（计算数学专业论文）kdv方程保结构计算方法的研究.pdf

摘要 这篇论文致力于研究k d v 方程的数值方法。与一般的数值方法相比 较，这些数值方法更加注重k d v 方程的内在结构。 设计数值格式的一个基本想法是数值格式能保持原问题的基本性质。 k d v 方程能用p o i s s o n 括弧的语言来描述，因此我们可以利用它的括弧结 构设计数值逼近强调k d v 方程的括弧结构，我们考虑了k d v 方程的一个 f o u r i e r 谱逼近和一个c o l l o c a t i o n 逼近。特别地，我们分析了f o u r i e r 谱逼近 和c o l l o c a t i o n 逼近的关系，从而以这种方式证明了c o l l o c a t i o n 方法关于几个 守恒律的保守性。 近来，多辛格式已经引起了人们的关注。在这篇论文中，我们讨论由 t h o m a s j b r i d g e s 所定义的多辛格式( 另一种多辛格式是由j e m a r s d e n 定 义的) 。为了给b r i d g e s 的多辛守恒律一个合理的几何解释，讨论多辛几何对 我们是有帮助的f 联系向量场的特征( 不同于一般的多辛几何方法) ，我们考 虑了变分偏微分方程的多辛几何方法。把向量场写成特征形式有助于我们 进行计算。特别地，当我们讨论由多辛公式给出的守恒律的特征时，向量场 特征的重要性表现得非常朋显。应用向量场的特征，我们首先给出这些守恒 律一个等价的描述。以这种方式，当考虑变分对称对时，我们给出了守恒律 的特征冬 k d v 方程可以写成多辛方程组的形式。多辛方程组有重要的多辛守恒 律。在数值研究中，我们也希望数值逼近保持多辛守恒律。类似于s r e i c h 的方法，我们证明了p r e i s s m a n n 格式是一个多辛格式，即能保持多辛守恒律 的数值格式。虽然p r e i s s m a n n 格式是多辛的，但是p r e i s s m a n n 格式计算量 很大，因此我们把它简化成一个多辛十二点格式。使用十二点格式，我们得 到了一些关于孤立波的数值结果。数值结果显示，十二点格式能给出孤立波 运动的精确波形。而且，十二点格式的稳定性较好，因此适合于长时间数值 计算。k a b s t r a a t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d y i n gt h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h ek d v e q u a t i o n c o m p a r e d w i t ht h eu s u a ln u m e r i c a l m e t h o d s ，t h e s em e t h o d sp a ym o r e a t t e n t i o nt ot h ei n t r i n s i cs t r u c t u r e so ft h ek d v e q u a t i o n ab a s i ci d e ab e h i n dt h ed e s i g no fn u m e r i c a ls c h e m e si st h a t t h e y c a np r e s e r v e t h e p r o p e r t i e so f t h eo r i g i n a lp r o b l e m sa sm u c ha sp o s s i b l e 。k d v e q u a t i o nc a nb e d e s c r i b e di nt h el a n g u a g eo fp o i s s o nb r a c k e t ，s ow ec a ne x p l o i ti t sb r a c k e ts t r u c t u r et od e s i g nn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n s ，i t he m p h a s i so nk d v e q u a t i o n s p o i s s o nb r a c k e ts t r u c t u r e ，w ec o n s i d e raf o u r i e rs p e c t r a la p p r o x i m a t i o na n da c o l l o c a t i o na p p r o x i m a t i o n i np a r t i c u l a r ，w ea n a l y z et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e f o u r i e rs p e c t r a lm e t h o da n dt h ec o l l o c a t i o nm e t h o da n di nt h i sm a n n e rw en a t u r a l l ys h o w t h a ts e v e r a lc o n s e r v a t i o nl a w so ft h ek d v e q u a t i o nc a nb ep r e s e r v e d f o rt h ec o l l o c a t i o nm e 凌o d 。 