（应用数学专业论文）关于格蕴涵代数性质的研究.pdf

嚣南交逶大学硕士研究生学僚论文第l 页 摘要 非经典逻辑是人工智能领域中十分活跃的研究方向，是不确定性推理的 瑷论鏊础在j 经典逻辑的研究中，格值逻辑的研究其有u 繁要而广泛的意义 掺蕴涵代数是狳扬教授为研究格值逻辑把格与蕴涵代数捆结合提出的一个 代数系统本文将在格蕴涵代数已有性质的基础上，进一步讨论格蕴涵代数 一瓣性质获结构。具然终了以下三方嚣豹王 乍： 1 、在有界分配格的素理想空间上给出了格蕴涌代数的一个表示，并借 动集台鹣无疆运冀系统建讨论了表示鹣牲臻，褥出了撂夔泌钱数中饪意子集 无限运算的若干性质 2 、精揍骧涵我数中南一子集生藏豹格蘩涵予代数鞠绐穆及捂薤溺代数 的直积进行了研究，给出了一格蕴涵代数可分解成一族格蕴涵代数直积的必 要条俘，证鞠了格蕴涵代数燕一有翠位元靛布尔环 3 、给出了格蕴涵代数中d - 理想的定义弗讨论了其性质，给出了格蕴涵 代数中集合s 上超滤子的定义并与集合代数上的超滤子作了眈较，研究了两 转超滤予之闯豹关蓉+ 奖键词；接蕴涵代数：理想：滤子 匿南交逶大学硕士赣究生擎往论文豁珏炙 a b s t r a c t n o n - c l a s s i c a ll o g i ci sa l la c t i v er e s e a r c hd i r e c t i o ni nt h ef i e l do fa r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c ea n dal o g i cf o u n d a t i o nf o ru n c e r t a i n t yr e a s o n i n g ，i nt h es t u d yo f n o n - c l a s s i c a l l o g i c ，l a t t i c e - v a l u e dl o g i cs y s t e m i so fe x t e n s i v es i g n i f i c a n c e l a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a i sa n a l g e b r a i cs y s t e mc o m b i n a t i n gl a t t i c e w i t h i m p l i c a t i o na l g e b r a i ti sf i r s td e f i n e db yp r o f e s s o rx uy a n gi no r d e rt os t u d y l a t t i c e v a l u e dl o g i c t h e r ea r em a n yr e s e a r c hp a p e r sa b o u tl a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r aa n dr e l a t e dl o g i c i nt h i sp a p e r , t h ep r o p e ra n ds t r u c t u r eo fl a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a i sf u r t h e rs t u d i e d t h ef o l l o w i n gw o r k sh a v eb e e nd o n e ： 1 o nt h e p r i m e i d e a l s p a c e o fd i s t r i b u t i v el a t t i c e 谢囊b o u n d s 。a r e p r e s e n t a t i o no fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r aw a sg i v e n a n dw i t ht h eh e l po f t h el i m i to fs e t ，t h ep r o p e r t i e so ft h i s r e p r e s e n t a t i o nw e r ed i s c u s s e d 。