（岩土工程专业论文）流体固体介质中斯通利sroneley波特性.pdf

摘要 本文利用蟹揖逵和有限单元法建立了两半无限成层固体介质中 斯通利( s t o n e l e y ) 波特征方程，并研究不同情况下斯通利波特性和 位移分布规律；建立了两半无限流体一蛤固体中斯通利波特征方 程，并讨论斯通利波特性和位移分布规律；利用有限单元法建曲：了 两半无限成层流体j 固体介质中斯通利波弥散特性方程，并讨论 斯通利波的弥散性和位移分布规律；进步讨论了流体r 固体介 质中瑞利波弥散特性。二、1 ， l 。4 孚 关键词：斯通利波；瑞利波；特征方程：弥散特性 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es e c u l a re q u a t i o n so fs t o n e l e yw a v ei nt w oi n f i n i t el a y e r e ds o l i dm e d i aa r e d e d u c e db yu s i n ga n a l y t i c a lm e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h i s p a p e r t h e c h a r a c t e r i s t i c so fs t o n e l e yw a v ea n dt h el a wo fi t sd i s p l a c e m e n td i s t r i b u t i o ni nt w o i n f i n i t el a y e r e ds o l i dm e d i aa r ed i s c u s s e d ；t h es e c u l a re q u a t i o n so fs t o n e l e yw a v ei n t w oi n f i n i t ef l u i d s o l i dm e d i aa r ed e d u c e d b yu s i n ga n a l y t i c a lm e t h o di nt h i sp a p e r t h ec h a r a c t e r i s t i c so fs t o n e l e yw a v ea n dt h el a wo fi t sd i s p l a c e m e n td i s t r i b u t i o ni n t w oi n f i n i t ef l u i d s o l i dm e d i aa r ed i s c u s s e d ；t h es e c u l a re q u a t i o n so f s t o n e l e yw a v e i nt w oi n f i n i t el a y e r e df l u i d s o l i dm e d i aa r ed e v e l o p e d b yu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nt h i s p a p e r t h ec h a r a c t e r i s t i c so fs t o n e l e yw a v ea n dt h el a wo fi t sd i s p l a c e m e n t d i s t r i b u t i o ni nt w oi n f l n i t el a y e r e df l u i d s o l i dm e d i aa r ed i s c u s s e d ；t h ec h a r a c t e r i s t i c s o f r a y l e i g hw a v e i nf l u i d - s o l i di sa l s od i s c u s s e d k e yw o r d s ：s t o n e l e yw a v e ；r a y l e i g hw a v e ；s e c u l a re q u a t i o n ； d i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c s 1 1引言 第一章绪论 无界弹性介质中存在两类体波，一类是压缩波，压缩波在介质中 传播时，质点运动方向与波传播方向一致，压缩波既可在固体中传 播也可在流体中传播，该波又称p 波、纵波、膨胀波或无旋波；另 一类是剪切波，剪切波的传播不使介质产生体积应变，质点运动方 向与波传播方向垂直，该波又称s 波、横波、旋转波或等容波。