（固体力学专业论文）基于频率可靠性约束的随机结构优化设计.pdf

叫防科学技术人学研究，e 院、何论文 a b s t r a c t j 、h c h i s t o j ya n dr e s e a r c ho fo p t i m u md e s i g nt b rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i co fs t r u c t u r ea r e lnj c w c d f i r s t l y t h e nt h ed e f e c to f c o n v e n t i o n a lo p t i m i z a t i o ni sp r o p o s e d t h a ti s t os a ) r e n g i n e e r i n gs t r u c t u r es h o u l db el o o k e da sr a n d o ms t r u c t u r e a n do p t i m u md e s i g nf o rd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i co ts t r u c t u r em u s tb eb a s e do nr e l i a b i l i t y a p p l y i n gm o n t e - c a r l om e t h o dt o s i m u l a t er a n d o mf i e l d s ，n u m e r i c a lr e s u l t si sc o n s i s t e n tw i t h r e l i a b i l i t yt h e o r y a p p l y i n g s p c c t t a ld e c o m p o s i t i o n o fc o r r e l a t i o nm a t r i xt h e o r y ，a n e q u a t i o n o fs t r u c t u r e d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i co p t i m i z a t i o nc o n s i d e r i n gt h er a n d o m n e s so fp h y s i c a lp a r a m e t e r s ( e l a s t i cm o d u l e a n dm a s s d e n s i t y ) o f s t r u c t u r a lm a t e r i a l si s p r o p o s e d d i g i t a l c h a r a c t e r i s t i cv a l u e s ( m a l h e n l a t i c a e x p e c t a t i o na n dv a r i a n c e ) o fe i g e n v a l u e sa r ed e r i v e df r o md y n a m i ce q u m i o n ， 。l d c i g e m 7 a l u e s d e r i x 7 a t i v e sa r ee v a l u a t e d t h e n s e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g m e t h o d ( s o p ) i sa p p l i e d t os t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n r e s u l t s s h o wt h a ti ti so fe x c e l l e n t p lo p c r l i e sf i n a l l y ，c o m p u t e r - a i d e de n g i n e e r i n gm e t h o d ( c a e ) i si n t r o d u c e d ，a n da n s y s p a l a n l e t r i cd e s i g nl a n g u a g e ( a p d l ) i s a p p l i e dt os t r u c t u r ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i co p t i m i z a t i o n b a s e do nr e l i a b i l i t yt h ea n a l y s i so ft h r e ee x a m p l e ss h o wf e a s i b l e k c ) w o r d ：s t o c h a s t i cs t r u c t u r e ，s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，d y n a m i cc h a r a c t e r ，r e l i a b i l i t y ， m o n t e c a r l om e t h o d ，s q p ，a p d l 第1 v 页 国防科学技术人学研究生院学僦论文 第一章绪言 1 i 本文的研究背景 结构是军事工程设施和装备中不可缺少的重要组成部分。