（应用数学专业论文）基于小波的感兴趣区域编码理论及技术.pdf

里堕型兰垫查奎兰婴壅生堕堂垒丝苎 摘要 离散小波变换算法( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，d w t ) 是现代谱分析工具，在包 括压缩在内的图像处理与图像分析领域正得到越来越广泛的应用。这种算法对于时域或 频域的考察都采取局部的方式，所以对于非平稳过程也一样十分有效。小波在信号分析 中对高频成分采用由粗到细渐进的时空域上的取样间隔，所以能够像自动调焦一样看清 远近不同的景物，并放大任意细节，是构造图像多分辨率的有力工具。为保证图像或图 像的部分区域高保真地恢复，需要使用无损压缩，此时，将整数小波应用到无失真编码 可以得到较好的效果。 感兴趣区域r o i ( r e g i o no fi n t e r e s t ) 编码是正在制订的静止图像压缩国际新标 准j p e g 2 0 0 0 支持的一种创新方法。本文利用嵌入式编码理论，提出了基于s p i h t 的r o i 编码算法，其基本思想是：由于s p i h t 是嵌入式编码，图像经过小波分解后，小波系数 按重要性排列，如果按一定比例放大r o i 系数( 或者按一定比例缩小背景系数) ，r o i 便可以比背景更快更清晰的重构出来。其结果是在重构过程中，r o i 的保真度高于图像 其余部分( 背景) 。该方法有着广阔的应用前景，比如网络传输或远程诊断，可以大大 节省传输时间和存储空间。为扩展该算法的应用范围，还提出了一种自适应提取r o i 的 方法。 遥感卫星在国民经济和军事中扮演着越来越重要的角色，对遥感图像处理技术的要 求也越来越高。本文详细分析了遥感图像的成像机理以及其灰度分布的特点，研究了它 经过小波分解后小波系数的规律，给出了遥感图像的量化和比特分配方法，并成功的把 r o i 编码方法应用于遥感图像。 关键字：小波变换无损压缩感兴趣区域遥感图像压缩 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t d i s c r e t ew j v e l e tt r a r l s f o r n l ( d w t ) i sam o d e r ns r e c t r u r na n a l y z et 0 0 1 i th a sb e e nu s e d b r o a d l yi nm a n yf i e l d so fi m a g ep r o c e s s i o na n di m a g ea n a l y s i si n c l u d ei m a g ec o m p r e s s i o n t h i sa l g o r i t h mt a k e s1 0 c a lm o d e mb o t l lf o rs p a t i a ld o m a i na n df r e q u e n c yd o m a i n t h e r e f o r ci t i se f f i c i e n tf o ri n s t a b l ep r o c e s s ，t o o w h v e l e tt a k e st h es a m p l ei n t e r v a lf r o mc o a r s et of i n ef o r h i g hf r e q u e n c yi ns p a t i a ld o m a i nw h e n i ti su s e di ns i g n a la n a l y s i s ，s ow ec a ne n l a r g ea n y d e t a i la sw e l la sw ec a l ll o o ks c e n e r yf a ra n dn e a rc l e a r l y ri sa p o w e r f u l t o o lt oc o n s t r u c tt h e m u l t i r e s o l u t i o no f i m a g e i no r d e r t or e c o n s t r u c ti m a g eo ri t sp o r t i o nh i g hf i d e l i t i l y , w en e e d t oc o m p r e s si m a g el o s s l e s s l y , h e r ew ec a n g e tt h eb e t t e rr e s u l ti f w e u s e i n t e g e r w a v e l e t r e g i o no fi n t e r e s t ( r o i ) c o d i n gi s o n eo ft h ei n n o v a t i v ef u n c t i o n a l i t i e ss u p p o r t e db y j p e g 2 0 0 0 i nt h i sp a p e r , w eg i v eap r o m e t h e a nc o d