（应用数学专业论文）基于baksneppen模型的扰动传播模型(1).pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文是基于b a k s n e p p e n 演化模型和g e n e r a l i z e db a k s n e p p e n 演化模型来研究生 物演化问题的，其中包括模型中的自组织临界性，扰动传播等相关问题。 b a k s n e p p e n 模型【l 】( 生物演化模型) 探讨的是生态系统中多物种的共同演化行为。 该模型是b a k 和s n e p p e n 于1 9 9 3 年提出的。模型的驱动机制是物种间的相互作用。模 型的理论出发点适应性最差的物种在下一个时间段里最容易发生变异。由于物种间的相 互作用，该变异会影响到周围的物种，从而使整个生态系统共同演化。 通过引入相互作用强度因子口，李炜等人将b a k s n c p p e n 模型推广为g e n e r a l i z e d b a k s n e p p e n 模型。相互作用强度因子口用来表示物种间相互作用强度的大小。 自从b a k s n e p p e n 模型被提出后，立即被广泛应用到解释现实中的现象和阐释现象 背后的深层意义中，得到了广泛的发展和应用。 本文第一章介绍了自组织临界性的定义，发展，以及两个主要性质：分形和1 厂噪音。 并给出了体现自组织临界性的四个主要模型。 本文第二章主要是在b a k s n q ，p e n 模型的基础上，讨论了b a k s n e p p e n 模型中的两 个主要性质：自组织临界性和断续平衡性。并给出了两种极限状态下的扰动的影响。 本文第三章在g e n e r a l i z e db a k s n e p p e n 模型的基础上，利用扰动传播技术，讨论了 两种极限状况下扰动的影响。并给出了扰动的影响与相互作用因子之间的关系。 开展这方面的研究，可以使人们有机会从不同角度了解不同生物演化模型中扰动的 影响。本文利用h a m m i n g 距离测量的是短期时间内扰动的影响。 关键词： b a k s n e p p e n 模型；g e n e r a l i z e db a k - s n e p p e n 模型；自组织临界性；h a m m i n g 距离；相互作用因子 基于b a k - s n e p p e n 模型的扰动传播模型 t h ed a m a g es p r e a d i n gm o d e lb a s eo nb a k - s n e p p e nm o d e l a b s t r a c t i nt h eb a s i so fb a k s n e p p e nm o d e la n dg e n e r a l i z e db a k s n 印p e nm o d e l ，w es t u d yt h e e v o l u t i o no fb i o l o g y t h i sp a p e rd i s c u s s e st h es e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t yi nt h ee v o l u t i o nm o d e l a n dt h ei n f l u e n c eo f d a m a g e i ne v o l u t i o nm o d e l i n19 9 3 ，b a ka n ds n 印p e ni n t r o d u c e da s i m p l em o d e l ( b a k - s n 印p e nm o d e l ) t od e s c r i b et h e b i o l o g i c a le v o l u t i o no fi n t e r a c t i n gs p e c i e so fa ne c o l o g y t h ef u n d a m e n t a ld r i v i n gm e c h a n i s m f o rt h em o d e li st h a ts p e c i e si n t e r a c tw i t l le a c ho t h e r ，a n dt h et h e o r e t i c a lb a s i si st h a ts p e c i e s w i mt h em i n i m a lf i t n e s sv a l u ei sm o r el i k e l yt om u t a t ed u r i n gt h en e x tt i m ep e r i o d b e c a u s e o ft h ei n t e r a c t i o n sa m o n gs p e c i e s ，t h i sm u t a t i o nw i l la f f e c tt h en e a r b yn e i