（计算数学专业论文）关于矩阵的某些界的估计及其m矩阵的判定.pdf

摘要 摘要 本文涉及到三类重要的特殊矩阵：三对角矩阵，嚣负矩阵，材矩阵 邋过对与这三种特殊矩阵有关熬一些璧积性质的研究，褥斑了一些比较 好雏结果 首先在仅仅假设三对是矩阵满足合遥的条件( 参看第二牵中的条件( h ) ) 下，三对热矩阵逆元素绝对德的上下界被获得对予严格对角占优矩阵的 情形，三避免矩阵遂蠢素鹣界改遴了文献l ，l i n a l g a 弹| ，2 8 7 ( 1 9 9 9 ) ， 2 8 9 3 0 5 】和【2 ，l i n a l g a p p l 。3 3 0 ( 2 0 0 1 ) ，1 一1 4 】的裙皮结果 其次研究了对称正缀阵的非最大特征馕的界一个新矩阵 4 = 一p 0 ) 材“7 ( 1 + e ) 被弓| 入，翻瘸它囊身缀好豹性质，潋避了z h a n g 帮 l u o 在文敞【3 ，c z e e l l o s l o v a l 【m 城j ，5 2 ( 1 2 7 ) ( 2 0 0 2 ) ：5 3 7 5 4 4 】中的绐巢 再次，利用s c h u r 余的定义绘出了与文献【4 ，高等学校计簿数学学报， 2 0 0 l ，4 ：3 5 7 3 6 2 1 等价的且更为筒捷豹判定方法，使用它可以使一个任意 阶矩阵么逐次降必最翳只需利用定义，判定一个数字是否满足要求两断定 一是否为膨矩阵 最籍，譬f o 曰4 l 的下界被建立，这改进了f i e d l e f 和m a 越l a m 在文献f 5 ， l i n 。a l g a p p l ，l o l ( 1 9 8 8 ) l 一8 】孛创立的缝采并且对予严格对角占伐的 矩阵么鄹曰，孽f 蠢。曰1 的容易计算的上下界被获褥 关键淘：三对角矩降，材矩瘁，逆膨矩阵，嚣最大特 歪氇，最小特征德 电子科技大学硕士学位论文 t h i sp ) e ri se o n c e di nt h r e ei m p o r t a n tm a 耋r 主c e sc l a s s e s ：t r i d i 寇g o n 鲢m 麟c e s ， n o n n e g a l i v em a 龋c e sa l l d 村m a 陋c e s 弧u 馥也es 乜d i e so fs o 越eq u a n t i t i e sa n d c h 捌e r 至s 畦c sa b o u t 也o s e ，s o m eg o o dc o n c l u s i o n sa r eo b t a 主】d f 至r s n y ，n e wu p p e ra i l dl o w e r b o u n d so fi n v e r s ec 王e m e n 谯o f 毯d 主a g o n 畦m a l r i c e s i sp f e s e n t e do n l ya s s u m i n g 也矗i 也et r i d i a g o n a lm a t r i c e ss a 畦s 黟也ea p 掣o p r i a 圭c c o n d h i 勰( s e e 羁l ef o l l o 稍n gc d i t i o 驻) f o rs 雠c 娃yd i a g o n 斌l yd o 溅a n tm a t r i c e s ， t h i sb o 搬d sa r es h 螂档t h a n 畦均s eo f 弧妇a l 晷a p p l ，2 8 7 ( 1 9 9 9 ) ，2 8 9 - 3 0 5 】a l l d 【2 ， l i n 趟g 。