如 质点运动方向在垂直平面内，则这种剪切波称为s v 波，如质点运动 方向落在水平面内，则称为s h 波。p 波和s 波波速度圪、与介质 密度p 、l a m e 常数 和剪切模量g 之间存在如下关系： 咋= ( 兄+ 2 g ) p( 1 1 ) k = g p( 1 2 ) 1 8 8 7 年瑞并l j ( r a y l e i g h ) 发现了半空间弹性介质中存在一种由压 缩波和剪切波干涉产生的波端利波，并指出在均质、各向同性弹n ：卜夺问t 扣瑞利波波速与振动频率无关，瑞利波在深度方向衰减较快， 浙江大学硕士学位论文 而在水平方向衰减很慢，即瑞利波主要沿半空间表面传播，故瑞利波 是一面波。均质半空间土中，瑞利波占表面振源能量的主要部分， 能量百分比为( m i l l e r1 9 5 5 ) ：r 波占6 7 3 ，s 波占2 5 8 ，p 波占 6 9 ，r 波在浅层土体中所产生的位移远比压缩波和剪切波速度大。 对于轴对称激振，体波以半球形的波阵面向外传播，其振幅在半空 间内部和表面分别按三和与衰减；( 严人觉1 9 8 9 ，w o o d s1 9 6 8 ) r 波 ， 以园柱形波阵面向外扩散，其振幅无论在半空间内部还是表面都按 衰减。对于平面内激振，体波振幅在地基表面按士衰减，而r r r 5 波则与r 无关。因此，当r 加大时，瑞利波衰减比体波衰减慢得多， 即在离扰力远处，瑞利波占统治地位。 对工程中经常碰到的层状介质的情况，由于土的模量随深度变化， 瑞利波波速将随频率而变，即具有弥散性( n a z a r i a n1 9 8 4 ，g u c u n s k i 1 9 9 1 ，陈云敏1 9 8 9 ) 。夏唐代( 1 9 9 2 ，1 9 9 3 ) 番t 用有限元法和解析法相结 合的方法建立特征方程，该方法十分有效地分析了上硬下软地基、夹 层地基及流体一固体介质等复杂地基瑞利波特征，并由此讨论不同 地基瑞利波特性。 剪切波速k 是土动力学和地震工程学中的一个重要参数，也是二 二 静力学中的一个重要参数，小应变情况下所测剪切波速k 能反映静 剪切模量g 而土的抗剪强度屿剪切模量g 密切相关( 王建人1 9 8 7 ) ， 般占越大，诎越大。剪切波速度的原位测试方法大多采用体波( 雎 缩波或剪切波) 作为试验信号，而把瑞利波作为干扰信号处理。瑞利 2 浙江大学硕士学位论文 波占表面振源能量的主要部分，其在浅层土体中所产生的位移远比 体波的大。这种不合理性使得这些方法在浅层所测得结果的精度偏 低。由于地基中传播的波主要以表面波形式传播，因此在理论上可 较精确地获得表面波弥散曲线，而弥散曲线与土层的厚度、剪切波 速等密切相关，因此可由实测瑞利波弥散曲线反演地基土层参数。 1 2 土中瑞利波特性 弹性土中瑞利波特性报道较多，这里只作些简单介绍。 1 2 1 上软下硬地基瑞利波特性 该类地基剪切波速随深度增加( 如吉布森地基等) 瑞利波特征方程 式为实函数，从而波数k 为实数，波在水平向不衰减。特征方程式中 矩阵主要由土层剪切波速、厚度、泊松比、阻尼比及质量密度决定，因 此瑞利波弥散性主要受上述因素影响。 研究表明，瑞利面波具有弥散性，当波长很短时，其第一模态波 速度接近于最上层土的瑞利波速度：当波长长时第一模态波速度趋 近于最下层土的瑞利波速度( 陈云敏1 9 8 9 ，夏唐代1 9 9 2 ) ，第一模态 波在深度方向上的有效传播深度在一个半波长内：质量密度的变化 对瑞利波的弥散曲线有影响，但由于土中质量密度破化不大，假定 p 相同而对弥散曲线和位移分布影响很小，可略去不计( n a z a r i a n 3 浙江大学硕士学位论史 1 9 8 4 ，陈云敏1 9 8 9 ) 。对于均匀地基，泊松比旌o o 5 之间，相应 的瑞利波速度的变化范围v h , = ( o 8 7 0 , 9 5 ) v s ，可见由于泊松比引起的 瑞利波速度的变化小于9 ；对于成层地基，各层土泊松比对瑞利波 弥散曲线影响很小，根据土的种类和所处的状态估计泊松比的大小 所引起的瑞利波弥散的误差可以忽略。阻尼对波的弥散性及位移分 布影响不大。 1 2 2 软夹层地基瑞利波特性 这类地基在工程中经常遇到，由于夹层的作用瑞利波特性将与上 软下硬有不同之处。n a z a r i a n ( 1 9 8 4 ) 年i 夏唐代( 1 9 9 3 ) 讨论了三层匀质夹 层地基：v 。z v 。t v 。