（控制理论与控制工程专业论文）基于结构lyapunov矩阵的静态输出反馈鲁棒优化控制.pdf

a t h e s i s f o r l h e d e g r e e o f m a s l e r i nc o n t r o l t h e o r y a n dc o n t r o l e n g i n e e r i n g s t a t i co u t p u tf e e d b a c kr o b u s t o p t i m a l c o n t r o lb a s e do ns t r u c t u r e d l y a p u n o vm a t r i x b ys um i n m i n s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs h ih a i b i n n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 8 l ， - | | - 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 二e 思0 学位论文作者签名： 日 孚旋彩 期：沙肾7 7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：子萄奄咨文导师签名：学位论文作者签名：岔劂心铲导师签名： 辩醐：一7 辩明： 翮匆唧 2 炒f 。 一 、 l t ， j 气j 1 -r l ? 东北大学硕士学位论文摘要 基于结构l y a p u n o v 矩阵的静态输出反馈鲁棒优化控制 摘要 静态输出反馈是控制理论和应用中最基本的问题之一。由于在实际控制系统中，系 统的状态变量常常不能全部测量或者测量代价昂贵，在这种情况下，常采用输出反馈。 静态输出反馈控制结构简单，易于物理实现，成本低，可靠性高。此外，降阶控制问题 也可以转化为特定形式的静态输出反馈问题。因此，静态输出反馈问题具有十分重要的 理论意义和应用价值。 本文主要研究了线性系统的静态输出反馈镇定问题。把系统进行适当的坐标变换 后，基于构造具有特殊结构的l y a p u n o v 矩阵，将静态输出反馈问题转化为求解线性矩阵 不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，l m i s ) 的凸优化问题，并在此基础上进一步给出了控 制器存在的充分条件和设计方法。主要成果如下： 首先，研究了线性时不变( l i n e a rt i m e i n v a r i a n t ，l t i ) 系统的静态输出反馈镇定问 题。提出一个基于构造结构l y a p u n o v 矩阵的静态输出反馈镇定算法，并将这种算法运 用于风和仍以及混合飓矾控制器的设计。利用l m i 方法，可以直接求解出控制器的 输出反馈增益。 其次，针对范数有界不确定参数的线性不确定系统，基于结构l y a p u n o v 矩阵和 s - p r o c e d u r e ，给出一个静态输出反馈镇定问题有解的充分条件，在此基础上进一步研究 了鲁棒玩和局控制器以及飓风最优保性能控制器的设计方法，并最终将问题转化为 易于求解的l m i s 问题或l m i s 约束的凸优化问题。 最后，研究了离散时间系统的静态输出反馈镇定问题以及鼠和飓控制器的设计方 法。通过构造结构l y a p u n o v 矩阵，以l m i 的形式给出一个静态输出反馈镇定镇定算法， 并且将该算法推广到鼠。和岛控制器的设计中。 本文的理论核心是：将给定系统进行适当的坐标变换，通过构造结构l y a p u n o v 矩 阵，把静态输出反馈问题转换为易于求解的l m i 凸优化问题。 以上所有结论均通过仿真示例证明了其可行性和有效性。 关键词：静态输出反馈；鲁棒控制；坟控制；皿控制；结构l y a p u n o v 矩阵； 坐标变换；l m i i i ， s t a t i co u t p u tf e e d b a c kr o b u s to p t i m a lc o n t r o lb a s e do n s t r u c t u r e dl y a p u n o vm a t r i x a b s t r a c t s t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o li so n eo ft h em o s tb a s i ci s s u e si n c o n t r o lt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n f o ra c t u a ls y s t e m s ，t h es t a t ev