（运筹学与控制论专业论文）具有消费过程的资产组合优化问题探讨.pdf

硕士学位论文摘要 摘要 资产组合优化问题是金融数学的一个基本问题，它的研究一直受 到普遍的关注。人们对资产组合的研究，主要有两种模型，一种是在 收益满足一定条件下，最小化资产组合的风险；另一种是在风险满足 一定条件下，最大化资产组合的收益；其中对风险的描述方法，从用 方差表示发展到用c v a r 描述。 本文主要研究了资产组合的优化问题。首先阐述了均值一方差风 险度量、v a r 及c v a r 风险度量方法基本概念，并对它们各自应用及 缺陷进行总结；其次，详述遗传算法的原理、步骤，利用遗传算法对 c v a r 资产组合进行优化计算。通过选取沪深a 股，编写m a t l a b 程序 对资产组合进行实证分析；再次，分析资产收益满足一定条件下最小 化风险的资产组合模型及椭球不确定集下的基于c v a r 的资产组合优 化模型；根据金融系统具有的鲁棒性，将鲁棒优化应用到c v a r 资产 组合中，并结合投资者的实际情况，在模型中加入消费影响，对模型 进行了推广；最后，研究了在风险满足一定条件下，最大化期末效用 的资产组合模型，在模型中加入消费过程以及交易费用，生成了有消 费效用和条件风险约束的离散时间的消费一投资模型，并对模型求解 方法进行了讨论。 关键词c v a r ，资产组合，遗传算法，鲁棒优化，消费 硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t a so n eo ft h em o s tf u n d a m e n t a lp r o b l e m so ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ， t h e s t u d y o fp o r t f o l i o o p t i m i z a t i o np r o b l e m h a sa l w a y sb e e na c o n c e r n i n gp r o b l e m t h e r e s e a r c hf o rt h ep o r t f o l i om a i n l yi n c l u d e st w o m o d e l s o n ei st om i n i m i z et h er i s ko ft h ep o r t f o l i ow i t ht h ei n c o m et o s a t i s f ys o m ec o n d i t i o n s t h eo t h e ri st om a x i m i z et h ep o r t f o l i oi n c o m e w i t ht h er i s kt os a t i s f ys o m ec o n d i t i o n s t h ed e s c r i p t i o no ft h er i s ki s c h a r a c t e r i z e df r o mt h ev a r i a n c et ot h ec v a r i nt h i sp a p e r , i ti so u rm a i nw o r kt os t u d yt h ep o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n p r o b l e m f i r s t l y ，i tp r e s e n t st h er i s km e a s u r e m e n to ft h ev a r i a n c e ，v a r ， c v a ra n ds u m m a r i z e st h ea p p l i c a t i o n sa n dd e f e c t so ft h ev a ra n d c v a rr i s km e a s u r e m e n t s e c o n d l y , p r i n c i p l e sa n ds t e p so ft h eg e n e t i c a l g o r i t h m sa r em e n t i o n e di nd e t a i l a n dt h ec v a rp o r t f o l i oh a sb e e n o p t i m i z e db yu s i n gt h eg e n e t i ca l g o r i t h m b yc h o o s i n gt h es t o c ko f s h a n g h a ia n ds h e n z h e na s h a r e ， w ec a r r yo nr e a le x a m p l ea n a l y s i st o t h ep o r t f o l i o t h i r d l y ，w ea n a l y z et h ep o r t f o l i om o d e lo fm i n i m i z i n gt h e r