军事工程设施和装备很多 都要求在动载荷环境中工作，例如火箭、导弹和飞机的气动力、爆炸引起的冲击载荷、 运输弓i 起的振动和冲击载荷等。同时，在航天器结构设计中，对频率也有蠼基本的要求， 以避免结构与控制系统之间的耦合。高技术的发展使得大量的电子产品应用于军事装 备，它们对装备的动力特性和可靠性提出了更加苛刻的要求，小型化、轻型化、简填装 比等设计目标必然要求优化设计。 传统的工程结构分析，通常采用确定性的力学模挺。在这种模型中，不承认或完全 忽略了现实结构中的变异性。在其体的分析与计算中，本质上是用某种意义上的均值参 数代替原来的结构系统，现在研究表明，只有在本原系统关于这类模鍪系统的变异性较 小时，上述分析才能给出较为符合实际的结果。否则，传统的工程结构系统识别结果也 必然是对本原系统的稀有偏差的估计绐杲。因此，传统的结构优化设计至少存在以下 缺点： a 、传统结构优化设计不把可靠度考虑在约束之雨，从而得到的优化结构可靠度低， 没有足够的安全僳证： b 、由于采用确定往的模疆，经优化设计焉得国的最优结构不能反映融不确定因素精 结构菜方面陡能的影响。 璇实世界中的各种工程络构，葳多或少魂包含着各种不确定霞素。这整不确寇因索， 可能源予客脱条件，也可能缘予入为盼影响。在数学上，这麓不确定的因素有时可良傻 稽其有适当概率分布密度的随梳变量来粕醵描述。鬲这种观点来考察工耩结构，进而进 行结构分析时，簸不能群将其结构看作怒单个酶、确定不交的工程对象，丽楚一个腋从 于一定概率籁律随梳变纯着的结构母集和。这释结 寄可称为隧辊结构或概率结梅，对其 实施的裔限元分析方法，称之为随梳有限元方法( s t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 。扶 这种意义上讲，随梳有隈元方法是常烧裔限元的个发震，或者说是有限元法与隧梳过 程毽论在工程中静一个裔梳结合。反过来，常规有限元法也w | 三l 说是隧橇有限元法豁一 个特殊予域，它将上述概率结构所雹含静不确定因素，嗣一个确定静代表僵予缓理怒模 瀣仡。当结梅静不确定因素对结构菜些方蟊性能豹影稿不可忽臻薅，常怒有限元就不能 说是充分静。 第1 页 国防科学技术人学研究生院学僦论文 第一章绪言 1 i 本文的研究背景 结构是军事工程设施和装备中不可缺少的重要组成部分。军事工程设施和装备很多 都要求在动载荷环境中工作，例如火箭、导弹和飞机的气动力、爆炸引起的冲击载荷、 运输弓i 起的振动和冲击载荷等。同时，在航天器结构设计中，对频率也有蠼基本的要求， 以避免结构与控制系统之间的耦合。高技术的发展使得大量的电子产品应用于军事装 备，它们对装备的动力特性和可靠性提出了更加苛刻的要求，小型化、轻型化、简填装 比等设计目标必然要求优化设计。 传统的工程结构分析，通常采用确定性的力学模挺。在这种模型中，不承认或完全 忽略了现实结构中的变异性。在其体的分析与计算中，本质上是用某种意义上的均值参 数代替原来的结构系统，现在研究表明，只有在本原系统关于这类模鍪系统的变异性较 小时，上述分析才能给出较为符合实际的结果。否则，传统的工程结构系统识别结果也 必然是对本原系统的稀有偏差的估计绐杲。因此，传统的结构优化设计至少存在以下 缺点： a 、传统结构优化设计不把可靠度考虑在约束之雨，从而得到的优化结构可靠度低， 没有足够的安全僳证： b 、由于采用确定往的模疆，经优化设计焉得国的最优结构不能反映融不确定因素精 结构菜方面陡能的影响。 璇实世界中的各种工程络构，葳多或少魂包含着各种不确定霞素。这整不确寇因索， 可能源予客脱条件，也可能缘予入为盼影响。在数学上，这麓不确定的因素有时可良傻 稽其有适当概率分布密度的随梳变量来粕醵描述。鬲这种观点来考察工耩结构，进而进 行结构分析时，簸不能群将其结构看作怒单个酶、确定不交的工程对象，丽楚一个腋从 于一定概率籁律随梳变纯着的结构母集和。这释结 寄可称为隧辊结构或概率结梅，对其 实施的裔限元分析方法，称之为随梳有限元方法( s t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 。扶 这种意义上讲，随梳有隈元方法是常烧裔限元的个发震，或者说是有限元法与隧梳过 程毽论在工程中静一个裔梳结合。反过来，常规有限元法也w | 三l 说是隧橇有限元法豁一 个特殊予域，它将上述概率结构所雹含静不确定因素，嗣一个确定静代表僵予缓理怒模 瀣仡。当结梅静不确定因素对结构菜些方蟊性能豹影稿不可忽臻薅，常怒有限元就不能 说是充分静。 第1 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 在结构的模型化过程中，概率结构的工程实例主要有： l 、材料常数 在弹性体的有限元分析中所使用的刚度矩阵 k 、质量矩阵 m 】与材 料的弹性模量、泊松比、质量密度等因素相关，在温度场分析中，要使用的热传导率。 这些材料常数，由于制造技术、质量管理等方面的原因，常常存在不确定性。