（基础数学专业论文）分担值与正规族(1).pdf

m a s t e rd e g r e e ，2 010 u n e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：51 0 7 0 6 0 1 0 2 6 s h a r e dv a l u e sa n dn o r m a lf a m i l i e s u n i v e r s i t y e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r i t y ：p u r em a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ： c o m p l e xa n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rx u e c h e n gp a n g c a n d i d a t e -s a n h u al i m a y , 2 0 1 0s h a n g h a i 脚 f y 1 7 4 芝岑d 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文联分担值与正规族，是在华东师范大学攻读砸4 磊士 ( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究7 - 作及取得的研究成果除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：备互彳日期：砌年箩月巧日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 “分担值与正规族系本人在华东师范大学攻读学位期问在导师指导下完成士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相 关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网” 送交学位论文的e p s i j 版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、 借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位 论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的”内部”或”涉密”学位论文木，于年月日解 密，解密后适用上述授权 1 扔2 不保密，适用上述授权 v 导师签名：压分，技本人签名：参砰日期：k 修年岁月猡日 ”涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生 申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的默认为公开学位论文均 适用上述授权 答辩委员会成员名单 年月日 姓名职称单位备注 专文彼教寺爻碑荐师大 ；应 - 一，c 攀 曩疑象孑秀碑夺炳丈 缝厶囊勉寺受 ，。 j 。 啤窜7 曷六 摘要 设丁和9 为区域d 内的两族亚纯函数，设a l , a 2 ，a 3 ，0 , 4 为个不同有穷复数若9 正规，对 于每个，只则存在夕9 使得( z ) 和g ( z ) 分担口1 ，o e ，a 3 ，a 4 ，则，在区域d 内正规 关键词：亚纯函数， 全纯函数，零点，重级，分担值 a b s t r a c t a b s t r a c t ：l e t ta n d9b et w of a m i l i e so f f u n c t i o n sm e r o m o r p h i co nad o m a i nd ，a 1 ，0 2 ，n 3 ，a 4 b ef o u rd i s t i n c tf i n i t ec o m p l e xn u m b e r s i f 够i sn o r m a l ，a n df o re v e r yf 兀t h e r ee x i s t s 夕多 s u c ht h a tf ( z ) a n d 夕( z ) s h a r ea l ，n 2 ，a 3 ，a 4 ，t h e n 厂i sn o r m a li nd k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，h o l o m o r p h i cf u n c t i o n ， z e r op o i n t ， m