（基础数学专业论文）广义分数次积分算子的交换子在若干空间中的有界性研究.pdf

中文摘要 本文主要研究由广义分数次积分算子t t 和l i p s c h i t z 函数b 生成的交换子【b ，乃 在l c b c s g u e 空间，h a r d y 空间，以及h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 第一章考虑当b l i p z ( 0 卢1 ) 时交换子 b ，丑 在h a r d y 空间上的有界性并 在端点情形证明了该算子是从h a r d y 空间到弱l e b e s g u e 空间有界的主要结果为： 定理1 1 1 设0 卢茎l ，0 j n 一卢，南 p 1 ，i 1 = i 1 一警，b l i p ( r ”) t t 为( 0 ，n ) 型广义分数次积分算子，非负整数n 【n ( 1 p 一1 ) l ，非负整数s n 【n ( 1 p 1 ) ，且p 函数满足： j，1熙班。o t q + zn ) q + n + l 一 则 b ，t t 】为h v ( r ”) 到l q ( r ”) 的有界算子 定理1 1 2 设o 卢1 ，0 z n 一卢，b l i p p ( r “) ，丑为( 0 ，n ) 型广义分数次积 分算子，且0 函数满足： z 1 嘉螵抓。如t ( f + 口) 尚+ n + l 则陋，t t 为日薄f ( 舻) 到w 工南( r n ) 的有界算子 第二章继续研究当b l i p p ( o 卢墨1 ) 时该交换子在h e r z 型h a r d y 空间上的有 界性并在端点情形证明了该算子是从h e r z 型h a r d y 空间到弱h e r z 空间有界的主 要结果为： 定理2 1 1 设b l i p z ( r ”) ，0 卢s1 , 0 f 札一3 ，令0 p 。，1 q 1 q 2 = 者警，。( 1 一击) 茎n n ( 1 一击) + 卢，噩为( 口，) 型广义分数次积分算子， 非负整数n ( v + n 1 1 q 1 _ 一1 ) ，且口函数满足 则【b ，丑 为h k 。c 2 。, ，( r “) 到护( r “) 的有界算子 定理2 1 - 2 设b l i p z ( r “) ，0 卢曼1 ，0 l n 一卢，令0 p 1 ，1 啦 。，1 = 击一警，t z 为( 。，) 型广义分数次积分算子，且p 函数满足： ：1 型t ( p a l ) ，+ l 认。，o 则 b ，丑】为日1 一石1 + 脚( 酽) 到w 1 一音+ 脚( r n ) 的有界算子 第三章主要考虑当b h a ( o 卢 1 ) 时交换子h 丑】在l e b e s g u e 空间上的有界 性估计主要结果为： 定理3 1 1 设0 卢 1 ，0 f r 卢，1 p q ( 3 0 ，；1 一百1 = ；，b h z ( r ”) ，丑 为( 0 ，n ) 型广义分数次积分算子，且p 函数满足 z 1 筹批o 。 则陋，丑 为l p ( r ”) 到硝，o 。( 形) 有界 a b s t r a c t b ，耳】i st h ec o m m u t a t o rg e n e r a t e db yg e n e r a l i z e df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r t o r 丑a n d t h el i p s c h i t zf u n c t i o nb ( $ ) i nt h i s p a p e rw es h a l lc o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so ft h e s e | 0 m n m t a t o r so nl e b e s g u es p a c e s ，h a r d ys p a c e sa n d h e r z * t y p eh a r d ys p a c e s i nc h a p t e ro n e ，w es h a l le s t a b l i s ht h eb o u n d e d n e s so n h a r d ys p a c e sf o rt i l e ( x ) l n n n l t a - t o r b ，噩 w i t hb l 印目( 0 卢1 ) a n dw i l lp r o v et h a tt h i sc o m u m t a t o ri sb o u n d e df l o m h a r d ys p a c e st ot h ew e a kl e b e s g u es p a c e so nt h ee n d p o i n t ，t h em a i nr e s u l t si nt h eh i - s t c h a p t e r ( ：a nb es t a t e da sf o l l o w s ： t h e o r e m1 1 1l e t0 卢1 ，0 f 钆一卢，i 勤 ps 1 ，石1 = ；i 一号竽，b 五咖口( r “) ，a u d 丑b ea ( 0 ，) 一t y p ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o rw i t hn 融( 1 p 1 ) 。l e ts b ean o n n e g a t i v ei n t e g e ra n ds n h ( 1 p 一1 ) i ft h en o n n e g a t i v ef u n c t i o n0s a t i s f i e s f 1 蒜n l q + n + l 出 。， 厶t ( f + p 一 、 t h e n b ，丑ji sb o u n d e df r o m 日9 ( 舒3 ) i n t ol q ( r “) t h e o r e m1 1 2l e t 0 j b 墨1 ，0 钆一声，扫l i p 芦( r n ) ，a n d 噩b ea ( 自，) 一t y p ( ： f r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r i ft h en o n n e g a t i v ef u n c t i o n0s a t i s f i e s j ，0 1 茄疵 。，t “+ 口一 ) 尚+ n + 1 t h e n 峨t di sb o u n d e df r o m 日南( r n ) i n t o 上南( r n ) i nc h a p t e rt w o ，w es h a l lc o n t i n u et oe s t a l i s ht h eb o u n d e d n e s so nh e r z - t y p eh a x d y s p a c e sf o r t h e c o m m u t a t o r b ，丑】w i t h6 l i p z ( o 卢s1 ) a n dw i l lp r o v et h a t t h i s ( x ) i n n u l t a t o ri sb o u n d e df r o mh e r z - t y p eh a r 4 ys p a c e st ot h ew e a kh e r zs p a c e so i l t h e e n d p o i n t ，t h em a i nr e s u l t si nt h i sc h a p t e rc a nb es t a t e da sf o l l o w s ： t h e o r e m2 1 1 l e t 6 l i p j ( r ) ，0 卢墨1 ，0 i n 一卢，0 p 。，1 qj ，啦 。，壶= 击一警，n ( 1 一音) 茎“ n ( 1 一击) + 卢，a l dt t b ea ( d ，) t y t mf i a c t i ( m a l i n t e g r a lo p e r a t o rw i t hn 陋十n ( 1 q l 1 ) i f 0s a t i s f i e s j ( 1 丽n + n q l 狄o 。o ( p 1 ) 陋) + 1 t h e n b ，丑 i sb o u n d e d f r o mh j 锯p ( r ”) i n t o 臻9 ( r ”) t h e o r e m2 1 2l e tb l 缸佃( 形) ，0 卢1 ，0 1 几一卢，0 p l ，1 q l ，q 2 o 。