i s kw i t ht h er e t u r nt os o m ed e g r e ea n dt h ep o r t f o l i om o d e lo ft h e e l l i p s o i d a lu n c e r t a i n t ys e tb a s e do nc v a r a c c o r d a n c e t ot h er o b u s t n e s so f t h ef i n a n c i a ls y s t e m , t h er o b u s to p t i m i z a t i o nw i l lb ea p p l i e dt ot h ec v a r i i p o r t f o l i o ，a n dw ee x p a n dt h em o d e lb yc o m b i n i n gt h ei n v e s t o r sa n da d d i n g t h ei n f l u e n c eo ft h e c o n s u m p t i o nt oi t f i n a l l y ，a f t e rs t u d y i n gt h e p o r t f o l i om o d e lw h i c hi st om a x i m i z et h ef i n a lu t i l i t yw i t ht h er i s kt o s a t i s f ys o m ec o n d i t i o n s ，w ea d dt h ei n f l u e n c eo fc o n s u m p t i o na n d t r a n s a c t i o nc o s t st ot h em o d e l ，a n dt h ec o n s u m p t i o n i n v e s t m e n tm o d e l o fd i s c r e t e t i m ei s g e n e r a t e d ，a n dt h e n ，w ed i s c u s st h em e t h o d sf o r s o l v i n gt h em o d e l k e yw o r d sc v a r ，p o r t f o l i o ，g e n e t i c a l g o r i t h m ，t h er o b u s t o p t i m i z a t i o n ，c o n s u m p t i o n k i 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 本章首先介绍了课题的研究背景和意义，接着阐述资产组合问题及风险度量 方法的国内外的研究现状，最后列出本文的研究内容、章节安排以及本文的主要 工作。 1 1 课题的背景和意义 2 0 世纪8 0 年代以来，世界各国的经济开放程度不断提高，任何国家的经济 发展都受到外部经济环境的制约，国际间信息、资金流动速度的迅速提高，加大 了金融市场之间的相互影响，导致了各个市场之间波动的互动效应，金融风险在 不同市场之间传导放大，使得全球金融市场的风险性和波动性不断加大。特别是 在过去短短的几十年中，竟爆发了几次震惊世界的大规模的金融危机，如1 9 9 7 年的亚洲大风暴，2 0 0 8 年爆发并延续至今的由美国房地产泡沫引发的次债危机。 金融危机导致全球大量银行、公司倒闭，人们面临着失业，生活困苦。而金融危 机的实质是金融风险积累到一定程度的总爆发，是金融风险的实现形式。因此， 为了稳定金融秩序，要求我们研究证券市场风险并加以控制。 从国内形势来看，随着中国加入世界贸易组织，中国政府对资本严格控制的 局面已将成为历史。如何在新的形式下有效防范和化解金融风险是我国政府面临 的一个紧迫问题。随着我国社会主义体制的不断改革，证券市场以其独特的魅力 蓬勃发展，证券市场规模的不断扩大和证券投资新品种的不断增加，证券活动以 超出人们的想象影响着人们整个经济生活。尤其是随着全球金融市场的自由化、 一体化进程加速，金融理论、金融产品和信息技术不断创新，我国的金融市场变 得越来越敏感，证券市场的风险也在不断扩大，人们对证券市场风险的隐蔽性和 突发性更加担忧。投资者不仅要知道投资活动的预期收益和资产价值，更要了解 投资活动所面临的风险。因此，投资者不断地寻求能使投资的风险低而收益高的 策略。而投资组合【l 】的存在，将使投资的各证券风险分散化，通过多种证券风险 的彼此抵消，使其单位收益的风险最小或者单位风险的收益率最大。 然而证券市场又是一个极其复杂的系统，证券的收益和风险都是不确定的， 这就使得投资者需要在一个不确定的环境下做出投资决策。以往的研究大多都是 建立在概率论基础上，将投资收益这种不确定性当作随机性处理，而忽略了其它 多种重要的不确定性，因此，对金融市场中不确定性的深入研究，从理论和实 硕十学位论文 第一章绪论 践上都具有非常重要的意义。 另外，科学技术正处于相互交叉和渗透的时代，许多研究课题已经不能单靠 一个领域的理论和方法能够解决。