u l t i p l i c i t y , s h a r e dv a l u e 目录 第一章引言1 第二章有关引理7 第三章定理1 1 的证明1 0 第四章定理1 2 的证明11 第五章定理1 3 的证明1 3 第六章定理1 4 的证明1 7 第七章其他结果1 9 参考文献2 1 致谢2 4 i i i 第一章引言 第一章引言 在2 0 纪初，p m o n t e l 引入了正规族的概念，他把具有某种列紧性的函数族称为正规 族他首次把函数族的正规性与函数的取值问题联系起来，这就是经典的m a n t e l 正规定 则2 0 世纪2 0 年代n e v a n l i n n a 建立了第一、二基本定理，开创了值分布理论，不仅使函数 族的正规性与函数导数的取值问题联系起来成为可能，也使上述m a n t e l 正规定则的证明 变得初等和简单随后，m i l l o u x 建立m i l l o u x 不等式，首次涉及了导函数的取值1 9 5 9 年， 形k h a y m a n 建立h a y m a n 不等式，首次用函数的零点密指量和导函数的1 一值点密指量 来界囿特征函数在上述阶段中，人们对正规定则的研究大部分采用的是c m i r a n d a 的方法 即消去原始值法，它根据n e v a n l i n n a 值分布理论首先建立关于特征函数的界囿不等式，再 设法消去原始值而在消去原始值时，往往由于需要高度的技巧而使某些正规定则的证明变 得相当复杂 1 9 7 5 年，以色列数学家l z a l c m a n 提出z a l c m a n 引理，从m a r r y 正规定则出发给 出了一族全纯函数不正规的充要条件由此导出了一个有趣的正规定则随后，庞学诚 和l z a l c m a n 等人把z a l c r a a n 引理和函数导数联系起来，推广了z a l c m a n 引理，被称为 z a l c m a n p a n g 方法这种方法不仅使以往许多使用消去原始值的方法所得到的正规定则 的证明变得相当简单，而且又建立了一系列新的正规定则 1 9 9 2 年，w s c h w i c k 率先提出把亚纯函数的正规性和唯一性联系起来考虑，证明了 s c h w i c k 定理随后，相继出现与分担值相关的正规定则，主要有庞学诚和l z a l c m a n 获得 的亚纯函数族中任意函数与其导函数分担两个有穷值的正规定则，方明亮和l z a l c m a n 等 人获得的几个与分担值相关的正规定则本文就是从s c h w i c k 定理以及庞学诚、l z a l c r a a n 和方明亮获得的与分担值相关的正规定则出发，提出两个亚纯函数族中任意函数与其导数 分担有穷值的问题，从而也得出相关的正规定则 第一章引言 定义1 1 设厂为区域d 内的一族亚纯函数我们称歹在区域d 内正规，如果从厂中 任一函数序列 厶( 名) ) 均可选出它的一子序列 厶。( 名) 】在该区域d 上按球面距离内闭一致 收敛 定义1 2 设，和g 为区域d 两个亚纯函数，设a 和b 是两个复数若当f ( z ) = a ，有 g ( z ) = b 我们记为y ( z ) = a 净g ( z ) = b 若f ( z ) = a 兮g ( z ) = b 和9 ( z ) = b 号f ( z ) = a ，我 们记为f ( z ) = a 兮g ( z ) = b 若y ( z ) = a 兮g ( z ) = a ，则我们称为，和g 在区域d 上分担a 迸一步，若f ( z ) 一a 与g ( z ) 一a 在d 内有相同的零点并且所有的零点重级也相同，则我们称 ，和g 是区域d 内c m 分担a ，记为f ( z ) = a # g ( z ) = a 1 9 9 2 年，w s c h w i c k 1 】首次将分担值和正规族联系起来，他证明了： 定理a 设厂为区域d 内的一族亚纯函数，a 1 ，a 2 ，a 3 是三个不同的复数，若对厂的任意 函数厂，都有，和，7 分担a 1 ，a 2 ，a 3 ，则厂在区域d 内正规 从定理a 我i f - 以提出一个问题：对于两族亚纯函数分担四个值，若其中个亚纯函数 族正规，则另外一个亚纯函数族是否也正规呢? 这个问题答案足正确的 定理1 1 设厂和9 为区域d 内的两族亚纯函数，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 是四个不同的复数，若9 正规，且对芦的任意函数，存在g 9 都有，和g 分担o l ，a 2 , a 3 ，a 4 ，则厂在区域d 内正规 下面通过举一个例子说明定理1 中的分担值不能减少为三个 例1 设厂= 厶( 名) ) ，其中 厶( 2 ) = t a n n z 并设，1 ，z n ，2 ，知是厶( z ) 单位圆= z ：h 1 ) 上的零点，易知厶z ) 在单位圆上 不取值i ，- i 设9 = ，其中 鲰( z ) =( z + 1 一丢) 1 ( k + 1 ) ! 