又如将f r p 多层板作为正交异性体分析时，除正交异性弹性模量外，各层的厚度、纤维的排列角度 等的波动，也会不同程度的影响材料的刚度。 2 、结构形状 焊接件焊口的端面轮廓，受到腐蚀的金属板的表面形状，长期受到 水流冲刷的大坝表面形状，结构各部件的形状及尺寸误差，磨损或变形引起的结构形状 和尺寸的变化等，都是不确定的，具有随机性。 3 、边界条件 在有限元分析中，常常用到固定端、自由端等边界条件。实际上， 现实结构所受到的约束条件往往是复杂的、包含着随机因素。完全固定、完全自由可以 说是对现实约束条件的理想化。例如，在原子能发电站、大型化工设备中，使用了大量 的管道，这些管道的实际约束位置及约束方式，并非与设计参数完全一致，而有一定的 偏差。 4 、结构的阻尼用衰减比描述的结构阻尼在结构振动分析中是十分重要的。但是， 由于阻尼发生机构的多样性及其描述方法的差异，衰减比难以用确定值予以固定。例如， 在抗震设计中，起响应谱往往对若干个不同的衰减比给出，这也表明了衰减比自身所具 有的变化特征。 总而言之，现实中的结构是十分复杂的，为了高速度、高精度的处理结构的应力、 应变、位移、频率等信息，应该充分考虑结构自身及所处环境中的各种随机因素，使所 得到的分析结果更能符合现实情况。因此，必须在概率基础上进行结构优化设计，即把 结构参数的随机性考虑到目标函数中或约束中，运用优化方法得到基于可靠性的结构设 计参数的最优解。显然，基于可靠性的结构优化设计克服了传统优化设计的缺点，较之 常规的优化设计其模型更为合理，结果更为适用。随着航空、航天及海洋技术的发展， 设计一个结构使其具有预定的动力特性和可靠性并达到最优的设计目标成为人们愈来 愈关注的问题。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 结构动力优化设计的研究 长期以来，工程师、设计师都在探索如何改善自己的产品的动力性能。但由于数学 及分析手段的限制，早期的研究只能采用用经验、类比和试凑等方法。显然，这种原始 第2 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 在结构的模型化过程中，概率结构的工程实例主要有： l 、材料常数 在弹性体的有限元分析中所使用的刚度矩阵 k 、质量矩阵 m 】与材 料的弹性模量、泊松比、质量密度等因素相关，在温度场分析中，要使用的热传导率。 这些材料常数，由于制造技术、质量管理等方面的原因，常常存在不确定性。又如将f r p 多层板作为正交异性体分析时，除正交异性弹性模量外，各层的厚度、纤维的排列角度 等的波动，也会不同程度的影响材料的刚度。 2 、结构形状 焊接件焊口的端面轮廓，受到腐蚀的金属板的表面形状，长期受到 水流冲刷的大坝表面形状，结构各部件的形状及尺寸误差，磨损或变形引起的结构形状 和尺寸的变化等，都是不确定的，具有随机性。 3 、边界条件 在有限元分析中，常常用到固定端、自由端等边界条件。实际上， 现实结构所受到的约束条件往往是复杂的、包含着随机因素。完全固定、完全自由可以 说是对现实约束条件的理想化。例如，在原子能发电站、大型化工设备中，使用了大量 的管道，这些管道的实际约束位置及约束方式，并非与设计参数完全一致，而有一定的 偏差。 4 、结构的阻尼用衰减比描述的结构阻尼在结构振动分析中是十分重要的。但是， 由于阻尼发生机构的多样性及其描述方法的差异，衰减比难以用确定值予以固定。例如， 在抗震设计中，起响应谱往往对若干个不同的衰减比给出，这也表明了衰减比自身所具 有的变化特征。 总而言之，现实中的结构是十分复杂的，为了高速度、高精度的处理结构的应力、 应变、位移、频率等信息，应该充分考虑结构自身及所处环境中的各种随机因素，使所 得到的分析结果更能符合现实情况。因此，必须在概率基础上进行结构优化设计，即把 结构参数的随机性考虑到目标函数中或约束中，运用优化方法得到基于可靠性的结构设 计参数的最优解。显然，基于可靠性的结构优化设计克服了传统优化设计的缺点，较之 常规的优化设计其模型更为合理，结果更为适用。随着航空、航天及海洋技术的发展， 设计一个结构使其具有预定的动力特性和可靠性并达到最优的设计目标成为人们愈来 愈关注的问题。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 结构动力优化设计的研究 长期以来，工程师、设计师都在探索如何改善自己的产品的动力性能。但由于数学 及分析手段的限制，早期的研究只能采用用经验、类比和试凑等方法。显然，这种原始 第2 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 的方法带有较大的盲目性。1 9 6 5 年，n i o r d s o n 发表“振动粱结构优化”一文，丌创了结 构动力优化设计的先河。伴随着高速度大容量计算机的出现和发展，在结构动力优化设 计领域，出现了许多研究成果，而且在许多实际工程中得到应用。现代结构动力优化设 计的方法主要有数学规划法( m p ) 和优化准则法( o c ) 。 a 数学规划法 数学规划法的基本方法是在以设计变量为坐标的多维空间内搜索既满足所有的约束 条件、又能使目标函数尽量接近最小( 最大) 值的点。其优点是数学严谨、适应性强、 可靠性高。数学规划法中包括线性方法、非线性方法、几何方法和整数规划方法。