（应用数学专业论文）含约束条件的等周问题的研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 两曲线在它们的周长相等时称为等周在给定长为三的曲线中，求所围面积为最大的曲 线，这就是经典的等周问题，也称为特殊等周问题( s p e c i a ji s o p e r i m e t r i cp r o b l e m ) 或d i d 0 问题( d i d o sp r o b l e m ) 等，这个问题的答案为圆周彳艮多学者对这个问题给出了不同的解 法和证明e u l e r 用统一的方法处理变分问题后，又得到一些新的等周问题的结果 首先，本文简略介绍几种经典的等周不等式的解法和证明然后，对经典的等周问题 做了进一步的研究发展，将平面中的闭曲线限制在两条平行线之间，并给定它的面积，利 用变分法求出了满足此条件的曲线的最短长度与已知条件的关系和此曲线围成的图形的 形状 最后，利用广义支持函数和限弦函数研究了一种特殊的推广的b u r n 问题 关键词：等周不等式；运动密度；变分；b 硼陆n 问题； 第页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t w oc u i v e sw h e nt h e i rp e r i m e t e ri se q u a li sc a l l e di s o p e r i m e t r i c a tag i v e nl e n g t ho ft h e c u r v e ，f i n dt h el a r g e s ta r e ae n c l o s e db yt h ec u r v e ，w h i c hi st h ec l a s s i ci s o p e r i m e t r i cp r o b l e m ，i s a l s oc a l l e dt h es p e c i a li s o p e r i m e l r i cp r o b l e m ( s p e c i a li s o p e r i m e t r i cp r o b l e m ) ，o rd i d o sp r o b l e m ( d i d o sp r o b l e m ) a n ds oo n , t h ea n s w e rt ot h i sq u e s t i o ni sac i r c l e m a n ys c h o l a r sh a v eg i v e nt h e d i f f e r e n ts o l u t i o na n dt h ep r o o f t ot h i sq u e s t i o n a f t e re u l e rf r e dau n i f i e da p p r o a c ht ov a r i a t i o n a l p r o b l e m s ，a l s oo b t a i n ss o m en e wi s o p e r i m e t r i cp r o b l e mr e s u l t f i r s to fa l l ，t h i sa r t i c l eb r i e f l yi n t r o d u c e ss e v e r a lk i n d so ft h es o l u t i o n sa n dt h ep r o o f t ot h e c l a s s i c a li s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t i e s t h e n , h a sm a d et h ef u r t h e rr e s e a r c hd e v e l o p m e n tt ot h e c l a s s i c si s o p e r i m e t r i cp r o b l e m ：r e s t r i c t e dt h ec l o s e dc u r v eb e t w e e nt w op a r a l l e ll i n e sa n dg i v e n i t sa r e a , u s i n gt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d ，o b t a i nt h es h o r t e s tl e n g t ho ft h i sc u r v ea n dt h ee n c l