（应用数学专业论文）区间数据下指数分布的矩估计和检验.pdf

摘要 在许多学科领域，如医学、生物学、保险精算学、可靠性工程学、公共卫生 学、经济学以及人口统计学等领域，都存在对某给定事件发生的时问进行估计和 预测的问题从得到的数据资料来看，这些数据有一共同属性，即其中的观测结 果要么是删失的、要么是截尾的，特别是当我们只知道事件在某一给定时间段内， 而不知道确切的时间点时，称之为区间删失数据( 简称区间数据) 区间数据的 存在使得许多传统理论无法直接应用，所以无论从实际应用还是理论研究的角度 出发，对区间数据的相关问题进行研究是很有意义的 对区间数据的研究已有二三十年的历史，大多数的研究都是基于非参数极大 似然的方法进行的，h u a n g 和w e l l n e r 1 j 对此有详细的介绍，但是利用极大似然 方法进行区间数据的研究也存在不足，求解非参数似然方程的过程非常繁琐，常 常只能通过迭代计算的方法得到似然方程的近似解，实际操作难度很大利用无 偏转换( u n b i a s e dt r a n s f o r m a t i o n ) 的方法处理右截断数据问题，最早出现在 b u r k l e y 和j a m e s 2 。、k o u l 和s 址砒1 3 j 的文章中z h e n g 4 】对此进行系统研究，并提 出了c l a s sk 的方法，并把它推广到区间数据的研究中无偏转换( u n b i a s e d t r a n s f o r m a t i o n ) 的主要思路：构造出一个和被截断随机变量值相同的统计量，然 后用传统的统计方法进行研究 本文受c l a s s k 方法的启发，主要做了三项工作：第一，在区间数据下，对 指数分布的平均寿命进行矩估计；第二，在区间数据下，对指数分布的平均寿命 进行单边假设检验；第三，在区间数据下，提出秩检验的模型 关键词：区间数据；无偏转换：单边假设检验；矩估计 a b s t r a c t i nm a n yb r a n c h e so fs c i e n c e ，s u c ha sm e d i c i n e ，b i o l o g y ，i n s u r a n c e ，r e l i a b i l i t y e n g i n e e r i n gp r o j e c ts c i e n c e ，p u b l i ch y g i e n e ，e c o n o m i c s ，d e m o g r a p h i c se t c ，p r o b l e m s o f e s t i m a t i n ga n df o r e c a s t i n gt h et i m eo fc e r t a i ne v e n t so c c u re x i s t f r o mt h eo b t a i n e d d a t a ，t h e s ed a t ah a v eac o m m o nc h a r a c t e r i s t i ct h a tt h er e s u l t so fs u r v e y i n ga r ee i t h e r c e n s o r e do rt r u n c a t e d e s p e c i a l l yw ec a l li ti n t e r v a l - c e n s o r e dw h e nw eo n l yk n o wt h e e v e n th a p p e n si nc e r t a i nt i m ea r e a w h e ni n t e r v a l c e n s o r i n ga r i s e s ，a l m o s ta l l t r a d i t i o n a ls t a f i s t i c a lm e t h o d sc a n 执, v o r ka n ym o r e 1 r i l e r ei sa na l o r m o u sa m o u n to fl i t e r a t u r eo nt h ei n t e r v a lc e n s o r e dd a t a i n t h e s es t u d i e s ，n o n p a r a m e t r i cl i k e l i h o o de s t i m a t i o n ( n p m l e ) a r ew i d e l yu s e d ；b u ti t s l i m i t a t i o ni st h a ti ti sc o m p l i c a t e dt ow o r ko u tt h ef u n c t i o n sa n di nm o s ts i t u a t i o n sw e c a no n l yu s ei t e r a t i v eo p e r a t i o n st og e ta na p p r o x i m a t es o l u