（应用数学专业论文）单位球中解析函数hilbert空间上的加权复合算子的伴随.pdf

中文摘要 设妒是单位球b n 中的非常值全纯自映射，妒是b 2 v 中的解析函数，由妒及 矽所导出的加权复合算子定义为o ，妒，= 妒，o 妒 本文主要给出了具有再生核的解析函数h i l b e r t 空间中由任意妒及妒所导出 的加权复合算子的对偶算子的一般公式即： 设妒是b 中的全纯自映射，是咒中的再生核若q ，妒在咒中有界， 我们有 四，妒，( w ) = ( ，批bo 妒) 在此基础上，本文得到了由一些特殊函数所导出的加权复合算子，妒的对 偶算子的更优美结果 最后本文还给出了加权b c r g m a n 空间中，妒自伴的充要条件 关键词：加权复合算子；自伴性；对偶算子 a b s tr a c t l e t 妒b ean o n - t r i v i a la n a l y t i cs e l f - m a po ft h eu n i tb a l lb n ，妒i saa n a l y t i cf u n c t i o n d e f i n e do i lb n ，t h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o rw i t hs y m b o l s 妒a n d 妒i sd e f i n e db y c p 啼 = 啼 o 申t h i sp a p e rp r e s e n t sag e n e r a lf o r m u l af o rt h ea d j o i n to faw e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o ra v a i l a b l ef o r a l la d m i s s i b l e 妒a n d 妒i na n yh i l b e r ts p a c e so f a n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hr e p r o d u c i n gk e r n e i s t h a ti s ，s u p p o s e 妒i sa 3 2h o l o m o r p h i cs e l f - m a po fb na n d i s a nr e p r o d u c i n gk e r n e lo fh i l b e r ts p a c e7 - 1o fa n a l y t i cf u n c t i o n si n t h eu n i tb a l l t h e n ，i f 瓯，妒i sb o u n d e do n7 - 1 ，w eh a v e 晖，妒，( w ) = ( ，妒o 妒) a tt h eb a s eo ft h i s ，s o m ei m p r o v e d i n d u c e db ys p e c i f i c 妒a n d 妒a r eo b t a i n e d ， a d j o i n to i lt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c ei s e x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h ea d j o i n to f ，妒 a n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o nf o r ，妒t ob es e l f - a l s og i v e ni nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：w e i g h t e dc o m p o s i t i o n so p e r a t o r ；s e l fa d j o i n t ；a d j o i n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：缮籴签字日期：如矿少年莎月乡日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：腭芬 签字日期：涉谚年多月多f i 第一章引言 第一章引言 复合算子的研究是解析函数论和算子理论结合的产物复合算子的研 究是利用经典解析函数论中的结论探讨线性算子理论中的一些最基本的 问题，同时也利用算子理论作为工具研究函数论中的经典问题；复合算子 的研究给解析函数论中古老课题以新的研究方法，给泛函分析增添了一类 十分有趣的具体算子关于单位球上不同空间尤其是全纯函数空间上的复 合算子，其有界性，紧性及其本性范数的计算在c o w e n 所著的c o m p o s i t i o n o p e r