频率 优化可以用好几种方法解决，其中罚函数方法最为常见。另外的方法如可行方向法、梯 度投影法、乘子法、序列线性规划法以及序列二次规划法( s q p ) 都已应用于频率优化 中。z a r g h a m e e 于1 9 6 8 年第一次将有限元法与非线性数学规划结合起来，应用梯度投影 法处理了给定重量结构的基频最大化问题。f e l i x 和v a n d e r p l a a t s 以应力、位移、e u l e r b u c k l i n g 和自然频率为约束，使用多级优化方法( m u l t i l e v e l o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e ) 对 空间桁架进行外形优化设计。结果表明：施加的约束的类型对优化结果影响很大。最近， 大型、通用的、具有多学科优化功能的有限元计算机程序也被用于结构频率优化。n e i l l 等人以翼结构为例，探讨了发展和使用自动结构优化系统( a s t r o s ) 的问题。s o m a y a j u l a 和b e r n a r d 利用m s c n a s t r a n 分析了板和管优化的灵敏度问题。k o d i y a l a m 等人发展 了m s c ，n a s t r a n 优化结构外形和尺寸的能力，同时展示了在多种结构中的应用。程 耿东等将序列二次规划法应用于受到多阶固有频率约束的结构优化设计，构造了种交 替执行调频步与减重步的迭代算法。c h e u 等利用序列线性规划方法对具有几何尺寸和自 然频率约束的汽轮机叶片进行了重量极小化设计。 b 优化准则法 优化准则法以满足某种准则来代替目标函数在约束条件下取极值，其优点是算法简 单、收敛快、不受设计变量多少的影响。n i o r d s o n 首次运用此方法，提出简支梁的横向 振动的基频的最大值可以通过逐渐减少其横截面积而得到。1 9 6 8 年z a r g h a m e e 首先给出 了满足固有频率约束、且具有线性刚度矩阵和质量矩阵的动力优化设计准则：当结构按 某一固有振型振动时，如果它所有元件的应变能密度和功能密度之差与其质量密度的比 值为一常数，则此结构就有在这阶固有振型下的最小重量。v e n k a y y a 通过l a g a r a n g e 乘子法导出了所谓的v e n k a y y a 的准则公式。1 9 8 1 年林家浩在给定频率禁区约束条件下， 通过k t 条件给出了一种双因子的迭代准则，显著地改善了迭代的收敛性。钱令希利用 双因子迭代格式对满足频率禁区约束的桁架和框架结构同时进行了构件截面尺寸和节 点坐标的优化设计。柴山利用离散变量结构优化设计的特点，采用一种迭代方法对频率 禁区约束下离散变量的结构进行了优化设计。 第3 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 1 2 2 结构可靠性的研究 结构可靠性设计的思想可追溯到本世纪初。1 9 l1 年卡宾奇就提出了用统计数学的方 法研究载荷及材料的强度。1 9 2 6 1 9 2 9 年间，霍契阿洛夫和马耶罗夫制定了概率设计的 计算方法。f r e u d e n t h a l 研究了传统设计法中的安全系数和结构破坏之间的内在关系，于 1 9 4 7 年发表“结构安全度”一文，奠定了结构可靠性的理论基础。 f r e u d e n t h a l 的全概率分析方法在理论上是合理的，但这种精确的全概率积分很难应 用于实际问题之中。现实的选择是利用随机变量的数字特征来近似计算结构的失效概 率。其中，利用随机变量的一、二阶矩计算结构的失效概率的二阶矩方法在工程界受到 普遍的欢迎。c o m e l l 将结构可靠性指标卢定义为结构安全余量均值与标准差之比。对 不同形式的等价的失效函数，c o r n e l l 的可靠性指标不能保证得到一致的结果。1 9 7 4 年，h a s o f e r 和l i n d 提出根据失效面而不是失效函数定义失效模式的可靠性指标。利 用这种方法得到的可靠性指标只与失效面有关，而与失效函数无关，是失效函数的不 变量。因此，对于同一物理问题，根据h l 算法计算得到的可靠性指标口，不会由于选 择不同形式的失效函数而发生变化。由于h l 算法只适用于随机变量为正态分布的情 况，r a c k w i t z 和f i e s s l e r 提出了j c 算法，将h l 算法的适用条件由正态随机变量构成 的失效函数推广为任意随机变量构成的失效函数。j c 算法的核心是将非正态随机变量 在设计点处转换为正态随机变量，通过迭代计算，使两者在可靠性指标口的计算上近似 等价。j c 算法使得计算结构可靠性指标口相当简单，只需要重点研究正态随机变量构 成的失效函数即可。因此，在失效模式已知的情况下，用j c 算法计算模式失效概率可 以达到工程上满意的结果。 c h e n 和l i n d 提出了三参数正态尾部近似方案对j c 算法进行了改进。董聪也提出了 一种拟r o s e n b l a t t 变化的简捷算法，并建立了相应的快速迭代计算格式。 1 2 3 基于可靠性的结构动力优化设计研究 由于人们希望在结构的安全可靠使用与建造费用之间找到一个平衡点，所以，结构可 靠性与结构优化在本源上密切相关。