t i o n i nt h i sp a p e r , 1w i l l u s eu n b i a s e dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o dt os o l v es o m ee s t i m a t i n ga n dh y p o t h e s i z i n g p r o b l e m so fi n t e r v a lc e n s o r e dd a t a b a s e do nt h eo b s e r v a t i o n sw ec o n s t r u c tas e r i e s o fn e wv a i l a b l e st os u b s t i t u t et h ec e n s o r e dv a r i a b l e t h e s en e wv a r i a b l e sh a v et h e s a m ee x p e c t a t i o na st h ec e n s o r e dv a r i a b l e s u g g e s t e db yt h ei d e ao fc l a s s km e t h o d ，ih a v em a i n l yd o n et h r e et a s k s ： f i r s t ，w es t u d i e dt h et w om o m e n te s t i m a t i n gp r o b l e mf o rt h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n b a s e do nt h ei n t e r v a lc e n s o r e dd a t a b o t h 磊a n d ( ，4 ) a r eu s e dt oc o n s t r u c t e d s a m p l em o m e n t ；s e c o n d ，w es t u d i e dt h eo n es i d eh y p o t h e s i st e s t i n gp r o b l e mf o rt h e a v e r a g el i f eo fe x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nb a s e do nt h ei n t e r v a lc e n s o r e dd a t at ；i nt h e t h i r ds e c t i o n ，w ec o n s i d e rt h em o d e lr a n k e dt e s t i n gp r o b l e mb a s e do nt h ei n t e r v a l c e n s o r e dd a t a k e yw o r d s ：i n t e r v a lc e n s o r e dd a t a ；u n b i a s e dt r a n s f o r m a t i o n ；o n es i d eh y p o t h e s i s t e s t ；m o m e n te s t i m a t e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：虑林乞签字日期：沙辞 ) ( 1 一巧) 来代替被截断的随机变量v ，显然有e f = e y , = 口+ 触，这样就可以用最d x - 乘 法估计出口，夕。 b u r k l e ya n dj a m e s 开g ) j t 利用无偏转换解决统计问题的先例，但没考虑估计量 的收敛速度和和生存变量的分布函数有关，k o u ls u s a r l aa n dv a nr y z i n ( 1 9 8 1 ) 解决了上述问题，从而使无偏转换的方法达到理论的高度。 3 硕士学位论文 在前人工作的基础上，z h e n g ( 1 9 8 4 ) 提出：把无偏转换的方法应用到区间数 据的研究中，命名为c l a s s k 方法。这种方法的主要思想是：当z 被截断时，应 对它作一些补偿，当未未被截断时，也要作一些调整。 4 区间数据下指数分布的矩估计和检验 第二章区间数据样本下指数分布平均寿命的矩估计 z h e n g 在区l 司数据中引入无偏转换 假定】，是一个非负随机变量，有连续的分布函数f ( ) ，但分布函数的具体形 式未知，e y 口是有直观的意义：用于截断的变量的平均寿命不能小于试验对象的平均寿 命在实际观测时，只能得到样本( ) ，f - 1 2 力，其中，4 = 毪轰。 因为 所以 即 2 1 以4 构造矩估计 即) _ f 0 0 出鼻v v 2 f 加1 目覃12 矗 岛 口 ( ! 窆i = 1 训曰+ o o ) = 岛。 否= 孚锻梅丢静 d 刀百 对一般情况下的矩估计，通常只能考虑它的大样本性质：结合以下两定 理。 