r e c e n t l y , s p e c i f i ca t t e n t i o nh a sb e e np a i dt om u l t i s y m p l e c t i cs c h e m e s i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s st h em u l t i s y m p l e c t i cs c h e m e sw h i c hw e r ed e f i n e db y t h o m a s j b r i d g e s ( a n o t h e rk i n do fm u l t i s y m p l e c t i cs c h e m e sw e r ed e f i n e db y o ，e m a r s d e n ) ，i no r d e rt og i v e ar e a s o n a b l eg e o m e t r i c a le x p l a n a t i o no ft h e m u l t i s y m p l e c t i cc o n s e r v a t i o nl a w sg i v e nb yb r i d g e s ，i t sh e l p f u lt od i s c u s st h e m u l t i s y m p l e c t i cg e o m e t r y c o n n e c t i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ev e c t o rf i e l d s ( i t i sd i f f e r e n tf r o mt h eu s u a lm u l t i s y m p l e c t i cg e o m e t r i c a lm e t h o d s ) ，w ec o n s i d e r t h em u l t i s y m p l e c t i cg e o m e t r i c a lm e t h o d sf o rt h ev a r i a t i o n 甜p d e si ti sac o r n - p u t a t i o n a lu s e f u lw a yt ow r i t et h ev e c t o rf i e l d sa st h ec h a r a c t e r i s t i cf o r m s i n p a r t i c u l a r 。t h ei m p o r t a n c eo ft h ec h a r a c t e 畦s t i c so ft h ev e c t o r 基鞋d sw m b e c o m e m a n i f e s to n c ew ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ec o n s e r v a t i o nl a w sg i v e nb yt h e m u l t i s y m p l e c t i cf o r mf o r m u l a a p p l y i n gt h ec h a r a c t e r i s t i cf o r m so ft h ev e c t o r f i e l d s ，w ef i r s tg i v ea ne q u i v a l e n td e s c r i p t i o no ft h e s ec o n s e r v a t i o nl a w s + l nt h i s s 固；t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e s ec o n s e r v a t i o nl a w s a r ep r e s e n t e dw h e nv a r i a t i o n a l s y m m e t r yp a i r sa r et a k e ni n t oa c c o u n t k d v e q u a t i o nc a nb ew r i t t e na sm u l t i s y m p l e c t i ce q u a t i o n s t h em u l t i s y m p l e c t i ce q u a t i o n sh a v ei m p o r t a n tm u l t i s y m p l e c t i c c o n s e r v a t i o nl a w 。