，而l = 六一警, a n d 丑b ea 徊，) 一t y p ef r a c t i 。n a li n t e g r a l 。p e r a t 。r i f 口s a t i s f i e 8 f 1 皑t ( p a l ) f l + l 出 。 ，o 、 t l l e l l 陋，t l i sb o u n d e df r 。1 日玄甜1 一者h 凤9 ( r n ) i i l t 。w k + q “2 1 一者+ 儿9 ( r n ) i l lc h a p e rt h r e e ，w es h a l lc o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so i ll e b e s g u es p a c e sf o rt h ec o l l l n l u t a t o r b ，丑】w i t h6 a 口( o 卢 1 ) ，t h e m a i nr e s u l ti nt h i sc h a p t e ri s ： t h e o r e m3 1 1l e t 0 卢 1 ，0 f 礼一卢，1 p q o 。，i 1 一i 1 = ，b h z ( r ”) a n d 丑b ea ( p ，) - t y p ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r i fps a t i s f i e s z 1 筹狄。 t h e n 陋，丑 i sb o u n d e df r o ml ( r “) i n t o 帮，o 。( r ”) 前言 偏微分方程中，为了研究p o i s s o n 方程a u = ，的解，引人了分数次积分算 子( 又称r i e s z 位势算子) i i ： i d ( 班厶苦耘由( 。 ) 对分数次积分算子正的研究已有几十年的历史，其中的经典结果是s o b o l e v 在 1 9 3 8 年证明的五的( p ( r “) ，l q ( r “) ) 有界性及z y g m u n d 在1 9 5 6 证明的弱( 1 m ( 1 - 一1 ) ) 型有界性文献 1 3 】中把以上两结果总结如下： 定理a 设o l n ，1s p 划( 旦芈) 9 ，即 为弱( 1 ，q ) 有界，其中 q = t i ( n 1 ) 七十年代以来，h a r d y 空间实变理论的发展，促进了丑在h e a d y 空间上的有界 性研究，主要结果见文献f 1 5 2 0 而关于其在h e r z 型空间上的有界性研究主要见文 献 1 0 关于分数次积分算子交换子，经典的结果是1 9 8 2 年c h a n i l l o 在文献【1 1 中证明 了由分数次积分算子丑和b m o 函数b ( x ) 生成的交换子【b ，圳的( ， ) 有界性， 以及2 0 0 1 年，丁勇等人在文献 3 中给出的当b b m o 时 b ，列的l l o g l 弱型估计 结果，2 0 0 2 午丁勇，陆善镇，张璞等在文献中讨论了高阶分数次积分算子交换 子在某些h a r d y 空间上的有界性而关于分数次积分算子交换子在h e r z 型空间上 的有界性研究主要见文献9 受文献1 1 7 中0 梭的影响，汤灿琴等在【1 4 】中给出了( 0 ，n ) 型广义分数次积分 算子噩的如下定义： 定义11 1 1 1 4 】设函数0 在( 0 ，0 0 ) 上非负不减，n 为非负整数，0 f 若存 在月”r ”f ( z ，z ) ：z 矗“) 上的可测函数( z ，y ) ，使得对每一个，s ( n “) ，及任意 z ( s 1 聊，r 成立 五，( m ) = g ( x ，9 ) ，国) d y ， j 咒” 其中k ( x ，) 满足： i ) 当0 i ，y lsn 时，有i 钾k ( x ，g ) 茎c l x p i 一”+ 一1 7 1 ； i i ) 当l y y 。l l z y l l 2 时，有： 卜沪。，蒹。专删“) ( 瑚i 鲫( 锱i ) f 斋； jo 墨川s 卜j p9p川 i i i ) 当l z 。i l 。一y l l 2i t - , l ，有： 卜沪。