i n gm e t h o db a s e do nt h ee m b e d d e dc o d i n g t h e o r y ：ar o ii m a g ec o d i n ga l g o r i t h m b a s e do ns p i ht w ji n c o r p o r a t e dr o ic o d i n g f u n c t i o n a l i t y i n t os p i h tc o d i n gw i t h i n t e g e r w a v e l e tt r a i l s f o r r n b y p l a c i n g ah i g h e r e m p h a s i so nt h et r a n s f o r mc o e f f i c i e n t sp e r t a i n i n gt ot h er o i t h er o i i sc o d e dw i t hh i g h e r f i d e l i t yt h a nt h er e s to f t h ei m a g e ( b g ) i n e a r l i e rs t a g e so f p r o g r e s s i v er e c o n s t r u c t i o n ，t h u st h e “i m p o r t a n t ”p a r t o ft h e i m a g e i sr e c o n s t r u c t e dm o r e q u i c k l y t h a nb g t h i sm e t h o d s i g n i f i c a n t l y s a v e st r a n s m i s s i o nt i m ea n d s t o r a g es p a c eb yt e r m i n a t i n ge n c o d i n g o r t r a n s m i s s i o ni ns i t u a t i o n sw h e r et h er o in e e d st ob ec o d e dl o s s l e s s l ya n db gv i s u a l l y 1 0 s s l e s s l y ( 1 0 s s y ) i no r d e r t oe n l a r g et h ea p p l i c a t i o na r e a ，w eh a v eg i v e nam e t h o dt od e f i n ea r 0 1 a u t o m a t i c a l l y r e m o t es e n s i n gs a t e l l i t ep l a yam o r ea n dm o r ei m p o r t a n tr o l ei nn a t i o n a le c o n o m ya n d m i l i t a r ya f f a i r s ，s ot h er e q u i r e m e n tt op r o c e s st h er e m o t es e n s i n gi m a g ei sm o r ea n dm o r e h l 曲w ea n a l y z e t h e p r o p e r t y o ft h er e m o t e s e n s i n gi m a g e a n dt h er u l eo fw a v e l e t c o e f f i c i e n t s g i v eaw a yt oq u a n t i f yt h ew a v e l e tc u e 衢c i e n t sa n do b t a i nab i t d i s t r i b u t i o n m e t h o d ，a n dw eh a v et r e a t e dw i t ht h er e m o t es e n s i n gi m a g es u c c e s s f u l l yw i t ht h em e t h o do f r o lc o d e c k e yw o r d ：w a v e ie tt r a n s f o r m r e g io n l 。o f in t e r e s t i o s s i e s sc o m p r e s s i o n r e m o t eim a g eo o m p r e s sio n 第1 i 页 独创性声明 本人声弱辫黑交静学位论文是我本人在导拜耩导下遘行的研究工作及取褥 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标往和致谢的地方外，论文中不包含 其毽人已缀发袭秘撰写过豹研究戏皋，遣葶包含戈获得邂跨辩学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 凭贡献均巴在论文中傍了明礁赡说嚷劳表零谢意。 学位论文题目：基至! 