i nt h e n u m e r i c a ls t m t y ，w ea l s oh o p et h a tn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n sc a np r e s e r x et h e f n u l t i s y i n p l e c i ec o n s e r v a t i o nl a w s i m i l a rt os r e i c h sm e t h o d ，w es h o wt h a t p r e i s s m a n ns c h e m ei sam u l t i s y m p l e c t i cs c h e m e ，i e ，n u m e r i c a ls c h e m ew h i c hc a d - p r e s e r v et h em u l t i s y m p l e c t i cc o n s e r v a t i o ni a w ，t h o u g h t h ep r e i s s m a n ns c h e m e i s m u l t i s y m p l e c t i c ，i ti n v o l v e sm o r ec o m p u t a t i o n a le f f o r t ，s ow er e d u c ei t t oa m u l t i s y m p l e c t i ct w e l v e - p o i n t ss c h e m e 。u s i n gt h et w e l v e p o i n t ss c h e m e 、w eo b t a i ns o m en u m e r i c a lr e s u l t so ns o l i t a r yw a v e s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t t h et w e l v e p o i n t ss c h e m ec a ng i v et h ea c c u r a t ew a v e f o r m so ft h em o t i o n so ft h e s o l i t o n s f u r t h e r m o r e ，t w e l v e p o i n t ss c h e m e ss t a b i l i t yi sb e t t e r ，s oi t s s u i t a b l e f o rt h ec o m p u t a t i o n so fl o n gt i m ei n t e r v a l s + 致谢 三年来，我的导师秦孟兆研究员耐心地指引我进入h a m i l t o n 系统保结 构计算方法这一富有活力的研究方向，并且不辞辛苦地指导我完成了这篇 博士论文，在此，我对秦先生表示衷心的感谢。 感谢参加h a m i l t o n 系统保结构计算方法讨论班的所有老师和同学，大 家在一起富有建设性的讨论使我受益匪浅。 感谢科学与工程计算国家重点实验室的白英老师在上机中给予我的帮 助，感谢李桂珍老师在日常生活中对我的关怀和照顾。特别地，感谢我的室 友王雨顺博士在计算机方面对我的帮助。 感谢科学与工程计算国家重点实验室所提供的良好上机条件。 最后，我还要深深地感谢我的父母和我的妻子，感谢父母多年来对我的 呵护和关心，感谢妻子对我一贯的鼓励、支持和理解。 引言 在物理学科和工程科举中，精确地研究物理现象和解决工程问题魑通 过建立数学模型来实现的。在这些数学模型泌中，有丈量的模烈可以纳入 h a m i l t o n 体系。移j 如，几何光学、鬣子系统、天体力学中豹数学模型，鬣子 力学中的s c h r s d i n g e r 方程，描述孤立子的k d v 方程和s i n e g o r d o n 方稷等 等。从上露所举粒这些锣| | 予我们可以看裂h a m i l t o n 傣鬟是一盛鼹j 常广泛 的体系，同时我们也可以肴到，非线性普遍存在于h a m i l t o n 体系当中。众所 周知，精确地求解非线性问题往往是很困难的，因此，系统地研究h a m i l t o n 俸系静计算方法蔬残了一令必要瑟艇其有实际意义戆漾题。 当代计算方法的一条不成文的貉本法则是，数值离散应尽可能保持原 蝇题的熬本特征有限维h a m i l t o n 体系的数学框架怒擎咒键，瓣此，钟慰 h a m i l t o n 体系的计算方法墩该从辛几何框架内产生。服是基于这种想法，冯 康从8 4 年开始系统研究计算h a m i l t o n 体系的辛方法。即保持原h a m i l t o n 方 程辛瞧旋戆嚣算方法( f l 。 