（基础数学专业论文）两类非线性发展方程的cauchy问题.pdf

两类非线性发展方程的c a u c h y 问题 摘要 本文分五章：第一章为引言；第二章研究一类具有阻尼项的非线性双曲型 方程的c a u c h y 问题的局部广义解和局部古典解的存在性和唯一性；第三章研 究第二章所述问题的解的层破，并举出一个实例；第四章研究b q 型方程的 c a u c h y 问题的整体广义解和整体古典解的存在性和唯一性；第五章研究第四 章所述问题的解的爆破，并举出一个实例具体情况如下t 在第二章中，我们研究如下一类具有阻尼项的非线性双曲型方程的c a u c h y 问题 u “+ k l v 4 u + 如v 4 1 虹+ v 2 9 ( v 2 u ) 一0 ，扛，t ) r a ( 0 ，? ) ，( 1 ) “( z ，0 ) = u o ( z ) ，u t ( z ，0 ) = u l ( x ) ，x r 3 ，( 2 ) 其中“( z ，t ) 为未知函数，k 1 和k 2 为正常数，v 为梯度算子，v 2 = 为l a p l a c e 算子，v 4 = 2 为双调和算子，9 ( s ) 为给定的非线性函数，u 。( z ) 和u t ( z ) 为已 知的初始函数，下标t 表示对t 求偏导数为此我们先研究方程( 1 ) 的周期边 界问题 u ，t ) = u ( x l + 2 d ，x 2 ，z 3 ) = u ( zl ，x 2 + 2 d ，x 3 ) = u ( z 1 ，x 2 ，x 3 + 2 d ) ， ( 3 ) u ( z ，0 ) = t 幻( z ) ，u t ( x ，0 ) = u l ( z ) ( 4 ) 在证明了问题( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 局部广义解和局部古典解的存在唯一性之后，利用周 期边界问题取极限的方法，证明问题( 1 ) ，( 2 ) 局部广义解和局部古典解的存在 唯一性主要结果如下； 定理l 设g c 4 ( r ) ，1 9 ( s ) lsk ， ，1 9 ，( s ) is 尬 ，等等，其中q 2 为自 然数，尥为正常数若“o h 6 ( 固，u ，h 4 ( 啊则周期边界问题( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 存在唯一局部广义解u ( 。，幻 定理2 设g g - o ( r ) ，l g ( s ) i 1 s h 叭s ) j 茎尬 一1 等等，其中q 2 为自 然数，k 。，n ：为正常数若u o h 2 ( n ) ，“。h ”( n ) ，则周期边界问题( 1 ) ，( 3 ) ， ( 4 ) 存在唯一局部古典解“( z ，) 定理3 设g c 4 ( n ) ，f 口( s ) fs 甄 ，叭圳畅 一1 等等，其中q 2 为自 然数，l ，配为正常数若u o 厅6 ( r 3 ) ，“1 1 1 4 ( 斧) ，则c a u c h y 问题( 1 ) ，( 2 ) 存 在唯一的局部广义解u ( x ，) 若g c 1 0 ( r ) ，“o ，1 2 ( 冗3 ) ，“1 1 0 ( r 3 ) ，则c a u c h y 问题( 1 ) ，( 2 ) 存在唯一的局部古典解u ( z ，) 第三章利用凸性方法证明问题( 1 ) ，( 2 ) 的解在有限时刻爆破主要结果如 下： 定理4 假定u o h 2 ( r 3 ) ，u l l 2 ( 廖) ，g ( a u o ) l 1 ( j r 3 ) 且存在常数_ 臼 0 使 得 s g ( s ) 2 ( 2 f l + 1 ) g ( s ) + 2 i l k ：2 ，v s r ， 其中g ( s ) = f i g ( t ) d 7 则c a u c h y 问题( 1 ) ，( 2 ) 的广义解( 或古典解) “( 。) 在下列 条件之一成立时在有限时刻爆破： ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( 3 ) e ( o ) 0 ，恼u o u l d z 0 且 4 俨( 肠u o u , d x ) 2 - 4 f 1 2 e ( o ) l l u o l & i i u o i l 4 - 2 2 i f 蛳| | 2 | j u o | | l 砖| | u o | | 4 4 k 2 f 1 2 e ( o d i i a u o 悒 其中e ( o ) = i l u i l l 2 + h i i “o l l 2 + 2j 二。g ( a u 。) d z 在第四章中，我们研究如下b q 型方程的c a u c h y 问题 “一，“z z 一“x x t t 一“u m + t b 础“= ，( “) 。z ，z r ，t 0 ， ( 5 ) “( z ，0 ) = u o ( z ) ，u t ( x ，0 ) = 札l ( z ) ，z r ，( 6 ) 其中“( z ，t ) 为未知函数，p o ， ( 7 ) u ( z ，0 ) = ( z ) ，地( z ，0 ) = 妒( z ) ，。er ( 8 ) 我们将首先研究下列辅助问题 到“一u 。一u 。一肛t k + v 勰。“= ，( u 。) # ， z r ，t 0 ， ( 9 ) “( z ，0 ) = ( z ) ，v t ( x ，0 ) = 妒( z ) ，z r ， ( 1 0 ) 为此我们讨论方程( 9 ) 的周期边界问题 t k f z + 2 d ，) = t k ( 。，) ，0 ， ( 1 1 ) ( 。