（计算数学专业论文）基于新型zienkiewicz元的组合弹性结构问题的有限元方法.pdf

j 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： ? 佛碍 l 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文 保密口，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密玉 ( 请在以上方框内打”，) 学位论文作者硌治取指导一名：戋疰闰 日期：2 0 0 9 年1 月7 日日期：2 0 0 9 年1 月7 日 1 1 上海交通大学博士学位论文答辩决议书 所在 姓名 陈承泽学号 0 0 3 0 7 1 9 0 1 3 计算数学 学科 答辩答辩 指导教师黄建国 2 0 0 9 6 4 闵行校区数学系中会议室 日期地点 论文题目 基于新型z i e n k i e w i c z 元的组合弹性结构问题的有限元方法 投票表决结果：f f - f - ( 同意票数实到委员数应到委员数)答辩结论：斑过口未通过 评语和决议： 陈承泽同学的博士学位论文基于板弯问题的新型z i e k i e w i c z 非协调元系统研究了一般 组合弹性结构静态问题的有限元方法，给出了能量模意义下的最优误差估计和板板结构问 题的数值模拟。同时，基于该有限元方法建立了求解组合弹性体板结构问题的一个区域分 解算法，通过引进新的估计技巧，证明了该方法即使对于一般正规剖分情形，收敛速度都 是最优的，不依赖于有限元网格剖分尺度。最后，论文运用新型有限元方法研究折叠板的 振动问题，构造了半离散和全离散有限元方法，给出了不同初始函数选择方法和能量模意 义下的误差估计，并提供了数值模拟结果。 陈承泽同学的博士学位论文有较重要的理论意义和应用价值，新型有限元由于自由度 均在剖分单元的顶点，因此特别适用于工程应用。论文研究内容有直接应用价值，对已有 研究成果综述系统，理论推导严密，有创新，表达准确，数值模拟实验结果正确，反映了 算法的计算性能。 陈承泽同学答辩过程中能够正确回答答辩委员会专家的提问，答辩委员会经过研究一 致认为陈承泽同学的博士学位论文是一篇较为优秀的博士学位论文，达到了博士学位论文 的要求，建议授予理学博士学位。 2 0 0 9年0 6 月0 4 日 职务姓名职称单位签名 主席李立康教授 复旦大学数学科学学院 毒， 犀童厦 答 商赢_辩 委员尤云祥教授上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院 委 委员徐承龙教授同济大学数学系 斟m 口 贝 捌 会委员李亚纯教授上海交通大学数学系 成 国宅锹 口 委员朱佐农教授上海交通大学数学系 贝 、jv 签 委员 名 委员 秘书徐恒敏副教授上海交通大学数学系 撵峒乞 基于新型z i e n k i e w i c z 元的组合弹性结构问题的有限元方法 摘要 组合弹性结构通常由相同或不同维数的若干弹性子结构( 弹性体，板，梁等) 以适 当的刚接条件耦合而成，广泛应用于工程领域在过去的几十年里，越来越多的学者 关注于此本文在前人已有工作的基础上，运用具有良好工程特性的新型z i e n k i e w i c z 非协调元建立求解一般组合弹性结构问题的新型有限元方法，并针对该方法在简单模 型的振动问题和区域分解算法上的应用进行了理论研究和数值实验 首先对求解一般组合弹性结构的稳态问题，提出了尸1 p 3 n z t 有限元法该方法 对体位移、板纵向位移、杆纵向位移和杆转角采用了线性协凋元离散，对杆的横向方 向采用三次h e r m i t 元离散，对板横向方向采用新型z i e n k i e w i c z 元离散，并在各个弹 性组件之间采用适当的边界条件耦合得全局离散向量场接着给出了该方法能量模意 义下的最优误差，并以求解一个弹性板板结构问题的数值效果验证了该方法的有效 性该方法的最大优点是节点自由度都定义在剖分单元的顶点，从而利于编程和实际 应用 进一步，提出了一种用p 1 一n z t 有限元法离散求解一般弹性体板问题的非重叠 区域分解算法该方法对体位移和板纵向位移用只协调元离散，对板的横向位移采用 新型z i e n k i e w i c z 元离散，结合非重叠区域分解算法，即。