（应用数学专业论文）双枝模糊值函数的mcshane积分及其推广.pdf

双枝模糊值函数的m c s h a n e 积分及其推广本文共分两个部分摘要第一部分t 首先，在区间值函数的m c s b 粕e 积分基础上，引入了双区间值函数的m c s h 舳e 积分其次，将模糊值函数的m c s h 雠积分推广为双枝模糊值函数m c s h 黜积分，并研究了此积分的一些基本性质最后，结合双区间值函数和双枝模糊值函数的m c s h 锄e 积分定义，讨论了双枝模糊值函数的m c s h 凇e 积分的单调收敛定理和控制收敛定理第二部分：利用无穷区间上传统的6 一精细分划定义，结合模糊值函数与其截函数之间的关系，引入了无穷区间上模糊值函数的m c s h 黜积分此外，针对模糊值函数给出了等度模糊m c s b a 积分定义，并给出了其模糊值函数可积的等价条件最后，定义了强模糊m c s h 眦积分，并在此积分意义下获得了其模糊值函数可积的充分必要条件，从而完善并丰富了模糊积分理论关键词双枝模糊数；双枝模糊值函数；模糊值函数；m c s h a n e 积分m c s h a n ei n t e g r a l0 fb o t h - b r a n c h f u z z y - v a l u e df u n c t i o n sa n di t sg e n e r a l 娩a t i o na b s t r a c tt h ep a p e rm a i n l yh a s 觚p a n s 1 1 1 e 缸s tp 撕：a t 丘r s t ，b a s e do nm c s h a n e 咖lo fm e a l v a l u e d 胁c t i o n s ，m c s h 锄ei n t e g m l0 fb o t l l 一b r 粕c h 一曲e r v a l v a j u e d 劬商o n si si n t r o d u c e d ，t 量l e nm c s h a n ei m e j g r a lo f 缸巧一v a l u e d 劬c t i o n si se x t e n d e dt ob o t l l b m c h f u z z y - v a l u e df i ：m c t i o n sa n ds o m eo fi t sb a s i cp r o p e r t i e sa r es t u d i e d a tl a l s t c o m b i n 砸gm ed 如i t i o i l so fb o m b r 锄c h 一岫a l v 砒u e d 胁c 廿o n s 锄db o t t l b r a n c h f 泣z y v a r l u e df i l n m i o n s ，m o n o t 0 】c o n v e 玛e n c et h e o r 锄a i l dd o m i n a t e dc 0 i e r -g e n c et 1 1 e o r 锄f 0 rm c s h a n ei n t e g m lo fb o t t l - b 舢c h 一如z 巧- v a l u e d 向n c t i o n sa r cd i s c u s s e d i h es e c o n dp a r t ：u s m gt 1 1 ed 舒n i t i o no f 缸a d i t i o n a lf i n ed i v i s i o no ni n 矗n i t ei n t e r v a la n dc o m b i n i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nf h z z y v a l u e d 如n c t i o n so ni n 一缸i t en e r v a la n d 瓶c u t 鼬l c t i o n s ，m c s h a n en e g r a lo f 缸珂- v a l u e d 血n c t i o n s0 n 幽i t e 硫e r v a l i si 1 1 仃o d u c e d f u n h 锄l o r e ，a i l i l i l l ga t 觎巧一v a l u e dr m c t i o n s ，m ed e 缸i t i o no fe q u i v a l e n tm e 髂u r e 缸巧m c s h a i l ei n t 呵a l 锄dac o n d i t i o n0 fe q u i l e n c eo fi t si n t e 殍a b i l i t ) ，a r eg i v e n l a s tb u tn o tl e 嬲t ，s n 0 n g 如z z ym c s h a n em 铲a li sd e 缸e da 1 1 di nm es e i l s eo f 廿l i s 硫e g r a lan c c e s s a