，0 ) = 咖( z ) ，u t ( z ，0 ) = 妒( z ) ，x r ( 1 2 ) 的整体广义解和整体古典解的存在唯一性，进而得到问题( 9 ) ，( 1 0 ) 整体广义解 和整体古典解的存在唯一性，再利用变换u ( x ，) = v x ( z ，) ，咖( z ) = 也( z ) ，u l ( x ) = 啦( z ) 得到c a u c h y 问题( 5 ) ，( 6 ) 整体广义解和整体古典解的存在唯一性主要结 果如下： 定理5 设，c 川( r ) 且存在常数c o 0 ，使得对任意的s r ，有，( s ) c o ， 丸妒h ( n ) ( 0 是自然数) ，若k 2 ，则问题( 9 ) ，( 1 1 ) ，( 1 2 ) 存在唯一整 体广义解”( z ，) ，此解有连续导数即，( 。，) ( o55 k ，r = 0 ，1 ，2 ) 和广义导数 。，( z ，t ) ( o s k + 2 ，r 一0 ，1 ，2 ，3 ) 若k 4 ，则问题( 9 ) ，( 1 1 ) ，( 1 2 ) 存在唯一 整体古典解 ( z ，) ，此解有连续导数妨r ( z ，t ) ( o s 茎，r = 0 ，1 ，2 ) 和广义导数 t k 。t r ( z ，) ( o 茎s 茎十2 ，r = 0 ，1 ，2 ，3 ) 定理6 设，c 抖1 ( r ) 且存在常数c o 0 ，使得对任意的s j r ，有，和) 2 岛， 咖，妒日( r ) 若k 2 ，则c a u c h y 问题( 9 ) ，( 1 0 ) 存在唯一的整体广义解 ( z ，) ， 此解有连续导数如，( z ，t ) ( o s k ，r = 0 ，1 ，2 ) 和广义导数蚰，( z ，) ( o58s k + 2 ，r = 0 ，l ，2 ，3 ) 若k 4 ，则c a u c h y 问题( 9 ) ，( 1 0 ) 存在唯一的整体古典解 u ( z ，t ) ，此解有连续导数蚰，( z ，) ( o s k ，r 一0 ，l ，2 ) 和广义导数蚰，( z ，) ( o 8 + 2 ，r = 0 ，1 ，2 ，3 ) 定理7 设f 伊+ 1 ( r ) 且存在常数c os0 ，使得对任意的s r ，有，( s ) q ，“。( z ) ，“。( z ) h 川( r ) 若k 3 ，则c a u c h y 问题( 5 ) ，( 6 ) 存在唯一的整体 广义解u ( x ， ) ，此解有连续导数u 。( z ，) ( oss k 一1 ，r = 0 ，1 ，2 ) 和广义导数 u 。，( z ，) ( o s k + 1 ，r = 0 ，1 ，2 ，3 ) 若k 5 ，则c a u c h y 问题( 5 ) ，( 6 ) 存在唯一的 整体古典解“( z ，) ，此解有连续导数蛳，( 9 2 ，t ) ( o s 一l ，r = 0 ，1 ，2 ) 和广义导 数u 。w 扛，f o s5k + 1 ，r 一0 ，1 ，2 ，3 ) ， 第五章中首先利用凸性引理证明问题( 9 ) ，( 1 0 ) 解的爆破，进而得到c a u c h y 问题( 5 ) ，( 6 ) 解在有限时刻爆破的充分条件主要结果如下： 定理8 假定庐，妒e h 2 ( 固，g ( 硒，f ( s ) = 岳f ( y ) d y ，f ( s ) 三( 固且 ，( s ) s 茎( 4 卢+ 2 ) f ( s ) + 2 卢s 2 ，v s r ， 其中声 0 为常数，则c a u c h y 问题( 9 ) ，( 1 0 ) 的广义解( 或古典解) 。江t ) 在下列条 件之一成立时在有限时刻爆破： ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( 3 ) e ( o ) 0 ，渺，妒) + ( 丸，札) + ( 仉。) e ( o ) 1 1 2 + 1 i 咖。1 1 2 + i | 札。旷】 0 ， 其中， 疗( o ) = 1 1 2 + 1 1 也n 2 + o 仉1 1 z 一，- 1 l 也。o z + l j 识。1 l ：+ 2rf ( 也) 妇 定理9 假定，l 日1 ( r ) ，a ( r ) ，f ( s ) = 岳f ( y ) d u ，f ( s ) l i ( r ) 且 ，和) s ( 4 口+ 2 ) p ( s ) + 2 芦s 2 ，v s r ， 其中卢 0 为常数，则c a u e h y 问题( 5 ) ，( 6 ) 的广义解( 或古典解) 札( 。，t ) 在下列条 件之一成立时在有限时刻爆破： ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( ) 面( o ) = ，( “1 ( + ( ，) + 【“嘶，儿l 。j u ； f 3 旧0 1 0 户( 。严u o ( y ) d y 。严i i l ( y ) d y ) d x + ( 1 1 0 ，+ u 0u 曲 ( ) 面( o ) ( (+ ( ，u t ) + ( 。，u ，z ) ，居( o ) 【，。( ，。 2 + 1 2 + l。旧 0 u o ( y ) d y ) d x l u o ， ，卢( o ) 【( 2 + 怖炉+ lz ， 其中，面( o ) = ( u - 劫) 2 如+ 忆川2 + 忆- h 2 _ 川m 训1 2 + l l u “1 1 2 + 2 f o 琴。