f i n a l l y , s o m eo f p r o p e r t i e so fa n ys u b s e t sl i m i to f l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ah a v eb e e n p r o v e d 2 t h es t r u c t u r eo ft h el a t t i c ei m p l i c a t i o ns u b a l g e b r aw h i c hg e n e r a t e df r o ma s u b s e t ，a n d t h e p r o d u c t o fl a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a w e r es t u d i e d 。t h e n e c e s s a r yc o n d i t i o nw a sg i v e no fa l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r aw h i c hc a nb e d e c o m p o s e di n t ol a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sp r o d u c t i ti sp r o v e dt h a tl a t t i c e hi m p l i c a t i o na l g e b r ai sab o o l e r i n gw i t ha u n i t 3 t h e c o n c e p t so f o i d e a lw a sp r o p o s e da n di t s p r o p e r t yw a sd i s c u s s e d u l t r a - f i l t e ro nas e tso fl a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a w a sd e f i n e da n dw a s c o m p a r e dw i t ht h eu l t r a - f i l e ro nas e to fl a t t i c e ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i s t w ou l t r a f i l t e r 黼ss t u d i e d 。 k e yw o r d s ：l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ，；i d e a l ；f i l t e r 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 引言 1 1 1 形成本文的背景 人工智能是计算机科学、控制论、信息论、神经生理学、语言学等多种 学科互相渗透而发展起来的一门学科就其本质而言，人工智能是研究、设 计和应用智能机器或智能系统，来模拟人类智能活动的能力、以延伸人类智 能的科学不论从什么角度来研究人工智能，都是通过计算机等现代工具来 实现的计算机科学与技术的飞速发展和计算机应用的日益普及，为人工智 能的研究和应用奠定了良好的物质基础人工智能的发展使计算机更聪明、 更有效、与人更接近 自古以来人类对人工智能就有持久的、狂热的追求，并凭借当时的认 识水平和技术条件，设法用机器来代替人的部分脑力劳动，用机器来延伸和 扩展人类的某种智能行为17 世纪，法国物理学家和数学家巴斯卡 ( b p a s c a l ) 制成了第一台会演算的机械加法器并获得实际应用随后，德 国数学家和哲学家莱布尼兹( g w l e i b n i z ) 在这台加法器的基础上发展并 制成了进行全部四则运算的计算器，他还提出了逻辑机的设计思想，即通过 形式逻辑符号化，对思维进行推理计算这种“万能符号”和“基于符号的 推理计算”的思想是“智能机器”的萌芽，因而他被誉为数理逻辑的第一个 奠基人进入2 0 世纪后，人工智能相继出现若干开创性的工作 1 9 5 6 年的一次历史性聚会被认为是人工智能学科的诞生的标志这一 年，人工智能的研究取得了两项重大突破第一项是纽厄尔、肖( j s h a w ) 和西蒙的研究组编制了一个逻辑理论程序l t ( t h el o g i ct h e o r ym a c h ir l e ) ， 模拟人们用数理逻辑证明定理的思想，采用分解、代入、替换等规则，证明 了怀特赫德( a n w h i t e h e a d ) 和罗素( b a w r u s s e l l ) 合著的数学原理 第二章中的3 8 条定理1 9 6 3 年，修订的程序在大机器上终于完成了该章中 全部5 2 条定理的证明一般认为，这是用计算机模拟人的高级思维活动的一 个重大成果，是人工智能研究的真正开端。