显然厶( z ) 和鲰( z ) 在a 足全纯的，于是满足条件( 6 ) 通过计算，有 撵= 佗名= 1 兮z = 元1 铮鳄= z + 1 一元1 = 1 ， 于是满足条件( c ) 易证9 在上正规的，且9 中任一子列 鼬( 名) ，有 础) 利护等o 。， , f s 县毪们知道芦存z ：0i - ：不币规的 例3设d = ，b = 1 ，设厂= 厶( z ) ) ，其中 ，、 1 厶【名) _ 磊 设9 = 【鲰( z ) ，其中 此) ：两+ ( 1 一掣) 蔷郴+ 1 ) 跏( z ) 2 面雨丽+ l 1 - i 竽夕备+ ( 1 ) 2 显然有厶( z ) 和鲰( 名) 在a 上不取0 ，于足满足条件( 口) 4 第一章引言 由计算，硐 黝= 锗z k + l = 掣吡) = z k + l + l 一学吐 于是满足条件( c ) 易证夕在a 上正规的，且孚中任一子列 鼬( z ) ) ，有 鼬( 名) 号9 ( z ) 2 面再j 厕+ 备+ ( 尼+ 1 ) 2 + 2 o 。， 但是我们知道，在z ：0 卜不诈拥的 庞学诚和l z a l c m a n 【2 】证明了： 定理c 设厂为区域d 内的一族亚纯函数，a 1 ，a 2 是两个不同有穷复数若对于厂的任 意函数，有，和，7 分担a 1 ，口2 ，则芦在区域d 内正规 林伟j i i 和仪洪勋 3 】证明了： 定理d 设厂为区域d 内的一族亚纯函数，若存在有穷复数a 和b ( 6 0 ，a b 不是正整 数) ，对于厂的任意函数，有，和，7 分担a ，当厂7 ( 名) = b 时有l ，( z ) 一a i ，其中e 为正数 则厂在区域d 内正规 推广到k 阶导数的情况，我们证明了： 定理1 4 设，为区域d 上的亚纯函数族，n 和b 都足不为零的有穷复数( a b 不是正整 数) ，使得每个f 厂，有 ( a ) f ( z ) = a 号，( 七) ( z ) = a ，且f a 的零点级至少为七； ( b ) 当，( 知) ( 名) = b 时有i f ( z ) 一a i ，其中e 为正数 则芦在d 正规 下面用一个例子来说明定理4 中条件是必要的 例4 设亚纯函数族【r ( z ) ) ，其中r ( 名) = 1 + 厶( z ) 令 厶( 名) = 砸1 丽( 1 一苫面1 ) 詹， 5 第一章引言 因为 黝= 刍岛+ 南h 一志) 叫志) ， 其中，恳七一l ( ；两1 ) 是关于者j 的2 k 一1 次多项式通过计算，有 r ( z ) = 1 令厶( z ) = o 辛历了21 号f ( n k ( 名) = 绺( z ) = 1 ， 且当砖南( 名) = b 时有i f c z ) 一1 1 0 ，( 徇，7 ) = z ：i z z o i 1 ) 和( 徇，r ) = z ：0 i z z o i 1 ) 单位圆记为a 记在d 上有厶( 名) 每，( z ) 表示函数 列 厶( 名) 】在d 中任意紧子集里按球面距离一致收敛于，( 名) 而厶( z ) _ f ( z ) 表示函数列 ( 名) 】在d 中任意紧子集里按欧氏距离一致收敛于，( z ) 6 第二章有关引理 第二章有关引理 引理2 1 ( p a n g z a l c m a n 引理) ( 【4 】) 设厂是单位圆盘上的亚( 全) 纯函数族，k 是一正 整数厂中每个函数的零点重级至少k ，且存在a 1 ，使得对任意，只在，的零点处都 有i ，( 七( z ) l a ，如果在劲处不正规，则对任意0 q k ，必存在 ( 1 ) 点列，一询， ( 2 ) 一列函数厶只 ( 3 ) 一列正数砌_ 0 使得 丛掣：鲰( ( ) 一夕( ( ) 一= ，l i i i 呻，【- 腭 “” 一” 在复平面上关于球面距离内闭一致收敛，其中9 为c 上的亚( 全) 纯函数且满足9 社( ( ) 夕襻( 0 ) = k a + 1 注以色列数学家l z a l c m a n 5 】证明了q = 0 的情形；庞学诚【6 】证明了一1 a 1 的情形这两种情形对零点不做任何要求陈怀惠，顾永兴【7 】在零点重级k 的情况下，证 明了一1 r o 时，有 i ，( z ) l 掣 引理2 9 ( 3 1 1 ) 设，( z ) 是一个复平面c 上的p ( 监糕掣， 由于f ( ) = - 6 和f 7 ( ) = 厂( 知) ( ) 一b = a b ，故有 l a - b 掣= 掣_ 一 这显然不可能引理证毕 9 第三章定理1 1 的证明 第三章定理1 1 的证明 证明：不失一般性，不妨设d ：a 若存在点z o a ，使得厂在点z o 处不正规由引理 2 1 ，存在点列巯，一劲，函数列厶芦，正数列p n _ 0 + ，使得 r ( ( ) = 厶( 锄+ 砌( ) 每f ( ( ) 其中f ( ( ) 是复平面上的非常数亚纯函数 由p i c a r d 定理，f ( ) 在集合a 1 ，n 2 ，0 3 ，n 4 ) 取两个值不失一般性，不妨设存在( 1 ，已 c ，6 已使得f ( ( 1 ) = 口1 ，f ( ( 2 ) = a 2 由h u r w i t z 定理，当扎充分大时，存在白，1 ，厶 2 ， 厶，1 _ ( 1 和厶，2 一( 2 有 ( + 砌厶，1 ) = a l ，厶( + 风厶，2 ) = a 2 因为对于厶，存在g n 9 使得a ( z ) 和g n ( z ) 分担a l ，a 2 ，于是 当n _ o 。，有 鲰( + 砌厶，1 ) = a l ，肌( + 肌厶，2 ) = a 2 0 i 口1 a a 2 i = l i ml 鲰( + 肌厶，1 ) 一鲰( + 陬白，2 ) i = l g ( z o ) 一g ( z o ) i = 0 ， n - 聿o o 矛盾 因此芦在区域d 上正规 1 0 第四章定理1 2 的证明 第四章定理1 2 的证明 证明：不失一般性，不妨设d = a 和存在点z o a ，使得歹在点徇处不正规由引理 2 1 ，存在点列，_ z o ，函数列厶只正数列如一0 + ，使得 r ( ( ) ：堂譬盟善眯) 其中f ( ( ) 为复平面上的非常数全纯函数，其零点重级至少为k + 1 ，且f ( ( ) 的级至多为1 因为对于厶，存在g n 9 ，使得有 鲰( z ) 令夕( z ) ，名a 又因为g ( z ) o o 且g ( z ) 的零点重级至少为k + 1 因为鲰( z ) 和g ( z ) 是全纯函数，则 鳄( z ) 令夕( 知( 名) 因为f ( ( ) 是非常数全纯函数，且其零点重级至少为k + 1 ，因而在复甲面上f ( ) ( ( ) 能取 b 值若存在点白c ，使得f ( 知( 白) = b 又因为f ( 知( ( ) b ，由h u r w i t z 定理，当n 充分大 时，存在矗，o ，厶，o _ 白使得 f ( ( 白，o ) = 矗七( + 风厶，o ) = b ， 于是毋( 锄+ p n g , o ) = b 当n _ 时，有夕( 七) ( 徇) ：b 我们断言：f ( ( ) 0 ，( c 若不然，存在点a c 使得f ( 臼) = 0 因为f ( e ) 0 ，由h u r w i t z 定理，当扎充分大时， 存在岛，1 厶，1 一矗使得 f ( 厶，1 ) = 聒七厶( + 砌厶，1 ) = 0 ， 于是 厶( + 肌白，1 ) = 0 ，鲰( + 砌厶，1 ) = 0 第四章定理1 2 的证明 当佗_ o 。时，有g ( z o ) = 0 又因为夕( z ) 的零点重级至少为k + l ，所以夕( ) ( 徇) = 0 矛盾因 此，这个断言足正确的 因为f k ) 0 ，则f 知( ( ) 在复平面c 上取b 无穷多次不失一般性，不妨设z o 是 夕( 知( z ) 一b 的零点，且重级为m 1 因为夕( 蠡) ( z ) b ，z a ，由h u r w i t z 定理，在上 毋( 名) 一b 至多有m 个零点( 计算重级) 由假设知道( 名) 一b 在a 上至多有m 个零点( 计 算重级) 于是硝m ( 0 使得9 ( 名) ，( z ) 在圆周 z ：i z 一询j = j ) 上解析，且 g g ( 名) _ 9 0 ( 名) ，z z ：i z 一绚i = j ，j = 0 ，1 ，2 ，k ， 则我们有 点卜厶6 鼎如一卜互。鼎如 第五章定理1 3 的证明 因为上式两端都是整数，于是对于充分大的n ，则我们有 返葸睬看 礼( 撕，甄暑卜( 酏蒯) = 礼( 地，蕊b ) 叫撕) 因为g ( z o ) = ，所以夕( 知( 知) b ，h p 礼( ( 训) ，丽1 ) = 。， 因而 礼( 酏问，甄暑) 叫撕蒯) = 叫纠 下面设 夕( 名) = i 三，z 7 ( 徇，6 ) ， 其中 ( z ) 在a ( z o ，6 ) 内全纯且h ( z o ) 0 ，7 - 是一正整数因为在a 上有鲰( z ) 粤9 ( z ) ，我们 有 础) = f 丽害訾瓦万， 其中h n ( z )a ( z o ，j ) 内全纯且有 。 = 丁 通过计算，我们得到 n ( c 徇，6 ，赤) = 1 + s n k - c 丁+ 七，= c s 。