 一2 k s 弘( y 一七) 妒，d x 0 在( 2 4 ) 中分别选取七 s u pv 和七 0 ，珥+ u 0 ，v o ( r , ) 0 ， w o ( r ，专) 0 并且存在非负常数6 o 使得 簖1 ( 1 一7 ) s 咖 ，7 ) 冬c o ( 1 一叩) 则以j 砂存在弱解w b v ( q t ) nl ( q r ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质1 3 注2 3 假设条件阻砂是有物理意义下的条件假设条件似砂对证明定理2 j 至 关重要 1 2 2 几个主要引理的证明 考虑i 司题( 1 1 9 ) 的正则化l 司越 嘶+ 叩u 吣+ a + b w 一霍2 ( t t ，) 伽，i ，一s 雪2 ( 硼) 毗e = 0 ，在q t 内， ( 2 1 0 ) w ( o ，7 ) = 叫眶健，7 ) ，w ( r ，0 ，r ) = t j 1 ( 丁，7 ) ，w ( r ，l ，叩) = t l ，篮( l ，7 ) ， ( 2 1 1 ) 伽( r ，毒，1 ) = e 雪( 硼) 一伽u 霍( t t ，) + ( 吹+ 蚩) = 0 ，在吁2 0 2 ： ( 2 1 2 ) ，r 谀单 a = ( 1 - r 2 ) ”刊( 鲁+ c ( 枷，沈= ( 崩) m 巩， 并且 仉，她，伽1 岳，t 充分光滑， 一 = t l ，产l = ； ( 2 1 3 ) t 眶，t 0 1 葶，t t ，缸6 0 ( 1 + g 一7 ) 霍s ( 删) = 且吼( s ) c 1 ( 兄) ，0 雪：( s ) 1 ，m u ( 2 1 4 ) 众所周知( 2 1 0 ) 一( 2 1 2 ) 存在惟解w c 俨( 爵) nc 3 ( f 2 t ) ( l s u ) 由极值原理，得 姚优， 这里常数c 与e 无关 我们在( 2 1 4 ) 中选取p = c ，则( 2 1 0 ) 和( 2 1 2 ) 变为 蚺4 - ，7 u 耿4 - a + b w t l ，2 一e 叫2 t = 0 ， ( ，7 ，7 ) m ， t t ，一叫t t ，+ ( + 鲁) 扎叩- 0 为了证明 魄 的紧致性，我们需要下面的估计 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 社琏 一 = 蛳 = 托 一 b 毗 冁 妒 。i 弓孝 一 ” 绐= 黜 ， 岛 面 p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 1 4 引理2 1 问题偿j 砂俾j 矽的解满足 何1 ( 1 + g 一7 ) t 如c 1 ( 1 + e 一，7 ) ( 2 1 7 ) 证明：足义 l a y ) 三昨+ 7 u k + a + b v y 2 一e v 2 喙， k ( y ) 圳k 一珈y + ( 吹+ 告) 令 = c ( 1 + s 一，7 ) e 加，p 0 通过运算。对足够大c ，p 0 ， 厶( 净c e 所( 1 + e 一7 ) p r 篙+ b 。， k ( 净一( c e 所) 2 ( 1 + e ) 一c c v o ( 1 + s ) + 歇+ 告 0 在r = 0 上 警一篙竽= 磊+ ( 映+ 告) ( 盯1 一町1 ) = 磊一( + 告) z 1 p + ( 1 一p ) 伽音】一2 d 口z 0 足够大，贝! l z 1 1 ：o 0 ，z k ；o 0 ，z i ，；l 0 ，z k ：l 0 由极大值原理，几乎处处有z 0 ， t 嵋q ( 1 + 一，7 ) p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 1 5 为了证明( 2 1 7 ) 的左端，考虑下面的函数 k = c ( 1 + s 一，7 ) e r - 肛， 这里得c ，口，p 是待定的常数通过计算，有 厶( k ) = c ( 1 + 6 - ，7 ) e 唧一所 一p + q a r 篙+ 叫 一曙【q 2 ( 1 + g 一叩) 一2 q 】c 台中肛 = c ( 1 - b e - r ) e a , r - - 胁 ( 1 + ) 一1 且p 足够大 选取c 0 足够小满足 k 饥，在r = 0 ；f = 0 ，l ；叩= 1 上 令z = 一饥与引理2 1 的第一部分的讨论类似。