第二项是i b m 工程研究组的塞缪 尔研制的西洋跳棋程序 2 0 世纪6 0 年代中期以后，人工智能由追求万能、通用的一般研究转入 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 特定的具体研究，通用的解题策略与特定的专业知识及实验经验结合，产生 了以专家系统( e x p e r ts y s t e m ，e s ) 为代表的基于知识的各种人工智能系统， 使人工智能走向社会，走向实际应用研究斯坦福大学教授费根鲍姆( e a f e i g e n b a u m ) 于1 9 6 5 年开创了基于知识的专家系统这一人工智能研究的新 领域2 0 世纪9 0 年代计算机发展的主要趋势是小型化、并行化、网络化 和智能化人工智能技术逐渐与数据库技术、多媒体技术、网络技术相结合， 旨在使计算机系统更聪明、更有效，与人更接近 我国从1 9 7 8 年才开始设立人工智能的研究课题，主要在定理证明、汉 语自然语言理解、机器人及专家系统方面，并取得一批研究成果在我国的 “8 6 3 ”高技术研究开发计划中，智能计算机系统和智能机器人被列入高技 术的重点发展主题 为了使计算机具有智能，能模拟人类的智能行为，就必须使它具有知识 和能运用知识进行推理来求解问题的能力 经典逻辑推理是根据经典逻辑的逻辑规则进行的一种推理，推理时所用 的知识都是精确的，推出的结论也是确定的，其真值或者为真或者为假， 没有第三种情况出现因此它是一种精确推理或称为确定性推理然而由于 现实世界中的事物和现象大都是不严格和不精确的，许多概念是模糊的，没 有明确的类属界限在此情况下若仍用经典逻辑做精确处理，势必要人为 地在本没有明确界限的事物间划定界限，从而舍弃了事物固有的模糊性，失 去了真实性因此要必然涉及不确定性推理不确定性推理是指推理时所用 的知识不都是精确的，推出的结论也不完全是肯定的，其真值位于真与假之 间吐 推理依据逻辑，推理的基础是逻辑精确推理的基础是二值逻辑，那么 不确定性推理的逻辑基础是什么? 这已经引起了计算机科学、数学科学、人 工智能等领域研究人员的高度重视和极大兴趣因此而纷纷提出和研究各种 各样的逻辑系统如多值逻辑系统、模糊逻辑、非单调逻辑、模态逻辑和直 觉主义逻辑等都在试图为不确定性推理建立合适的逻辑基础【2 】 本文就是在这样的背景下产生的作者试图通过进一步研究格蕴涵代数 的性质，继续为研究以格蕴涵代数为真值域的格值命题逻辑系统做准备 1 1 2 国内外研究现状分析 从与二值逻辑平行的角度来看，非经典逻辑可分为多值逻辑、模糊逻辑 西南交通大学硕士研究= 生学彼论文第3 页 和直觉主义逻辑它们与二值逻辑的本质区掰之一在于排中律不辫成立 近代 曼多数学家，如g + b o o l e 、c 。s p e i r c e 、n a 。y a s i l e v 、j l u k a s i e w i g z 和e p o s t 等曾对多值逻辑研究作出震要嚣献，其中 l u k a s i e w i c z 秘p o s t 豹工律具套翅时代的意义。l u k a s i e w i c z p l 予1 9 2 0 年提 出了一个三值逻辑系统其中的笫三个舆值可表示中立性、无定义或某些中 阏篷竣态，这楚多霞逻辑戆第一个形式系统，它数爨想亵方法矮采被广泛瘦 用于有限值逻辑研究 4 1 此后不久，p o s t 睁1 于1 9 2 1 年独立地发展了他提出的 裔穷多毽逻辑系统，与l u k a s i e w i c z 三篷逻辍系统不同熬是，它不再关注逻 辑中的褥学问题，摆脱了嚣学观念的影响，是个以二值逻辑作为特例的纯 形式的逻辑系统该系统燕完各的、协调静。