3 ，当振动频率高时( 第一模态波波长夹层深度) ， 当第一模态波相速度趋于软夹层瑞利波速。低阶模态波能量减小，高 阶模态波能量增加，表面波现场测试所获得波速由多个高模态波叠 加，波速大小一般随传感器位置而波动，但当频率很高时，所测波速 趋近于上层士的瑞利波速。当频率低时( 第一模态波波长大于夹层深 度) ，第模态波占主导，且趋于最下层土的瑞利波速。对于含多层的 软夹层地基( 如四层地基：v 、： v 。l v 。2 0 时 c p 2 2 a 2 e x p 一k a 2 y + i k ( x c t ) y 2 = b 2 e x p 一k b 2 y + i k ( x c f ) 】 式中爿、b t 、爿：和b 2 为系数：七为波数，c 为相速度， b t = 蹶和旷厢，6 2 ：历v s 2 2 + 。 图2 1 两半无限固体介质 ( 2 2 a ) f 2 2 b ) 平面波在两介质的界面传播时应满足界面的边界条件，有( 少：0 ) 甜y 1 2 “y 2 2 - 3 a ) 1 6 浙江大学硕士学位论文 “x 1 2 l a x 2 q i 2 c r y 2 矗v 1 5v x y 2 ( 2 3 6 ) ( 2 3 c ) ( 2 - 3 印 上述应力和位移可用式( 2 一1 ) ( 2 2 ) 波的势函数表示，令y = 0 并 代入式( 2 。3 ) ，半空间中瑞利波的特征方程建立( 吴世明1 9 9 7 ) ，可得 斯通利波的特征方程 1一l b lb 2 日i口2 11 1 + b ? 一q ( 1 + 6 2 ) 2 b l2 q b 2 2 a l2 q a 21 + b ；一q ( 1 + 6 ；) = 0 ( 2 4 ) 系数矢量为胪 i 爿，ki a 2 k b l k b 2 瑚1 。仅当c v s l i 和c v s 2 2 时， 可以得到正的a l 、b 1 和a 2 、b 2 ，物理上才有意义。如果违反这一条件，则 无穷远处的位移会变为无限。如果能从式( 2 4 ) 求出一个正的实根c ； 并且满足c v s i l 和c v s 2 2 ，则说明两固体界面附近存在一种 波( 斯通利波) ，这种波在界面上沿x 方向不衰减，而在竖直方向则是 按指数形式衰减。如果无正实根c ，则说明两固体界面附近不存在斯 通利波。此外由式( 2 4 ) ，式中不含频率皑速度c 与振动振率无关，即 在两固体半无限介质中斯通利波波速不具有频散( 弥散) 性，对于任意 振动频率0 9 的波其传播速度是定值。 为了求解波速c ，令严c k ；，n = p 伽，则式( 2 4 ) 可转化为求解无 量纲化的，值。为了求解比值r ，令式( 2 4 1 为r 的函数，即有 1 7 浙江火学倾l 学位论文 旷| n ( ，j ，2 ，g s l ，- t l ，v s 2 ，, u 2 ) ( 2 5 ) j 2 式( 2 5 ) 中右边项为式( 2 4 ) 中的左边项。由式( 2 5 ) 可画出函数益 线，由于目前计算机技术的发达，波速比r 很容易从图中求得，并且 精度满足要求。由式( 2 4 ) 可进一步求得系数的矢量胪= 【ia i ki a 2 kb i k b 2 柚，因此可进一步求得两固体介质中质点的位移分布情况( 不考虑 圉子e x p i k ( x c f ) 】) 当y o 时，有 “，= ( i a 2 k ) e x p ( - k a 2 y ) 一( b 2 k ) b 2e x p ( 一k b 2 y ) ( 2 - 7 a ) i u ，= 一( 谢2 k ) a 2e x p ( 一k a 2 y ) + ( b 2 k ) e x p ( 一k b 2 y ) ( 2 7 b ) 2 1 2 算例分析 图2 2 给出了蚝i = 1 0 ，v s 2 1 1 1 1 和n = 0 2 ，n = 0 ，5 时式( 2 5 ) 的函 数曲线，由图2 2 知质量密度比盯的变化对斯通利波的存在有较大影 响，n = 0 2 时存在斯通利波，而n = 0 5 时不存在斯通利波。因此，两 半无限固体介质中斯通利波的存在是有条件的，即其存在与两固体 介质材料有关。 1 8 浙r i 夫学硕十学位论丈 蕞o 2 * o 一0 2 一o 4 ：i 1 j j - j 。