a r i a b l e sa r eu s u a l l yd i f f i c u l to rc o s t l yt om e a s u 】r e o u t p u tf e e d b a c kc o n t r o li so f t e na d o p t e dt od e a lw i t ht h i sc o n d i t i o n s t a t i co u t p u tf e e d b a c k c o n t r o lh a ss i m p l ec o n t r o ls t r u c t u r ea n ds i m p l ep h y s i c a li m p l e m e n t a t i o n ，a u sw e l la sl o w c o s t a n dh i g hr e l i a b i l i t y i na d d i t i o n ，l o w e r - o r d e r e dd y n a m i c a lo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l p r o b l e m a l s oc a nb et r a n s l a t e di n t os p e c i f i cf o r mo fs t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lp r o b l e m t h e r e f o r e t h ep r o b l e mo fs t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lh a sq u i t ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea 1 1 d p r a c t i c a lv a l u e i nt h i st h e s i s ，t h ep r o b l e mo fs t a t i co u t p u tf e e d b a c ks t a b i l i z a t i o ni sm a i m y c o n s i d e r e df o r l i n e a rs y s t e m s a f t e ra p p r o p r i a t ec o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n ，t h e p r o b l e mo fs t a f f co u t p u t f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o ni st r a n s l a t e di n t oc o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e mo f s 0 1 v i n gl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i s )b a s e do na s s i g n i n gap a r t i c u l a rs t r u c t u r et oal y a p u n o vm a t r i x f u r t h e r m o r e ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dd e s i g nm e t h o d so ft 1 1 ec o n t r o l l e r s a l ep r o p o s e d m a i na c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s to fa l l ，t h ep r o b l e mo fs t a t i co u t p u tf e e d b a c ks t a b i l i z a t i o nf o rl i n e a rt i m e - i n v a r i a n t ( l t i ) s y s t e m si ss t u d i e d a na l g o r i t h mi sg i v e nb a s e do np r o p o s i n gas t r u c t u r e dl y a p u l l o v m a t r i x ，w h i c hi sa l s oa p p l i e do nd e s i g n i n gh c o n t r o l l e r , - 2c o n t r o l l e ra n dm i 将dh x h 。 