o s e d g r a p h i cs h a p e s f i n a l l y , t h i sa r t i c l eu s e sg e n e r a l i z e ds u p p o r tf u n c t i o na n dr e s t r i c t e dc h o r df u n c t i o nt od i s c u s s as p e c i a lb u f f o np r o b l e m k e y w o r d s ：i s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y ；m o v e m e n td e n s i t y ；v a r i a t i o n ；b u f f o np r o b l e m ； 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究 所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的工作 外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：日期： 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位的 名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录工作 的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅，同意 学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行检索和 对外服务。 论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 武汉科技大学硕士学位论文第l 页 1 1 综述 第一章绪论 自然界中，极值现象随处可见极值问题的研究，也有着悠久的历史早在古希腊时， 就引起了先哲们和数学家们的关注公元前1 8 0 年左右，古希腊数学家z e n o d o r u s 写过一 篇有关等周图形的论著，但已失传公元4 世纪，亚历山大里亚的1 1 1 e o n 和p a p p u s 都提到 生活在公元前z e n o d o r u s 的工作据说他写过关于等周形( 具有相等边长的一些图形) 的书， 其中证明了以下定理： 1 周长相等的疗边形中，正刀边形面积最大； 2 周长相等的正多边形中，边数越多的正多边形的面积越大； 3 圆的面积比任何具有相等周长的正多边形的面积大； 4 表面积相等的所有立体中，球的体积为最大【1 1 伴随着研究古希腊典籍的热潮，等周问题在1 7 世纪引起了人们的广泛兴趣，受到普 遍的关注1 6 9 7 年瑞士数学家j o h a m b e m o u l l i 重提等周问题，将它纳人分析学中曲线和求 极值的范畴中讨论1 8 3 8 w 1 8 4 2 年，瑞士数学家s t e i n e r 在假定极大性存在的前提下证明了 在具有一定周长的所有三角形中，等边三角形具有最大的面积接着用综合方法就在具有 一定周长的所有平面图形中，圆周包围着最大的面积，给出了几种初等解法这就是经典 的等周问题( s p e c i a li s o p e r i m e t r i ep r o b l e m ) 这个问题可转化为命题：设是平面上的简单 闭曲线r 的长度，是r 围成的面积，则有 r 一4 n f 0 且等号成立当且仅当是一个圆1 2 0 1 1 2 6 i 对于上述的等周不等式是几何学中最耐人寻味的课题之一，也是整个数学中一则具有 实质意义的命题第一个证明是由w e i e r s t r a s s 给出的1 9 0 2 年，a h u r w i t z 基于w m i n g e r 不 等式给出了证明1 9 3 9 年，e s c h m i d t 利用c a u c h y 不等式给出了证明后来，任德麟在积 分几何学引论中利用b l a s c h k e 公式和p o i n c a r 6 公式给出了证明 几何学是数学的一大分支，它服务于其它分支乃至实际比如，其它学科总是时刻注 意它的内容和结论的几何意义；几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 是凸几何与医学c r 及体视学的一个交叉学科，研究由几何对象的低维信息( 投影、截面积、平行x 射线、点 源x 射线) 重构该几何对象或对该几何对象的性质做出推断【6 】【2 