一1 ，七c 丁一1 ，后， 这意味着拶( 名) 在( 绚，6 ) 内取b 有限多次由假设可知道，拶( z ) 在z x ( 徇，6 ) 内取6 有 限多次，这表明砖奄( e ) 在复平面c 的任何一个闭子集上( 扎充分大) 取6 有限多次因而 f ( 七) ( c ) 一b 在复平面c 内有有限个零点矛盾 1 5 器 厂吣 上流 鼎 厂，吣 三抚 第五章定理1 3 的证明 情形2 2 2f ( e ) 为一有理函数 因为f ( ( ) 0 ，所以 1 f ( ( ) 2 南， 其中p ( ( ) 是一多项式由定理1 2 可知 厶( z ) ) 在a 7 ( 徇，6 ) 内正规，且厶( z ) 0 ，从而在 7 ( 翔，6 ) 内厶( z ) 每0 则我们有 去卜厶鼎把熹卜厶。勰， 扎( 撕卿，丽暑) 叫撕删) - o 由定理中条件( b ) 和( c ) ，有 礼( c 翔，6 ，了雾万扣) = 扎( c 徇，6 ，丽1 ) ， 和 n ( ( 徇，6 ) ，群( 名) ) = n ( ( 缅，6 ) ，鳄( z ) ) ， 则 。= 佗( 撕，最两) 叫撕蜊) 一m ( 碱k ) ) 。， 矛盾 1 6 第六章定理1 4 的证明 第六章定理1 4 的证明 证明：假如尸在d 内不正规，则存在复点列，函数列厶兀以及正数列风- 0 + 使 得 枨) = 丛等业蝴 ) 其中9 ( ( ) 在复平面c 是非常数全纯函数且的零点重级至少为k ，夕襻( ( ) 夕襻( o ) = 后| 口i + 1 断言：( a ) 9 ( ( ) = 0 号夕( 知( e ) = o ； ( b ) 夕( 七) ( e ) b 先证( a ) 若存在白c 使得夕( 白) = 0 ，由h u r w i t z 定理知，存在厶_ 岛，当n 充分大 时，有鲰( 厶) = 0 从而有厶( + 砌厶) = a ，有假设条件可知 鳄( 厶) = 群( + 阳白) = a ， 所以夕砷( ( 0 ) = 是恐夕乎( 厶) = 口( a ) 证完 再证( b ) 若存在白c 使得夕( 知( 白) = b 且夕( ) ( ( ) b 否则与( a ) 的结论矛盾由 h u r w i t z 定理，存在厶_ 白，当n 充分大时，有毋( 厶) = b 从而有拶( + p n 厶) = b ，又由 假设条件知l 厶( + 风厶) 一a l ，有 夕( ( 0 ) = j 1 婴嘛( + p n 厶) 一口】砖= ， n 。 这与g ( 詹) ( ( o ) = b 矛盾 于是由( a ) 和( b ) 及引理2 9 知，9 ( ( ) 是有理函数，从而夕( 知一1 ) ( ( ) 一6 ( 也是有理函数再 由( b ) 有( 夕( 七一1 ) ( ( ) 一k ) 7 0 ，于是由引理2 6 知， 夕( 知一1 ( ( ) 一b e = q ( + p ， 或者 g ( k - 1 ) ( ) 一6 ( 2 而务+ p ， 这里a ( 0 ) ，p 和c o 是常数，仇是正整数 1 7 第六章定理1 4 的证明 那么 如果 夕似一1 ( ( ) 一6 ( = 口e + p ， 夕( 知一1 ( e ) = ( b + q ) e + p 于是由( a ) 得b + a = a ，从而夕( 七一1 ( ) = a ( ：- + - 3 推出9 ( ( ) 为k 次多项式，这与9 孝( 0 ) = k l a l + l 矛盾 如果 扩。1 k ) 一6 ( 2 而番+ ， 则有 叫= k + p + 赤= 坠学， 和 扩，( ( ) - a = b - a 一群斋= 型筹铲 于足由( a ) 有 p bq i2 o ，再五2j 磊 从而a = ( m + 1 ) 6 ，这与题设条件”n 6 不是正整数”矛盾 所以厂在d 上正规 1 8 第七章其他结果 第七章其他结果 m i l l o u x 不等式( u 3 ) 设，( z ) 在 r ( o 。) 内亚纯若，( o ) o ，o o ；，( 知( o ) 1 ；，( k + l ( o ) 0 ，则对于0 r r 有 其中 t ( r ，) 丙( n ，) + ( _ 手) + ( r，( 七) 一1) 一o ，南) + s ( r ，) ， 跗= m ( r ，等) + 仇( n 竿) + m ( n 篙) + l o g i 错f + 1 0 9 2 其中 在m i l l o u x 不等式中，若改成这样的结果： p t ( r ，) 丙( r ，) + p ( 7 - ， i = 1 、 跗一 出发 ，( 知) p ( ，一啦) i = 1 证明：从恒等式 p m ( r ， l i = 1 又因为 ，一啦 p i = 1 l + m 卜 ，一o i 、， 夕蜘卜 l m ( r ， p ，一砚 i 一伍i ，( 七+ 1 ) p ( ， i - - - - 1 、+ n ( r ，( 奄) 一1 。 