c o n t r o l l e r t h eo u t p u tf e e d b a c kg a i nc a nb es o l v e dd i r e c t l yb yl m i a p p r o a c h s e c o n d l y , f o rn o r m b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t yl i n e a rs y s t e m s ，as u f f i c i e l l tc o n d i t i o n o ft h es o l v a b i l i t yf o rt h es t a b i l i z a t i o np r o b l e mi sp u tf o r w a r db a s e do ns t r u c t u r e dl y a p u n o v m a t r i xa n ds - p r o c e d u r e f u r t h e r m o r e ，t h e d e s i g nm e t h o d so fr o b u s t 风c o n t r o l l e r 岛 c o n t r o l l e ra n d 飓风o p t i m a lg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ra l ep r o p o s e d i nt e r m so fl m i s f i n a l l y , t h ep r o b l e mo fs t a t i co u t p u tf e e d b a c ks t a b i l i z a t i o na n dd e s i g nm e t h o d so fh o o c o n t r o l l e ra n dh ec o n t r o l l e ra l es t u d i e df o rd i s c r e t e t i m e l i n e a ls y s t e m s as t a b i l i z a t i o n a l g o r i t h mi sg i v e ni nt e r m so fl m i sb yi m p o s i n gap a r t i c u l a rs t r u c t u r eo nt h ea p u n o vm a 仃i ) 【， t i t a n dt h e nt h ea l g o r i t h mi se x t e n d e d t ot h ed e s i g no fh a oc o n t r o l l e ra n d t 2c o n t r o l l e r t h ec o r eo ft h i st h e s i s ：a f t e rp r o p e rc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n , t h ep r o b l e mo fs t a t i c o u t p u tf e e d b a c ki st r a n s l a t e di n t oo p t i m i z a t i o np r o b l e mo fl m i st h a t i se a s yt os o l v eb y p r o p o s i n gs t r u c t u r e dl y a p u n o v m a t r i c e s t h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so fa l l t h ec o n c l u s i o n sa b o v ea r ed e m o n s t r a t e db y s i m u l a t i o ne x a m p l e s k e y w o r d s ：s t a t i co u t p u t f e e d b a c k ；r o b u s tc o n t r o l ；风c o n t r o l ；t t 2 c o n t r o l ；s t r u c t u r e d l y a p u n o vm a t r i x ；c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n ；l m i i v 一 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要j i i a b s t r a c t i i i 第一章绪论】 1 1 静态输出反馈控制的研究背景及研究方法1 1 2 鲁棒控制理论的研究背景及发展状况2 1 2 1 不确定系统的鲁棒控制3 1 2 2 玩控制理论及发展概述3 1 3 本文的主要工作及内容安排5 第二章预备知识7 2 1 l y a p u n o v 稳定性理论7 2 1 1 l y a p u n o v 稳定性的定义7 2 1 2l y a p u n o v 第二方法8 2 2 。