7 1 变分法是数学分析的一个分支，它是微分学中处理函数极值方法的扩展变分学研究 的主要内容就是泛函的极值，凡有关泛函极值的问题都称为变分问题变分法理论把分析 学和几何学结合在一起，它可计算出泛函的极值曲线也就是说，也可得到曲线的形状此 理论对本课题的研究起着巨大的作用1 1 2 1 1 1 4 1 5 1 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 1 2 研究现状 关于经典的等周问题很多学者产生了浓厚的兴趣，先后给出了很多不同的解法和巧妙 的证明比如初等的方法、f o u r i e r 级数的解法、微分几何的方法、积分几何的证法等e u l e r 用统一的方法处理变分问题后，又得到一些新的等周问题的结果 积分几何方法在凸几何与几何概率的研究中具有重要的意义我国前辈苏步青在凸几 何研究领域做出了卓越的贡献，陈省身、吴大任、严志达、任德麟等对几何的发展也有重 要贡献任德麟导出了广义支持函数和限弦函数两个新概念，张高勇等讨论了平行四边形、 三角形和正六边形三种区域，找到了它们的广义支持函数和限弦函数，计算出这些凸多边 形内定长线段的运动测度的具体表达式，并将其运用到几何概率问题中得到了一系列的结 果 1 3 研究意义 等周不等式是几何学中最耐人寻味的课题之一，也是整个数学中一则具有实质意义的 命题含约束条件的等周问题是变分学中重要的一部分，它不仅与数学中众多分支联系紧 密，而且也为物理学和力学提供了重要的数学原理，它在自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，特别是在探讨“最佳方案、“最优设计 等方面的作用尤为显著因此，对其进 行研究具有极大的理论和现实意义 1 4 本论文所做的工作及其研究目标 经典的等周问题一直以来都属于数学领域里重要的研究内容本文简略介绍几种经典 不等式的解法和证明，然后对平面中经典的等周不等式给与限制条件，在所有以平面中两 条平行线为支撑线且所围面积固定的闭凸曲线中，求出了具有最短周长的曲线 利用广义支持函数和限弦函数研究了一种特殊的推广的b u f f o n 问题 1 5 本论文的创新之处 本论文的创新之处在于对平面中经典的等周不等式做了进一步的发展研究，在所有以 平面中两条平行线为支撑线且所围面积固定的闭凸曲线中，求出了具有最短周长的曲线 1 6 本论文的研究方法 本文在研究泛函极值问题时，涉及到变分学的知识，结合在凸几何中学到的等周不等 式，利用变分法得到含约束条件的等周问题的结果 1 7 本论文的内容安排 根据本论文的主要内容，将论文分为五章： 武汉科技大学硕士学位论文 第3 页 第一章为绪论 第二章给出经典等周不等式的两种证明方法 第三章先介绍了变分学的一些预备知识，然后用变分法研究含约束条件的等周问题 第四章利用广义支持函数和限弦函数研究了一种特殊的推广的b u f f o n 问题 第五章综合以上分析，对所研究的问题做了一个简略的、不尽成熟的说明 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章关于经典等周问题的一些证明 前面我们已经介绍，经典等周问题的解法和证明有很多种，这里我们不再一一赘述 这一章我们只给出任德麟的积分几何的证明方法和a h u r w i t z 基于w i r t i n g e r 不等式给出的 证明 、 定理2 1 1 ( 等周不等式) 设是平面上的简单闭曲线r 的长度，是r 围成的面积， 则有 r 一4 n f 0 ( 2 1 1 ) 且等号成立当且仅当r 是一个圆 2 2 等周不等式的积分几何证法1 2 】【4 】【5 】1 1 7 l 2 2 1 平面运动群 平面上欧氏运动群( 在不至于引起混淆的情况下，一律简称为平面运动群) 以m 表示 元素u m 称为运动在平面直角坐标系中，若运动将点p ( x ，y ) 移动到尸( x ，y ) ，则甜可表 示为 i x = x c o s - y s i n 矽+ a 【y = x s i n # + y c o s 矽+ 6 并将u 记作u ( a ，6 ；) 其中a , b ，称为运动“的参数，它们的变域分别为 一o o a b o o ，一o o b - b o o ，0 2 r r 对任意给定的s m ，可以在m 中定义两种自同构：左推移和右推移左推移定义为 l ，：m 专m ，ui - - - ) s u ； 右推移是 r ，：m _ m ，uh u s ； 由左推移，和右推移j i c 。分别可以诱导出余切空间之间的映射 由厶可诱导出映射 l ，+ ：e 一吒，c o ( u ) b - - ) 烈s “) ： 由r 。