g h b o r s ，a n dt h e e n t i r ee c o s y s t e mw i l le v o l v et o g e t h e r b a s e do nb a k s n e p p e nm o d e l ，w e il ii n t r o d u c e dt h ei n t e r a c t i o nf a c t o r 口，a n dp r o p o s e da g e n e r a l i z e db a k s n e p p e nm o d e l i n t e r a c t i o ns t r e n g t h , d e n o t e db y 口，i sp r o p o s e dt op r e s c r i b e t h ed e g r e eo fi n t e r a c t i o na m o n gs p e c i e s i nt h ec h a p t e ro l l e ，t h ed e f i n i t i o na n dt h eb a c k g r o u n do ft h es e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t ya le i n t r o d u c e d t w op r o p e r t i e so ft h es e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ：f r a c t i o na n d1 fn o i s ea l e p r e s e n t e d 。f o u rm o d e l so f t h es e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t ya l ep r e s e n t e dt o o i nc h a p t e rt w o ，t w op r o p e r t i e so fb a k s n 印p e nm o d e l ：t h es e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t ya n d p u n c t u a t e de q u i l i b r i u m a r ei n t r o d u c e d t h ei n f l u e n c e so fd a m a g eu n d e rt w oe x t r e m e c o n d i t i o n sa l ep r e s e n t e d i nc h a p t e rt h r e e ，d a m a g es p r e a d i n gt e c h n i q u ei su s e dt os t u d yt h ei n f l u e n c eo f d a m a g ei na g e n e r a l i z e db a k s n 印p e nm o d e l t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e n 口a n dt h eh a m m i n gd i s t a n c ei s g i v e n n e ws t u d i e sa l eu s e dt od i s c u s st h ei s s u e si nt h i sp a p e r ，t h er e s u l t sm a k ep e o p l eu n d e r s t a n d t h ei n f l u e n c eo fd a m a g ef r o md i f f e r e n ta s p e c t s t h eh a m m i n gd i s t a n c ei su s e dt om e a s u r et h e s h o r t - t i m ed y n a m i c so fg e n e r a l i z e db a k s n 印p e nm o d e l k e yw o r d s ：b a k - s n e p p e nm o d e l ；g e n e r a l i z e db a k - s n e p p e nm o d e l ；s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ； h a m m i n gd i s t a n c e ；i n t e r a c t i o nf a c t o r i i - 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大 学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：靠辉 日期：丝盟：2 复 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可 以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 舞颦 翩签名：毖遵 塑年上月日 大连理工大学硕士学位论文 引言 为了解释生物进化中的大灭绝事件和大爆发事件，b a k 等人把自组织临界状态与生 物演化模型结合起来，并得出生物演化过程能够自组织到临界状态，在这个状态下，大 部分的生物都是稳定的，直到雪崩的到来，而且破坏它们的稳定状态。 