（大地测量学与测量工程专业论文）基于时间序列分析的地铁基坑变形监测数据处理方法研究.pdf

， f ，；，习_ ad i s s e r t a t i o ni ng e o d e t i cs u r v e y i n ga n ds u r v e y i n ge n g i n e e r i n g s t u d y o nd e f o r m a t i o nm o n i t o rd a t ap r o c e s s i n gm e t h o d a b o u tt h ef o u n d a t i o np i tb a s e do nt i m es e r i e sa n a l y s i s b yz h o uh o n g b i n s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rl i uc u i z h i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 8 ir【 j ： 0 1墨r=r、 ， 。尹本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究 1 成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果， t 也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所ii 做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名f 司荔嘲 ：。i ! i期：妒乎么c ) 2“艿q：9 一 一 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规 定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年d 学位论文作者签名t 氮栩可 签字f 1 期：洲- 么d 8 导师签名：扫1 琴皂 签字同期：瑚参碣 i i 一 | r l 东北人学硕i j 学位论文 基于时间序列分析的地铁基坑变形监测数据处 摘要 地下铁路是解决交通拥挤的办法。为确保地下地铁施工的安全性，对地铁施 工大型基坑进行长期和系统监测是非常必要和重要的，而变形监测的最终目的是 预测，即利用长期积累的观测资料来归纳推演其变化规律，对观测物的未来形态 做出及时有效的分析和预报。对大型基坑变形观测数据的处理一直是各国专家学 者研究的重点。近年来，预测地铁施工的大型基坑变形方面应用资料比较少见， 本文在这方面作了一些研究性工作。 本文围绕地铁站大型基坑开挖出现形变情况，为保证施工的安全，基于时间 序列分析手段，来预测基坑的形变量所产生的问题。做了以下几方面研究工作： ( 1 ) 定阶合理性判断； ( 2 ) 模型的准确性及模型检验； ( 3 ) 预测预报精度的分析； ( 4 ) 时间序列分析与传统方法比较。 主要取得以下几方面成果： ( 1 ) 时间序列分析基于概率统计学的相关函数，通过繁琐的线型最小二乘 法迭代计算来实现；目前其理论和应用大都仅考虑一个因素即一维时间序列分 析，还不能解决问题，需要综合考虑多个因素的实际问题，模型拓展为多维时间 序列乡撕； ( 2 ) 阶数确定、常规f 检验法、多维a r m a 序列预报方法以及参数定阶的 彳，c 准则和b i c 准则： ( 3 ) 时问序列分析为动态模型，比传统模型更真实的预测数据。 本论文关于沈阳地铁一号线黎明段大型基坑的变形监测观测数据建模与变 形预报的研究成果对于测量形变监测的预测预报具有实际应用意义。 报。 关键词：动态数据建模；多维a r m a 序列：a i c 准则与b i c 准则；预测预 i 一 ， 、 、 含 i 东 t h es u b w a yi so n eo ft h eb e t t e rm e a n st os o l v et h et r a f f i cc o n g e s t i o n i no r d e rt og u a r a n t e et h ec o n s t r u c t i o ns e c u r i t yd u r i n gb u i l d i n gt h es u b w a y ，i ti s v e r ye s s e n t i a la n di m p o r t a n tt h a tw ec a r r i e sf o rl o n g - t e r ma n ds y s t e mt om o n i t o r d e f o r m a t i o nt h e s u b w a yc o n s t r u c t i o nl a r g e s c a l