（基础数学专业论文）二维及三维wilson元插值的各向异性.pdf

摘要 p 妇彳d 曲 本文首先验证了用于二维问题的一个著名的非协调h e r m i t e 型单元w i l s 咖矩形 元是各向异性单元，因而可用于任意窄边四边形剖分，并给出该单元在窄边剖分下的插 值误差估计式。 然后作者用同样的方法验证了用于三维问题的w i l s o n 立方体元也是各向异性单元， 因而可用于任意窄边立方体剖分。而且验证了w i l s o n 立方体元满足条件 d7 h 一0 d l u = 0v u e c ”( k ) 并在文章最后得到了此单元在窄边剖分下的插值误差估计式。 关键词有限元各向异性插值 误差估计正则性条件 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , w ep r o v e d t h a tw i l s o n r e c t a n g u l a re l e m e n t ，af a m o u s i n c o n f o r m i n g 五n i t eh e r m i t ee l e m e n t ，w h i c hc a nb eu s e di nt w od i m e n s f o n a i p r o b l e mi st h ea n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o ne l e m e n t ，s oi tc a nb eu s e di nr a n d o m n a r r o wq u a d r i l a t e r a ld i s s e c t i o n w eo b t a i nt h ei n t e r p o l a t i o n e r r o re s t i m a t eo f t h j s e l e m e n tu n d e rn a r r o wd i s s e c t i o n t h e n ，i nt h es a m ew a y ，w ep r o v e dt h a tt h ew i l s o nc u b ee l e m e n tw h i c hc a n b eu s e di nt h r e ed i m e n s i o n a l p r o b l e mi st h ea n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o ne l e m e n t t o o ， s oi tc a nb eu s e di nr a n d o mn a r r o wc u b e d i s s e c t i o n m o r e o v e r ，w i l s o nc a b e e l e m e n ti st e s t e dt h a ti ts a t i s f yt h ec o n d i t i o n d “= 0 号d 7 i u = 0 v u c 。l 之1 i nt h ee n d ，t h ei n t e r p o l a t i o ne r r o re s t i m a t eo ft h i s e l e m e n tu n d e rn a r r o w d i s s e c t i o ni so b t a i n e d k e y w o r d sf i n i t ee l e m e n t a n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o n e r r o re s t i m a t e r e g u l a r i t yc o n d i t i o n s 2 第一章引言 有限元方法是r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，继而由我国的冯康教授和西方科学 家各自独立地奠定了有限元方法的数学理论基础。 有限元方法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互 联结在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可 能有不同形状，因此，可以模型化几何形状复杂的求解域。有限元方法作为数值分析方 法的重要特点是，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的 未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数及其导数在单元的各个结点的值的插 值函数来表达，从而得到整个求解域上的近似解。 一般的有限元剖分要求满足正则性条件。所谓正则性条件是指：有限元空间 取p ) 满足 。p 。s c ，v k ；h 。一o ，其中k 为一般单元，h b pk ，分别是k 的最大 直径和最大内切圆直径。如果不满足上述正则性条件，就会导致所得近似解不收敛于精 确解。 然而，在实际工作中往往存在各向异性结构，很自然的想法就是在不同方向用不同 尺寸的剖分。这样往往出现窄边单元网格，如窄四边形区域，此时正则性条件是很难满 足的。最近，出现了关于窄四边形元的插值理论及各向异性插值方法研究，比如文献【2 】 中讨论了把各向异性插值方法应用于有限元，即使不满足正则性条件，也能得到相应的 误差估计。那就是在估计插值误差时按不同的方向区别对待，从而避开了正则性条件的 限制。 a p e l 发表了一系列文章处理各向异性l a g r a n g e 插值。它的基础性的结果是文献【2 】 中的引理2 3 和引理2 4 。关键一点是它给出了获得下列形式的估计式的判别条件： i p 8 ( d 一向) t c ( 霞) p 8 应l 。