遽鲍髓送趣鹜堕编璺堡诠丞拭盔 日 一、 学位论文作老签露：型坚煎鞋欺：出t 年，拳援基 学位论文版权使用授权书 本人究全了解国防科学技术大学有关保馨、使用学位论文的规定。本人授权 鹫游辩学技术大学可滋保留并尚誉家有关锑门或税构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被整阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库避行拴索，胃淡皋媾影露、结印或挣搓等复裁手段缳存。汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文邂晷：基i 尘羹篷燮羞怒墼缝垫堡筵釜遗拭盔 学位论文作者签名：翌煎日期：幽。年口月垂日 卡# 者糖导教烬签名：! 墅兰爨期：娴l 每檬兵争鑫 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 在社会生活和科研生产活动中，人们每时每处都要接触图像。图像信息是人类认识 世界的重要知识来源人类所得的外界信息有7 0 以上是来自眼睛摄取的图像。在许多 场合，没有任何其他形式比图像所传送的信息更丰富和真切。当计算机渗透到人们生活 的每一个角落时，数字图像逐渐成为人们生活中的一部分。数字图像处理以自己独特的 技术特色形成了较完善的科学体系，从而成为一门独立的新学科。 进入信息时代以后，随之而来的便是“信息爆炸”的问题。整个世界都在追赶信息 的大潮。信息高速公路犹如社会的血管，连接着社会经济的各个角落。信息是财富，信 息是知识，信息甚至是生命。随着计算机和通信技术的发展，人们对于各种视频和多媒 体信息的需求不断增长。信息交换的速度在过去几十年里急剧地增长。随着速度的增长， 尤其是随着i n t e m e t 的普及和一些新型的宽带业务，例如：可视图文、可视电话、视频 点播等相继出现，对传输带宽等基础资源提出了更高的要求。数字化图像的数据量是相 当巨大的，在图像数据库中用到的2 4 b i t 真彩色静止图像，若其分辨率为1 0 2 4 1 0 2 4 ， 则产生近3 m b i t 的数据。视频图像信号则要求更高的数据传输率( 高清晰度电视( h d t v ) 信号要求有1 0 0 m b i t s 以上的数据传输率) 。计算机的存贮容量每两年就翻了番，通信 网络也以更宽的频带传送信息，可我们依旧感到计算机存贮容量不够，通信网络还是太 慢! 这是因为信息量的增加远远超过了存贮和通信能力的增长，乃至我们感到信息高速 公路并不高速。如今，视频、音频的远程传输依旧是很困难的问题。人们正在积极地寻 求解决这些问题的办法，数据压缩就是极为有效的方法之一。 为了更有效地利用存储资源和满足各种信息传输系统的传输速率的要求，超低比特 率的数字视频、图像编码方法显得越来越重要，迫切需要在满足一定的恢复图像的质量 的前提下，探索提高图像数据压缩比的新的理论与方法。因此，海量数据压缩技术的改 进与提高，是多媒体信息传输与存储的瓶颈问题。正是数据压缩技术的发展和进步，推 动了视频业务的迅速发展，从c d r o m 、激光视盘、数字相机、可视电话、视频会议、 视频监视和视频邮件，到交互式视频服务和h d t v 等。 1 1 图像数据处理概述 当今社会的一个重要特征是高度信息化。军事斗争中，信息战逐渐居于首要地位， 兵不血刃即可获胜。信息意味着主动权，意味着胜利。图像作为信息的主要载体，其处 理技术已成为一种尖端技术而被各国竞相研究。 图像数据处理与数学的结合非常密切，其研究的内容主要包括以下几方面u ： 1 图像数字化将模拟形式的图像通过数字化设备变为数字计算机可用的离散 的图像数据； 2 图像变换一改变图像的表示域和表示数据，使处理更加方便； 3 图像描述与分析一对图像中各部分的属性及各部分之间关系的分析表述； 4 图像数据压缩减少图像数据量，便于传输和存储； 5 图像去噪及修复去除失真图像的噪音，使处理后的图像尽量接近原始图像： 6 图像增强以增强图像分辨率等为目的，改善图像质量： 7 边缘检测一检测图像中某部分的视觉边沿： 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 8 目标识别将图像中的特定部分辨别出来； 9 图像分割根据选定的特征将图像划分成几个有意义的部分，从而使原图像 在内容表达上更为简单明了； 1 0 图像重构将处理的数据还原为图像。 图像处理所用的数学方法以信息论为基础，主要分统计方法和分析方法两种。分析 方法因其理论的完善及满意的实践结果而为人们广泛应用，所用工具一类为f o u r i e r 分 析，另一类为最近兴起的小波分析( w a v e l e ta n a l y z e ) 。 数字图像处理系统基本的三个部件 2 】是：图像输入设备、执行处理分析与控制的计 算机及图像处理机、输出设备、存储系统中的图像数据库等的存储设备。一幅图像在用 计算机进行处理前必须先转化为数字形式，计算机才能进行处理。在计算机中我们用一 个数字整列来表示一幅图像。图像被划分为称作图像元素( p i c t u r ee l e m e n t ) 的小区域， 简称其为像素( p i x e l ) 。