蒹专删z 川c p 卜c 错，南， 则称丑为( 0 ，n ) 型广义分数次积分算子 汤灿琴等在【1 4 】中把分数次积分算子推广为广义分数次积分算子，并且把分数 次积分算子在各空间上的有界性结果全部作到广义分数次积分算子上，即证明了蜀 在p 空闯，h a r d y 空间，弱h a r d y 空间以及h e r z 型h a r d y 空闻的有界性之后张 丽琴在其硕士论文【2 1 l 中给出了由广义分数次积分算子丑和b m o 函数b ( x ) 生成 的交换子 b ，列在p 空间，h a r d y 空间，弱h a r d y 空间以及h e r z 型h a a d y 空间的 某些子空间上的有界性 交换子的有界性与其组成函数的光滑性还有着其他一些联系，值得指出的是 1 9 9 5 年p a l u s z y f i s k i 在【1 1 中在b ( r “) ( 0 卢 1 ) 的限制下广泛讨论了c f l d c r d n z y g m u n d 奇异积分算子交换子【b ，t ，以及分数次积分算子交换子 b ，翻的有界性，其 中a a ( r ”) 是齐次b e s o v - l i p s c h i t z 空间，文中关于 b ，埘的主要结果如下： 定理b 设1 p g 0 0 ，0 卢 f l + l ，) n 2 0 0 2 年陆善镇等在【1 9 】中讨论了当b l 哆p ( 静) ( t 序1 ) 耐， c a i d c r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子交换予f b ，t ) 及分数次积分算予交换子i b ，五) 在经典h m d y 空 间和h e r z 型h a r d y 空间上的有界性质，其中b l i p 口( r ”) 为l i p s c h i t z 空间文中关 于 b ，列的主要结果如下： 的 定理c 设b 工缸即( r “) ，0 卢l ，0 f n 一卢，则以下结论成立： ( j ) 若南 p 1 ，l 口= l i p 一( f + j 札，贝9 6 ，五j 是从日( 冗”) 到五”( r 2 ) 有界 ( i i ) | b ，明是从日“肋+ 口】( 形) 到弱l 4 船一) ( r 0 有界的 定理d 设b l i p 卢( r “) ，0 卢1 ，0 f 一声如果0 p 。，1 们，他 。，1 q , 2 = l t q l 一( 1 - t - 卢) 加，则以下结论成立： ( j ) 若n ( 1 一击) o t n ( 1 一击) + n 则【6 ，五】是日弼9 ( 钟) 到魂9 ( 彤) 有界的 ( i i ) 若0 p 曼1 则 6 ，列是日1 者+ 9 ；9 ( 钟) 到1 者+ 肋( r t t ) 有界的 容易看出，0 芦 1 时，二缸带彤。) = 如( 舻) ，但是当妒1 时，厶咖口( 且”) c 勘( 矗”) 当b 髓鼢( r “) ( o 卢1 ) 时l p ，i t f ( x ) j g 五+ 口l f l ( x ) ，因此f b ，列是弱 ( 1 ，。( n l ) ) 型，但是丁勇等人在【a 中指出当6 b m o 时 b ， 仅有l l o g l 弱 型估计结果，由此可见交换子【b ，i j ) 在b l t p 口i 舻) 时与b b m o 时有界性质的差 别陆善镇等在【1 9 】中则进步的揭示了其中的不同之处 由文献 1 1 i 1 0 i 的启发，本文考虑当b l i p o ( 舻) ( o 声1 ) 时，广义分数次积 分算子交换子f b ，丑l 在h a r d y 空阀和h e r z 型h a r d y 空间上的有界性，以及考虑当 b 如( 彤) o 卢 1 ) 时陟噩) 在l e b e s g u e 空间上的有界性质本文的证明思想主 要来源于文献f 1 1 】 1 9 j 和f 1 4 r 致谢 砷5 5 2 1 87 我要感谢我的两位导师：王斯雷教授与陈杰诚教授，他f f 的谆谆教 诲和辛勤指导使我在各方面都取得了进步，并顺利完成了学业，而且 他们严谨的治学作风和高尚的人格魅力是我一生中取之不竭的精神动 力 同时也向帮助过我的各位老师，师兄，师姐以及各位朋友表示感 谢，和他们的讨论和交流，使我受益匪浅，而多年来家人对我的体谅和 支持更是让我感激不尽 第一章 广义分数次积分算子交换子在h a