e e x c a v a t e d p i t ，t h e m o n i t o r d e f o r m a t i o nf i n a lg o a lj u s ti st ok n o wi t sc h a n g e sr u l ea n df i n dt h ef u t u r ed e f o r m a t i o n t om a k e st h ep r o m p te f f e c t i v ea n a l y s i sa n dt h ef o r e c a s tb yl o n g - t e r ma c c u m u l a t i o n s o b s e r v e dd a t a i th a sb e e nt h ek e yt h a tt h ee x p e r t ss t u d yt ok n o wt h ed e f o r m a t i o nr u l e a b o u tt h el a r g e - s c a l ee x c a v a t e dp i t b yb u i l d i n gf o u n d a t i o nm o n i t o r i n go b s e r v a t i o n d a t ap r o c e s s i n gi nt h ew o r l d i nr e c e n ty e a r s ，i ti sq u i t er a r ef o rb u i l d i n gf o u n d a t i o n d e f o r m a t i o na s p e c tt h a tt h ea p p l i c a t i o nm a t e r i a lf o r e c a s ts u b w a ye x c a v a t e dc o n s t r u c t l a r g e s c a l ep i t t h ep a p e rs t u d i e ss o m ed e v e l o p i n gw o r ko nt h i sa s p e c t i no r d e rt og u a r a n t e eb u i l d i n gs e c u r i t y ，t h ep a p e rr e s e a r c h e st h ed e f o r m a t i o n m o n i t o rd a t ab a s e do nt h et i m e s e r i e sa n a l y s i sm e t h o ds u r r o u n d e db u i l d i n gs u b w a y s t a t i o n l a r g e - s c a l es t r u c t u r e e x c a v a t i o np i t ，a n dt h e nf o r e c a s t sp r o b l e m sa b o u t b u i l d i n gf o u n d a t i o nt h ed e f o r m a t i o nq u a n t i t y ，d e v e l o p st h ef o l l o w i n gi n v e s t i g a t i o n w o r k s ： ( 1 ) i d e n t i f i c a t i o nt h er a t i o n a l i t yj u d g m e n t ( 2 ) m o d e la c c u r a c ya n a l y s i sa n ds t a t i s t i c st e s t ( 3 ) f o r e c a s tp r e c i s i o na n a l y s i s ( 4 ) t h et i m e s e r i e sa n a l y s i sa n dt h ec o n v e n t i o n a lm e t h o dc o m p a r e t h ep a p e rm a i n l ym a k e s f o l l o w i n gp r o g r e s s e s ： ( 1 ) t h et i m e s e r i e sa n a l y s i sb e c o m e sc o m et r u et h r o u g ht h el i n e a rl e a s ts q u a r e s m e t h o di t e r a t i v ec o m p u t a t i o nb a s e do nt h ec o r r e l a t i o nf u n c t