t v u e h i “【“( 露) ，o t f + 1 1 a i = 盘- + + a 。，k t = 忆m ，1 1 ，。t = i 1 两 其中c 是与k 无关的常数，i 是有限元插值算子。我们称上述性质为单元的各向异性。 但在文献f 2 1 中关于各向异性的验证不是很方便，且仅讨论了l a g r a n g e 型单元。本文 用文献2 1 中定理的一种改进验证了分别用于二维和三维闯题的一个著名的非协调 h e r m i t e 型单元w i l s o n 元是各向异性单元，因而可用于任意窄边四边形或立方体剖 分，并得到了此单元在窄边剖分下的插值误差估计式。 4 第二章主要理论基础 1 记号及主要引理 设霞职“是个参考元，即具有l i p s c h i t z 边界的有界区域，p ( 霞) ，q ( 詹) 是2 乏上 的多项式空间。这里我们引进多重指标的概念。x v a e l n “，o f , t ( a 。，a ：口。) ，h a 。+ + 口。，口，都是非负整数( i = 1 ，2 ，n ) 其中n = l ，2 ，3 分别对应于一维、二维、三维的情况。 h “2 硝1 自；2 k 。 肚嚣嚣毒加c 毒，蠹，毒r 由于每一个单项式x a 对应于一个多重指标a e i n “，所以，我们可以把_ p ( 霞) 看成对应的 多重指标集。令： 只。g 肼“：b i s m k 已( 霞) ， 只。：b 肼”：o s a is 朋) p 的闭包和边界为：f 。p u 缸十e i ：a p ，一1 2 ，n x 疹一p 一 其中矗) 是i r 8 的标准基。给定个多重指标集p 及1 s p s 0 0 ，定义 i 卜| | ：，= 磊i p 。v i f ：，t 令 h ( p ) 9 。0 r ( 足) ，i l v l l i ，则算子i 是有界算子，即 v m ，使得：i l u l l 。五m 丘。，而且算子i 完全连续a 嵌入定理2 若k ，i n ( n 为空间维数) ，则以( q ) 嵌入c ( 百) ，且存在常数m ，使 。f - 1 , , u l l “l l 鼬，而且算子i ：呔q ) 一c ( 西) 完全连续。 嵌入定理3 若非负整数，满足k j 要，则以( q ) 嵌入c ，两，且存在常数m ， 使：l u “_ 1s m 。，而且算子i ：h k ( q ) - - - * c 。( 郾完全连续。 ( 5 ) s t r a n g 引理设万( ，) 为在s x s 上的双线性型，并且满足强制型，e s l 则离散问题 有唯一解，并且有估计式： i t - - t , , 陋讪s u p 皆 其中恻l 。一( - 0 ，) ) i ( 6 ) f r i e d r i c h s 不等式。 设“h 。( q ) ，命0 ) = j 二“d s ，则有： 。s 卢( k “d s + ) ， 当“联( q ) 时，“1 。= 0 ，上述不等式变为： 。s 声眦。，即在碰( q ) 中模与半模等价。 7 2 基本理论 设霞是一个参考元，声是霞上的个多项式空间，d i m 声：m ， 丘，寞 c 户与 膏。，膏， c p 分别是空间声和声的一对对偶基： 前，( e ) = 鲫，1 i ，j m ( 1 ) 插值算子，：h ( 霞) 一p ，k 1 ，满足： 以( 影) = t ( 口) ，i = i ，m ，w c h t 暖) ( 2 ) 显然，有： 凡= 茏或( 口) 丘 ( 3 ) 和 矗：口，v p p ( 4 ) 若n = ( a 1 ，”，a 。) 是一个多重指标，则6 。p 也是霞上的个多项式空问，设d i m 西a p ：， 而q ； ；- 1 空间西。户的一组基函数，则西a 知可以被表示为； 西。靠。善t ( 。p 。毒2 荔岛( 辱， ( 5 ) 这里幸，是$ 。砬。的线性组合，b j ( p ) 是p 。( p ) ，的线性组合，设： b 摊疵( ( 6 ) 从( 6 ) 和( 2 ) 我们有； 。擀弘蜘2 酗膏；( ，m 。j ( 靠) ( 7 ) 引理1 ( 定理3 1 o f 【1 ) 存在个常数c ( 霞) 使得：x c v 口e w ，+ l ( 露) ，有： l 臻， 也稚c ( 姊h 计o m f + 1 定理1 1 6 】在上面的表达式下，如果口j ( p ) 可表成： b j ( p ) = e ( d 8 p ) ，1 h 2 ，h i h 3 ) 刚正2 + ( 射+ ( 哥 + ( 意) 2 + ( 啬) 2 十( 窘) 2 十( 袅) 2 + ( 器) 2 十( 軎) 2 1 a x a 皿 = c 6 ? h ：。 ( 百即定理中的常数c 2 ) 参考文献 1 】c i a f l e tp & t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d o f e l l i p t i cp r o b l e m n o r t h - h o l l a n d ，a m s t e r d a m ， 1 9 7 8 【2 】a p e lt , d o b r o w o l s k im a n i s o t r o p i ci n t e m p l a t i o nw i t ha p p l y c a t i o n st ot h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d c o m p u t i n g ，1 9 9 2 ，4 7 ( 3 ) ：2 7 7 - 2 9 3 3 1 李开泰、黄艾香、黄庆怀，有限元方法及其应用，西安：西安交通大学出版社，1 9 9 1 f 4 】张恭庆、林渠源，泛函分析讲义，北京大学出版社，1 9 8 7 【5 1 刘淑红，郑州大学硕士学位论文，任意四边形有限元的一些研究，2 0 0 1 【6 陈绍春，各向异性有限元的一些结果，第九