到目前为止，为解决大灭绝事件而提出的原因，其中所隐含的只是原因和结果之间 假定成立的等式。根据这种观点，大规模的灭绝必定是由一个特大外部事件引起的。因 为在一个平衡线性世界里，一个大规模的灭绝事件要求一个大规模的外部冲撞。 而b a k 认为灭绝的发生也应当归结于生态系统内部的变异进化事件。这并不能排除 灭绝事件是由外部大事件造成的。但是，从更广阔的范围来看，没有什么东西是外部的， 因而最终分析得知，灾难必须由任何内生的宇宙模型来解释。运用所提出的生物演化模 型，b a k 等人给出了另外一种解释。在演化模型中，雪崩是由单个物种的变异事件引起 的。我们可以把触发事件看做一种外在原因，外在的大事件，向小行星撞地球只不过代 表一个触发事件，它最初只会影响单个或几个物种。这些物种的死会破坏其他物种的生 活，如此下去。由此得出大规模的灭绝能够发生是因为这个初始事件导致的一个多米诺 过程。大规模灭绝能够发生是因为其舞台已经由以前的进化史所设置，在临界态中准备 整个生态学。 英国科学家吉姆认为地球上所有生命都能视为一个有机体，即环境，包括我们呼吸 的空气，不应当被视为独立于生态学之外的一个外部效应，而应当属于生态学内部。而 一个有机体可以定义为相互作用的细胞或其它实体的集合物，因而它们可能同时生存， 也可能同时灭亡，因而有机体就是这样一个结构，其中不同的部分是相互作用的，这就 导致，某一部分不起作用了，其他的部分也会死去。在临界态，物中的聚集代表这遵循 其自身进化动力学的坍塌，而最终这个已坍塌的生态网为一个新的稳定的生态网所取 代。这将会是一个“变异了的”整体有机体。在临界态，所有的物种相互影响。在这种状 态下，它们共同作用，就像一个有机体一样，许多物种共享命运。而这一点在恰好有大 标度灭绝存在的时候达到了高潮。一个小行星可能只会影响有机体的一部分，但最终会 导致有机体的大部分死亡。在自组织图像中，整个生态系统已经演化到了临界态。独立 的考察单个物种的进化不会有多大意义。因此自组织临界性对于研究生态演化有着不可 替代的意义。 基于b a k - s n c l q a c n 模型的扰动传播模型 1自组织临界性 自组织临界性( s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ，简称s o c ) e 1 。2 】是由巴克，汤超和维森费尔 德于1 9 8 7 年提出的新概念，是研究复杂性系统的重要的概念之一。自组织系统不同于 规则系统和混沌系统，它在时空上没有特征尺度，不需要外部控制参量的明显调节，就 可以自组织到一个标度不变的临界状态，并且在自组织过程中会伴随着突发事件。自组 织临界状态的提出加深了人们对复杂系统的演化行为模式的认识。 1 1 自组织临界性的提出背景 时空复杂性在自然界和人们生活中的各种表现一直让科学家感到非常迷惑，找不到 一个合理的解释。首先，m a n d c l b r o t 3 4 】指出在自然界中广泛存在着各种自相似( 分形) 行为，例如山脉的形成，海岸线的形状，价格的波动，甚至宇宙在所有标度内部也可能 具有这种特征。其次，拥有“厂口幂谱的噪音，例如类星体发出的光，河流的走向和大 脑的反映行为。第三，许多自然和社会现象，包括地震，股票波动行为，生物演化等现 象都是间断的，在很大范围内以雪崩的形式传播，而不是光滑渐进的传播。对于这些现 象，已有的平衡系统理论、耗散结构论、协同学、混沌理论都不能给出圆满的回答，正 是基于这样的背景巴克提出了自组织临界性的理论，很好的解释了这些现象。 1 2 自组织临界性的定义 在b a k 的大自然如何工作【5 】中是这样说的：自组织临界性是观察大自然的一种 新方法，其基本的图像是大自然在某处永久的偏离平衡，却又被组织在一种稳定状态中 一一种临界状态：各种事情都能按照完全确定的统计规律发生。自组织临界性解释了大 自然中存在的看起来相当复杂的某些普遍存在的结构。分形结构和灾变事件是其中较为 常见的两种表现形式。 l iw 【6 】指出自组织临界性指的是一类开放的、动力学的、远离平衡态的、由多个单 元组成的复杂系统能够通过一个漫长的自组织过程演化到一个临界态，处于临界态的一 个微小的局域扰动可能会通过类似“多米诺效应”的机制被放大，其效应可能会延伸到整 个系统，形成一个大的雪崩。临界性的特征为，处于临界态的系统中会出现各种大小的 “雪崩”事件，并且“雪崩”的大小( 时间尺度和空间尺度) 均服从“幂次”分布。这种分布被 称为自组织临界性的指纹( f i n g e r p r i n t ) 。 