i o na b o u tp r o b a b i l i t y v 东北大学硕士学位论文a b s tr a c t s t a t i s t i c i t s t h e o r ya n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o no n l y c o n s i d e raf a c t o r n a m e l y o n e _ d i m e n s i o nt i m es e r i e sa n a l y s i sa tp r e s e n t ，i tc a nn o t s o l v et h ea c t u a lp r o b l e m s ， w en e e dt h i n ko v e rm u l t i - f a c t o ra n da c t u a lp r o b l e m s ，a n di t sm o d e ld e v e l o p st h e m u l t i - d i m e n s i o n a lt i m e - s e r i e sa n a l y s i s ( 2 ) t h et i m e - s e r i e sa n a l y s i s m o d e li d e n t i f i c a t i o n 、t h ec o n v e n t i o n a lf - t e s t m e t h o d 、t h em u l t i d i m e n s i o n a la r m am o d e lf o r e c a s tm e t h o da n dt h ep a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o nb yt h ea i cc r i t e r i o na n dt h eb i cc r i t e r i o n ； ( 3 ) t h et i m e - s e r i e sa n a l y s i si sad y n a m i cm o d e l ，i th a sm o r ea c t u a ld a t ac o m p a r e d t oc o n v e n t i o n a lm o d e l t h ei n v e s t i g a t i o n p r o d u c t i o n o f m o d e l i n g a n d p r e d i c t i o nl a r g e s c a l ep i t d e f o r m a t i o nm o n i t o rl i m i n gs e g m e n ti ns h e n y a n gc i t yh a si m p o r t a n tm e a n i n g sa b o u t f o r e c a s t i n gs u r v e yd e f o r m a t i o nm o n i t o r k e yw o r d s ：d y n a m i cd a t am o d e l i n g ；m u l t i - d i m e n s i o na r m as e r i e s ；a i c c r i t e r i o na n dt h eb i c c r i t e r i o n ；f o r e c a s t i n g v l j i l 东北大学硕士学位论文 目录 独创性声明i 摘要o i i i a b s t r a c t ：1 i - 厂 目录。i 第1 章绪论1 1 1 选题依据1 1 2 时间序列分析国内外研究现状2 1 3 论文主要研究内容：。4 第2 章时间序列分析的基本原理9 2 1 时间序列的概念9 2 1 1 平稳时间序列。1 0 2 1 2 时间序列数字特征1 0 2 2 常用的时间序列的模型。1 2 2 2 1 自回归, 4 r ( p ) 模型1 2 2 2 2 滑动平均m a ( 口) 模型1 3 2 2 3 自回归滑动平均, 4 r m a ( p ，q ) 模型1 5 2 3 时间序列的相关特性1 6 2 3 1 时序模型自相关函数的性质1 6 2 3 2 时序模型的偏相关函数的性质1 6 2 4 时间序列的模型识别与参数估计1 7 2 4 1 时间序列模型识别1 8 2 4 2 时问序列参数估计1 9 2 5 模型考核与均值检验2 1 2 5 i 模型考核一自相关函数检验法2 1 v i i 东北大学硕士学位论文 目 录 2 5 2 均值的精度检验2 2 第3 章多维时间序n a r 模型的建模与预报2 5 3 1 多维a r 模型参数估计的最d - - 乘法2 5 3 1 1 多维a r 模型的概念2 5 3 1 2 多维a r 模型参数估计的最小二乘法2 6 3 2 多维a r 模型参数估计的k a l m a n 滤波算法。