兀咖) d x 剐= 仁( t 毗( 玑) 曲) 2 出+ 2 + 1 2 一p n 卅2 仁f ( u ) 出 关键词：具有阻尼项的非线性双曲型方程；b q 型方程；c a u c h y 问题；局 部解；整体解；解的爆破 c a u c h yp r o b l e m sf o rt w oc l a s s e so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t t h i sd a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h e i n t r o d u c t i o n i nt h es e c o n d c h a p t e r ，w ew i l ls t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o n a n d t h el o c a ld a s s i c a ls o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h ed a m p e dn o n l i n e a rh y p e r b o l i c e o u a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ew i l lp r o v et h eb l o w - u po ft h es o l u t i o nt o t h ep r o b l e r l m e n t i o n e di nc h a p t e rt w oa n dg i v ea ne x a m p l e i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w e w i l ld i s c u s st h e e 妇s t e i l c ea n du n i q u e n e 辨o ft h e 酉o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o na n d t h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n t ot h ec a u e h yp r o b l e mf o rb qm o d e le q u a t i o ni nc h a p t e rf i v e ，w ew mp r o v et h eb l o w u p o ft h es o l u t i o nt ot h ep r o b l e mm e n t i o n e di nc h a p t e rf o u ra n dg i v ea 1 1e x a m p l e i nt h es e n de b a p i e r ，w es t u d yt h ef o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e m f o rt h ed a m p e dn o n l i n e a r h v p e r b o h ee q u a t i o n 就n + k 1 v 4 “+ 也v 4 毗+ v 2 0 ( v 2 “) = 0 ， ( z ，) r 3 ( o ，? ) ， ( 1 ) “( z ，o ) = u o ( z ) ，u 。( z ，o ) = u l ( z ) ， z 腰( 2 ) w h e r eu ( z ，) d e n o t e st h eu n k n o w nf u n c t i o n ，女la n dk 2 a r et w op o s i t i v ec o n s t a n t s ，v d e o t st h eg r a d i e n to p e r a t o r ，v 2 = d e n o t e sl a p l a c i a no p e r a t o r ，v 4 = 2d e n o t e st h e b i h a r m o n i co p e r a t o r ，9 ( s ) i st h eg i v e nn o n l i n e a rf u n c t i o n tu o ( x ) a n d 】扛) a r e 百v e ni n i t i a l v a l u ef u n c t i o n s ，a n ds u b s c r i p tti n d i c a t e st h ep a r t i a ld e r i v a t i v ew i t hr e s p e c tt ot f o rt h i s p u r p o s e w e 缸s tc o n s i d e rt h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o ft h ee q u a t i o n ( 1 ) 札( z ，t ) = u ( z l + 2 d ，z 2 ，z 3 ) = 1 土( z l ，z 2 + 2 d ，z 3 ) = u ( 茁1 ，茁2 ，z 3 + 2 d ) ， ( 3 ) “( z ，0 ) = “o ( z ) e ( 。，0 ) = u l ( x ) ( 4 ) a 扎e rt h ee 妇s t e n c ea n dl l n i q u e n e 8 8o ft h el o c a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o na n dt h el o c a lc l a s s i c a l s o l u t i o nt ot h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) a r ep r o v e d ，u s i n gt h es e q u e n c eo ft h ep e r i o d i cb o u n d 8 y v a i u ep r o b l e m sw ep r o v et h a tt h ec a u c h yp r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) h a sau n i q u el o c a lg e n e r a l i z e d s o l u t i o na n