l u k a s i e w i c z 和p o s t 被认秀是 多擅逻辑研究的创始人，他们的研究工作极大地推动了多值逻辑的发展1 6 1 继l u k a s i e w i c z 和p o s t 之麝，大蹩反映不同褥学背景、具有不间应用 领域豹多值逻辑系统媚继翊世。b o c h v a r1 7 】在1 9 3 9 零给出秘三值逻辑系统与 语义悖论有关，其三值逻辑具有合理的计算解释s c k l e e n e 8 l 张1 9 5 2 年给 凌了一个三壤逻辑系统，瞧的曩豹爨想要适应寒礁定豹数学念鬏。c 。c c h a n gj l o j 、p m a n g a n ii “j 、y k o m o r i 3 】等研究了多值代数及l u k a s i e w i c z 逻辑系统。d iz e n z 0 1 | 4 1 于1 9 8 6 年褥遗了一个辩毽逻辑系绞p x o 则有： ( 1 ) f 是双射， ( 2 ) f ( a ) = x 。”。 证明：( 1 ) v a ，b l ，d 茎b 静五量以故肖，是单射 v x o x o | 拉芒霹，有球孽三，使f ( a ) = x 。，馥寄，是满瓣。 ( 2 ) v a 三，( 口= z ：= 咒“ 定理2 1 2f 是格蕴涵代数( 厶y ， ，_ ) 剥格蕴涵代数 瓦| a e 三 ；u ，n ，”，? ) 豹掺凌态与蕴涵弱悫+ 证明：f ( a v 6 ) = x 。6 = x 。u x e = ，( n ) u ，( 6 ) f ( a 鑫) 。玩小一x o n 五= ，( 口) n ，( 6 ) f ( a b ) = 疋。a = x 。? x b = ，( 4 ) ? ，( 6 ) + 定理2 1 3 格蕴涵代数( 三 v ， ，呻) 岛它的素理想空间的开闭下集形成 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 的格蕴涵代数( 咒i a 工) ；u ，n ，”，- 2 ) 是格蕴涵同构 佰42 1 1 设l = 【0 , 1 】，v a ，b l ，a v b = m a x a ，6 ) ，口 6 = m i n a ，6 ) ， a = 1 一，a _ b = 1 ( 1 一a + b ) ，则( 上，v ， ，_ ) 是一格蕴涵代数 v b ，c l = 0 ，1 】，也：= ( = o , m ) i p ( l ) l m b ) 有五u x b = 【o ，p ) u o ，m ) = 0 ，m a x p ， ) l p 口，m b ) 瓦n 也= “o ，p ) n o ，m ) = o ，m i n p ，m ) l p s 盯，坍5 b x a “= e o ，g ) i 口+ g 1 ) 爿。? x b = ( 0 ，s ) l 5 1 a ( 1 一目+ 6 ) 则( 以l a q ；u ，n ，”，? ) 与( 厶v ， ，一) 同构 2 2 格蕴涵代数表示的性质 本节利用集合列的极限对格蕴涵代数表示的性质进行讨论，得出了格蕴 涵代数表示的一系列结论 先考虑 t1 日三 里单调集合列的无限运算： 定理2 2 1 设h 苫三k 三为( ( 瓦l a c m ；u ，n ，”，? ) 的 一集合列，五为( 五f 口e 目；u n ，”，? ) 的任一元素，则 ( 1 ) ! 受( 以? k ) = 五? 烛k ； ( 2 ) 憋眠? 以) _ 。1 i m 。x o 。7 也- 证明：( 1 ) 由x s ) ，营v z l ，z 斗x z - + y 扎2 三k 等以? 2 五? 矗2 2 x b ? k 2 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 若x 鳃( 五? k ) 2 0 ( 五? “) ，所以对任意自然数k ，x e 五? k 即对任意自然数k ，存在q k ，以也，使得工= 以? 吼，不妨选取这样的 元素吼：q2 呸一a k ，因此x e 0 咒? 凸k2 x a - + l i m 。x 。 所以! 现( 也? 托) 五? ! 受 若x e x b - + 。l i m 。x 。= 五? 丘，由于对任意自然数丘，巨厶c x a , ， 所以也? q 也7 ，即对任意自然数岸x 五? 厶， 因此z g ( 咒? k ) 21 受( 五? ) 所以五? 舰厶! 受( 鼍? ) 因此( 1 ) 式成立 ( 2 ) 由工y 亡，v z l ，x _ 三) ， z 2 j 7 五7 也? 