控制问题9 2 3 日2 控制问题1o 2 4 混合h 2 1 h 。控制概述1 2 2 5 线性矩阵不等式( l m i ) 简介13 2 5 1l m i 的一般表示与应用1 4 2 5 2 一些标准的l m i 问题1 5 2 6 基本引理1 6 第三章l t i 系统的静态输出反馈优化控制1 9 3 1 基于结构l y a p u n o v 矩阵的静态输出反馈镇定1 9 3 1 1 问题描述19 3 1 2 结构l y a p u n o v 矩阵2 0 3 1 3 主要结果2 1 3 1 4 仿真示例2 3 3 2 胁玩控制器设计2 4 3 2 1 风控制器设计2 4 3 2 2 胁控制器设计2 5 v 目录 3 2 3 混合胁风控制器设计2 7 3 2 4 仿真示例2 8 3 3 本章小结一- 3 0 第四章参数不确定系统的静态输出反馈控制一3 l 4 1 静态输出反馈镇定3 1 4 1 1 问题描述3l 4 1 2 静态输出反馈镇定方法3 2， 4 1 3 仿真例子3 5 4 2 鲁棒仍风控制器设计3 5 4 2 1 鲁棒风控制3 5 4 2 2 鲁棒胁控制3 8 4 2 3 鲁棒飓风最优保性能控制3 9 4 2 4 仿真例子4 1 4 3 本章小结。4 4 第五章离散时间系统的静态输出反馈控制4 5 5 1 基于结构l y a p u n o v 矩阵的静态输出反馈镇定问题4 5 5 1 1 问题描述4 5 5 1 2 主要结果4 6 5 1 3 仿真示例4 8 5 2 飓和风控制器设计4 9 5 2 1 风控制器设计4 9 5 2 2 仍控制器设计5 2 5 2 3 仿真示例5 4 5 3 本章小结5 5 第六章结论与展望：5 7 6 1 结论5 7 6 2 展望5 7 参考文献- 5 9 致谢6 3 v i 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论弟一早三百了匕 1 1静态输出反馈控制的研究背景及研究方法 无论是在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈都是控制系统设计的一种重要 形式，1 7 8 8 年英国科学家j a m e sw a t t 为内燃机设计的飞锤调速器可以认为是最早的反馈 控制的工程应用。 目前，线性直线状态反馈和线性非动态输出反馈( 简称为状态反馈和输出反馈) 是 系统综合设计中两种比较常用的反馈形式。在实际控制系统中，由于系统的状态变量常 常不能全部测量或者测量代价昂贵，在这种情况下，常采用输出反馈，相比状态反馈， 静态输出反馈具有更广泛的应用背景。静态输出反馈在控制界之所以备受关注，原因之 一就是问题控制结构简单，易于物理实现，成本低，可靠性高；另外一个重要原因就是 许多动态输出反馈控制问题可以转化为特定形式的静态输出反馈问题。謦 静态输出反馈是控制理论和应用中最基本的问题之一( b e m s t e i n ，1 9 9 2 ；b l o n d e l ， 1 9 9 5 ；s y r m o s ，1 9 9 7 ) 。在过去的二十年里，尽管许多研究者付出了很大的努力，仍然有 很多问题有待于进一步的分析和数值验证。在文献 1 】中，vl s y r m o s ，c t a b d a l l a h 和 ， ed o m t o ，k g r i g o r i a d i s 对静态输出反馈进行了综合研究。困扰静态输出反馈的一个关 键问题是稳定性的判断，为了解决这个问题，国内外众多学者们通过大量的研究，给出 一 了一些解决方法。b e n t o n 和g e r o m e l 等【2 。7 】证明了一个输出反馈镇定存在的充分必要条件， 该条件又两个相耦合的矩阵不等式组成，其中一个的解是另一个的逆矩阵并给出了相应 的代数解法。在文献 2 ，3 】中，g e r o m e l 等提出了一个m i n m a x 的迭代算法，并在文献 4 5 】 中加以完善和扩展。b e n t o n 等在文献 6 】中详述了一个同时可稳可测( s s d ) 的概念，并基 于这个概念给出了一个非迭代方法。该方法的可行性受初始状态反馈增益的影响，而如 何确定合适的初始状态反馈非常困难。