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高级中学课本椭圆,师院附中:吕登师新课习题归纳小结,新课导入,取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点,当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于F1F2)的轨迹叫做椭圆两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.,新课,根据椭圆的定义，下求椭圆的方程,取过焦点的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离和等于正常数2a(a0)则F1(-c,0)F2(c,0)椭圆就是集合P=MF1+MF2=2aMF1=(x+c)2+y2)1/2MF2=(xc)2+y2)1/2(x+c)2+y2)1/2+(xc)2+y2)1/2=2a,求得方程,整理得(a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2)设a2c2=b2(b0),两边除以a2b2,得x2/a2+y2/b2=1(ab0)此方程叫做椭圆的标准方程此时求得的方程焦点在x轴上若焦点在y轴上,同理可求得椭圆的标准方程y2/a2+x2/b2=1(ab0),例题解,例平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹的方程。解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1,F2表示。取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴2a=102c=8a=5c=4b=3因此，这个椭圆的标准方程是x225+y29=1若取焦点在y上，则椭圆的标准方程为y225+x29=12,习题,椭圆的几何性质,我们根据椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1来研究椭圆的几何性质1。范围由标准方程可知，椭圆的点的坐标（x,y)都适合不等式x2/a21,y2/b21即x2a2,y2b2则xa,yb这说明椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形里。,归纳,2。对称性,在标准方程中，把x换成x；或把y换成y或把x,y同时换成x,y时，方程都不变.所以图形关于y，x轴和原点都是对称的此时，椭圆的对称轴：坐标轴椭圆的对称中心：原点也称椭圆的中心3。顶点在标准方程里，令x=0得y=b或-b,这说明B1(0,b)和B2(0,-b)是椭圆和轴的两个交点。同理，令y=0时，得两个交点A1(-a,0)A2(a,0).因为x,y轴都是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.,线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.离心率椭圆的焦距与长半轴的长的比e=ca叫做椭圆的离心率.因为ac0,所以0e1.e越接近1,则c越接近a,从而b越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近0,c越接近0,从而b越接近于a,这个椭圆就接近于圆.如果a=b,则c=0,两个焦点重合,这时椭圆的标准方程为x2+y2=a2,习题2,求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标。解：把已知方程化成标准方程x2/52+y2/42=1这里a=5,b=4,c=3因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e=c/a=3/5=0.6，两个焦点的坐标分别是F1(-3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(-5,0),A2(5,0)，B1(0,-4)和B2(0,4),在实际中的应用,下面我们来看这样一个例子我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439公里，远地点B距地面2384公里，地球的半径约是6371公里。求卫星的轨道方程。解：选取坐标系如图2a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810a+c=OB+OF2=F2B=6371+2384=8755解得a=7782.5,c=972.5所以b=7721.5因此，卫星的轨道方程（近似）是x277832+y277222=1,椭圆的第二定义（离心率定义）,例3点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c的距离的比是常数。求点的轨迹（图）解：设d是点M到直线l的距离。根据题意，所求轨迹就是集合P=MMF/d=c/a由此得(xc)2+y2)1/2/a2/cx=c/a将上式化简，得(a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2)设a2c2=b2,就可化成x2/a2+y2/b2=1,这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆。由上面的例子可知，点M与一个定点的距离和它到一条定直线的比是常数e=c/a(e1)时，这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。对于椭圆，相应于