2 7 3 2 1 多维a r 模型参数估计的k a l m a n 滤波算法2 8 3 2 2 加入衰减因子的k a l m a n 滤波算法2 9 3 3 带色噪声的a r 模型参数估计的最d x - 乘法3 0 3 4 多维a r 模型的检验定阶3 3 3 4 1 多维a r 模型的f 检验定阶一3 4 3 4 2 a i c 与b i c 定阶与检验3 5 3 4 3 快速( 两步法) f 检验定阶一3 9 3 5 多维a r 序列的预报及其精度分析4 0 3 5 1 多维a r 序列的平稳线性最小方差预报方法4 0 3 5 2 多维a r 序列预报的精度分析4 1 第4 章多维a r m a 模型建模4 3 4 1 时间序列分析数据预处理4 3 4 2 多维a r m a 模型4 4 4 3 多维a r m a 模型的长自回归白噪化建模4 5 4 3 1 多维a r m a 参数估计的最小二乘法4 5 4 3 2 多维a r m a 模型长自回归白噪化建模步骤4 6 4 4 多维a r m a 模型的反馈线性估计法建模4 7 第5 章地铁站黎明段变形监测数据分析5 1 5 1 沈阳地铁黎明段工程5 1 5 1 1 工程概况5 1 5 1 2 监测说明一5 2 5 2 算例及数据分析5 2 v i l i 泠 i i x j 和 r 对时间序列进行数据处理己成为当前研究的焦点之一。当前对时间序列数据处理 的研究大部分集中在相似性研究方面，针对模式发现和规则发现的研究内容比较 少，而且，这些研究很少考虑时间序列自身的复杂性。另外，对于时间序列数据 处理过程中不确定性的处理尚待探训1 。2 1 。 同样，在大地测量与测量工程中的多期变形观测结果也是一串按时间顺序排 列的随机数据序列。注意到变形观测数据具有“时间序列分析”方法来处理变形 观测数据，实现对动态数据的分析【3 一钉。“时间序列分析 应用概率统计方法以 平稳数据序列为重点研究对象，它包括有关时域函数模型的辨识与检验，参数和 非参数的估计，随即过程数据的内插、平滑和预报等内容。它所提供的一系列具 有理论根据的动态数据处理方法，帮助人们科学地研究分析动态数据，从而由表 及里地掌握客观现象的本质和内在的规律，达到进一步认识事物、预测未来或自 动控制的目的【铀j 。 时间序列分析着重研究具有随机性的动态数据，其早期工作是借助于傅罩叶 分析，从频率的角度揭示数据的规律性，即所谓的频域分析方法i7 1 。由于快速傅 罩叶变换的产生，使得频域分析方法长期以来经久不衰。此外借助与时间推移变 量之间的相关结构所提供的信息进行研究，即所谓的时域分析方法，也是时问序 列分析研究的有力工具。作为时间序列分析的两大部分，“时域分析”是在时间 域上对动态数据的各种相关数据、统计规律进行分析研究，建立合适的数据模型， 进行预报和控制。同时，这两种分析方法又是相通和相辅相成的i & 引。 近一二十年来，n q f j 序列分析无论在理论上还是在应用方面，都有迅速的发 1 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 展，成为概率统计学的一个内容十分丰富的重要分支。作为一种现代数据处理方 法，时间序列分析在系统辨识与系统分析中占有十分显著的位置。它所提供的动 态数据处理处理方法在天文、气象、地震、航天航空、生物医学、工程技术、工 业自动化、经济管理以及军事科学等领域都得到了广泛的应用，特别是进入信息 时代后，随着计算机的高度发展与普及，时间序列分析方法越来越显示出它的重 要性和科学性，从而为更多领域的科技工作者所关注【n 1 1 l 。随着科学技术与工业 化大生产的发展、以及人口的急剧增长，必然要求加速物质和能源的生产，导致 各种工程规模的越来越大，工程费用越来越高，工程要求也越来越精密。而一旦 由于某种形变引起的工程灾害，其所造成的损失程度也越来越严重，因此，准确 地了解这种变形显得越来越重要。同时，人类为了实现预测和防治工程灾害的目 的，也促使变形测量的理论得到了快速发展。对于变形监测所获得的动态数据， 应用时间序列分析更有其强大的优势【1 2 。1 3 1 。 几何变形分析研究已经得到较为完善之外在于用常规地面测量技术进行周 期性监测的静态模型，但它考虑的仅仅是变形体在不同观测时刻的空间状态，并 没有很好地建立各个状态间的联系，更谈不上变形监测自动化系统的变形分析研 究。事实上，变形体在不同状态之间是具有关联性的。因此，本文对时序观测数 据的动态模型研究，变形的时间序列分析方法建模；基于数字信号的处理的数字 滤波技术分离时效分量；变形体的卡尔曼滤波模型；用，滤波快速定阶法结合 a i c 准则及b i c 准则综合定阶提高了模型的准确性；同时对预测数据精度有了很 大的提高，从传统的一维时间序列分析拓展为多维的时间序列分析，并深刻的研 究了时间序列的相关性。