p r e m p a i n 等【8 - 9 】针对一类满足一定条件的最小相位 系统提出一个基于结构l y a p u n o v 矩阵的静态输出反馈设计方法，该方法将相耦合的矩阵 对化简为直接的线性矩阵不等式，从而可直接求解输出反馈增益。 在一个最简单的有限维时不变系统中，静态输出反馈问题就是把测量输出直接用于 系统，通过调节反馈增益使系统满足某种性质。 目前，静态输出反馈问题的研究方法主要有三类： ( 1 ) 基于修正r i c c a t i 方程广义逆分解法【1 0 1 。它是将问题转化成一个r i c c a t i 型矩阵 方程的可解性问题，进而应用求解r i c c a t i 方程给出静态输出反馈使系统要达到的性能 所满足的条件。 - 1 - 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 ( 2 ) 线性矩阵不等式( l m i ) 方法【1 1 1 7 】。在利用静态输出反馈对系统性能进行设计 时，许多问题可以转化为l m i 的可行性问题或者是具有l m i 约束的凸优化问题。 ( 3 ) 双线性矩阵不等式( b m i ) 方法【1 8 】。在文献 1 8 】中kcg o h ，mgs a f o n o v 和gp p a p a v a s s i l o p o u l o s 等提出控制设计中的b m i 问题，并给出了分支定界算法。 1 2 鲁棒控制理论的研究背景及发展状况 在实际工业控制中，各种工业生产过程、生产设备以及其他众多的被控对象，其动 态特性一般都难以用精确的数学模型来描述。因此，在工程实践中，采用基于精确数学 模型的现代控制理论法方法所涉及的控制系统往往难以具有所期望的性能，甚至连系统 的稳定性都难以得到保证。鲁棒控制理论结合系统模型外部扰动不确定性和参数不确定 性的考虑，研究系统的鲁棒性能分析和综合问题，使得系统的分析和综合方法更加有效、 实用。 1 2 1 不确定系统的鲁棒控制 在经典控制中，系统鲁棒性分析主要是基于b o d e 和n y q u i s t 曲线，用间接的方法处 理系统不确定性问题，发展了在增益和相位存在变化时仍能保持系统稳定的增益裕度概 念。然而遗憾的是这些处理方法大多数局限于单输入单输出( s i s o ) 系统。 一般认为多变量( m i m o ) 系统鲁棒控制的研究始于1 9 7 6 年。其研究的最重要特 点是讨论在参数有界摄动( 而不是无穷小的扰动) 下，系统仍能保持期望的性能( 如稳 定性) 的能力。近三十年来，在鲁棒控制领域中，发展了许多研究方向，提出了各种不 同的鲁棒分析和综合方法。正如常规的控制系统分析和综合方法一样，它们主要可以分 成状态空间方法和频域方法两种，不确定性也可分为结构不稳定性和非结构化不确定 性。近几年来出版的一些综述文章和专著对鲁棒控制的研究工作作了较为详细的介绍。 从2 0 世纪七十年代末开始，以l e i t m a n n 为首的研究小组利用l y a p u n o v 第二方法 对具有时变不确定参数的系统的鲁棒镇定问题作了深入的研究，提出了一系列的研究成 果。针对一类具有所谓匹配条件的不确定参数，给出了一个类似于结构控制器的状态变 量非线性不连续反馈控制律。 b a r m i s hf 1 9 8 5 ) 提出了存在一般结构不确定参数系统二次能镇定的一个充分必要 条件【1 9 】，然而，由于所提出方法的复杂性，人们很难应用该方法来设计稳定化控制器。 p e t e r s e na n dh o l l o t ( 1 9 8 6 ) 提出了称之为r i c c a t i 方程方法的的线性不确定系统鲁棒稳定 化的控制器设计方法，它的主要思想是：通过不断放大在l y a p u n o v 时间导数式中出现 的不确定项，最后使得放大后所得到的l y a p u n o v 函数时间导数的界小于零来导出鲁棒 稳定化控制律须满足的条件。对于范数有界不确定系统，z h o ua n dk h a r g o n e k a r ( 1 9 8 8 b ) - 2 一 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 证明了：如果它能用一个非线性的动态状态反馈控制律二次镇定，那么该系统一定存在 一个二次稳定化的线性时不变状态反馈控制律。 由于实际系统中，众多的系统状态往往难以直接测量得到，不确定系统的状态反馈 控制就不能实现。因此，一个更具有实际意义的问题是要利用系统的可测输出来设计不 确定系统的二次稳定化控制器。解决这个问题一个很自然的想法就是采用观测器的方 法。p e t e r s e n ( 1 9 8 5 ) 采用r i c c a t i 方程处理方法，提出了基于观测器的不确定系统二次稳 定化控制器的设计方法。除了不确定系统鲁棒镇定的r i c c a t i 方程处理方法以外，还出 现了一些其它有效的方法。