大连理工大学硕士学位论文 观察自组织临界状态出现的情况，会发现自组织临界行为会在缓慢驱动的，相互作 用占主导地位的阙值系统中出现。根据这种现象，梅可玉【j 7 】给出了一个自组织临界性的 构造性定义：如果一个系统不需要明显的外界调节，就能够表现出幂率行为，我们就 称它体现出了自组织临界性。同时他指出相互作用占主导地位这一概念主要聚焦在系 统表现出的两个特征上：因为有很多自由度的相互作用，而且系统的动力学中必须是 这些自由度之间的相互作用占主导地位，而不应当是这些自由度内在的动力学占主导 地位。而阙值系统的一个作用是允许大量统计亚稳定结构的存在，另一个作用是阙值 对系统自组织到临界状态的过程是非常必要的。并且只有在缓慢驱动的极限下，相互 作用才会起主导作用。通过梅可玉的解释我们可以很好的理解自组织临界行为会在什 么状况下出现，以及自组织临界性出现的条件。 1 3 自组织临界性的特点 b a k 以及l iw 均精确的给出了自组织临界状态在时空上的两个特点：( 1 ) 时间效应 上的1 厂噪音；( 2 ) 空间效应上的分形结构。 1 3 1 时间效应上的1 厂噪音 一种叫做1 f 噪音【1 均现象在如同尼罗河流动的多样化系统中，在来自类星体的光 波中以及高速公路交通中都会出现。它们具有各种尺度的特征：在数分钟之内的剧烈变 化，以及在数年内的缓慢变化。一个1 f 信号可以被看做大大小小的波峰的叠加。它看 起来像时间上的一种山脉的地貌，而不是空间上的。这个信号也可以等价的看做是所有 频率的周期性信号的一种叠加。它的强度与频率厂称反比。那也是为什么称之为1 厂噪 音。1 f 噪音和随机的白噪音是不同的，后者在一个时间的信号值和另一时刻的信号值 没有任何关联。白噪音没有缓慢的起伏，也没有大的波峰，只带有一种频率的一种简单 的周期性行为。“厂噪音是一种标度噪声，而标度噪音是指功率谱随着频率的增大按反 幂律“厂口而减小的噪音：其中s 表示功率谱，厂表示频率，口为正数。具有反幂律1 厂口 分布的功率谱的噪声具有标度不变性的重要特征，因此称之为标度不变噪声。当口= 0 时 为白噪声，当口= 1 时常称为“厂噪声，当口= 2 时为布朗噪声，即布朗运动。 基于b a k - s n e p p c n 模型的扰动传播模型 通常我们将具有反幂律1 f 口分布的功率谱的噪声，统称为1 f 现象( 也叫做1 f 分形信 号或1 厂涨落。1 f 噪声的主要特点是长程相关性和统计意义上的自相似性，并且是非 平稳的。 记j 为一次雪崩的规模，为一次雪崩的持续时间，显然雪崩规模越大，持续时间 越长。因此空间上的幂律分布和标度不变性是导致时间上的幂律分布和标度不变性的直 接原因。记d ( t ) 为持续时间的分布函数，则d ( t ) 也有幂函数形式的分布： d ( f ) = f 吨( 1 1 ) 时间上的标度行为表现为1 f 噪声。记s ( f ) 为耗散速度的功率谱，并可导出频谱分布： ) = 篇挚矿口 ( 1 2 ) s ( f ) 具有1 f 噪声的性质，因此b a k 称1 厂噪声为自组织临界性在时间上的指纹。 1 3 2 空间效应上的分形结构 分形的概念最早是由m a n d e l b r o t t 船9 1 于1 9 6 7 年提出来的。在传统的几何学中，维数 为整数，例如点为o 维，直线为1 维，平面为2 维等。而在分形学中，分维数d 突破 了整数的限制，例如海岸线的分维数d 值可以取为1 等。分形可以粗略的分为四大类： 空间分形、时间分形、社会分形、思维分形。它们之间并无严格的界限，且是相互关联 的。目前关于分形的尚无一个公认的定义，但一般认为分形具有下面列出的典型的几何 性质： ( 1 ) 分形集具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 ( 2 ) 分形具有某种自相似的形式，即局部蕴含整体。 ( 3 ) 分形维数一般大于相应的拓扑维数。 ( 4 ) 分形分布可用如下幂指数分布定义 n ( s ) = c s 。d ( 1 3 ) 式中：s 为特征线度，如时间，长度等；n ( s ) 为与s 有关的物体数目，如个数，体积 等：c 为待定常数，d 为分维数。从上式可以看出，此表达式与自组织临界状态下服从 大连理工大学硕士学位论文 的幂率分布是相似的。其实分形、标度不变性、自相似以及幂律定律只是表述不同而已。 正是因为处于s o c 状态的系统在空间上具有幂律分布( 标度不变性) ，这和分形的性质相 似，因此b a k 称分形为自组织临界性在空间上的指纹。 s o c 在空间上的分形结构表明了系统的能量耗散转移规律，即能量的耗散无特征尺 度，各种规模的情况都会出现，但是较小规模的耗散事件频繁，而较大规模的耗散事件 出现的机会相对较少。如果一个系统在经历了一长串的小事件后，发生大事件的可能性 将会增大，以至于下一次事件发生在什么时候，这是无法预测的。空间效应的分形结构 和时间效应的l l f 噪声是自组织临界性的两个基本特点，它们都具有标度不变性的特 点，因此称为具有时空分形结构。 