a t o r so i ls p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s 中已有了详细的说明至于不同空间之 间的复合算子的有界性、紧性国内外很多学者都已经得出了很好的结论 加权复合算子是一种广义的复合算子，是复合算子和乘积算子的复合( 加 权) 复合算子的对偶算子的计算对谱的研究至关重要但对偶算子的研究 到目前为止依然是一个新的课题虽然也有一些学者得出了单位圆盘中一 些很好的结果，但到现在为止还没有得出适用于单位球上所有加权复合算 子的对偶公式 本文主要给出了单位球中任意具有再生核的h i l b e r t 空间中由妒及妒的 导出的加权复合算子的对偶算子的一般公式，在此基础上，得到了由某些 特殊的核导出的加权复合算子的对偶的表达式最后得出了加权复合算子 成为自伴算子的充要条件 下面给出本文的主要的结果： 定理1 设妒是b n 中的解析自映射，k 是单位球中由解析函数构成的 h i l b e r t 空间咒的再生核若，妒在咒中有界，我们有 够，妒，( t 7 ) = ( ，妒o 妒) 定理2 设冗是单位球中的解析函数构成的h i l b e r t 空间，日o 。( b n ) 中 的所有函数都是其乘子其上的再生核为k ( 名) = ( 1 一( 2 ， ) ) 一，其中r 为一 正数设妒( z ) = ( a z + b ) ( ( z ，c ) + d ) - 1 是将b n 映入自身的线性分式变换， 妒日”( b n ) ，q ，妒是咒中的有界算子 另设仃( z ) = ( a + z c ) ( ( 名，b ) + d + ) 1 是伴随映射，则g ( 名) = ( i z ，一b ) + d + ) ” 及h ( z ) = ( ( z ，c ) - t - d ) 均属于日o 。( 鼬) 且，妒= t g c 盯喁 定理3 设妒，妒在d 中解析且妒( d ) cd ，妒( 0 ) = a ，妒( 0 ) = b ，这里b 是实 1 第一章引言 数若o ，妒是a 丕，q 一1 上的加权复合算子，则郇，妒是自伴算子当且仅当 妒( z ) = 藉c z - - o , 且妒( z ) = b k 口( z ) ，其中c 为选定的实值常数 下面概述一下本文以下各部分的的主要内容： 第一部分，我们主要介绍了近些年来在这个相关领域内的一些主要工 作，并且根据已经有的结果上发现了一些还没有进行的工作，这样就逐步 的给出了问题研究的背景和进展情况同时，在此部分还给出了本篇论文 主要的结果 第二部分，简要介绍了本文需要用到的一些基本概念和一些最基本的 结论，为下面定理的证明做好准备 第三、四、五、六部分，给出了本文的主要定理 第七部分，是对整篇论文的总结，并提出了一些尚未解决的问题和进 一步研究的方向 2 第二章基本概念介绍 第二章基本概念介绍 在这篇文章中，我们记c n 中的单位球为b l v ： z ：( z 1 ，) ：ni 勺1 2 c l v 中的单位球面为鼬： z ：( z 1 ，) ：nl 勺1 2 ：1 ) h ( b ) 是b n 中全 j = l 纯函数的全体 下面首先简要介绍一下本文所涉及的一些主要概念、术语、性质和结 论有关这些概念和结论的更详细内容，见参考文献 1 】、 2 】、 3 】、【4 】、 5 】 定义2 1加权b c r g m a n 空间镌( b n ) ，q 一1 是单位球中所有关于l e b e - g u e 加权体测度 d ( 名) = ( 1 一i z l 2 ) d v ( z ) 平方可积的全纯函数的全体组成的集合其中，g = 鲁麓鲁是使得d v 口为 b n 中的正规测度的常数 定义2 2h a r d y 空间h 2 是由所有满足 ；= s u p f s n i f ( r ( ) 1 2 如( e ) 的全纯函数组成的集合 易证l i m 0 。- - - 4 - - 1l l f l l a 盈= i i f l i h z ，故h 2 可以看作a 言在乜一一1 + 时的极限情 形 定义2 3设冗是单位球中解析函数构成的h i l b e r t 空间若单项式z a 构成完备正交集且 眭：! l j 一上盟 i i z 0 11 1 2 一i i z 0 2 | | 2 对任意l o t l i = i q 2 i 均成立，其中l i 1 1 2 为l 2 ( 6 r n ) 中的范数，则称何为加权h a r d y 空间另外，我们定义p ( 8 ) 为p ( 蚓) = l l z 。：a 峪 当p ( 8 ) = 1 时，加权h a r d y 空间成为经典h a r d y 空间h 2 ( b ) ；当卢( s ) = ( s + 1 ) - 1 时，加权h a r d y 空间成为b e r g m a n 空间a 2 ( b n ) 3 第二章基本概念介绍 定义2 4d i r i c h l e t 空间是由单位圆盘中所有满足，7ea 2 的函数全体组 成的空间当给其赋予内积 ( ，9 ) d = ，( o ) 丽+ ，7 ( z ) 一g ( z ) d a ( z ) = 口。