正因为此，促使人们研究基于可靠性的结构优化问 题。1 9 8 1 年r a o 开始了对在随机动载荷作用下设计变量为随机矢量的基于可靠性的优化 设计问题的探讨，对这一领域的研究作出了开创性的贡献。冯奇以结构的动力可靠度极 大化和重量极小化为目标函数，利用无约束优化方法求解了在脉动风随机载荷作用下的 烟囱的基于动力可靠性的优化设计。陈塑寰等利用概率原理，将随机规划问题等价转化 为确定性规划问题，对具有随机性的多自由度振动体系进行了随机优化设计。陈建军等 第4 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 应用概率分析的方法，利用r a y l e i g h 商对特征值随机变量的数字特征进行了推导，构 造了具有频率或频率禁区可靠性约束的工程结构优化数学模型。 总的说来，基于可靠性的结构动力优化设计已经引起人们的广泛的重视，本身也有 了长足的发展。但由于问题的复杂性，它的理论和方法尚不尽完善、系统和成熟，直接 获得工程应用的并不多。因此，基于可靠性的结构动力优化设计尚属工程结构设计领域 中难度颇大、但内容新颖的前沿性课题之一。开展对它的研究，不但具有十分现实的工 程背景，而且有着重要的理论意义和学术价值。 1 3本文的主要研究工作 本文主要内容包括： 1 、调研了国内外结构动力特性优化设计及结构可靠性研究的有关文献，指出必须在 概率基础上进行结构动力优化设计，即把结构参数的随机性考虑到结构动力优化中，得 到基于可靠性的结构设计参数的最优解。 2 、运用m o n t e c a r l o 方法模拟随机场，得出在结构材料物理参数为随机变量时结构 动力优化结果。 3 、利用随机场的相关结构分解理论，推导出了在考虑结构材料物理参数为随机参数 时结构动力矩阵的一般表达式，进而求出随机结构特征值的数字特征，讨论了数字特征 对设计变量的导数的求解方法。采用序列二次规划( s q p ) 法，得出基于可靠性约束的 优化解。 4 、考虑到结构分析中c a e 方法的广泛应用，推导出用a n s y s 进行随机结构动力 特性优化的一般方法。 第5 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 应用概率分析的方法，利用r a y l e i g h 商对特征值随机变量的数字特征进行了推导，构 造了具有频率或频率禁区可靠性约束的工程结构优化数学模型。 总的说来，基于可靠性的结构动力优化设计已经引起人们的广泛的重视，本身也有 了长足的发展。但由于问题的复杂性，它的理论和方法尚不尽完善、系统和成熟，直接 获得工程应用的并不多。因此，基于可靠性的结构动力优化设计尚属工程结构设计领域 中难度颇大、但内容新颖的前沿性课题之一。开展对它的研究，不但具有十分现实的工 程背景，而且有着重要的理论意义和学术价值。 1 3本文的主要研究工作 本文主要内容包括： 1 、调研了国内外结构动力特性优化设计及结构可靠性研究的有关文献，指出必须在 概率基础上进行结构动力优化设计，即把结构参数的随机性考虑到结构动力优化中，得 到基于可靠性的结构设计参数的最优解。 2 、运用m o n t e c a r l o 方法模拟随机场，得出在结构材料物理参数为随机变量时结构 动力优化结果。 3 、利用随机场的相关结构分解理论，推导出了在考虑结构材料物理参数为随机参数 时结构动力矩阵的一般表达式，进而求出随机结构特征值的数字特征，讨论了数字特征 对设计变量的导数的求解方法。采用序列二次规划( s q p ) 法，得出基于可靠性约束的 优化解。 4 、考虑到结构分析中c a e 方法的广泛应用，推导出用a n s y s 进行随机结构动力 特性优化的一般方法。 第5 页 国防科学技术人学研究生院! 学位论文 第二章随机结构优化的理论基础 2 1 概率论基础 2 1 1 随机变量及其概率分布 如果变量的取值与随机试验的结果有关，则称其为随机变量。对一个随机变量作 完整的概率描述是给出它的概率分布。随机变量x 的概率分布函数f ( x ) 定义为 f ( x ) = p ( x x ) 一0 0 x c o( 2 1 ) 注意到，连续型随机变量取任一特定值x 的概率为零，即：p ( x = x ) = 0 故随机变量在区间 x l , x 2 】内取值的概率为 p ( x f x s x 2 ) = p ( x l x x 2 ) = f ( x 2 ) 一f ( x i ) 当f ( x ) 连续可导时，可定义如下概率密度函数p ( x ) 删：型：l i 啦坠型! 型盟 ( 2 2 ) d x 女一od x 多维随机变量的特征可以用联合概率分布来描述。以二维实随机矢量x = x 。x ：】7 为例，它的两个分量的取值偶( _ ，z ：) 对应于平面直角坐标系中的一个点。x 的二维联 合概率分布函数定义为 f ( x l ，x 2 ) = p ( x l x l ，x 2 x 2 ) ( 2 3 ) 当二维概率分布函数f ( _ ，x 2 ) 具有二阶偏导数时，可导出x 的联合概率密度函数。 事实上，由 f ( x lx 2 ) = 尸( l x 2 叠) = p ( d l ，u 2 ) d u l d u 2 可得二维联合概率密度函数 p ( 五，而) = 亳= _ f ( x l , x 2 ) ( 2 4 ) c 珥l l 伍2 并且x ，取值于( q ，乜) 同时x ：取值于( 吒，如) 的概率为 p ( 口i x r 6 j ，a 2 x 2 6 2 ) = 。