（应用数学专业论文）一类混沌振子检测系统的研究.pdf

中文摘要 本文主要是构造了一类新的混沌振子检测系统，即非线性项含有( 一z 5 + z 7 ) 的d u f f i n g 方程利用t y o s h i z a w a 定理证明了其周期解的适定性问题，并运用m e l - n i k o v 方法和l y a p u n o v 指数对该检测系统进行了理论分析和数值仿真，确定了系 统在进入不同状态时的临界值，为弱正弦信号的检测提供了理论依据同时，通过 分析和大量仿真发现，该混沌系统在检测弱正弦信号方面具有良好的灵敏度和信 噪比，从而为更微弱的正弦信号检测提供了可能 关键词：d u f f i n g 方程；混沌振子；m c l n i k o v 方法；l y a p u n o v 指数；弱正弦信号检 测 a b s tr a c t t h ep a p e rm a i n l yc o n s t r u c t san e w d e t e c t i n gs y s t e mb a s e do nc h a o t i co s c i l l a t o r t h a ti s ，t h en o n l i n e a rt e r mo fd u f f m ge q u a t i o ni n c l u d e s ( 一x 5 + z 7 ) t h ep o s e d n e s so fi t s p e r i o d i cs o l u t i o ni sp r o v e db yt h et y o s h i z a w at h c o r e m t h r o u g hs c i e n t i f i ca n a l y s i sa n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，t h ec r i t i c a lv a l u e so fd i f f e r e n ts t a t e sa r ed e t e r m i n e db ym e l n i k o v m e t h o da n dl y a p u n o ve x p o n e n t ，w h i c hp r o v i d et h es c i e n t i f i cb a s i sf o rw e a ks i n u s o i d a l s i g n a ld e t e c t i o n a n d w ef i n dt h a tt h es y s t e mh a s1 1 i g hs e n s i t i v i t ya n dl o ws i g n a l - n o i s er a t i oo nt h ew e a ks i n u s o i d a ls i g n a ld e t e c t i o n i tp r o v i d e sp o s s i b i l i t yf o rw e a k e r s i n u s o i d a ls i g n a ld e t e c t i o n k e yw o r d s ：d u f f l n ge q u a t i o n ； c h a o t i co s c i l l a t o r ；m e l n i k o vm e t h o d ；l y a p u n o v e x p o n e n t ；w e a ks i n u s o i d a ls i g n a ld e t e c t i o n 独创性声明 本人声明所呈銮的学位论文是本人在导师指导下进节的研究壬作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞态堂或其他教育机构的学位或证 书面使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：叶眸 