丽+ n a n 瓦 ，d= 时，d i r i c h l e t 空间成为h i l b e r t 空间 在一维情形下，经典h a r d y 空间日2 ，经典b e r g m a n 空间a 2 及d i r i c h l e t 空 间d 分别是p ( z ) = l ，p ( z ) = ( j + 1 ) 一主a n dp ( 名) = ( j + 1 ) 主情形下的加权h a r d y 空间 定义2 5设7 l f 是单位球中解析函数构成的h i l b c r t 空间若在咒中点 赋值泛函均为有界的则存在一族再生核函数 ：u b ) 这些核函数具有 这样的性质：对任意，7 - 1 均有f ( u ) = ( ，k ) 且满足丽= k z ) 此时， 冗被称作再生核h i l b c r t 空间 从而，h 2 ( 巩) 中的再生核为( z ) = 瓦老刀；口空间中的再生核为 ( z ) = j i 。l o g ( 亡嘉) ；a 丕( 巩) 空间中的再生核为( z ) = 面乏扣 下面我们将主要介绍各种算子的定义 定义2 6 设妒是单位球b n 中的非常值解析自映射，则由妒导出的复 合算子定义为 ( o ，) ( z ) = f ( q o ( z ) ) 其中，z 属于b n ，feh ( b n ) 定义2 7若妒是b n 中的解析函数，则由妒导出的乘积算子定义为 m c f ( z ) = 妒( z ) ，( 名) 定义2 8由妒及妒导出的加权复合算子定义为 c 0 ，c f ( z ) = 妒( z ) ，( 妒( z ) ) 其中，z 属于b n ，h ( 鼬) 4 第二章基本概念介绍 特别地，令妒三1 ，则劬，妒= 郇令妒= i d ，则= 蜘因此，加权复合 算子可以看作复合算子及乘积算子的复合算子 定义2 9 若妒( z ) = ( a z + b ) ( ( z ，c ) + d ) ，其中a 是矩阵，b 及 p 为c 中的列向量，d 为一复数则称函数妒为球上的线性分式变换 定义2 1 0 设妒( z ) = ( a z + b ) ( ( z ，c ) + d ) - 1 是球中的线性分式自映射， 定义伴随映射矿为口( 名) = ( a + z c ) ( ( z ，一b ) + d + ) 其中，及d 分别为 a 及d 的共轭转置 定义2 1 1 设g 是单位圆盘中的解析函数，若g 满足l i m r 。1i g ( t e 阳) i = 1 则称g 为内函数 定义2 1 2设t 是咒中的线性算子，若t + = t 则称t 为自伴算子 在过去的很多年中，很多专家学者都在致力于研究各种由全纯函数构 成的b a n a c h 空间中的复合算子的性质，如有界性、紧性及其他性质，这些 性质主要取决于核妒的性质我们建议有兴趣的读者参考j h s h a p i r o 所著 的t h ee s s e n t i a ln o r mo fac o m p o s i t i o no p c r a t o r 1 2 1 及由c o w e n 和m a c c l u e r 合著的 c o m p o s i t i o no p e r a t o r so i ls p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s 6 ，还有论文( 1 4 】、 1 5 】、 1 6 】、 1 7 】、 1 8 】，这些文献都是直到上世纪9 0 年代中叶之前的关于复合算子 研究进展的精华之作，但是迄今为止对于复合算子的对偶算子的研究还是 一个比较新的课题，这对研究( 加权) 复合算子的谱有很大的作用。 对于d 中的线性分式子映射妒，c o w e n 3 指出h a r d y 空间日2 中的c ：可 以表示成为两个简单的t o e p l i t z 算子及一个复合算子的乘积随后，h u r s t 8 】也得到了加权b c r g m a n 空间镌中的类似结果利用h i g d o n 9 关于口的 闭子空间的结果， g a l l a r d o - g u t i d r r e z 和m o n t e s - r o d r l g u e s 6 获得了d i r i c h l c t 空 间d 中由线性分式变换妒导出的复合算子的对偶算子的更加优美的结果 最近，m a r t i 和v u k o t i d 1 1 1 不仅得到了泛函h i l b e r t 空间中的复合算子的对偶 的一般公式，而且对现今已经得到的公式进行了改进与此同时，c o w e n 和 g a u a r d o - g u t i d r r e z 【5 也独立地得到了类似结果 5 第二章基本概念介绍 关于复合算子何时自伴，正规，次正规，本性正规等性质到目前为止已 