j j j j j j ； o 10 30 50 7 、 蔫 幅 ) n = o 2 时 o 9 波速比7 oo 2o 40 6 ( b ) n = o 5 时 图2 2 函数y 与波速比，的关系 0 8 渡速比 浙江大学硕士学位论文 刍o 9 5 鲻 0 9 o 8 5 0 8 0 0 0 0 10 0 0 10 0 1 0 111 01 0 01 0 0 0 1 0 0 0 0 i g m ) k 墨 馏 茸 k 淄 鲻 ( 口) v s , 2 1 0 ，v s 2 v s l = 1 0 5 ( 6 ) v s l = 1 o ，v s 2 v s 产1 1 i g ( h ) ( c ) v s , = i o ，v s 2 v s l = 1 3 图2 3 波速比r 与质量密度比疗的关系 k ( n ) 浙江犬学硕士学位论文 位移 x bh 上 h0 0 1 一h 。| _ “i7 ： ： ： ! 、j j 水平向： ； 誉 7 、! j 。 。 1 j 竖直向 ：、 ， ( “) 1 2 肫2 0 0 ，n = o 1 l 位移 三 - 暑。嚣 ： 。 ： 一一j 一 | | 水平向 j j 。 k 一一 竖佘 ，j 、j ： f ： ： ( c ) j l = = 0 0 ，胪3 0 图2 4 斯通利波位移分布曲线 n ， ： ： ： j 永罗向一 心乏j j j | | j j i j j o 有 对于y 0 有 j “，1 e x p ( 一k a 2 y ) 一a z b 2e x p ( 一k b 2 y ) b 2e x p ( 一k b 2 力一b 2e x p ( - k a 2 y ) 1 i l ii u yjl 口2e x p ( 一k a 2 _ y ) 口2e x p ( 一k b 2 y ) e x p ( 一k b 2j ，) 一a 2 b 2e x p ( 一k a 2 y ) j1 一a 2 b 2li “，j ( 2 一l ) 对于y o 有 “ri ：l 。p ( k a l y ) 一口1 6 le x p ( k b l y ) 一6 ie x p ( h i lj ，) + 6 le x p ( k b l _ y ) l 一j ”i r l l j ，j l 口ie x p ( k a l ，) 一日le x p ( k b l y ) 一a t b le x p ( k a i y ) + e x p ( k b l y ) j i a l b i i u l y l r 2 一l o b ) 2 2 2 算例分析 2 2 2 1 算例l 为三层固体介质，有关参数见表2 一l ，已无量纲化。图2 6 为斯 通利波弥散曲线，由图2 6 ( 口) 知介质中斯通利波具有弥散性，斯通利 波的存在与振动频率应有关，当攻次于某一截止频率时不存在斯通利 波，存在两个截止频率和两条第模态波弥散曲线，频率睨诚小时相 速度相应减小并趋于零，吐增大c 相应增大并趋于两半无限固体中最 浙江大学颅 学位沦义 一 小的剪切波速( 由式( 2 5 ) 知此时第一层和第二层介质之间不存在斯通 利波，如果存在斯通利波，则c 趋于斯通利波波速) 。此外，这里的 截止频率与成层土中瑞利波和乐夫波的截止频率不同，后者是指振 动频率必须大于截止频率( e r i n g e n1 9 8 4 ，吴世明1 9 9 7 ) ，瑞利波和 乐夫波才存在。有量纲时的频率0 4 或力与波速及厚度2 有关( 即屿 波速h ，成正比) ，例如波速增加1 0 0 0 倍( 即2 = 1 0 0 0 m s ) ，= 1 0 m ，此 时本算例中的第一截止频率a 2 8 5 0 ( 或p 4 s 3 6 h z ) ，第二截止频率 o _ 2 5 0 ( 或产4 0 h z ) 。 由图2 6 ( 6 ) 知三层介质中斯通利波的波数k 较小，从而波长臌 长，例如第一条弥散曲线中波长刑岛大于4 0 ，而第二条弥散曲线中 波长脚j 大于4 0 0 ，频率碱小时波数k 相应减小( 波长旯增大，相速 度c 也相应减小并趋于零) ，吐增大k 相应增大( 波长减小) 。对于多层 固体介质，斯通利波的特性与上述相同。 表2 - 1 固体介质有关参数 图2 7 为斯通利波第模态波位移分布曲线，图中位移采用界 面处( 第一层和第二层交界处) 水平向位移的无量纲化，深度采用斯通 利波长五的无量纲化。从图中可知斯通利波的位移在界面处位移最大， 斯通利波在两半无限固体中的有效传播深度为波长a 的1 5 倍左右， 2 4 25 茹2 鲻 15 1 0 5 0 崔 瓤 鲻 15 o5 0 浙江大学硕| 学位论丈 ( 口) 与c 的关系 频率 ( b ) 与k 的关系 图2 6 斯通利波弥散曲线 频率 浙江人学 i ! ；jj ：学位论文 这与匀质半空间瑞利波相似( 吴世明1 9 9 7 ) ，并且位移分布形状也与 瑞利波相似。 位移 。心。