本文针对地铁站铁黎明段的预测给出具有研究价值的解 决方法。 1 2 时间序列分析国内外研究现状 时间序列分析的研究，上世纪末己受到重视，舒斯塔在1 8 9 8 年提出了用周 期土来研究观测数据系列中潜在的周期性问题，在二十世纪三十年代就有人提出 了自回归模型，但在这方面的理论及应用的发展比较缓慢。四十年代由于电子工 业和平稳过程谱理论的发展，尤其是维纳用谱理论进行信号滤波分析，成功地解 决了军事上提出的问题，而且谱方法特别容易用电网络来实现，从此谱分析得到 了飞速的发展，在五十年代就达到了一定的成熟阶段1 1 4 f 。 一2 ， 曾 东北大学硕士学位论文 六十年代高速电子技术的突飞 研究更加受到重视并且推广到 r e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g e ) 模型，得到了很多从数据出发使用电子计算机实现建 立模型的方法。电子计算技术的进步同样为谱分析提供了深厚的基础，快速傅立 叶变换( f f t ) 的出现，谱窗方法及其他谱估计方法，把已有的谱分析理论提高 到更完善更实用的阶段【1 5 。1 6 l 。 1 9 7 0 年g e p b o x 和g m j e n k i n s 发表的专著“时间序列分析：预报与控制 ， 对平稳时间序列数据，全面论述了自回归滑动平均模型，提出了一套完整的建模、 估计、检验、预报和控制方法，此后，这一领域吸引了大批科技人员从事理论和 方法上的进一步研究【1 7 - 1 剐。 1 9 7 1 年日本的赤池提出了一种辨识a r 模型阶数的准则，称为最小最终预报 误差准则一最小f p e 准则( c r i t e r i o no ff i n a lp r e d i c t i o ne r r o r ) ，它以使一步预报 误差达到最小为准则来识别模型的阶数，改变了利用样本的自相关函数和偏相关 函数的截尾性来分别确定m a ( a u t o r e g r e s s i v e ) 模型阶数这一计算繁琐、受人 为因素影响较大的传统做法。但是f p e 准则需要事先确定一个不小于模型真实 阶数p 。的p ，这在逻辑上不合理，即使做到了，若p 比p 。大很多，也很能不经 济。通常的做法是，凭经验使用样本长度的1 1 0 到1 5 之间的整数【1 9 之1 1 。 1 9 7 3 年赤池提出了用于a r m a 模型定阶的a c 准则( a k a i k ei n f o r m a t i o n c r i t e r i o n ) ，对a r 模型而言，a i c 准则与f p e 准则渐进等价。a i c 准则在实际 应用中收到了良好的效果，但在理论上有一个缺点，1 9 7 6 年日本的柴田证明了 用a i c 准则得到的a r 模型的阶数不是其真实阶数的相容估计。后来赤池从b a y e s 观点出发，又提出了一个新的定阶准则，称之为b i c ( b a y e si n f o r m a t i o nc r i t e r i o n ) 准则。此外，h a n n a n 和r i s s a n e n 提出了a r m a 模型定阶的矽准则。1 9 7 9 年h a n n a n 和r i s s a n e n 证明了用b i c 准则和矽准则得到的a r 模型的阶数是与其真实阶数的 相容估计。1 9 8 0 年h a n n a n 又证明了用这两个准则所得到的a r m a 模型阶数的估 值是模型真实阶数的相容估计。但是b i c 准则或准则的严重缺点是计算量大， 而且会出现迭代不能进行下去的情况，改缺陷由h a n n a n 和r i s s a n e n 提出，并经 王寿仁和陈兆国改进的线性定阶法克服了这一不足1 2 2 - 2 4 1 。 近十年来，随着基本理论，尤其是线性序列理论的进一步完善，a r m a 模型 的辨识、参数估计方法及理论丌始朝着多维和随机场方向推广，非线性、非平稳 的理论、方法和模型的研究一逐渐引起人们的注意。将稳健估计的思想和方法， 3 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 融入时间序列分析中，来解决实际序列中含有干扰异常值、数据观测误差不服从 通常所假定的j 下态分布问题，改进现有的时间序列分析中的建模、估计、检验及 预报。可以预言：随着新理论、新方法的引进，以及计算机技术的发展，时间序 列分析向着现实世界迈进的步法会越来越快p j 。 今天，时间序列分析在各种领域中的应用已经相当广泛。它在我国的世界时 服务中也得到了成功的应用。在地球自转参数的预报、地球自转的短周期潮汐波 动、极移的强德勒摆动等天文地球动力学领域里开展了很多工作，并取得了较好 的成果。