力位移”s c h w a r z 交替法 而成主要的创新点是通过引进新的估计技巧，证明该方法即使对于任意正则三角剖 分，其收敛率均是最优的，不依赖有限元网格剖分尺度该算法从而可结合自适应技 巧以提高求解实际问题的计算效率该算法的计算效果通过一些数值结果得以说明 同时，为了考察该新型有限元法在振动问题上的应用效果，针对弹性板板结构 的振动问题，给出了半离散和全离散有限元方法，即对板件的纵向位移用线性协调元 离散，对板件的横向位移用新型z i e n k i e w i c z 元离散，从而获得求解该问题的半离散有 i i i 中文摘要 限元方法接着采用中心差分格式离散时间方向的二阶导数，建立了相应的全离散有 限元格式，并给出了两种不同初始函数选择方法，以及能量模意义下的误差估计，并 以数值例子展示了计算效果 在本文的最后部分给出了简要的总结与展望 关键词：组合弹性结构；新型z i e n k i e w i c z 元；振动分析；区域分解算法；板板 结构；体- 板结构；误差估计 a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n ta n a i s i sf o re l a s t i c m u i 厅i - s t r u c t u r ep r o b l e m sb a s e do nan e w z i e n k i e w i c z t y p ee l e m e n t a b s t r a c t e l a s t i cm u l t i s t r u c t u r e sa r eu s u a l l ya s s e m b l e db ys o m ee l a s t i cs u b - s t r u c t u r e so ft h es a m eo rd i f f e r c n t d i m e n s i o n s ( b o d i e s ，p l a t e s ，r o d s ， e t c ) w i t hp r o p e rj u n c t i o n s ，w h i c ha r ew i d e l yo c c u r e di ne n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，w i d e l yu s e di nc o m p u t a t i o n a l m e c h a n c i s ，a r ee f f e c t i v ei ns o l v i n gs u c hk i n do fp r o b l e m s i nt h ep a s tf e w d e c a d e s ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v eb e e nd e v o t e dt ot h es t u d yo nt h ea b o v e p r o b l e m s b ym e a n so ft h ee x i s t i n gr e s e a r c hr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e ， t h i st h e s i si si n t e n d e dt od e v e l o pan e wf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，b a s e do n t h en e wz i e n k i e w i c - t y p en o n c o n f o r m i n ge l e m e n t ( d u et ow a n g ，s h i ，a n d x u ) ，t os o l v es t a t i ce l a s t i cm u l t i s t r u c t u r ep r o b l e m sa n dt h e i rv i b r a t i o n p r o b l e m se f f e c t i v e l y , a n dt h e nc o n s i d e rh o wt or e a l i z ef a s ts o l u t i o no ft h e r e s u l t i n gd i s c r e t ep r o b l e m sv i ad o m a i nd e c o m p o s i t i o nt e c h n i q u e s a tf i r s t ，an e wf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( n a m e dt h ep l p 3 一n z tf e m ) i si n t r o d u c e df o rs o l v i n gg e n e r a le l a s t i cm u l t i s t r u c t u