1 4 自组织临界性的发展状况 自从巴克及其合作者于1 9 8 7 年首次利用沙堆模型提出自组织临界性的概念以来， 各个领域的科学家都试图把把自组织临界性的概念引入他们自身的工作领域，并且成功 地建立了各种各样的模型，也得到了许多令人满意的结果。 1 9 8 9 年b a k 发表一篇关于“生命游戏”模型中的自组织临界性的文章，文章中指出 “生命游戏”模型其实是一个元胞自动机，由简单的运算法则模拟了社会中的动态演化， 系统展示了自然界中复杂性的表现。文中还通过一个不同以往的方式展示了“生命游戏” 模型中局部特征是如何自组织到临界状态【1 0 】。 b a k 在大自然如何工作中提出了能够展示自组织临界性的经典沙堆模型，对沙 堆模型的数值模拟表明开放的、有多个自由度的、远离平衡态的动力学系统能够演化到 一个稳定的自组织临界态。空间的标度律导致自相似的“分形”结构，时间谱则是1 厂噪 声谱【5 】。 kc h e n 等人于1 9 9 1 年建立了一个关于地震的裂缝传播动力机制的简单模型，指出 在缓慢的压力驱动下，模型能演化到自组织临界状态。通过讨论地震运动的分布： g u t e n b e r g - r i c h t e r 幂律分布n ( s ) = s - 1 一，得出了在二维模型中，b = 0 4 ，在三维模型中， b = 0 6 。文章还给出了在临界状态( 混沌边缘) ，初始状态的波动会随着时间按照代数 方式增长【l l 】。 基于b a k s n 印p 即模型的扰动传播模型 b d r o s s e l 等人于1 9 9 2 年发表了一篇文章，提出了经典的自组织临界的森林火灾模 型。模型包含了一个弱概率厂，当厂专0 时，模型会趋于自组织临界状态，生长的树和 被烧毁的树会分离。文中计算出了标度定律和临界指数的值，对于二维的系统，还给出 了临界状态时的森林密度【1 2 】。 b a k 和s n e p p e n 于1 9 9 3 年提出b a k s n e p p e n 模型( 生物演化模型) ，探讨的是 生态系统中多物种的共同演化行为。由于物种间的相互作用，该变异会影响到周围的物 种，从而使整个生态系统共同演化。此过程还能展示生态演化中的两个重要特征：自组 织临界性和断续平衡性【1 3 】。 1 9 9 3 年b a k 为解释经济系统中的波动，提出了一个关于买方和卖方的简单经济学 模型。得出了自组织临界态在市场交易中起作用，并会引起雪崩的产生。其中，微小的 波动可能会引发大的市场波动。并得出了市场波动是无法避免的结论【1 4 1 。 a r i n a d 等人于1 9 9 3 年讨论了o t t o ( 最优河道) 模型，该模型是自组织l 临界性的空 间模型。模型把局部和全局的能量消耗最小化，观察了初始的随机状态到河网形成状态 的变化。在这个过程中，模型表现出很明显的分形现象。河流网的分形结构是最优和随 机的很好结厶【1 5 】。 1 9 9 5 年k n a g e l 和m p a c z u s k i 于1 9 9 5 年提出了n p ( 交通阻塞模型) ，证实了最大交 通流对应着交通阻塞中的相变。从一个大的阻塞中出来的流量能够自组织到最大通流临 界点。这个模型能够展现s o c 行为【l6 】。 g g r i n s t e i n 等人在1 9 9 0 年发表文章，讨论了在有噪音的状况下，非平衡的l a n g e v i n 模型( 拥有守恒的确定性动力系统和守恒的噪音) 中总会展现出自组织临界性一时空相 关性会在一般的情况下以代数方式消失。守恒的平衡动力学和守恒的噪音需要空间的各 向异性来展示自组织临界性【1 7 】。 zo l a m i 等人在1 9 9 0 年发表了一篇关于非守恒自组织临界性模型的文章，这个模型 与一个准静态的二维b k s 地震模型是类似的。模型中展示了稳定的幂律行为，其中指 数不具有一般性，而是依赖于守恒的水平，一个从局部到非局部状态的转换可以看作是 守恒水平的一个提耐1 8 】。 th w a 等人于1 9 8 9 年研究了开放系统中的耗散传播，通过一个简单连续的方程来 描述在沙堆模型中出现的波动，通过这个方程，根据动力学守恒定律，标度不变原则和 自相似原则得到了很好地解释。并且准确地求出了不同维数下的各个临界参数【1 9 】。 大连理工大学硕士学位论文 a am i d d l e t o n 等人1 9 9 5 年研究了非守恒系统中的自组织临界状态，指出了非守恒 系统中内在的驱动机制是个体间的相互作用，测出了一个依赖于守恒参数口的雪崩分布 参数【2 们。 rd i c k m a n 等人于2 0 0 0 年发表了一篇关于达到自组织临界性方式的文章，文中指 出了在极值动力系统中达到自组织临界性的两种方式，一是缓慢驱动，另一种是相互作 用。并在沙堆模型中得到证型2 1 1 。 1 5自组织l 临界性模型 1 5 1沙堆模型 沙堆模型【1 。2 1 是第一个被发现的体现自组织临界性的模型。b a k 等人把沙缓缓的加到 一个平整的台子上，最初沙粒或多或少的会停留在它们落下的位置上。当不断加沙时， 沙堆会变得陡峭，并且小沙粒会滑动起来或者说雪崩发生了。当沙堆变得更为陡峭时， 一粒沙就很有可能使其它沙粒倒塌。