（基础数学专业论文）广义剩余格与广义r0代数.pdf

广义剩余格与广义风一代数 额永建 摘要多年来，通过众多学者的努力，模糊逻辑得到了快速的发展并且伴随 着出现了许多新的研究方法将一模引入逻辑中形成一类基于一模的逻辑系统 是近年来模糊逻辑研究中重要的方法之一m v 一代数、g o g u e n - 代数、g 6 d e l 一 代数分别是三种重要的逻辑公理体系：l u k a s i e w i c z 公理体系、g o g u e n ( 乘积) 公 理体系、g s d e l 公理体系的代数模型这些代数分别对应于0 , 1 1 上的三种重要的 连续t 一模：l u k a s i e w i c zt 一模、g o g u e nt - 模、g b d e lt 一模p h 旬e k 在 文献【1 中给出了更加广泛的b l 逻辑公理体系和与其相对应的b l 一代数，使得 m v - 代数、g o g u e n - 代数、g 次l e l 一代数是b l 一代数的几种重要的特例事 实上，只要要求一模是左连续的，就有蕴涵算子与之形成伴随对吼1 9 9 7 年， 王国俊教授给出了在【o ，1 】上一种左连续的t 一模，即风一模同时提出了 r 0 一代数和与之相应的p 公理体系，用代数的方法证明了此公理体系的完备性 吼并为模糊推理奠定了严格的逻辑基础 1 9 8 6 年，d m u n d i c i 证明了m v 一代数与交换的有强单位的f 一群是范畴等 价的 1 9 9 9 年，g g e o r g e s c u 和a 1 0 r g u l e s c u 在文【9 】中给出了广义m v - 代数 的定义，同时a ，d v u r e c e n s k i j 证明了广义m v 一代数与有强单位的 一群是范畴 等价的g g e o r g e s c u 和a 1 0 r g u l e s c u 在文 5 】中给出了广义t 一模、( 弱) 广义 b l - 代数、( 弱) 广义m v 一代数的定义和若干性质同时指出在【o ，1 上连续的 广义t 一模是t 一模，因此 0 , 1 上左连续的广义t 一模是模糊逻辑中又一重要的 研究对象在本学位论文中，讨论了左连续的广义凰t 一模和基于广义凡t 一 模的广义冗0 一代数 本论文主要讨论了广义剩余格与广义m v - 代数、广义剩余格与广义b l - 代数之间的关系；同时讨论了左连续的广义r ot 一模的同构，并给出了广义岛一 代数与p l 公理理体系的定义具体而言，全文共分三部分： 第一部分：首先给出了预备知识，接着介绍了广义剩余格的定义及其一些基 本的性质讨论了广义剩余格上三组重要的附加条件，以及这些条件附加在广义 剩余格上可得到一些重要的广义剩余格类最后系统研究了这些附加条件之间的 关系，从而理清了这些重要的广义剩余格类之间的关系 第二部分：主要讨论了左连续的广义r ot 一模的同构，并给出在f 0 ，1 1 上广 义风t 一模同构的充要条件同时指出在【o ，1 】上不存在某个广义r ot 一模与 f 0 , 1 1 上其余的广义r ot 一模都同构接着给出了广义r 0 一代数的定义，指出了 它是r o 一代数的推广以及它与广义剩余格、广义b l 一代数之间的关系同时还 讨论了广义凰一代数中滤子、素滤子、正规滤子的性质，并指出广义岛一代数 的正规滤子与同余关系之间可建立一一对应关系本章最后给出了广义凡一代 数可表示的一个充分条件 第三部分：首先给出了p l 公理体系的定义，证明了p l 公理体系的l i n d e n b a u m 代数是广义凰一代数以及p l 公理体系的【卅一完备性最后给出了p l 公 理体系的广义演绎定理 关键词：广义t 一模广义剩余格广义兄o 代数正规滤子p l 公理 体系 i i g e n e r a l i z e dr e s i d u a t e da n dp s e u d or 0 - a l g e b r a s x i ey o n g j i a n a b s t r a c t ：f u z z yl o g i ch a sb e e nd e v e l o p e dq u i c k l y ，a n dm a n yn e w r e s e a r c h m e t h o d sh a v eb e e na p p e a r e dw i t ht h ed e v e l o p m e n tb yt h ee f f o r to fm a n ys c h o l a r s f o rm a n yy e a r s i ti so n eo ft h ei m p o r t a n tm e t h o d si nt , h es t u d yo ff u z z yl o g i ct o i n t r o d u c et - - n o r m si n t ol o g i ct of o r mt h