r es t a t i o n a r yp r o b - l e m s ，w h e r ed i s p l a c e m e n t so nb o d i e s ，l o n g i t u d i n a ld i s p l a c e m e n t so np l a t e s ， l o n g i t u d i n a ld i s p l a c e m e n t sa n dr o t a t i o n a la n g l e so nr o d sa r ed i s c r e t i z e d b yc o n f o r m i n gl i n e a re l e m e n t s ，t r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n t so nr o d sa n d p l a t e sa r ed i s c r e t i z e dr e s p e c t i v e l yb yh e r m i t ee l e m e n t so ft h i r do r d e ra n d v d o c t o r a ld i s s e r t a t i o no fs h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y n e wz i e n k i e w i c z t y p ee l e m e n t ，a n dt h ed i s c r e t eg e n e r a l i z e dd i s p l a c e m e n t f i e l d si ni n d i v i d u a le l a s t i cm e m b e r sa r ec o u p l e dt o g e t h e rb ys o m ef e a s i b l e i n t e r f a c ec o n d i t i o n s t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ei nt h ee n e r g yn o r mi s e s t a b l i s h e df o rt h em e t h o d ，w h i c hi sa l s ov a l i d a t e db ys o m en u m e r i c a l e x a m p l e s t h e nan o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( d d m ) i s p r o p o s e dt os o l v eg e n e r a le l a s t i cb o d y p l a t ep r o b l e m s ，d i s c r e t i z e db y t h ep 1 一n z tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w h e r ed i s p l a c e m e n t so nb o d y , l o n - g i t u d i n a ld i s p l a c e m e n t so np l a t ea r ed i s c r e t i z e du s i n gp 1c o n f o r m i n g e l e m e n t s ，a n dt r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n t so np l a t ei s d i s c r e t i z e db yt h e n e wz i e n k i e w i c z t y p ee l e m e n t ，r e s p e c t i v e l y t h em a i nn o v e l t yi st h a t i t sc o n v e r g e n c er a t ei so p t i m a l ( i n d e p e n d e n to ft h ef i n i t ee l e m e n tm e s h s i z e ) ，e v e nf o rt h es h a p e - r e g u l a rf i n i t ee l e m e n tt r i a n g u l a t i o n t h i sc a - a b l e su st oc o m b i n et h