到本世纪8 0 年代以后，随着信号处理技术的发展，时间序列分析方法 不仅在理论上更趋完善，而且在参数估计算法、定阶方法及建模过程等方面都得 到了许多改进，逐渐成为分析随机数据序列不可缺少的有效工具之一【2 6 】。这类 方法将时间序列看成一个随机过程，是一种概率统计的方法。传统的时间序列分 析方法本质上都是线性的，都以简单的迭加原理为前提。在实际应用中，人们往 往从时间序列中提取出趋势项、周期项和随机项，分别加以处理之后叠加在一起 进行预报。这样做，本质上仍然是线性的。汤家豪提出的“门限自回归”模型开 始闯入了非线性的领域，但却不是从动力学出发的，与当代的非线性科学还不完 全是一回事【2 7 1 。在太阳物理学中，我国于1 9 8 4 年开始，采用时间序列分析方法 进行太阳活动中期预报( 月报和半月报) ，从而用数值预报取代了经验预报。在 测绘界，徐培亮用时间序列分析法作了大坝变形预报；张兴飞、吴定洪、陈德豪 等则综合运用了回归分析与时间序列分析方法，建立了变形观测数据处理与变形 报告的动态模型 2 8 - 3 1 1 。 1 3 论文主要研究内容 对于回归模型，由于偶然误差的影响而具有离散性，根据实测数据绘制的变 形监测数据随时问而变化的曲线有时出现上下波动，不规则，难以进行分析。用 数学方法对净空收敛数据进行处理，找出被测物理量随时间变化的规律，并对未 来数据进行预测。 时间序列的平稳性是建模的重要前提，因此对经信息提取后的残差序列进行 平稳化处理，用一阶简单差分来处理这些数据。观测值经过预处理后，就产生了 平稳的、标准化的新序列，这时，需对此新序列进行相关分析，以便进一步判断 用什么样的模式去拟合它们。相关分析计算出序列的样本自相关函数与样本的偏 4 妒 0 加 图1 1 论文技术路线图 f i g 1 1t h et e c h n o l o g el i n eo fp a p e r 传统的时间序列建模方法是基于a r m a 模型，一般采用非线性最小二乘法 进行迭代计算。根据观测样本的自相关函数的“截尾性”、偏相关函数的“拖尾 性”进行模型辨识与初定阶；但在实际的数据计算中因为尾数保留误差，其“截 尾性”或“拖尾性”往往不能直观地表现出来，需要借助于统计学上的假设检验 来判断。因此，传统方法计算繁琐、工作量大；另外，要求比较精确地计算出初 5 第1 章绪论 参数，否则容易使迭代计算不收敛。 由于a r 模型的定阶、参数估计都远比a r m a 模型简单，因此，有一种观点 主张尽可能采用纯自回归模型来描述实际的观测序列，即使真实模型是m a 或 a r m a 序列，也可以用高阶( 长自回归) 模型来近似描述。相关文献对此思想的 可靠性进行了证明，也证明了基于任何可逆的a r m a 模型可用阶数充分大的a r 模型逼近到任意精度【9 , 1 0 】。 目前，大部分文献都是基于一个因素即一维的时间序列进行讨论，但对于许 多实际问题来说，仅考虑一个因素往往是不够的，有时多个因素甚至是不可分割 的( 如一个点的三位坐标) ，这时必须综合考虑多个因素的影响，才能完整地认 识客观事物，做出进一步的分析和控制。 以上述背景为前提，本文主要完成了一下研究工作： 1 研究多维a r 模型的建模方法。基于最t 、- - 乘原理进行参数估计与f 检验 进行模型定阶，并提出了快速定阶的f 检验法，不涉及非线性估计，简便易行， 并与a i c 准则和b i c 准则结合定阶。 2 作为另外一种动态数据处理方法一勋l m 锄滤波在当前应用也非常广泛的， 本文研究了把k a l m a n 滤波应用于a r 模型的建模，使得参数估计过程称为一个 不断预测、修正的过程，不需要存贮大量的历史观测数据，而是直接根据新观测 值对原来的模型参数进行更正，得到新的模型参数。 3 在实际中，由于自然和人为的原因，当干扰噪声大到不可忽略时，在建模 过程中就必须考虑干扰噪声的影响。本文探讨了带有干扰噪声的多维a r 模型的 基于最小二乘原理的建模方法。 4 尽管用长自回归模型可以很好地逼近a r m a 模型，但是阶数应随样本增加 而增高，需要估计的参数也随之增多。为了充分利用自回归逼近的可靠性，并适 当控制被估计参数的个数。本文把近年来提出的一种“长自回归白噪化”a r m a 模型建模方法，扩展应用到多维时间序列建模中。 5 本文把基于控制理论中的反馈原理进行a r m a 序列建模的a r m a 模型的反 馈线形估计法应用到多维情况，该方法用线性估计代替非线性估计，避免了迭代 计算不收敛的麻烦，并大大减少了计算量。 6 精度评定是测量数据处理中非常重要的工作，本文探讨了多维a r m a 序列 预报的精度问题，给出了其精度评定公式，为时间序列模型预报可靠性的进一步 研究打下了坚实的基础。 