赋予每个像素位置的数值反映了图像上对应点的亮度。在每个 像素的位置，图像的亮度被采样和量化，从而得到图像对应点上表示其亮暗程度的一个 整数值。对所有像素都完成上述转化后，图像就被表示成一个数字矩阵。每个像素具有 两个属性：位置和灰度。位置出扫描线内的采样点的坐标决定，而表示该像素位置上的 亮暗程度的整数称为灰度。此数据矩阵就成为计算机处理的对象了。图像处理过程是根 据操作员的指令，调用和执行图像处理程序对数字图像进行一系列的操作，以达到一定 的目的。操作完成后的处理结果通过一定的设备显示出来，转化为可视的和可供人们解 释的图像。 1 2 数据压缩的基本概念 所谓数据压缩，就是用较少的码来表示特定的信息。由于信息流之间存在某些相关 性，如重复字符串，用较少的码来表示信息是可能的。 数据压缩技术大致经历了两个发展阶段。1 9 7 7 年到1 9 8 4 年为基础理论研究阶段， 1 9 8 5 年以后就实用化了。但这两个阶段的界定并不是特别的明显，因为，即使在1 9 8 5 年以后，有关数据压缩的新理论和新方法还在不断涌现，应用的层次也越来越高。 数字图像处理过程中一般经常要产生很多的包含图像数据的大型文件。他们经常需 要在不同的用户及系统之间互相交换，这就要有一种有效的方法来存储及传递这些文 件。图像数据文件通常包含着数量客观的冗余信息，这为现代数据压缩技术提供了可能。 图像数据压缩，就是减少表示图像信息的码数，即将图像信息转变成另一种能将数 据量缩减的表达形式，也称之为编码( e n c o d e ) 。在显示时，重新将编码数据形式转回 到位图形式，称之为解码( d e c o d e ) 。编码的压缩比是指编码前后的数据量的比值。恢 复图像的质量用峰值信噪比( p s n r ) 来表示，计算公式如下： 栅= 1 0 1 0 9 , o 而2 5 5 2 ( 1 1 ) 其中 m s e 2 最万丢善( 删) 叫l 朋2 m ，n 为图像的长和宽。x ( i j ) ，y ( i j ) 分别表示原图像和重构图像的像素值。 虽然表示图像需要大量的数据，但图像数据是高度相关的。例如图像的背景可能是 一堵墙，由于它显示出规则的模式，那么该图像数据具有很大的空间冗余。图像数据之 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 所以能被压缩，是因为图像数据中存在着冗余。数据冗余主要有以下三类： 1 ) 空间冗余。这是图像数据经常存在的一种冗余，是由同一幅图像的相邻像素的 相关性引起的。静止图像压缩的一个目标是在保持重建图像质量可以被接受的同时，尽 量去除空间冗余。 2 ) 时间冗余。这是序列图像经常包含的冗余，它由序列图像中的不同帧间存在的 相关性所引起。 3 ) 信息熵冗余。也称编码冗余。由信息论的有关知识可知，为表示图像数据的一 个像素点，只要按照其信息熵的大小分配相应的比特数。但实际图像数据的每个像素很 难得到它的信息熵。因此每幅数字图像的像素使用相同的比特数表示的，这样必然存在 冗余。 4 ) 知识冗余。有些图像中包含的信息与某些先验的基础知识有关，例如一般人脸 图像中五官的相对位置等信息就是一般常识，这种冗余我们称为知识冗余。 上述各种形式的冗余是编码压缩图像数据的出发点。图像数据压缩的目的是要通过 去除这些冗余来减少表示图像数据所需的比特数，从而缩小信号空间。 图像数据压缩一般分为无损压缩和有损压缩两类。 第一类为无损压缩，原始图像数据可以从压缩后的数据完全重新构造出来，信息没 有损失。人们希望能对信息作高倍压缩，且还原后的信息不损失，即无损压缩。这种压 缩模式在许多应用领域是必须的，如银行业务，证券信息，计算机程序等。但理论和实 践证明，这类无损压缩的眶缩率是极为有限的。 开创无损压缩技术先河的是以色列两位教授。1 9 7 7 年他们提出了用较短的符号代替 冗余字符串的思想，通常称为l z 算法。除此以外h u f f m a n 编码和算术编码也是无损压 缩技术的常用算法。 无损数据压缩算法可分为两大类：基于字典的技术和基于统计的方法。基于字典的 技术生成的文件包含的是定长码，每个码代表源文件中数据的一个特定序列。基于统计 的方法通过用较短代码代表频繁出现的字符，用较长代码代表不长出现的字符，从而实 现数据的压缩。基于字典技术的典型的无损压缩有行程编码、l z w 编码等。经典统计 编码方法有：h u f f m a n 编码、f a n o s h a n n o n 编码、算术编码等。无损压缩的压缩比较低， 一般在2 3 倍左右。 第二类称为有损压缩，这种压缩允许重构图像与原始图像有一定误差，但人的视觉 可接受或满足用户的要求。对于视频、音频信息及今天的遥感信息这样一类信源，压缩 技术一般采用有损的，即恢复后的信息与原信息不严格相同。这是因为，这类信息的感 知对象是视觉系统和听觉系统，而视觉系统和听觉系统对所感知的对象有很宽广的适应 性。图像的分辨率也越来越高，无损压缩技术往往还难以解决图像的存贮与传送，因而， 有损压缩技术也纷纷被采用。 有损压缩主要有特征提取与量化两大类。典型的有损压缩技术有预测编码、子带编 码和变换域编码等。如静止图像压缩的j p e g 标准，就以离散余弦变换( d c t ) 为核，i i , 编码技术，对自然景物的灰度图像编码，压缩比可达十几倍到几十倍。