el o g i cs y s t e m sb a s e do nt - n o r m s t h e m v a l g e b r a s ，t h eg o g u e na l g e b r a sa n d t h eg s d e i a l g e b r a sa r ea l g e b r a i cm o d e l sf o r t h et h r e es i g n i f i c a n ta x i o ms y s t e m so fl o g i c ：l u k a s i e w i c zl o g i c ，g o g u e nl o g i ca n d g s d e ll o g i c ，r e s p e c t i v e l y t h e s ea l g e b r a sc o r r e s p o n dt ot h et h r e ei m p o r t a n tc o n t i n - u o u st - n o r m so n 【o ，1 】：l u k a s i e w i c zt - n o r m s ，g o g u e nt - n o r m s ，g s d e lt - n o r m s ， r e s p e c t i v e l y i n 1 】h h j e ki n t r o d u c e dam u c h a b r o a d e ra x i o ms y s t e m so fb l l o g i c a n dt h eb l - a l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt ot h e m ，w h i c hl e dt h a tt h em v a l g e b r a s t h eg o g u e na l g e b r a sa n dt h eg s d e la l g e b r a sa r es e v e r a li m p o r t a n ts p e c i f i ce x a m p l e s o fb l - a l g e b r a s i nf a c t ，“o ”i st - n o r mo n 【0 , 1 】a n d “- - + ”i st h ea s s o c i a t e d i m p l i c a t i o ni fo n l y “o ”i s l e f tc o n t i n u o u s i n1 9 9 7 ，p r o f e s s o rw a n gg u o j u n p r o p o s e dal e f tc o n t i n u o u st - n o r mo n 【o ，1 】，t h a ti s ，r et - n o r m 【3 a tt h es a m e t i m e ，p r o f e s s o rw a n g i n t r o d u c e dr 0 一a l g e b r aa n da n da x i o ms y s t e m so fl + c o r r e s p e n d i n gt oi t ，a n dp r o v e dt h ec o m p l e t e n e s so ft h ea x i o mb ya l g e b r a i cm e t h o d s 2 l ， c o n s e q u e n t l y , t h e s er e s u l t sm a k et h es t r i c tf o u n d a t i o nf o rf u z z yr e a s o n i n g i n1 9 8 6 ，d m u n d i c ip r o v e dt h ec a t e g o r i c a le q u i v a l e n c eb e t w e e nm v - a l g e b r a s a n dc a t e g o r i e so fa l b e l i a n1 - g r o u pw i t hs t r o n gu n i t i n1 9 9 9 ，g g e o r e s c ua n d a i o r g u l e s c u 【9 】i n t r o d u c e dp s e u d om v - a l g e b r a s a sn o n c o m m u t a t i v ee x t e n s i o no f m v a l g e b r a s a t t h es a m et i m e a d v u r e c e n s k i jp r o v e dt h a tp s e u d om v a l g e