a p p l 。，3 3 0 ( 2 1 ) ，l 1 4 】。 s e e o n d l y ，an e wm a ：c r i x4 = 一p 0 ) “矿( 1 + c ) i s 派挫o d u c e d m a l ( i n g 璐e o fi t sb 训f m p p e r 垃e s ，也e 血l p r o v e dl o w e ra n dt l p 】p c fb o 翻d s 至& 饿en o n m a x 洫a l e i g e n v a l u eo f as 弘珊e t 汰p o s i t i v e 掇a 髓xa r ep r c s e 娃t e d 强eb o l 】n d sa r es 酝球e r 证跳 n l cb o u n d so f 孙a n ga n dl u o mi 3 ，c z e 巍。建o v 呔m a n l j ，5 2 ( 1 2 7 ) ( 2 0 0 2 ) ： 5 3 7 w 5 4 4 】 髓o n ，u s 堍船d e 最西蛀o no f s c h 堞m p l 蝴鼹t ，黼e 黥c t i v em e 也o df o r j 娃d g i n g n o n s i n g l l l a r 膨m a 扭i xi sg i v e d 饿sj 谢g i n gl l l e i h o di se q 试v 艇e n tt oc o 娌e s p o n d 嫱g m e t h o d 主nh ，n u m c r i c 鑫lm a t l l e m a t i c saj o u m 诅o fc h i i l e s et 7 n i v e r s i t 至e s ，2 0 0 1 ，4 ： 3 5 7 - 3 6 勰a n dm o r es i l n p l et 1 1 a l li t f i n 辩l y 粗e s 重i m a t ef o r 譬o 露4 ；蠹o mb l o w 也雏i m p r o v e sf i e d l 辑a n d m a r k h a m sr e s l l l ti n 5 ，l i n a l g 。a p p l ，l o l ( 1 9 8 8 ) ，1 8 】i sd c 娃v e da n de a s i l y c o m p u t a b l el o w e ra n du p p c rb o u n d so fg 彳。f o rs 翻c t l yd i a g o n a l l yd o m 协a n t 、 。 槲m a 赶 c e s 黼d 雪i se s 纽b l i s h e d k 昭w o r d s ：砸d i a g o n a lm a 踊x ，mm a t i x ，i n v e r s e 掰m a 证x ，n o n m a x i m a le 迦e n v a 王u e ， m i n i m 酿e i g e n 、，a l u e - l l - 电子年尊技大学硕士学棱论文 蒯 c ( 疑) 秽( 裂) 鸩( e ) ( m ：( 嬲) ( ) d 酏( 么) 五( 4 ) 烈 名o a o 垡( 么) 么。