许多边缘科学正是多个领域交叉发展的结果， 人们不断地把一个领域的研究成果应用于另一个领域中。特别是计算机科学和技 术的迅速发展，从根本上改变了人们的生产与生活，同时，随着人类生存空间的扩 大以及认识和改造世界范围的拓宽，人们对科学技术提出了新的更高的要求。例 如，人们利用股票的历史数据，建立最优化模型，并结合改进已有的优化技术， 设计适合于股票投资决策的优化算法，反映和分析股票市场的股票价格变化和走 势，提供重要的技术参数。这些应用必然会给投资者提供更好的投资方案，避免 盲目性投资所带来的经济亏损，同时也为经济学理论解释经济现象提供了新方法 和新思路。近几年，以条件风险价值为主体的基于市场价值测量的风险管理方法， 得到了广泛运用，并迅速发展。 在投资组合优化决策模型中，参数通常利用统计方法进行估计，由于受实际 因素的影响，在实际中很难得到精确的估计值，但众多学者都指出参数的微小变 化会对问题的最优解产生重大的影响。针对不确定的优化问题，鲁棒优化作为一 种有效的处理手段近年来引起了极大的关注。鲁棒优化的本质在于将参数不确定 性处理成直接描述的形式的前提下，把原问题转化为易于求解的确定型规划问 题，使其解在输入任何可能的参数时，结果都接近优化。越来越多的研究人员运 用鲁棒优化方法研究金融决策中的不确定性问题。这对于不确定性环境下金融体 系的高效安全运行、对于加强金融风险管理、对于满足金融机构对资产配置理论 应用的实践要求具有重要的理论意义和实际价值。 因此，进一步研究证券投资组合的优化问题，在经济学中的应用具有重要的 学术和实际意义，同时，也对我国的经济发展具有重要的现实意义。 1 2 国内外研究的现状 资产组合就是指在资产存量一定的情况下，通过对资产进行分类和风险评判， 运用相应的金融工具对其资产存量结构的质量、数量、风险、收益进行调整，而 又不改变成本，达到收益最大的过程。 在证券投资中，投资者根据一定的准则，在股票市场上选择适合自己要求的 股票，其实质就是进行证券投资组合。通过资产组合，可以降低非系统风险。投 资基金就是在此思想上产生的。在证券资产组合中，一个关键性的问题就是如何 构建资产组合。 关于投资组合理论的研究最早是由美国著名经济学家m a r k o w i t z 1 】在1 9 5 2 年系统阐述的，他提出了均值一方差方法，用收益率的期望度量投资收益，用收 2 硕七学位论文 第一章绪论 益率的方差度量投资收益的风险。这一理论的问世使得风险首次被量化，其神秘 色彩逐渐淡化，金融学从此开始摆脱纯粹描述性的研究和单凭经验操作的状态， 数量化方法进人了金融研究领域。1 9 6 3 年，威廉夏掣2 】提出了简化计算的单指 数模型，使现代投资理论能够应用于大量证券存在时的投资实践中。以后的经济 学家们一直利用数量化方法不断完善投资组合管理的理论和实际投资的有效管 理方法，使得投资组合理论在基本概念的创新、理论体系的完善、重要理论的实 证和理论应用的拓展上都取得了重大的进展。b r e e n 和j a c k s o n 3 1 ，f a a l a n d 4 1 ， b o w d e n 5 1 ，p a n g 6 1 ，p e r o l d 7 】，l e w i s 8 1 ，k o n n o 9 1 及b a l l e s t e r o 1 0 1 等探讨了简化 大规模投资组合模型及算法。 国内有关投资组合理论的研究和应用起步较晚，与西方国家己经形成的成熟 理论体系相比，存在较大的差距是不言而喻的。尽管如此，国内己经在这一领域 开展了许多有意义的尝试，尤其在投资组合的选择模型和有效边界的确定等方 面，取得了一定的研究成果。在投资组合的选择模型方面，马永开和唐小我【l u 研究了多因素模型；刘善存和汪寿阳【1 2 】等提出了对策模型；韩其恒，唐万生 提出了在允许卖空时的一类机会约束下的投资组合模型；2 0 0 5 年，陈志平，袁 晓玲【1 4 】提出了带有多种投资约束的广义m v 模型；刘善存，邱莞华，汪寿阳【1 5 】 给出了含交易费用的证券组合投资策略。2 0 0 6 年，万树平【l6 】建立了投资者最大 化终期财富的模型，讨论最优策略的必要条件，得到简化模型的解析解，并进行 仿真分析；2 0 0 7 年，朱微亮【1 7 】研究了突发事件和参数不确定性对动态资产组合 选择的影响，得到风险规避的投资者在对不确定性进行规避时降低了其资产组合 中风险资产的比例；2 0 0 8 年，高型1 8 】考虑了未来证券市场价格的不确定，研究 了基于线性矩阵不等式的投资者鲁棒优化模型。 近年来，v a r 由于概念简单，易于理解并为投资组合提供了一个统一的风险 度量框架而成为当今国际上流行的风险度量方法之一。因此，研究者们对v a r 风 险度量下的资产组合问题进行了大量的研究。a r t z n e r 1 9 1 ，p f l u g 2 0 1 ，s h a p i r o 2 1 1 等研究了以v a r 作为风险度量指标的投资组合问题：将v a r 应用于我国金融监管 方面，刘宇飞瞄】概括地分析了v a r 模型在我国金融监管中的运用及其意义，并具 体指出如何运用国际上通行的“事后检验 方法对v a r 模型进行检验。