五星 若工憋( ? 五) 2 型( ? 五) 所以存在自然数岛，使x k ? 托， 当k k o 时，x e k ? 五k + ? 五k ? 托， 所以存在 q 五，以e 丘- 使得工= 唧? 6 ，不妨选取这样的元素q ：= 。一- ， y - k h 。c 厶，因此x q 扎? q 五5 脚x o ? 五 以l i m ( x 。? 五) 一c 。l i m 厶7 五 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 若z e 。l i m 。x 。? 五2 凸矗? 五，所咀存在“口“，6 也，使得 x = a - - - b ，即对任意自然数k ，有口k ，6 e 也， 使x = n ? 6 矗? 五，因此x 凸( 厶- ? x d 2 舰( k ? 五) 所以! i 。m 。x a 。? 五。l i 。m 。( x 。? 五) ，因此( 2 ) 式成立 定理2 2 2 设为( 五i 口上 ；u ，n ，“，? ) 的一 集合列，x 。为( 疋id 目；u ，n ，”，? ) 的任一元素，则 ( 1 嬲( 五? k ) 2 以? 憋k ； ( ”。l i 。m 。( x a ，? 五) 。! 骢k ? 五 证明：( 1 ) 由x y 营v z e l ，三一工z 斗y 。 j 五? x o , 五7 五? 若x 憋( ? ) 2 拦( 五? k ) ，所以存在一自然数k o ，使得 x 五7 氐又k 拦k ， 所以扎? k c _ - l - 。u x o , ， 所以x 孔? 拦2 x b - - l i m 。x o 。所以憋( 以? 扎) 五7 熙扎 若x 五? ! 鳃2 五? 旦， 所以存在4 u x o ，b 五，使得 f 4 i x = 6 7 口，所以存在一自然数蜀，使得a e k ，6 也， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 有x = b - - + a e x b ? k 。，又也? h 拦( 五? 厶) 所以x 拦( 五7 ) 。! 晚( 瓦? k ) 所以五? ! 受k ! 受( 五? a ) 因此( 1 ) 式成立 ( 2 ) 由工y v z l ，z 斗z j ，呻z x 。j 量x q 量量x h e j x a , o x b j x q x6 2 x 专x b 2 若x l i m ( x , , 。7 五) 2 q ( ? 五) ，所以对任意自然数世，x 矗? 以， 所咀存在q h ，以五，使得x = 唧? 阮，不妨选取这样的元素 吼：q 一一唧一一吼以：b l 一一瓯一一b ，所以口拦厶，b 也 x = 口? 6 拦h ? 也，因此x 岂k ? 讫2 憋? 五 所以! i m ( x o ? 也) 舰k ? 五 若x 憋? 以2 拦- t x b ，因对任意自然数足，旦k 五， 所以拦厶? 五矗? 咒，所以对任意自然数世，工? 也， 因此x 口( 厶? 也) 2 舰( 7 也) 所以熄扎? 局l i m ( x o 。7 x d 因此( 2 ) 式成立 接下来考虑 tl 口工) 里一般集合列的无限运算： 定理3 3 设( 厶i i n ) 为( ( 以i 口) ；u ，n ，”，叫的任一集合列，。为 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 ( 。i 口三) ；u ，r l ，”，? ) 的任一元素， 则 ( 1 ) 。l i + r a 。( q ? t ) 2 女l i + r a 。x q ? 丘； ( 2 ) 。l i m ( x “? 以) 2 磐k ? 置； ( 3 ) 地( 以? ) = x c ? 一l i m ； t ( 4 ) 画( 以? k ) = 五? 匦 证明：( 1 ) 令? 五2 k 因为赢l i m ( k 7 五) 熙( 7 墨) ， 若艇焉l i m ( ? 以) ，则有撕。l i 。m 。( x a 。? 以) 2 i l i m 。x ，一， 所以对任意自然数”，存在k 订，使得x 五= ? 鼍， 即对任意自然数h ，存在k 疗，使得q k ，唧置，使得工= 唧? 气， 即x 甄k - - - 。l i m x 。= 甄五寸t 所以蕊l i m ( h ? 以) 甄k ? 置 因为面l i m k 罂厶，所以画k 寸t 磐氏亍鼍 若x 燕k ? 