君 主要符号表 白然数集合 复( 实) 数集会 n 维复( 实) 向量集合 n 维复( 宓) 向基矩阵 矩簿么的共轭( 转黧) 矩阵 矩阵名的行列式 矩阵4 豹特征德 筑阵4 的谱半径 矩箨名怒j 受矩薄 矩阵a 是正矩阵 矩阵爿的最小特 匝值 矩阵名与丑豹硅嬲嬲继d 积 非负矩阵么的右p e f r o n 向量 非负矩阵彳的左p e h d n 向鬟 1 v 。 独创性声明 本人声畴所墨交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注移致谢的她 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰雩过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书颟使用过的材料。 与我一阔工作的阕志对本研究所做的任何贡献均西在论文中侔了明 确的说明并表示谢意。 签名： 弱期：妒6 年f 胃f 0 臼 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有荧保甏、使用学馑论文 的规定，有权保窝并舞匿家有关部门或桃构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阕和借阅。本人授权鬯子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据瘁进行检索，可以采用影印、缩印或 捆撬等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：译导师签名：j 边 曰期：嘲。年1 月 i 。疆 第一章绪论 1 1 研究意义 第一章绪论 由予辩学技术的发展秘计算枫的西藏罄及，矩终诗算迸论与应咫及其 方程组的求解受到科学技术人员的极大熏褫，其廒用范围已渗透到许多学 科领域，敖而引起越来越多的数学学者，工糕技术入员和科技人员的关注 矩驿计算理论尊应用及其方程组豹求群不仅是一瓣薰要鹩数学理论， 瑟盈在数值分析，最优化方法，数学模型，偏微分方程数值解等数学分支上 有着扳其薰要的应用，还在计算枫科学，无线电技术相墨凝通信等尖端科学 领域中有重要豹用途矩阵计算理论和方法与方程组的求解是矩阵理论的 一个熏簧方商，是计算数学酶一个重要分支爱予衬露它寒处理镑综复杂的 工程问题辩，具有表达简涪，对工程润题的实质刻画深刻的特点，因此潮用 它来处理工程技术的各种闷题越来越受到工程赛入士的极大霪视，矩猝计 冀理论与应用纛成为众多学科领域的数学工其 众掰周知，许多实际闻题最厝常常归结为个或一魑大型系数矩阵为 特殊矩阵的线性方程组的求解问题，如在均衡论，投入产出分析的研究中产 生的村矩阵；在控剃论及神经网络大系统的稳定性，线性射滞系统靛稳定 性研究中需要日矩阵及囊稳定筑阵豹理论；在偏微分数筐解孛懿蓑分法产 生的三对角矩阵等等因此，特殊矩阵在矩阵计算理论和方法及其方程缀舱 求解中占十分熏簧的地位，对特殊矩阵研究的任何实质性进展都对矩阵计 冀理论与方法纛方程缀的求解的发展起善重要的接动作月 。 1 2 选磁背景及其本文工作 零文薛研究涉及至i 三类重要驰特殊矩瘁：三对焦艇阵，菲负短阵，膨矩 阵。 