em e t h o dw i t ha d a p t i v et e c h n i q u e si np r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s s o m en u m e r i c a lr e s u l t sa r ec o n t a i n e dt oi l l u s t r a t et h ec o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c eo ft h em e t h o d m e a n w h i l e ，w ea p p l yo u rf i n i t ee l e m e n tm e t h o dt ov i b r a t i o na n a l y - s i so fe l a s t i cm u l t i s t r u c u t r e s c o n c r e t e l y , t h es e m ia n df u l l yd i s c r e t e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r ep r o p o s e df o rv i b r a t i o na n a l y s i so fe l a s t i c p l a t e - p l a t es t r u c t u r e s i nt h es p a c ed i r e c t i o n s t h el o n g i t u d i n a ld i s _ p l a c e m e n t so np l a t e sa r ed i s c r e t i z e db yc o n f o r m i n gl i n e a re l e m e n t s ，a n d t h ec o r r e s p o n d i n gt r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n t sa r ed i s c r e t i z e db yt h en e w z i c n k i e w i c z t y p ee l c m e n t ，l e a d i n gt oas e m i d i s c r e t ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d f o rt h ep r o b l e mu n d e rc o n s i d e r a t i o n f u r t h e r m o r e ，t h es e c o n dd e r i v a t i v e v i ， a b s t r a c t i nt i m ei sd i s c r e t i z e db yt h es e c o n do r d e rc e n t r a ld i f f e r e n c e ，l e a d i n gt oa f u l l yd i s c r e t es c h e m e t w oa p p r o a c h e sf o rc h o o s i n gt h ei n i t i a lf u n c t i o n s a n dt h ee r r o ra n a l y s i si nt h ee n e r g yn o r mi sp r o v i d e d n u m e r i c a lr e s u l t s a r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ec o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c e s o m ec o n c i s es u m m a r ya n dp r o p e c t sa r ec o n t a i n e di nt h ef i n a lp a r t o ft h et h e s i s k e yw o r d s ：e l a s t i cm u l t i - s t r u c t u r e s ：n e wz i e n k i e w i c z t y p e e l e m e n t ；v i b r a t i o na n a l y s i s ；d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ；p