j + s ( r ，) ， j ) + m ( n 爷) 矧寸警 ，( 南)，( 南+ 1 ) = ：一一j ! ：一 pp ( ，一a i )( ，一a i ) i + m 卜 p m i - - 1 ，一o i ，( 知) 一1 f ( k - k 1 ) + m ( _ 等) 仙9 2 刊。g + 警一l o g 2 ， o l 飞 酗 、l l 叫，一仃 了汹 甜 所以 令 m ( 务) = 仇( r ，器) 佩吖m ( n p i = lm ( r ， ，一o ) 矾，) + ( r ，( 知) 一1 ，( 知) 一1) 一( n 南) ， ) * 南) 叶 七茹) + m ( 。f ( k + 一x ) + 2 l 0 9 2 + p l o g + 警 跗一 则 p t i = l ，一口 i 十mir ， f ) 翊删+ 壹i = 1 ( r ， 由n e v a n l i n n a 第一基本定理， 则有 ，一o 册矾+ 喜( 巧 + m ( r ，务) j 一 、 l + ir ， t ( r ，) + o ( 1 ) ， 、， 一l + ir ， o i a + 2 l o g 2 + p l o g + 警， 厂( 知) 一1 ，( 七) 一1 。 l + s ( r ，) 。 ) + s ( r ，) 埘一 一 一， 了：l i 曲 汹 一曲 砷一 一 卫俨 了斟 参考文献 【l 】1 w s c h w i c k s h a r i n gv a l u e sa n dn o r m a l i t y , a r c h m a t h 5 9 ( 19 9 2 ) 。5 0 - 5 4 2 1x u e c h e n gp a n g ，l z a l c m a n ，s h a r i n gv a l u e sa n dn o r m a l i t y , a r i k i vf o rm a t h e m a t i k ，3 8 ：1 ( 2 0 0 0 ) ，1 7 1 1 8 2 【3 】w e i c h u a nl i n ，h o n g x u ny i ，v a l u ed i s t r i b u t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o nc o n c e r n i n gs h a r e dv a l u e s 。 i n d i a nj p u r ea p p l m a t h3 4 ( 2 0 0 3 ) ，5 3 5 5 4 1 【4 】x u e c h e n gp a n g ，l z a l c m a n ，n o r m a lf a m i l i e sa n ds h a r e dv a l u e s ，b u l l l o n d o nm a t h s o c 3 2 ( 2 0 0 0 ) ， 3 2 5 3 3 1 【5 】l z a l c m a n ，ah e u r i s t i cp r i n c i p l ei nc o m p l e xf u n c t i o nt h e o r y , a n l e r m a t h m o n t h l y 8 2 ( 1 9 7 5 ) 8 1 3 8 1 7 【6 】x u e c h e n gp a n g ，b l o c h sp r i n c i p l ea n dn o r m a lc r i t e r i o n ，s c i c h i n a ，s e r a3 2 ( 1 9 8 9 ) ，7 8 2 7 9 1 【7 】h u a i h u ic h e n ，y o n g x i n gg u ，i m p r o v e m e n to fm a r t y sc r i t e r i o na n di t sa p p l i c a t i o n ，s c i c h i n a ，s e r a 3 6 ( 1 9 9 3 ) ，6 7 4 6 8 1 【8 】j c l u n i e ，w k h a y m a n ，t h es p h e r i c a ld e r i v a t i v eo fi n t e g r a la n dm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s