三对角短阵是一类很重要的特殊矩阵，三对角矩箨的研究将推动了许 多壤论的发展逐年来三怼角矩阵在逆元豢表示式，逆元素秀黔售诗，三对 角方程缎并行算法等方殛的研究郝出现了许多结果豫熙该阗题的许多研 电予科技大学硕士学位论文 究结果在常微分方程边值问题，偏微分数值解，解热传导方程以及船体数学 放样中建立的三次样条函数等学科中都有广泛的应用矩簿逆元索或其绝 鼹值的界的估计瑗论在理论帮纛臻中都富贵羹要的研究意义，特剐怒三对 角矩阵逆元素或其绝对值豹雾的估计是矩阵分柝中的熏簧谍题 1 9 6 9 年，k e r s h a w 在【6 】中给出了一个特殊的三对角艇阵： 一蒜 五l 一强 五l 一 一l五，tl 一呶_ l 嚷氏 ( 其中o 噶 1 ，f = l ，船一l 。) 的逆凭素的界设 c = ( q j ) 掣4 ，爱u ： k 吒五舟，职 o ( _ 1 ) h 勺枣4 南， ，川，澎一锄 其中 曩= m i n f ，歹 ，屯= n l a x 歹 ； l 柏= 如 融= l 血a 叠q 焉，矗是+ 1 ) = 2 ，埠d 。 l 熊= 丑一，& 在此之质，许多学者都试图对此结论逃行推广，或者掘广三对角矩簿 豹范围，或者待到受精稳豹秀 在文献【6 】中，x e r s l a w 只怒给出三对角矩阵名= 蕊曙喊，珐，层) 在 嘎+ 砖= l 条件下的估计式。但在样条捶值的连续性方程中裔许多三对角 簿只是非负严格对角占优的，如像在织范样条曲线耱局部张力样条曲线 援值翡稳彤薄青渖在文献【7 玛；绘出了非受严貉对受占线三对角箨邀元 素新的一炎估计式鬃体地，给定胛阶三对角矩阵“= 痨昭觇，只，层) ，即 。2 ， 第一章绪论 直= n届 锡a 显满足呸= 磊= o ，辑+ 韪 o ，f = l ，2 ，露贝4 京： o 9 参= l ，群一量) ，剿贬臻e 豹愆素 满足： 鸺b + t l p “l 点b 吐，l ， f = 1 ，歹一l 。 证麟显然，蠢咚= ，葵中吩是霆8 兹黎歹个基零鸯蛰。装攥箕书嚣 ，2 ( ，一1 ) 个方程，我们得到： q q j + 熟岛，尝o ， 毫每j + 吃岛j + 热e b e ， 岛q e 1 _ 卜啦q 。+ 鸟岛+ l 。，= o ， c i 一2 c i t 、i 寺矗j j t 。j b j 嚣拦毽 改。 翻咚 ，。，。，。，；，。，k f | 矗 第二意兰澍角矩阵逆元繁豹器躲齄计 注意涮就= 珥一呸。l 岛+ 1 喾0 ，f = i ，总。因此巍上筒灼方程缀w 以得劐： 铲鲁一鲁铲喝 及6 2 森2 一盖2 一， 魂曩 一i 玄：i 玲一蓄户q 氐w 一忐铲一鲁铲嘲一i j 乏鬲：珀一飞蔷弛一鼍搿 扶霜， j 豁咏f o u ， 蒜l ，2 ，歹一鼍歹篇乏，嚣， 根据( 2 1 ) 及噶的定义，我们有 b 净矿| 。 另一方渐，因为 o o = 鑫，毋，器么： * i o 第二章三对角矩薄逆元素的界的估计 b | 瓤魄b i b | n 彘，g d 谖哦出弓i 理2 2 。l 藕弓i 褒2 2 2 ，我们立鼯可知定理豹绪论成立 推论2 2 1 翔果么是一个严格对角占优豹三辩囊矩阵或不帮豹对角 占优的三辩角矩阵，那么定理2 2 1 的结论仍成立 证明显然，一个严格对角占优的三对角矩阵或不可约辩角占优的兰 对角矩阵满足条转( h ) 因j 避，我们只诲诞鼹玄们满足如下不等式帮可， 沁，i k 。| l c ，。| o = l ，雄一1 ) ，| 口，| 一| 屈。隆| o = 2 ，砼 ( 2 - 6 ) ( i ) 器。是一个严格对角占优的三对角矩阵，则k i l ，f = l ，栉一1 ； 融i l 岛| o ； l 口f l 一| 层+ ， 1 6 f j i q l 一| 6 l l j c 。l o ( i i ) 磐爿是一个不可约对角占优静三对焦矩薅，剡o o 。 