l a t e - p l a t es t r u c t u r e s ；b o d y - p l a t es t r u c t u r e s ；e r r o re s t i m a t e s i 目录 中文摘要i i i 英文摘要 v 目录i x 第一章绪论 1 1 1 课题研究的背景和意义 1 1 2 问题的研究现状 2 1 3 本文的主要研究内容 3 第二章基础知识介绍 6 2 1 一些记号和约定 6 2 2 一般组合弹性结构的数学模型 7 2 3 新型z i e n k i e w i c z 元的相关介绍1 1 第三章一般组合弹性结构稳态问题的尸1 b n z t 元有限元法 1 4 3 1 一般组合弹性结构稳态问题的尸l 一尼一n z t 元离散模型 1 4 3 2p l p 3 一n t z 有限元法解的唯一性和存在性 1 6 3 3 误差分析2 0 3 4 数值算例。 2 6 第四章求解一般弹性体板问题的户1 n z t 有限元离散非重叠区域分解 算法 3 0 4 1 求解一般体板问题的只- n z t 有限元方法3 0 4 2 用于误差估计的c l d m e n t 型插值算子和谱等价引理3 4 4 3 非重叠区域分解法和收敛分析4 0 4 4 数值算例。 4 4 第五章基于n z t 元离散的弹性板板结构振动分析4 7 5 1 弹性板- 板结构振动问题的数学模型和有限元离散4 7 5 2 半离散有限元法及其误差分析 5 0 i i 目录 5 3 全离散有限元法误差分析及初值函数选取方法 6 0 5 4 数值算例 7 6 第六章总结与展望 7 9 参考文献80 攻读博士学位期间发表和完成的主要学术论文8 5 致谢86 i x 一 第一章绪论 1 1 课题研究的背景和意义 组合弹性结构通常由相同或不同维数的若干弹性子结构( 弹性体，板，梁等) 以适 当的刚接条件耦合而成，是当代工程制造领域中广为应用的模型，具体地如汽车、航空 航天、造船、电器制造业以及建筑工程结构设计等诸多方面组合弹性结构的数学模 型大都归结为微分方程或微分方程组的定解问题，而传统的解析方法只能解决少数规 则区域( 如矩形，圆，椭圆等) 上，具要求特定边界条件且结构材料系数为常数的计算问 题，对于大量、复杂、实时动态的、要求计算高效高速高精度的实际问题只宜用数值方 法解决，从而组合弹性结构问题成为了科学与工程计算中的一个重要研究课题，正如 1 9 9 7 年法国工程院院士p g c i a r l e t 在他的著作【1 】所说。ac h a l l e n g i n gp r o g r a mc o n s i s t si n n u m e r i c a l l ya p p r o x i m a t i n gt h em a t h e m a t i c a lm o d e l so fe l a s t i cm u l t i - s t r u c t u r e st h a tc o m p r i s em a n y s u b s t r u c t u r e s ” 有限元方法是当前解决组合弹性结构问题最为有效和主流的方法之一它最原始 的思想来自于分析飞机结构的研究过程，1 9 4 3 年c o u r a n t 在处理扭转同题【2 】2 时提出在 三角形网格上用分片线性函数去逼近d i r i c h l e t 问题2 0 世纪5 0 年代有限元方法开始为 工程师们运用于求解简单结构问题，1 9 5 4 年a r g y r i s 出版了关于能量原理和矩阵方法的 书籍【3 1 ，1 9 5 6 年t u r n e r 等人推导出了杆、梁等单元的刚度矩阵【4 】1 9 6 0 年c l o u g h 在处理 平面弹性问题时，首次提出和使用了。有限元方法”( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 这一名称有 限元方法作为一种系统的数值方法并奠定其数学基础是在2 0 世纪6 0 年代中期，1 9 6 5 年中国计算数学领域的先驱和奠基学者冯康院士独立于西方学术界创立了求解偏微分 方程的有限元方法【5 】，并将其成功应用于水坝的应力分析问题，在同一时期的西方， 1 9 6 7 年z i e n k i e w i c z 和c h e u n g 等人出版了第一本论述有限元方法的专著【6 】此后，越来 越多学者投身于有限元方法的发展与完善目前，有限元方法已成为工程力学界广泛 应用于求解各种定常结构问题的数值计算方法，出现了大量相关的通用软件；同时， 在数学上已建成一套完整的理论，成为计算数学、应用数学和工程领域的学习和研究 