（基础数学专业论文）关于一维dae的分类研究.pdf

摘要 微分代数方程( d a e ) 有着广泛的应用背景，电力系统通常便可以用微分 代数系统来刻划本文仿照奇点理论中利用正规形研究局部性质的方法，研究 了当一维d a e 系统代数部分中的g ( x ，y ) 取广+ 群卜1 ，) ，2 “1 + 艿，7 ，y 。+ 艿x ) 中 任何一个函数芽时( 其中研，i | ，以n 。；且刀2 ) ，系统在g t 一等价关系 下的分类 2 0 0 2 年清华大学的杨志辉在其博士论文中，给出了较低余维( c o d i n l 3 ) 情形下一维d a e 的分类，而本文研究的系统中不仅包含了杨志辉的某些系统， 还包含了许多代数部分余维大于3 的系统，例如本文中讨论的g ( z ，y ) 取少+ 出， y 5 + 却或y 2 + 舐5 时，g ( x ，y ) 的余维均为4 本文分为四章 在第一章中，简要地介绍了微分代数方程的主要研究内容背景及研究动 态，同时引入了本文的主要内容和意义 在第二章中，介绍了一些关于微分代数方程的基本概念和重要思想，包括 g t 一等价介绍了以后各章要用到的一些基本概念，包括d a e 系统关于奇点 理论、分支理论和微分代数系统的一些基本概念，以及g t 一等价的定义 第三、四章为本文的主要部分 在第三章中，我们讨论了g ( x ，y ) 分别为广+ 艿石2 卜1 、y 2 “1 + 掰( 其中脚，后， z n ) 的一维d a e 系统在g t 一等价关系下的等价系统 在第四章中，我们讨论了g “y ) 为y ( ) ，4 + 踟( 其中以n + ，且甩2 ) 的一 维d a e 系统在g t 一等价关系下的等价系统 关键词：奇点理论；d a e 系统；g t 一等价；分类 a b s t r a c t s y s t e m so fd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e s ) h a v ew i d ea p p l i c a t i o n b a c k g r o u n d s ，a n dp o w e rs y s t e m sc a nb ec h a r a c t e r i z e db yd a e s i nt h i sp a p e f ，t h e o n ed i m e n s i o nd a e sw i t ht h es p e c i a la l g e b r a i cp a r tw h i c hi so n eo fy “+ 罗r 。一， y 2 七+ 1 + 万7 a n dy ( 少”+ 万力( 册，七， ， 甩n +a n d 以2 ) i ss t u d i e db yu s i n gt h e c l a s s i f i c a t i o nt h e o r e ma n dt h en o mf o r mt h e o r yo ft h eb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t h t r i v i a ls o l u t i o n d r z h i - h u iy a n gr e s e a r c h e dt h ec l a s s i n c a t i o no ft h eo n ed i m e n s i o nd a e s w i t hl o w e rc o d i m e n s i o n ( c o d i m 3 ) u n d e rt h eg r - e q u i v a l e n c ei nh i sd o c t o r a l t h e s i s ，a n dt h i sp a p e rn o to n l yc o n t a i n ss o m eo fs y s t e m sw i t hl o w e rc o d i m e n s i o n ( c o d i m 3 ) b u ta l s oi n c l u d e san u m b e ro fs y s t e m sw