夕j 一、 夕 0 时，有 “一：塑+ 坐 优铆 玑：塑一坐 卸苏 旷舻州g ( 雾一嘉) ( 3 5 ) 呼胛2 岬g ( 窘+ 黧) 铲2 g 毫堋窘一箬， 式中a 为固体介质的l a m e 常数。将势函数式( 3 1 ) - - ( 3 2 ) 代入式( 3 4 ) - ( 3 5 ) ，再化入式( 3 - 3 ) 得 l a k a i k b = k a l a i g k 2 ( 1 + 6 2 ) 爿+ 2 i b b = 旯l a l ( 口； i 一2 g k2 a i a + g ( 1 + b 2 ) k2 b ：0 将u j ：式整理后为 3 3 ( 3 - 6 ) f 订4 + i b + a l a l = 0 g ( 1 + b2 ) 爿+ 2 i b b 一五i a i ( o ；一1 ) = 0 ( 3 7 ) 1 2 g a a + g ( i + b2 ) i b = 0 要使系数a ，a 和b 有非零解，上述方程组系数行列式必须等于零，于 是可得出 斯通利波的特征方程 ( 3 - 8 ) 仅当c k c 。时，可以得到正的口。、口和b ，物理上才有意义。 如果违反这一条件，则无穷远处的位移会变为无限。如果能从式( 3 8 ) 中求出一个正的实根c ；并且满足c v ， v p 和c l o 时，比值，基本上是平稳的，值为o 8 左右，比半空间固体中瑞利 波比值要低，这一结论与s t o k o e ( 1 9 9 8 ) 所做实验一致；当q ， 竖直南 。 f 一 图3 5 斯通利波位移分布 ( b ) g = 5 0 0 图3 6 为不同的泊松比，尉比值r 影响很小，即，尉斯通利波速影 4 0 浙江大学硕士学位论文 响较小，这和半空间中泊松e l , u 对瑞利波波速度影响较小相似 ( e r i n g e n1 9 8 4 ，吴硅明1 9 9 7 ) 。 ( 口) n = 0 1 ( 6 ) n = 0 5 图3 6 泊松比对r 的影响 4 1 模量比 浙江大学* o il ：学位论文 图3 7 为泊松t l t = o 3 5 ，质量密度 变化时比值， 的曲线。由图 3 7 知，当, 很小时，无论模量比多大，将趋于一恒值，这一恒值即 为半空间固体中瑞利波波速度比值蚝，这也是说，在有刚皮但质 量密度非常小的流体时，斯通利波速度即为半空间瑞利波波速度；比 值g r = 旯，g ) 在一定范围中对，值有影响，这也说明流体固体介质中的 斯通利波与纯固体中的瑞利波是有区别的，两者的特性是不相同 的。 k 矗 9 l ! 弼 5 3 4 结论 图3 7r r = c ，妙关系曲线 通过对流体一固体无限介质中斯通利波特性的研究，得出如下 结论： 1 ，流体固体介质中( 流体和固体都为匀均介质) 斯通利波不 具有弥散性，波速的比值r ( c v s ) k k , 匀质半空间瑞利波波速比值小。 4 2 固体介质中泊松比对r 影向较小，土木工程t f j ，对于某一固体其斯 通利波波速可以认为是一定值，这与固体i 的瑞利波相似。 2 固体介质中泊松比对r 影响较小，而玎和g 对r 值影响较大； 对于定值q 和，z ，当n - - o 和q 一0 时特征方程( 3 8 ) 可化为半空间中瑞 利波特征方程。 3 斯通利波在流体和固体交界面处位移最大，在固体介质中斯 通利波有效传播深度为1 5 信波长，这与半空间匀质固体介质中瑞利 波相同：在流体介质中斯通利波衰减较快，其有效传播深度为0 5 倍 波长。 4 3 浙江人学坝l ：学位论文 第四章流体一固体成层介质中 斯通利波弥散特性 第三章讨论了简单体系流体固体半无限介质中斯通利波特 性。流体固体半无限介质中( 流体和固体都为匀均介质) 斯通利 波不具有弥散性，波速的比值r ( c v s ) 比匀质半空间瑞利波波速比值 小。固体介质中泊松比对r 影响较小，土木工程中，对于某一固体 其斯通利波波速可以认为是一定值。斯通利波在流体和固体交界面 处位移最大，在固体介质中斯通利波有效传播深度为1 5 信波长，这 与半空间匀质固体介质中瑞利波相同：在流体介质中斯通利波衰减 较快，其有效传播深度为0 5 倍波长。 本章将利用有限元一解析法建立流体固体成层介质中斯通 利波的特征方程，并进一步讨论流体固体成层介质中斯通利波 的弥散特性和位移分布规律。 4 1 特征方程的建立 如图4 1 口所示体系，流体和固体是成层系统，若仍采用上述解 析法建立斯通利波特征方程，则对该方程求解较为困难，这里将参 浙江大学硕士学位论文 照瑞利( r a y l e i g h ) 波特征方程的建立夏唐代( 1 9 9 3 ，1 9 9 4 ) ，采用有限元 一解析法建立斯通利波特征方程。 