d ，a i l d 舳c i e mc o n d i t i o nf o ri t s 矗您z yv a l u e d 缸1 c t i o nt ob e 硫e 铲a b l ei so b t a i l l e d 1 1 h e r e b yt h em e o 巧o ff h z z yi n t e g r a li si m p r o v e da n de n r i c h e d k e yw o r d s ：b o t h - b r a n c h6 脚n l u n b e r ；b o t h b r a n c h 一矗您z y 一1 u e d 如c t i o n ；m c s h a n ei i l t e g r a l ；觎z y v a l u e d 缸l c t i o n ；独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁鲞! 重整蠢堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：三至地日期：硷坦生诅妇学位论文版权使用授权书本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学1 1 ：7 = 论文的规定，即：学校有权将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。( 保密的论文在解密后应遵守此规定)签名：芝羔壁芝导师签名：至盎盈日期：第一章引言19 6 5 年，美国自动控制论专家l a z a d e h 教授提出了模糊集理论，4 0 多年来，世界各国诸多学者对模糊集理论及应用进行了若干成功的研究例如在工程、经济、交通、医疗、环护、地震、水利、气象众多的系统中的模糊决策、模糊控制研究中都存在个共同的事实：设磋论域j 上有一些元素并疋与雷的关系满足s ( o ，l 】，肚另有一些元素置与雪的关系满足映射。雪：工一卜l ，l 】，x 一雪由此，1 9 9 8 年，山东大学史开泉教授提出了所谓双枝模糊集的概念，并将z a d e h 提出的模糊集视为双枝模糊集的特例事实上，实数理论是经典分析学的基础，同样模糊数理论也是模糊分析学的基础，也是模糊分析学中最基本最重要的概念之关于模糊数的概念最早可以追溯到z a 出洫等人的著作中，文中结合概率分布函数的性质，把实数域上的一族具有特殊性质的模糊集称为模糊数后来，日本学者水本雅晴和田中英夫( m i 刁l m o t om t a n a k ak 1 9 7 6 年) ，纳米亚斯( n a h m i a s ，1 9 7 8 年) ，杜布瓦( d d i u b o i s ) 和普哈德( h p r a ( 1 e ) 先后对模糊数系的各种性质深入分析，特别足考虑到建立模糊数系的微积分等，人们已越来越多地注意到讲模糊数系与区间分析，以及集值映射理论联系起来，于是形成了模糊数系的较系统理论众所周知，在模糊分析中模糊数与模糊值函数的运算都是基于扩张原理的形式给出的，而模糊值函数的微分和积分也都是由区间值函数的相应结果利用表现定理的形式给出的1 9 7 2 年，j m c s h a n e 在h e n s t o c k 积分的基础上给予适当的限制得出一种积分，人们称之为m c s h 锄e 积分( 简称为m 积分) 这种积分定义简单，不需引用测度，而且人们已经证明它与l e b e s g u e 积分等价19 9 5 年，吴从、姚小波研究了向量值函数的m c s h 锄e 积分1 9 9 8 年，吴从、叶国菊研究了b a n a c h 值函数的m c s h a n e 积分2 0 0 0 年，巩增泰、吴从又将m c s h a i l e 积分模糊化提出了模糊值函数的m c s h 锄e 积分本文主要包括两部分内容：第一部分，我们首先利用传统的6 一精细分法定义了双区间值函数的m c s h 锄e 积分，并讨论了其基本性质然后，考虑到区间值函数与模糊值函数之问的关系给出了双枝模糊值函数的m c s h a n e 积分，并研究了双枝模糊值函数的连续性、有l界性、以及其序列的收敛性最后，在双枝模糊值函数意义下给出了单调收敛定理和控制收敛定理第二部分，主要是在无穷区间上给出了模糊值函数的m c s h 锄e 积分、等度模糊m c s h a n e 积分以及强模糊m c s h a n e 积分的定义，然后在此基础上讨论了其积分性质，并得到了其模糊值函数可积的充要条件2第二章预备知识本章将给出本文要用到的预备知识用尺表示论域，最表示所有模糊数所构成的集合，屁表示集合彳的特征函数定义2 1 【1 2 1 设映射j ：r 【o ，l 】，如果满足以下四个条件：( 1 )存在而j r 使得4 ( 而) = l ；( 2 )么是凸模糊集；( 3 )么是上半连续函数；( 4 )【彳】o = 缸r ：彳( 功 0 ) 是紧集则称映射4 是r 上的一个模糊数v 兄( o ，1 】，记( 彳) 五= 4 = 【，】由文献1 2 1 可知，对任何五最，4 