i t hc o d i m e n s i o ng r e a t e rt h a n3 f o r e x a m p l e ， t h ec o n d i m e n s i o no f g ( 石，y ) i s4w h e n g ( x ，y ) i s o n e o f y 5 + 融，y 5 + 万砂a n dj ，2 + 万x 5 t h i sp a p e rw i l lb ed i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nt h e6 r s tc h a p t e r w eb r i e f l yi n t r o d u c et h em a i n l yr e s e a r c h e sa n ds t u d y t r e n d so fd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e s ) a n dw ei n t r o d u c eo u rr e s e a r c h e s a n di n n o v a t i o n so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t sa n di d e a so n s i n g u l a r i t yt h e o r yo ft h eb i f u r c a t i o np r o b l e m sa n dd i f 6 e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e s ) ，i n c l u d i n ggt - e q u i v a l e n ti e t c t h em a i np a r t sa r ei nt h et h i r da n df o u t hc h a p t e r i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ec l a s s i f i c a t i o no ft h eo n ed i m e n s i o nd a e sw i t h t h es p e c i a la l g e b r a i cp a r tw h i c hi so n eo fy ”+ 艿x 2 。一1a n d y 2 + 1 + 万z 2 ( ，l ， 七， ，n + ) u n d e rg t - e q u i v a l e n t i nc h a p t e r4 ，w em a k ed i s c u s s i o nt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h eo n ed i m e n s i o n d a e sw i t ht h es p e c i a la l g e b r a i cp a r tw h i c hi s 少( y “+ 万x ) ( ，l n + a n d 刀2 ) u n d e rg t - e q u i v a l e n ti nc h a p t e r4 k e yw o r d s ：s i n g u l a r i t yt h e o r y ；d a e ss y s t e m ；g t e q u i v a l e n t ；c i a s s i f i c a t i o n i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 轹印瑶 吼 妯哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 名：h 毯日期叶夕日 翩虢毒易 日期芦j 月 第一章绪论 本章简述了微分代数系统的发展动态和研究背景，介绍了主要研究的问题 和研究方向同时引入了本文的研究内容和意义 1 1 研究背景与研究动态 由常微分系统和代数系统构成的系统称为微分代数系统( d a e ) 单纯的常 