b r a s a r ee q u i v a l e n tt ot h ec a t e g o r i e so fl - g r o u pw i t hs t r o n gu n i t i n 【5 】，g g e o r g e s c u a n da 1 0 r g u l e s c ug a v et h ed e f i n a t i o n sa n ds e v e r a lp r o p e r t i e so fp s e u d ot - - n o r m s ) ( w e a k ) p s e u d ob la l g e b r a sa n ds o m ep r o p e r t i e so ft h e m t h e yp o i n t e do u tt h a t c o n t i n u o u sp s e u d ot - n o r m s o n 0 , 1 a r et - n o r m so n 【o ，1 】t h e nt h el e f tc o n t i n u o u s p s e u d ot - - n o r m so n 【o ，1 】b e c o m ea n o t h e ri m p o r t a n to b j e c ti nf u z z yl o g i c i nt h i s p a p e r ，ak i n do fl e f tc o n t i n u o u sp s e u d ot - n o r m s p s e u d or 0 t - - n o r m sa n dp s e u d o 风- a l g e b r a sb a s e do nt h e m a r ed i s c u s s e di nd e t a i l s i i i i nt h i sp a p e r ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ng e n e r a l i z a e dr e s i d u a t e dl a t t i c e sa n d p s e u d om v a l g e b r a s ，g e n e r a l i z a e dr e s i d u a t e d l a t t i c e sa n dp s e u d ob l a l g e b r a s e t ca r em a d ec l e a r i s o m o r p h i s mb e t w e e nl e f tc o n t i n u o u sp s e u d or 0t - n o r m s a r e d i s c u s s e d w ei n t r o d u c et h ed e f i n a t i o no fp s e u d or 0 - a l g e b r a sa n dt h ef o r m a ld e d u c t i v es y s t e mp l f o rf u z z yp r o p o s i t i o n a lc a l c u l u s i nd e t a i l s ，t h ep a p e ri n c l u d et h e f o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： i nt h ef i r s tp a r t ，a sp r e p a r a t o r yk n o w l e d g e ，t h ep a p e rg i v e s t h ec o n c e p to f p s e u d ot - n o r m s a n dg e n e r a l i z e dr e s i d u a t e dl a t t i c e s t h et h r e eg r o u p so fi m p o r t a n t a d d i t i o n a lc o n d i t i o n so ng e n e r a l i z e dr e s i d u a t e dl a t t i c e sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l s o m e i m p o r t a n tp s e u d or e s i d u a t e dl a t t i c e sc a nb eo b t a i n e di ft h e s ec o n d i t i o n sh a v eb e e n a d d e dt op s e u d or e s i d u a t e dl a t t i c e t h em u t u