因_ l 麾，在两种情形，我们已经涯褥( 2 6 ) 成立根据定瑷2 2 1 可知，推 论2 2 1 的结论成立 诞毕 定臻2 。2 。2 菪矩阵么满跫定遴2 2 1 鳇条传，剐， _ | = 嗣；j ：赫l q ，l 弱蠢：j ：钿，f = 1 ，聆 证嬲垂危= ? 躲， 铀c f l ，+ q 。f + 睡岛+ l ，= l 。 故， i l q q ，； = b 钆，+ 岛一b 崃”| + 刚哪 ( 受+ ，h | + 秘+ ，帅川。 电子科技大学硕士学位论文 因此，我们得到赝要的结论 2 3 定理2 2 1 与一些b 知重要结果的比较 证毕 在文献【l 】串，n 曲b e n 秘攥糟缨的迭代褥掰了上界，p e l u s o 与p o l i t i 在文献 2 】运用这辩方法也得翻了下界为叙述他们的结果，我们定义： 。热分揣扣。一尹t 舻鼎舻热芦2 ，塌 卜隗一驴 篱二q l 靠，l2 靠，后= l ，拊 j = 镰，老= 2 ，玩 坑，r2 溉，露= 2 ，扮；段，= 热，露= ，栉一t 我髓知邋，对予对角占貌的三对角矩阵，所有这些量是小予或等于l 。文 献【l ，2 】中的结论可憨缩叙述如下： 建璞2 3 1 “瑚设一是一个非奇异的三对角矩阵，虽c = 彳一。如果a 蹩 行对角占傀豹，酃么当f = l ，弹一l ，对，我们奢 m 嚣铘叫洲丞( f 办 我们现在诞明，对于严格对焦占优矩阵，本章所褥到的界玩定理2 3 。l 更精确其体艇谎，瓣f 磊j 奄= 毛，歹一l ； ( 2 7 ) 磊 ，如下关系式成立： 像 以j 七。，+ l ，f ； ( 2 - 9 ) 一1 2 第二章三慰角矩阵逆元索豹界的估计 壤 蛾。f 每拳_ ，+ l ，扎t 2 。l u ) 我们仪给融( 2 - 8 ) 和( 2 * 9 ) 豹证明，箕余不等式霹类似挂导。 首先，我们给出( 2 培) 静诞明，分为两稗情形讨论耍匪下： 情澎( i ) ：七 r 我们取z = f 一惫 i ) 蓿 一z = 1 ，煲q 磊= 鼎 揣矿 i i ) 若f z i ，嗣存在常数m ，使得f 一，一m = 1 。利用归纳假设弼 褥： 叫目 赫吨。= 一， k 一瓦 瓦老差硒 ， 蚓s 鼎= 磊 研趔丽晦，= ，嘞 情形a 封：| i f 因为存在常数掰，使得f 一拼= l ，所以 1 。l 兰i i ：j 赫= 靠一。= k 。产。， lc。一t|；：-；：l-!；!；：r。一。+，。+，。 蚓揣稚点嘞 综上鼹逑，我们完成了( 2 _ 8 ) 式的证明。 诞毕 其次，我们断害： | 孱。| 糟+ l f 。我1 l 般f = 七十f 一再 i ) 若f z = l ，则 蚓献 高。嚎。= ，= 稍一”= i i ) 若，一，# l ，则存在整数辫使得，一z 一脚= l 。利耀归纳假设，我们 鸯： 。i 瓦赫襄圭翮 瓦蜘= 矿州 闳 目老矗而魄一。 继续这个过程，经过毒限步之后，我们得到： | 熊+ t | 墨j = 抵 f 云：彘= 蛾+ ，。= = 镰以， 情形( 豇) ：_ j l 冬撑+ 1 一f 盥觅，存在整数m 使褥f m = 1 剥用! 秘纳假 设，我们可褥： |魄+，+。|：i：。挠=略+，+。=n喽+；+。，一。， 嘲丽铣 e ( 么) 满足窖( 4 ) 孽( 名) ， 则g ( 4 ) 是 + ，( 一) 的改进的上界，即g ( 4 ) g ( 4 ) 可( 么) 薯l 瑾3 2 2 设p ( a ) 是磊。