微分方程不足以对某些复杂系统进行精确的描述，而具有一般代表性的d a e 系统却能用来描述复杂系统，该类系统是常微分系统对复杂系统描述的推广 近年来，在电网络分析、生态工程、计算机辅助设计与建模及经济学等领域提 出了许多类型的d a e 系统 近年来许多学者对d a e 进行了研究，例如h a i r e r 和w a m e r 利用 r u n g e k u t t a 法研究d a e 数值解r a b i e r ，r e i c h 用不同的方法将d a e 约化为 等价的o d e ，从而由o d e 的理论给出原d a e 的解的性态分析n ”，但从本质 上来讲，o d e 和d a e 是不同的，在某些奇点处上述过程是不可行的，这时关 于奇点的研究就显得十分重要了最近z h i h u iy a n g ( 杨志辉) 等人对拟线性微分 代数方程彳( f ，y ) 夕= 6 ( f ，y ) 用代数几何和微分拓扑学的方法进行了一些研究，提出 了一种简化过程并得到简化后方程的奇点的一些性质， 正规形的思想是指在某种等价关系下，将原系统约化为更为简单且便于研 究的系统，而且在此等价关系下，系统的某些性质被保存下来或者存在着某种 对应关系”在奇点理论中，经常利用这种思想来研究非线性系统的局部性 态如t h o m 在2 0 世纪7 0 年代关于余维数不大于5 的函数芽的分类定理就是 这种思想的一个重要体现 在电力系统中，常常会遇到如下形式的d a e 系统j j 戈= 似，y )( 1 1 ) 【o = g ( z ，y ) 、7 其中x 取”，y r ”，而厂，g ：( r ”r 卅，o ) jr 为光滑函数芽杨志辉等人结 合文献 6 中的等价和文献 1 1 引入g t 一等价关系，研究了形如( 1 1 ) 的一 维d a e 系统在原点领域内的分类问题，该g t 一等价关系继承文献 6 和文 献 1 1 中的两类等价的特点，它可以将等价系统轨道的性质较好的保留下来 杨志辉对符合条件刀= 聊= l 且c o d i m 3 的系统给出了分类定理( 见文献 1 2 】) 由 于厂具有一定的任意性，所以其中关于g 的余维数的条件是很重要的事实上， 当g 的余维大于3 时，问题会复杂得多 1 2 本文研究的问题和意义 正规形方法不仅是研究向量场或代数方程时局部性质的有力工具，它也有 很明显的实际应用意义例如在电力系统稳定性研究中，要判断初始系统是否 安全通常需要了解当前状态的稳定域边界如果利用正规形思想，不求出边界， 只要判断是否在稳定域里也可达到目的具体来说，在等价变换下( 例如g t 一 等价) ，两个等价系统的稳定域内的点是一一对应的，如果等价系统的状态点 到达稳定域边界，原系统的状态点也应到达边界而等价系统的形式相对简单， 因此判断起来更为容易n 列 本文仿照奇点理论中利用正规形研究局部性质的方法研究系统 忙鬈舅 2 ， 并给出其在g t 一等价关系下的分类结果其中石r ，y r ， 厂：( r r ，o ) 专( 取，o ) c 。，g ( 而y ) 取y ”+ 蹦卜1 ，y 2 “1 + 群7 ，y ( y 4 + 中的一个函 数芽( 其中m ，后，z ，刀n + ；且力2 ) ，原点为孤立平衡点 2 0 0 2 年清华大学的杨志辉在其博士论文m ，中，给出了较低余维( c o d i m 3 ) 情形下一维d a e 的分类，而本文研究的系统中不仅包含了杨志辉的某些系统， 还包含了许多代数部分余维大于3 的系统 2 第二章预备知识 这一章介绍以后各章要用到的一些基本概念，包括d a e 系统关于奇点理 论、分支理论和微分代数系统的一些基本概念，以及g t 一等价的定义 设u 是r ”中的开集，刀元实值函数厂：u 专r 叫做无穷次可微的，如果对于 u 中的每一点舶厂在点x 处的各阶偏导数都连续u 上的无穷次可微函数又 叫做光滑函数或c 。函数 定义2 1 阳1 在o 处的一个c 。函数芽为c 。函数 五：u 专r ，o u c 取“ 的等价类且满足如下关系： 映射 ：u 哼r 和吃：y r ( o u n y ) 等价当且仅当存在u ny 中的开集形 满足o 矿且j i i li 矿= 吃i 矿 记q ，为从僻”r 4 ，0 ) 到r ”的自变量为x 和y 的c 。