均为非空有界闭区间对于任意实数口r ，规定口c x ，= 二三三，由截集和模糊数定义不难推知：v a ( o ，1 】，吼= 口) = 口，4 】，即实数口可看成特殊的模糊数特别当口= 0 ，由模糊集分解定理可获得零模糊数( 记为o ) 即：0 = u 名0 2 = u 五 o = u 0 ，o 】f ( 尺) 五e ( o ，l 】a e ( o ，i 】z e ( o ，l 】定义2 2 设彳，召最，规定( 1 ) 彳+ b = c 当且仅当v 五( o 1 】，+ 巧= g且+ 彰= q ；( 2 ) ( 枷) 工= 危厶，后尺，v 允( o ，1 】定义2 3 2 3 1 在模糊数空间最上定义映射d ：e 疋专r + ，令d ( 么，b ) = ! 婴，d ( 以，岛) = 艘，懈 1 4 一巧l ， 一磷i ) ，则d 构成一个距离五e ( o ，l 】五e o ，l 】其中d 表示集合之间的h a u s d o r f f 距离在以上距离d 的定义下，由文献2 3 i 可以获得以下结论成立：3( 1 ) ( 吒，d ) 是完备的距离空间；( 2 ) d ( 彳+ c ，曰+ c ) = d ( 4 ，b ) ；( 3 ) d ( 磁，硒) = d ( 五，雪) ，后r ；( 4 ) d ( 彳+ b ，o ) d ( 么，0 ) + d ( b ，o ) ；( 5 ) d ( 彳+ c ，召+ d ) d ( 么，b ) + d ( c ，d ) ；其中么，b ，c ，d 疋，0 = 五o 定义2 4 2 3 1 设 磊) 最，如果v g o ，驯n ，当厅n 时，有d ( 互，五) 占则称4 依距离d 收敛于彳，简记为l i m 4 = 彳 引理2 1 2 4 1 设j 最，则( 1 ) 旯( o ，1 】， 是一个有界闭区间；( 2 ) 当o o ，如果刀的一组有序分点订= 五 屯 0 ，艿( 曲 o ，对任何精细分法万，都有i 厂( 每) ( 玉一t 。) 一j i o j 万( 功 o ，使【口，刎的任何万一精细分法万= 材，1 ，】，f ) ，有d ( ( 万) 夕( 孝) ( y 一“) ，彳) 口，有一舰r z ( f ) 出= r 厂( f ) 疵定理2 2 嗍设：【口，佃) 一r 若对任给的6 口，( 石) 在 口，6 】上( m ) 可积，且存在【口，佃) 上( m ) 可积函数g ( x ) 与 ( 力，使g ( 力厂( x ) i l ( 功，j 【口，佃) ，则( x ) 在【口，佃) 上( m ) 可积定义2 9 4 3 1 设娟 口 棚，区间【口，佃) 的一个分法是指：有限个互不重叠的闭子区间 ) 冬l ，使u 口，恂) 对于6 ： 口，佃) 一只+ ，称区间 口，佃) 的分法f万= ，毒) = 是艿一精细的，是指u = 【口，佃) ，万中不包含佃的子区间i 满足f = i轰c ( 毒一万( 当) ，丢+ ( 专) ) ，且刀中包含佃的子区间l = c ，佃) c 【万( 佃) ，+ 】，以5佃为结点引理2 4 4 3 1 设万( 功是定义在【口，佃) 上的正值函数，则一定存在陋，佃) 的艿一精细分法定理2 3 6 1( 单调收敛定理) 设( x ) ( 刀= 1 ，2 ，) 在 口，6 】上是( m ) 可积函数列，若下列条件成立：( 1 ) z ( 功一厂( 工) ( 疗专) ；( 2 ) 石( 曲五( x ) 五( 功；( 3 ) ( x ) 的( m ) 积分( 肘) r ( j ) 出收敛则八石) 在 口，6 】上是( m ) 可积的，且有( m ) f z ( 功出_ ( 肘) r 厂( 功出( 万_ o o ) 定理2 4 6 1 ( 控制收敛定理) 设z ( 功( 万= 1 ，2 ，) 在【口，6 】上是( m ) 可积函数列，若下列条件满足：( 1 ) ( 工) 争( 工) ( ，z ) ；( 2 ) g ( z ) ， ( 石) 在 口，6 】上( m ) 可积，且对每个厅，g ( x ) z ( 工) j i l ( 功；则厂( 功在【口，6 】上也是( m ) 可积的，且( m ) f z ( 工) 出一( m ) r 厂( 功出仰专) 6第三章双枝模糊值函数的m c s h a n e 积分在文2 4 1 中，巩增泰、吴从戈厅将m c s h a l l e 积分的被积函数模糊化，提出了模糊值函数的m c s h a n e 积分本章在此基础上，结合史开泉提出的双枝模糊集，将被积函数推广到双枝模糊值函数，并给出了双枝模糊值函数的m c s h a n e 积分的定义3 1 双区间值函数的m c s h a n e 积分考虑到模糊数与区间数的关系，本节首先针对双区间数及其运算，讨论双区间值函数列的收敛性，以及它们之间的序关系，然后，在此基础上给出了双区间值函数的m c s h a n e 积分定义，并研究其基本性质定义3 1 1 2 q 称7 = 厂一，厂+ 】u ，+ _ ，+ + 】为双区间数其中厂一，厂+ ，j + _ ，+ + r ，且厂一j + 0 时，翩= 脚一，翩。】u 【翩+ 。