c o m m e n t m a t h h e l v e t 4 0 ( 1 9 6 6 ) ，11 7 1 4 8 9 1y u e f e iw a n g ，m i n g l i a n gf a n g ，p i c a r dv a l u e sa n dn o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t hm u l - t i p l ez e r o s ，a c t am a t h s i n i c a1 4 ( 1 9 9 8 ) ，1 7 2 6 【1 0 】w k h a y m a n ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，o x f o r d ：c l a r e n d o np r e s s 1 9 6 4 il l 庞学诚，梁金荣，柴俊复变函数北京：科学出版社，2 0 0 3 ，7 7 7 8 【1 2 】p j 硒p p ，g m s t a l l a r d ，i t e r a t i o no fac l a s so fh y p e r b o l i cm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s p r oa m e rm a t h s o c ，1 2 7 ( 1 9 9 9 ) ，3 2 5 1 - 3 2 5 8 【1 3 】杨乐，值分布论及其新研究北京：科学出版社1 9 8 2 ，4 6 4 7 【1 4 】赵彦达译，c a r a t h e o d o r y , c 复变函数论( 1 ) 北京：高等教育出版社，1 9 8 5 7 2 1 _ _ _ _ _ 。_ _ _ 1 参考文献 1 5 1p a u lm o n t e l ，n o r m a lf a m i l i e s s p r i n g e r - v e d a g 1 9 9 3 ，3 5 3 6 1 6 1x i a o j u nl i u ，x u e c h e n gp a n g ，s h a r i n gv a l u e sa n dn o r m a lf u n c t i o n s ，a r t h s i n i c a e n g l i s hs e r 5 0 ( 2 0 0 7 ) ，4 0 9 - 4 12 17 1x u e e h e n gp a n g ，d e g u iy a n g ，z a l c m a nl ，n o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw h o s ed e r i v a - f i v e so m i taf u n c t i o n ，c o m p u t m e t h o d sf u n c t 2 ( 2 0 0 2 ) ，2 5 7 2 6 5 【l8 】x u e c h e n gp a n g ，l z a l c m a n ，n o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t hm u l t i p l ez e r o sa n dp o l e s 。 i s r a e lj 13 6 ( 2 0 0 3 ) ，1 - 9 【1 9 】x uyn o r m a l i t ya n de x c e p t i o n a lf u n c t i o n so f d e r i v a t i v e s ，j a u s t s o e 7 6 ( 2 0 0 4 ) 4 0 3 - 4 1 3 1 2 0 x u e c h e n gp a n g ，l z a l c m a n ，n o r m a lf a m i l i e sa n ds h a r e dv a l u e s ，【j 】b u l l l o n d o nm a t h s 0 c 3 2 ( 2 0 0 0 ) ，3 2 5 3 31 2 1 1 顾永兴，庞学诚，方明亮正规族理论及其应用北京：科学出版社 【2 2 】钟玉泉复变函数论北京：高等教育出版社，1 9 7 9 ，1 6 9 1 7 0 【2 3 】王跃飞，乔建永，张广远关于亏值、正规族和奇异方向的若干现代研究科学通报，4 4 ( 1 9 9 9 ) ， 2 5 7 7 - 2 5 8 6 2 4 1l z a l c m a n ，n o r m a lf a m i l i e s ：n e wp r e s p e c t i v e s ，b u l la m e r m a t h s o e 3 5 ( 1 9 9 8 ) 。