可诱导出映射 r ，：e 专t ，国 ) ht o ( u s ) 2 2 2 运动密度 定义2 2 1 在映射厶下保持不变的l 形式称为左不变的，在映射r ，+ 下保持不变的1 形式称为右不变的 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 q = c o s c # a + s i n # d b ，0 ) 2 = 一s i n d a + c o s 彬b ，0 ) 3 = 却构成e 的一组基 c 0 1 = b d # + d o ，c 0 2 = 一积矽+ d b ，0 3 3 = 却构成e 的一组基 可证：d k = 劬 国： 伤= d a d ba 却是m 上唯一的左不变3 形式， d k = 国1 国2 国3 = d a d b a 谢是m 上唯一的右不变3 形式， 所以d k = q 0 9 2 = 国1 国2 x 国3 = d a d b 却 定义2 2 2 称外积疆= d a xd b 彩为平面运动群m 的运动密度若不用参数口，b ， 来确定运动，而以其它的适当的参数确定运动，则运动密度d k 将取另外的形式 设平面上有定曲线r 0 及位置可变动的曲线l ，若知道两曲线相交于何处以及交角的大 小，即若知道r o 和r l 在交点处各自对应的弧长参数s 。和j 以及交点处两切线的夹角秒，则 动曲线r l 的位置就完全确定了这就是说，运动甜可由参数s 。、毛和口确定，所以运动密度 可由参数、而和口表示出来表示形式为： d k l = i s i n p a j oa d s l d o ( 2 2 1 ) 2 2 3p o i n c a r 6 公式 有了运动密度( 2 2 1 ) 式以后，立即可导出p o i n c a r 6 公式设r o 和r 1 分别为平面中逐 段光滑的定曲线和动曲线，它们的长度对应着分别为厶和厶取( 2 2 1 ) 式两边的积分， 积分域为缸：z 正nr o 1 2 j ) ( 换而言之，即把r l 带到与r o 相交的那些运动甜的集合) 右方 为 r e 厶， 弘。p 。s i l l 秒p = 4 厶厶 00一鼻 至于左方，需要注意若对于r l 的某个位置二曲线有刀个交点，那么此位置刀次地重复计入， 故左方为 i 删k n n 云蚴 从而得到p o i n c a r 6 公式： l 玎疆l = 4 厶厶 2 2 4b l a s c h k e 运动公式 设r 为平面上具有连续曲率的定向益线所谓r 的全曲率有下述积分定义： c ( r ) = 灿 ( 2 2 2 ) r 其中s 为f 的弧长或者利用z = 办d s ，将( 2 2 2 ) 改写为c ( r ) = p f r 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 其中f 表示o x 正旋至曲线的切线正向的角积分沿r 的正向进行 全曲率概念可推广到逐段光滑曲线的场合设定向曲线r 由m 段光滑弧 a ，= a , a o = 1 , 2 ，3 ，胁；规定a n , + l = a 1 ) 组成a “在a i 处的切线到a 。在4 处的切线的角 ( 即角点4 处之外角) 记为o ( a 。) ，一万 目( 4 ) 万f 的全曲线可定义如下： c ( r ) = i d f + 臼( 4 ) 1 2 1 a i f z l 无重点的曲线叫做简单曲线如所周知，任意一条光滑或逐段光滑的简单闭曲线，其 全曲率必为2 万( 正负号依赖于曲线正向的选择) 这就是所谓的切线回转定理 利用闭曲线的全曲率概念可以规定区域的全曲率设d 是由有限条逐段光滑的简单闭 曲线做边界围成的区域，边界的正向按习惯方式取定( 即沿此方向前进时，区域常在左侧) 组成0 1 ) 的各围道的全曲率之代数和，称为d 的全曲率，记为c ( d ) 关于全曲率及回转定理的严谨表述见陈省身欧氏空间中的曲线和曲面 定理2 2 1 设d o 为有限条逐段光滑的简单闭曲线围成的区域，d 0 的全曲率为，面 积为r ，周长为厶d l 为同类型区域，其全曲率、面积、及周长分别为c 、e 、及厶又记 交集d l 厂、d o 的全曲率为c o l 即c 。= c ( h i 厂、d o ) 设d 0 位置固定，q 为动区域，运动密度 记为d k l 则有 i c o l 撼= 2 万( 昂c i + e c o + 厶厶) ( 2 2 3 ) d i n 反a 公式( 2 2 3 ) 称为b l a s c h k e 运动基本公式 定义2 2 3 t 1 0 i 设足为欧氏平面e ，上一子集当a k ，b k 时，连接a ，b 两点的线段也 属于k ，则称k 为凸集 定义2 2 4 【1 1 1 设k 为一集合，称包含k 的所有集合的交集为k 的凸包，记为c o n vk 推论设d 0 和d l 皆为凸域，则c 。