由于正确地采用了辛几何这一技术途径，冯康和他的研究小组在构造 算法秘瑗论分摄方露都取褥了很多成果( 如【1 6 f 2 4 】，f 4 镰【5 0 等k 著且系统 地发展了生成函数理论。冯康关于事算法的研究引起了国内夕 学者的极大 兴趣，并产生了许多后继研究。时至今日，关予h a m i l t o n 系统辛算法的研究 残暴已楚不薤技举【l l b 【2 8 ，箨国。众多豹谤舞实验纛苯，辛算法在稳定幢 和长期数值跟踪熊力上具有独特的优越性( 【1 3 】，f 3 1 一【3 3 】) 。 与蠢限维h a m i l t o n 方程螺比较，无穷维h a m i l t o n 方程其程曼搬广泛懿 应霸领域，因诧一个自然的想法是糖广辛算法到无穷维h a m i l t o n 系统。在 此方面，秦孟兆和他的学生把生成溺数方法推广到无穷维h a m i l t o n 系统， 并显系缓逑骚究了渡方程1 3 毯，l 钢1 4 2 ) 。无穷维h a m i l t o n 方程瓣辛离散霹 以分两步进行：第一步是利用空间麓商离散农间导数。从而得到一个关于 时间的籽限维h a m i l t o n 方程；第二步是利用鼹有的辛算法求解这个有限维 h a m i l t o n 方程。慕予这样静徽法，除了渡方狡激外，关予s c h r s d i n g e r 方程和 s i n e g o r d o n 方程也有了较累统的研究( 1 5 ，【4 7 卜 4 8 】) 。 近来，j ，e 。m a r s d e n 鼗t h o m a sj 。b r i d g e s 分舅钤砖予l a g r a n g e 系统秘 2 引言 博士论文 h a m i l t o n 系统定义了多辛算法，并且在构造算法，算法分析及数值实验方面 做了许多工作( 【6 j 一【1 0 j ，【3 翻) 经过他们的工作，多辛算法已经成为非常热门 豹辑究方囊。 在 3 5 】中，m a r s d e n 最早讨论了多事算法辛葵法是褒h a m i l t o n 意义 下的，而m a r s d e n 所提如的多辛算法则是在l a g r a n g e 意义下的，即通过对作 用函数做变分来实现的。m a r s d e n 所采用的理论框架是多辛几何。以多辛几 何戈理论框檠，m a r s d e n 摧广v e s e l o v 离散蓟多辛场论，从而得弼了傈持连 续方程多辛搜质的离教掺式，m a r s d e n 撼这样懿离数格式称楚多辛格式。 有另4 于m a r s d e n 的定义方式，b r i d g e s ( 9 1 ) 以男终一秘方式定义了多擎 格式b r i d g e s 首先把h a m i l t o n 偏微分方程写成多辛方程组的形式，多辛 方禚组其有多辛守信律，b r i d g e s 称镌保持多辛守恒律的数值格式为多辛格 式。m a r s d e n 戆多辛定义熬基予多事几何， i 豸b r i d g e s 静多睾定义弼憝基予 多事守憾律关于时阅方向擎结掬以及空耀方匙 擎缨搀的保守性。 在理论上，b r i d g e s 所给出的多事守憾律可以餐作是h a m i l t o n 偏微分方 程多辛几何性质的一个推论( 1 2 9 ，【3 5 】，【37 】) ，衣两种多事算法中也有一些联 系( f 9 j ) ，馋两种多辛算法之闻是否存禚内在的弱然联系仍然怒一个未知的问 题。 与鸯限维h a m i l t o n 系统辛算法鼹取褥浆成果棚比较，走穷缎h a m i l t o n 系统的辛算法还有待予人们做进步研究两种多事算法只越新兴的研究方 法，在构造多辛算法，理论分析彩辛算法，数值检验多辛算法方面都有着大 量工作需要人们去完成同对无穷维h a m i l t o n 方稷可敬按照辛算法进行数 篷诗莫，也可以按照m a r s d e n 基于交分原瑗戆多辛格式进簿数蓬计算，露辩 还可以按照b r i d g e s 和s 。r e i c h 所给出的多辛格式进行数值计算，那么。究竟 在哪一种数值格式下计算效果更好呢? 这一点也有待予人们做进一步的考 证所以，无穷维h a m i l t o n 方程的保结构计算方法述存在许多问磁，还有犬 星载王传霭要入稍努力去镦毽正因翔忿，我懿逸胃泼浚，竞穷缭h a m i l t o n 系统的保结构计算方法是一个有羞广泛研究宽度，镶得人们去探索的，大鸯 可为的研究领域 k d v 方程是一个h a m i l t o n 方程，这篇博士论文系统地介绍了k d v 方稷 豹死种铩缩擒计算方法虽然我们所绘出静一筵算法主妥是针对k d v 方程 博士论文 引言 3 的，但不失一般性，构造算法的方法同样适合于其它的h a m i l t o n 方程。 h a m i l t o n 方程可以用辛几何来描述，但也可以用p o i s s o n 括弧来描述。 用p o i s s o n 括弧定义的h a m i l t o n 方程比用辛几何定义的h a m i l t o n 方程范围 更广。