a lr e l a t i o n so ft h e s ea d d i t o n a lc o n d i t o n sa r ei n v e s t i g a t e ds y s t e m a t i c a l l ya n dc l a r i e d ，t h e nt h er e l a t i o n so ft h e s ea l g e b r a s a r ek n o w n i nt h es e c o n dp a r t ，i s o m o r p h i s mb e t w e e nl e f tc o n t i n u o u sp s e u d o r 0 t - - n o r m s o n 【o ，1 】a r e d i s c u s s e d t h ep a p e rg i v e st h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s o fi s o m o r p h i cp s e u d or 0t - n o r m so n o ，1 ，t h e nt h ec o n c l u s i o nt h e r ei s n ol e f t c o n t i n u o u sp s e u d o 风t - n o r m so n o ，1 w h i c hi si s o m o r p h i ct oo t h e rp s e u d or o t - n o r m so nf 0 ，1 】i so b t a i n e d a sn o n c o m m u t a t i v ee x t e n s i o no f 凰一a l g e b r a s ，p s e u d o r 0 一a l g e b r a sa r ei n t r o d u c e d t h er e l a t i o n sb e t w e e np s e u d o 风一a l g e b r a sa n dg e n e r a l i z e dr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，p s e u d ob l - a l g e b r a sa r ed i s c u s s e d t h ef i l t e r s ，p r i m e f i l t e r sa n dn o r m a lf i l t e r so fp s e u d o 风- a l g e b r a sa r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d w e s t u d yt h en o r m a l f i l t e r sa n dt h ec o n g r u e n c e so fp s e u d or o - a l g e b r a s ，w i t ht h em a i n r e s u l tt h a tt h en o r m a lf i l t e r sa r ei nb i j e c t i v ec o r r e s p o n d e n c ew i t ht h ec o n g r u e n c e s i nt h ee n do ft h i sp a r t ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o no fr e p r e s e n t a t i v ep s e u d or 0 一a l g e b r a s i sg i v e n i nt h et h i r dp a r t ，t h ef o r m a ld e d u c t i v es y s t e mp lf o rf u z z yp r o p o s i t i o n a lc a l c u l u si si n t r o d u c e d w eh a v ep r o v et h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nl i n d e n b a u ma l g e b r a so f t h ef o r m a ld e d u c t i v es y s t e mp la n dp s e u d o 岛一a l g e b r a sa n d f 一c o m p l e t e n e s so f t h ef o r m a ld e d u c t i v es y s t e mp l a tl a s t ，g e n e r a l i z e dd e d u c t i o nt h e o r yo