= c l = c o l = 2 万从而有 l d q = 2 万( f o + e ) + l o 厶 ( 2 2 4 ) 2 2 5 积分几何方法的证明过程【2 l 设简单闭曲线r 围成的区域记为k 因为我们将用b l a s c h k e 公式和p o i n c a r 吾公式来证 明定理，所以我们补充假定r 逐段光滑 证明一首先假定k 是凸的以k 作为位置固定的区域，以与k 全等的墨作为动区域 对k 、k i 运用b l a s c h k e 公式，对k 、k 1 的边界运用p o i n c a r 6 公式，有 f a g i = 4 才+ r ， 甄屉事a k 赦l = 4 1 9 壅圣壁垫垄堂堡主堂垡笙茎箍z 夏 令朋f = 胁缸：u k lnk a ，越ln 孤q 恰为f 个点 ，并注意以下几点： 1 因为k l 全等于k ，故m o = 0 ； 2 粼。与越的交点数为奇数时，a 墨与a k 处于相切的位置，这些位置构成零测度集， 故当f 为奇数时有m ；= 0 ； 3 - - & 域k l 与k 相交时，恒有c 0 1 = c ( 墨n k ) = 2 万： 4 二曲线相交于刀点时，这些位置当门次重复地计入 我们有m 2 + m 4 + = 4 z r f + r ，2 研2 + 4 m 4 + = 4 i ? 由上述两式有 r 一4 死f = m 4 + 2 历6 + 3 m 3 + 又因一切m ，0 ，从而证得 l 2 4 x f 0 现设k 是非凸的这时考虑k 的凸包k k 的周长r 、面积f 与三、f 间的关系是： f 1 成立 所以厂p ) = qc o s t + b ls i n t ，结论得证 定理2 3 1 1 他1 ( g r e e n 公式) 若函数p g ，j ，l q g ，j ，) 在闭区域d 上连续，且有连续的 一阶偏导数，则有 巩署一号户仃= 沙+ 劬， 这里l 为区域d 的边界曲线，并取正方向 定义2 3 1 嗍设y 是密度函数为p ( x ，y ，z ) 的空间物体，p g ，y ，z ) 在y 上连续当物体 v 的密度均匀即p 为常数时，则有重心坐标为 ；= 古妒矿每古驴“= 古俨y 卜圆哆f 缁a f l u r w i t z 嗣承孵恕程 取曲线f 的重心为原点，建立平面直角坐标系( x , y ) ，f 的坐标为( x ( j ) ，y ( j ) ) ， 州蚴，令r ：等s ，则两出- o 且 c 2 + c 参2 = 嚎等，2 + c 罢尹d s2 = c 套2 + 噻) 2 】唼，2 = 丢 所以 2 + 2 弦= 芸 设r 围成的区域d ，由g r e e n 公式 彳= p 妒。d ( x d y ) = p = o ) d 俄y 衍dddo 一 2 c 等卅= 善c 参2 + 0 2 也 = 殓2 。小一参2 降 i c 参2 吖2 弦 对x o ) 应用w i r t i n g e r 不等式，知笔一么o 当时不难发现，x ( ，) - - o c o s t + 6 s i i l r ，且 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 譬：x ( f ) ，于是 也 一 所以c 是圆 y o ) = a c o s t - b s i n t 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 第三章含有约束条件的等周问题 3 1 泛函的基本知识 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题求解方法通常有两 种：古典变分法和最优控制论我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴 3 1 1 泛函的概念 设s 为一函数集合，若对于每一个函数x ( r ) s 有一个实数，与之对应，则称，是定义 在s 上的泛函( 函数的函数) ，记作，( x ( ，) ) 称x o ) 为，( 石( f ) ) 的宗量，s 称$ jj 的容许函数 集 对应c 1 【，x ，】中不同的函数x o ) ，有不同曲线长度值，即，依赖于x ( ，) ，是定义在 函数集合c 1 i x 。，x 。】上的一个泛函，此时我们可以写成 j = o ( f ) ) 我们称如下形式的泛函为最简泛函 f 1 ，( x ( f ) ) = lf ( t ，x ( f ) ，x ( f ) ) 衍 l o 被积函数f 包含自变量f ，未知函数x ( t ) 及导数x ( t ) 上述曲线长度泛函即为一最简泛 函 3 1 2 泛函极值问题 考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点a ( x 。