e j 口( ，而) 幽咄 以上关于二维随机变量的讨论不难推广到多于二维的情形。 第6 页 国防g - 学技术大学研究生院学位论文 2 1 2g a u s s 分布与中心极限定理 l 、g a u s s 随机变量 实践中常遇到一类随机变量，它具有所谓g a u s s 分布，也称正态分布。其概率密度 函数可表示为 贴，= 壶唧卜错 s ， 式中以为x 的均值，q 为标准差。 利用变换f ：羔生 t 可将式( 2 5 ) 标准化为 础) 2 去e x p ( 一4 2 2 ) ( 2 6 ) 标准化g a u s s 随机变量取值于l 掌i a 的概率为： 川善l s 日= 伫口p ( 4 ) d 4 查表可得： p ( j 孝峰1 ) = o 6 8 2 7 p ( i 孝i 2 ) = 0 9 5 4 5 p ( i 毒i 3 ) = 0 9 9 7 3 由此可见，g a u s s 随机变量在( 一3 盯，3 盯) 区间外取值的概率为0 2 7 。这就是随机振动试 验中通常把最大幅值取为3 仃的根据。 2 、中心极限定理 g a u s s 分布在理论分布中极为重要。中。i i , 极限定理指出，大量独立的随机变量之和， 十分接近于g a u s s 分布。说得更具体一点，设有n 个统计独立的随机变量x ，：，t 。，各 个变量x ，的均值与方差分别记为“与井，对各个变量的分布函数的形式并无限制，它们 可以是g a u s s 分布，也可以不是。考察由上述随机变量组成的线性和 x = a i x i ( 2 7 ) 式中a 为任意常数。 考虑到 第7 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 n 从= 。， ：( 2 8 )m。， 一= c 2 2 j = i 中心极限定理提出，当n o 。时和式( 2 8 ) 中的极限存在，且没有任何一个x ，对上述部 和有突出贡献的情形下，则当n 斗。o 时，的概率分布将趋于以式( 2 8 ) 中的极限值从 与盯；为均值与方差的g a u s s 分布。对于多维分布，情况也是如此。 2 1 3相关结构分解 月维随机矢量x = 五：x 。 7 的协方差矩阵 c = c 1 1c 1 2 c 2lc 2 2 c l c 2 h c ，w 勺= e k x ，一, u x i ) ( x ，一心) j ) 为对称矩阵且为非负定矩阵。根据矩阵特征理论，实对称矩阵的特征值都是实数。并且， 对于n 阶实对称矩阵，必存在n 个线性无关( 而且正交) 的特征矢量。这表明，对于协 方差矩阵c ，存在对角矩阵 和”维向量矩阵 a = 巾= ) 移： 勋。) 】- 仍l 仍l i 妒1 2 妒2 2 妒。2 妒l n 妒2 h 缈m l 使得 c q ) = a 中 成立。其中，五称为c 的特征值矩阵，称为c 的特征向量矩阵。 7o = ，。此过程称为随机矢量相关结构的分解。 显见，通过变换： a = m 7 c q ) 可以将原来相关的协方差矩阵c 转化为不相关的协方差矩阵旯。 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 巾为正交矩阵，即有 ( 2 1 2 ) 第8 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 n 从= 。， ：( 2 8 )m。， 一= c 2 2 j = i 中心极限定理提出，当n o 。时和式( 2 8 ) 中的极限存在，且没有任何一个x ，对上述部 和有突出贡献的情形下，则当n 斗。o 时，的概率分布将趋于以式( 2 8 ) 中的极限值从 与盯；为均值与方差的g a u s s 分布。对于多维分布，情况也是如此。 2 1 3相关结构分解 月维随机矢量x = 五：x 。 7 的协方差矩阵 c = c 1 1c 1 2 c 2lc 2 2 c l c 2 h c ，w 勺= e k x ，一, u x i ) ( x ，一心) j ) 为对称矩阵且为非负定矩阵。根据矩阵特征理论，实对称矩阵的特征值都是实数。并且， 对于n 阶实对称矩阵，必存在n 个线性无关( 而且正交) 的特征矢量。这表明，对于协 方差矩阵c ，存在对角矩阵 和”维向量矩阵 a = 巾= ) 移： 勋。) 】- 仍l 仍l i 妒1 2 妒2 2 妒。2 妒l n 妒2 h 缈m l 使得 c q ) = a 中 成立。其中，五称为c 的特征值矩阵，称为c 的特征向量矩阵。 7o = ，。此过程称为随机矢量相关结构的分解。 显见，通过变换： a = m 7 c q ) 可以将原来相关的协方差矩阵c 转化为不相关的协方差矩阵旯。 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 巾为正交矩阵，即有 ( 2 1 2 ) 第8 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 通过相关结构的分解，可以将原”维随机矢量= i x ，五以】7 转化为一组不相关的 随机矢量r = 【_ l r ，】7 ，y 与x 之间的关系为： = x o + m j ，= x o + 妒，r ( 2 1 3 ) j _ l 式中，x 。