ft h ef o r m a l d e d u c t i v es y s t e mp li sg i v e n k e y w o r d s ：p s e u d ot - n o r m s ；g e n e r a l i z e dr e s i d u a t e dl a t t i c e s ； p s e u d or o - a l g e b r a s ；n o r m a lf i l t e r ；t h ef o r m a ld e d u c t i v es y s t e mp l i v 学位论文独创性声明 y 7 2 8 8 1 二- 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外。论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 蛆 日期：壅堕：! 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校质，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：毫塾盗日期：兰互：垩 前言 将t 一模引入逻辑中形成一类基于t 一模的逻辑系统是近年来模糊逻辑研究 中常见的方法m v 一代数、g o g u e n - 代数、h e y t i n g 一代数分别是三种重要的 逻辑公理体系：l u k a s i e w i c z 公理体系、g o g u e n ( 乘积) 公理体系、g s d e l 公理体系 的代数模型而这些代数分别和在【o ，l 】上的三种重要的连续t 一模：l u k a s i e w i c z t 一模、g o g u e nt 一模、g s d e lt - 模及其它们相伴随的蕴涵算子相对应p h d j e k 在其著作【1 中给出了b l 逻辑公理体系并且给出了与其相对应的b l 一代数，使 碍m v 一代数、g o g u e n - 代数、h e y t i n g 一代数都是b l - 代数的特例，但b l - 代数只是一种特殊的剩余格，事实上，只要要求t 一模是左连续的，就有蕴涵算子 与之形成伴随对，从而可以得出新的代数1 9 9 7 年，王国俊教授给出了在o ，1 1 上左连续的t 模，即r ot 一模l 引提出了风一代数和与之相应的口公理体 系，用代数的方法证明了此公理体系的完备性 3 】并为模糊推理奠定了严格的逻 辑基础 1 9 9 9 年，g g e o r g e s c u ，a 1 0 r g u l e s c u 在文 9 】中给出了广义m v 一代数的定 义 g g e o r g e s c u ，a 1 0 r g u l e s c u 在文 5 中给出了广义一模、( 弱) 广义b l 一代 数、( 弱) 广义m v 一代数的定义和若干性质同时指出在【0 ，1 】上连续的广义t 一 模是t 一模从而【o ，1 上左连续的广义t 一模是模糊逻辑中又一重要的研究对象 作为剩余格的非交换扩充。 g g e o r g e s c u 在文 1 3 】中给出了基于广义t 一模的广 义剩余格的定义，并且研究了广义剩余格的若干性质在本学位论文中，讨论了附 加在广义剩余格上的三组附加条件，进一步讨论了几种广义剩余格之间的关系 讨论了左连续的广义r ot 模及其同构，给出了基于广义r ot 一模的广义r 0 一 代数的定义，研究了广义风一代数中滤子、素滤子、正规滤子的性质，指出广义 r 0 一代数的正规滤子与同余关系之间可建立一一对应关系这为进一步研究广义 墙一代数的性质奠定了一定的基础相应地，给出了p l 公理体系的定义，证明 了p l - l i n d e n b a u m 代数是广义风一代数最后给出了p l 公理体系的广义演绎 定理 第一章广义剩余格 g g e o r g e s c u ，a 1 0 r g u l e s c u 在文 1 3 】中，引入广义剩余格的定义在文 7 ， 8 】， 9 j 中对广义b l 一代数和广义m v 一代数有详细的讨论本章讨论了附加在广义剩 余格上的三组条件，通过这三组条件之间的关系，引入了几种广义剩余格作为几 种常见剩余格非交换的扩充。并对它们之间的关系作了较为详细的讨论 1 1 预备知识 一、广义t 一模与伴随对 定义1 1 1 【5 1 若二元运算o ：【0 ，1 】【o ，1 】【0 ，1 】对任意的z ，”，z 【o ，1 满 足： ( t 1 ) 扛o y ) oz = z o ( y oz ) ； ( t 2 ) 若士y ，贝0zoz yo 彳，名ox 名。可； ( t 3 ) x o l = 1 0z = z ； 则称二元运算。为 o ，1 j 上的广义t 一模( p s e u d o t n o r m ) 若还满足对任意的z ，y 0 ，1 ，z oy = y o z ，则称二元运算。