，y 。) 和b ( x 。，少。) 的平面曲线中，试求长度最小的曲线即 札= - 求y ( x ) i v ( x ) l y ( 功c - 【x 。，x 。】，y ( ) ：夕。，y ( 而) ：y 。 ，使，( 少 ) ) = i x l + y 眩d x 。 而 取最小值此即为泛函极值问题的一个例子 以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，称泛函( x ( ，) ) 在x 。( f ) s 取得极小 值，如果对于任意一个与x 。o ) 接近的x ( r ) s ，都有l ，( x ( r ) ) ( ( f ) ) 所谓接近，可以用 距离d ( f ) ，( r ) ) 1 0 s f s f ， 泛函的极大值可以类似地定义其中x o ( f ) 称为泛函的极值函数或极值曲线 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 3 2 变分法的基本知识【1 2 】【1 4 l 【1 5 1 3 2 1 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部作为泛 函的自变量，函数x ( ，) 在x o ( t ) 的增量记为 万x o ) = x o ) 一x o o ) 也称函数的变分由它引起的泛函的增量记作 a j = j ( ( f ) + 反( 嘞一，( ( ，) ) 如果可以表为 a j = l ( x o ( r ) ，疣( f ) ) + r ( x o ( t ) ，出( ，) ) 其中为反的线性项，而，是蠡的高阶项，则称三为泛函在x o ( t ) 的变分，记作 8 j ( x o ( t ) ) 用变动的x ( r ) 代替x o ( r ) ，就有( x ( ，) ) 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数口的导数： ( x ( ，) ) = 兰，( x ( r ) + 祗( ，) ) i 。，这是因为当变分存在时，增量 ，= ，( x o ) + c 艺舐) 一j ( x ( f ) ) = 三( x o ) ，c 成) + ，( x ( r ) ，c a s x ) 根据l 和，的性质有 工( x ( f ) ，o 疵) = 础 ( f ) ，融) l i m r ( x ( t ) , a s x ) ：l i m r ( x ( t ) , a s x ) & ：0 a - - + o 口a - - - o 岱蹴 所以 杀m + 硪忙删l i r a 塑等型 3 2 2 泛函极值的变分表示 ：l i r al ( x , a s x ) + r ( x , c t s x ) 口_ o 口 = l ( x ，反) = e a ( x ) 定义3 2 1 设( f ) 是泛函，( x ( f ) ) 的容许函数集s 中的某一函数，若对任取的z s ， 都有 j ( x ( f ) ) j ( x o ( ，) ) ( 至v ( x o ) ) j ( x oo ) ) ) ， 则称泛函，( x ( f ) ) 在( r ) 处达到极大( 小) 值并称粕o ) 为，( x ( r ) ) 的极大( 小) 值曲线 利用变分的表达式= l ( x o ( t ) ，疵( ，) ) + ，( ( f ) ，出( f ) ) ，可以得到有关泛函极值的重要结 论 定理3 2 1 泛函极值的变分表示：若( x ( f ) ) 在x o ( t ) 达到极值( 极大或极小) ，则 e a ( x o ( ，) ) = 0 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 证明对任意给定的蠡，( + 祗) 是变量口的函数，该函数在口= 0 处达到极值根 据函数极值的必要条件知 导，( x 。+ 施) l 删= 0 d 口 再由= l ( x o ( t ) ，疵( f ) ) + ，( ( f ) ，苏( f ”，便可得到结论 变分法的基本引理：缈( x ) c x l ，x 2 】，w r ( x ) c 1 i x l ，x 2 】，r ( x 1 ) = r ( x 2 ) = o ，有 鼍 i 妒( x ) 刁( x ) 历r 兰0 ， - h 贝0 伊( x ) 三0 ；x 【x 1 镌】 证明用反证法假设烈x ) 在i x ，工：】中某一点孝处不等于零，不妨设烈孝) 0 ，由认x ) 的连续性可知，必存在区间畴，磊】，使得孝【磊，岛】c 阮，x ：】，并且当x “卣，彘】时，烈x ) 0 取 l 0 墨x 点 刁( x ) = ( x 一点) 2 ( x - r a y , 石 e = 。