( 盖) 黝下赛如祭c c 0 ) 满足p ( 4 ) p 0 ) ， 嬲p ( 4 ) 怒磊一，) 的改避的下器，邵p ( 么) p ( 碡) s 名。么) 。 涟明由文献【1 8 】知当c c ( “) f i 雩，有五一，( 么) = 矗。( 4 ) 成藏闲此有 p ( 盖) p ( ) 磊一( 4 ) = 矗一( _ 圣) 谣华 为了踩述我们的结果和给出诞明，我们蕾先定义： 芦( 蚴) 。蔷誉丽，”癣，( 妇) 3 _ 4 并晨假设： 节( 名，扭) = 露( 五磊，4 ，甜) ，帮( 乓，封) = 节( a 如，4 ，越) 。 ( 3 5 ) 定臻3 名l 设窜( 名) 2 尸o ) 一争彳( “，“) 楚磊一to ) 的上羿鲤果满足 ，( 甜) c ( 0 绘出， 证明蓠先由( 3 。4 ) 和( 3 6 ) 推知对于任意非空予集材c 有：芦( 鸩掰) 警，因此对于任意麓嚣空子集尉c ，我们有： 辔弓卜蚺警啦一h 妒吾私删刈忉 另校探( 3 - 1 ) 3 2 ) 和( 3 - 4 ) 我们可以褥剿： 。i 6 。 篓兰堂塾整垂堡整魍j ! 塞杰楚鸳焦塑墨鲎堡盐 露( 材，磊，越) = = 珂( 删，狂) 一警，( 蚴) 侈8 ) 关系式( 3 3 ) ( 3 7 ) 和( 3 8 ) 表赣慰予任意嚣空子集嬲c ： p ( 4 ) 一吾叩( 时，4 ，“) c ( 绘凄 这攘 ( 4 ，“) 2 蹦邑，7 ( 眠爿，”) t 诞磺飘为芦f i ，甜堑2 序，我们可以得到下殛与之铃价的不等式： 一1 7 一 电予辩按大学硕士学位论文 箐譬一参 警( m 狂) 一祭譬y ( 蝎，”) 矿( a ) 一孝蟹( m ”) t 。) 根据( 3 t 3 ) ，( 3 - 8 ) 和( 3 一l o ) ，我靛缀饕易攘出： p ( 囊) 一紊节( m ，4 ，甜) 口( 名) 一暑叩( 矩，一，甜) ( 3 ) 另一方瑟，注意刭： 材( 磊，4 ，静) = 掰( 4 ，打) = 恶熊野( 膨，4 ，龆) ， 我们易德戮辩予任懑的非窆子集材o 有： 蟹( m ，镌，h ) 蟹( m ，文，“) 根据这个关系式，由式( 3 1 1 ) 我们苟以得判对予任意的嚣空子集膨c 有： p h ) 一 蟹( 掰逸，豁) p ) 一孝帮( 码，碡，甜) p ( 名) 一参移( 竭 甜) 这表聪： 尹o ) 一参节坞，磊鲜) 矿_ ) 一参穆( 磁，i ，材) 即： p ( 4 ) p ( d ) 由萼| 理3 2 2 便证刭了定理3 。2 。2 的结论 证毕 3 3 数德鲷子 例3 3 1 设 a = 旧 粥 即m “= 降舛 容荔骏证芦( “) 煞2 知成立我们可以计算出： 吁( 一，牲) = 矧3 ， 因此。 p ( 么) = 一1 ，譬( 名) = l ，c ( 爿) = 1 敌我们阿以取c ；2 ，这意妹着 碡= 歉a 我们笏验证( 4 ，“) 。蹿( 蝎，4 ，“) 因此，我们可以使用定瑷3 2 2 获得 最犬特 蒌德豹改进的下界。事实上：。 