dau n i q u el o c a lc l a s s i c a ls o l u t i o n t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 s u p p o s et h a tg c 4 ( r ) ，1 9 ( s ) l t ( , i s l 9 ，l ( s ) l 墨k 2 l s l 4 e r e - ，w h e r e u 2i 8an a t u r a ln u m b e ra n dk 1 ，爿五a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s i f 札o h 6 ( q ) a n d “l h 4 ( f 1 ) t h e nt h ep e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ( 11 ) ，( 21 ) ，( 2 2 ) a d m i t sau n i q u el o c 8 l g e n e r a l i z e ds o l u t i o nu ( z ，) t h e o r e m2s u p p o s et h a tg c 1 0 ( r ) ，1 9 0 ) f k d s l 。，f 9 7 ( s ) 【，2 f s f 。一2e t c ，w h e r e 口 2i san a t u r a ln u m b e ra n dk i ，k 2a r ep o s i t i v ec o n s t m l t s i fu o h 1 2 ( n ) a n d u i h 1 0 ( 哦t h e nt h ep e l ，i o d i eh o m l d m yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 ) ，( 2 1 ) ，( 2 , 2 ) a d m i t sau n i q u e l o c a lc l a s s i c a ls o l u t i o nu ( x ，# ) t h e o r e m3s u p p o s et h a tg c 4 ( r ) ，i g ( s ) isk i l s l 4 ，1 9 ( s ) ls 娲h ”1e t c ，w h e r e g 2i san a t u r a ln u m b e ra n dk l ，k 2a r ep o s i t i v e c o n s t a n t si fu o 圩6 ( 磷) a n d u l h f f r ) ，t h e nt h ec a u c h yp r o b l e m ( i 1 ) ，( 1 2 ) a d m i t sau n i q u el o c a l g e n e r a l i z e d s o l u t i o n 札( z ，) i fg c 1 0 ( r ) ，u o h 1 2 ( j r 3 ) a n d1 5 1 h l o ( 廖) ，t h e nt h ec a u c h yp r o b l e m ( 1 1 ) ，( 1 , 2 ) a d m i t sau n i q u el o c a lc l a s s i c a ls o l u t i o nu ( z ，) i nc h a p t e rt h r e e ，t h eb l o w - u po ft h es o l u t i o nt ot h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) a r ep r o v e db y m e a n so ft h ec o n c a v i t ym e t h o d a n dw eg i v ea ne x a m p l e t h em a i nr e s u l t s a r et h e f o l l o w i n g ： t h e o r e m4s u p p o s et h a tn o h 2 ( 舻) ，u l l z ( r 3 ) ，g ( a u o ) l 1 ( r 3 ) a n dt h e r e e x i s t sac o n s t a n t 口 0s u c ht h a t s g ( s ) 2 ( 2 印+ 1 ) c ( s ) + 2 f l k t s 2 ， v s r ， w h e r ea ( s ) = 搭g ( r ) d t t h e nt h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n ( z ，t ) o rt h ec l a s s i c a ls o l u t i o n “( z ，t ) o ft h ec a u c h y p r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) b l o w s - u pi nf i n i t et i m ei fo n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( 3 ) e ( o ) 0 ，局u o u l d z 0a n d 4 伊( 局u o u l d z ) 2 4 f 1 2 e ( 0 ) l l u o l l = - 0 l 2 圳“o | | 2 | | u 0 1 1 2 - k ；l l a u o 4 k 2 f 1 2 e ( o ) l l u o 悒 w h e r ee ( o ) = | 1 2 + k l l l a u 0 1 | 2 + 2 kg ( a n o ) d x i nt h ef o u r t h c h a p t e r ，w ew i l ld i s c u s st h ef o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e mf o rb qm o d e l e q u a t i o n 乜“一乜z z 盯z z “，i “脚e z 。