，即允一丢万专) = 0 得x 2 习岳歹托- 令y ，r a n t ，则x ：黑+ c l ：l ，s i i l ，+ c 1 由砂：y 饿，有咖：t a n r c 。s t d t ：导s i n t d t 九s e c t a 屯九 由此可得y ：一_ ic o s t + c 2 于是有 x 2 _ 1s i 。n t + c 1 x = 一 + 名 。 1 。 y i s h c 2 化为直角坐标系方程得。一q ) 2 + ( y c ：) 2 = 吉 这说明极值曲线是以( c ，c ：) 为圆心，以为半径的圆周族中的一段圆弧于是得 定理3 3 1 设两平行线，2 之间的距离为2 a ，以，：为支撑线，面积为a 的周长最小 的曲线是两段相同的圆弧围成的 接下来我们来研究最小周长的大小因为闭凸曲线围成的图形是对称图形，所以 f ( - a ) = s ，又由边界条件厂( 口) = s ，可得c i = 0 为了美观，令= r ，所以x 轴上方的圆弧 所在的圆的方程可化为x 2 + o 一巳) 2 = r 2 第1 种情形当a 册2 时，如图1 可得 f ! 彳：傩+ 墅a r c s i i l 旦一三口厢 i三z ：s + r a r c s i i l 旦 整理得丢，= f 丢+ 三厨一丢a r c s 证嗣+ r a r c s 洫晏 令g ) = f 笔+ 三厨一丢a r c s m 晏 + r a r c s m 量， 先对g 似) 关于r 求导得g 似) = 伍一口) ( _ 赁圭亍一口a r c s 试晏 ， 令g ，似) = 。得r - a = o 或杀与弓a r c s 逾晏= 。 武汉科技大学硕士学位论文第1 9 页 令删2 丽与弓a r c s m 晏 o r 南m 司一丽一一m i j 缈：a r c s i i l 竺! ( t a n 伊一妒) o r 矽=m 一一i口一够j u 口、 ” 所以- 7 一三a r c s i l l 旦 o 不可能等于零 r 2 一口2 口r 故只有当r = 口时，言7 取得极小值为s + 主斌于是得 定理3 3 2 设两平行线，l ，如之间的距离为2 a ，当a 磁2 时，以，2 为支撑线，面积为 彳的曲线的最小周长，为4 s + 2 积 易知，若s = o ，满足定理3 3 2 中条件的曲线的最小周长i = 2 斌，闭曲线为一圆周， 圆周在，乞上的支撑分别为一个点 第2 种情形当a 嬲2 时，闭曲线在，1 2 上的支撑也分别为一个点，设x 轴上方的曲 线为y = 后g ) ，类似地边界条件变为忌( o ) = o ，七o ) = 0 ， 等周条件为 主4 = r 2a r c s i n 瓦a 一口撕砑，假设根据边界条件和等周条件可得r = 民，所以 三，= 2 蜀a r c s i n a r 于是得： 定理3 3 3 设两平行线，2 之间的距离为2 a ，当a o ) 及矽( o 矽2 z ) ，置 g ，( ，砂) = n l i i l ，万吖) ) ， 我们称二元函数，o ，矽) 为凸域d 的限弦函数 现在我们介绍用广义支持函数和限弦函数表达运动测度m o ) 的公式 定理4 3 1 设p p ，矽) 和，p ，) 分别为凸域d 的广义支持函数和限弦函数则有 2 膏 ，( ，) r e ( o = 硬一0 咖j p ( o - ，糟仃， 武汉科技大学硕士学位论文 第2 1 页 其中f 为d 之面积 4 4 主要结论 另组的间隔为b 如此形成的网格称为矩形网格以口和b 为边的矩形叫做此网格的基本 区域设b a 今有小针，其长度，不超过矩形较短边之长( 即，b ) ，随机地投掷于平 面上我们希望求出n 与该矩形网格相遇的概率p 这一问题称为b u f f o n 问题的l a p l a c e 推 广 利用m ( ) 讨论推广的b u f f o n 问题：所谓区域格( 1 a t t i c eo fr e g i o n s ) 是指满足下列条件 的一种全等区域序列，： ( 1 ) 平面上任一点p 属于且仅属于某一个区域嘶； ( 2 ) 对于任意指定的，存在运动u i m 致u 。重合于，与此同时使得序列中每 个区域重合于序列中另外的区域 诸口，称为此区域格的基本区域这些基本区域的边界组成的图形称为此区域格的网格 我们考虑广义的b u f f o n 问题假设区域格尺。_ 的基本区域是