由p o i s s o n 括弧定义的h a m i l t o n 方程，其显著特征是具有p o i s s o n 结 构，因此在数值离散上，我们可以利用h a m i l t o n 方程的p o i s s o n 括弧结构构 造数值格式在【4 9 中，在f o u r i e r 谱方法和c o l l o c a t i o n 方法的基础上， e v a ng r o e s e n 和f p h v a nb e c k u m 已经开始利用h a m i l t o n 方程的括弧结构 构造半离散的数值格式他们的基本做法是，基于h a m i l t o n 方程的平移不 变性定义一个p o i s s o m 括弧，如连续的情形，数值格式由离散的p o i s s o n 括 弧给出。我们也可以在f 2 7 和【5 1 】中找到类似于v a ng r o e s e n 和v a n b e c k u m 的工作。特别地，汪道柳在【5 1 】中从多h a m i l t o n 角度出发，详细研究了计算 k d v 方程以及长水波方程的f o u r i e r 谱方法就k d v 方程，我们研究了它的 f o u r i e r 谱逼近和c o l l o c a t i o n 逼近通过分析c o l l o c a t i o n 离散的结构矩阵。我 们找到了f o u r i e r 谱方法和c o l l o c a t i o n 方法之间的一个内在联系，从而依据 f o u r i e r 谱逼近关于几个守恒律的保守性自然证明了c o l l o c a t i o n 方法关于几 个守恒律的保守性( 【5 3 ) 在这篇博士论文中，我们所讨论的多辛格式是在b r i d g e s 意义下的。 b r i d g e s 的多辛守恒律可以解释为h a m i l t o n 方程多辛几何性质的一个推论， 因此我们有必要先讨论变分偏微分方程的多辛几何方法变分偏微分方程可 以利用多辛几何的语言来描述( 【2 5 卜【2 6 】，【3 5 ，【3 t ) 。用多辛几何的语言描述 变分偏微分方程，不但可以使我们协变地( 关于时间空间等同看待) 研究变 分方程，同时也可以使我们研究变分方程内在的多辛几何性质另外，作为 一种抽象的数学工具，多辛几何方法使得变分过程中许多复杂的式子变得非 常简单。例如，变分过程中长长的边界项可由c a f t a n 形式简单表示出来。与 f 3 5 1 中所讨论的多辛方法不同，我们把向量场的特性引入到多辛几何中来。 把向量场的特性引入多辛几何使得多辛方法中许多运算变得简单，另外也 有助于定性研究变分偏微分方程的多辛几何性质例如，在分析由方程的多 辛几何性质所给出的守恒律的特征时，向量场的特征起着非常重要的作用。 许多h a m i l t o n 偏微分方程可以借助辅助变量写成多辛方程组的形式， 例如，波方程，浅水方程，k p 方程，以及s c h r s d i n g e r 方程等等( 6 卜【1 0 ) 。 引言 博士论文 k d v 方程懿多辛方程缝形式怒b r i d g e s 焱【7 】中绘爨戆。类钕予1 4 3 】秘f 4 4 】蛉 方法，我们利用隐式中点格式对k d v 方程的多擎方程组进行关于时间和空 间方向的离散，从而得出了p r e i s s m a n n 格式。p r e i s s m a n n 格式是一个多辛 榛式。虽然p r e i s s m a n n 稳式燕多辛戆，稳在避褥数篷量 算辩，我锏涂了要诗 算k d v 方糕的数值解，还要计算辅助变量的数值解，因此大大增加了计算 量。所以，我们消去辅助变量，从露得到了一个多辛的十二点掺式( f 5 4 】) 。 对十二点格式我们遗行了数值计算。数德结果显承，十二点格式能精确描述 孤立子运动规律，另外，其数俊稳定性较好，适合于长时间数值计算。 在第一搴孛，我键穷绥p o i s s o n 括弧塞义下静h a m i l t o n 方程。魏一般分 绍h a m i l t o n 系统的方法，我们先从辛几何描述的h a m i l t o n 方程谈起然后， 我们贪绍由p o i s s o n 掭弧定义的有限维h a m i l t o n 方程作必一个例予。我们 绘出由p o i s s o n 括弧定义静经典h a m i l t o n 方程按下来，我们讨论p o i s s o n 括弧意义下的无穷维h a m i l t o n 方程由于无穷维h a m i l t o n 方程的性质与有 黢维谤影类叛，瑟苏凌霞不燕诞疆建给穗无穷缭h a m i l t o n 方程戆魏痰最 筒，我们介绍k d v 方程的双h a m i l t o n 结构。 在第二窜中，我们系统地介绍计算k d v 方掇的f o u r i e r 谱方法朔c o l l o c a t i o n 方法。