r d y 空间上 的有界性 1 1 引言和主要结果 陆善镇等在文献 1 9 中讨论了当b l i p 口( r “) ( o 卢1 ) 时，c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子交换子 b ，t 1 及分数次积分算子交换子 b ，列在经典h a r d y 空间和 h e r z 型h e a d y 空间上的有界性质，并在端点情形证明了该算子是从h a r d y 空间到弱 l e b e s g u e 空间或弱h e r z 空间有界的 由文献【1 9 启发，本章将考虑当b l i p 口( r ”) ( o 卢1 ) 时广义分数次积分算子 交换子 b ，丑 在h a r d y 空间及其端点情形的有界性质；并且在下一章继续研究【b ，砚】 在h c r z 型h a r d y 空间上的有界性质 首先给出广义分数次积分算子的定义； 记s ( r ”) 为速降函数空间，( r “) 为缓增函数空间 设1 = ( 1 、他，) ，m ( 江1 ，2 ，。n ) 为非负整数，记；n 江1 坼且 71 = 1 l ! ，m ! ，7 l ! ，z 1 = z 7 1 霉j 2 z 嚣1 ， 霹= 丽基 定义1 11 1 4 】设函数口在( 0 ，o o ) 上非负不减，n 为非负整数，0 f 玑若存 在r “r ” ( z ，z ) ：z 舻 上的可测函数k ( z ，f ) ，使得对每一个f s ( r ”) ，及任意 m ( 5 鲫，) ( 、成立 丑，( o ) = g ( x ，y ) f ( y ) d y ， 其中k ( x ，y ) 满足： i ) 当0 7 isn 时，有i o j k ( z ，”) isc i x 一| 一”+ 2 j l i ； i i ) 当 y y7 i i z y l 2 时，有： 卜们一。蒹1 - - 洲。k ( xy ) ( y _ y ) 7 i 如一( 剖i i 1 ：；j 击 lo 兰曼”i 4 f 卜o i i i ) 当i 。一z l 0 ，定义l i p s c h i t z 空间l i p # ( r “) ： l i p 口( r ”) = f ：| | f 恢p 口 o o ) i ifiilipg：。，。s。u。p；。，等y。 i ，曾k “；o pi 山一 l 定义1 1 3 令0 芦l ，0 1 时l i p z ( r “) 只包含常数，此时h t t 】；0 是平凡的 因此在定义中限制0 卢1 注记1 1 2 这样定义的i b ，丑 是有意义的，事实上： 厶。i g ( x , ) 【6 ( 。) _ b ( y ) f ( y ) ld y c 脚口厶l z g i “刊+ 4 i f ( y ) l s g | | b i i l , p 口 + 口i 州2 ) 0 0 2 以下回顾h a r d y 空间的原子分解理论，它是研究算子在h a r d y 空问上有界性质 的有效工具 定义1 1 4 1 1 9 】设0 0 ，使得m q ) p a ( x ) b ( z o ，r ) = 省o r i z 一oj n ； i i ) | | a1 1 2 茎i b ( x o ，7 ) f 。p ； i i i ) jn ( z ) ：扩如= 0 ， p ss ，s 【钾( 1 p 1 ) 】 其中 丌 表示不超过”的最大整数 引理1 1 1 1 1 9 1 设0 psl ，则缓增分布函数，日”( r n ) 的充分必要条件是：存在 ( p ，2 ) 原子a j 和常数，器一o 。i a ，p o 。，使得在分布意义下成立，= 罡一。a j 进一步，有 怕叫肿竺凡酗，) v 本章的主要结果为 定理l 1 l 设0 卢sl ，0 n 声，南 p 墨1 ，i 1 = ；一警，b l i p l ( r 8 ) 乃为( p ，) 型广义分数次积分算子，非负整数n 【n ( 1 p 一1 ) ，非负整数s n n ( 1 p 1 ) ，且0 函数满足： j ，l o 黑n ) q + n - t - 1 认o 。 ( 1 + 口一 则 b ，丑1 为日( f p ) 到l q ( r “) 的有界算子 定理1 1 2 设0 声s1 ，0 z n 一卢，b l i p 口( r n ) ，t z 为( 9 ，) 型广义分数次积 分算子，且0 函数满足： z 1 茄襞狄。 