量化的方式有： 无记忆量化和带记忆量化。无记忆量化器是输出仅由当前的输入所决定而与以前或以后 的输入都无关的一类量化器。带记忆量化器考虑了信号各样值之间的相关性，也就是说， 知道了一个样值的参数，其邻近的样值的情况也可以做一些推断。带记忆量化的方法广 泛的应用于语言、图像等实际压缩中。预测差值编码( d p c m ) 、增量调制、矢量量化 等方法都属于带记忆量化。 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 。3 数据压缩的发展现状 近十年来，图像编码技术得到了迅速的发展和广泛的应用，并日臻成熟，其标志就 是几个关于图像编码的国际标准的制定，即i s o r e c 关于静止图像的编码标准j p e g 、 c c i t t 关于电视电话会议电视的视频编码标准h 2 6 1 和i s o d e c 关于活动图像的编码 标准m p e g 1 、m p e g - 2 。这些标准图像编码算法融合了各种性能优良的传统图像编码 方法，是对传统编码技术的总结，代表了当前图像编码的发展水平。 目前按照这些压缩标准实现的实用系统使用经典的d c t ( 离散余弦变换) 和运动补 偿预测技术。分块的d c t 的基本方法是把单帧图像分割成1 6 1 6 块或8 8 块，再对这 样的子块作变换。由于分块d c t 和运动补偿预测技术自身的缺点，使得这几种标准算 法在较高压缩比时的性能不尽人意。而且从人眼的视觉特性考虑，基于的变换图像编码 也不能提供充分利用人眼视觉特性的机制。所以迫切需要发展新的图像压缩编码算法。 8 0 时年代中后期，相关学科的迅速发展和叛兴学科的不断出现为图像编码的发展注 入了新的活力。人们对图像信息需求的剧增也有力地促进了图像压缩编码技术的进步。 许多学者结合模式识别、计算机图形学、计算机视觉、神经网络、小波分析和分形几何 等理论开始探索图像信号压缩编码的新途径。同时，关于人类的视觉生理、心理特性的 研究成果也打开了人们的新视野，许多新型的图像压缩编码技术相继出现：m k u n t 于 1 9 8 5 年提出利用人眼视觉特性的第二代图像编码技术，1 9 8 8 年m b a r n s l e y 提出基于迭 代函数系统( i f s ，i t e r a t e d f u n c t i o n s y s t e m ) 的分形图像编码技术，1 9 8 9 年s m a l l a t 、 i d a u b e c h e 将小波分析理论应用于图像编码，以及9 0 年代初发展起来的基于模型的图 像编码方法等。 基于感兴趣区域的图像编码技术是最近出现的一种新兴方法。随着多媒体技术的不 断发展，网络用户的飞速增加，对高效率的图像编码技术要求越来越高。在数字图像处 理过程中一般要产生很多的包含图像数据的大量文件，它经常需要在不同的用户及系统 之间互相交换，这就需要有一种有效的方法来存储及传递这些大量文件。而且在很多情况 下，传输的图像中只有- d , 块区域对用户是有用的。对这些有用的区域，采用低压缩比， 而此区域之外的区域，则采用高压缩比，在保证不丢失重要信息的同时，又能有效压缩 数据量，这就是基于感兴趣区域的编码方案所采取的策略。它是正在制定的静止图像压 缩的新国际标准j p e g 2 0 0 0 的及其重要的优点【1 l 】。随着标准制定的深入，感兴趣区域 的编码理论及方法的研究将会越来越显示出它的重要性和优越性。 小波分析已成了一门学科。它涉及砸之广，影响之深远，发展之迅速都是空前的， 其应用成就更令人瞩目。数据压缩是它的一个最为活跃的应用分枝之一。如今，在第四 代视频压缩国际标准m p e g - 4 以及静止图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 中，小波算法已被视为 核心算法。小波在应用中有着自己强大的灵活性，如小波基的选取、分解层数的确定， 以及小波包分解等各种方法。经小波变换后的信号能量集中，变换系数有着自己独特的 性质，这些使得对小波系数量化的方式层出不穷，越来越吸引着广大科研工作者的兴趣。 1 4 本文的主要工作 纵观国内外数字图像压缩的现状，提高重构图像的峰值信噪比，降低t e 特率，缩短 编码时间是广大研究者的工作重点。8 0 年代中后期，相关学科的迅速发展和新兴学科的 不断出现为图像编码的发展注入了新的活力。小波分析理论和含有感兴趣区域的图像编 码技术成为瞩目的焦点，被广泛的应用于图像压缩的研究中。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 本文针对感兴趣区域图像编码中存在的实际问题，结合小波的一些特性做了一些研 究。同时针对遥感图像的特点，对遥感图像的高保真压缩的方法进行了探讨。文章主要 介绍了作者在导师指导下做出的一些工作及其结果。主要有： ( 1 ) 探讨整数小波变换及其性质，以及它在图像处理中的应用： ( 2 ) 分析了嵌入式编码理论，给出了基于s p i h t 的感兴趣区域编码算法，并提出了 一种简单的感兴趣区域自适应提取方法； ( 3 ) 分析了遥感图像自身特点以及经过小波分解后小波系数的规律，把感兴趣区域编 码方法应用于遥感图像的处理，提出了一种高保真的遥感图像的压缩方法。