+ m 。m = ，( 髓) 。、茁r ，f 0 ，f 5 ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ， 乱l ( z ，0 ) = 札1 ( 卫) ，z j r ， ( 6 ) w h e r eu ( x ，t ) d e n o t e st h eu n k n o w nf i m c t i o n ，“ 0 ，( 7 ) u ( z ，0 ) = 毋( z ) ，v t ( z ，0 ) = 妒( 。) ，x r w ef i r s tc o n s i d e rt h ef o l l o w i n ga u x i l i a r yp r o b l e m ( 8 ) ”f 一础z z t k 廿p t k z 。+ 剐。z z 。“= ，( 即z ) # ，x r ，t 0 ，( 9 ) u ( z ，0 ) = ( z ) ，v t ( 。，0 ) = 妒( z ) ，z r ( 1 0 ) f o 。t h i 8p u r p o s e ，w ef i r s tp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h eg l o b a g e n e r a j i z e d 8 0 l u t i o na n dt h eg l o h a lc l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o ft h e e q u a t i o n ( 9 ) 扛+ 2 d - ) = ( z ，t ) ，t 0 ， ( 1 1 ) 即( z ，o ) = 咖( z ) ，u c ( z ，o ) = 妒( z ) ， z r ( 1 2 ) m o r e o v e r w ec a ng e tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o na n d t h eg l o b a lc l a s 8 i e a ls o l i l t i 。no ft h ep r o b l e m ( 9 ) ，( 1 0 ) b yt h ec h a n g e 扛，t ) = ( z ，f ) ， u o ( 茁) = 砂( 。) ，“1 ( z ) = 忆( z ) ，w ec a np r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a l g e n e r a l i z e ds o l u t i o na n dt h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) t h em a i n r e s u l t st l f f et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m5s u p p o s et h a tf c 。+ 1 ( r ) a n dt h e r ei sac o n s t a n tc o 茎0 ，s u c ht h a t ，7 0 ) 2c of o ra n ys r ，西，砂h + 2 ( q ) ( 七0i san a t u r a ln u m b e r ) i fk 2 ，t h e n c a u c h yp r o b l e m ( 9 ) ，( 1 1 ) ，( 1 2 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o n 口( z ，如w h i c h h a sc o n t i n u o u sd e r i v a t i v e sv x wx ，) ( o 茎s k ，r = 0 ，1 ，2 ) a n dg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e s 地。r ，) ( o s k + 2 ，r = 0 ，l ，2 ，3 ) i f k 4 ，t h e c a u c h yp r o b l e m ( 9 ) ，( 1 1 ) ，( 1 2 ) a d m i t s au n i q u eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o nv ( x ，t ) ，w h i c hh a sc o n t i n u o u sd e r i v a t i v e s m ( z ，) ( o s ，r = 0 ，l ，2 ) a n dg e n e r a l i z e dd e r i v u t i v e s 础一r ( 茁，t ) ( o s 墨七十2 ，r = o ，l ，2 ，3 ) t h e o r e m6s u p p o s et h a tf c 。+ 1 f j r ) a n dt h e r ei sac o n s t a n tc o 0 ，s u c ht h a t ，7s ) c of o ra n ys r ，妒，妒h 。+ 2 ( 尺) i f k 2 ，t h e nc a u c h yp r o b l e m ( 9 ) ，( 1 0 ) a d m i t s a u n i q u e g l o b a lg e n e r a h z e ds o l u t i o nv ( x ，) ，w h i c hh a sc o n t i n u o u s d e r i v a t i v e s 。