科目，与之相关的各种新的计算方法和分析方法仍在不停涌现，尚有巨大的学术发展 空问 在工程领域中，有限元方法的发展直接促进着计算结构力学的发展线性弹性力 第一章绪论 学的各种变分原理已经相当完备，基于这些变分原理的协调有限元方法也已成熟但 对于高阶微分方程问题，协调有限元方法由于构造复杂在实际应用时存在工作量大的 缺陷，如在处理经典板弯问题时，由于收敛性要寒有限元空间中的函数必须为c - 连 续，若使用协调三角形单元起码需要二十一个局部自由度，很复杂为此，求解板弯 问题的各种非协调元方法( 如m o r l e y 元，a d i n i 元，z i e k i e w i c z 元等) 广受关注，业已成 为该领域的研究热点之一 本文的主要工作就是将一种新提出的非协调有限元应用于求解组合弹性结构问 题，在前人工作成果的基础上，为完善和补充这一领域的研究作出一些具体的工作 1 2问题的研究现状 几十年来组合弹性结构问题的研究已有了一系列的成果2 0 世纪7 0 年代，冯康 先生和石钟慈院士【7 ，8 】根据力学直观获得了合理的子结构耦合条件，再利用最小势能 原理给出了一般组合弹性结构的数学模型2 0 世纪8 0 年代末，以c i a r l e t 为代表的研 究集体 1 ，9 】用渐近分析的方法从理论的角度导出了子结构问耦合条件的合理提法，有 关结果对获得组合弹性结构的数学模型起关键作用k o z l o v 等人在文献【1 01 2 1 中提出 由一维和三维构件耦合而成的组合结构边值问题并建立了相应的渐近分析和谱分析理 论黄建国、石钟慈和徐一峰对一般组合弹性结构进行了系统深入的研究和发展，在 文献【1 3 】中他们利用最小势能原理和虚功原理建立了组合弹性结构在向量表示下的数 学模型，给出了一般组合弹性结构上的广义k o r n 不等式，在解的实际正则性假设条件 下，导出了向量表示下的所有平衡方程，为一般组合弹性结构的有限元分析奠定了基 础 在组合弹性结构稳态问题的数值分析方面，对于两子结构问题，b e r n a d o u 等人在 文献【1 1 6 】中提出一种协调元方法并进行了数值分析，王烈衡【1 7 1 9 】则提出若干非协 调元和t r u n c 元求解方法；对于一般组合弹性结构问题，黄建国等在文献【2 0 ，2 1 】中提 出了求解一般组合弹性结构的两类非协调元方法及其误差分析 组合弹性结构的相关理论研究领域是极为广泛的，随着求解适应大规模问题的并 行算法尤其是区域分解算法【2 2 2 6 以及求解时间相关问题的时空有限元法【2 73 3 】的发 展，组合弹性结构的有限元方法也有了相应的发展p g c i a r l e t 在文献【1 】1 中指出非重 2 上海交通大学博士学位论文 叠区域分解算法特别适于求解组合弹性结构问题文献【3 4 l 提出了一些基于协调元离 散的求解加筋板问题的子结构方法文献【3 5 】提出了求解体板问题的两种区域分解算 法，然而由于应用了文献【3 6 】中的有限元离散，对于体板上有几何形状上的要求，这极 大地限制了这两种算法的实用性在时间相关问题方面。对于折板振动问题，p e t y tf 3 t 给出了有限元计算格式，p e n g 等人【3 8 】也提出了一个无网格g a l e r k i n 法黄建国等人 在文献f 3 9 1 中采用m o r l e y 元对单个k i r c h h o f f 板进行了振动分析，在文献 4 0 ，4 1 】中分别 对于任意多个梁( 杆) 耦合结构振动问题及甲面弹性问题给出了时间伊连续有限元法 和误差分析，在文献【4 2 】中利用m o r l e y 元对于弹性板板结构进行了振动分析 1 3本文的主要研究内容 在前人工作的基础上，本文重点将王鸣、石钟慈和许进超等提出的新型z i e n k i e w i c z 非协调元( 简称n z t 元) 【4 3 】运用于构造组合弹性结构问题的有限元新方法，并进行数 值分析和数值实验 首先，应用具有良好工程特性( 既保持了自由度在节点处选取的工程优势又对一般 网格剖分收敛) 的n z t 元，建立一般组合弹性结构稳态问题的p 1 p 3 n z t 数学模型及 其有限元方法，即对体位移、板纵向位移、杆纵向位移和杆转角采用了线性协调元离 散，对杆的横向方向采用三次h e r m i t 元离散，对板横向方向采用n z t 元离散，并在各 个弹性组件之间采用适当的边界条件耦合得全局离散向量场通过n z t 元空间到b e l l 协调元空间的转移算子技巧【2 1 ，4 4 】，在相应的n z t 元空间上建立了广义k o r n 不等式， 进而证得该方法的唯一可解性仿照文献【1 3 】利用插值算子、正交投影算子等论证技巧 结合一般组合弹性结构的平衡方程，建立了能量范数意义下的最优误差估计同时给 