，翩+ + 】；当七 o ，当x x 时有厂( 工) c m 证明设嫩厂( 功= 彳= 彳一，么- + 】u 【么+ ，彳+ + 】，根据定义3 l 3 ，取占2 岛 o ，珥，五，五，五 o 有当工 五时，i 厂一( x ) 一么一| 岛或4 一岛 厂一( x ) 五时，l 厂一+ ( 对一彳一+ i 岛或彳一岛 厂叶( 功 置时，l 厂+ 一( 功一彳十一l 或彳。一 厂+ - ( x ) 五时，i + + ( j ) 一彳+ + l 岛或彳“一岛 厂+ + ( x ) 彳时，且有厂( x ) 厂一+ ( z ) ，厂+ - ( 功厂+ + ( x ) 及厂+ ( x ) 厂。( z ) ，显然有8彳一一岛 厂一( x ) 厂+ ( 力 么- + + 岛，彳+ 一岛 厂一( z ) 广+ ( z ) o ，当x x 时有歹( 力= 【厂- ( 石) ，厂叶( 瑚u 厂+ 。( 工) ，+ + ( 瑚c 膨一，m 。+ 】u m 卜，肘+ + 】_ 庸即歹( z ) c 露定理3 1 4 若l i m 厂( x ) = 么，且彳cb ，则m o ，坛 x 时，有厂( 对cb 证明已知觋( 工) = 彳，根据定义3 1 3 和定理3 l 3 ，v 占 o ，毯 o ，当工 五时有彳一一占 一( 功 彳一+ g ，4 一+ 一g 厂一+ ( 工) 彳一+ + ，彳+ 一占 + - ( 工) 彳+ - + s ，么+ + 一s + + ( 力 么+ + + g 所以彳一一s 厂一( 工) - + ( 功 彳+ + sj 【厂一( 功，厂- + ( d 】c 【彳一一s ，彳- + + 占】么+ _ 一s 厂一( 工) 厂+ + ( 力 o ，则对 o ，了x o ，当石 x 时有b 一 彳+ + 岛，9即口+ - 么+ + + 岛b 彳一一气彳- + + 岛 曰- + j 么一一氏，彳- + + 气】c 口一，口+ 】b + - 么+ _ 一彳+ + + o ，坛 x 时，有蚕( x ) 7 ( 功万( 功，且l i m 蚕( x ) = l i m 万( 工) = 彳，则1 i m 歹( x ) = 彳证明根据定义3 1 4 与实值函数极限的两边夹定理可证得：h m 厂一( 功= 么一，l i m 厂- + ( z ) = 么，1 i m 厂”( 工) = 彳+ _ ，l i m h ( x ) = 4 “，从而有l i m ( x ) = 【么一，么- + 】u 么+ - ，彳+ + 】= 么定义3 1 6 设非负函数万：【口，纠一( 0 ，佃) ，如果肘的有序分点4 = 而 屯 0 ，总有万( z ) o ，对任何万一精细的( 肘) 分法，都有d ( 歹( 戋) ( 玉一玉一。) ，7 。) o ，满足l 口一m i ，i 一m ：i s1 0且口，则m i m 2 证明由已知有m 一占 口 m i + 货且鸠一占 鸩+ s 由口p m 广s 口sp 肘2 + 占，即m i o ，万( 力 o ，对任何万一精细的( 膨) 分法，都有d ( 7 ( 轰) ( 玉一玉一。) ，云) s 则m a x i 歹( 专) ( 而一毛一。) 】一一厶一l ，| 歹( 参) ( 薯一玉一。) 】一厶叶l ，i 7 ( 每) ( 薯一薯一) 】+ 一一厶+ 。l ，l 【7 ( 董) ( 玉一玉一。) + + 一厶”1 ) o ，所以m a x l 厂一( 每) ( 一玉一。) 一f l ，l 厂+ ( 专) ( 玉一蠢。) 一f i ，i 厂+ 一( 专) ( 玉一玉一，) 一嚣一l ，l + + ( 磊) ( 葺一玉一。) 一菇+ i ) 占则f 厂一( 缶) ( 五二五一。) 一石一l g ，i + ( 专) ( 玉一毛一。) 一石+ i s ，1 + 一( 专) ( 薯一五一) 一引 占，j 厂+ + ( 每) ( 五一薯一。) 一引 o ，4 ( 功 0 ，由于( 工) 在 口，6 】上( m ) 可积，故对任何4 ( 功精细的分法，都有i 厂一( 缶) ( 五一五。) 一m l | g( 膨。为常数) 同样，由于厂一( x ) ，+ - ( x ) ，厂卜( 曲，厂+ + ( 砷在 口，6 】上( m ) 可积，分别对 口，6 】上的正值函数乏( 力，4 ( 石) ，瓯( z ) ，对精细的分法m ，都有i 厂。+ ( 磊) ( 玉一年，) 一 乞i s ，i 厂卜( 参) ( 玉一玉一) 一心l 占，i 厂( 磊一禾。) 一心i s 其中鸠，心，鸠为常数，因为厂一( 功- + ( 力 厂”( 功+ + ( 力，由引理3 1 1有m 鸠 坞鸩，取烈x ) = m i n 4 ( 力，嘎( 曲，名( 功，以( 功) ，五= 膨。