映射芽所成之集，则系统 ( 1 2 ) 可以表示为( 厂，g ) s 埘s 础，五j ，r 定义2 2 设g g ，如果满足g ( o ，o ) = g y ( o ，o ) = o ，则称g 是一个分支问 题 定义2 3 6 3 称c 。函数芽g ( 工，y ) ， ( 而y ) 。，等价，若存在c 。函数s y ) ， l ，( ) c ，y ) 和八( x ) 在原点小领域内有 g ( x ，y ) = s ( x ，y ) j j l ( 人( x ) ，】，( 毛y ) ) ， 其中s ( 五y ) o ，d ，y o ，y ) 0 ，y ( o ，0 ) = o ，d ，人( 功 o 若人( 力暑z ，则称上述等价为强等价这里我们将工看为分岔参数，少看作 状态变量 定义2 3 是文献 6 在讨论代数方程时所定义的等价关系，它是g t 一等 价的基础 定义2 4 嘲函数芽g ( x ，y ) s 埘的切空间丁( g ) 定义为形如 昭( x ，y ) + 喈，( x ，y ) + 暇( 石，y ) 的芽之全体，其中“( 石，y ) ，y ( 工，j ，) 占暑，w s ， 函数芽g 的余维数定义为向量空间g ( x ，y ) 丁( g ) 的维数 定义2 5 若光滑映射缈( f ) = ( 研( f ) ，仍( f ) ) ：i 哼( 酞r ，0 ) ( ic r 为开区间) 满足 ( 1 2 ) ，即 唬= 厂。伊( n ，v f “ v i 【o 。g o 烈f ) 则称缈( f ) 是系统( 1 2 ) 的一个解设( x ，y ) ( r r ，0 ) ，则记满足初始条件 缈( o ) = 似y ) 的解缈( f ) 为缈( f ，( x ，j ，) ) 或纹，( f ) ，又称缈( 敛工( f ) ) 为系统( 1 2 ) 的( 过 点( 五y ) ) 的轨线或积分曲线 定义2 6系统( 1 2 ) 满足初始条件缈( 0 ) = ( x ，y ) 的一切解的存在区问之并称 为系统( 1 2 ) 满足初始条件伊( o ) = ( x ，j ，) 的解存在的最大区间，记为气棚= 化，) ， 显然o ( t ，f + ) ，解存在的最大区间气棚= 位，0 ) 与厂，g 的定义域有关 定义2 7 集合苁训) = 缈( f ，y ) ) ；f i ( ”声，即系统( 1 2 ) 的过( x ，y ) 的积分曲线 的像，称为系统( 1 2 ) 的过( x ，y ) 的轨道 定义2 。7 n 2 1 称系统( 厂，g ) 与驴，季) g t 一等价，若存在局部微分同胚 候杠r 器：熬纛翥i 【x ，y j 卜告【x j ，7 x ，y j j 使得 ( 1 ) 系统( 厂，g ) 的轨道被映为系统( 夕，季) 的轨道且保留时间的方向， ( 2 ) 存在r 非奇异矩阵函数s ：( r ”r 历，o ) 斗r 脒”满足 g ( x ，j ，) = s ( x ，y ) 季( 孝( 功，刁( 工，) ，) ) ， 其中d e td ，乎( 功 0 ，d e t d ，7 7 “y ) 0 ，对任意的似y ) ( r “r 所，0 ) 若其中孝( x ) = z ，则称( 厂，g ) 与( 夕，雷) 强g t 一等价 g t 一等价继承了文献 6 中的等价与文献 1 1 中轨道等价的某些特点，可 以将系统轨道的某些性质较好的保留下来 约定：记g 的零点集所成之集为s ，即s = ( x ，y ) ( r r ，o ) lg ( z ，y ) = o ) 由 于只讨论系统在原点附近的局部性态，为书写简单，我们常用( r ”，o ) 表示r “中 含原点的某个开邻域如果讨论中同时涉及到原点的几个可能不同的开邻域 时，( r “，0 ) 理解为是通过适当选取的、含于这些邻域之交的一个开邻域 4 第三章g ( x ，y ) 分别为y 聊+ 戤2 ，、y 2 尼+ 1 + 韶，时的分类结果 3 1若干引理 引理3 1 1 对任意( ，) ( s n ( r r ，o ) ) o ，系统( 1 2 ) 在岱n ( r r ，o ) ) 0 ) 内存在满足矿( o ) = ( 而，) 的惟一解缈( f ) = ( 鲲( f ) ，仍( f ) ) ，f 厶唧册) 证 在系统( 1 2 ) 中，g 似y ) c 。