置，则有“鬲l i m - - 2 x , ，所以一定存在a e 。l i r n k ，c 五， 使得x = 口? c ，所以存在一自然数，当k k o 时，口x o ，c k ， 使得x = a - - c k 7 丘= 五，即艇忑l i m 氐2 赢l i m ( 扎? t ) 所以l i m x o 7 置兽吵k ? 置) 因此( 1 ) 式成立、 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 ( 2 ) 令7 丘2 因为e l i m 二肖m l i m x c , 。， 所以鬲l i m k ? 也d 。l i r a x o 。? 五若x e 憋( 7 五) _ l i m x b ， 所以对任意自然数”，存在k 盯，使得xs x b , = k ? 置， 即对任意自然数竹，存在k 打，存在q 厶，唧五，使x = 唧? q ， 即x 甄丘? 酗2 匦? 以，所咀旌焉l i r a 厶? 五- 所以舰( 扎? 五) 鬲l i m x o , ? 以 因为 l i 。r n 。( x c ) c l i m ( x 。? 鼍) ，若x l i 。m 。x o j x o ， 所以一定存在地咒。，c t ，使得z = a y e ，所以存在一自然数k o ， 当丘时，x = 口? 。丘? 五2 ，即艇赢l i m 黾2 赢l i m ( 气? 置) ， 所以x e 舰( k ? 鼍) - 所以赢l i m j k ? 以c 。l i + m 。( x n 。? 五) 。 因此( 2 ) 式成立 ( 3 ) 令五? k 3 厶若x 蕊l i m ( 置? ) 2 磐 ， m 所v a g - 在- 自然数，当k 时，x 厶= 五? k ，即存在一自然数 k o ，当k 民时，存在吼e 矗，吒五，使得工= q ? 吒五? k ， 所以x l i m 置? 磐k2 置? 磐k - 所以磐( 丘寸) 以? 鬲l i m *t f 呻m 一 若x 置? 凛五，所以存在口磐如，c 以，使得x = d ? 。， 西南交通太学硕士研究生学位论文 第1 8 页 _ _ _ - - - _ _ _ _ - _ _ _ ，_ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - _ - 。_ _ 。_ 。”。”。一一一 n 以f e - 自然数k o ，当k k o 时，x = c ? 髓芒五- 2 丘= 五， 所以z 地黾= l i r n ( x , 7 丘) 所以置? 粤k 量磐( 也? ) i 叶 。 k - # o 呻# 呻。 因此( 3 ) 式成立 ( 4 ) 令五? k = 五若x 世匦( 五? 矗) = 甄五，所酸对任意自然 数m ，存在k ，使得x k = 墨? ，所以对任意自然数聍，存在k ， 存在qg 五，五，使得x = ? 唧， 即x 燕置? 匦= t ? 匦矗所以燕( 以? 五) 以? 藏l i m 若x 置? 巫置，所以存谯口! 觋五，c 五，使得工= c ? 口，女m 。# _ 所以对任意自然数一，存在k - n ，使得d 黾，所以对任意自然数订，存在 k ”，使得芏= c ? 群萎? 五= 五，所以蔗芒憋黾2 燃五? & ) + 黪强萎? 戛五墓l i m ( x 。- - ，t x ) t 瓣姥( 4 ) 式成立- 2 3 格蕴涵代数的性鹱 基予鼓土添节秘| 雩论，我察霹叛枣糁蕴涵代数表示静撼凄褥蹬格夔涵伐 数的一个重要性质 定璀2 3 1 设( ，v ， ，t ，是一格蕴涵代数，如聚l 的一非空予集m 存在 上确赛缓下确赛，舞 c a | 曼三，卷； ( 1 ) ( 姜苫) _ 疗2 盘0 叶肆) ； 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 ( 2 ) ( ，盘x ) 斗日2 品0 斗d ) ； ( 3 ) d _ ( ，匕x ) = ，匕 _ + x ) ； ( 4 ) 日一( ，盆x ) 2 0 m ( 口斗x )j e 村琏 定义2 3 1 6 】称( 厶v ， ，斗) 是一完备的格蕴涵代数，如果对格三的任 意非空子集m ，v m ，a m 都存在 扫02 3 1 【2 1 设l = o ，口， ，o 口 ，盯= 口，i = o ，o = i ，且有 l vo ai i oo ai aa ai ii。