我韬免一般洼逸 鼋论谵算笼穷维h a m i l t o n 系统的f o u r i e r 谱方 法和c o l l o c a t i o n 方法然后，以k d v 方程为具体研究对象，我们考虑k d v 方程戆f o u r i e r 谱逼逐程c o l l o c a t i o n 遥避最后，我键分提了c o l l o c a t i o n 方法 的结构矩陴通过分析c o l l o c a t i o n 方法的结构矩陴，我们可以把c o l l o c a t i o n 方法看作越一种谱方法，从而由谱方法关于几个谨恒律的保守性自然得到 了c o l l o c a t i o n 方法关乎梵个守糯终瓣缳往 在第三章，我们介绍微分方程的对称群及向擞场的特征这一章是为我 们讨论微分方程的多睾足侮性质傲准备王作我们分绍了) c | 称群穰囊量场 特征的基本概念，以及对称群的无穷小方法特别地，我们藿点介绍了多辛 几何方法中常用的向最场j e t 娥拓的概念及其性质作为一个例子，我们给 爨了k d v 方程秘足个慰赘群 我们在第四章考虑变分偏微分方程的多辛方法我们网顾了经典的多 睾几何。然聪，通过弓l 入向量场鲍特性，我们考虑浓多辛，乙留撼述豹变分方 程因为我们要研究守恒律的特征，而交分对称与守恒律有着必然的联系， 博士论文引言 因此我们用一节的内容来介绍变分对称及守恒律的特征我们分析了由变 分偏微分方程多辛性质所给出的守恒律运用向量场的特征，我们给出了这 些守恒律由向量场特征来描述的一种方式，从而在变分对称对的情形下给 出了守恒律的特征最后，我们讨论了k d v 方程由多辛性质所给出的守恒 律。这些守恒律可以解释为b r i d g e s 的多辛守恒律关于多辛方程组无穷小对 称的保守性。 最后一章，我们讨论一个多辛的十二点格式b r i d g e s 的多辛定义是针 对多辛方程组的，所以在这一章，我们先以k d v 方程，s c h r s d i n g e r 方程和 k l e i n g o r d o n 方程为例介绍多辛方程组及多辛守恒律。然后，我们利用隐式 中点格式对k d v 方程进行时间及空间方向的离散，其结果导致了一个多辛 的p r e i s s m a n n 格式最后一节，我们消去辅助变量，从而得到了一个十二 点格式。在这一节，我们也给出了利用十二点格式计算孤立子的数值结果， 以及一个与z a b u s k y - k r u s k a l 格式相比较的数值结果 另外在附录中，我们给出了通过p r e i s s m a n n 格式消去辅助变量，得到十 二点格式的过程 第一章h a m i l t o n 方程 1 i l 辛流形上的h a m ，i l t o n 方程 这一节，我们介绍辛流形上的h a m i l t o n 方程。我们首先介绍辛流形的 概念。 定义1 1 1 设m 孰是一个2 n 维酌光滑流形。如果旅m 2 n 上定义了一个闭的 薛邀纯翡簌分二影武甜2 ，翊巍粕称在m 2 n 上定义了一夺事结藕，称泓鼽，。， 为一个辛流形 一浚舻表示2 n 维的实向蛩窿闻，庐上的坐标为z = ( p l ，p 。，q 1 ， 如) r ，t 表示转里。那么容易检验，u 2 = 谚终a 蟓定义了驴上一个辛结 构。7 给定m 瓤上黪一令毯数譬，澎2 “上关予簸豹h a m i l t o n 方秘密辛缩梅给 出。 定义1 1 。2 浚艘瓤，2 j 楚一个擎流形，嚣：澎2 8 _ r 莛一夺竞滑函数。由 及辛结构u 2 可以确定m 鼽上唯一的向量场妇，对v t 嘲“口赡“表 葶m 2 ”在y 赢的切密间j ，0 日满足 。2 ( 毒，诌) 一d h 专( 1 。1 。1 ) 我们称珏是一个h a m i l t o n 向量场，殿弗h a m i l t o n 函数，心群所给斑的方 程为h a m i l t o n 方程 设冗2 8 上豹局郄坐撂舞。一( x l ，；，嚣缸) r ，燕在坐撵意义下关予嚣夔 h a m i l t o n 方程为 豢= 锄( z ) ( 1 1 2 ) 酉2 甜例。 1 1 1 2 j 竣在是郝坐标下甜2 胃浚表承蔻 2 ，) = r ( 。) 蹿，蜓，踞e ? 且疋，( 1 1 3 ) 则由( 1 1 1 ) ，锄= 耳( z ) _ 1 ( v 日( 茁) ) 1 ，所以h a m i l t o n 方程为 面d x = ( 。) 一1 ( v 日? ， ( 1 1 4 ) 6 博士论文 第一章 v h = ( 筹，差，砾o h ) 。 作为一个例子，我们考虑辛流形( r “，u 2 ) 上的h a m i l t o n 方程。对于 v z l ，。2 r “，我们有 u 2 ( 钆z 2 ) = z 、j 该 其中j 是一个矩阵，其形式为 t ，= 羔针 ， 由( 1 1 1 ) ，我们有o h = j _ 1v 日( z ) ，故相应的h a m i l t o n 方程为 面d z = j - 1 ( v 刖) r ( 1 1 6 ) 我们称矩阵j 为标准辛矩阵，称方程( 1 1 6 ) 为典则h a m i l t o n 方程。 h a m i l t o n 方程一个重要性质是h a m i l t o n 相流保持辛结构h a m i l t o n 向 量场珏定义了一个单参数变换群，其元素由微分同胚帆：m 鲰_ m 抓构 成，忱满足 要i 仇：珏( ) ，v m 2 y y mn ( 1 1 7 ) 面| t = 0 仇2 ”h 9 ” ( 1 l _ 。 