且伤( f ) c 。，因此仍( ，) c m 对g “力= o 关 于f 微分，我们有 g ，夕= 一既( x ，) ，) 由于( ，) ( s n ( r r ，o ) ) o ) ，由计算可知，在点，) 的小邻域内， g ，( x ，y ) 0 从而系统在( 而，) 的小邻域内实际上为一o d e 由一般的常微分方 程理论知识c t 钉可知，结论成立 注 就系统( 1 2 ) 而言，由于我们对g 的限制，容易验证：( s n ( 酞r ，0 ) ) o ) 是有限个以原点为聚点的连通分支的并，而且各分支必完全含于r x r 中或 r + r 中，其中r 一= ( 硼，o ) ，r + = ( o 佃) 以下总用暑表示第一投影片：r r 专r ，墨y ) = x ，昱表示第二投影 ：r 酞一r ，罡( 而y ) = y 引理3 1 2 在系统( 1 2 ) 中，l 为( sn ( r r ，o ) ) o ) 的一个连通分支，那么 ( 1 ) 置( ) cr + 或r 一； ( 2 ) 墨i 工：专墨( ) 是微分同胚 证 ( 1 ) 当g ( z ，y ) = y 2 + 6 卜1 = 0 ( 七，z n + ) 时，y = ( 一万力2 七， 艿x o 于是 ( s n ( r r ，o ) ) 0 ) 有两个连通分支厶= ( x ，y ) ( r r ，o ) iy = ( 一溉) 从，万x o ) 不难看出el 厶是双射，f = 1 ，2 又由号r ，并注意厶是( r r ，o ) 的光滑子流 形，故露i c 。其逆为( 日i ) - 1 ( x ) = ( 而石2 七) ，x 墨( 厶) 注意到日( 厶) cr + ，故 ( 置i 上i ) _ 1 矿所以冀k ：厶一只( 厶) 是微分同胚同理可证日k ：厶一日( 厶) 是微分 同胚 故日i 工：三一日( 三) 是微分同胚 对于g ( x ，j ，) 的其它情况，可逐一给出类似的证明 证毕 引理3 1 3设u c r r 是原点的某一足够小的球形开邻域，且在u 内原点 是系统( 1 2 ) 的孤立平衡点，( ，) 是( sn u ) o ) 的某连通分支中的一点，若令 = 丑。毁而椭) ：却朋) 哼r ，则五( f ) 在厶而，期) 上保持符号不变 证 断言：存在惟一的光滑函数儿：丑( 三) 专最( ) ，使得 = ( z ，此( 力) ix 最犯) ) 事实上，由引理3 1 2 ，( 皇i 上) - 1 c 。令儿= 昱。( # i 工) ， 则儿：墨( ) 哼只犯) c 。下证 三= ( 五儿( x ) ) ix 墨( 三) )( 3 1 ) 设( 毛歹) 三，令x = 量( 毫夕) 贯( 三) ，则儿( 功= 昱。( 冀i 工) _ 1 ( z ) = e ( 墨夕) = 夕注意至l j 石= 舅，故( 舅，夕) k 儿( 功) 卜眉( ) ，( 3 1 ) 式中左c 右在 ( x ，儿( 功) 卜日( ) 中 任取一点( x ，儿( 功) ，x # ( 三) ，记( 毛歹) = ( e l ) 。1 ( 石) ，那么阮或( 砌三，且x = 舅 由于夕= 只( 墨歹) = 置。( 曰l 上) _ 1 ( x ) = 儿( 力，从而耽( x ) ) 三，( 3 1 ) 式中右c 左若 厂：只( ) 一只( 三) r 使得三= ( x ，( x ) ) l x 墨( 三) ，注意到引上是微分同胚，从而 厂( x ) = 。( 墨l 工) 叫( x ) ，魄暑( 三) ，于是厂= y 工从而惟一性得证 设系统过( 而，儿) 的解为伊( f ，( ，甄) ) = ( 仍( f ) ，仍( f ) ) ，由定义2 5 ，有 ( f ) = 曰。矽( f ，( ，) ) = 唬( f ) = 厂。败。