签字日期：7 彩年多月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞态堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 叶鲜 导师签名： 签字日期：劾吆年占月玎e l签字日期：一哮年r 月巧日 第一章前言 第一章前言 1 1问题的提出 在众多的微弱信号检测中，微弱正弦信号的检测占有重要地位自从1 9 世纪末f o u r i e r 级数和f o u r i e r 变换理论问世以来，人们就对正弦信号的检测 给予了高度的重视并将其作为信号处理的核心问题随着科学技术水平的 不断提高，物理学，光学、量子力学、生物医学、化学等领域研究的不断深 入，人们进一步提出了n v 甚至亚n v 正弦信号测量的迫切要求，尤其是在自 动化，通信、机械工程等许多研究领域，常常需要判断微弱正弦信号是否存 在而在环境噪声较强烈的情况下，利用传统线性滤波器的方法一般会失败， 因此迫切需要寻找一项新的检测方法 近十多年来，混沌理论的应用研究已逐渐深入到气象学、数量经济学、 生物医学、电子学、地震学、自动控制、保密通讯等领域1 2 1 】，特别是混沌控 制和混沌同步研究的快速发展1 9 9 0 - 1 9 9 2 年美国学者b i r x 1 】【2 】2 提出了混沌振 子系统检测弱信号的设想和设计混沌系统表现出对小信号的敏感性和对噪 声的免疫力提出构造神经网处理复信号，认为所建立的组合系统可用于在 随机噪声背景中的小信号检测、( 金属) 探伤等，并利用下面方程进行可行性 实验 p + i j p - + 导s i n p = a c o s ( w d t ) + b i n p u t ( 1 1 ) | n bl 其中 s i n p 是恢复力项，嘉= 0 5 ，b = 0 1 0 2 ，a = 1 2 5 ，w d = o 6 6 6 6 7 实验结果 表明：信号小到一1 2 一一1 5 d b ( s n ) 在相平面仍可识别系统状态的转变，进而 可进行检测一个理想检测系统具备两个条件：提供系统状态的频率细节和 对小信号、窄信号敏感1 9 9 4 年h a y k i n 3 利用人工神经网络的方法研究了混 沌噪声背景下的目标小信号的提取1 9 9 6 年l e u n g n 利用m p s v 方法研究了混 沌噪声中a r 模型的参数估计1 9 9 7 年s h o r t 5 l 由混沌信号可短时间预测的特 性，研究了混沌通信中的信号提取王冠宇【7 】9 】、d o b r o w i e d 【i 【6 】等学者利用 d u f f m g 方程 叠+ 融一z + z 3 = 7 c o s t ( 1 2 ) 作为混沌振子就系统统计特性、微弱周期信号振幅检测、振幅与相位检测、 频率检测等方面进行了研究并取得一系列成果李月【1 0 】【1 1 】【2 0 2 1 等构建了一 1 第一章前言 类新的混沌振子系统，( l - y ) 系统： 碧+ 0 5 2 一z 3 + z 5 = 7 p ( t ) + a s ( t ) + a n ( t )( 1 3 ) 其中仰( t ) 为系统的内置信号，a s ( t ) 为待检信号，礼( t ) 为加性随机噪声，盯2 为噪 声平均功率通过研究发现，利用( l y ) 系统在色噪声背景下检测弱周期信号 的信噪比可达- 8 8 d b 并将( l y ) 系统与传统滤波技术相结合进行弱信号检 测以及应用该系统于地震波的检测中 目前，基于d u f f m g 方程作为混沌振子的检测系统其非线性恢复力项主 要为( 一z + x 3 ) ，李月俐等研究发现：在弱信号检测中系统( 1 3 ) 的检测效果比 ( 1 2 ) 要好本文将( 1 2 ) 中的非线性项变为( 一z 5 + z 7 ) ，即 岔+ 5 2 一z 5 + z 7 = 7 c o s ( w t )( 1 4 ) 