黄智猛、 曹均华、吴冲锋【2 3 】建立了在v a r 监管方法的背景下金融机构的一种决策模型，并 通过分析说明金融机构在机会成本最小化的目标决策过程中，出于尽可能获得资 本的创利机会的动机，将向监管部门报告低估的v a r 数额，以减少保证金，从而 减少整个风险监管期内的机会投资总成本。这从监管的角度看，这是一种过度的 投机行为。同时也说明了巴塞尔委员会目前所提出的关于市场风险的监管条例还 不够严格，虽然提供了一种防止银行过度冒险约束机制，但这种约束机制从量上 硕士学位论文 第一章绪论 还不足以有效地防止其采用过度投机的投资策略。戴国强、徐龙炳和陆蓉【2 4 】探讨 了v a r 方法对我国金融风险管理的意义，并提出相应的政策建议。 国外对c v a r 的研究从2 0 世纪末开始，最早由r o c k a f e l l a r 2 5 】提出，她们描 述了一种投资组合优化的新方法，称为条件风险价值。k i b z u n 与k u z n e t s o v 2 6 l 讨论了c v a r 与v a r 之间的联系并给出它们之间的关系式；a n d e r s o n 2 7 】成功地将 c v a r 方法引入了信用风险度量；p f l u g 2 8 】证明了c v a r 满足一致性风险度量的性 质，并给出相应的证券组合优化模型；我国学者对c v a r 的研究始于2 0 0 2 年，陈 金龙，张维【2 9 】介绍了c v a r 模型产生的背景、概念以及关于c v a r 的资产组合优化 模型，并将其与a n t o n i o t 3 0 】提出的资产组合优化统一模型联系起来，分析并指 出他们之间的密切关系；黄向阳、陈学华【3 i 】用我国股票的历史数据对均竹v a r 模型做了实证研究；姚新颉【3 2 】分析了v a r 及c v a r 的概念和重要性质，给出相应 的投资组合优化模型；刘小茂、王建华【3 3 】讨论了正态分布下风险资产组合的均值 及其经济意义。 与此同时，鲁棒优化理论与算法的研究已经取得了许多重要成果， l o b o 3 5 1 ，g o l d f a r b 3 6 1 及k o e n i g l 3 7 1 在均值方差模型框架下，提出鲁棒投资组合优化 方法；b e n t a l 和n e m i r o v k i ”】等基于椭球不确定集提出的鲁棒模型，在较好的 拟合了参数的不确定性的基础上，同时兼顾了解的最优性和可行性不过将鲁棒 思想应用到金融问题的研究相对较少，a z a f f a r o n i 4 0 考虑了将收益的期望为 盒状不确定集时的鲁棒对应形式，得到的解较为保守近年来提出了椭球不确定 集下的鲁棒模型在较好的拟合了参数不确定的基础上，r e n a t am a n s i n i h l l 将投资 组合问题转化为鲁棒优化问题成为人们研究的课题不过将鲁棒思想应用到金融 问题的研究相对较少。 投资消费问题起源于m e r t o n 4 2 】的研究，投资者的资产在消费和投资之间进 行分配，期望在某个时间区间上的消费效用或终止财富效用最大化。 z a r i p h o p o u l o u 4 3 】研究了在无限时间区间存在随机收入的最优投资消费问 题，k o o ，i d u n k 删等也在这一方面做了进一步的研究工作。 投资组合问题转化为优化问题，并且考虑若干现实条件，如投资者的消费等， 采用传统的优化算法求解这些问题存在很大困难，而鲁棒优化理论能很好的解决 该问题，因此我们要进一步研究其算法，设计好的模型来解决资产组合优化问题。 1 3 本文的主要工作 本文对资产组合的选择进行了研究，虽然进行资产组合的目的都是为了使投 资者最终获得收益，但是资产组合却有两种模式，种是给资产组合的收益限定 一个范围，在这个范围内最小化资产组合的风险；另一种是给资产组合的风险限 4 硕+ 学位论文 第一章绪论 定一个上限，然后在这个范围内确定最大收益的资产组合。本文主要研究了基于 c v a r 资产组合，并用遗传算法对资产组合进行了实证分析，求出资产组合的最 优解和相应的风险值。然后研究了在限定收益的前提下，利用c v a r 来最小化该 组产组合的风险，鉴于以往对资产组合的研究大都没有来考虑到消费这一基本行 为，本文利用鲁棒原理对c v a r 资产组合进行了优化，并在模型中加入消费过程， 希望得到较为满意的解，最后给出了在c v a r 风险约束的前提下，最大化效用收 益的资产组合，并在模型中加入消费过程与交易费用，从而得到含有消费效用和 条件风险约束的离散时间的消费一投资模型，并给出模型的求解方法。 本文主要分为五章，第一章为绪论，简单介绍了课题的研究背景和研究意义、 国内外对资产组合的研究现状及本文的主要工作；第二章主要介绍了均值一方差 风险度量及v a r 和c v a r 风险度量，详述了v a r 和c v a r 风险度量的定义、计算方 法以及优缺点；第三章研究了基于c v a r 的资产组合模型的遗传算法，选取六支 a 股对模型进行了实证分析，得出资产组合的最优近似解和相应的风险值；第四 章用鲁棒优化方法对椭球不确定集下的资产组合进行了优化，并在模型中加入消 费影响。第五章对还有c v a r 约束的多期投资组合模型进行探讨，考虑到生活实 际，在模型中加入消费过程以及交易费用，对模型进行改进，最后给出模型的求 解方法；第六章为结论与展望，总结了本文的主要研究成果，并对资产组合的未 来的研究方向进行了展望。 