为 o ，1 j 上的 t 一模( t - n o r m ) 定理1 1 2 1 5 若【0 , 1 1 上的广义t 一模。是连续的，则是交换的即是【o ，1 】上 的t 一模 推论1 13 【5 1 在 0 , 1 】上非交换的广义t 一模都不是连续的 例1 1 4 5 1 若0 a b ，运算 ： 0 ，1 】【0 ，1 】【0 ，1 】定义如下： f0 ， 孙y 2 1 未讯( 。，) 当0 z o ，0 b 其它 则 是广义t 一模，且是左连续的而不右连续 定义1 1 5 【5 】设p 是偏序集，o 、一、一是尸上的二元运算，如果下列 条件成立t ( 1 ) o 关于两个变量都是单调递增的； ( 2 ) 对任意的z ，y ，z 尸 z o y z 当且仅当o y _ z 当且仅当y z 一。 则称( o ，o ) 、( o ，一) 为左伴随对 命题1 1 6 【5 】设。是 o ，1 上的广义t 一模，存在 0 , 1 上的二元运算_ 、一， 使( o ，_ ) 、( o ，一) 为左伴随对当且仅当。是在【o ，1 】上是左连续的 2 二、广义剩余格 定义1 1 7 【1 3 】若( 2 ，2 ，2 ，2 ，2 ，0 ，0 ) 型代数( a ，v ，a ，o ，叶，一，0 ，1 ) ，对v z ，y ，z a 满足： ( 1 ) ( a ，v ，a ，0 ，1 ) 是有界格； ( 2 ) ( a ，o ，1 ) 是带单位元1 的半群； ( 3 ) xo y o 当且仅当。y _ z 当且仅当y x z 则称( a ，v ，a ，o ，_ ，一，0 ，1 ) 是左广义剩余格 若( a ，o ，1 ) 是带单位元1 的交换半群，则称，v ， ，o ，- ，一，0 ，1 ) 是左剩 余格 以后本文中所提到的广义剩余格和剩余格是指左广义剩余格和左剩余格 例1 1 8 【5 】设a = 【0 ，1 】，x vy = m n 。 z ，) ，z y = m i n x ，) ，0 a y z a x y 事实上，( 1 ) ，v ，a ，0 ，1 ) 有界分配格； ( 2 ) ( a ，o ，1 ) 是非交换半群；易知( a ，o ，1 ) 是半群又0 = a ob b o a = b aa = a 从而( a ，o ，1 ) 是非交换的 ( 3 ) 由z - y = v z f 0 ，1 】i zo 。s ， ，z y = v z 0 ，1 】i zoz ! ，) 可知 x0 y z 当且仅当osy _ + z ，当且仅当y o z 命题1 1 9 【1 3 】广义剩余格是剩余格的充分必要条件是：( a ，0 ，1 ) 是交换半 群 例1 1 1 0 在例i 1 8 中若a = b ，则( a ，o ，1 ) 是交换半群，从而它是剩余格 定义1 1 1 1 若( a ，o ，v ，a ，- - ，一，0 ，1 ) 是广义剩余格，( a ，o ，1 ) 是非交换半 群，则称，o ，v ， ，- + ，一，0 ，1 ) 是真广义剩余格 注以后若没有特别说明，广义剩余格都是指真广义剩余格 3 可y z 亏 玑阢以 o z z 5 1 2 广义剩余格 一、广义剩余格的基本性质 命题1 2 1 1 ，【1 3 】设( a ，v ，a ，o ，_ ，一，0 ，1 ) 是广义剩余格，则咖，y ，z a 满足： ( 1 ) 若z y ，贝0zo 石yo z ，zoz zo 可； ( 2 ) - ，一关于第一变量不增，关于第二变量不减； ( 3 ) zo ( z y ) y z 州( z o g ) ，zo ( z y ) z y ( y o z ) ， ( 。_ y ) o z z 掣_ ( zo 可) ，( 。_ 可) o 。y z _ ( y o z ) ； ( 4 ) 石y 当且仅当。_ + y = 1 当且仅当。一y = 1 ； ( 5 ) 1 。= 1 z = z ； ( 6 ) y z “y ，y o - - 4 可； ( 7 ) zo0 一z ) = 可一( z - 。) ； ( 8 ) o oy z a ； ( 9 ) z y z o z w2 0 可；z _ y o oz _ y o o ； ( 1 0 ) ( y 叫石) o o y 叫( z o z ) ，zo ( y - z ) y _ 0 o z ) ； ( 1 1 ) 。叶y ( y _ z ) 一( z _ 。) ，z g ( y 一。) - 扛一。) ； ( 1 2 ) 茁_ y ( 。_ z ) - - - ) , ( 。_ ) ，z y ( z x ) 一( z 一) ； ( 1 3 ) z v y ( ( 。一y ) - - - + y ) a ( ( 可一z ) + 。) ， zv y ( ( z y ) 一y ) a ( ( - - + z ) 一。) ； ( 1 4 ) z v yjz = ( z _ z ) a ( y _ 。) ，z v y 一。