研究发现，将( 1 4 ) 作为混沌振子检测系统在检测弱正弦信号方面具有更好 的效果 1 2 文章结构 文章主要安排如下： 第一章主要介绍混沌振子检测的发展历程和所取得的成果，以及本文所 讨论的问题 第二章给出了本文用到的一些基本定义和基本定理 第三章主要讨论了含有( 一z 5 + z 7 ) 项的d u f f m g 方程周期解的适定性，以 及利用m e l n i k o v 方法和l y a p u n o v 指数确定系统进入不同状态时的阈值 第四章建立混沌振子检测模型，并对其进行理论分析和数值仿真 第五章结束语 2 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 非线性方程周期解的适定性 2 1 1 非线性方程周期解的存在性 定义2 1给定微分方程嗍 圣= y ( t ，z ) 其中z = 妒( t ) 为( 2 1 ) 的一条积分曲线，如果存在常数t 0 ，使得 妒0 + t ) = 妒( t ) ，( 一o 。 0 ，使得对于( 2 2 ) 的任意解z = z ( ) ，存在相应 的而，当t t o 时，i z ( t ) i c a ，l 圣( t ) lsq 定理2 3 ( t y o s h i z a w a 定理) 【2 2 】对于给定系统 圣= i ( t ，z ，可) ，雪= g ( t ，z ，y )( 2 3 ) 满足如下条件： 1 i ( t ，z ，秒) ，g ( t ，z ，y ) 在区域1 ：0 t + o 。， 0 ，使得系统( 2 3 ) 的任意解z = z ( t ) ，y = 秒( ) ，对于相应 的而，当t t o 时，i z ( t ) lsa ，l y c t ) l b 3 对于给定区域2 ：t o t 0 时，圣( z ，乱，y ，v ) 0 ( b ) 当i z u l + i y 一移i = 0 时，垂( z ，u ，y ，v ) = 0 ( c ) 圣( z ，u ，y ，移) 在五区域中一致满足l i p s c h i t z 条件，即存在a 0 ，使 l 西( z ，u ，y ，口) 一o ( x l ，u l ，y l ，v 1 ) i 0 ，均对应着一个数x ( 入) 0 ，使得对任意的z x 和 任意的e 0 ，存在y x 和佗 0 ，当d ( x ，y ) 6 ，则称， 是对初值敏感依赖的 定义2 9 ( d e v a n e y 定义) 设d 是紧度量空间，：d _ d 的连续映射，且满 足： 1 ，是拓扑传递的， 2 f 的周期点在x 内处处稠密，即f 丽= x ， 3 ，是对初值敏感依赖的 则称，在d e v a n e y 意义下是混沌的 2 2 3 移位映射、s m a l e 马蹄映射和m e l n i k o v 函数 定义2 1 0设s ( n ) = o ，l ，2 ，n 一1 ) ，其中为不小于2 的自然数，且 令 6 c 。，功= ：兰三： n ，6 s c ， 作笛卡尔乘积 ( ) = 岛 ( 2 4 ) 6 第二章预备知识 其中岛= s ( ) ，且在( ) 中定义距离： d ( s = 薹- - t l 掣 ( 2 5 ) ，t ) = 掣 ( 2 5 j 其中s = ( 8 0 ，8 1 ，8 2 ，) ( ) ，t = ( t o ，t l ，t 2 ，) ( ) ，则称( ) 为单边符号 空间 若把( 2 4 ) 中的( ) 取成 ( ) = i i 岛 ( 2 5 ) 中的d ( s ，t ) 改成 d ( s ：妻掣 其中s = ( ，s 一2 ，s 一1 ，8 0 ，8 1 ，8 2 ，) ，t = ( ，t - 2 ，t - 1 ，t o ，t l ，t 2 ，) ，则称( ) 为双 边符号空间 定义2 1 1 对于单边符号空间( ) ，若映射 盯：( ) 一( ) 满足 a ( s o ，8 1 ，8 2 ，) = a ( s l ，8 2 ，) c r ( 8 i ，8 i + 1 ，8 