p ( 4 ) = 一掣3 最然p ( 4 ) 比p 0 ) = 一l 更精确 - 1 9 电子科技大学硕士学位论文 第四耄非奇异彪矩阵的判定 4 1 导富及有关麾义 耐矩终是一炎其有菲正非辩角元鞠非负对角嚣的特殊灾方阵它的 应用十分广泛，如在生物学，经济学，智熊辩学，计算方法等诸多学科中 都骞錾要应粥，褥诲多实际阉题韵应瘸又都归结到材矩簿的判跫上，遨 此髑定一个短阵是餐为崩雉跨瑟写l 起了国内外许多数学工作者的* 趣+ 如郭希娟等在文献【2 0 】研究了对称z 矩阵是否为尉矩阵的判定方法隧 后，在我慕础上，刘建州等在文献【2 5 】去掉对称这个较强的条件，使判定 方法更般纯，本文剃用s c h u f 余鳇定义给出了与文献【2 0 】等价酶层要筠 赫捷的判定方法 曾先，设鸩( c ) ( l 厶( 琏) ) 表承所有复( 实) 艇阵豹集合，= l ，2 ，雕 ， 搿c ，= 一g ，基中的元素按照舞序弱 剜对予戤筘c ，记 一似，) 表示行取自予群，列取自予的么的予降。o p ，搿) 衡记成爿 ) 定义4 1 1 m 1 设”= 4 甄( 酞) | 吻o ，i 五f ，e 如果名z “”，则称彳为z 矩阵 定义4 。1 2 【2 。1 如果4 岳z “”，且4 4 o ，则称是非奇异m 矩阵 定义4 1 3 n 羽设o 彤， ) ，描c ，彳如) 菲奇异，称 形蠢( 搿) 皇彬搿= _ ( 掰) 一一( 口，掰) 4 4 “( 掰，掰) 为矩阵关子爿陋) 的s c h u f 余 4 2 判定方法 号l 理4 2 1 渺1 设4 z “，剐4 为材矩阵麓充要条伴怒骂1 ，影焉1 + 为 材矩阵 一2 0 第四章j # 奇异掰矩阵豹判定 推论4 2 1 设4 = f ：三 e z ”，尉4 为非奇异耐矩阵的充要条件是 龟州哦如“一争m a = ( 堞旧 ， i 属t 鹰：l 呜，鼍1 7 则么为材矩阵的充要条件是4 ，4 4 ，4 ，是膨矩阵。 迸端( 必要性) 爨为4 嬲，所以箕主子阵囊；，45 材，再出弓 理4 。2 1 ( 充分往) 毽为4 ，4 矗，甚膨，由弓| 璞4 2 1 知囊毫材，而由殴知 r 口 6 c 、 推论4 2 。2 设“= | de ，l 毫z “3 ，剡省为非奇异尉阵的充要条件是 q = 疗 。，吒= e 一等 。，q = r 一( g 知，( ： “( ； 。 f 4 t 码： 薹；1 剡4 为必矩簿酌充要条传是4 ；，鸣：一4 ，码，。码：，一趁；焦，_ 萎：是膨矩薛 其中煞。= 呜：一镌；囊，。4 ：，墨：= 鸟，一呜，囊。4 ，岛，= 鸣。一4 ；4 ，。4 ：， 。2 1 智予科技大学硕士学位论文 如= 坞，鸽，4 。4 3 引理4 2 2 竣4 苣z “”，且分块为 拈 、 主) ， 受| l 影4 = 一连，墨。q 蕊。，其中琏；，骂：，岛，君2 ：驰定义瓣定骥4 。2 2 一 谜骥摄然由s c h u r 的定义肖4 囊，= 琏l = 4 2 4 ，4 1 - 1 礁：故 段2 一坞1 马1 。墨2 = 氏一呜，莲，一4 。一( 南一镌，囊，q 4 ：) ( 4 心，厂1 ( 4 ，一4 ；4 ；。4 ，) 划鸽川r ：糕糍_ 1 笛黔莎惝 = 如一c 南如，( 乏乏 d ( 乏) = 4 证籀 蠢雩l 遴4 2 2 荔知定理4 2 1 与定理霹。2 2 是等价的摄然，定理4 2 1 比定理4 2 2 筒捷予是我们便可利用定理4 2 。l 使一个任意阶矩阵逐次 降必最惹只嚣利用定义，判定一个数字是孬满足要求掰鞭定么是答为材 矩阵在_ i 黯：过程中，我们不需要像文献【2 4 】中郑样去计算骂：，岛，岛：等 矩箨遮大大减少了计算显下覆我们给出算法 算法：输入短阵么= ( 嘞) g z “” ( 1 ) 对么进行如下分块 = 孙 使得蠢，岛：均麓l 盼矩簿计算4 ，4 4 。若碡p 囊码，中至少一个必 负，则a 不楚菲奇晃膨矩降，否劐转入下步。 ( 2 ) 令“雌= 一，矗= 4 ，掰= 1 一2 2 - 第圈章 奇异硝矩阵盼判定 ( 3 ) 对4 研) = 4 ( 州4 ”1 进行麴下分块 ： 使褥囊l ，鸟2 ”均先l 输矩阵诗簿4 l ，蠢抽心l 。著 码l m ，4 枷4 。枷中至少一个为负，则一不是 奇异嬲矩阵，否则转入下 步 ( 4 ) 如果聍一2 坍= l ，蓍( 拼 o ，刚a 是非鸯异材矩簿；若崖( ” o 剩盘p e r f o 致f r o b e n i o u s 定遴 知，存在个正特征向量甜使德 。帮= p 拄= 譬豁。 因此，对予任一个不w 约的非奇异膨矩阵，都存在一个委特征向薰甜使得 z 材= g ( o ) 材， 其中群h q 徽爿的右p e 疆o n 向曩。 两个相丽维数矩阵爿= ( ) 秘嚣= 慨) 的h a d a m 甜d 积是矩阵： _ 。露= 吩l 如果名和嚣都愚埘矩阵，剃在文献f 5 】中证明了_ 。b 一1 也是槲矩阵 在本章中，我稍建立了尊( a 。) 豹下界，这改进了f i e d l e r 和m a r ；【氛黜 在文献【5 】中创立的结柴。并且，我们还给出了对于严格对角占忧豹肼矩阵 a 秘嚣的g ( a 。b 。) 的容易计算豹上下赛，劳给照相_ 癜的数值铡子说聪之 5 2 材矩阵与邀材矩阵的h a d 冀枞a r d 积的最小特镊值的界估计 在本小节，我们给出并置谣明我们豹烹簧结果首先，我们给出些 在证明主要结果是震到豹引理 。2 5 电子辩技大学硕士学位论文 弓l 毽s 2 。l 【q 如果_ p 是不可约豹非态舅嬲矩阵且对一个嚣零向餐# 满 足觑殷，煲 i j g ( p ) 孳l 建s 。2 - 2 协2 舄设么= 嘞) 楚一个严格的纷，列的对角占优矩薄。则 对a q = 屯) ，我们骞： 吲私，m 铀吣钉蚍阱钉阱 建理s 2 1 设么和嚣是聆阶耐矩簿，鼠假设占不可约设材= ) 和 v = 以) 备囊是嚣和舻静蠢p e 舶n 囱量飚： 小。b _ 夸描磊 谜龋定义c = 嬲，这里d = 舔昭以，v 2 ，) ，则c = 嚣1 d + 因为v = 牮( 舻) v = g ( 功v ，我们有v 7 丑= 口( 露) 矿注意到矿= e 7 d ，因此 # 9 7 嬲= 碧( 雪) v 7 ，亦即唾岛= g ( 四n ，歹= l ，栉由此，我髓容易推导出 i # l 沁| = 巧一尊( 嚣) 巧 _ ，歹= l ，撑圜诧，矩阵c 怒严格对角占饶矩 阵由引瑷5 。2 2 ，对所有f _ ，我们有： 盈 o ，则名媳不 可约，并这j l 存在一个稠疲于晕( 么) 的正特征粕量y = “) ，邸缈= g 4 ) y 现设z = ( 薯) ，这儿墨。昔注意到： a 糯砖一丢毕 q ，孱詈一丢b l 乃学 鲁卜删嚣半 ki两一一 j 争 藏一b | 乃l 哆露一一， 譬( 名) ( 母勉) 弓 盘弓l 理5 ，2 1 ，我们有：孽0 。丑。) g ) ( n 扣玩) 最霸，使用( 5 - 2 1 ) ，我们 使得到： 私o b - 1 ) 描蠡 瑗在设p 可约，因为露不可约，我们有嚣_ o ，困魏0 穗可约，由连 续性我们可知结果也成立 证毕 黼瓢糕惫器雾， 嚣_ l l ：，我们豹下界比f i e l d e f 帮m 甜姓a m 豹稳旋的赛要精确 下面，我们将建立对予严格对角占优的掰矩阵么帮暑的军( a 。b 1 ) 豹 2 7 电子科技大学硕士学位论文 首先设：冠( 一) 2 萎嘞，q ( 爿) 2 丢， r o ) 2 叩墨o ) ， c ( ) = 嘲n q ( ) ，翔果名楚膨斑阵