例如，通过把不确定系统二次能镇定的条件用一个l m i 表 示，进而将不确定系统的二次镇定问题转换为一个凸优化问题的处理方法；通过适当选 取二次型性能指标中的加权矩阵，采用最优调节器的设计方法来设计不确定系统的二次 稳定化控制器；基于k h a d t o n o v 定理的鲁棒镇定方法，等等。 以上讨论的不确定系统鲁棒控制方法只要是基于l y a p u n o v 稳定性理论的构造性使 用，即对闭环系统，构造一个单一的对所有不确定性都适用的l y a p u n o v 函数。显然， 这样的处理方法具有很大的保守性，但是对时变不确定性，还没有一种比它更有效的处 理方法。因此，这种对所有不确定性，构造一个统一的l y a p u n o v 函数的方法仍然是目 前处理时变参数不确定性鲁棒控制的一种流行和有效的方法。有关学者提出了一种所谓 的参数依赖l y a p u n o v 方法，来分析一类具有时变线性不确定参数而且其最大的变化率 已知的系统，他们所构造的l y a p u n o v 函数为时变的仿射函数。但是，并没有理论证明 该方法与固定的二次l y a p u n o v 函数相比，能从本质上减少保守性，而且也难以进行鲁 棒镇定控制器的综合设计。 鲁棒控制理论发展的最突出标志是p 方法和风控制。1 9 8 1 年，z a m e s 提出了最优 灵敏度控制方法【2 0 】，d o y l e 和s t e i n 提出了在频域内进行回路成形( l o o ps h a p i n g ) 的重要 性，使得在控制系统设计中许多鲁棒稳定性和鲁棒性能的指标可以表达为特定闭环传递 函数矩阵的风范数，此后发展起来的风控制理论是解决系统不确定性的一种有效工具。 1 2 2 凰控制理论及发展概述 风控制是鲁棒控制理论的组成部分之一，为解决控制系统的鲁棒稳定性问题、鲁棒 性能问题提供了有效的理论依据和实用分析方法。鲁棒风控制理论是在实有理空间中， 以某些评价函数的无穷范数( 风范数) 作性能指标，通过优化凰范数而获得具有鲁棒 性能的控制器的一种控制理论。 鲁棒风控制理论的实质是为多输入多输出且具有模型摄动的系统提供一种频域的 鲁棒控制器设计方法。鲁棒圾控制理论很好的解决了常规频域理论不适用于m i m o 系 统设计及l q g ( 线性二次高斯) 理论不适用于模型摄动情况两个难题，近年来一直是 3 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 控制理论研究的一个热点领域，并取得了大量的成果。 1 9 8 1 年，z a m e s 提出了著名的风设计思想【2 0 1 ，即对属于一个有限能量信号集的不 确定干扰信号，设计一个控制器，使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。 鲁棒鼠。控制理论的发展过程可分为两个阶段。第一阶段是到1 9 8 4 年为止，主要是早期 算子理论称后一时期的理论为状态空间鲁棒巩控制理论。到1 9 8 9 年为止是第二阶段， d o y l e 等人在美国控制年会上发表了著名的d g k f 论文【l8 1 ，提出了著名的“2 - r i c c a t i 方 程”的标准凰控制问题，虽然证明过程极其复杂，但其解具有结构明显、控制器阶次 较低、求解过程简单等特点，并证明了l q g 问题仅是风控制的极限情况。d g k f 的论 文标志着风控制理论的成熟。1 9 8 7 年，f r a n c i s 将模型匹配、干扰抑制、目标跟踪、鲁 棒稳定性、混合灵敏度函数等设计问题用统一的标准风控制作了刻画。另外，直接状 态空间法还包括r 方程方法、l m i 方法b m i 方法。 1 9 9 6 年，z h o u 等人的专著( ( r o b u s ta n do p t i m a lc o n t r 0 1 ) ) 【z ，s k o g e s t a d 和p o s t l e t h w a i t e 的专著( ( m u l t i v a r i a b l ef e e d b a c kc o n t r 0 1 ) ) 2 2 】，标志着比控制理论的基本成熟。与此同时， 应用研究也由计算机仿真开始走向实际的可行性实验和实时控制实现，时变系统、时滞 系统、非线性系统、分布参数系统及离散系统的风控制理论【2 强6 1 研究也在进一步发展。 从1 9 8 8 年d o y l e 等人发表著名的d q k f 论文至今，鲁棒鼠。控制理论已经发展成熟， 成为一个相对比较完整的理论体系。随着计算机技术的发展，已出现专门求解鲁棒风 控制问题的m a t l a b 工具包陟2 8 1 ，可以方便地给出求解结果。在时滞系统控制研究中鲁 棒凰控制理论也得到广泛应用【2 9 - 3 5 | ，并逐步走向工程应用。