，鸠】u【鸭，帆】，则对任何万一精细的分法都有d ( 歹( 磊) ( 五一五一。) ，五) g 定理3 1 7 双区间值函数的( 肘) 积分，具有如下性质：( 1 ) 设歹( 功，岳( 工) 是 口，6 】专厶上的双区间数值函数且( m ) 可积，v 口，r ，则有( 肼) r ( 口7 ( 力+ 膳( 蝴= 口( 脚) f 灭力出+ ( 肼) f 季( 批( 2 ) 设厂( z ) ，岳( 石) 是 口，6 】专厶上的双区间数值函数，且7 与季似) 可积，若歹( 曲季( z ) ，则有( 肼) r 7 ( x 胁( 脚) r 虿( x 协3 2 双枝模糊值函数的m c s h a n e 积分对于v 旯( 0 ，1 】，显然有界模糊值函数的五截函数为r 上的区间值函数，因此，通过1 2扩展原理，可以将双区间值函数的m c s h a n e 积分扩展到双枝模糊值函数的m c s h a n e 积分上本节首先讨论了双区间值函数的连续性、有界性，以及其序列的收敛性，然后给出了双枝模糊值函数的m c s h a n e 积分定义，并讨论其积分的截集与双区间值函数的m c s h a n e 积分的关系定义3 2 1 【1 盯设映射j ：r 专【一1 ，1 】，xj ( 石) “一l ，l 】，称雪为r 上的双枝模糊集，s ( 功称为s 的隶属函数如果( 1 ) 矿，丐与s 的关系满足：o s ( 五) 1 ；( 2 ) r 一，_ 与雪的关系满足：一1 j ( _ ) o ；( 3 ) 魄r 。，气与j 的关系满足：s ( 也) = 0 ，则称尺+ ，r 一，尺。分别为r 上的上域，下域和界域定义3 2 2 【2 叼设j 是论域尺上的凸正规双枝模糊集，其中尺+ ，足一分别是r 的上域和下域若s ( 石) 在上域r + 和下域尺一上分别是上半连续和下半连续的函数， s 】o = s ( 功o ) 是紧集，则称s 为r 上的双枝模糊数本章记最为r 上双枝模糊数的全体所构成的集合定义3 2 3 2 6 1 设s 是论域尺上的双枝模糊集，令已= 捌s ( 功l 砧，则称蜀为s的旯一截集定理3 2 1 【2 6 1 设雪是双枝模糊数，则以下性质成立，( 1 )对v a ( 0 ，1 】，蜀均为非空有界闭双区间；( 2 )若o o ，当x 工时，有厂( z ) cm 根据定义3 2 6 与定理3 1 3 可证1 4定理3 2 5 若l i m 厂( 工) = 彳，且彳cb ，则 0 ，垤 x 时有厂( x ) c 口根据定义3 2 6 与定理3 1 4 可证定理3 2 6 若厂( x ) ，季( x ) ，j i l ( x ) 是 口，佃) 上的双枝模糊值函数，拐 o ，坛 x有季( x ) 厂( 工) ( z ) 且l i m 季o ) = l i m ( 力= 彳，则l i 珊( x ) = 4 j - 工- x 证明已知l i m 季( 工) = 1 i m ( x ) = 4 ，季( x ) = u 名g ( 力，j i l ( x ) = u 五( 力，j ，瑚2 e ( o ，l 】五( o ，1 1j = u 五4 根据定义3 2 6 有l i i i l 乳o ) = 以，l i 理以o ) = 4 ，又已知 o ，名e ( o 。1 1x x 。o眠 x 有季( x ) 厂( 力j i l ( 曲，从而v 旯( o ，l 】有( 功互厶( x ) sk ( x ) ，根据定理3 1 5 则l i i i l 厶( z ) = 以，于是有l i n l 厂( 功= u 兄l i m ( 曲= u 兄以= 彳工 五e ( o ，l 】工 z e ( o ，1 1即l i i i l 厂( x ) = 么定义3 2 8 设厶( x ) = 【斤一，片+ 】u 【片一，片+ 】是双枝模糊值函数八x ) 的五一截函数，若对v 旯( 0 ，1 】，厅( 工) ，片+ ( x ) 片一( 功和片( 力都是z r 上的连续函数，则称夕( 力在x 上连续定义3 2 9 设厂( x ) 是，6 】专最上的双枝模糊值函数，若对v 允( o l 】，厂一( 力，i + ( 力，厂+ - ( 功，厂+ + ( 功在【口，6 】上均有界，则称厂( x ) 在【口，6 】上有界定理3 2 7 闭区间 口，剀上连续的双枝模糊值函数八力必有界证明，设厶( 力= 片一( 曲，( x ) u 【片( x ) ，片+ ( 曲】，溉【口，6 】，因厂( x ) 连续，v 五( o ，1 则厅一( x ) ，疗+ ( x ) ，片一( z ) 和片+ ( x ) 均在【口，明上连续，由数学分析知识知，疗一( z ) ，片+ ( x ) ，片一( x ) 和片+ ( 功均在陋，6 】上有界，由定义3 2 8 得，厂( x ) 在【口，6 】上有界定义3 2 1 0 设( x ) 为定义在区间【以，6 】上的双枝模糊值函数，如果v g o ，恒存在1 5正数艿= 艿( ) ，使得对于【口，6 】上的任意点五，恐，只要i 而一屯l 万成立，就恒有不等式d ( ( 五) ，厂( 恐) ) o ，j 万= 万( f ) ，若如，而【口，6 】，且i 而一屯i 万，有孑( 夕( 五) ，夕( 艺” 占由定义2 3 知黑，m a x ( 1 万一( 五) 一疗一( 而) i ，l ( 玉) 一( 屯) l ，l 片一( j c i ) 一片一( 恐) i ，i 片+ ( 玉) 一片+ ( 恐) 1 ) o ，了万= 万( 占) ，若i 五一屯i 万，有i 万一( 五) 一斤化) l s ，l ( ) 一疗+ ( 而) l 占，l 片一( ) 一片一( 