出了一个弹性板板结构的数值算例，用数值结果说明了该方法的有效性和可行性 接着，研究了一个求解一般弹性体板问题的非重叠区域分解算法该方法基于 前文中的p 1 忍n z t 有限元方法，即对体位移和板纵向位移用p l 协调元离散，对板的 横向位移采用n z t 元离散该方法构造类似于文献【3 5 】中的第二种方法，但适用于任 意多面体形的体板结构引入一个c l e m e n t 型插值算子并给出误差估计，进而结合 s o b o l e v 空间的延拓定理导出相应的谱等价引理，证明了算法的收敛率是最优的( 不依 赖有限元网格尺度) ，且适用于任意正则三角剖分需要强调的是，基于任意正则三角 3 第一章绪论 剖分的有限元非重叠区域分解算法的收敛性分析结果很少，已有研究成果往往起码要 假设交接面上的有限元剖分为拟一致的【4 5 ，4 6 ，从而获得谱等价结果【4 7 5 0 】因此，本 章在收敛分析上的推导技巧将有助于其它基于正则剖分有限元非重叠区域分解算法的 研究 4 t ，4 8 ，5 1 ，5 2 由于仅要求正规剖分，该算法可结合自适应技巧 4 6 ，5 3 j 以高效求解 一般弹性体板问题类似于文献【3 5 】中的第二种方法，该算法每步迭代仅需求解独 立的体问题或板问题，这可以利用已有的快速算法来实现，而松弛参数可以由数值经 验提供或幂法求得数值算例展示了该算法的计算效果 同时，将n z t 元应用于弹性板板结构振动问题，给出了半离散和全离散有限元 求解方法和误差分析先对板件的纵向位移用线性协调元离散，对板件的横向位移用 n z t 元离散，得到求解问题的半离散有限元方法再用中心差分格式离散时间方向的二 阶导数，得到全离散有限元格式，同时提供了计算格式中选择初始函数的两种方法 进一步利用椭圆投影算子【5 4 ，5 5 】和文献【2 0 ，3 9 ，5 6 1 中的一些技巧得到能量模意义下的误 差估计，并以具体数值例子验证了理论结果 最后，对本文的研究方向做了一个简要的总结与展望 本论文共分为五章，各章内容安排如下t 第一章：绪论，介绍了组合弹性结构问题研究的意义，目前的研究结果和研究方 法以及本文的主要研究内容 第二章。基础知识介绍，介绍本文所使用的记号和约定，介绍了后文的理论基础， 即一般组合弹性结构的数学模型【1 3 】和n z t 元【4 3 】的相关知识 第三章。对求解一般组合弹性结构的稳态问题，提出了p 1 忍n z t 有限元法通过 n z t 元空间到b e l l 协调元空间的转移算子技巧，在相应的n z t 元空间上建立了广义 k o r n 不等式，证得该方法的唯一可解性，并利用插值算子、正交投影算子、一般组合 弹性结构的平衡方程等论证技巧，建立了能量范数意义下的最优误差估计并通过求 解一个弹性板板结构问题的数值实验验证了该方法的有效性 第四章：对一般体板耦合结构稳态问题，给出了p 1 n z t 有限元非重叠区域分解 算法该方法可应用于任意多面体形的体板结构其构造类似于文献【3 5 】中的第二 种方法，即d f 交替法( 位移力交替法) ，但适用于任意多面体形的体板结构引入 了一个c 1 6 m e n t 型插值算子并给出误差估计，结合s o b o l e v 空间的延拓定理导出相应的 谱等价引理，证明了该方法对于任意正则网格剖分都有最优收敛率，且不依赖于网格 4 一 ， ， 上海交通大学博士学位论文 的拟一致性章节最后，用算例展示了该算法的数值表现 第五章。针对弹性板板结构的振动问题，对板件的纵向位移用线性协凋元离散， 对板件的横向位移用n z t 元离散，得到求解问题的半离散有限元方法再用中心差分 格式离散时间方向的二阶导数，得到全离散有限元格式，同时提供了计算格式中选择 初始函数的两种方法进一步利用椭圆投影算子等技巧得到能量模意义下的误差估计 ，并以数值例子展示了计算效果 第六章：与本文有关研究方向的总结与展望 5 第二章基础知识介绍 本章是本文的预备知识章节，首先介绍本文所用到的一些记号和约定，接着作为 后续章节的铺垫，介绍了本文的立足点即一般组合弹性结构的数学模型【1 3 】，再介绍了 后文所要应用的新型z i e n k i e w i c z 非协调元【4 3 】的相关知识 2 1 一些记号和约定 本文采用标准的s o b o l e v 空间的定义和符号【5 7 5 9 】设g 为r “( n = 1 ，2 ，3 ) 中的开 集，用w m ，p ( g ) ( m 0 ) 表示整数次s o b o l e v 空问【5 7 ，5 8 】，对于t ，w “9 ( g ) ，当l p 时，其范数和半范数定义为 忪积一( i 墓加舯。) v p 巾l m ，舶：= ( i 三加) “， 当p = 。o 时，其范数定义为 m 禹g _ i 郴m a x 。