图4 1 a 所示成层层用有限元分 成若干子层，经过聚集( ，一0 ) 可得图4 1 b 所示流体和固体单元的刚度 矩阵和质量矩阵，对于固体介质刚度矩阵有 旧。 ；女：矗z 曙+ 2 曙( 嵋一3 z 孑) k h ；k2 矗：曙一2 曙( 曙一曙) 厶 ；k 2 z 曙+ 2 昨( 曙一v s z ) k h ；k z h z 蜉一2 嵋 对称 昙七z z 曙+ 2 曙( 3 v s 2 一v ? ) k h j 要如z 曙+ 2 嵋 质量矩阵为 m 。= 【i 】4 。了p m r 4 一l a ) ( 4 1 6 ) 式中和以为单元的压缩波速和剪切波速。p 为质量密度，h 为单元 的厚度。对于流体介质单元的刚度矩阵只需式( 4 1 a ) e 0 剪切波速k 为 零即可，质量矩阵与式( 4 1 6 ) 相同。 固体中半无限层的处理与瑞利波的完全相同，半无限体对交界面 处边界力为( 夏唐代1 9 9 3 ) 鼢-埘c2ah：2vs2(1_-ab2v孑(1b 卜， 黑1a b - i u 件2 ， i jl 一口6 ) 一c 2 一c 2 j n 一【一咖j r 纠 4 5 浙旺大学硕士学位论文 流体p 雕r ， 图4 1 流体固体成层体系 下面介绍半无限流体对交界面处边界力的处理( 参见图4 1 6 ) 。流 体中波的势函数为式( 3 1 ) ，有位移和应力为 叱：拿：i 慨 p “，= 警：女卯 砂 盯，= 五l v ! 妒l = 五l ( 日；一1 ) 七2 妒 由式( 4 3 ) 进一步有 怯翌 ( 4 - 3 ) ( 4 4 ) 浙江大学硕士学位论文 根据图4 1 b 知半无限流体作用在成层层的边界力凡，由下式给出= 0 ) _ 2 一j 1 尸，出= 一三，鲁( 口；1 ) 七e x p ( i 奴) 出 ( 4 5 ) 对上式进行积分，并令，一0 ，则有 一：p 塑，( i “印) 。 a i 。 ( 4 6 ) 特征方程中流体和固体交界面处水平位移不连续，竖直向位移连 续；半无限流体与成层层交界处水平位移也不连续。根据式( 4 1 ) 、 式( 4 2 ) 和式( 4 6 ) p - j 建立斯通利波特征方程，如果有个结点，则可 建立( 2 j v + 1 ) ( 2 + 1 ) 阶特征方程 l k - c 0 2 【m l = 0 ( 4 7 ) 上式可步分解成波数k 的二次达式 l kz 【爿卜 【b 】+ 【c l = 0 ( 4 8 ) 上式中矩阵阳】、陴 和 c 是相速度c 的函数，因此假设相速度c 已 知，由式( 4 8 ) 可计算出波数k ，进一步得斯通利波弥散曲线( 波长 五= 2 z t 、。 4 7 图4 2 斯通利波第一模态波弥散曲线 4 2 算例分析 4 2 1 算例1 为三层体系，波速和质量密度已无量纲化，第一层为半无限流体 介质，波速比咋。，= 1 5 0 ，质量密度p l = 1 0 ，厚度为h l 马= 。；第二 层为固体介质，波速v s 2 _ 1 0 ，质量密度p 2 p 。= 1 8 ，泊松比旷0 3 5 厚 度为h 2 = 1 0 ；第三层为半无限固体介质，波速比蚝：= 3 0 ，质量密 度p 3 p l = 2 0 ，泊松比，f 0 3 5 ，厚度为凰，马= 。图4 2 同时给出了斯 通利波第一模态波弥散曲线以及不考虑半无限流体时( 即第一层介质 为空气) 瑞刹波第一模态波弥散曲线，此外还给出了流体压缩增大为 圪，蚝：= 3 0 时第一模态斯通利波弥散曲线。由图4 2 知道斯通利波 4 8 浙江大学硕士学位论文 具有弥敞性，且流体压缩波。蚝：= 1 5 和。蚝：= 3 0 ( 图中园点所示) 的弥散曲线相差很小，可以认为相同，由此可见模量比q 对斯通利波 波速影响较小，进一步得到第三章的结论，即对于某一固体其斯通利 波波速可以认为是一定值，就缘瑞利波一样。第一模态波波速当波 长短时，c 趋于最上层固体的斯通利波波速，当波长增长时则f 趋于 最下层固体的斯通利波波速。斯通利波波速比瑞利波波速小。 图4 _ 3 为s t o n e l e y 波第一模态波位移分布曲线，由图知s t o n e l e y 波在固体介质中的位移分布形状与瑞利波相类似，有效传播深度为 1 5 倍波长，s t o n e l e y 波在流体中衰减较快，主要因为衰减因子 口1 = 1 一c 2 晖( “1 ) 较大的原因。图4 4 为斯通利波第二模态波 弥散曲线。 位移 9p 。