这种压缩方 法采用一种非均匀量化的方法和最优比特分配的方案。实验结果表明重构图像的质量基 本达到遥感图像应用的目的。 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章小波分析的基本理论 在工程和数学上，傅里叶级数将一个信号表示成正弦函数和余弦函数的叠加，它的 物理意义是：每个周期信号都是具有简单频率的简谐振动的叠加。傅里叶分析的诞生， 给工程界带来了一声深刻的革命，同时它是一个强有力的数学工具，用它来刻划函数空 间，求解微分方程，进行数值计算及信号处理，等等。2 0 0 年来，傅里叶分析具有十分 旺盛的生命力。 傅里叶分析在信号分析中虽然长期占据突出位置，但它具有不可忽视的缺点。这是 因为正弦函数和余弦函数是永不衰减地分布在整个时间域上的。因而傅里叶系数是信号 在整个时间域上的加数平均，所以，要反映信号的局部性是不可能的。 人样一直希望信号有另一种表现形式：将信号表示成一个函数族的叠加，这个函数 族的形式十分简单，它是由一个函数通过平移与伸缩构成。这个函数就是我们今天所称 的小波函数，它只分布在有限的区间上，且是高次可微的，同时具有波的振荡性。工程 技术人员和数学家在不同的领域发现了小波。时至今日，短短的十年时间，小波分析已 成了一门学科。它涉及面之广，影响之深远，发展之迅速都是空前的，其应用成就更令 人瞩目。数据压缩是它的一个最为活跃的应用分枝之一。如今，在第四代视频压缩国际 标准m p e g 一4 中，小波算法已列入成核心算法。但是，在这个标准中，小波算法仅仅是 一个框架，因为它不象离散余弦变换，具有一个固定的变换矩阵，一切算法都可围绕这 个矩阵进行。由于小波基是千变万化的，所以在新的标准中就难以加以限定。正是这种 多样性，人们才得以用特定的小波表示特定的信号。在数据压缩中也是如此，例如，有 些基适合表示人像，有些基适合表示遥感图像，等等。这给应用研究提供了极大的灵活 性。 小波分析是传统傅里叶分析发展史上里程碑式的进展，近年来成为众多学科共同关 注的热点。一方面，小波分析被看成是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶。 另一方面，它已经广泛应用于图像纹理分析、图像编码、布朗分形维数计算、语音识别 等科技领域。在许多使用传统傅里叶分析的地方都可以用小波分析取代。小波分析优于 傅里叶分析的地方是：它在时域和频域同时具有良好局部化性质，而且由于对高频成分 采用逐渐精细的时域或空间域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。小波分析的 这一特点被誉为数学显微镜。 2 1f o u r i e r 分析 f o u r i e r 分析理论提出了一种将能量有限的信号分解成一列正弦波或余弦波的信号 之叠加的f o u r i e r 变换( 简记为f t ) 方法，其中能量有限是指j ：r i f ( t ) 1 2 d t o ) 称为g a u s s i a n 窗函数。 2 4 no g a b o r 变换有利于信号的时频局部化分析。但g a b o r 变换提供的时一频窗的大小是 不变的，不满足对高频的信号分析所需的窄时间窗口和对低频的信号分析所需的宽时间 窗口的需求。而于1 9 8 0 年以后提出和发展起来的小波理论对信号分析具有良好的时一 频局部化性质。 1 9 8 1 年，m o r l e t 在分析地质数据时，基于群论，首先提出了小波分析的概念，并成 功地应用于数值分析。1 9 8 5 年左右，y m e y e r 提出了光滑正交小波基。1 9 8 9 年，s m a l l a t 在文献【3 忡提出了多分辨分析的概念，给出了构造小波基的一般方法，并提出了对信号 进行小波分解与重构的快速算法- - m a l l a t 算法。这一算法相当于f o u r i e r 分析中的f f t 算法，使得小波分析从理论研究走入诸如数据压缩、时一频分析，流体力学、神经网络 等许多工程技术领域。 2 。2 多尺度分析和m a l l a t 算法 对于一幅大小为m n 的灰度图像，可用一个二元函数 f ( x ，y )( o x s m 一1 ，0 y s n 一1 ) 表示，其中x ，y 取整数值。因图像信号f ( x ，y ) 是能量有限的，故f ( x ，力r ( r 2 ) 若 乳) l 2 ( r 2 ) 的一个基底，则存在，2 = “c 七 i 薹h 1 2 o o ) 中的一个成员 c 女) ，使得 f ( x ，y ) = c k g 。( x ，y ) ( 2 4 ) 因此，构造出f ( r 2 ) 的具有良好局部化性质的基底及任意能量有限的信号在该基底下 的快速分解与重构的算法，对图像数据处理是极为重要的。为了叙述的简便，我们从一 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 维的情况开始。 