t r ( ，) ( o 曼 s 茎k ，r = 0 ，l ，2 ) a n dg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e s 。t r ( z ，) ( 0 8 k + 2 ，r = 0 ，1 ，2 ，3 ) ，i f k 4 ，t h ec a u c h yp r o b l e m ( 9 ) ，( 1 0 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o nv ( x ，) ，w h i c h h a sc o n t i n u o u sd e r i v a t i v e sv x s t ( z ，) ( 0 s k r = 0 ，1 ，2 ) a n dg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e s v 扛，t ) ( o s k + 2 ，r = 0 ，1 ，2 ，3 ) t h e o r e m7s u p p o s et h a tf c “+ 1 ( r ) a n dt h e r ei sac o n s t a n tc o 墨0 ，s u c ht h a t ，( s ) c of o ra n ys r ，1 5 0 ( z ) ，札l ) h k + l ( r ) i fk 3 ，t h e nc a u c h yp r o b l e m ( 5 ) ， ( 6 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu ( x ，) ，w h i c hh a sc o n t i n u o u sd e r i v a t i v e s 札。a 扩( z ，) ( o 8 盘一1 ，r = 0 ，1 ，2 ) a n dg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e su 。，f r ( 茹，t ) ( oss k + 1 ，r = o ，1 ，2 ，3 ) i fk25 ，t h ec a u c h yp r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a lc l a s s i c a l s o l u t i o nu ( x ，) ，w h i c hh a sc o n t i n u o u sd e r i v a t i v e su x a t r ( e ) ( o s 一1 ，r = 0 ，1 ，2 ) a n d g e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e s 姐矿扩( 茁，) ( o s 曼k + 1 ，r = 0 ，1 ，2 ，3 ) i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ef i r s tp r o v et h eb l o w - u po ft h es o l u t i o nt ot h ep r o b l e m ( 9 ) ， ( i o ) t h e nw ec a l lg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o w - u p o ft h es o l u t i o nt ot h ec a u c h y p r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) i nf i n i t et i m e t h em a i nr e s u l t sa l - et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m8 s u p p o s et h a t0 ，砂h 2 ( r ) ，c ( r ) ，f ( s ) = j i ，( 口) 曲，f ( s ) l 1 ( r ) ，( s ) 5 ( 4 卢+ 2 ) f ( s ) + 2 卢s 2 ， v s r ， u ( z ，t ) o ft h ec a u c h yp r o b l e m ( 9 ) ，( 1 0 ) b l o w s u pi nf i n i t et i m ei fo n eo ft h ef o l l o w i n g ( 2 ) e ( 0 ) = 0 ，( ，妒) 十( 毋。，妒。) 十( b ，妒。) o ； ( 3 ) e ( o ) 0 ，( 也妒) + ( 九，也) + ( 西。讧。) e ( o ) 圳2 - i - l | 拓| | 2 + j | 。恫 0 ， e ( o ) ：| l 妒1 1 2 + i i 札酽+ i i 币。l i 。一p i l 币。| 1 2 + l l 妒。l l z + 2 ，。f ( 曲。) d x t h e o r e m9 s u p p o s et h a tu o ，叭h 1 ( r ) ，g ( j r ) ，f ( s ) = 片( v ) d y ，f ( 8 ) l 1 ( r ) f ( s ) s ( 4 f l + 2 ) f ( s ) + 2 f l s 2 ，v s r ， w h e r e 卢 0i sac o n s t a n t t h e nt h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu ( x t 1o rt h ec l a s s i c a ls o l u t i o n u ( x ，t ) o ft h ec a u c h yp r o b l e m ( 5 ) ，( 6 ) b l o w s - u pi nf i n i t et i m ei fo n eo ft h ef o l l o w i n gc o i l - ，_ o or x 一2 ( 2 ) e ( o ) = 0 ，( “o ( f ) 吨f “f f y ) ) d x + ( u o ，1 ) + ( o 。