屯) l s 及l 片+ ( _ ) 一片+ ( ) i s 营函数厶( 曲在 口，6 】上一致连续定理3 2 9 若双枝模糊值函数夕( 功在闭区问陋，6 】上连续，则于( x ) 在闭区间，6 】上一致连续证明因双枝模糊值函数夕( z ) 在闭区间【口，6 】上连续，则对v 兄( 0 ，1 】，函数f ( 工) ，疗+ ( 功，片一( 工) 和片+ ( z ) 均在 口，6 】上连续由于在闭区间上连续的实值函数必是一致连续的再利用定理3 2 8 ，则此定理得证定理3 2 1 0 若双枝模糊值函数夕( z ) 在【口，6 】上可积，且历夕( x ) 厨，这里历和露是两个有界双枝模糊数，则历( 6 一口) r 加) 出府( 6 一口) 证明对v 名( o ，l 】，记= 【，l j 一，l u m j 一，l 门厶，m z = m j 一，m u【m j 一，m 门厶，六( x ) = 厅一( 工) ，片+ ( 工) 】u 片一( 工) ，片+ ( x ) 】厶由已知条件，有1 6m m 斤m _ ：m ：+ 且峨硝+ 片一片+ 蟛一m j + 于是对v 九【u ，l j ，句( 6 一口) m _ r f ( z 胁( 6 一口) m _ ，( 6 一口) 册：+ r 厅+ ( x 渺p 一口) m -且( 6 一口) 硝一r 片 胁p 一口) 蟛一，( 6 一口) m j + r 片+ ( 耐出( 6 一口) m ：+ ，因此 ( 6 一口) ，町，( 6 一口) 酊】 f 万一( 础玩r 万+ ( 地】【( 6 一口) 町，( 6 一口) 肘】 ( 6 一口) 砖一，( 6 一口) 硝】【r 铲( 心诧r 片+ ( 工) 卅【( 6 一口) m ( 6 一口) m 二+ 】故有p 一口) 朋五r 厶( 工) ( 6 一口彤z ，再根据双枝模糊数的序关系，故定理成立定义3 2 1 1 设于( 功是p ，剀一层上的戏枝模糊值函数，如果对v 五( o ，l 】，双区间值函数以( 力= 片一( 力，f ( 功】u 片一( 曲，疗+ ( x ) 】在 口，6 】上( m ) 可积，则称夕( 工) 在豳，6 】上( m ) 可积，记作( e m ) r 夕( x ) 出定理3 2 1 1 若双枝模糊值函数夕( 力在 口，6 】上( 肘) 可积，v 兄( o ，l 】则有( ( 删) r 灭z ) 工= ( 脚) r 厶( 曲出证明因为于( x ) 在 口，6 】上( 膨) 可积，所以，v 名( o ，l 】，六( x ) 在 口，6 】上( m ) 可积，故由定理3 1 1 可得：( 肼) r 厶( x ) 出= 【( 肘) f 片一( x 胁，( 肘) r 厶+ ( x 协】u 【( m ) r 片一( z 渺，( m ) r 片+ ( z ) 捌设映射日：( o ，1 专厶，a 一日( a ) 厶，满足h ( 元) = 【( m ) r 万一( 石) 妣( m ) r 厅+ ( x ) 捌u ( m ) r 片一( x ) 出，( m ) r 片+ ( z ) 出】1 7因为当丑五时，有厅左一( x ) ，玎( x ) 丘+ ( 功，片一( 曲反一( 砷，片+ ( 力疋+ ( 功，所以日( 五) 2 日( 五) ，从而日( 五) n 日( 五) = 日( 五) ，则对v 口 彳有日位) ) 日( a ) 由文献2 6 1v 口 名，存在一数列 吒) 非降收敛于五( 0 ，1 】，有n 日位) = 日( 力) ，故疗i in 日位) = ( nh ( 吒) ) n (n日( 口) ) = 日( 五) n (n日( 口) )口 l l口 帆口意口舰=n( 日( 五) n ( 日( 口) ) = 日( 名) 口五口由模糊集的表现定理得：【( 肼) e 夕( 础刎五= n 日( 货) = 日( 名)= ( m ) f 疗一( 眺( m ) r 疗+ ( 曲出】u ( m ) e 片一d l ( m ) r 片+ ( 工) 出】= ( 肼) j ：厶( 工) 出证毕3 3 单调收敛定理和控制收敛定理单调收敛定理和控制收敛定理是分析学中的两个重要定理，下面讨论双枝模糊值函数的m c s h a n e 积分的单调收敛定理和控制收敛定理定理3 3 1 ( 单调收敛定理) 设六( x ) 是( m ) 可积函数列，厂( x ) 是陋，纠专最上的双枝模糊值函数，若下列条件( 1 ) 一( 3 ) 成立：( 1 ) z ( 功寸夕( 功于【口，剀；( 2 ) 彳( 力z ( 力z ( 功；( 3 ) ( 膨) f z ( 功出收敛，则于( x ) 在【口，6 】上( m ) 可积，且有( m ) r z ( 功出哼( m ) r 夕( 戈) 出( ，l 一) 证明由条件( 1 ) 知，对v 兄( o ，l 】，有厶( 力寸厶( 功且厶( z ) 在【口，6 】上是( m ) 可1 8积函数列由条件( 2 ) 知，对v 旯( o ，l 】，有z 。( 力正。