最终当沙堆的陡峭达到一定程度的时候，沙堆就不 可能再增长了，因为平均起来，加到沙堆上的沙的数量与从沙堆边缘上掉下来的沙的数 量是相等的。这就称为一个稳定态，因为随着时间的增长，沙的平均数量与沙堆的平均 斜率都趋于常数。为了描述这个过程，b a k 等人提出了沙堆模型如下： 把沙堆落在其上的台面用一个二维的格子来代表。每个方格子都有一个坐标( 五y ) ， 用一个数z ( x ，y ) 来表示落在方格中的沙粒数。其中每个理想的沙粒都是大小为1 的立方 体。 随便选一个格子，并把那个格子的高度z 增加1 ，从而就把一粒沙加到了那个方格 子中： z ( x ，y ) 一 z ( x ，j ，) + 1 不断重复这个过程，在这个过程中，利用了一个“倒塌规则”：允许一粒沙从一个方 块中跑到另一个方块中。一旦某个方块的高度z 超过了一个临界值乙，互，是任意设置 的，如果设为3 ，那么这个方块就会邻近的四个方块中的每个方块输送一粒沙。因而当z 达到4 的时候那个方块的高度就会减小4 个单位， z ( x ，y ) 一 z ( x ，y ) 一4 当z ( x ，y ) 乙，并且与那个方块邻近的四个方块的高度分别增加一个单位时， z ( x 1 ，y ) - z ( x l ，夕) + 1 z ( x ，y 1 ) 一 z ( x ，y 1 ) + 1 下图展示了这个倒塌的过程 基于b a k - s n e p p e n 模型的扰动传播模型 1202 3 2 323o l233 2 31 3 2 1 o221 2 12023 23330 13o4 2 31 3 2 1 o22l2 12o3 3 2 3 4o 1 1 3 22 3 32102 02 322 1 3 1 33 3o111 14323 32102 02 3 2 2 13133 31211 21o33 332o2 0 2322 12023 2323o 12432 31321 o2212 12o23 23 3 4o 13 2 o3 32o4l o231 2 12133 24ol1 13323 32lo2 o2322 13133 3l111 2 o423 33102 o2322 图1 1 一个小沙堆中的倒塌雪崩时间的插图 f i g1 1t h ef i g u r eo fa na v a l a n c h ei nas m a l ls a n d p i l e 8 大连理工大学硕士学位论文 一粒沙掉在位于格子中央且高度为3 的方块中，从而导致了一个由九个倒塌事件组 成的雪崩，并且此过程持续了不断变化的7 个步骤。这个雪崩的量级s = 9 。黑色的方格 子显示了8 个已经倒塌的方格。有一个方格倒塌了两次。如果在上述过程中不稳定的晶 格碰巧在边缘上，这个位置的x 或y 是1 或1 0 0 ，那么沙粒就离开了这个系统从台子的 边缘掉下去了。最终沙堆进入了一个稳定态，在这个稳定态中所有格点的平均高度不再 增长。平均高度是2 到3 之间的某个数。沙堆永远不能达到最可能的稳定态，其中所有 格点的高度均是3 ，这是因为在达到这个简单状态以前，由于大雪崩事件，沙堆已经被 瓦解了。通过数一数在任意时刻沙堆中总的沙粒数目来跟踪这个过程。在稳定态中，大 多数的雪崩很小而且未达到边缘，因而它们使沙堆增长。这一点恰好由那些为数很少且 总的说来较大，并能到达边缘从而导致许多沙粒离开沙堆的雪崩事件来补偿。 图1 2 给出的是雪崩的空间大小分布图。 s 图1 2 沙堆模型中雪崩的空间大小分布图 f i 9 1 2 t h ed i s t r i b u t i o no f t h ea v a l a n c h ei nt h es a n d p i l e 通过分析图1 2 中给出的沙堆中的雪崩数量与大小之间的关系可以得出，雪崩遵从 古登堡里特幂次定律 2 2 之3 1 。幂次定律表明稳定态是临界的。通过分析沙堆的几何特征， 可以显示，沙堆的轮廓和挪威的海湾一样，是分形的。雪崩已经雕刻出沙堆的分形结构。 通过雪崩的时空分布图可以看出，雪崩的分布服从兹波夫定律【2 4 1 。 基于b a k - s n e p p e n 模型的扰动传播模型 1 5 2 地震模型 在弹簧块阵地震产生器中断层结构由一个二维的块阵所代表，这个块阵放在一个粗 糙的表面上。在这个弹簧块阵模型中，通过弹簧片把块阵联到一个不断运动着的平面上。 弹簧片就代表了由于平面构造运动，断层邻近材料上的压力。块与块之间也用弹簧圈连 起来。当所有弹簧的力加起来小于一个阙值的时候，每个块上的力稍微比阙值大一些的 时候，这个块就会迅速朝着移动板的方向滑动。由于弹簧圈的原因，这将会增加加在四 个邻近弹簧上的作用力，而且可能使得加在一个或多个块上的作用力超过临界值，结果 使这些块也滑动起来。这将导致个表征地震的链式反应。通过弹簧片拉动会是一个雪 崩的开始，这与沙堆模型中一粒沙的倒塌是等价的。类似于沙堆模型当表示作用于地壳 的某一特定部分的作用力的高度厂达到厂= 4 的时候，它会向它的四个邻块各传递一个 单位作用力。雪崩过程类似于上述沙堆模型，并且能够达到自组织临界状态【2 孓2 6 1 。 