有很多完整的结果尤其是日2 中复合算子的性质已经很清楚了，如：在 6 】 中第8 1 节已经提到了正规性但是，迄今为止文献中尚无关于d i r i c h l c t 空 间d ( d ) 复合算子的类似性质 本文将前人的工作进行了推广，得到了具有再生核的h i l b c r t 空间中由 任意妒及妒导出的加权复合算子的伴随算子的一般公式在此基础上，算 出了特殊的符号导出的o ，妒的伴随算子的具体公式最后，本文还得到了 加权b e r g m a n 空间中的，妒自伴的充要条件本文证明的基本思路在 1 1 或 5 】中有所涉及 本文接下来分为以下几部分： 第三章得出了加权复合算子的对偶的一般公式，并将这一公式应用到 h a r d y 空间，加权b e r g m a n 空间及d i r i c h l e t 空间中去 第四章得出了由线性分式变换导出的加权复合算子的对偶公式，这一 公式的得出有别于前人，它是一般公式的直接结果 第五章我们考虑了单项式，有限b l a s c h k c 乘积及有理自映射 第六章我们不仅研究了加权复合算子的对偶何时成为复合算子，而且 得出了加权b e r g m a n 镌空间( a 1 ) 及日2 中加权复合算子自伴的充要条件 第七章列出了遗留的问题 6 第三章对偶算子的一般公式 第三章对偶算子的一般公式 设妒是单位球中的解析自映射，是h i l b e r t 空间咒中的再生核则若 o ，妒在咒中有界，我们有 ，妒，( w ) = ( ，妒o 妒) 这一公式是基于如下结果( 定理1 ，【1 l 】) ：若是h 中的复合算子，则有 吧，( w ) = ( ，k 。妒) 众所周知，? 是复合算子当且仅当在r 下 乩：u b n ) 是不变的事 实上，当t = 时有r = ( ”) ，这一结果读者可以参考定理1 6 ， 6 】而t 是乘积算子当且仅当是t + 的特征向量，此时有p = 币i ，这一结果 可以通过再生核的性质得到由此可得，妒k 。= 丽k 妒( 伽) ，这一公式是这 篇文章的出发点 这一节将得到由任意妒及妒导出的加权复合算子的对偶的显性公式 定理3 1 设妒是巩中的全纯自映射，是h 中的再生核若，妒在 咒中有界，我们有 ( 3 1 ) ，妒，( 彬) = ( ，砂o 妒) 情形l ：冗= h 2 ( 凰) 若妒有界，则有 ( 3 2 ) q ，妒( 训= 。 s u 嘲p 竹e ) 丽而赤酽出( n s n 特别地，在一维情形下，上述公式可以表示成级数的形式： 3 ， 刚小薹匕，? 卜 当妒( 名) ：入撬且妒( z ) ：垒芒贮时，上述级数的系数恰好是，关于标 准正交系的f o u r i e r 系数 7 第三章对偶算子的一般公式 情形2 ：7 - = 镌( b n ) 若妒有界，我们有如下的公式： 1 3 4 ) ，c f ( w ) = 而嚣鼢帆( z ) 吾n 情形3 7 - i = d ( d ) 若，1 ；f ，有界，我们有 ( 3 5 ) ，妒伽) = ，( o ) 丽( 0 ) 叫+ 瓦下瓦鬲+ 霄酬班 dd 证明：对于任意取定的硼d ，将，妒作用于得： o ，c k w = 砂ko 妒 由对偶的定义及再生核的再生性，可得 ，c f ( w ) = ( 睇，妒，) = ( ，o ，妒) = i f ，批加。妒) 这就证明了一般公式( 3 1 ) 情形1 的证明： 由( 3 1 ) ，经计算很容易得到： ，c f ( w ) = i f , ，妒) = ( ，批。妒) 5 。 s u r 1 p ，( 哟矾丽面瓦杀酽如( ( ) 这就是( 3 2 ) 一维的情形下，我们有 刚小帅萨o d 鞣毗，= 薹( x o d 舸寸伽n t 一u 这就是( 3 3 ) nn i 他) 而而蕊仃| i i ( z ) m z ) n 1 1 妒1 1 。蹦， i n = 0 n = 0 故由l c b c s g u e 控制收敛定理及通过交换积分顺序，可得( 3 3 ) 中的级数是有 意义的 第三章对偶算子的一般公式 由习题3 1 9 6 知，若c 是单位圆盘中的一点，妒( z ) = a 葡z - - c 及妒( z ) = ( 生1 - - 咝己z 、 则在日p ( 。) 中加权复合算子是一个可逆等距算子令p = 2 ，。，妒 是一个等距算子此时， 妒矿) 县。