风控制理论应用研究的关 键步骤是建立被控系统的数学模型，然后将该模型化为风标准控制问题所对应的广义 被控对象的模型，最后按照风标准控制问题的求解方法进行控制器设计。 风控制理论具有如下特点： ( 1 ) 将经典频域设计理论具有一定的鲁棒性和现代控制理论状态空间方法适于 m i m o 系统的两个优点融合在一起，系统地给出了在频域中进行回路成型的技术手段。 ( 2 ) 给出了鲁棒控制系统的设计方法，并充分考虑了系统不确定的影响，不仅能保 证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化某些性能指标。 ( 3 ) 采用状态空间方法，居于时域方法精确计算和最优化的优点。 ( 4 ) 多种控制问题均可变换为鲁棒控制理论的标准问题，具有一般性，并适用于实 际工程应用。 在实际设计问题中，人们通常需要所设计的系统满足多种性能要求。传统的飓最 优设计，其控制效果完全依赖于描述被控对象的数学模型的准确性。但是由于各种不确 定因素的影响，想要获得精确的数学模型几乎是不可能的，从而影响了传统的凰最优 控制器在实际中的应用。风控制主要考虑系统的鲁棒稳定性，而系统的其他性能指标则 4 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 未加关注，最终的控制系统仍难以满足要求。 混合飓甄。鲁棒控制3 每3 9 1 就是综合考虑系统的鲁棒性和系统性能，它是在鼠。鲁棒控 制发展成熟时产生的，这时用状态空间描述的风鲁棒控制问题，已经取得了突破性进 展【4 1 1 。用状态空间描述的h o o 鲁棒控制问题解，其r i c c a t i 方程的形式与传统的 l q g ( l q r ) 形式相似，b e r n s t e i n 等人为了从2 的角度解释这种相似性，研究了具有凰 性能约束下的l q g 控制问题，开创了研究混合飓慨鲁棒控制的先河。b e m s t e i n 等人 研究的问题，最终通过解两个r i c c a t i 方程和一个l y a p u n o v 方程得到，这三个方程是关 联的。 b e r n s t e i n 等人的研究结果认为：( 1 ) 在仍控制中，外界干扰输入假定为白噪声，而 在鼠控制中，外晃干扰扩展为功率有界干扰，即如干扰信号；( 2 ) 考虑系统的风性能 指标，将会牺牲一部分岛指标。 同时，d o y l e 和z h o u 等人为了得到一个与玩鲁棒控制中的一分析理论相似的、 适用于具有有界风范数约束的飓鲁棒性能的理论，研究了系统具有谱有界和功率有界 干扰信号时的系统性能问题。 无论是d o y l e 等人研究的问题，还是b e r n s t e i n h a d d a d 研究的问题，解耦合的r i c c a t i 方程都不是一个简单的问题。在这些文章之后，为了得到混合飓慨的解，有人研究了 如何将这些耦合方程转化为较易求解的方式，如文献【3 9 】讨论的一种凸集优化问题。但 这一问题并未得到很好的解决。 皿玩混合控制问题的研究主要集中在三个方面：( 1 ) 基于无穷维优化的解的研 究；( 2 ) 基于非线性耦合矩阵方程的解的研究；( 3 ) 寻求次优问题的解。在控制界比较 具有实践意义的就是寻求凰玩混合次优问题的解。 1 3 本文的主要工作及内容安排 本文的主要内容是基于构造结构l y a p u n o v 矩阵，针对线性时不变系统和参数不确 定系统，首先对其静态输出反馈镇定问题进行了研究，然后进一步给出控制器的存在条 件和设计方法。具体安排如下： 第二章为预备知识。首先介绍了l y a p u n o v 稳定性的定义以及l y a p u n o v 第二方法： 概述了坂控n 1 口3 题、皿控制问题及混合巩鼠控制理论；简述了l m i 的应用以及一 些标准的l m i 问题；最后给出了几个常用的引理。 第三章研究了线性时不变系统的静态输出反馈镇定问题。首先将给定系统进行适当 的坐标变换后，基于构造结构l y a p u n o v 矩阵，给出了一个静态输出反馈镇定问题有解 的充分条件。然后，在此基础上提出一个静态输出反馈镇定算法，并且给出了风和飓 控制器以及混合仍慨控制器的存在条件和设计方法。利用l m i 方法，可以直接求解控 - 5 - 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 制器增益。最后，通过仿真示例证明了结论的有效性。 第四章针对范数有界参数不确定线性系统，研究了其静态输出反馈镇定问题。基于 构造结构l y a p u n o v 矩阵的方法，通过静态输出反馈控制可使系统具有更大的不确定范 围。然后，在此基础上进行了鲁棒风瘌飓控制器以及飓帆最优保性能控制器的设计， 并最终将问题转化为l m i 问题或l m i 约束的凸优化问题，求解过程简单易行。最后， 通过数值例子进行了仿真验证。 