则【b ，丑】为日南( r t 。) 到w 三尚( r n ) 的有界算子 以上两定理证明的主要恩想来源于 1 9 【1 4 】两文 3 本章主要安排如下：在第二节中给出一些基本引理及定理1 11 的证明，第三节 中给出定理1 1 2 的证明 1 2 定理1 1 1 的证明 引理1 2 1 设0 卢1 ，o z m 卢，1 p l f + n 卢，击= 击一学，厶三咖( r ”) ，f 为f 阶r i e s z 位势， b ，五 为其交换子，则 b ，列为l m ( r n ) 到l q t ( r ”) 的有界算子 证明因为b l i p 3 ( r n ) ，有m ( 。) 山( ) l - i ib 怯p 。渖一尸 所以有：别，j5 c 圳。柳厶。j 。一洲+ p “i f ( y ) l d y = cj jb 忆咖五十口( j 川( z ) 又因为厶+ 月为l 1 ( r “) 到l q - ( r “) 的有界( 见 1 3 】) ，从而 b ，i t 为- ( r n ) 到 l m ( 邪) 的有界算子。 引理1 2 1 得证 引理1 2 2 设口，! ，p l ，q i ，b 如引理1 2 1 所述，丑为广义分数次积分算子，【b ：矧 为其交换子，则眈丑 为l p ( r ”) 到l q t ( 印) 的有界算子 证明 p ，丑1 m ) = 厶。k ( 刎) ) “( 训m ) 由 = 正。k ( 。，驯6 ( z ) 一6 ( 洲，( ) 妇+ 正：( 。，酬。( z ) 一b ( 洲，( ) 咖 其中当y a 】时，p 扛) 一b ( ) j ，( ) 0 ，g a 2 时， 6 ( 。) 一b ( ”) 】，( ) 0 怕倒m ) i s 1 六。酢驯) “( 洲m ) d y + i 厶。砷枷( 圹6 ( 洲m 汹l 曼f 五，f 赫 6 ( 矿。( 圳m ) a ”正。芒茹叭旷删m ) 咖 0 l 【6 ，丑 ，扣) l 十g i 一 b ，1 ，( 。) l s g 慨丑 ，( z ) i 由弓i 理1 2 1 得| | 【b ，丑 ，i i q 。sc | l 【b ，厶 ，i l q ，茎c | | ，i i m 引理1 2 2 得证 4 定理1 1 1 的证明 由引理1 1 1 ，只需证明对任一( p , 2 ) 原子a 存在不依赖于a 的常数c 使得 【f ，丑h l l q c 记： 。，乃 a i i l u - ( 上口f c b t 1 a ( x ) l q d x ) i 1 + ( 厶。、。口l c k 冠】n c z ，i 。a z ) ：= i + i i 对i ，取1 p l m i i l ( 2 ，南) 和使击= 万1 一警 由陬五 为驴z ( r “) 到l 钔( 舻) 有界，及h b t d e r 不等式可得： j cl l 陋，v 1 ai i g 。r “( 1 q 一1 g - ) 曼cl i 口i l mr n ( 1 q 一1 q 1 ) g | | o | | 2r n ( 1 p 一1 2 ) 曼c 对i i ，记： 肚 厶邺协圳m 州圳q d x j 茎 厶。、。 l ：k ( z ，”) 6 ( 。) 厶。、。日】：k c 。，”) 6 ( z ) 一 + 厶。口i ：k t 。，。，【b t ，一 ；1 1 1 + 1 1 2 因为y b ( x o ，r ) ，z r “b ( x o ，4 r ) ”咄i 掣 考虑 l ，其中，根据原子a 的消失性以及定义1 1 1 中核k ( x ，y ) 的性质( i i ) 可 5 扣 k 厶：。； h 如 如 廿旧ll q = 妻 扭 悖 曲 k k 扛 曲 曲 一 联 “ 得 一击露k ( 叩o ) ( 1 7 i s ，v ” ) 杀m ”) l d v 蚓k 卵i x - - x o l 9 厶一( 矧) 毒杀i 咖舭” 蚓。i x - - x o 1 + z - n 0 ( 禹) 加，) l d y 蚓k 别m 刊5 + z - n o ( 南) i i a ( 圳引那 蚓k 矿1 n 1 _ i x - - x o p ”e ( 禹) 代入1 1 1 且由于0 函数满足：詹两害d t 。，所以有 叽蚓l 圳l i p t 。