是日2 中的标准正交系在这一标准正交 系下的f o u r i e r 系数恰好为0 ，妒( n ) = ，舸d m 这就完成了情形l 的证明 a d 情形2 和情形3 的证明同情形l 完全类似，这里将其省略 口 9 第四章线性分式变换的公式 第四章线性分式变换的公式 这一节中，我们着重考虑这样的加权复合算子q ，妒，它的导出函数是线 性分式变换并得出这种算子的代数性质这一性质的得出需要用到如下 性质及引理 性质4 1 设冗是单位球中的h i l b e r t 空间，h 是其上的解析函数，若 巩( ，) = h i 对h 中的任一有界函数均成立，则称h 为一乘子乘子具有这样 的性质：( ) = 职可乩( 见参考文献 1 3 1 ) 引理4 1若妒( 2 ) = ( a z + b ) ( ( z ，c ) + d ) _ 1 是b n 映入自身的解析自映 射，则盯( z ) = ( a 名一c ) ( ( z ，一b ) + d ) - 1 也将b n 映入自身 证明：这里我们只给出简要证明，详细过程有兴趣的读者可参考 4 因妒( z ) = ( a z + b ) ( z ，c ) + d ) _ 1 将b n 映入自身，故由定理3 4 有m 妒的 常数倍是k r e i n 压缩映射设非零常数入满足【a m ，a m 妒口 i u ，u 这说明 入m 荔= ( a m i p ) 也是k r e i n 压缩映射故由定理3 4 及m ，= m 蚕得，口也将 b n 映入自身 口 定理4 1设h 是单位球中的h i l b e r t 空间，球中的有界全纯函数均 为其上的乘子 7 l f 中再生核为( 名) = ( 1 一( z ，伽) ) 一，其中r 为某一正数设 妒( z ) = ( a z + b ) ( z ，c ) + d ) _ 1 是将b n 映入自身的线性分式变换，妒日一( 巩) ， 使得，妒是咒上的有界算子 另设盯为妒的伴随变换，则有g ( z ) = ( ( 名，一b ) + d ) ”及h ( z ) = ( ( z ，c ) + d ) 均属于日。( 风) 且，妒= 马g 证明：因为妒将b n 映入自身，由引理4 1 有盯也是b n 中的解析自映 射故i c l i d i 且i b i 一1 推论4 1 设妒是线性分式自映射，妒h 。，在镌上睇，妒可以由如下 公式给出： ( 4 1 ) 其中， 晖，妒= 乃，口g 嘞 9 ( t j ) = ( 刁一锄) 一2 + 驯， ( z ) = ( 凹+ d ) 2 + 口 1 1 第四章线性分式变换的公式 口一1 包括h a r d y 空间h 2 作为一种特殊情形 证明：首先，我们给出真正的加权b c r g m a n 空间的证明 因为妒是自映射，故一d 一一b w 及+ d 均在d 中不消末从而，g 及h 均 解析，且易得g ，h 日。 由定理3 1 及口的定义有 他) 2 赫烈小) ：，黑至挚耍d 如( 名) 矗( d - b w + 乏季一石 乏) = 寿鬻圳扎 = 9 ( 伽) 黼地( z ) = 马，口p a 阿，) ( 盯( 叫) ) = 马，口g z l - n ，( w ) 其次，我们从另一个方面给出h 2 的证明 对于d 中的固定一点w ，令( z ) = ( 1 一砚) 易证，= 斫面。歹丽 直接计算得： 马g ( ) ( 名) = ( 击) ( 高) = - b z j + d - 面( d z 妒( 叫)一1 1 7 、一 2 矗丽 = 睇，妒k ( 彳) 因为 ) 在日2 中稠密，定理得证 口 砂( 叫) 伽+ d 注l ：但是在d i r i c h l e t 空间中，我们不仅需要妒是解析的而且要求妒是 反解析的这就是说，此时砂是一个常值函数因此，对于加权复合算子 ，妒的研究就退化成为对复合算子。的研究( 定理3 ，【1 1 】) 在接下来的部分，我们主要考虑单变量情形 1 2 第五章有理符号的加权复合算子 第五章有理符号的加权复合算子 这一节中主要用到残数定理，这里首先介绍残数定理 引理5 1( 残数定理) 设f ( 名) 在围线或复围线c 所围区域d 内，除 a 1 ，a 2 ，a n 外解析，在闭域万= d + c 上除0 1 ，a 2 ，a n 外连续，则 上他嘲譬磐化) 5 1 单项式的公式 定理5 1 设妒( z ) = 名礼，妒是d 中的内函数且连续到万对于d 中的任一 点伽= r ，设其n 次方根为r 詹，钮= r 元1 ( 8 + 2 七”k ，k = 0 ，1 n 一1 ，则o ，妒的对偶 算子可以这样给出： ( 5 1 ) q ，妒，( 伽) = 元1 如，”协( 。) k = 0 证明：因为o d 上z - 2 = 1 , d i n ( z ) = ( 2 r i z ) 一d z ，矽是一个内函数 从而由定理3 1 q ，妒，( 伽) = 警雳d m ( z ) = 去丝掣如= 南蔷窖高兆 o d8 d8 d 由有理函数的性质知，存在使得 扩_ 1 暑c k石、一、 2 n w 台z 一飞伽 经简单计算有对于所有k 均有= l 故由c a u c h y 积分公式有 n - - 1 n 一1 叼，妒，( 加) = 石1 去粥赤如= = 元1 m 咖) 咖( 。) 