2 1 5 2 3 0 2 5 1w k h a y m a n ，p i c a r dv a l u e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dt h e i rd e r i v a t i v e s ，a n n o fm a t h ( 2 ) 7 0 ( 1 9 5 9 ) ，9 1 2 2 6 1x u e c h e n gp a n g ，d e g u iy a n g ，z a l c m a nl ，n o r m a lf a m i l i e sa n do m i t t e df u n c t i o n s i n d i a n au n i v e r s i t y m a t h e m a t i c sj o u r n a l 5 4 ：1 ( 2 0 0 5 ) ，2 2 3 2 3 5 2 7 1y o n g x i n gg u ，o nn o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，s c i e n t i as i n i c aa 4 ( 1 9 7 8 ) ，3 7 3 3 8 4 【2 8 】l ey a n g ，n o r m a l i t yo ff a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，s c i e n t i as i n i c aa 9 ( 1 9 8 6 ) 8 9 8 9 0 8 2 2 参考文献 【2 9 】w b e r g w e i l e r , a e r e m e n k o 。o nt h es i n g u l a r i t i e so ft h ei n v e r s et oam e r o m o r p h i cf u n c t i o no ff i n i t e o r d e r , r e vm a ti b e r i1 ( 1 9 9 5 ) ，3 5 5 3 7 3 【3 0 1x u e c h e n gp a n g ，s h a r e dv a l u e sa n dn o r m a lf a m i l i e s ，a n a l y s i s2 2 ( 2 0 0 2 ) ，17 5 18 2 311w b e r g w e i l e r , x u e e h e n gp a n g ，o nt h ed e r i v a t i v eo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t hm u l t i p l ez e r o s ，j m a t h a n a l a p p l 2 7 8 ( 2 0 0 3 ) ，2 8 4 - 2 9 2 【3 2 】j i a n m i n gc h a n g ，m i n g l i a n gf a n g ，l z a l c m a n ，n o r m a lf a m i l i e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s i l l i n o i s m a t h j 4 8 ( 2 0 0 4 ) ，319 - 3 3 7 【3 3 】m i n g l i a n gf a n g ，l z a l c m a n ，n o r m a lf a m i l i e sa n ds h a r e dv a l u e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i i c o m p u t m e t h o d sf u n c t t h e r o y , 1 ( 2 0 0 1 ) ，2 8 9 - 2 9 9 【3 4 】m i n g l i a n gf a n g ，l z a l c m a n ，n o r m a lf a m i l i e sa n ds h a r e dv a l u e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i i i c o m p u t m e t h o d sf u n c t t h e r o y , 2 ( 2 0 0 2 ) ，3 8 5 3 9 5 1