为x 的均值向量。 事实上，设向量x 。= 中y ，则由于常量不改变随机矢量的协方差函数，故： c 。= c 。= e 防。x ；j ( 2 1 4 ) 有上式与式( 2 1 2 ) 可得： a = 。7 e k 。x ；扣= 中7 e b w 7 巾7 扣= e 【 7j ( 2 1 5 ) 因此，向量】，的协方差矩阵正是五阵。 若取r = 动，则易知肛。b ：以】为标准化独立随机变量序列，此时有： j = 蜀+ 窆纪尻 ( 2 1 6 ) f = l 如此，原随机矢量可转化为用标准独立随机变量序列来表示。 2 2 随机场理论 随机场为定义在一个场域参数集上的随机变量系，在此参数集上的每一点处都对应 一个随机变量。随机场可以表示为为 b ( “) ；“d c r ”) ，它的基本参数是空间变量 “= k ，y ，z 。这里d 为b ) 的定义域，r ”为 维欧几里得空间。空间坐标可以有一个、 二个或三个分量，相应地b ( u ) 分别为一维、二维或三维随机场。 随机场的n 维分布函数可以表示为 f ，；屈，“2 ；成，“。) = p b ( u 。) 届，b 0 ：) p ：，b 0 。) 尾 ( 2 1 7 ) 相应，随机场的分布密度函数( 以三位标量随机场为例) 定义为 p 附成, n n ) ：笔墼咧 ( 2 1 8 ) “1 叫l o l h o y h 以” 类似的，随机场的数学期望定义为 聊0 ) = e 陋0 ) 】= f ：彦，“) 卵 ( 2 1 9 ) 其中，川0 ) 表示随机场b ( u ) 的样本函数集合的平均中心点的场域曲面。 随机场b ( u ) 的自相关函数定义为 0 ，“) = e 陋0 归0 明= 卢汐p 川卢，“) 卵够 ( 2 2 0 ) 第9 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 通过相关结构的分解，可以将原”维随机矢量= i x ，五以】7 转化为一组不相关的 随机矢量r = 【_ l r ，】7 ，y 与x 之间的关系为： = x o + m j ，= x o + 妒，r ( 2 1 3 ) j _ l 式中，x 。为x 的均值向量。 事实上，设向量x 。= 中y ，则由于常量不改变随机矢量的协方差函数，故： c 。= c 。= e 防。x ；j ( 2 1 4 ) 有上式与式( 2 1 2 ) 可得： a = 。7 e k 。x ；扣= 中7 e b w 7 巾7 扣= e 【 7j ( 2 1 5 ) 因此，向量】，的协方差矩阵正是五阵。 若取r = 动，则易知肛。b ：以】为标准化独立随机变量序列，此时有： j = 蜀+ 窆纪尻 ( 2 1 6 ) f = l 如此，原随机矢量可转化为用标准独立随机变量序列来表示。 2 2 随机场理论 随机场为定义在一个场域参数集上的随机变量系，在此参数集上的每一点处都对应 一个随机变量。随机场可以表示为为 b ( “) ；“d c r ”) ，它的基本参数是空间变量 “= k ，y ，z 。这里d 为b ) 的定义域，r ”为 维欧几里得空间。空间坐标可以有一个、 二个或三个分量，相应地b ( u ) 分别为一维、二维或三维随机场。 随机场的n 维分布函数可以表示为 f ，；屈，“2 ；成，“。) = p b ( u 。) 届，b 0 ：) p ：，b 0 。) 尾 ( 2 1 7 ) 相应，随机场的分布密度函数( 以三位标量随机场为例) 定义为 p 附成, n n ) ：笔墼咧 ( 2 1 8 ) “1 叫l o l h o y h 以” 类似的，随机场的数学期望定义为 聊0 ) = e 陋0 ) 】= f ：彦，“) 卵 ( 2 1 9 ) 其中，川0 ) 表示随机场b ( u ) 的样本函数集合的平均中心点的场域曲面。 随机场b ( u ) 的自相关函数定义为 0 ，“) = e 陋0 归0 明= 卢汐p 川卢，“) 卵够 ( 2 2 0 ) 第9 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 随机场b ( “) 的自协方差函数定义为 k 。0 ，“) = 陋0 ) 一m 0 ) x b ( “) 一m 0 ) ) l = 一所( “) x t m 0 ) ，甜；j e ，“) z 6 够 ( 2 2 i ) 显然，随机场的协方差函数与相关函数存在如下关系 k 。0 ，“。) = r b 0 ，“) 一m 0 ) m ( “)( 2 2 2 ) 考虑到，随机场的方差函数 j ；协) = k b ，“)( 2 2 3 ) 因此协方差函数可归一化为 2 2 1 随机场的相关结构 p e 2 ( 2 2 4 ) 对于随机场的应用而言，确立随机场的相关函数或协方差函数往往是问题得到解决 的第一步。对于均匀随机场( b ( “) ，“dc 7 _ r ” ，由于其均值函数为一常量，因此可以将 其化为如下形式： b ( u ) = b o ( “) + b 。( “) ( 2 2 5 ) 其中，b 。( “) 为随机场均值函数：b 。( “) 则表示一零均值随机场。 显然，b 。( u ) 的协方差函数和相关函数相同。