七= o 如 k = 0 对于多项式都成立 注意到多项式在日2 中稠密，且由依范数收敛能推出内闭一致收敛及妒 是有界的，故对日2 中的任意函数，上述公式均成立 口 1 3 第五章有理符号的加权复合算子 5 2 一般有理函数的公式 注意到d 中的任一解析有理自映射r 均可以表示成为两个多项式的商 且其在扩充复平面内除极点以外没有其他类型的奇点故其在复平面中的 极点一定在闭单位圆盘之外我们定义r 的相关函数彤为 r ( z ) = r ( ；) ，z d 易证，舻依然是有理函数 下面定理指出由有理函数导出的加权复合算子的对偶算子可以用残数 表出 定理5 2设r 是d 中的解析自映射，彤是r 的相关函数，妒为一内 函数则在日2 中咆妒的对偶算子可以这样给出： ( 5 2 ) c l ，妒，( 伽) - - a e s ( 研程丽；魂) ，伽d k 这里，我们对z 妒( z ) ( 1 一彤( z ) w ) 在d 中的所有零点进行求和 证明：首先设，为多项式 考虑到妒是一内函数，故 g ，母，( 伽) = z 甥加( z ) 葡1z 丽犏如 2 州易。妒( z ) ( 1 一丽) 丽i 品面酉f f ( 雨z ) 丽y 出2 们品：妒( z ) ( 1 一可万加) “ 南孤群丽出 丽品丽丽硒 由于被积函数的唯一极点是分母的零点，故由r c s i d u e 定理得到结果由于 多项式在日2 中是稠密的，故结果对任意函数均成立 口 5 3 有限b l a s c h k e 乘积的公式 最简单的内函数是有限b l a s c h k c 乘积 若单位圆盘中存在非零点a - ，0 2 ，口n ( 不一定不同) ，= 1 ，使得b ( z ) = a 重掣罡番，则称b 为有限b l a s c h k e 乘积注意到若b 是礼阶有限b l a s c h k e 】4 第五章有理符号的加权复合算子 乘积，则由儒歇定理有对于d 中的任一点伽，方程b ( z ) = w 在单位圆盘中恰 有1 1 个根 由于在o d 上几乎处处有i b ( z ) i = l ，从而可以得到b l a s c h k e 乘积导出的 加权复合算子的对偶公式的更优美形式 定理5 3 设b 是n 阶的有限b l a s c h k e 乘积，妒是在d 中不消末的内函 数对于d 中任意给定的点w ，记强伽为方程b ( z ) = 伽的根则有如下表达 式成立： ( 5 3 ) 妒，( 叫) = r e s ( 菇牌岛；撕) + r e s ( 赢黼；0 ) 证明：仅证当，时多项式的情形 因为在o d 上有i b ( 2 ) l = i 妒( z ) i = 1 且d m ( z ) = ( 2 7 r i z ) d z ，由定理3 1 及引 理5 1 有 ，妒伽) 2z 甥拥( z ) = 南，瑞裂箬d z a d 、一 = 南，躺如 a d 、 又因为妒在d 中不消末，z k ，钮及原点是函数而裔黼在d 中的所有 零点，从而 ，妒，( 伽) = r e s ( 赢滕；瓠伽) + r e s ( 潜；0 ) 口 k = o 注2 ：在定理5 1 、5 2 、5 3 中条件砂是内函数是不可或缺的因为内 函数是唯使得圆周o d 上的点的模为1 的函数，此时我们可以在沿o d 积 分时用；1 取代乏，并且利用部分积分定理及残数定理这一条件在以上定理 的证明过程中起到了关键性的作用否则的话在证明过程中不仅要求妒的 解析性而且要求妒的反解析性，使得关于加权复合算子的讨论退化成为关 于复合算子的讨论 1 5 第六章特殊情形 第六章特殊情形 关于复合算子何时自伴，正规，次正规，本性正规等性质到目前为止已 有很多完整的结果尤其是日2 中复合算子的性质已经很清楚了，如：在 6 】 中第8 1 节已经提到了正规性jc o w c n 在 6 】已经得出了复合算子何时自伴 的条件，这一章我们将前人的结果进一步完善 加权复合算子的对偶算子不一定是复合算子，我们首先研究加权复合 算子的对偶成为复合算子的条件 定理6 1设o ，妒是加权b c r g m a n 空间镌上的加权复合算子，这里，a2 1 ，包括h 2 作为特殊情形则，妒= 当且仅当妒= ，妒( z ) = 石z ( 1 一i z ) - 1 ( c 为复数) ，并且叼( z ) = c z + t 即， 证明；( 1 )必要性 若，妒= ，则 ，妒k ( z ) = 妒( 叫) 七妒( 埘) ( 名) = 岛( z ) = 梳。叼( z ) 令z = 0 ，7 7 ( 0 ) = t ，有 丽( 1 一面田( 名) ) 。+ = ( 1 一雨名) 叶2 妒( 硼) 2 石膏2 七叶( 。) ( 叫) = k t ( 伽) 另外我们还得到 ( 1 一痢( 1 - 7 ( - 面z ) = l 一研( z ) 故， 瓦面z + 缅一t 砜v ( w ) z = 面叼( 名) ， 即， 石i 两( 1 一矧一f 7 ( z ) 一t 1 f 一一f 等式的右边与w 的选取无关，为一个常数，记作c 从而妒( ) = 酗( 1 一疵) 叫 且叩( z ) = 凹+ t 1 6 第六章特殊情形 ( 2 )充分性 若，妒= 妒。