e s s 础s u pl 铲”( z ) 帅b g _ l m 。i ：a x 。跚磐e g 脚( 吼，l a i s mz gl q l = m害 其中a = ( a 2 ，d 。) 表示n 重求导指标当p = 2 时，w m p ( g ) 简记为日”( g ) ，其相应的 范数和半范数分别记为删。，g 和。g ，有时也用日。( g ) 和i v l , , m ( g ) 表示上口( g ) 是 c 铲( g ) 在范数i i i i 。，g 意义下的完备化空间令0 8 1 ，w ”托一( g ) 表示分数次s o b o l e v 空间，其范数定义为 ot，il象+。，p，g：=iiuil：，鼽g+lal=m-乞乞11：铲dz d 掣， p o o 对于向量值函数t ，= ( t ，- ，饥) ( w ”，一( g ) ) 定义 ilt，o。肌g：=(妻ilviii象积g)1屈，ivll。栅g ：= ( 妾i 地l 象舶g ) v p i l t ，o 。肌g ：= ( i i 象积g ) ，m 栅g ：= ( i 地l 象舶g ) 、一 、i l ， 对给定b a n a c h 空间a ，赋以范数”| l a 和半范i 1 ，t ，：【0 ，t 1 一a 为一l e b e s g u e 可测 函数，定义【5 9 l l p ( o ，丁；a ) = u ：【0 ，卅一月；i l v l l l ，( o ，t ；a ) 形成一右手坐标系， 其中表示面元边界卵在纵向甲面内的外法向，e g 表示面元卢的横向单位向量 对于o t 或卢的子区域也采用类似标记对于线元，y q 1 ，z 7 为纵向坐标，z ；和z ；为 横向坐标，并且取，y 的一个端点为局部坐标系的原点对于线元7 r t ，令e j 为其纵 向单位向量 对于任意两个元卢q 2nf 2 和n q 3 ，q o - 1 p 代表面元p 为体元q 的边界元对 于任意两个元p q 2 和7 q 1ur 1 ，定义 ( p ，y ) ：= 0 若 l 圣8 b 1 若7 卵，e z t o 0 在7 上， 一1 若，y 筇，e z 护 0 和( 0 ，1 2 ) 分别表示弹性元件叫( o ，卢，7 ) 的y o u n g 模量和p o i s s o n 比；t p 是板p 的厚度；a 1 是杆的横截面积，略是杆的断面惯性矩， 是杆的断面几何抗扭 刚度；幻和j ，j 代表k r o n e c k e r 符号 从此后开始，用 t ：= u 。) 。n 3 ， u 口 口n z ， t 1 ) 1 n t ， t l ：) 1 n - ) 表示问题( 2 2 6 ) 的唯一解，并假设对于所有o q 3 ，卢1 2 2 和- y q 1 有 t 。( h 2 ( q ) ) 3 ，u 口( h 2 ( p ) ) 2 h 3 ( p ) ，t 1 h 2 ( 一y ) ( h 3 ( 7 ) ) 2 ，u 7 h 2 ( ，y ) ， ，。( 2 ( q ) ) 3 ，p ( 工2 ( p ) ) 3 ，尸( 工2 ( 7 ) ) 3 ，月l 2 ( 7 ) 2 3 新型z i e n k i e w i c z 元的相关介绍 z i e n k i e w i c z 元【6 0 】在用非协调元处理四阶偏微分方程数值求解时足一种常用的有限 元方法，它因自由度选取均在网格节点上而受到工程师们的青睐但它在两维空间的 一般网格上并不收敛【6 1 ，6 2 】，仅当网格线甲行情形下才收敛新近王鸣教授等于文献【4 3 】 中创造了一类新型z i e n k i e w i c z 元，在保持自由度的同时选取了不同的形函数空问，使 得该元对于一般网格具有收敛性在本节中将简要介绍新型z i e n k i e w i c z 型非协调元及 其相关特性 对于给定的n 维单形k ( n 2 ) ，其顶点p i = ( x l i l 蚴，x n i ) 7 ( 1 i n + 1 ) ，且定义 泡函数 q o = a 1 a 2 a t l + l ， 这里a t ，入2 ，a 。+ - 为k 的重心坐标 从而n z t 元空问由以下三元组( k ，碟刀，z k ) 决定t k 为n 维单形 形函数尸g z t ：= p 2 ( k ) + s p a n q i j ，1 e j n + 1 ) 1 1 第二章基础知识介绍 节点参数为： e ：= v ( p j ) ，( 乃一p i ) r v v ( p i ) ，1 i jsn + 1 ，v c 1 ( k ) ) ， 州划矿拼+ 掣( 譬刊+ 轰。铲h ，卜 v = ( 击，去，去) t h 的三角形剖分令和o 分别为相应于h 2 ( 2 ) 和