( z ) 厶( z ) 由条件( 3 ) 知，厶( x ) 的( m ) 积分( m ) r 厶( x ) 出收敛，则由定理2 3 知( m ) r 厶( 工述专似) r 厶( 功出o _ 0 0 ) 再由定义3 2 1 0 即证定理3 3 2 ( 控制收敛定理) 设厂( x ) 是陋，6 】_ 最上的双枝模糊值函数，若下列条件( 1 ) 一( 2 ) 满足：( 1 ) z ( 功西= l ，2 ，) 在陋，6 】上( m ) 可积，且五( x ) 专厂( 功于p ，6 】；( 2 ) 季( 功，j j l ( x ) 在 口，6 】上( m ) 可积，且对每个刀，季( 功五( 功五( 功于【口，6 】；则夕( x ) 在 口，6 】上也是( m ) 可积的，且( m ) r z ( 功出斗( m ) r 夕( 工) 出( 以专) 证明由( 1 ) 知，v 兄( 0 ，l 】，有厶( x ) 在【以，6 】上是( m ) 可积函数列且。( 工) 专厶( x ) ，由( 2 ) 知，对v 兄( 0 ，l 】，有g 互( 功，k ( 功在【口，6 】上似) 可积，且对每个万，勖( 功厶( x ) ( 功，则由定理2 4 得厶( x ) 在【口，6 】上也是( m ) 可积的，且( m ) r 厶( x ) 出一( m ) e 厶( 石) 出。专) ，再由定义3 2 1 0 即证1 9第四章无穷区间上模糊值函数的m c s h a n e 积分吴从：| ；斤和巩增泰在文2 7 1 中首次定义了模糊值函数的m c s h a n e 积分，但此积分仅是将被积函数取值于有限区间本章将讨论无穷区间上模糊值函数的m c s h a n e 积分，并得到了一些新的结果4 1 无穷区间上模糊值函数的m c s h a n e 积分本节主要讨论了无穷区间上模糊值函数的m c s h 绷e 积分此外，由模糊值函数与其水平截函数之间的关系，引入了水平截m c s h a i l e 可积对实数x r ，引入一个模糊数量，称舅是由实数x 引入的模糊实数设e 表示实数足引入的一个模糊实数集，在最上定义关系”什，墨一爰营i 与戛均为同一个实数x 引入的模糊实数，则”什是一个等价关系定义等价类 司= 侈习；商集最是所有等价类之集称最为模糊实数系统设厂：x 专y ( x ，】rc 尺) ，舅是工彳引入的模糊实数集通过扩张原理删：厂( 习o ) = s u p 氟s ) ，y l r ，s x 若对任给工x ，厂( x ) 是模糊数，记厂( 功= ( 习下面考虑厂的模糊( m ) 积分定义4 1 1 设厂： 口，佃) 哼最，若对任给五 o ，l 】，疗( 工) 与片( 功在【口，佃) 上( 肘) 可积，设4 = ( m ) r 疗( 力出，似) r 片( z ) 出】，则称于在【口，佃) 上水平截( 膨) 可积，记为厂名一m ( 【口，佃) ) 对任给的s 4 ，其隶属度为肿。( i 厂( 功出) ( s ) = s u p 钇：( s ) 瑚o 五s i定理4 1 1 设厂：p ，佃) 专，若厂名一肘( 【口，佃) ) ，则i 厂( x ) 出为一个模糊_mo数，且( i - 厂( 石) 出) 盖= ( m ) 【厶( z ) 出，( m ) 【片( z ) 捌mmm证明只需证定义4 1 1 中4 满足模糊数刻画定理( 引理2 1 )( 1 ) 由于厂( x ) 是模糊数，对任给名( o ，1 】，疗( 功片( 功，z 【口，悃) ，根据有限区间上( 肘) 积分的单调性及极限的保号性，有( m ) r 疗( x ) 出( m ) r 片( 工) 出即任给名( o ，l 】，4 是有限闭区间( 2 ) 当o 口，在【口，佃) 上模糊( m ) 可积且蜘( e m ) l 。八工) 出存在，则称在【口，佃) 上模糊( m ) 可积，记为厂e m ( 口，佃) ) ，6 忡mm -m _积分值为( f m ) l 厂( x ) 出= 皿n ( e m ) i 厂( 功出电6 棚命题4 1 1 设厂：【口，佃) _ 最，若厂f m ( 【4 ，佃) ) ，则名一m 【口，佃) ，且积分值相同4 2 无穷区间上等度水平模糊m c s h a n e 积分由于模糊值函数的水平截函数是一个区间值函数，根据区间值函数的特点我们给出了无穷区间上等度模糊m c s h a n e 积分的定义，并讨论了其积分可积的等价性定义4 2 1 设厂： 口，佃) 一最，若v a ( o ，l 】，片( 功与片( 功在 口，佃) 上( m ) 可积，且对v 占 o ，j 万 o ，当6 万时，v 名( o ，l 】，均有l ( m ) r 疗( 功出 f 且l 似) r 片( x ) 刮 口，尹f m 【口，6 】，根据引理2 2 ，厶【石) 与厂j 【石) 在【口，圳上【肘) 日j 积，且“胱) r 夕( 工) 出) 五之 ( 肘) r 片( x ) ，似) r 片( 功】，对任给的占 o ，由于l i m ( f m ) i ( 工) 出存在，设其积分值为彳，则j 万 口，使任何6 - + m6 万，有d ( ( 聊) r 氕x ，j ) s 则有d ( ( 删) r 夕( 触，6 ) ：d ( ( 肼) r 夕( 批，6 + ( 脚) f 夕( x ) 纠d ( ( 删) l 厂( 工) 出，o ) = d ( ( 肼) l厂( x ) 出，o + ( 脚) l 厂( x ) 岔口= d ( 4 ，( 跗) i ( j 占。