r n ( 1 - ；忆忡l 一( 彘) 卜蚓”v 9 忆伽r 叫一偿k 卜蚓掣川彘) i x - x o l l + i ，- , , v 。 s g i i 。i i c t ，r n ( 1 一； j 量= l 【。c 。一，- c z ，+ l r ，。+ 一一，l ，u l z 舟2 r l ”) 1 7 9 lj g “l i 。，r ( 1 一；，+ ( c + 口一n ，+ ； u 主= i t a e 。一，- 分e e + 一一”如+ 嘲) 1 7 4j 5 c i | b l i p t l g 忪怯m 掣 d ( n o g6z 鲈 zh r b 计 型引叫譬 毗=协k 小 i p 口 k 叫 训 厶一 q i 忙 旧 1 日 日 0吣 嘶 脚 一 i i ， 6 6 i i 瞰 e g 一 曼 一 十 一， 口 p 鬲r 二毗兰 2 一十 m 而 芦广厶 考虑，如，其中，由定义1 11 中核k ( x ，y ) 的性质( i ) 可得： l k ( 刚) 队) “( 圳m ) d 怿厶旧刚) 1 1 ) “( 训训咖 钏圳蜥厶f 知l y - - x o m 训勘 5 c l bi l l 。r 4 l z z o i5 一“| | n ( ) i 【21 日i ； g | b 怯p 8r 脚( 1 一；1 。一g o p 代入2 得： i h _ c i lb | | l 。p 口r 4 + “【1 茎g j lb mr 8 + “( 1 g | ib 怯p 。 s g | | b 阳 口| | b i i l i p 8 茎c 1 1b 1 1 。t p 8 综上所述，定理1 1 l 得证 1 3 定理1 1 2 的证明 o p ”) q 引理l _ 3 1 【1 4 】设0 z n ，1 p 2 n 几l q 2 = 1 p 2 一z n ，丑为( 口，) 型广义 分数次积分算子，则墨为妒t ( 舻) 到l q 2 ( r t 。) 的有界算子 引理1 3 2 设0 州詈 0 ( 3 由引理1 1 1 存在( 暑a ，2 ) 原子a j ，令s u p p a j ( x ) b ( q ，r j ) ，且常数满足 器一o 。i a ，i 南 o 。，使得，= 器一。a j a j 记： 0 0 6 ，丑 ，= 如【6 ( z ) 一b ( z ：j ) t l a j x 4 b j ( x ) + a j b ( x ) j = 一o 。 丑f 妻( ) ，= 一 ：= j 1 ( o ) + j 2 ( z j + j 3 ( z ) 令1 p 2 q 2 ( 3 0 ，石1 = 赤一：，由引理1 3 1 ，丑为( 口2 ，l 。2 ) 有界 所以有： ) _ 6 ( 圳t r a j x 4 b j ( 圳l 南蚓l 圳脚一哼( i 南d 。) ” s a i i bi i l 卿弩i it l a ji i q ，i 马i 掣一石1 墨g | | bi i l i 邪哼1 1 峙。i 马i r 一万 冬g | | bl | l t 卵哼l | q 1 马i 五一5 i 马i 百一再 钏bi i l mr j 4 i b j 1 。一警+ 去一+ 孚一百1 g | | b i l u p 日 c 又由定理1 1 1 中i i l 部分的证明知，当日函数满足 z 1 茄鹱嘉抓o 。 可以得l l 【b ( z ) b ( x j ) t l a j x ( 4 月，) c ( $ ) i i 尚 圳等剑圳南兰c 2 一。1 ，2 5 因为 卜，) m 圳，e 厶，哼l 吩( 驯曲a 由丑的弱( l 1 ，l i 与) 有界性，可得 综上所述，并注 l z 即忡，矧，i i w l 尚 。 综上所述，定理1 1 _ 2 得证 以忆c h 孚 扛 l 扛 一 卦差一 g 奇 惮 l 儿 哧 引 型 k 意 学 、 南 。一 ， g a 第二章 广义分数次积分算子交换子在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 2 1 引言和主要结果 本章讨论当6 l 缸) 卢( 月“) ( o 卢1 ) 时广义分数次积分算子交换子 b ，驯在 h e r z 型h a r d y 空间上的有界性质，并在端点情形证明了该算子是从h e r z 型h m + d y 空间到弱h e r z 空间有界的 记； b k = z r ”：j z ls2 盘，七z ) ，c k = b k b k 一1 ，x k = x ( 气 定义2 1 ，1 1 1 9 设a r ，0 鼽q 。