蛳) ( f ) = 厂( 仍( f ) ，仍( f ) ) ( 3 2 ) 而且绶两川( f ) s ，v f 洳川注意到纺唧椭) ( 厶两协) ) 与交于( 而，) 及它们的连通 性，敛而，期) ( 唧，朋) ) c 三从而由断言知饮x d 洮) ( f ) 可表示为( 仍( f ) ，妩( 鲲( f ) ) ) ，v f 却砌 下面用反证法来证明引理成立假设存在不同的，f 2 知，使得五( ) 与 j i l ( 乞) 异号，即五( f 1 ) 五( 乞) o 令五= l ( f 1 ) ，恐= ( 乞) ，则五恐否则，由中值定理，可知在( ，乞) c 知川内 至少存在一点孝，使得石( 善) = 办( 孝，( 而，) ) = ( 仍( 孝，( ，乩) ) ，此( 仍( 孝，( 而，) ) ) ) = o ，注 6 意到( 仍( 善，( ，) ) ，儿( 织( 善，( 而，) ) ) ) 三，则( 仍( 善，( 而，蜘”，耽( 仍( 孝，( 而，) ) ) ) 是系统的 非零平衡点，这与原点是孤立平衡点矛盾，故而屯不妨设五 毛，于是有 j | i ( f 1 ) 左心) = 厂( 五，儿( 五) ) 厂( 屯，儿( 恐) ) o ，则称以w ) 的方向为正向；若v ，训) ，有 j ；( f ) ! 以走神= 缈o ，( 屯，y ：) ，f 电肋) ) 根据轨道方向的规定，v f l 而堋) ，乞磁础，有 厂。败而，n ) ( ) 厂。致电，毙) ( 乞) 0 特别地，当= 乞= o 时，有厂( ，乃) 厂( 恐，y z ) o 因为 ( 五，m ) ，( 恐，) 三， 由引理 3 1 3中的断言， 可得( 五，咒) = ( 五，此( 五) ) ， 心，奶) = ( 艺，儿( 而) ) ，于是有( 五，耽( 五) ) 厂( 恐，耽( 屯) ) 下面我们对( 厶) 右端点进行讨论，如果当五 o 使得( 一g ，0 ) cj ( w 幽”，且 8 啊( 一号) ( 而，而) 设j = j l i ( 一詈) ，则由孑露( 三) 知( 置虼( 孑) ) 三而且，一方面由于 i ( 而，五) c ( 厶) ， 故 ，儿( i ) ) 以知州两) ) ； 另一方面， 由舅= 如( 一号) 知 ( 毫儿( 习) 此( 而) ) 所以由过( i ，此( 习) 的轨道之惟一性有苁匈，儿( 而) ) = 以而。儿( 而) ) 所以 j 厶，使得伊( ，( 而，) ) = ( 五，此( 五) ) ，( 毛) = 日( 烈f l ，( 而，”) = 而从而由单调 增加知【厶) 3 ( 而，五) ，这与所设矛盾故必有玉口所以( 而，口) c ( 而，五) = | i l d ( 厶) 类似地，可证明2 。( ) = ( 0 ) 这个断言说明了毋( ) = ( o ，口) c ( 而) ，所以五c 缈( ，( 而，) ) = 以粕川 2 ) 当皇( 三) cr 一时，类似1 ) 的证明过程，可以证明c 玖两) ，细节略 由1 ) 、2 ) 及( 而，) 的任意性可知，v ( x ，y ) l ，有三c 苁， 证毕 注3 1 8引理3 1 7 说明，对系统( 1 2 ) 而言，( s n u ) 0 ) 的每一个连通分 支都是一个解分支，即过每一连通分支三上的每一点的轨道都是三 3 2 g ( 五少) 为y 肌+ 掰卜1 时的分类结果及证明 定理3 2 1当g 取g ( x ，y ) = y ”+ 聍卜1 ( 其中万= 1 ，聊，z n + ) 时，系统( 1 2 ) 必与某系统( j i i ，g ) 强g t 一等价，其中j i 为占石，砂或占x 2 ( 占= l 或一1 ) 中之一 证 为下面的证明方便，记此时的系统( 1 2 ) 为( 厂，g ) 对所分奇、偶两种情 况进行讨论 i )当所为偶数时令聊= 2 七， ( 七n + ) ，则则g ( x ，y ) = y 2 + 万，卜1 n ( r x r ，0 ) ) 0 ) 有两个连通分支： 厶= ( 五y ) ( r r ，o ) ij ，= ( 一万力2 七，孤 ， 厶= ( 石，j ，) ( r r ，o ) l y = ( 一万力2 ，万x 0 ，d ，刁( x ，y ) = 1 0 ， v ( 五少) ( r 缺，0 ) ，且易见( 孝，7 ) 是( r r ，o ) 到( 酞酞，0 ) 的微分同胚 2 ) 下证( 善，7 7 ) 将系统( ，g ) 的轨道映为( 夕，季) 的轨道且保留时间方向令 蜃= ( z ，y ) ( r r ，o ) i 雷( x ，y ) = 0 ) ，由于季( 工，y ) = g ( 五y ) ，所以= s ， ( s n ( r r ，o ) ) o ) 有两个连通分支，即丘= 厶，丘= 厶 在厶上任取点尸( 而，) ，令户= ( 孝，7 ) ( p ) 由于( 孝，7 7 ) 为恒同映射，所以户丘 ( 扛1 ，2 ) 由注3 1 8 可知过p 点的轨道必然是整个的厶，同样地可知，过户点 的轨道必然是整个的丘因为( 孝，7 7 ) 为恒同映射，所以( 孝，7 7 ) 将过p 点的轨道映为 过户点的轨道，即( 孝，7 7 ) 将系统( 厂，g ) 的轨道映为系统( 于，季) 的轨道 下面证明( f ，7 7 ) 保持系统轨道的时间方向设p ( ，) 厶，且令 户= ( 孝，刁) ( p ) 注意到此时厶的方向为负向，由定义3 1 5 可知过p 点的轨道 l o 方向为负向下证丘上过户的轨道方向为负向设敛匈神( f ) 是系统( 夕，季) 过点户的 解，则有于。尹( f ) = 一y = 一( 一剐z t o ) 类似定理3 2 1 的思路可证： l 、当厶为负( 正) 向，厶为正( 负) 向时，系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( x ，g ) ( ( 一x ，g ) ) 2 、当厶、厶均为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( 一，g ) ( 伍2 ，g ) ) 证毕 1 2 第四章g ( x ，y ) 为缈+ 鳓时的分类结果 4 1 分类结果 定理4 1 1当g 取g ( x ，y ) = y ( y “+ 删( 其中艿= 1 ，l n + 且刀2 ) 时，系 统( 1 2 ) 必与某系统( j l ，g ) 强g t 一等价，其中j l 为g x ，s ( x y ) ，占x 2 ，g ( ，y ) ， g ( ，一y 2 ) ，g ( ，y 2 ) ( 占= 1 或一1 ) 中之一 4 2定理4 1 1 的证明 证：为下面的证明方便，记此时的系统( 1 2 ) 为( ，g ) 对刀分奇、偶两种情 况进行讨论 i ) 当以为偶数时，令以= 2 七， ( | j n + ) ，则g ( 石，力= y 2 h 1 + 万砂 岱n ( r r ，o ) ) 0 ) 有四个连通分支：厶= y ) ( r r ，0 ) i y = o ，善 o ) ， 厶= ( 五y ) ( r r ，o ) l y = ( 一万功扯，万x o ) ， 厶= ( x ，y ) ( r r ，o ) ij ，= 弋筇功拍，缸 0 ) 类似定理3 2 1 中的证明思路，可证： 结论1 、t 、厶、厶均为正( 负) 向，厶为负( 正) 向时， 若万= 一1 ，则系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( 石，g ) ( ( _ 石，g ) ) ； 若万= 1 ，则系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( x 3 + 如2 ，g ) ( ( 一( 石3 + 万y 2 ) ，g ) ) 结论2 、厶、厶均为正( 负) 向，厶、厶均为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 等价于( x + y ，g ) ( ( 一( x + y ) ，g ) ) 结论3 、厶、厶均为正( 负) 向，厶、厶均为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 等价于( x y ，g ) ( ( 一( x y ) ，g ) ) 结论4 、厶、厶、厶、厶均为正( 负) 向时，系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( x 2 ，g ) ( ( 一，g ) ) 结论5 、厶、厶、厶均为正( 负) 向，厶为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 一等价于( + 少，g ) ( ( 一( ，+ j ，) ，g ) ) 1 3 结论6 、厶、厶、厶均为正( 负) 向，厶为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 一等价于( ，一j ，g ) ( ( 一( ，一y ) ，g ) ) 结论7 、厶、厶均为正( 负) 向，厶、厶均为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 一等价于( ，一y 2 ，g ) ( ( 一( x 2 一y 2 ) ，g ) ) 结论8 、厶为正( 负) 向，厶、厶、厶均为负( 正) 向时， 若万= 一1 ，则系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( ，+ 砂2 ，g ) ( ( 一0 3 + 缈2 ) ，g ) ) ； 若万= 1 ，则系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( x ，g ) ( ( 一而g ) ) 综上可知，当，l 为偶数时，系统( 厂，g ) 与系统( j l l ，g ) 强g t 一等价，其中 为甜， g ( x y ) ， g x 2 ， s ( ，y ) ，s ( x 2 一y 2 ) ，g ( ，y 2 ) ( g = 1 或一1 ) 中之 y b 、三 鬻。 ， r 、 ： ： ； ： ： 一。 y 蕊 。 o ) ， 厶= ( 五y ) ( r r ，o ) i y = 1 勋2 “1 ，融 0 ) 此时类似定理l 的证明思路可证： 结论1 、厶、厶均为正( 负) 向，厶、厶均为负( 正) 向时， 若万= 一l ，则系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( 五g ) ( ( 一石，g ) ) ； 若万= 1 ，则系统u ，g ) 强g t 一等价于 + 艿y ，g ) ( ( 一o + 艿力，g ) ) 结论2 、厶、厶均为正( 负) 向，厶、厶均为负( 正) 向时， 若万= 一1 ，则系统强g t 一等价于o + 缈，g ) ( ( 一 + 印) ，g ) ) ； 若万= 1 ，则系统( 厂，g ) 强g t 一等价于( z ，g ) ( ( 一而g ) ) 结论3 、厶、厶、厶、厶均为正( 负) 向时，系统强g t 一等价于( ，g ) ( ( o ，g ) ) 结论4 、厶、厶、厶均为正( 负) 向，厶为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 一等价于( ，+ y ，g ) ( ( 一( + j ，) ，g ) ) 结论5 、厶、厶、厶均为正( 负) 向，厶为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 等价于( x 2 一j ，g ) ( ( 一( 矿一j ，) ，g ) ) 结论6 、厶、厶均为正( 负) 向，厶、厶均为负( 正) 向时，系统( 厂 g ) 强 g t 一等价于( x 2 一y 2 ，g ) ( 卜( 一y 2 ) ，g ) ) 结论7 、厶、厶、厶均为正( 负) 向，厶为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 等价于( x 3 + y 2 ，g ) ( ( 一( 一+ y 2 ) ，g ) ) 结论8 、厶为正( 负) 向，厶、厶、厶均为负( 正) 向时，系统( 厂，g ) 强 g t 等价于( ，一j ，2 ，g ) ( ( 一( ，一y 2 ) ，g ) ) 综上可知，当聊为奇数时，系统( 厂，g ) 与系统( ，g ) 强g t 一等价，其中 为g x ， 占( x + 万y ) ， s 工2 ， g ( x 2 少) ，占( x 2 一y 2 ) ，s ( x 3 y 2 ) ( f = 1 或一1 ) 中之 由i ) 、i i ) 可知，系统( 厂，g ) 与系统( | i l ，g ) 强g t 一等价，其中| l l 为锻，s y ) ， 占x 2 ， s ( x 2 y ) ，占( x 2 一j ，2