i + 2 ，) = o r ( s i + l ，8 i + 2 ，) 则称盯为移位映射，且称盯在( ) 上定义了一个单边符号动力系统，记作 ( ( ) ，仃) 定理2 6仃在( ) 上既是d e v a n e y 意义下的混沌映射，也是l i - y o r k 意 义下的混沌映射 定义2 1 2考虑二维映射 ，：q _ r 2 其中q = o z 1 ，0 y 1 ，如图2 1 中的正方形a b c d ，a 是坐标原点，a b 在z 轴上，的作用是：把q 在y 轴方向上拉长p 倍( p 2 ) ，在z 轴方向上压缩 a 倍( 入 o ，y 0 ，利用t y o s h i z a w a 定理考查方程( 2 2 ) 所建立的动力学系统在 出现周期态时其周期解的适定性问题，以及利用m e l n i k o v 方法和l y a p u n o v 指 数确定系统( 3 1 ) 在进入不同状态时的阈值 3 1 证明方程( 3 1 ) 周期解的适定性 设f ( 圣) = 瑟，夕( z ) = 一z 5 + z 7 ，v ( t ) = 7 c o s ( u 0 ，由定理( 2 1 ) 可知方程( 3 1 ) 至 少存在一个以2 r w 为周期的周期解 由定理( 2 2 ) 可知，对于方程( 3 1 ) 的任意解z ( t ) ，存在c a 0 ，c b 0 和 蜀 0 ，当t t o 时，i z ( t ) i c a ，l 圣( ) l c b 下面利用定理( 2 3 ) t y o s h i z a w a 定理证明方程( 3 1 ) 周期解的唯一性和 稳定性 方程( 3 1 ) 可改写为 雪甜= y - - 。5 x , + 7 c 吣归吲卅7 啷。 2 ， 下证非线性方程组( 3 2 ) 满足t y o s h i z a w a 定理： 1 显然宕= y 一缸，雷= 一g ( x ) + 7 c o s ( o , t ) 在1 上是连续的 2 由i z ( t ) 1 c a ，i 圣 ) lsc b 可知，l 引= i 圣+ 6 $ i 6 q + c b 3 设 圣( z ，u ，y ，口) = ( 9 ) 一夕( u ) ) ( z 一乱) + 一口) 2 2 c ( x u ) ( 一口) ，c 0 ( 3 3 ) 假设存在口1 o ，0 2 o ，a 3 0 ，使得a 1r g ( z ) 、 a 2 ，l 夕，( z ) l a 3 ，且令 ) = 掣， 第三章含一z 5 + z 7 项的d u l l i n g 方程的动力学行为 贝0 口l u ( t ) 0 关于( 秒一口) 的判别式a = 4 c 2 一u ) 24 a 1 一u ) 2 0 恒成立，即c 2 n 1 ( b ) 显然，当i z 一札i + i 可一u l = 0 时声= 乱，y = u ，从而使圣( z ，仳，可，u ) = 0 ( c ) 对于v ( x ，u ，y ，u ) ，( x l ，让1 ，y t ， 0 1 ) 五，。 l 圣( z ， z ，y ，口) 一圣( z 1 ， u 1 ，秒1 ，v 1 ) l = i u o ) ( z u ) 2 一( x l u 1 ) 2 】+ ( y 一钉) 2 一( y 1 一v 1 ) 2 + 2 c ( z 1 一t 正1 ) ( l 一口1 ) 一( z u ) ( 暑一移) 】l a 2 1 x + z 1 一t 正一t 正1 i ( i z z l l + i 仳一u 1 1 ) + l u + y l 一秽一口1 l ( 1 秒一可1 i + | 口一口1 i ) + 2 c i z u 1 i ( 1 u 一剪1 i + i 口一 1 1 ) + i y 一 0 1 i ( i z z l i + i 仳一 u 1 i ) 】 ( 4 a 2 c 乞+ 4 c ( 6 q + q ) ) ( i z z l i + i u 一钍1 i ) + ( 4 ( 6 瓯+ c f 6 ) + 4 