一一m从而础剧) r 夕( 功出，6 ) = 黑，m 觚( 1 ( ( 跗) 厂夕( 功娴朴( 肼) r 夕( 力鳓坤d ( ( e m ) l ( 功出，o ) = s u pm a ) 【( 1 ( ( f m ) i ( 功娴ji ，l ( ( f m ) l ( 力a 幼：1 )五e(o。lllolioi= 黑，n 搬( 1 ( m ) r 疗o ) 出i ，l ( m ) r 片( 功出| ) 占即对va ( o ，1 】，有i ( m ) r 厶( 工) 出l s ， ( m ) 厂片( x ) 出i 口，疗( 力与片( 功均在【口，6 】上( m ) 可积，根据引理2 2 知，于f m ，6 】vs o ，j 万 o ，当6 万时，v 名( o ，l 】，都有l ( m ) r 万( 石) 出l 三，l 似) f 片( 砷刮 差从而d ( ( 肼) 上厂( 功出，o )= 黑，m a x ( 1 似) r 厅( x ) 出怵膨) r 片( x ) 出1 )三 万，则j 吃，有d ( ( 肌) r 夕( 曲出，( 肼) p 夕( 工) = d ( ( 删) r 夕( x ) 出+ ( 删) e 夕( 工) 出，( 删) r 夕( x ) 蜘= d ( p 夕( 工渺，西电= d ( f 于( 功出，e 衲蝴帅_一肿_od ( 【。厂( z ) 矗，o ) + d ( 1 厂( 曲出，o )乜屯 o ，j 口，佃) 上的正值函数万，使对【口，删的任何万一精细分法万= “，川，务，有d ( ( 万) 于( f ) ( ，一“) ，j ) 口，于在【口，6 】上( f m ) 可积证明( 必要性) 对v s o ，由于函数厂( x ) 在【口，佃) 上强模糊( m ) 可积，了 口，佃)上的正值函数万( j ) ，使对【口，佃) 的任何万一精细分法万= “，v 】，务，有d ( ( 刀) 夕( 孝) p 叫。) ，f 于( 力蜘 口，夏口，6 】上的正值函数瓯( 功 0 ( 瓯( 功 万( 曲，x 陋，们) ，使对陋，6 】的任何皖一精细分法万6 ，有d ( ( 矿) 夕( 善) ( v 一“) ，f 夕( 功妫 口，夕在【口，6 】上( e m ) 可积( 充分性) 设v 6 口，夕在【口，6 】上( e m ) ，且j i mf 夕( x 渺= 磊v 占 o ，选6 + 由择单调递增的序列 吃) ，使4 = 6 0 6 l 吃，且舰包= 佃由于厂在【，岛】上( f m ) 可积，3 瓯： 6 0 ，岛】一r + ，使对【，6 l 】上的任何磊一精细子分法万o = 【”，川，毋，有d ( ( 万。) 恐) ( v 叫，e 夕( 渊 参对每个咒l ，存在区间 吃，包+ 。】上的正值函数哦( z ) ，使对瓯一精细子分法矿= 【”，y 】，务，有d ( ( 确于( 毋( v 训，e 纳妫 毒由于j i mi 。厂( x ) 出= 磊，存在，使6 6 时，有6 p qd ( r ，( 姚元) 兰【口，佃) 上任何万一精细分法万= 【0 ”】，参 = i ，用l 表示包含佃的区间，l 的结点为乞= 佃设l = ，佃) ，则6 对力o ，设死是万中结点的子分法，则每个九是有限区间点对根据万( x ) 的定义，乃是一个皖一精细子分法用l 表示哦一精细子分法死的所有区间之并，则厶c 【，6 1 ) ，g 【吃，包+ ) ，以l ，在每个l 上，有d ( 工。衲州万”；确( v 训) 嘉干旱右d ( ( 万) 厂( 孝) ( 1 ，一“) ，磊)d ( ( 万) 夕( 孝) ( v 一”) ，r 夕( 曲出) + d ( f 夕( 功a k 磊)d ( ( 姜仞”) ；夕( 孝一“) + 夕( 佃) ) ，薹夕( 工) ) + 三一毒o，- 兰o4薹d ( ( 矿) ；夕( y n 夕( j ) 出) + 三 = ol。鲁s ss o ，存在【口，佃) 上的正值函数4 ( 功，使对【口，佃) 的任何磊一精细分法万= “，1 ，】，f ) ，有f ；厂一c 手，c v 一“，一么一l 三，存在口，佃) 上正值函数磊( 工) ，使对【口，佃) 的任何反精细分法万= “一，】，毋，有莩m c m + 愕令拶( x ) = 锄n 惦【x ) ，嘎【工) j ，x 【口，_ ) ，则对【口，+ ) 的任伺6 一精细分法万= 【“，v 】，f ) ，有d ( ( 万) 夕( f ) ( ，一“) ，j )= 叩n 凇( 万) 疗( f ) ( v 一“) 一i l ( 万) 片( 善一“) 一1 )五e ( 0 1 】= m a ) 【 阳厂( 孝一“) 一彳诽万) 厂+ ( 善) ( y 一“) 一么+ i )三 g z所以夕肼( 口，佃) ) 参考文献【l 】z a d e hl 丸f u z 巧s c t s 叨i n f b 彻鲥咖蛳dc 缸0 1 1 9 6 5 ，8 ：3 3 8 - 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