翻醪i 埝 图1 3 地震断层的弹簧块阵模型 f i g1 2t h es p r i n go f e a r t h q u a k em o d e l 1 5 3 经济模型 b a k 指出平衡经济理论与对水库间水流的描述是类似的。大量货物和服务平稳地从 一个代理商转向另一个代理商，其结果是进一步的流动或贸易不会对任何贸易伙伴有 利。经济上的一个小的的变动，例如利率的改变，导致小的调节不平衡的流动。在平衡 系统中，一切都是平稳线性的加起来。而真实的经济像沙不像水。像沙粒一样，决策是 不连续的，而不是像水平面一样是连续的。实际经济中有阻力，就像在沙中一样。从传 统上来说，经济学家会漠视大的波动，把它们视为不正常的，因而不属于一个普遍经济 理论的范畴。每个事件都接受了它自己的历史记录，接下来又从资料库中删去。一次崩 大连理工大学硕士学位论文 溃会被认为是由于电脑交易的引起而造成的，另- 次崩溃被认为是因为过分借钱购进股 票引起的。最终他们得到了一个只能展示小的波动的样本。然而大事件和小事件都遵从 相同行为的事实表明所有标度上有一个共同机制。基于此，b a k 提出了一个临界经济的 简单模型。 这个模型是由一个制造商形成的网，( 见图1 4 ) 每个制造商从两个买主那儿购进 货物，制造他们自己的产品，再把这些产品从两个卖主那儿购进货物，制造他们自己的 产品，再把这些产品卖给两个顾客。制造商可以从拥有任意数量的存货开始这个过程， 也可一从一无所有时开始。在每个时期的开始，比如每周，制造商从每个顾客那里收到 一份订单。如果他们有足够数量的存货，他们就直接把货交给顾客，如果不行的话，他 们就给他们的两个卖主送订单，从每个卖主那里接受一份货，并把这两份货制成产品交 给顾客。如果这些交易完了之后还剩下一份货，就把它们存起来，到下星期再出售。因 而再售货给顾客和从卖主那儿进货的过程中，每个制造商都扮演了双重角色。这个过程 从网的最上行开始，那代表了顾客，在最底行结束，那代表了原料制造商。 图1 4 相互作用的制造商模型 f i g1 4t h em a n u f a c t u r e rm o d e lw i t hi n t e r a c t i o n 首先第一种情形是，每周会有一个“震惊”引发经济，只有一个顾客需要货物。遮住 那嘎最初的需要导致网中的一个“积极投资”的效果。图1 5 显示了一个典型的网络状态， 每个制造商用上一周完成交易后还剩的存货数来表示。一个空心圆表示0 份货，一个实 心圆代表一份货。第一个卖主一无所有。他从他的卖主那儿进两份货，卖一份给顾客， 基于b a k - s n e p p e n 模型的扰动传播模型 剩一份留到下周交易。他的卖主实际上也没有所要的存货，也不得不往下面的卖主送订 单。经过一些事件后，雪崩停止了。图上显示了雪崩的程度，以及每个周末卖主的存货 数，因而，小的震动也能导致大雪崩。事件对g n p 的贡献就是雪崩的面积，也就是整 个雪崩过程中所制造的商品总数。 这个模型是有方向性的，从某种意义上说信息只往下传递，而不往上传递。达哈尔 a 和拉马瓦斯米证明雪崩服从一个幂次分布，n 。= s ，幂次f = 三。图1 5 给出的一个需 j 求所引发的雪崩发生前的网和发生后的网。 奎垄里王奎堂堡主兰垡鲨奎 一一 o o o 囝o o oo o 移o oo oeo 夕0 oo夕囝o 0 o 0 0 o o ， 、9 7 o v vooo o 图1 5 一个需求所引发的雪崩发生前的网和发生后的网 f i g1 5t h en e tb e f o r ea v a l a n c h ea n dt h en e t a f t e ra v a l a n c h eb yad e m a n d 箭头表明那些有一份存货的代理商。灰点代表那些为满足要求而必须生产的代理 商。被围起来的区域代表了雪崩的大小2 7 。2 8 1 。 一1 3 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 1 0 基于b a k - s n c p p c n 模型的扰动传播模型 1 5 4 演化模型 生物演化模型是b a k 等人为解释达尔文所无法解释的大灭绝和大爆发所提出的。在 文中的下一部分给出了详细的描述。 1 6 本章小结 作为解释复杂系统的一种经典方法，自组织f 临界性的主要目的是想要解释大自然为 什么是复杂的而不是简单的。它解释了自然界中各种无标度现象，比如分形、1 厂 噪声等。它解释了从山脉形成，河流走向，地震，股市波动等各种现象。 大连理工大学硕士学位论文 2 b a k - s n e p p e n 模型 2 1 b a k - s n e p p e n 模型的提出背景 达尔文进化论坚持认为，进化是一个缓慢连续的变化过程。但是这不能解释生物演 化过程中出现的大规模灭绝事件和生物大爆发事件，而实际在化石记录中渐变论也明显 缺乏足够的例证，而间断平衡理论正好补充了进化的不连续性的基本特征。古尔德在 1 9 7 2 年与人提出了“间断平衡”进化理论。即生物的进化并不像原先认为的那样是一个缓 慢的渐变积累过程，而是长期的稳定( 甚至不变) 与短暂的剧变交替的过程。