22 1 1 ，, i i - t 2 = 2 2 6 ( 6 ) c v s 2 ：2 0 , 2 1 h 2 ：8 0 9 图4 3 s t o n e l e y 波第一模态波位移分布曲线 4 9 ，f f = 磐撼驴一 浙江大学硕士学位论文 一一 4 2 2 算例2 p h - 啪 c f y 岛 图4 4 斯通利波第二模态波弥散曲线 为四层体系，第一层为半无限流体介质，笫四层为半无限固体 介质，有关参数见表4 1 。图4 5 ( 口) 同时给出了斯通利波第一模态波 弥散曲线以，由图4 5 ) 知斯通利波第一模态波波速，当波长短时， c 趋于最上层固体的斯通利波波速，当波长增长时c 则趋于最下层固 体的斯通利波波速。斯通利波波速比瑞利波波速小。图4 5 ( 6 ) 为斯 通利波第一模态波弥散曲线以及第一层和第二层流体相同 咋，= 1 0 0 时斯通利波第一模态波弥散曲线，由图4 5 ( 6 ) 知波长长 时两弥散曲线相差很小，波长短时两弥散曲线有误差，但是误差不 大，c 都趋于最上层固体的斯通利波波速，这也说明模量比q 对斯 通利波波速影响较小。图4 6 为斯通利波第一模态波的位移分布，图 中位移采用最大位移的无量纲化，深度采用斯通利波长j 的无量纲 化。从图中可知斯通利波的位移在流体和固体交界面处位移最大， 固体中位移分布形状与瑞利波相似，斯通利波在固体中的有效传播 深度为波长j 的1 5 倍左右，斯通利波在流体中衰减较快。 5 0 浙江人学i ! i ：学位论文 一一 表4 1有关参数 h j 盖次i介质奠h 2沁松比u 。坎墩比p 披脞比 pl 010 l 流体 o 。 5 咋l ，p s 3 2 2 u u 2 150 流体 0 1 p p 2 p s 3 刮u u 3 固体 10 4 1 81 o 4 固体 o 。 0 4 1 2 0k 一k ，54 0 位移 ；一 - 0 0 ! 琴二 i i j 6o 位移 。 ( 口) c = 1 0 ，2 = 2 3 8 6 ( c = 2 0 ，扫6 5 6 图4 6 斯通利波第一模态波位移分布曲线 s 1 一o吾1erim 2 i 古讲o讲_0”伪 o o 2 o 讲 o i 1 2 饥 浙江大学硕士学位论文 0 2 量4 吣 - 6 - 8 1 0 1 2 _ 1 4 1 6 ( 曲 0 81 3 1 82 3 ( 6 ) 图4 5 斯通利波第一模态波弥散曲线 5 2 2 8 c l y 。 浙江大学硕士学位论文 4 3 结论 通过对流体一固体无限成层体系中中斯通利波特性的研究，得 出如下结论： 1 流体和固体成层体系中，斯斯通利波波速具有频散( 弥敞) 性， 第一模态波波速当波长短时，c 趋于最上层固体的斯通利波波速，当 波长增长时则c 趋于最下层固体的斯通利波波速。斯通利波波速比 瑞利波波速小。 2 斯通利波在流体和固体交界面处位移最大，在固体介质中斯 斯通利波有效传播深度为1 5 信波长，这与固体介质中瑞利波相同： 在流体介质中斯通利波衰减较快。 5 3 浙江人学坝j ：学位论义 第五章流卜一固体成层介质中 瑞利波特性 第三章和第四章讨论了流体固体成层介质中斯通利波弥散 特性，此时流体和固体都有一半无限层，得到了一些斯通利波的特性 t a n ( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) 和夏唐代( 1 9 9 4 ) 讨论了流体固体成层介质中瑞 利波弥散特性，此时流体为有限厚度，即流体覆盖在固体上( 如海洋 体系) ，得到结论：流体和固体成层体系中，瑞利波波速度具有频 散( 弥散) 性，第一模态波波速当波长短时，相速度c 趋于最上层流 体的压缩波波速，当波长增长时相速度c 则趋于最下层固体的瑞利 波波速。经过进一步分析这一结论有误，其主要原因是：第一，算 例类似为上软下硬地基，咋， 蚝： 呱，即流体的压缩波波速比固体。 介质的剪切波速小，当波速比c k ，趋于l 时没有再往下计算，从而 得出错误结论；第二，算例中的模型不符合土木工程，流体如水其 压缩波波速一般比固体介质的剪切波速大。本章首先利用解析法建 立两流体固体介质中斯通利波的特征方程，并利用该方程对瑞 利波弥散特性进行讨论。 5 1 方法简介 5 4 浙江人学f 口i l j 学位论殳 如图5 1 所示流体固体介质。理想流体足不存在剪切波，且 是不可压缩的，剪切模量为g 为零，泊松比为为0 5 ，流体中平面瑞 利波的位移势函数为 妒i = a e x p ( i k a y ) + b e x p ( - i k a y ) e x p 一i k ( x c f ) 】( 5 1 ) 式中i = 一】，妒。