c c ，) ( i y 一夕1 i + i 口一口1 i ) 令g = m a x 4 a 2 q + 4 c ( 6 q + g ) ，4 ( 6 g + g ) + 4 c c ) ，则有： 圣( z ，y ，v ) 一圣( z 1 ，让1 ，y l ，v 1 ) j a l 一2 c a a 3 0 如果使( 3 7 ) 式的右边恒小于0 ，只需使( 3 7 ) 式的右端关于( y 一口) 的 判别式 = ( c 一2 c 2 ) 2 ( z u ) 2 4 c p ( t ) 一3 c w ( t ) 一o ( ) 】( z 一乱) 2 0 恒成立即 三c ( 1 - 2 c ) 2 a l 一2 c b a 3 3 c a 2 ， 故只需取 主c ( 1 2 c ) 2 a l 一2 c b 。3 3 c a 2 平 1 0 c 厄， 从而有： 击+ c 雪 0 ，圣0 ，则有毒 5 i a + l i b + l = 02 4 1 1 时，系统( 3 1 ) 可能出现混沌分别 取1 = 0 1 5 和1 = 03 5 ，对系统( 3 1 ) 进行数值仿真得到相应的相平面图，如图 32 ( n ) ( 6 ) 从图3 2 上我们可看到，当7 = 0 1 5 时，系统处于周期振荡状态，而 1 = 03 5 时系统处于混沌状态 ；。i 固j 塑三童鱼= 翌! ! 里堕里! 堕些立墨堕垫查兰堑垄 【b ) 图3 2 ( n ) u = 1 ，1 ；0 1 5 ；( b ) u ；1 ，1 = 0 3 5 33l y a p u n o v 指数确定系统闻值 m c l n i k o v 方法只能确定系统进入混沌状态时的阀值但不能确定系统跳 出混沌状态的闽值而l y a p u n o 、 指数可以确定系统由混沌状态进入周期状态 的闽值2 ，其基本思想是当系统处于混沌状态时，最大l y a p u n o v 指数大于零， 当系统处于周期状态时，最大l y a p u n o v 指教小于零；若系统的最大l y a p u n o v 指数由大于零转为小于零，则系统从混沌状态进入周期状态我们可把系统 的最大l y a p u n o v 指数符号转变时参数的值作为系统由混沌状态进入周期状 态的阈值 33 1 系统的l y a p u n o v 指数 对于确定的动力系统，求取l y a p u n o v 指数的方法可归结为两种一种是 基于系统基本解矩阵的0 r 分解”】，另一种是基于系统基本解矩阵的奇 异值分解奇异值分解法由于计算过程的耗时性和计算结果的不稳定性逐 步被舍弃，然而0 r 分解法也有其局限性：矩阵0 的正交性随着时间的推移 逐渐丧失会使得到的l y a p u l l o v 指数误差偏大文献i 胁1 1 3 0 ”】分别给出了维 持矩阵0 正交性的重正交化方法虽然这些方法可以较好的保持矩阵0 的 正交性但频繁的重正交和数值调整使计算效率低下，不利于实际应用1 9 9 8 年r 柚g a r a j a n 侧等人提出了非重正交化的r h r 算法，本节主要利用改进的 r h r 算法求解系统( 9 + 1 ) 的l y a p u n o v 指数 第三章含一z 5 + z 7 项的d u f f i n g 方程的动力学行为 设系统( 3 1 ) 的初始值为x ( o ) = l ，圣( o ) = 1 ，将系统( 3 1 ) 转化为三维自治 系统令x l = z ，x 2 = + z i z ；+ ，y c o s ( u z 3 ) ，( 3 a 7 ) 系统( 3 1 7 ) 的初始值为z 1 ( o ) = 1 ，x 2 ( o ) = 1 ，x 3 ( o ) = 0 设系统( 3 1 7 ) 的变分方程为 2 ( t ) = j ( t ) x ( t ) ，x ( o ) = i z ( 3 1 8 ) 其中x ( t ) r 3 鄢，1 3 是3 3 的单位矩阵， 为 小；删扣) 圳 由于j ( t ) 的第三行均为零且x ( o ) = 厶，故可设方程( 3 1 8 ) 的基本解矩阵 ，x 1 1 ( t ) x ( ) ：i 拖1 ( t ) f o 对x ( t ) 进行q r 分解( q 为正交矩阵，冗为 魁。