定义2 1 设 ，je z ( z 为整数集) 为l 2 ( r ) 中的闭子空间列，如果满足 ( 1 ) c k lc v o c z lc ； 2 盟一2 2 ( r ) ，q _ 2 o ) ； ( 3 ) 厂( x ) 巧f ( 2 x ) l z ； ( 4 ) f ( x ) f ( x + 玎) ， z ； ( 5 ) 存在妒( x ) ，使得 妒( z 一女) ，k z 是的一个r i e s z 基， 则称 _ ，z ) 是l 2 ( r ) 的一个多尺度分析，妒被称为尺度函数。 定义2 1 中的 妒 一七) k z 称为的r i e s z 基是指： s p a n ( 喊x t ) c 女z = ， 其中s p a n 嚷z k ) l k z ) = 表示由 畋x 一) 陋z ) 所张成的闭线性空间的闭包，且存 在正常数a 与b ，0 a b + o o ，使得对于，2 中任意成员 c 七) ，有 4 l c 。吲i c 。o ( x - 七) l l b 卅i ( 2 5 ) k e z e z 1 1 2 e z 设 k 是r ( 尺) 的一个多尺度分析，i e , w , 是攻在圪+ l 中的正交补空间，则2 ( r ) 可分解 成 的直和，即 ( r ) 一o w _ i o 。o 2 思 于是，对于任意厂( x ) r ( 尺) ，厂( x ) 有唯一的分解 厂( x ) = g k ( x ) ( 2 6 ) 其中既( 曲设，( x ) 在闭子空间上的投影为厶( x ) ，则由圪= 圪一10 一j 知 ( x ) = 一l ( x ) + g k l ( x ) ( 2 7 ) 且 f a x ) = g 女一l ( x ) + g k 一2 ( z ) + - ( 2 8 ) 由定义2 1 知，如果 伊 一以) ) 是的一个r i e s z 基，则妒 一n ) ，n z 是线性无关 的，从而 妒0 一月) ) 是矿。的一个基。由定义2 i 中的性质( 3 ) 知 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 生 吼。( x ) = 22 妒( 2 x 一珂) ，n z( 2 9 ) 是圪的基。方程( 2 9 ) 称为尺度函数乖的双尺度方程。 由文献【4 】知，存在伊，使得 妒o 一拧) ，n z ) 是的规范正交基，从而由( 2 9 ) 式确定的和女。( x ) ，n z ) 是的规范正交基。由定义2 1 的( 3 ) 及( 2 5 ) 式，因 击喊争n - c z o ，故存在序列 儿) e1 2 , 使得下列称之为双尺度方程的式子成立 万1 舴弋) = 差肿( ) 由 妒( z 一”) ，n z ) 的规范正交性得 ( 2 1 0 ) 胪 = l 击妒( 2 - i x ) 而砸 ( 2 1 1 ) 定理2 1 设 以) 为l 2 ( r ) 的一个多尺度分析，妒( x ) 是其尺度函数，且使得 9 ( x n ) ) 是的规范正交基， 凡) f 2 使得双尺度方程( 2 9 ) 成立，令 g 。= ( 一1 ) ”j ；j 一。 生 记；5 f 。( x ) = 22 2 x 一胛) ，k ，l z ，则圪在k 。中的正交补 = c l o s e l , ( r ) s p a n 壤，。( x ) = 2 7 2 k 2 x n ) ，n z ) ( 2 、1 2 ) ( 2 1 3 ) 且 y 女，。( x ) ，l z ) 是的规范正交基。其中c l o 卵：( 月) 表示在产( 尺) 中取闭包 s p a n j 】f ，。o ) ， z ) 表示由 妒时( x ) ，n z ) 张成的线性子空间。该定理的证明见文献【4 】。 再讨论分解式( 2 6 ) 。由定理2 1 ，有 f t ( x ) = c l n c p i t , n ( x ) ( 2 1 4 ) e z 既( x ) = d k ，l i - , l n ( x ) ( 2 1 5 ) n e z 对于一个信号厂( x ) l 2 ( r ) ，设 是厂的s h a n n o n 抽样，可视厶为厂在上的投影， 即厶= p r o j 。厂，则厂。对任何正整数m ，有 第9 页 ) 挖一x (p 月b o 眦 一2 2 = ) x 2 (y 国防科学技术大学研究生院学位论文 = 一1o - 2 0 o 一 f0 一 f 从而 - ，i ( 工) = g n i ( z ) + g 一2 ( j ) + + g u - m ( x ) + i 一 ，( x )( 2 1 6 ) 由于 f k + l ( x ) = ( x ) + g t ( z ) ， 所以 “o ) = 置c k + l , n 啦+ l ( x ) = q ，畦。( 石) + y d ，。( z ) e z e zn e z 由 以。( 石) ，厅z ) ，缈。( ，n 刁及( 办( 功，n z j 与缈女。o ) ，n z j 的正交性，有 c 七，。；墨c k + 1 。 n e z d i 。= e c “ c k + l 。= 墨c 。 + d 。 t t z 利用( 2 1 1 ) 式与( 2 1 2 ) 式，。1 3 z ，导( 工) 的m a u a t 分解算法如下 3 】： c t = 。