5 硕士学位论文 第二章资产组合的风险度量概述 第二章资产组合的风险度量概述 所谓资产组合，是指在一定的假设条件下，通过选择若干证券作为投资对象， 以达到预期收益的前提下把风险降到最小或在既定风险的前提下把收益最大化 作为目标的有效投资办法。这一章主要介绍资产组合的风险度量方法。首先介绍 了均值一方差度量，然后介绍了v a r 及c v a r 风险度量的定义、性质、计算、优 缺点及应用。 2 1 均值一方差风险度量 m a r k o w i t z 1 1 ( 1 0 5 2 ) 将过去收益率的方差作为未来投资的风险，将过去的平 均收益率作为未来投资的预期收益率。方差风险测度计算简便，便于人们对风险 的理解，然而它并非是令人满意的风险测度方法。首先，它具有对称性，把收益 与损失按照同样的方式处理；其次，方差不适合描述小概率事件的风险；再次， 当收益不服从正态分布或效用函数不选择二次效用函数时，均值一方差决策与期 望效用方法不吻合。完全依赖于该方法无法找到合理有效的资产组合方案。 均值一模型表示为： m i n 口r x 2 = x r 历 s 1 x t i = 1 x tp = r x r 0 式中，i = ( 1 ，1 ，1 ) r ，为期望收益向量，v 为收益向量的协方差矩阵，为 给定的期望收益。 2 2t a r 金融风险度量方法 定义2 2 1 【2 4 1 风险价值( v a l u e - a t r i s k ) ，简称为v a r ，是指在市场正常波动下， 某一金融资产或证券组合的最大可能损失，更精确的讲就是：在一定的概率水平 下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失，用数学 表达式可表示为： p r o b ( p v a r # ) = 1 - p 其中，a p 为证券组合在持有期a t 内的损失；v a r 为在置信度上处于风险中的 价值。 例如，假定某种股票某日置信水平为9 5 的日v a r 值为5 0 0 万元，根据v a r 6 硕七学位论文 第二章投资组合的风险度量概述 的含义可知，该股票以9 5 的可能性保证，该日由于市场价格变动而带来的损失 不会超过5 0 0 万元。 近十年来，v a r 已经得到了广泛的应用，范围涉及到证券公司、投资银行、 商业银行、养老基金及其它非金融企业等。 ( 1 ) v a r 的基本思想 v a r 的计算核心思想在于估计证券组合未来损益的统计分布或概率密度函 数。在大多数情况下直接估计证券组合的未来损益分布几乎是不可能的，因为金 融机构的证券组合往往包含种类繁多的金融工具，且无法保留估计过程中所需要 的所有相关金融工具的历史数据，因此必须通过市场因子的变化来估计证券组合 的未来损益分布或概率密度函数，从而计算v a r 计算v a r 可以分为三个步骤， 首先，使用市场因子的当前价格水平，利用定价公式对组合进行估值；其次，预 测市场因子未来的一系列可能的价格水平，并对证券组合进行重新估值；最后， 计算组合的价值变化证券组合损益，由此得到证券组合的损益分布。根据这一 分布就可求出给定置信水平下的证券组合的v a r 值。这里计算的关键有二，其一 是市场因子未来变化的推测，其二是证券组合价值与市场因子间的关系。 ( 2 ) y a r 的计算 现设有一个证券组合， 只为组合的初始价值，尺是持有期内的投资回报率， 则在持有期末，组合的价值p = p o ( 1 + r ) ，假设r 的期望值和波动率分别是和 莎，则在某一置信水平下，证券组合的最低价值p = 咒( 1 + 尺) ，由v a r 定义 可以得到v a r 的计算公式。 相对v a r z a r = e ( p ) 一尸- = 一p o ( r 一) 绝对v a r 眦口= e 一，= - e o r 因此计算v a r 就相当于计算最小回报率f ，考虑证券组合未来行为的随机 过程，假定其未来回报的概率密度函数为厂( 功，则对某一置信水平下的组合 最低值p 就有 = l f ( x ) d x v a r 计算方法主要有历史模拟法、蒙特卡洛模拟法、分析方法。 ( a ) 历史模拟法 历史模拟法是指在估值模型中，用给定历史时期上所观察到的市场因子的变 化，来表示市场因子未来的变化的估值方法。历史模拟法采用的是全值估计方法， 即根据市场因子的未来价格变化进行重新估值，计算出组合或头寸的价值变化 ( 损益) ；最后在历史模拟法中，将组合或头寸的损益由d , n 大的顺序排列，得到组 7 硕士学位论文 第二章投资组合的风险度量概述 合或头寸的损益的分布图，通过给定置信度下的分位数求出v a r 。历史模拟法的 缺陷就是它假设市场因子的未来变化与历史变化完全相同，这与实际金融市场的 情况不一致，并且需要大量的数据作为支持。 ( b ) 蒙特卡洛模拟法 蒙特卡洛模拟法，是根据历史数据来模拟市场因子的未来变化情景的估值方 法。蒙特卡洛模拟法与历史模拟法十分类似，它们的区别在于前者利用统计方法 估计历史上市场因子运动的参数，然后模拟市场因子未来的变化情景，而后者则 直接根据历史数据来模拟市场因子的未来变化情景。