我们称这个单参数变换群为h a m i l t o n 方程的h a m i l t o n 相流。 定理1 1 3h a m i l t o n 相流保持辛结构，即 妒；u 2 = u 2 ，( 1 1 8 ) 饼表示仇的拉回映射。 证明参看 4 】或【3 6 】 设，：m 2 ”- - 4m 2 “是一个光滑映射，如果，满足 ，+ u 2 = u 2 ，( 1 1 9 ) 我们称，是一个辛变换 因此，h a m i l t o n 相流由辛变换所构成。由( 1 1 3 ) 式，在局部坐标下， 忱的j a c o b i 矩阵髻满足 警k ( 等) 7 = 脚) ( 1 1 1 0 ) 8h a m i l t o n 方程 博士论文 蛰剐她，e 鐾方程1 1 、6 j 昱孽定义翦蛾藤慰 警j 警尸= 点 我们称这样的魄为典贝0 映射。 定义1 1 4h a m i l t o n 相流的一个首次积分是一个函数p p ( f p t y ) = e ( 常数) ，v t 我们关于t 微分函数日( 忱y ) w 有 爰跆剐= d h 盯， 由( 1 1 1 ) 式，我们有 五d t h ( 妒t 可) = u 2 ( 。日，番嚣) = o 困院，h a m i l t o n 溺数嚣是h a m i l t o n 流的一个首次积分。 m 轨_ 咒，p 满足 ( 1 1 1 2 ) l 。2p o i s s o n 括弧意义下的h a m i l t o n 方程 这一节，凌键在p o i s s o n 括弧豢义下讨论骞限缕h a m i l t o n 方程。我锅蓄 先介绍p o i s s o n 括弧的概念 定义1 2 1 设m 楚一个光滑流形，f 表示m 上光滑函数的集合。一个 p o i s s o n 括弧 ， 楚一令葵子f xf _ f ，这个算子潢楚牲震： ，) 楚双线性和反对猕的， o i ) ，) 满足j a c o b i 等式： p ，q ，嚣 + 霆，岁，q + q ，曼 ，p 一0 ， ( i i i ) ，) 满足l e i b n i t z 法则： p q ，r ) 一p q ，兄) 十 p r q ， 只q ，霞f 。 如果在肘上定义了一个p o i s s o n 括弧，我们称在膨上定义了一个p o i s s o n 结构，称( m ， ，) ) 为一个p o i s s o n 流形 类钕于h a m i l t o n 方程豹睾梵嚣接述，在p o i s s o n 滚形上，h a m i l t o n 方程 由p o i s s o n 括弧来给出 博士论文 第一章 9 定义1 2 2 设m 是一个p o i s s o n 流形，h 是m r 的一个光滑函数。由 h 确定了m 上的一个h a m i l t o n 向量场0 h ，0 h 满足 z e 。( p ) = p ，日) ， v p f ，( 1 2 1 ) 其中z 妇( p ) 表示p 关于i h 的李导数。我们称由向量o h 所给出的方程为关 于函数h 的h a m i l t o n 方程 下面，我们看一下在局部坐标下站的表现形式。我们设m 上的局部坐 标为。= 0 t ，z 。) ，站的形式是站= 竺。p ( z ) 玉 由( 1 2 1 ) ，我们有 m ) = 泓z ) 差i= 1 和 p ( z ) = 。( z ) = z i ，日 因此， p ) 日) 可以写成 p 日) = 妻协，日 篆 ( 1 2 - 2 ) 坐标函数x 所对应的h a m i l t o n 向量场是0 。对0 。我们有 棚_ - 酬一气。( 耻一塾一 筹 ( 1 2 3 ) 合并( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) ，我们有 p 卧= m m z ，) 瓦o p 瓦o h t = 1 = 1 。 = v p n ( x ) ( v h ) 丁， ( 1 24 ) 是一个矩阵，其元素 n i j ( x ) = z t ，q ) ， ( 1 2 5 ) 我们称是p o i s s o n 括弧的结构矩阵。 l l a m i l t o n 方程博士论文 由( 1 2 4 ) 帮1 2 1 ) ，关予露的h a m i l t o n 方獠具有形式 丽d z = ( 搿) ( v 日) r ( 1 舢) 给定麓阵，我们需要稔骏是蓊是一个臻构矩簿，邸( 1 2 4 ) 是否定 义了一个p o i s s o n 括弧。下面定理给出了判定u ( x ) 为结构矩阵的方法。 定理1 2 3n ( x ) 是一个结热照疼当且仅当 f j ) n ( x ) 是反对称的 啦( 霉) = 一a p ( 嚣) ，i ，j = 1 ，2 ，嗽，( 1 2 7 ) o i ) u ( x ) 满足j a c o b i 等式 ( n i 。国批+ 瓣0 t n 玎+ j 。国越) 一0 1 = 1 鼹v x 矗”。 