第五章主要研究了离散时间系统的静态输出反馈镇定问题以及风和凰控制器的设 计方法。通过构造结构l y a p u n o v 矩阵，给出一个静态输出反馈镇定问题有解的充分条 件，然后在此基础上提出一个静态输出反馈镇定算法，并且将该算法推广到风和飓控 制器的设计中。最后，通过仿真例子证明了算法的可行性和有效性。 第六章为总结和展望。在总结全文的基础上，对基于结构l y a p u n o v 矩阵的静态输 出反馈镇定问题的更深入研究进行了展望。 6 - 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 在进行系统控制器设计之前我们首先对本文所用到的基础知识进行介绍。本章主要 介绍了l y a p u n o v 稳定性的定义以及l y a p u n o v 第二方法；以控制问题、堕控制问题及 混合鼠控制理论；线性矩阵不等式的应用背景和发展及其特点和基础知识；最后 给出了几个常用的引理。 2 1 l y a p u n o v 稳定性理论 l y a p u n o v 稳定性方法首先由俄国数学家a l e x a n d rm i k h a i l o v i c hl y a p u n o v 于1 8 9 2 年 提出。l y a p u n o v 的主要工作“1 1 1 eg e n e r a lp r o b l e mo f m o t i o ns t a b i l i t y ”包括两种稳定性 分析方法( 间接法和直接法) 。间接方法是通过分析线性化后的系统稳定性来分析非线 性系统在平衡点附近的局部稳定特性。直接法不限于研究系统的局部特性，而是通过构 造一个标量“能量型函数”，并研究该函数随时间的变化情况来确定非线性系统的稳定 特性。 2 1 1 l y a p u n o v 稳定性的定义 设所研究系统的齐次状态方程为 戈= f ( x ，f ) ( 2 1 ) 式中，厂刀维状态矢量；圣与x 同维的矢量函数。它是x 各元素，x 2 ，和 时间t 的函数。一般地，为时变的非线形函数。如果不显含f ，则为定常的非线性函数。 方程式( 2 1 ) 在给定的初始条件( ，) 下，有唯一解x = ( f ；，t o ) 。 式中：x 0 = ( f ；，岛) x 表示在初始时刻岛的状态；f 是从t 。开始观察的时间变量。 若系统( 2 1 ) 存在状态变量艺，对所有的f ，都使 t ，f 】_ o 成立，则称为系统的平 衡状态。 若用忙一t 0 表示状态矢量x 与平衡状态艺的距离，用点集s ) 表示以t 为中心，占为 半径的超球体，那么x s ) 则表示忙一t 0 。 式中，肛一艺8 为欧几里德范数。 在疗维状态空间中，有 忙一t 9 = ( 五- - x ! 。) 2 + ( 毪- - x 2 。) 2 + + ( + 。) 2 - ( 2 2 ) 7 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 当s 很小时，则称j ) 为t 的领域。因此，若有而s ( 6 ) ，则意味着忙一t 忙6 。同 理，若方程式( 2 2 ) 的解( f ；，t o ) 位于球域s ( e ) 内，便有 l 眵( f ；，t o ) - x , i l s ， ( 2 3 ) 式( 2 3 ) 表明齐次方程式( 2 1 ) 由初态或短暂扰动所引起的响应是有界的。 定义2 1 l y a p u n o v 意义下的稳定：如果有方程式( 2 1 ) 描述的系统对于任意选定的实 数s 0 ，都对应存在另一个实数6 ( e ，t o ) 0 ，使当 ix o - - x e 1 0 ，不管6 这个实数多么小， 由s ( 6 ) 内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s ( e ) ，则称这种平衡状态t 不稳定。 2 1 2 l y a p u n o v 第二方法 l y a p u n o v 第二方法又叫做直接法。它是借助于一个l y a p u n o v 函数来直接对系统平 衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励以 后，其存储的能量将随着时间的推移而逐渐衰减，到达平衡状态时能量将达到最小值， 那么这个平衡状态是渐近稳定的。反之，则是不稳定的【3 4 1 。由于系统的复杂性和多样性， 往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正 定的标量函数v ( x ) ，作为虚构的广义能量函数。然后，根据v ( x ) = d v ( x ) d t 的符号特征 来判断系统的稳定性。对于一个给定的系统，如果能找到一个正定的标量函矿( x ) ，而且 y ( x ) 负定的，则这个系统是渐近稳定的。这个函数叫做李雅普诺夫函数。