= ( x g ) a ( y z ) ； ( 1 5 ) 。- - + y a z = 扛- y ) a ( z _ z ) ，z y a 。= 扛”y ) a ( 一z ) ； ( 1 6 ) zoy _ z = z _ ( y - z ) ，x o y “z = y 一( x 。) ； ( 1 7 ) 当任意并存在时：z o ( v i r y i ) = v i t ( z o y i ) ，( v i e r y i ) o 茁= v t f o z ) 其中，是指标集 ( 1 8 ) 当任意并与交存在时：( v i l x i ) 一y = a i i ( x i 一) ，( v i 1 t i ) _ y = a i 1 ( x i - ) ；y 一( a i j 甄) = a i ， “嗣) ，y _ ( a i ，轨) = a i j ( f - 矗) 其中， 是指标集 二、正则广义剩余格及其性质 定义1 2 2 称广义剩余格( a ，v ，a ，0 ，_ ，一，0 ，1 ) 是正则广义剩余格，、若下式 成立：比a ，z = 扛- - 40 ) 一0 = 扛一o ) _ 0 定义1 2 3 设( a ，v ，a ，o ，一，一，0 ，1 ) 是正则广义剩余格，在a 上定义一元运 算一、一如下： 4 v x a ，( z ) 一= z 一0 ，( z ) = z 一0 以后简写( z ) 一、( z ) “为x 一、z “ 定义1 2 4 【6 1 ( 弱非对) 设( a ，0 ，1 ) 是有界偏序集，2 1 ：a _ a ，7 2 ：a - a 是两个映射若满足妇，y a ( 1 ) n 1 ( 1 ) = n 2 ( 1 ) = o ； ( 2 ) 若z y ，则n l ( y ) n 1 ( z ) ，礼2 ( 暑，) 礼2 ( z ) ； ( 3 ) z n 2 n l ( x ) 且茹佗l n 2 ( z ) 则称( n t ，n 2 ) 为a 上的弱非对 若a ，石= n l n 2 ( x ) = 扎2 礼1 ( z ) ，则称( n 1 ，n 2 ) 为强非对 例1 2 5 若a = ( 【o ，1 ，) ，v z a ，礼1 ( x ) = 1 一。2 ，n 2 ( 3 7 ) = 、，1 _ 二i ，贝( n 1 礼2 ) 为a 上的强非对 命题1 2 6 ( 1 ) 若( a ，v ， ，o ，_ ，一，0 ，1 ) 是广义剩余格，令礼1 ( x ) = z 一，n 2 ( x ) = o “，其中一，一的定义如定义1 2 ，3 ，则( n 1 ，礼2 ) 是弱非对 ( 2 ) 若似，v ，a ，o ，- 4 ，一，0 ，1 ) 是正则广义剩余格，令礼l ( ：1 7 ) = z 一，? 2 2 ( z ) = z “， 其中一，一的定义如定义1 2 3 ，则( 礼l ，n 2 ) 是强非对 证明这里只证明( 1 ) 由命题1 2 1 ( 5 ) 可知，1 - o = 1 0 = o 由命题 1 ，2 1 ( 2 ) 可知，若z y ，则y _ 0 。- 0 ，y 一0 z 一0 又由x _ 0 z _ 0 可知， _ 0 ) oz 0 ，从而z - - + 0 ) 一0 类似可证。一0 ) 一0 由 n l ，n 2 的定义可知，( m ，n 2 ) 是弱非对 命题1 2 7 【6 】若( 礼。，礼2 ) 是在链a 上的弱非对，则以下各条成立： ( 1 ) n l ( 0 ) = n 2 ( 0 ) = 1 ； ( 2 ) n l n 2 n l = n l ，n 2 n l n 2 = n 2 ； ( 3 ) v o ，y a ，有 礼1 ( 。ay ) = n l ( x ) v n l ( ) ，n 2 ( x y ) = n 2 ( z ) v n 2 ( ) ， n x ( x vy ) = n l ( x ) a n l ( g ) ，n 2 ( z v y ) = n 2 ( x ) 礼2 ( ) ； ( 4 ) v 血) 吲4 ， 若v l e ，z l ， 圯i n l ( 2 9 i ) 存在，贝0n 1 ( v i ，。i ) = i n l ( z i ) ， 若v 划。l a i i n 2 ( z i ) 存在，则n 2 ( v i 1 2 c i ) = a i e i n 2 ( 盈) ； ( 5 ) v x ，y a ，z n 2 ( f ) 当且仅当y n l ( $ ) 注若( 礼1 ，礼2 ) 是强非对，则 若 讵1 2 9 i ，v i i n l ( z i ) 存在，贝0n l ( a i ，。i ) = v i e i n l ( 。i ) ； 若 划甄，v i ，n 2 ( 而) 存在，则n 2 ( a i ，盈) = v i ，n 2 ( ) 容易证明下面的命题 5 命题1 2 8 若( 礼l ，n 2 ) 是链a = 0 ，1 上的强非对，则n l ，n 2 互为逆映射且都 是连续的 命题12 9 若( n l ，他) 是有限链4 上的强非对，则礼。