证明 由( 1 2 4 ) 可知，p o i s s o n 括弧的反对称性等价于n ( x ) 的反对称性。 因此，我们只需要验证n ( x ) 满足j a c o b i 等式啦( 1 2 4 ) 式，我们农 p ) 删= k 洳, i ：l 矗( 挚州o p 叫o q ) 吣o r = 磊( 驴面o n i j 夏o p 面o q 瓦o r + 矿舻丽0 2 p 面o q 瓦o r + 差旦o x t o x ，差) ) 。 ( 1 2 固 ? 8 嚣t8 z k q 。 类似地，我们可以计算出 r ，p ) ，q ) 以及“q ，月 ，p ) ，对这三项求和，由 0 ) 戆反瓣称蛙，秘式关予1 2 9 ) 戆终二褒戈0 。覆崮予只q ，r 鹃任意 性，和式关_ 于第一项为0 等价于( 1 2 9 ) 式 事实匕，由( 1 2 4 ) 和( 1 2 跣我们弼有 m 化i ，q ) 胁) = 脯( x ) o t n a ( z ) ， ( 1 2 1 0 ) f = 1 西就，j a c o b i 等式等价于坐标嫡数满足j a c o b i 等式 博士论文第一章 下面我们看一个h a m i l t o n 方程的例子。设m 是偶数维的欧几里得空间 r “，r 2 “的坐标是z = ( p ，q ) = ( p ，p 。，g l i ，口。) 在r 2 “上我们定义一个 p o i s s o n 括弧 g ，日 = 鲁娄( o a g l g o 渤m 一丝o p i 望o q i 、 ， ( 1 2 1 1 ) 括弧( 1 2 1 1 ) 的等价形式是 g ，日，= v g j 。1 ( v 日) r ，( 1 2 1 2 ) 其中，j 是标准辛矩阵。 由括弧( 1 2 1 2 ) 所给出的h a m i l t o n 方程是 面d z = j - x ( v 日( z ) ) r ， ( 1 2 1 3 ) 即典则h a m i l t o n 方程( 1 1 6 ) 由这个例子我们可以看出，典则h a m i l t o n 方程可以由p o i s s o n 括弧来给 出。对于一般的h a m i l t o n 方程( 1 1 4 ) ，我们可以定义一个p o i s s o n 括弧 g ，日 = v g k ( x ) _ 1 ( v 日) r ，( 1 2 1 4 ) 方程( 1 1 4 ) 由上面p o i s s o n 括弧给出。 对于由p o i s s o n 括弧所给出的h a m i l t o n 方程，其相流保持p o i s s o n 括弧， 并且首次积分具有非常简单的判别形式。 定理1 2 4 设忱是对应于h a m i l t o n 向量场0 h 的相流，那么对v p , q f ， 我们有 p 。慨，q 。妒t ) = p ，q ) o ，( 1 2 1 5 ) 即h a m i l t o n 相流保持p o i s s o n 结构。 证明关于t 微分( 1 2 1 5 ) 式可有 ( 妇( p ) ，q ) + p z 妇( q ) ) = z 妇( p ) q ) ) ，( 1 2 1 6 ) 即j a c o b i 等式 p ，h ) ，q ) + 日，q ) ，p ) = p q ) ，h ) 1 2 h a m i l t o n 方程 博士论文 t = 0 时，妒。是单位算予，因此 p o 妒。，q o 蛳 = 只q 。o 。 予是，积分( 1 2 1 6 ) 式可知( 1 2 1 5 ) 式成立 定理1 2 5 p 是方程0 2 纠的一个首次积分当且仅当 只日) 一0 。 涯明皴分p ( 设z ) 可有 一 羞p ( 协z ) = 只 ， 因此由首次积分定义，p 是首次积分嬲且仅当 p ，日) = 0 。注意到p o i s s o n 括弧豹反对称经，嚣是方程( 1 2 6 ) 鹃一个首次积分。 1 3 无穷维h a m i l t o n 方程 由前两节的讨论，我们可以看到，由辛几何所描述的h a m i l t o n 方程依 羧予典燹坐标，覆癌p o i s s o n 瑟疆溪搓述豹h a m i l t o n 方程帮苓依赖予典委| j 嫩标。因此，由p o i s s o n 括弧所描述的h a m i l t o n 方程容易推广到无穷维的情 形。这一节，我们讨论由p o i s s o n 括弧所定义的无穷维h a m i l t o n 方程。 与有限维方程相比较，无穷缎h a m i l t o n 方壤只是以h a m i l t o n 算子抄替换 了结构矩阵( z ) ，以变分肆数替换了梯度，以h a m i l t o n 泛函替换了h a m i l t o n 滠数 设f 是一个函数集合，f 中的元索是定义在霞上的周期或速降函数。 凌键戳芦表示f 上戆巍潘丞数类类戳予第二节，我销首先奔绍定义在 ，芦上的p o i s s o n 括弧 定义1 3 1 定义在芦主酶p o i s s o n 括弧燕一个算子 ，) ：芦芦一芦， 这个算子具露性质 f j j ，) 楚双线性和反对称的， 矧 ， 潢足j a c o b i