、， x 2 3 ( t ) i - i 1 q 1 1 ( t ) q 2 1 ( t ) q 1 2 ( t ) q 2 2 ( t ) 00 由q r 分解法计算l y a p u n o v 指数可知：自治系统( 3 1 7 ) 的一个l y a p u n o v 指数为零文献 1 6 1 8 】告诉我们：自治系统( 3 1 7 ) 的前两个l y a p u n o v 指数即为 非自治系统( 3 1 ) 的l y a p u n o v 指数，只需确定r l l ( t ) 和r 2 2 ( t ) 以及考虑自治系 统( 3 1 7 ) 的二维子系统设系统( 3 1 7 ) 的二维子系统变分方程为 o x ( t ) = j ( t ) x ( t ) ，x ( o ) = 1 2( 3 2 1 ) 记豇) ：f ，j 一1 - j ：l ( 3 2 2 ) 现 则 o l 厶 = = = 铲 矾沈 f【 1 o o 矩 角 三上 的数正为素)元 幻幻 线烈烈1 角 x x 对 、i，、， 挖 盟o x x 、，幻 埒 嚣l r r 、lj，、l， t t ，-i、-、 2 2 o l 2 r b 、i， t -ll 0 o r ，jiil 如o 、 2 2 如 第三章含一z 5 + z 7 项的d u f f i n g 方程的动力学行为 q 1 1 ( t ) q 1 2 ( 亡) 、，r 1 1 ( t ) r 1 2 ( o 、 q 2 1 ( t ) q 2 2 ( t ) 0r 2 2 ( t ) x ( t ) = q ( t ) r ( t )( 3 2 3 ) 将式( 3 2 3 ) 代入式( 3 2 1 ) 中， q ( t ) r ( t ) + q ( t ) r ( t ) = j ( t ) q ( ) r ( ) ，q ( o ) r ( o ) = 2( 3 2 4 ) 将式( 3 2 4 ) 左乘百t ( t ) 和右乘五一1 ( ) ，有 百t ( t ) 西 ) + 五( ) 五一1 ) = 百t ( t ) 苏t ) 石( t ) ， 石( o ) = 1 2 ，五( o ) = 2( 3 2 5 ) 利用r h r 算法思想，将正交矩阵石( t ) 写成角度变量的形式，由于系统是 二维的，故只需一个角度变量，设为p ( ) ，则 o ( t ) = ( 三s i n tc m o n s 剐 ( 3 2 6 ) 、一lif l t j ， 其相应的上三角矩阵为 耻品) 2 7 ， 因p 1 1 不参与l y a p u n o v 指数的运算，故不考虑其形式 将式( 3 2 6 ) 和式( 3 2 7 ) 代入( 3 2 5 ) 中，有 f 坐蔷堕= 以l c o s 2 口( 亡) + , 2 2s i n 2 口( 亡) 一 ( 以2 + j 2 1 ) s i n 2 0 ( 0 ， 坐铲= 以1 s i n 2p ( t ) + j 2 2c o s 2p ( t ) + ( 2 + j 2 1 ) s i n2 0 ( t ) ， ( 3 2 s ) 【乌铲= 一( 以1 一j 2 2 ) s i n 2 0 ( t ) + j 1 2s i n 2 口( ) 一j 2 1c o s 2 口( t ) 将式( 3 2 2 ) 代入式( 3 2 8 ) 中并化简得： f 掣二一五 幽d t = 5 c o s 2 0 ( t ) 一( 1 + 5 x 一7 x 2 ) s i n 2 0 ( t ) ， ( 3 2 9 ) 【掣= 一；5 s i n 2 0 ( t ) + s i n 2 口 ) 一( s x 一彻2 ) c o s 2 秽( t ) 其中 。 