其中妒= ，妒( z ) = - s z ( 1 一历) - 1 ( c 为一复数) ，则 喏，c k w ( z ) = 妒( 叫) 妒( ) ( z ) 一f 面莉f 而万p f 面研f 面西两习雨 2 面焉盂矛( 1 一t 面一d 面z ) a 十2 = 岛( 名) 这里 叩( z ) = 凹+ t 由于 ) 在镌中稠密，上式对所有函数均成立 口 下面定理描述了在加权b e r g m a n 空间中加权复合算子成为自伴算子的 等价条件 定理6 2 设妒，妒在d 中解析且妒( d ) cd ，妒( 0 ) = o ，妒( 0 ) = b ，这里b 是实 数若，妒是以，o l - 1 上的加权复合算子，则，妒是自伴算子当且仅当 妒( z ) = 磊c z 两- - q 且砂( z ) = b k a ( z ) ，其中c 为选定的实值常数 证明：( 1 )必要性 因为，妒= o ，妒，则有q ，妒= 郇，妒 故 妒( 叫) ( 伽) ( z ) = 妒( z ) o 妒( 名) 从而 妒f t ，)妒( z ) 瓦蒜商币2 耳高商南。 令名= o ，我们有妒( z ) = 石斋，即妒( 伽) = 6 ( 叫) 由于b 为实数，由此得 即 ( 1 一即( 名) ) ( 1 一秘) = ( 1 - 口面) ( 1 一丽z ) ， 、 n _ 面名妒( z ) 一面妒( z ) + 口面= 口面妒( w ) z 一妒( w ) z + 5 z 1 7 第六章特殊情形 由于等式的右边与伽的选取无关，是一个常数，记作c ，这里c 是实数 故妒( z ) = 丽c z - - a ( 2 )充分性 若妒( 彳) = 舌c z 两- - 。且妒( z ) = 6 k ( z ) 其中c r ，o = 妒( o ) ，b = 妒( o ) r ，我们有 ，c k w ( z ) = 妒( 叫) ( 叫) ( z ) 一f 面布面磊铲 一酽f 帮 = 丽云焉再b i 开l c t 正，：一口t j 十l 一口引 2 面酽b 正面酽1( 1 一d 乏) 口十( 1 一面妒( o ) ) a 十。 = 妒( z ) f 瓦酽1 = c 0 ，妒( z ) 因为【) 在a 三中稠密，上式对所有函数均成立 口 1 8 第七章结束语 第七章结束语 本文首先通过定理3 1 得出了球中具有再生核的h i l b e r t 空间中的加权 复合算子的对偶的一般公式，随后又在接下去的两章中讨论了些具体的 情形，给出了更为优美的结果 由于单位球中不存在有限b l a s c h k c 乘积及有理函数的具体形式，本文从 第四章开始只讨论了单位圆盘中的情形 另外，由于本人水平有限，本文只讨论了加权复合算子的正规性及自 伴性，并没有研究其本性正规性 1 9 参考文献 参考文献 1 】余家荣，复变函数，北京：高等教育出版社，2 0 0 0 7 9 9 5 2 f b a y a r t ，ac l a s so fl i n e a rf r a c t i o n a lm a p so ft h eb a l la n dt h e i rc o m p o s i t i o n o p e r a t o r s ，a d v a n c e si nm a t h e m a t i c s2 0 9 ，2 0 0 7 6 4 9 6 6 5 【3 c c c o w e n ，l i n e a rf r a c t i o n a lc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nh 2 ，i n t e g r a le q u a - t i o n so p e r a t o r yt h e o r y1 1 ，1 9 8 8 1 5 1 1 6 0 4 c c c o w e n ，l i n e a rf r a c t i o n a lm a p o ft h eb a l la n dt h e i rc o m p o s i t i o no p e r a t o r ， a c t a s c i m a t h 6 6 ，2 0 0 0 3 5 1 3 7 6 【5 c c c o w e n ，e v aa g a l l a r d o - g u t i 6 r r e z ，an e wc l a s so fo p e r a t o r sa n dad e - s c r i p t i o no fa d j o i n t so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，j o u r n a lo ff u n c t i o n a la n a l y s i s 2 3 8 ，2 0 0 6 4 4 7 - 4 6 2 6 c c c o w e na n db m a c c l u c r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so ns p a c e so fa n a l y t i c f u n c t i o n s ，c