m ，h i 一2 l e z d = c k + l , i g l - 2 k 记c m = 瓴n z ，d = i h z ，则上述分解过程可图示为 d ( ”一)d ( ”一2 ) d ( n - m c ( 。) + c ( ，一1 ) c ( 一2 l +c ( n - m - i ) c ( n - m ) 利用 ( z ) + 鲰( x ) = “( 工) 可得重构算法【3 】如下： f 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) c k + l = c i h 。d + 以，g 。d( 2 1 9 ) l e zl e z 重构过程为 d ”“ c 一 ，) c 一吖一1 ) c ( 。一 ，一2 ， + c ( 一1 ) c ( 。) ：= 一些坠望型鎏兰型型丝兰竺堡垒一 2 3 二维多尺度分析与图像的分解和重构 对于图像信号，( z ，y ) ，需要利用二维小波进行分解与重构。二维小波的研究与应用， l l z - - 隹d 、波，要困难得多。为了后面对图像的小波分解与重构的需要，本节介绍二维 张量积多尺度分析的概念，并列出对图像进行二维张量积小波分解与重构的算法。 设厂( x ，y ) l 2 ( r 2 ) ，f 的l 2 ( r 2 ) 范数为 l 1 1 1 1 = ( e 弛，y ) f 一( x , y ) d r d y ) 2 ( 2 2 0 ) f ( x ，y ) 的f o u r i e r 变换定义为 夕( l ，脚2 ) = e e 厂( t y ) e l n “”d x a y ( 2 - 2 1 ) 定义2 2 设厶和l 2 是两个线性空间， ，ke z ， g 七，k z ) 分别是厶和三2 的两个 基底，则称以( x ) g ，( y ) ，i z ，_ ，z 为基底的空间为i 与l 2 的张量积空间，记为 l = l o l 2 。 定义2 3 空间l 2 ( r 2 ) 的闭子空间列 圪) i e z 称为l z ( r 2 ) 一个多尺度分析或逼近， 如果满足： ( 1 ) 单调性：c _ m j z ； ( 2 ) 逼近性：n j e z = o ) ，u 脚一= f f ( r ) ； ( 3 ) 伸缩性：f ( x ，y ) f ( 2 x , 2 y ) + 1 ； ( 4 ) 平移不变性：f ( x ，y ) f ( x n , y n ) ，m ，h z ； ( 5 ) 存在妒( x ，y ) ，使得 9 ( x m ，y - n ) ，m ，he z 构成的r i e s z 基。 与一维多尺度分析类似，称妒为尺度函数。 设 皤“，z ) ，i ：1 2 构成r ( r ) 的多尺度分析， 1 3 时，5 l f ，d l ，的平均方差比3 吖的方差要小。 下面用提升结构重新写出( 3 1 ) 如下 因为s o ，2 ，+ 吐，2 = s o 2 ，+ j o ，2 ，+ l 2 一s o , 2 1 2 = 2 ，2 + s o ，2 2 ，故( 3 5 ) 与h a a r 变换( 3 1 ) 相同，其逆变换为 s o ，2 ，2s l ，一d l 。，2 s o 2 ，“= d i ，+ s o 2 。 为得到整数变换，对( 3 5 ) 式的除法取整： d 1 f 2 5 0 2 ，“一s o 。2 ， 乱，= 屯：，+ - 2 j 这同( 3 3 ) 的s 一变换是相同的。这是因为 s 。圳+ l d i , i 2 j = s0 ：，+ b 0 , 2 1 + 1 2 一s 0 , 2 1 2 j = b 0 , 2 12 + s 0 , 2 + 1 2 j 。 尽管现在的变换是非线性的，但利用提升方法可以找到其逆变换 弧：，= 气，一l d l , i 2 j s o 2 f “2d l ，+ s o 2 f 第1 6 页 3 嘶护 一dd + “ 办鼽 i l = 加叫 国防科学技术大学研究生院学位论文 一 由d l 州2 j - - l ( d + i ) 2 1 ，我们可以看到这和( 3 4 ) 相同。 3 2 2s 变换的拓展 这里要讨论的是s 变换的两个拓展：t s 变换和s + p 变换。这两个变换都含有一个 共同的思想：增加第三步，在这步中，通过平均值计算差值的估计a 首先考虑t s 变换，用提升结构表示如下 艄i , i 、= ，+ l 一， s l j = j 雌，+ 础2 ( 3 6 ) d u = d 0 + 氏f - l 4 一s l , + l 4 它可以通过舍入后两步的除法的结果而得到整数变换 d 0 = j o 川“一s ”， ，= s 0 2 。+ - 拶2 j ( 3 7 ) d 1 ，= d 。( d + b l 。一l 4 一s v “4 + 1 2 j 在最后一步，我们在舍入之前加了1 2 项以避免偏离，在第二步不用加上1 2 这是因为 除数仅仅为2 。我们还可以得到逆变换如下 d 0 = d 一k s 一i 4 一s i , i + i 4 + 1 2 j 。= j u k 】：| ：) 2 j ( 3 8 ) 5 02 ，+ l2 d ( b + s o 2 ， s + p 变换变化就更大了，对d 出的估计不仅包括值s u ，而且还包括预先计算的d ， 变换的一种形式是 d 0 1 = s o 引+ l j