可以证明几乎处处有zs0 t c ( 1 + e t 7 ) e a 卜缈a ( 1 + 一叼) 弓i 理2 1 证毕口 y = 订妒= 三地+ 譬 则由引理2 1 和( 2 1 3 ) 以及t l ，k ，t 嵫的光滑性，可得 f ，c 一1 ( 1 + e - r ) 一1 y c ( 1 + 一7 ) 一l ； v - 1 - p = o , 在荨：0 ，己；，：l 上， 蒿黧= + 甚 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程解的性质 引理2 2v 满足 j r n 恁+ s ) 一口( 1 + e 一，7 ) 卢f ( y 一1 ) ：+ e ( y 一1 ) 鲴d x a t l 。j 这里c 0 与e 无关，0 q 一1 证明：将( 2 2 0 ) 式乘以健+ s ) 一a ( 1 + e 一，7 ) p ( y 一1 一妒) 然后在f i t 上积分得到 o = 健+ ) 一口( 1 + 一，7 ) 卢( y 一妒) k d x ，昕 + 恁+ e ) 一n r u ( 1 + g 一，7 ) 卢( y 一1 一妒) 睢d x ，昕 + 馐+ ) - n a ( 1 + e 一叼) 卢( y 一1 一妒) ( y 一1 ) 长d x j i l t = 五+ 厶+ 厶+ 厶+ 5 + 6 注意到( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) = 代+ ) 一a ( 1 + s 一，7 ) 卢( 1 n 移) r d x 一健+ s ) 一a ( 1 + s 。一，7 ) 卢k 础 ，n rj i l t 有 = 上，( + 囟- a ( 1 + 一扩l n 口蜓却| ：+ 厶( + 囟呻( 1 + g 一扩y 似战 且 一心柑)o(1+-rjp ) 伽地d ，7 l ：， o l 倒， i ( 1 + g 一，7 ) 卢l n 叫c l ( 1 + s 一，7 ) 卢i n ( 1 + e 一，7 ) i a ( 尻) ( 1 + e t 7 ) 历， - 1 0 ) 然后积分得 叫一2 一睇，( 1 + s 一7 ) 2 s g n 卢 , - d x 一2 w 一睇嘶( 1 + g 一7 ) 2 s g n 卢砚d x j i l tj f i t = 峦枷( 1 + e 一，7 ) 2 s g n 口研d x + s 砚r ( 1 + s 一刀) 2 s g n 而d x j i l tj f i t 一 w 一2 妒r ) 1 ( 1 + e 一呀) 2 s g n # 硒, - d x + ( 够聊+ 豫) r ( 1 + g 一，7 ) 2 s g n 矽, d x ，啦j i l t 一厶( 枷吨咄( 1 + 6 - ，) 2 s g n 庐, d x 一( a 凹一2 t ) r ( 1 + g 一，7 ) 2 s g n 厩d x 一，( b t t ，一2 t l ，h ( 1 + e 一，7 ) 2 脚研d x ，n t ，n i = l i 七2 七3 l t + 1 5 + 1 6 + l t 首先对( 2 2 3 ) 左面的式子进行估计 佃一2 ：j _ r r ( 1 + e - 7 ) 2 s g n p , - d x 一2 w 一每回摒( 1 + e - 田) 2 s g n 口面 j f i t j m 上t1 1 1 - 2 嗉e t 孵# s d s ) z 1z 工伽以厂娜s a s c l 七2 w - s 啪t 啦庐如 ( 2 2 3 ) ( 1 + g 一叩) 2 d x 一2 w 一嘶( 1 + 6 - , f 1 2 s g n # d x + 6 - 7 ) 2 蜊，7 巴 ( 1 + 刊2 似一上。2 t t ，一邮+ g 刊2 s g n p , d x - 0 1z 工叫- 2 i 刚1 + 腿d 叼巴当0 - - , 。时 ( 2 2 4 ) p r a n d t l 方程整体解的存在惟一性和一类退化抛物方程蟹盟丝厦 2 1 接下来对( 2 2 3 ) 右面的式子进行估计注意到 = 面枷( 1 + e 一叼) 2 s g n 母d x = f o lf 0 2 ( 1 + g - r s 帆打世e 一小+ ) 砩s g n 舻d x + 2 ( 1 + e 一叩) 研7 s g n p 研似， 且 ( 1 + g 一，7 ) s g n # 面d x = z lz 。( 1 + e - r ，厂娜s d s e 打诞+ 二厂唧o s d 础 - ltj ：t s g n # s d s d x ， 有 2 厶陆l 一z 工r ( 1 + e - r ) ，哪厩l 神打必 c 2