（运筹学与控制论专业论文）双线性方法在几类波动方程中的应用.pdf

摘要 双线， 生方法在几类波动方程中的应用 摘要 本论文主要利用h i r o t a 双线性方法来研究孤子方程的若干问 题，特别是精确求解问题内容主要涉及：构造和求解变系数k p 方 程及其可积性，如双线性b i i c k l u n d 变换、非线性叠加公式等；推 导变系数k p 方程多孤子解的w r o n s k i a n 署n g r a m m i a n 行列式表示；推 广h i r o t a 方法，研究几类波动方程新的精确解一周期波解 求解孤子方程的精确解一直是孤子理论中非常重要的问题 本文的研究从解的h i r o t a 形式、w r o n s k i a n 茅h p f a f f i a n 等多种表示形式 到精确解的推导两个方面着手，充分说明了双线性方法是孤子方 程精确求解的强有力工具，又将h i r o t a 双线性方法，w r o n s k i a n 技巧 与b i i c k l u n d 变换等求解方法的多样性和孤子方程的统一性有机地联 系在一起，从而挖掘出更多的孤子本质属性主要工作具体如下： ( 一) 第二章首先给出双线性微分算子的定义及其基本性质，其 次详细推导变系数k p 方程h i r o t a 形式的孤子解然后构造变系 数k p 方程的双线性b i c k l u n d 变换、非线性叠加公式和l a x 对， ( 二) 第三章首先介绍孤子方程的w r o n s k i a n 形式解，其中包 括w r o n s k i a n 的有关性质和推导变系数k p 方程的w r o n s k i a n 行列式解 其次给出关于p f a f f 式的基本性质，并求解变系数k p 方程的g r a m m i a n 行列式解，其证明过程中的解是由g r a m m i a n 型的p f a f f i a n 表示 ( 三) 第四章分为三个部分，第一部分推广h i r o t a 方法，以b o u s s i n e s q 方程作为例子详实地介绍如何求得其新的精确解一周期波解，并 以图示分析研究b o u s s i n e s q 方程周期波解的一些性质；第二部分用同 样的方法得到( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程的周期波解，并通过长波极限法 求得其有理解：最后部分是总结与讨论 关键词：孤子，双线性方法，可积性，周期波解 a b s t r a c t a p p l i c a t i o no fb i l i n e a rm e t h o dt os o m ew a v e e q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d yh i r o t ab i l i n e a rm e t h o dt os o m e a s p e c t si ns o l i t o ne q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yt h ea s p e c to ff i n d i n ge x a c ts o l u t i o n s t h et o p i c si n c l u d es e v e r a la s p e c t ：c o n s t r u c t i n ga n ds o l v i n gt h e v a r i a b l e c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o na n di t si n t e g r a b i l i t y , s u c ha sb l i c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n ，n o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l aa n ds oo n ；d e r i v a t i o no f t h en s o l i t o ns o l u t i o n si nt e r m so fw r o n s k i a na n dg r a m m i a nd e t e r m i n a n t f o rt h ev a r i a b l e c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o n ；g e n e r a l i z a t i o no f h i r o t am e t h o d t os t u d yn e we x a c ts o l u t i o n so fs o m ew a v ee q u a t i o n s ，n a m e l yp e r i o d i c w a v es o l u t i o n s t of i n de x a c ts o l u t i o n st os o l i t o ne q u a t i o n si sa l li m p o r t a n ta s p e c ti n s o l i t o nt h e o r y w ec o m m e n c et h ei n v e s t i g a t i o no nt w oa s p e c t s ：s o l u t i o n s e x p r e s s e di nt e r mo fh i r o t a ，w r o n s k i a na n dp f a f f i a na n dc o n s t r u c t i o no f e x a c ts o l u t i o n s i ti ss h o w nt h a tt h eb i l i n e a rm e t h o dp r o v i d e sav e r yp o w e r - f u lt o o li ns e a r c h i n gf o re x a c ts o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n s i ta l s or e l a t e s t h eu n i f o r m i t yo fs o l i t o ne q u a t i o n sw i t ht h ed i v e r s i t yo fm e t h o d s ，s u c ha s h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ，w r o n s k i a nt e c h n i q u ea n db i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n a c c o r d i n g l y , i te x c a v a t e sm o r ee s s e n t i a la t t r i b u t eo fs o l i t o n t h e s p e c i f i cw o r kc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ： e 1 ) i nc h a p t e r2 ，w ef i r s tp r e s e n tt h ed e f i n i t i o na n de l e m e n t a r yp r o p e r t i e so ft h eb i l i n e a ro p e r a t o r s n e x t ，w ed e r i v et h en s o l i t o ns o l u t i o n sf o r t h ev a r i a b l e c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o ni nd e t a i l t h e n ，t h eb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，n