生物界大 部分时间都处于相对稳定平衡的状态，已有的物种在相当长的一段时间内都处于进化停 止阶段，没有什么重大变化。而一旦发生重大变化，则此变化会在很短时间内完成。“间 断平衡”理论是建立在正统的达尔文进化论思想基础上的，而且间断平衡理论正好补充 了进化的不连续性的基本特征，所以间断平衡理论是达尔文进化论不可或缺的补充。 r a u p 也注意到生物演化过程中的确存在各种大小的插曲式的灭绝事件。既有少数大的事 件，像恐龙大规模灭绝、寒武纪大爆发，也有一连串的比较小的事件。出现这种现象暗 示生态系统已经自组织到临界状态。 基于上述背景，b a k 等科学家想通过合适的数学模型来了解达尔文理论的结果，同 时验证自组织临界性在生物演化中是否存在。 1 9 9 0 年，b a k 、k ( 3 h e n 和m c r u e t z 提出了“生命的游戏”模型，作者认为模型中存在 自组织临界性，但是这个模型不能稳定地展示自组织临界状态，i 临界态的出现依赖于模 型的规则，因此这个模型不是严格的自组织临界模型【1 0 1 。 1 9 9 1 年， s a k a u f f r n a n 和j s j o h n s e n 在“生命的游戏的基础上提出 n k c ”模型， n k c 模型能够发生从有序到无序的相变，这种相变的存在己被严格证明。但其同样太依 赖模型的规则，如果稍微改变一下规则则也会导致其无法达到临界态。因此这个模型也 不是严格的自组织临界模型【2 9 1 。 1 9 9 3 年，b a k 在“n k c ”模型的基础上作了大胆的创新，并提出了“b a k s n e p p e n 模型 1 3 】，虽然这个模型非常的抽象并且作了必要的简化，但是它很好解释了生物演化过 基于b a k - s n 卵模型的扰动传播模型 程中的“断续平衡”和“自组织临界性 。这也说明雪崩动力学代表了达尔文连续进化 观与代表质与量的飞跃的断续之间的关系。 2 2 b a k - s n e p p e n 模型定义 b a k s n e p p e n 模型探讨的是生态系统中多物种的共同演化行为。模型的理论出发点 是适应性最差的物种在下一个时间段里最容易发生变异。由于物种间的相互作用，该变 异会影响到周围的物种，从而使整个生态系统共同演化。推动演化向前发展的关键步骤 就是通过更优良品种的选择，每个物种要能够与目前的环境相适应。其他相互影响着的 物种就构成了环境的部分。b a k - s n e p p e n 模型定义如下： ( 1 ) 个物种被排在一个具有周期边界的d 维网格上( 此处的网格代表一个生态系 统，网格上的每个“顶点”代表一个物种，“边”代表物种之间的某种关联) ； ( 2 ) 每个物种的适应度用z 表示，适应度的初值取区间( 0 ，1 ) 间均匀分布p ( f ) 中的 个随机数； ( 3 ) 在每个时间段，具有最小适应度的物种和它的2 d 个邻居发生变异，即让这2 d + 1 个物种在p ( f ) 上重新获取新的随机数； ( 4 ) 不断重复步骤( 3 ) ； 虽然这个模型的规则比较简单但这个模型却能产生出超出我们想象的复杂行为。 2 3 b a k - s n e p p e n 模型的性质 生态系统发展至今，已有2 0 0 万个物种，数十亿个族和地区种群，各种生物物种互 相影响，互相依赖形成了一个和谐而庞大的系统，由于物种间的依赖关系，使得整个系 统对小事件的反应敏感。小事件可能引起一系列的连锁反应，形成规模难以预测的波动。 这说明系统对于扰动是敏感的，但这种敏感的程度不是没有限度的。否则生态系统早被 干扰所摧毁而存在不到今天了，这说明生态系统具有稳固性和坚持性，或者说它具有鲁 棒的特性，我们认为生态系统处于临界性的状态。由于该状态是生态系统自身演化而来 的。所以我们把这种既敏感又鲁棒的状态叫做自组织临界状态。另外此过程还能展示生 态演化中的一个重要特征：断续平衡性l l 引。 因此，b a k s n c p p e n 模型可以展示如下两个重要性质：( 1 ) 自组织临界性【1 。2 】；( 2 ) 断续平 衡性。 大连理工大学硕士学位论文 2 3 1 b a k - s n e p p e n 模型的自组织临界性 那根据上述定义模型是如何自组织到到临界状态的呢? 下面我们讨论一下最小值厶。与自组织临界状态的关系，我们可以通过研究每一个 时间短的最小值中的最大值来判断是否进入临界状态。 图1 给出的就是在每一个时间段内的最小值厶的图形分布 e - j 璺 唯 最小值图像 图2 1 最小值随时间的演化图像，实线表示的g ( s ) 随着时间s 按阶梯函数方式增长，g a p 是厂晌分 布的包络线 f i g 2 1t i m ee v o l u t i o no ft h es m a g e s tf i t n e s s t h ef u l ll i n es h o wt h eg a po ( s ) a sas t e p - w i s ei n c r e a s i n g f u n c t i o no fs t h eg a pi s 锄e n v e l o p ef u n c t