蒙特卡洛模拟法的具体步骤 如下，首先识别基础的市场因子，并用市场因子表示出证券组合中各个金融工具 的盯市价值；然后假设市场因子的变化服从的分布( 如多元正态分布) ，估计分布 的参数( 如协方差矩阵和相关系数) ；然后在利用蒙特卡洛方法模拟市场因子未来 变化的情景，根据定价公式计算证券组合未来的盯市价值及未来的潜在损益：最 后根据潜在损益的分布，在给定置信度下计算v a r 值。采用蒙特卡洛模拟法计算 g a r 时，存在两个重要缺陷，其一是计算量大，一般来说，复杂证券组合往往包 括不同币种的各种债券、股票、远期和期权等多种证券，其基础市场因子包括多 种币种不同、期限不同的利率、汇率、股指等，构成一个庞大的因子集合，这就 增加了计算量。其二是蒙特卡洛模拟的维数高、静态法产生随机序列，均值和协 方差矩阵不变，而经济问题中的变量都具有时变性，用静态的方法处理时变变量 时必然会产生一定的偏差，而且传统蒙特卡洛方法难于从高维的概率分布函数中 抽样。 ( c ) 分析方法 分析方法是在估值模型中，用证券组合的价值函数与市场因子间的近似关 系、市场因子的统计分布简化v a r 的计算的估值方法。根据证券组合价值函数形 式的不同，分析方法可以分为两大类，d e l t a 类模型和g a m m a 类模型。在d e l t a 类模型中投资组合的价值函数取一阶近似：而在g a m m a 类模型中投资组合的价值 函数均取二阶近似。前者主要是针对线性问题提出来的模型，而后者主要是针对 非线性问题提出来的模型如对期权的v a r 计算就不能采用阶近似，而必须是二 阶近似。当市场因子的变化与证券价值的变化的关系是近似线性的，而且市场因 子的概率密度服从正态分布时，分析方法中的d e l t a 法是最佳的选择，因为它简 化了计算。但是当这些条件不符合时，这种方法的精确性就值得怀疑。 ( 3 ) v a r 的优缺点 p a r 是指在未来一定持有期内，在给定的概率置信水平下，任何一种金融工 具或投资组合所面临的潜在的最大损失。它有两个显着的优点，一是它按市场风 险随机变化的特点，通过随机变量的概率分布来刻画风险度量，所以比较确切； 8 硕士学位论文第二章投资组合的风险度量概述 二是它把全部投资组合风险概括为一个简单的数字，并以货币计量单位来表示风 险管理的核心一潜在亏损。然而，v a r 方法又存在严重的缺陷。 其一，v a r 不是一致性风险度量。因为它不满足次可加性，这就意味着用 v a r 来度量风险，证券组合的风险不一定小于各证券风险之组合，这与风险分散 化的市场现象想违背，从经济意义上讲是不合理的。 其二，v a r 不一定满足凸性，故在基于v a r 对证券组合进行优化时，可能存 在多个局部极值，对整体优化，在数学上难以实现，这是将v a r 模型用于投资组 合研究时的主要障碍。 其三，v a r 只依赖于单一的损失函数的分位数，虽能以较大的概率保证损失 不超过之，但不能表明损失一旦超过v a r 这种极端情况发生时的潜在损失的大小 ( 尤其是在肥尾时) 。 2 0 0 0 年提出的条件风险价值( c v a r ) 的风险计量技术却能弥补这些缺点，同 时也保留了v a r 的两大优点，因此被认为是一种比v a r 风险计量技术更为合理有 效的现代风险管理方法。其一，c v a r 是指损失超过v a r 的条件均值，它代表了 超额损失的平均水平，反映了损失超过v a r 阀值时可能遭受的平均潜在损失的大 小，较之v a r 更能体现潜在的风险价值。其二，c v a r 满足单调性，平移不变性， 正齐性和次可加性，因而是一致性风险度量。其三，c v a r 的计算可以通过构造 一个功能函数而化为一个凸函数的优化问题，在数学上容易处理，如用样本均值 逼近总体均值，凸规划还可化为线性规划问题，计算更加简便易行。其四，计算 c v a r 的同时，相应的v a r 值也可同时获得，因此可对风险实行“双限 监管， 这比用单纯的v a r 更加保险。 2 3c v a r 金融风险度量方法 2 3 ic v a r 的产生及概念 定义2 3 1 【2 9 】条件风险价值即：c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ，简称c v a r ，是指 在一定的置信水平上，损失超过v a r 的潜在损失，也就是指损失超过v a r 的条件 均值，反映了超额损失的平均水平。 c v a r 产生的基础是v a r ，不同的是c v a r 要比v a r 更加全面与完善，所以在 此通过和v a r 比较的方式来介绍c v a r 。c v a r 是指在定的置信水平上，损失超 过v a r 的潜在损失，反映了超额损失的平均水平。它产生的基础是v a r ，但又优 于v a r 。c v a r 保持了v a r 的较好性质，如度量收益的下方风险并用一个数字表示， 能用于非正态分布等。从风险管理方面来讲，c v a r 相对于v a r 具有许多优点。 首先，c v a r 是具有子可加性，而v a r 却不是。子可加性意味着多样化能减 9 硕士学位论文 第二章投资组合的风险度量概述 少c v a r ，但能增加v a r 其次，c v a r 是投资组合头寸的凸函数，使得基于c v a r 的优化能用凸规划完成，这大大简化了风险的控制与组合的优化计算。