6 一 矗 k 东北大学硕士学位论丈第1 章绪论 7 研究时自j 序列分析软件对沈阳地铁一号线黎明段2 0 0 6 年1 2 月一2 0 0 7 年7 月间平差后的观测数据进行计算进行预测，给出理想的建模标准，突破一维限制， 对大型基坑做出合理的分析，并给出准确的预测结果，有很好的参考价值。 目前，国际、国内对时间序列分析的研究已经越来越深入，基于一个因素即 一维的时间序列分析的原理和方法已经比较成熟，但是多维时间序列分析方面的 文献还不多见，而且大都沿用传统的复杂的相关分析的方法。由于最b - 乘原理 在测量数据处理中应用广泛，本文旨在应用最d - 乘法进行多维时间序列的时域 分析，使之能够满足实际问题的需要，而且线性估计也便于在计算机上程序实现 1 3 2 1 。 7 8 舢 东北大学硕士学位论文第2 章时间序列分析的基本原理 第2 章时间序列分析的基本原理 作为现代数据处理方法之一的时间序列分析是在上世纪2 0 年代后期出现 的，是一种动态数据处理方法。它通过对按时间顺序排列的、随时间变化且相互 关联的数据序列进行分析，找出反映事物随时间的变化规律，从而对数据变化趋 势做出正确的分析和预报。该方法已经广泛应用于气象、天文、水文、机械、。电 力、生物、经济、测绘等的各个领域1 3 3 1 。 “时间序列分析”所研究的对象，是一串随时间变化而又相互关联的数字序 列( 动态数据) 。由于各自的物理背景不同，他们包含的信息和呈现的规律也是 千变万化、错综复杂的。我们正是希望通过分析这些数据，达到认识事物、掌握 事物的目的。 本章介绍处理动态数据的参数化时域分析方法，它的主要手段是对各类型数 据，用相应的数据模型去近似描述。通过对于相应模型的研究分析可以更本质地 了解数据的内在结构和复杂特性，进一步达到由表及里、控制规律和预测未来的 目的。简单介绍时间序列分析方法近几年来被广泛使用的几种模型，并详细介绍 a r 、m a 以及a r m a 。时间序列通常具有两个特点：一是数据是按时间有序排列 的：二是前后时刻的数据一般具有某种程度的相关性。时序分析就是通过对时间 序列的数字特征进行分析，发现相邻序列分量值之间的相关程度，从而用最近的 序列分量去拟合下一个时刻的分量，以达到预报的目的1 3 2 j 。 2 1 时间序列的概念 简单的说，随机过程是一组随机变量，他们通常与时间有关。 定义：设r 是实数集合r 一( 一，0 0 ) 的子集，俗称足标集，对任意固定t e t ， y 是随机变量，t u t 的全体 y ；m t e t ) 是一个随机过程，记为 y ) 根据定义，对每一个固定的t ，y 是随机变量，当t 在集合丁中取变时，即为 得到的随机过程。 通常定义r 取为： ( 1 ) 丁一 - 0 0 ， ，t - o ， ( 2 ) t 一一2 ，一1 ，0 ，1 ，2 9 东北大学硕士学位论文第2 章时间序列分析的基本原理 丁取( 1 ) 的时候称为随机过程，这时对应时间是连续的情况。丁取( 2 ) 时 称为随机序列，这时对应丁是离散的情况。由于足标集往往表示时间，所以又称 为时间序列。 时间序列的最主要的特点是不同时刻序列相关，在不同时刻的随机变量不是 相互独立的。所以在很多应用领域中经常提到独立的时间和时间序列，按照严格 统计学定义的独立序列实际上也是时间序列的一种。习惯上人们提到时间序列是 指不独立的随机序列。 2 1 1 平稳时间序列 平稳时间序列有两种定义：严平稳时间序列和宽平稳时间序列。 严平稳时间序列：如果时间序列中的所有分量中任意时间段内的珂维分量的 分布函数只与时间延迟f 有关，并且当f o 时保持不变，则该序列称为严平稳时 间序列。 宽平稳时间序列：如果该序列的均值函数及方差函数为常数，且其协方差函 数是时间间隔f 的单变量函数，则该序列称为宽平稳时间序列。本文只研究宽平 稳时间序列。 严平稳序列不一定是宽平稳随机序列，但是严平稳随机序列如果二阶矩有界 则一定是宽平稳随机序列。 宽平稳时间序列不一定是严平稳时间序列，但是宽平稳随机序列如果同时是 高斯过程则一定是严平稳随机序列。如果一个过程是高斯过程，因为正态分布只 由均值和协方差决定，所以此时宽平稳等价于严平稳。 2 1 2 时间序列数字特征 由于时间序列为离散的观测序列，它主要反映的是序列值随时问的变化关 系。因此，它的统计数字特征为一些参数及时刻f 的函数。常用的统计数字特征 有： ( 1 ) 均值函数( 数学期望) y 一个时间序列只( f 一1 ，2 ，n ) 的均值定义为： = e ( 咒西y = 万1 善n y ， ( 2 1 ) 一 妒 如 j - 东北大学硕士学位论文 第2 章时间序列分析的基本原理 ( 2 ) 自协方差函数 对于任意时刻f f ，t 对应序列观测量：y l ， 差为间隔的变量之间的协方差函数7 ，表示为： 凡薹 一) 一万 y ，令f f t f ，则这两时刻之 ( 2 2 ) ( 3 ) 自相关函数成 d i 丝 ( 2 3 ) 以i 巫 ( 2 。3 ) 当该序列均值歹。o 时，自协方差函数就是自相关函数。 ( 4 ) 偏相关函数 自相关函数的截尾性是m a 序列特有的标志，而拖尾性是a r 和a r m a 序列 共有的特性。自然地，会产生如下的问题：有没有某种参数表征体现出a r 独有 特性，把a r 与删序列区分开来，可以通过偏相关函数来区分彳r a r m a 函数。 定义： 设 y ) 为平稳、零均值序列，考虑由y 1 ，y ：，y 一。对y 的线性最小方 差估计，即选择系数n ，j d ：，p 3 ，使得 妒2 - e ( y 一蠢铂y 一，) 。，。一2 再冉) ，；乏。p , ，p a y h 、 q 4 ) 达到极小。为达到目的，对驴的右端分别求偏导罢，j 。l ，2 ，七， o p 崎 并令其为零，便得到几应该满足的先行方程组 1 n , o k 1 n 1 以一l 矶1 p k 2 1 n p 2 ： p k 轨。 b 2 1 ： p k 由线性方程组求得的序列“，( 七- 1 ，2 ，) 称为 y ) 的偏相关函数。 ( 2 5 ) 第2 章时间序列分析的基本原理 u 的模型 从数理统计理解数学回归模型 咒一屈屯+ 色黾+ + 厉+ ，t = 1 , 2 ，n ( 2 - 6 ) 都很熟悉。它表示观测值y ，对于另一组观测值( x u ，x 2 t ，矗) 间的相关性。 模型将随机变量y ，分解成两部分，一部分是因变量( x u ，屯，) ，它们所代 表的是某些已知的可变化因素( 通常作为非随机因素) ，另一部分，则是残量， 它是由一些不可捉摸的因素及测量误差产生，通常可假定 ，) 是零均值的独立或 不相关。 对上述统计回归模型作适当的修改，就可以得到一类新的线性模型，用以描 述某些时间序列 ) ( 这时 e t ) 一般假定平稳、均值为零) 一= 仍一l + 仍一2 + + 驴p p + a ft = 1 , 2 ，n ( 2 - 7 ) c a ， 为白噪声序列 模型1 6 与1 7 形式非常相似，后者又是前者的直接推广，但是这两类模型 存在本质的区别。 在统计回归模型中，因变量( x u ，屯，x r ，) 是确定性因素， 只) 的统计性 质由 f 。) 来确定，因而所描述的数字序列彼此间是相互独立的，它们都是同一总 体y 的不同次独立随机抽样值。模型1 - 6 是种静态数据模型。而模型1 7 中，薯 和掣掣，同属于时间序列 ) ，是序列中不同时刻的随机变量，它们彼 此间有一定的相互关系，因此，模型1 7 是一种动态的数据模型。 2 2 1 自回归a r ( p ) 模型 对于自回归过程的定义有f 面两种表达方式。 h a m i l t o n ( 1 9 9 4 ) ，d i e b o l d ( 2 0 0 1 ) ，h a y a s h i ( 2 0 0 1 ) 中的定义是： y - - - - c + 砚y l + 仍y 一2 + + 驴p y p + ， ( 2 - 8 ) 其中e ( e ，) = 0 ，( 2 ) 一62 ，e ( t , t ，) ；0 ，t s 满足上面随机差分方程的随机过程 y ) 是p 阶自回归过程。 c h a n ( 2 0 0 2 ) ，b r o c k w e l la n dd a v i s ( 2 n d ) 中的定义是： y ) a r ( p ) ，如果 1 ， 一 心 气 东北大学硕士学位论文 ( 1 ) y ) 是零均值平稳随机过程 ( 2 ) y ) 满足随机差分方程 y - 吼y 一1 + 眈2 + + 驴p y p + e i 其中e ( e ，) z0 ，e ( s ，2 ) 一6 2 ，e ( e ，f ，) 一0 ，t s 如果 v 一) 是a r ( p ) 过程，那么 y ) 是均值为0 的a r ( p ) 过程。 这两类定义的区别是： ( 2 9 ) 前者要求满足随机差分方程y c + 晰。+ 耐+ + + 岛即可，而后者强调 要求一个平稳随机过程满足随机差分方程y - c + q 口y , 一。+ 仍y 一：+ + y p + 占。 对于a r ( p ) 过程平稳的条件： 满足随机方程k c + 竹y 一1 + 仍y 一2 + + 妒p y 一，+ ，的解分三种情况讨论： 情况1 ：酬 o 由于情况2 没有意义所以不做讨论，而情况3 是用未来的相关函数来预测未 来情况失去了预测的意义。 2 2 2 滑动平均m a ( q ) 模型 1 一阶滑动平均过程 定义 y 一4 - q + o e 卜l ( 2 1 0 ) 其中e ( e ，) 一0 ，( f 2 ) 一62 ，e ( e ，s ，) - 0 ，t s 称和p 为系数。满足方程y - + ，+ 如的随机过程为1 一阶滑动平均过 程。之所以叫滑动平均，从公式可以看到y 是噪声的加权平均，滑动平均之和是 1 。直观上看，只要知道t 和t 一1 时刻的情况，1 一阶滑动平均过程在t 时刻的随机 性质就确定了。 参数特征 1 3 r i 东北大学硕士学位论文 第2 章时间