= 几2 证明不妨设a = o = a 1 ，n 2 ，a n = 1 ) 且n l a 2 。，由强非 对的定义可知n - ，2 互为逆映射且都是单调递减的，从而礼- ，n 2 必是一一映射， 从而若i j ，1 ，j n ，则必有n i ( 8 i ) n l ( q ) ，扎2 ( a i ) n 2 ( q ) 又n i ，”2 是逆序的，故必有札1 ( a n ) 礼l ( a n _ 1 ) n l ( a 1 ) ，他2 ( 。) n 2 ( o 。一1 ) n 2 ( 8 1 ) ，从而必有n l ( a 1 ) = 。n ，h i ( a 2 ) = o 。一1 ，一，n l ( a n ) = 。1 ，n 2 ( a 1 ) = n 。，n 2 ( q 2 ) = n 。一l ，一，n 2 ( a n ) = 口1 故n l = 忍2 容易证明下面的命题成立。 命题1 2 1 0 设( a ，v ， ，o ，_ ，一，0 ，1 ) 是正则的广义剩余格，则对任意的z ，y ，。 4 ，有： ( 1 ) 一) “= ( 3 2 , ) = z ( 2 ) x 一y 一当且仅当y 。当且仅当z “； ( 3 ) ( z v y ) 一= z a y 一，( z v y ) “= z “a y ”，( z f ) 一= x - v y 一，( x a y ) “= z “v y “ ( 4 ) z _ y = y 一z 一，z “_ y “= y z ； ( 5 jz _ y ”= y ”z 一，o ”_ = y 一z ； ( 6 ) oo 口= ( z y - ) “，o oy = ( y z “) 一； ( 7 ) z - + y = ( zo ) 一，z y = ( y o 茁) “； ( 8 ) z o o = 0 ，x o z = o ； ( 9 ) z zwy ，z 一z - y 1 3 广义剩余格的几组重要附加条件 设( a ，v ， ，o ，- ，一，0 ，1 ) 是广义剩余格，本节讨论各组附加条件以及它们之 间的关系 1 3 1 三组重要的附加条件 a 组： ( a t ) 0 一y ) 一= ( y 一。) - 茁； ( a 2 ) z v y = ( z y ) 叶； ( a 1 ) 7p _ 们一y = ( y _ z ) 一z ； ( a 2 ) zvy = 扛- y ) 一y b 组： 6 ( 3 1 ) 3 7ay = zo ( z ”y ) ； ( 岛) 若y 茁，则存在z a ，y = z 0 z ； ( b 1 ) z a y = 0 _ y ) o z ； ( 曰2 ) 若y z ，则存在g a ，y = z o 。 e 组： ( c 1 ) 扛_ y ) v ( y _ z ) = 1 ； ( c 2 ) z - y v z = 扛- y ) v ( x - - + 。) ； ( c 3 ) z a 9 _ + z = ( z - z ) 0 斗z ) ； ( 6 1 ) 一y ) v ( y z ) = 1 ； ( 岛) z y v z = 扛一y ) v ( x z ) ； ( c 3 ) z a y z = 扣一z ) a ( y z ) 引理1 3 2 设( a ，0 ，v ，a ，唧，一，0 ，1 ) 为广义剩余格，v x ，y ，2 a 有 ( 1 ) z vy _ 。= y _ 。，z vy z = y 。； ( 2 ) 。_ + 。ay = z y ，z 茁ay = 。叫可； ( 3 ) o 一( y _ z ) = y _ ( z 一。) ； ( 4 ) ( 茁一y v 。) o ( y z ) ( z z ) ，匆_ + z ) o ( z _ y vz ) z j g ； ( 5 ) zay 扣ay ”z ) z ，z a y 扛ay _ z ) 一z 证明这里只证明( 1 ) 、( 3 ) 、( 5 ) ( 1 ) z vy _ z = ( z _ z ) a ( y - 4x ) ；y _ + 茁其余类似可证 ( 3 ) 对任意的t a ，t 。一( y 一z ) 当且仅当zot y _ z 当且仅 当石o to y z 当且仅当t oy 。一z 当且仅当t y _ + 扛一z ) ，所以 z 一( _ z ) = 管_ 一z ) ( 5 ) ay ) o 扛ay z ) z ，则za y 扛a y z ) _ + z 其余类似可证 定理1 3 3 设( a ，o ，v ，a ，- - + ，一，0 ，1 ) 为广义剩余格，则对任意的z ，y ，z a ： ( 1 ) ( a 1 ) 与( a 2 ) 等价； ( 2 ) ( a 1 ) 7 与( a 2 ) 等价； ( 3 ) ( b 1 ) 与( b 2 ) 等价； ( 4 ) ( s 1 ) 7 与( b 2 ) 7 等价； ( 5 ) ( c t ) 与( q ) 等价； ( 6 ) ( c -