此外，得 到c v a r 最优值的同时也能得到相应的v a r 值，对线性或分段线性的损失函数， 优化过程能简化为线性规划问题，从而简化了计算。最后，v a r 没有提供任何有 关超过v a r 的损失的信息。c v a r 量化了超过v a r 的损失，即解释了v a r 水平之 外的损失，因此是一种比v a r 更足够的风险度量。 对于g a r 方法，现有的文献已经给出了较好的描述和理论刻画。v a r 在发达 国家的资本市场中也有了相当广泛的应用，该体系简洁明了，说明能力和可比性 好，且与风险的来源和性质也有较强的关联性，但是v a r 仍存在严重的缺陷。自 从a r t z n e r 1 9 】等人尖锐指出风头正劲的v a r 不符合一致性的数学特性，理论界就 开始了寻求一种更为合理的风险测度手段试图弥补v a t 的诸多不足。 定义2 3 2 【2 8 】一种风险测量的方法如果具备以下四种性质，则称该风险度量方 法为一致性风险度量。 1 ) 单调性。若有两个组合分别为x 和y ，如果x y ，那么用某种风险测量所 测得的风险一定满足r ( x ) 尺( 】，) 。 2 ) 平移不变性。用数学表达式可表达为：尺( x + 口吃) = 尺( x ) 一口，这里涉及到无 风险资产的问题，很明显，组合中加入了无风险资产必然会降低资产组合的总风 险，某种风险测量方法对于这个原则所体现的就是上述的表达式。 3 ) 正齐性。用数学表达式可表达为：r ( a x ) = x r ( x ) 所表明的含义应该是很 明显的，即对于一个x 组合，某种风险测量方法测得其风险为尺，若某投资者 在同一时间内拥有几个这样的组合，那么用同样的测量方法测得他所面对的风险 就是尺的几倍。 4 ) 次可加性。用数学表达式可表达为，r ( j + y ) r ( x ) + 尺( 】，) ，这与组合分散 原理是一致的，若用某种风险测量方法可测得各单个资产或证券的风险分别为 r ( x ) 与尺( y ) ，现在把x 与y 组合起来，那么组合的风险一定要小于先前各单个 风险的和。 在上面的表达式中，其中尺( ) 表示风险测量指标，x ，】，分别表示证券组 合，五为正常数，口为实数，表示无风险利率上述的“某种风险测量方法 就 称为一致性风险度量。 下面对以上定义给予经济意义上的说明。满足平移不变性意味着将确定收益 率为口的投资工具加入到初始头寸中，可将风险减少。满足次可加性说明包含多 种投资工具的组合的风险应不大于各自投资的风险和。正齐性意味着，如果头寸 的规模直接影响风险的大小，那么，就应在计算头寸的未来净价值时考虑到流动 性差所带来的后果。 1 0 硕士学位论文第二章投资组合的风险度量概述 为了更好地理解c v a r 的概念，可以举一个例子来说明，假定某一投资组合 在2 0 0 3 年7 月2 9 日置信度为9 5 的日v a r 值为1 0 0 万元，日c v a r 值为1 3 0 万 元，根据v a r 和c v a r 的定义可知，该组合有9 5 的把握可以保证，这一天由于 市场价格的变动而带来的损失不会超过1 0 0 万元，同时也有9 5 的把握可以保证 该组合由于多种因素而带来的极端平均损失不会超过1 3 0 万元，或者说损失超过 1 0 0 万元的条件损失为1 3 0 万元。 v a r 回答了在一定期间内一定概率下的最大损失，但没有给出关于超过该概 率下的损失，c v a r 恰好能很好地解决了这个问题不仅如此，c v a r 具有良好的数 学特性，这首先反映在c v a r 具有次可加性上，这意味着多样化投资可以有效的 降低风险，但对v a r 却未必如此。即投资组合多样化能够降低c v a r 值，却不能 降低v a r 值。其次，c v a r 是投资组合头寸的凸函数，可以用凸规划完成计算，这 大大简化了风险的控制与组合的优化计算。此外，在得到c v a r 最优值的同时也 能得到相应的v a r 值，对线性或分段线性的损失函数，优化过程能简化为线性规 划问题，从而简化了计算。最后，v a r 没有提供任何有关超过v a r 的损失的信息。 c v a r 量化了超过v a r 的损失，即解释了v a r 水平之外的损失，因此是一种比v a r 更合理全面的风险度量。v a r 与c v a r 作为风险度量的基本区别是，v a r 是尾部损 失的乐观下边界，而c v a r 给出了尾部的期望损失值。可以说，c v a r 满足了风险 管理日趋严格化的趋势，是一种比v a r 更加保守的风险测度手段。 2 3 2c v a r 的计算及其性质分析 ( 1 ) c v a r 的计算 由定义可知，c v a r 是指损失超过v a r 的条件均值，这其中必然涉及到期望 的问题，而在期望中又必然会涉及到离散和连续这两个问题，因此c v a r 的计算 在此可以分为两类，一是连续型c v a r 的计算，另一是离散型c v a r 的计算。 ( a ) 连续型的c v a r 的计算 在计算之前先定义以下一些参数变量： x = ( 五，而，艺) r ，表示刀种资产的投资权重向量； y = ( y lj ，：9 m9 y n ) 7 ，表示引起组合价值发生损失的市场因子，例如资产价格； f ( x ，y ) 为投资组合的预期损失函数，f ( x ，y ) = 一x r y ： p ( j ，) 表示向量y 的密度函数；表示置信水平。 对于每个x 而言，损失f ( x ，y ) 不超过口r 1 的概率为： 吵( 五口) = ，p ( y ) d y f ( x ，j ) g 令( x ) 和办( 曲分别表示玩和c 娜声，则可得到下面的公式，即： 硕士学位论文 第二章投资组合的风险度量概述 肠= 口芦( x ) = m i n 9 r 1 ：缈0 ，口) ) c w r p = c p ( x ) = e f ( x ，y ) i ( 五y ) 口口( x ) 】 = e f ( x ，y ) 】lp 厂( 石，j ，) 口8 ( x ) ) = ( 1 - p ) q i f ( x ，y ) p ( y ) d y ，( x y ) ( x ) 对于连续性的c v a r 计算，若已知p ( j ，) 和f ( x ，y ) ，就能求出c v a r 的表达式。 ( b ) 离散型的c v a r 的计算 现假设共有聊种情景，每种情景出现的概率就应该是三了。由c v a r 的定义 式及条件概率的定义可推导出以下的公式，即： c v a r o = 佩+ e i f ( x ，y ) 一v a if ( x ，y ) 玩】 2 脚+ m a x y ) 一v a r p ，。1 丽瓦p r o 万b ( y ) 两 = 玩+ l m a ) 【( x ，y ) 一砌，o 】 m ( 1 - p ) _ l j 、j 。p j l ( c ) 一般情况下c v a r 的计算 由c v a r 的定义，很难直接计算出c v a r 。因为不管是离散型的c v a r ，还是连。 续型的c v a r ，都要涉及到v a r 这个参数，而这个参数又是内生的，所以这个计 算带来了很大的困难。但在这里可以通过一个巧妙的方法来解决这个问题，那就 是通过构造一个辅助函数来解决c v a r 的计算。 构造辅助函数 易( 工，口) = 口+ ( 1 一) 。1im a x f ( x ，y ) - a ，o p ( y ) d y j ，玉 可以证明乓( 工，口) 是关于口和工的凸函数，且是连续可微的，它作为优化目 标可以得到局部最优解，得到的这个局部最优解就是全局最优解。可以得到以下 公式，即： c v a r p - - z _ 矽( 功= m j n 尼( x , t z ) 证明：对于任意固定x ，令g ) = fg 以，y ) p ( y ) d y ， 9 ：铲 其中g 以，y ) = m a x f ( x ，y ) 一口，0 】，那么a ( a ) 是口的凸函数，且是连续、可 微的，并且g 位) 关于口的导数如下： g 。( 口) = y ，口) 一1 由此可见，( x ，a ) l o a = 1 4 - ( i - , 3 ) 。1 眇( 工，口) 一】， r a 。i 。n 易“口) 存在的必要条件是喝( 工，a ) l o a = o ，即得： 1 2 硕士学位论文第二章投资组合的风险度量概述 ( 1 - p ) 川【妙( 五口) - p 】- 0 解得沙“口) = ，因此此时口= ( x ) ，m a x f ( x , y ) - a p p ( y ) d y =fm ，y ) p ( y ) d y - a p ( x )，p ( y ) d y ，( ，) f ( x ，y ) 和( r )f ( x j ，) ) - ( 工 所以， m i n 兄( x ，口) = ( x ，( z ) ) = ( x ) + ( 1 一j o ) j m a x f ( x ，y ) 一( x ) ，o l p ( y ) & = a p ( x ) + ( 1 一) 。1 ( 1 一) 办( x ) ( 1 一) 】 = 九( x ) = c v a r , 证毕。 若令如( 工) = a 瑙m i n 易( x , 0 0 ，则以( z ) 是一个非空、闭的有界集，它的下界 就是置信水平的v a i l 值( x ) ，特别地，以下情况总成立： 口声( 功a r gm i n 易( 五口) a c r l 办( 曲= 易( x ，( z ) ) 上述结论具有很好的理论价值，因为当y 为连续随机变量时，兄( 五口) 是关 于x 、t 2 的凸的连续可微函数，办( j ) 就可以很简单通过求解易( x ，口) 关于口的一 阶导数获得，这样在计算c v a r 的过程中就不必求解v a r 了，而在求解c v a r 的同 时随便得到v a r 的值了，此时以( 工) 仅含一个点，该点就是v a r 值。 关于求解c v a r 的的方法，可以借助计算机来完成，因为显然这是一个线性 规划的问题。国外研究在再实证分析时大多采用c p l e x 软件来完成，国内到目前 为止，c p l e x 软件还未得到广泛的应用，但可以通过l i n d o 软件来完成。 ( 2 ) c v a r 的性质分析 c v a r 的性质是针对一致性风险度量来分析的，