o ，齐次型h e r z 空间砑。( r ”) 定义为 霹9 ( r ”) = ，l 。( 昱“ o ) ： i f i l k ：，( r “， 。) 这里 忖喙y 渺，= 怪2 k c 2 p i if x k i i 舻，r8 川浪y 滞1 ) 2 淫。乞。j 。 注记2 1 1 易见当0 q o 。时，瑚，。( r “) = l q ( r ”) ，簖7 ”( r ) = 工孙( r ”) ，因 此齐次h e r z 空间是l e b e s g u e 空间的推广，并且包含了加幂权的l e b e s g u e 空间 定义2 1 2 1 1 9 令0 p o o ，1 q 。，n ( 1 1 q ) o 。，g ( f ) 是f 的g 1 a n d 极大函数，定义齐次h e r z 型h a r d y 空问日霞孑，p ( r “) ： h 哿，9 ( r “) = ，s ( r 1 ) ：g ( ，) 砑9 ( r “) ) 1 0 且 忆，、f 翔舻) 2 l ig ( 川b 一( r n ) 注记21 2 显然，当0 p 0 0 时h 柳，( 形) = h ”( 彤。) ，h k f f ；, v ( 矗”) = 孙( r ”) 因此齐次h e r z 型h a r d y 空问是经典h a r d y 空间的推广，并且包含了经典加幂权的 h a f l y 空间 注记2 l3 如果0 q o 。，可以证明当一n q o n ( 1 一i q ) 时，有 h 砑1 ”( r “) = 曰，( r ”) ，但是当a n ( 1 一l q ) 时h 砑，”( r ”) 柳，一( r ”) ( 详见 文献【6 ，b 8 3 ) h e r z 型h a r d y 空间具有中心原子分解特征，这使得研究算子在这些空间上的有 界性变得十分方便 定义2 1 3 1 1 9 】令oe r ，1 q 。，n ( 1 1 q ) o 0 ，使得s u p p a ( x ) c b ( 0 ，r ) ； i i ) | | nl i q l b ( o ，r ) l o n ； i i i ) j a ( x ) x p d x = 0 ，l p l n ，非负整数n h 十n ( 1 q 1 ) 1 引理2 1 ，1 【1 9 1 设0 p o 。，l q 。，n ( 1 1 q ) “ o 。，缓增分布函 数，h 聊，9 ( 舻) 的充分必要条件是：存在支集为b j 的中心( n ，q ) 原子a i 和常数 ，器一o 。1 9 。o 使得在分布意义下成立，= 墨o 。a j a j 进一步，有 如果 峙咖q 一暑凳凡卦，) 协 定义2 1 4 【5 令a e r ，0 “q o 。，可测函数f 属于齐次弱h e r z 空间蔚，”( 胖) ”，岫1 刖= s 脚u p a 。曼o oz 脚e 驯m 胁划m r o o 注记2 14 显然，当0 p 。，( e r 时， w 础，9 ( r “) = w u ( r 。) 且， w 群p , p ( r “) = w e i 。( r “) ，因此齐次弱h e r z 空间包含了弱l p 空间，并且包含了加幂 权的弱妒空间， 本章的主要结果为 定理2 1 1 设b l i p # ( r ”) ，0 卢s1 , 0 f n 一卢，令0 p 。，1 口1 ，q 2 。，击= 击警，n ( 1 一击) “ n ( 1 一击) 十卢，丑为( 口，) 型广义分数次积分算子， 非负整数n 陋+ n ( 1 q l 一1 ) 】，且0 函数满足： f 1 丽n + n q l 抓o 。 ( p 1 ) ( a 一 ) + 1 、 则h 丑】为h 碲p ( f p ) 到霞护( r “) 的有界算子 定理2 1 2 设b l i 卵( 舻) ，0 卢1 ，0 f n 一卢，令0 p 1 ，1 q 1 ，啦 。o ，击= 击一t + _ 2 。a ，丑为( p ，) 型广义分数次积分算子，且0 函数满足： j，1嬲黔瞅。o t ( p 1 ) 口+ 】 则 6 ，丑 为日剐1 一六+ 肋( r n ) 到w 1 者) + 肋( r n ) 的有界算子 证明 以上两定理证明的主要思想来源于 1 9 1 4 两文 本章的主要安排如下