4 f 业t = 幽d t + 幽d t ， 、业t = 掣一幽d t ( 3 3 0 ) l i 、- 、 为 墨恐 变 卿 勋 p 式而 作记 第三章含一z 5 + z 7 项的d u f f m g 方程的动力学行为 解方程组( 3 2 9 ) 可得到u l ( t ) ，u 2 ( t ) ，代入( 3 3 0 ) 中即得 jl 1 ( t ) = ( 乱l ( t ) + u 2 ( t ) ) 2 ， 【l 2 ( t ) = ( 让1 ( t ) 一u 2 ( t ) ) 2 进而求得 ，l - = 恕华， il z = 熙华 三1 和l 2 即为自治系统( 3 1 7 ) 的另两个l y a p u n o v 指数，也是系统( 3 1 ) 的l y a - p u n o v 指数 3 3 2l y a p u n o v 指数确定系统阈值 因方程组( 3 2 9 ) 中非线性项次数较高，直接求解u l ( t ) ，u 2 ( t ) 比较困难，故 采用四阶r u n g e - k u t t a 对( 3 2 9 ) 和( 3 3 0 ) 进行数值计算 对于系统( 3 1 ) ，令u = 1 ，占= 0 5 ，图3 3 即为l y a p u n o v 指数与参数7 0 1 ，l 】 之间的变化关系从图中可看出，最大l y a p u n o v 指数符号的改变即系统由混 沌状态进入周期状态时，y 0 6 ，o 7 】经过进一步计算，取= 0 6 7 2 3 7 6 2 8 1 5 9 ， 当，y = 时，最大l y a p u n o v 指数大于零，系统处于混沌状态，如图3 4 ；当 7 = + 1 0 _ 1 1 时，最大l y a p u n o v 指数小于零，系统处于周期状态，如图3 5 图3 3 系统的l y a p u n o v 指数与参数7 之间的变化关系 1 9 墨三童鱼二苎! ：! ! 堕盟里! 堕竖立垦堕塾塑兰笪垄 图3 4u = 1 ，1 = ( n ) 相图，( b ) l y a p u n o v 指数时间演化曲线 ( a )( b ) 图3 5u = 1 ，7 = * + 1 0 _ 1 1 ( ) 相图，( b ) l y a p u n o v 指数时间演化曲线 第四章混沌振子检测模型与数值仿真 第四章混沌振子检测模型与数值仿真 4 1 混沌检测问题 混沌检测就是利用混沌振子系统检测弱周期、准周期信号混沌系统用 于微弱信号检测的物理机理来源于对混沌的控制，利用与时间有关的连续小 扰动来实现对混沌的稳定控制( 周期扰动抑制混沌分为周期激振力和周期参 数扰动作用) ，变原来正的l y a p u n o v 指数为负值，从而实现系统从不稳定到稳 定的转变利用混沌系统对参数的扰动及其敏感依赖性使系统发生本质变化 的特点进行微弱周期信号的检测【1 4 | ，就是将待检小信号作为混沌系统的一 种周期小扰动，由于混沌系统对噪声具有免疫性，故噪声虽很强但对系统状 态的改变无影响；而对于特定的微弱小信号，因混沌系统对周期信号的敏感 性，即使幅值很小，系统也会发生本质的改变通过辨别系统状态可判定弱信 号是否存在，从而将强噪声下的弱周期信号检测出来利用系统状态的转变 作为弱周期信号检测的依据，若系统在两个状态时的相图相差越大则对模式 的识别越有利通过实验和理论分析发现系统在混沌状态和大尺度周期状态 时，系统的相图截然不同，故可将系统由混沌状态向大尺度周期状态的转变 作为弱周期信号检测的依据本章主要研究含有( 一护+ z 7 ) 项的d u f f m g 方程： 蕾+ 鼢一z 5 + z 7 = 7 c o s ( u t )( 4 1 ) 作为混沌振子来检测微弱正弦信号 4 2 混沌振子检测模型 由第三章分析可知，若6 = 0 5 ，u = l ，当，y 不断增大时，系统( 4 1 ) 状态历 经同宿轨道、混沌状态和大尺度周期状态，选取，y = 作为系统由混沌状态 进入大尺度周期状态的临界值将系统( 4 1 ) 调到临界状态，即 量+ 0 5 圣一z 5 + z 7 = 镌c