，l 。) o ； 一 。t - o o ”。r - c o ”栌 ( 3 ) e ( o ) 0 ，( u o ( y ) d y u , ( y ) d y ) d x + ( o ，“1 ) + ( ，) j 一0 0j j 一 产( 0 ) l 仁( 纵枷驴如刊“川。圳圳。 0 ， w h e r e 露( o ) = 仁( t m ( ) d ) 2 d z + 蚓1 2 + 1 z 一芦n 卅2 厂f ( 。) 如， 面( t ) = 仁( 仁比t ) d y ) 。+ i i 一讹n i i 。+ i 产f ( 。) 如j o 。j o o ，一 、7 k e yw o r d s ：d a m p e dn o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n ；b qm o d e le q u a t i o n ；c a u c h y p r o b l e m ；l o c a ls o l u t i o n ；g l o b a ls o l u t i o n ；b l o w - u po fs o l u t i o n s 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者；速豸 2 0 0 5 年4 月7 日 第一章引言 本文在第二章研究下列具有阻尼项的非线性双曲型方程的c a u c h y 问题 “+ 岛v 4 + k 2 v 4 u f 十v 2 9 t v 2 ”) = 0 ， 扛，t ) 兄3 ( 0 ，7 1 ) ，( 1 1 ) ( z ，0 ) = u o ( 茁) ，u t ( z ，0 ) = 让l ( z ) ， z 舒， ( 1 2 ) 的局部广义解和局部古典解的存在性和唯一性，其中u ( z ，t ) 为未知函数，k l 和 岛为正常数，v 为梯度算子，v z = 为l a p l a c e 算子，v 4 = x 2 为双调和算 子，g ( s ) 为给定的非线性函数，“。( z ) 和1 1 ( z ) 为已知的初始函数，下标t 表示 对t 求偏导数方程( 1 1 ) 描述的是n 维具有阻尼的非线性薄膜的振动( 见【1 】) 1 1 中作者证明了具有初边值条件 “一o ，面o u = o ， 如，) a n r + ( r + = 【0 ，o 。) ) ， ( 1 3 ) u ( x ，0 ) = o ( z ) ，u ( t ，0 ) = l ( t ) ，z q ，( 1 4 ) 的方程( 1 1 ) 的弱解的存在性和唯一性，其中n 为舻中具有光滑边界a q 的有界 区域，”是a n 的外法线方向 2 中给出了问题( 1 1 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) n 维情形的能量 衰减估计 3 】给出了问题( 1 1 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) n 维情形解爆破的充分条件在 4 , 5 中，作者证明了问题( 1 f 1 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) ( 这里方程为蛳+ 毛”。- t - k 2 w 一。+ 咖，。) 。= ，描述的是非线性梁的振动) 一维情形存在唯一弱解 6 j 证明了问题( 1 1 ) 一 维情形下三种不同的初边值问题整体广义解和整体古典解的存在唯一性，并给 出解爆破的充分条件。 c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 一维情形的整体广义解和整体 古典解的存在唯一性在 7 1 中已被证明，但并没有讨论解的爆破 为了研究c a u c h y 问题( 11 ) ，( 1 2 ) ，我们先证明方程( 1 1 ) 的周期边界问题 u ( x ，) = u ( x l + 2 d ，2 t 2 ，x 3 ) = u ( x l ，z 2 + 2 d ，x 3 ) = “0 l ，z 2 ，3 ：3 + 2 d ) ， u ( 。，0 ) = u o ( x ) ，啦( z ，0 ) = u l ( z ) ， 的局部广义解和局部古典解的存在唯一性，进而利用周期边值问题序列得到 c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 局部广义解和局部古典解的存在唯一性 破 在第三章中利用凸性引理【8 ，9 ，i o i 证明问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解在有限时刻爆 第四章研究下列b q 型方程的c a u c h y 问题 u “一t i 一“：2 “一芦札。+ u 扰。此一，( u ) 牡，z r ， 0 u ( z ，0 ) = t o ( z ) ，毗( z ，0 ) = 1 ( 。) ，x r ， 其中“( z ，) 为未知函数，芦 0 ，( 1 7 ) ( 。，0 ) 一( z ) ，v t ( x ，0 ) = 妒( z ) ，。r( 1 8 ) 为此，先证明下列辅助问题 u “一v z z v x z “一“。+ 7 ) x x x x “= ，( ) # ，x r ，t 0 ，( 1 9 ) u ( z ，