定理1 ：设墨，以为独立同分布变量系列，e l x l f 更是相合估计；( 3 ) e ( x i ) 2 ( 互一1 ) e o 时可的渐近方差大。在o ( ；一1 ) 岛时渐近方差比可的渐 o o 一 ，一 、 近方差小，x 是无偏估计且0 o ，t o ，都有p ( xj , s + t l x ，) s ) ，则称该元件老化。 如果对任意的s o ，t o ，都有尸( x s + t l x f ) = p ( 石 s ) ，则称该元件无老化。 若x 取参数统计结构，月艮从w e i b u l l 分布，其分布函数为即) = 1 _ 唧 一爿， 则有 凇叫= e x p 一等 凇忖) = 等若产= 错 一 一半) 显然，在口= 1 时，s 4 = ( s + f ) 4 一t , a a f f f f p ( x s + t l x ，) = 尸( x s ) ，元件无老 化： 而在口 1 时，j 4 s + t l x ，) s ) ，元件老化。故 上述检验问题在w e i b u l l 分布就转化为形状参数口的检验问题，原假设h o ：口= 1 v s 备择假设h l ：口 1 在生存分析中，由于客观条件的限制，往往的数据是不完全数据，如右截断数据 左删失数据，丢失数据，区间数据等等。下面区间数据作出理论上的研究： 硕士学位论文 3 1 在i 型区间数据中进行无偏转换 假定y 是一个非负随机变量，有连续的分布函数f ( ) ，但分布函数的具体形 式未知，e y 凡时e ( 】，) 2 o o 1 2 区间数据下指数分布的矩估计和检验 令 则有 证明 因为 要使 只需 又因为 所以 ( 五) = 1 ) 厢( 兄) _ n ( o ，1 ) 2 ) 日( 五) 在( 2 凡，) 关于旯单调递增 1 ) 由引理2 可证 矿 令日( a ) 2 南埘z ( 允) 舯 q ( 五) 2 而1 一万1 皿( 五) = l 彳 型：二14 三：塾! 苎二查1 2 二兰： d 2 a o ( a 一九) 2 。五3 a o ( a 一厶) 五3 兰型丑 o d 五 2 a ( a 一九) 2 w 名3 oa ( 凡，) ! 上三掣：4 凡五一4 凡：一3 2 ： o d 五 e p h ：( 名) 在( 2 无，0 0 ) 是单调递增函数 h ( 2 ) 在( 2 2 0 ，0 0 ) 内是单调递增函数 e y = j 1 则令护= 万1 则h ( 彳) = g ( p ) 。 g c 惦( 。去) 内是单调递减函数 现考虑假设检验： 3 2 在l 型区间数据下的假设检验 h o ：0 o o v s ：0 吼 显然，检验的拒绝域形式：y 。c 下面确定临界值c 尸 当风为真时拒绝h 。) = 岛 尹c ) 其中c = 而c o + o o = 胁c o ) = 岛 g ( 吼) c o ) 气岛 g ( 口) c 0 ) 上面不等式成立是因为g ( 目) 是口的单调递减函数，所以当0 - o o 时 事件 g ( 岛) c o ) c o ( o ) c o ) 1 4 区间数据下指数分布的矩估计和检验 所以，要控制p 当乩为真时拒绝h 。) 口，只要令 g ( 口) c o ) = 口 即 尸 - g ( 曰) - c o ) = 口 因此c o = 争 其中乙为服从标准正态分布的上口分位数 以 于是得检验的临界值 c r ：五f 阜+ 岛： - q n 为方便建立检验的临界值表，对检验统计量进行改进，即令 矿：旦 岛 则检验的拒绝域为 y g其中g = 同理可得检验： 的拒接域为 综上得如下定理： 为： z 车4 - 1 打 务+ 岛 毛：p 岛 v s q ：口 t ， o ，若x l i = 五j ， 一l ，若x “ 鼍j f 以及 u ：艺至， i = 1 = l 那么，当母体1 与母体2 的分布相同时， u e u 丽一 b ( o ，1 ) 秩检验的切入点是样本值在整个样本中的位置，在完全数据下，这一点是很容易 区间数据下指数分布的矩估计和检验 做到，但在区间数据下，样本的实际观测值没能得到，这样依据现有的样本数据 很难确样本秩；在无偏转换的启示下，我考虑变量的代换，只考虑大样本性质。 设置。，五：，五，非负独立同分布，具有分布函数e ( ) ：y i lr ：，k ， ( 巧，露) ， e = 西( 巧) 岛+ 欢( 巧) ( 1 0 ) 鼢碧 下面我们来考虑m a n t e l h a n s e l 检验。先回顾一下独立样本四分联立表的一 般形式，记 p l = p ( 特征丁i 母体1 ) 仍= 尸( 特征丁i 母体2 ) 我们要检验 1 9 硕士学位论文 h o ：p l2p 2 母体1 母体2 特征t特征t ab 啊 cd 疗2 刀 码 通常的方法是考虑统计量 y 2 ：n ( a d - b e ) 2 ， 惕栉2 惕m 2 在现讨论数据的区间的m a n t e l h a n s e l 检验，用e 代替，处理的方式和 右截断数据的m a n t e l h a n s e l 检验一样。 