r cp r e s s ，b o c ar a t o n ，1 9 9 5 1 0 0 - 1 1 4 【7 e g a l l a r d o - g u t t i 6 r e z ，a m o n t e s - r o d r g u e z ，a d j o i n t so fl i n e a rf r a c t i o n a l c o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h ed i r i c h l e ts p a c e ，m a t h e m a t i s c h ea n n a l e n3 2 7 ，2 0 0 3 1 1 7 - 1 3 4 【8 p r h u r s t ，r e l a t i n gc o m p o s i t i o no p e r a t o r so i ld i f f e r e n tw e i g h t e dh a r d y s p a c e s ，a r c h m a t h 6 8 ，1 9 9 7 5 0 3 5 1 3 9 w i l l i a mm h i g d o n ，t h es p e c t r ao fc o m p o s i t i o no p e r a t o r sf r o ml i n e a rf r a c - t i o n a lm a p sa c t i n gu p o nt h ed i r i c h l e ts p a c e ，j o u r n a lo ff u n c t i o n a la n a l y s i s 2 2 0 ，2 0 0 5 7 5 9 5 1 0 j n m c d o n a l d ，a d j o i n t so fac l a s so fc o m p o s i t i o no p e ra t o r s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 3 1 ，2 0 0 3 6 0 1 6 0 6 【11 m a r i aj m a r t i n ，d r a g a nv u k o t i 6 ，a d j o i n t s o fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s o nh i l b e r ts p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，j o u r n a lo ff u n c t i o n a la n a l y s i s 2 3 8 ，2 0 0 6 2 9 8 - 3 1 2 参考文献 1 2 j h s h a p i r o ，t h ee s s e n t i a ln o r mo fac o m p o s i t i o no p e r a t o r ，a n n a l so f m a t h ，1 9 8 7 3 7 5 - 4 0 4 【1 3 j h s h a p i r o ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dc l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r y ，s p r i n g - v e r l a g ，1 9 9 3 5 0 6 0 1 4 z h z h o u ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h el i p s c h i t zs p a c ei np o l y d i s c s ，s c i c h i n as e r a4 6 ( 1 ) ，2 0 0 3 3 3 3 8 1 5 z h z h o ua n dr e n y uc h e n ，w e i g h t c dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sf o mf ( p ，q ，8 ) t ob l o c ht y p es p a c e s ，i n t e r n a t i o n a lj o u n a lo fm a t h e m a t i c s ，p r e p r i n t 1 6 z h z h o ua n dr c n y uc h e n ，o nt h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eb l o c h s p a c eo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，s c i e