为流体介质的压缩波势函数，a 和占为任意系数，k 为 波数( 波长旯= 2 x k ) ，c 为相速度，6 0 = k c 为振动角频率： r _ = 一 a = , 1 一c 2 嘧，( = 允。户。) 为流体的压缩波速，流体介质的 压缩模量为九，质量密度为风。图5 1 口所示成层层用有限元分成若 干子层，经过聚集( ，一0 ) 可得图5 1 6 所示流体和固体单元的刚度矩阵 和质量矩阵，对于流体介质刚度矩阵有 【足l = 对于固体介质刚度矩阵有 ( 5 2 ) 胁之 锄2 2 2 砀矗锄 后矗 尼 一3 2 3 胁2 锄 称 2 3 为 【k l ；t 2 a 2 曙+ 2 略2 ( 昨一3 曙) m ；! 2 j 。2 v 2 ( 曙一v g ) k h ；2 2 曙+ 2 唁( 昨一v 孑) k hj t 2 2 v - 2 v ； 对称 ；t 2 2 昨十2 曙( 3 v l v ? ) k h ；k 2 2 曙+ z 曙 式中咋和以为单元的压缩波速和剪切波速， 的厚度。流体和固体单元的质量矩阵都为 m = i 4 譬 ( 5 - 3 a ) p 为质量密度，h 为单元 f 5 3 b ) 固体中半无限体对交界面处边界力为( 夏唐代1 9 9 3 ) 鼢k - 一d a 2 1 s 2 ( 1 一- a b a b )c 2 b 卜， 墨1 a b i u 洚4 ， l j1 2 曙( 1 一 一c 2 一 l “一1 一f v 1 图5 1 流体一固体体系 特征方程中流体和固体交界面处水平位移不连续，竖直向位移 连续。根据式( 5 - 2 ) 、式( 5 3 ) 和式( 5 4 ) 可建立瑞利波特征方程，如果 有个结点，则可建立( 2 件1 ) ( 2 ，+ 1 ) 阶特征方程 5 6 浙江大学坝。i ：学位论文 m 一2 m 】| = 0 上式可一步分解成波数k 的二次达式 l k2 m + 七吲+ 吲= o ( 5 5 ) ( 5 6 ) l 式中矩阵m 】、【刎和 c 】是相速度c 的函数，因此假设相速度c 已 知，由式( 5 6 ) 呵计算出波数k ，进一步得瑞利波弥散曲线( 波长 旯= 2 万k 、。 5 2 算例分析 5 2 1 算例1 为三层体系，与t a n ( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) 和夏唐代( 1 9 9 4 ) 的算例类似为 上软下硬地基，。 蚝： 蚝3 ，波速和质量密度已无量纲化。本算例 地基类似于夏唐代( 1 9 9 4 ) 的算例，即第一层为流体介质，并且第 层表面为自由( 与空气接触) 第层为流体介质，第二层为固体介质， 第三层为半无限固体介质，有关土参数见表5 1 。 5 7 浙江大学硕士学位论文 表5 - 1 有关土参数 图5 2 给出了瑞利波第一、二模态波弥散曲线，由图5 2 知瑞 利波第一模态波波速，当波长短时，c 趋于最上层固体的斯通利波波 速，而不是最上层固体的瑞利波波速或流体介质的压缩波波速，波 速c 约为0 9 7 5 ，有蚝2 = 0 6 5 ，与第三章的图3 3 结果相同( 此时模 量比q 兰0 2 4 6 9 ，质量比，l = l 1 8 ) ；当波长增长时则c 趋于最下层固 体的瑞利波波速( 由图3 1 3 知此时最下层固体的斯通利波波速不大， 比瑞利波波速小许多，也可见图5 3 所示) 。图5 1 3 给出了斯通利波 第一模态波弥散曲线( 此时假设流体介质为半无限层h 1 = 。) ， 由图 5 3 知两固体层的斯通利波波速不大，斯通利波波速的弥散特性与第 四章的结论相同。图5 4 给出了瑞利波第模态波位移分布曲线， 由图5 4 知对于这类上软下硬地基瑞利波位移分布形态与t a n ( 1 9 9 1 ) 和夏唐代( 1 9 9 4 ) 类似。 5 8 浙江大学硕士学位论丈 、 吣 图5 2 算例l 瑞利波弥散曲线 c c ，k 图5 3 算例l 斯通利波第一模态波弥散曲线 5 9 浙江大学硕士学位论文 5 2 2 算例2 图5 4 瑞利波第一模态波位移分布曲线 为三层上硬下软地基，联， k ， 诈，土木工程中较为常见。第 一层为流体介质，第二、三层为固体介质，有关参数见表5 2 。图5 5 给出了瑞利波第一、二模态波弥散曲线，由图5 5 知瑞利波第一模 态波波速，当波长短时，c 趋于最上层固体的斯通利波波速，当波长 增长时c 则趋于最下层固体的瑞利波波速。图5 6 为瑞利波第一、 二模态波的位移分布，图中位移采用最大位移的无量纲化，深度采用 瑞利波长允的无量纲化。从图中可知瑞利波的位移在流体和固体交 界面处位移最大，固体中位移