参考文献 1 h u a n gj a n dw e ll n e rj a ( 19 9 7 ) ，i n t e r v a lc e n s o r e ds u r v i v a ld a t a ： ar e v i e wo fr e c e n tp r o g r e s s ，p r o c e e d i n go ft h ef i s ts e a t t l es y m p o s i u mi n b i o s t a t i s t i c s ：s u r v i v a la n a l y s i s ( d o l a na n dt f l e m i n ga d s ) ， m s p r i n g e r ， n e wy o r k l2 3 - 17 0 2 b u c k l e yj ，j a m e sirl i n e a rr e g r e s s i o nw i t h c e n s o r e dd a t a j b io m e t r i k a ，19 7 9 ，6 6 ：4 2 9 4 3 6 3 k o u lh ，s u s a r l av ，v a nr y z i nj r e g r e s i o na n a l y s i sw i t hr a n d o m l y r i g h t c e n s o r e dd a t a j a n ns t a t i s t ，1 9 8 1 ，9 ：1 2 7 6 1 2 8 8 4 z h e n gzk ac la s s e s t i m a t o r sf o rt h ep a r a m e t e r si nli n e a r r e g r e s s i o nw i t hc e n s o r e dd a t a j a c t e dm a t h e m a t i c a la p p l i c a t i v es i n i c a ， 1 9 8 7 ，3 ：2 3 1 2 4 1 5 h o e l ，d g ，w a l b u r g ，h e ，1 9 7 2 s t a t i s t i c a la n a l y s i so fs u r v i v a l e x p e r i m e n t j n a t i o n a lc a n c e ri n s t 4 9 ，3 6 1 3 7 2 6 k e i d i n g ，n ，19 9 1 a g e s p e c i f i c i n c i d e n c ea n dp r e v a l e n c e ：a s t a t i s t i c a lp e r s p e c t i v e ( w i t hd i s c u s s i o n ) j r o y s t a t i s t 1 2 ，3 6 7 3 9 5 7 邓文丽关于区间数据的若干问题研究， 复旦大学博士学位论文 2 0 0 4 8 丁邦俊，关于区间数据的分布函数的估计，复旦大学博士学位论文， 2 0 0 2 9 z u k a n gz h e n gc l a s so fe s ti m a t o r so ft h em e a ns u r v i v a lt i m ef r o m i n t e r v a lc e n s o r e ds u r v i v a ld a t aw i t ha p p l i c a t i o nt o1 i n e a rr e g r e s s i o n ， m a n u s c r i p t 1 0 峁诗松，高等数理统计 m 北京：高等教育出版社，1 9 9 8 11 陈希孺，数理统计引论 m 浙江：科学出版社，1 9 8 1 1 2 z u k a n gz h e n g ( 1 9 9 2 ) ，ac l a s sko fe s t i m a t o r so fm e a n1 i f e t i m e w i t ha p p l i c a t i o n s ，t h ed e v e l o p m e n to fs t a t i s t i c s ：r e c e n tc o n t r i b u t i o n s f r o mc h i n a 。p i t m a nr e s e a r c hn o t e si nm a t h e m a t i c s ( s e r i e s 2 5 8 ，2 8 9 2 9 8 ) j 。l o n g m a ns c i e n t i f i c & t e c h n i c a l ，1 9 9 2 1 3 】郑祖康，丁邦俊，关于区间数据的分布函数估计问题，生存分析与可 靠性学术研讨会邀请报告，北京大学， 2 0 0 0 1 4 p g r e e n r o o m ，a s y m p t o t i cf o ri n t e r v a lc e n s o r e do b s e r v a t i o n s ， t e c h n i c a lr e p o r t ，8 7