o s t ，( 4 2 ) 将待检信号s ( t ) 并入系统( 4 2 ) 中，有 蕾+ 0 5 2 一z 5 + z 7 = 7 cc o s t + s ( 0 ( 4 3 ) 2 】 第四章混沌振子检测模型与数值仿真 系统( 4 3 ) 中的信号s ( t ) 可看作是对系统( 4 2 ) 的小扰动，如果s ( t ) 中的弱 正弦信号频率与参考信号频率相一致，且使得，y ，即使s ( t ) 中噪声很强， 系统状态也会发生本质的改变吲 若待检信号s ( t ) = a c o s ( ( 1 + a w ) t + 妒) ，设( 4 3 ) 的右端为a ( t ) ，则 a ( t ) = c o s t + a c o s ( ( 1 + a w ) t + 妒) 5 c o s t + a c o s t c o s ( a w t + 妒) 一口s i n t s i n ( u 。+ 妒) ( 4 4 ) = ( 7 c + a c o s ( a w t + 妒) ) c o s t a s i n ( a u t + 妒) s i n t 、 = ，y ( t ) c o s ( t + p ( t ) ) 其中 7 ( 亡) = 、镌+ 2 7 c a c o s ( a u t + 妒) + a 2 ，( 4 5 ) = a r c t a n 面a i s i n ( 面a w 而t + i ，v ) ( 4 6 ) 现对( 4 4 ) 一( 4 6 ) 进行分析用： 1 若u = 0 ，则有7 ( t ) = v 7 2 c + 2 y c a c o s 妒+ a 2 ，对于系统( 4 3 ) 来说，影响其相 变发生的主要因素是待检信号中的初始相位当 7 r a r c c o s ( a 2 y 。) 妒s7 r + a r c c o s ( a 2 7 c ) ( 4 7 ) 即- y 时，系统( 4 3 ) 仍处于混沌状态；当妒不在( 4 7 ) 的区域内，即7 时，系统( 4 3 ) 进入大尺度周期状态， 2 若u 0 且很小，则7 ( t ) 是有规律的大于或小于临界值当7 ( t ) 趋向 于一a 时，系统处于混沌状态；当7 ( t ) 趋向于+ a 时，系统处于大尺度 周期状态，这种现象称之为间歇混沌间歇混沌的周期为珏= 面2 1 r 3 由于a ，则o ( t ) 相当小，从而对系统状态的改变几乎没有影响 系统( 4 3 ) 只能检测u = 1 的弱正弦信号，为了能检测到不同频率的弱正 弦信号，可对系统( 4 3 ) 在时间尺度上做一个变换m ，令t = u r ，则 z ( ) = x ( w t ) = = z 。( r ) 雄，= 当掣= 刍掣= 知下， 酢) ：击望等孚：击譬掣= 击岔。( 丁) ( 4 8 ) 第四章混沌振子检测模型与数值仿真 将( 4 8 ) 代入( 4 3 ) 中，并忽略z 。( 下) 的下标，有 击矛+ 言5 ：- x 5 + x 7 = ) , c o s ( u 7 ) + n c o s ( + w - 叫) r + 妒) ( 4 9 ) 将( 4 9 ) 改写为方程组形式： i 三：0 5 y + z 5 一z 7 + a c o s ( ( u + u a w ) v + 妒) ) ( 4 j 。) i 雪= u ( 一 + z 5 一z 7 + u + 妒) ) ” 由( 4 1 0 ) 可知，通过对( 4 3 ) 在时间尺度上进行变化并未改变原系统的动 力学性质和临界值，只是将圣和雪的增长速度变为原来的u 倍利用这个性 质和间歇混沌性质可构造一排未耦合的混沌振子对未知频率的弱正弦信号 进行检测并确定弱正弦信号的频率 4 3 数值仿真 根据上一节的理论分析，本节就混沌振子( 4 1 ) 检测弱正弦信号进行数 值仿真 4 3 1 方程的离散化对阈值的影响 在数值仿真中，采用四阶r u n g e - k u t t a 法求解方程( 4 1 ) ，在离散化过程中 虽然取不同的步长