对于b ( u ) 的研究，可以通过对b 。 ) 的 研究进行。随机场的相关结构一般是指b 。( “) 的协方差函数或相关函数。通常，根据具 体问题的性质，随机场的相关结构是一种半经验假设模型。常见的均匀随机场的相关结 构类型有以下几种( 用归一化协方差函数表示) ： l 、三角型相关结构 p 一“i 口( 2 2 6 、 k 一“。l 口 风( 刚) ：。x p ( 一幽) 3 、高斯型相关结构 纵“，“) ：e x p ( 一拉驾 式中的常系数口通常称为相关尺度参数。对于具体的物理问颢而言 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 有无公认的相关结 第1 0 页 h 一口 一 ， i 、 = ) “ 08p 构结关目爿?型数匕日 、2 国防科学技术人学研究生院学位论文 随机场b ( “) 的自协方差函数定义为 k 。0 ，“) = 陋0 ) 一m 0 ) x b ( “) 一m 0 ) ) l = 一所( “) x t m 0 ) ，甜；j e ，“) z 6 够 ( 2 2 i ) 显然，随机场的协方差函数与相关函数存在如下关系 k 。0 ，“。) = r b 0 ，“) 一m 0 ) m ( “)( 2 2 2 ) 考虑到，随机场的方差函数 j ；协) = k b ，“)( 2 2 3 ) 因此协方差函数可归一化为 2 2 1 随机场的相关结构 p e 2 ( 2 2 4 ) 对于随机场的应用而言，确立随机场的相关函数或协方差函数往往是问题得到解决 的第一步。对于均匀随机场( b ( “) ，“dc 7 _ r ” ，由于其均值函数为一常量，因此可以将 其化为如下形式： b ( u ) = b o ( “) + b 。( “) ( 2 2 5 ) 其中，b 。( “) 为随机场均值函数：b 。( “) 则表示一零均值随机场。 显然，b 。( u ) 的协方差函数和相关函数相同。对于b ( u ) 的研究，可以通过对b 。 ) 的 研究进行。随机场的相关结构一般是指b 。( “) 的协方差函数或相关函数。通常，根据具 体问题的性质，随机场的相关结构是一种半经验假设模型。常见的均匀随机场的相关结 构类型有以下几种( 用归一化协方差函数表示) ： l 、三角型相关结构 p 一“i 口( 2 2 6 、 k 一“。l 口 风( 刚) ：。x p ( 一幽) 3 、高斯型相关结构 纵“，“) ：e x p ( 一拉驾 式中的常系数口通常称为相关尺度参数。对于具体的物理问颢而言 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 有无公认的相关结 第1 0 页 h 一口 一 ， i 、 = ) “ 08p 构结关目爿?型数匕日 、2 国防科学技术人学研究生院学位论文 构假发可视为该领域研究成熟程度的一个标志。 2 2 2 随机场的离散化 对于随机场的处理，目前有多种离散方法。主要有中点法、局部平均法、插值法、 局部积分法等。 l 、中点法中点法是随机场最简单的- ：l e o 离散方法。该法用随机场在每个单元中点 的值来表征该随机场在每个区域中的属性，因而，随机场在每个单元区域内都是常量。 中心离散方法简单方便，程序易于实现，但显然精度欠佳。 2 、局部平均法以二维随机场为例，设y ( x ，x ，) 为二维连续参数连续状态随机场， a ，= l i , l 2 ，为以矩形区域中心点( x 1 ，x 2 ，) 为中心，边平行于坐标轴x 。与x ：，且长为l ，与 上，的矩形的面积，随机场在4 内的局部平均定义为 _ 巩：f ) _ 粕霉霉x ：) d x t d x ： ( 22 9 ) 如果是一个均匀随机场，则它可用均值肼，方差盯2 及归一化协方差函数c ，r 2 ) 近 似描述，对应的局部平均随机场可用e ( y j ) ，v a r ( y j ) 及互协方差c o v ( g ，】，) 近似描述。 e ( r ) ，v a r ( v , ) ，c o v ( v , ，) 可由所，盯2 ，c ( _ ，r 2 ) 计算获得。由于随机场的局部平均对 其相关结构具有不敏感性的特点，因此，可以无须给出相关函数的具体表达式，而只需 知道其控制参数( 如均值，方差及相关尺度) 即可。 从以上可以看出，如果结构的有限元网格己划分好，且单元总数为n ，随机场实际 上就被离散为n 个随机变量，这”个随机变量的统计特性可由e ( y s ) ，胁( r ) 及c o y ( r , ，一) 反映。显然对于大型复杂结构该方法与有限元方法相结合，若随机场与结构采用相同的 网格划分处理的工作量会很大。由于有限元的疏密是由应力梯度决定的，而与随机场无 关，因此我们通常针对随机场采用另一套网格划分，网格的疏密可由v a n m a r c k e 提出的 相关距离占决定。当然，与应力有限元网格一样，随机场的网格越密精度越高，因而， 这里也存在如何协调精度和效率的问题。 3 、插值法随机场的插值法就是将随机场在各随机单元内的值用单元结点处值的 插值函数表示，从而随机场的统计特性可由各单元结点处随机变量间的统计特性近似反 映。 利用形函数。( x ) ，将随机场6 ( x ) 离散成 上 6 ( x ) = n ，( x ) 6 ， ( 2 3 0 ) 式中x 表示空间位置，b 为随