o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l aa n dl a xp a i ro ft h ev a r i a b l e c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o na r ec o n s t r u c t e d 一i i a b s t r a c t ( 2 ) i nc h a p t e r3 ，w ef i r s td i s c u s st h es o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n s e x p r e s s e di nt e r mo fw r o n s k i a n ，i n c l u d i n gt h ec o n c e r n e dp r o p e r t i e so f w r o n s k i a na n dc o n s t r u c t i o no ft h ew r o n s k i a nd e t e r m i n a n ts o l u t i o nt ot h e v a r i a b l e c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o n s e z o n d ，w eg i v et h ee l e m e n t a r yp r o p e r t i e so fp f a f ! f i a na n do b t a i nt h eg r a m m i a nd e t e r m i n a n ts o l u t i o no ft h e v a r i a b l e - c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o n i ti sn o t e dt h a tt h es o l u t i o n si nt h ep r o - c e s sa r ee x p r e s s e db yg r a m m i a n t y p ep f a f f i a n ( 3 ) i nc h a p t e r4 ，i tc o n s i s t so ft h r e es e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ， w eg e n e r a l i z et h eh i r o t am e t h o da n dp r e s e n tn e we x a c ts o l u t i o n so ft h e b o u s s i n e s qe q u a t i o n ，n a m e l yp e r i o d i cw a v es o l u t i o n s m o r e o v e r , t h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n sa r ed e s c r i b e db yf i g u r e s i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w e d e r i v ep e r i o d i cw a v es o l u t i o n so ft h et w o d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a - t i o nb ym e a n so ft h ea f o r e m e n t i o n e dm e t h o da n do b t a i ni t sr a t i o n a ls o l u t i o n sb yt a k i n gt h el o n gw a v el i m i to ns o l i t o ns o l u t i o n s as u m m a r ya n d d i s c u s s i o n sa r eg i v e ni nt h el a s ts e c t i o n k e yw o r d s ： s o l i t o n ，h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ，i n t e g r a b i l i t y , p e r i o d i c w a v es o l u t i o n s 1 1 1 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生妣、1 夏地日期。哆tm f 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定。即：学校有 权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后 遵守此协议。 研究生签名：，r 灵妞导师签名 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年 份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文 中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ： 指导教师： 、绪论 一、绪论 ( 一) 、孤立子理论的产生与发展 在自然科学发展的历史上，交叉学科领域总能产生意想不到的惊喜非线性 科学中的孤立子理论就是其中的一支，它把应用数学与数学物理完美结合在一 起孤立子是最早在自然界观察到，并且可以在实验室产生的非线性现象之一孤 立子也称为孤立波，它是指一大类非线性偏微分方程具有特殊性质的解而具有 这种孤立子解的非线性偏微分方程就称为孤立子方程从数学的观点来看，这类 特殊解具有以下两种性质：( i ) 能量有限，且分布在有限的空间范围内；( 2 ) 弹性碰 撞，即在碰撞后恢复到原来的波形和速度 孤立子现象始于1 8 3 4 年英国科学家r u s s e l l 的一次偶然发现1 ，之后科学 家g b a i r y , g e o r g es t o k e s ，b o u s s i n e s q 以及r a y l e i g h 等都对此现象做了大量的实 验和研究而对孤子理论的产生有重要推动作用的是d j k o r t e w e g 和gd ev r i e s 他们于1 8 9 5 年提出了一种浅水波i ! 程【2 】，也就是著名的k d v 方程，并找到了其孤 波解，至此确定了孤立波的存在性而孤子理论巾里程碑式的进展，在于1 9 6 5 年美 国应用数学家k r u s k a l 和b e l l 实验室i 拘z a b u s k y 所做的数值实验【3 】他们用数值模 拟方法详细地考察和分析了等离子体中孤立波的非线性相互作用过程，证明了两 个k d v 孤波在发生碰撞之后，各自保持原来的波形和速度继续向前传播他们的 工作揭示了这种孤立波的性质，”孤立子”概念也就此确立它的正式引入标志着 观代孤子理论的开始 虽然孤立子这个名词是k r u s k a l 和z a b u s k y 从k d v 方程中的孤市波提出的。但 在许多物理模型中相继地发现都存在这种孤立波碰撞后不改变波形、稳定的孤 立波的事实然而究竟什么是孤立子却没有准确的定义通常在数学物理中，将孤 芷子理解为非线性发展方程局部的行波解，所塌”局部的”是指微分方程的解在空 司的无穷远处趋于零或为确定的常数情形或者理解为能量集中在空间的有限区 或内，不随时问的增加而扩散到无限区域中去( 不弥散) 【4 】因此，孤立子表现出局 祁性、稳定性以及波粒二象性的三大特征 孤立子作为一种非线性现象频频出现于非线性光学、电磁学、等离子物 理、凝聚态物理、生物物理等应用物理巾在孤立子的发展过稃中、一方而，数学 家和物理学家们孜孜地追求揭示非线性发展方程中孤子的本质特征和完美的数 学结构，创造出各种数学方法去解释实际现象；另一方面，源源不断的新问题促进 了孤立子理论的不断深入和发展，越来越多的数学工具被利用，并且对无穷维分 析、k a c m o o d y 代数、代数几何、拓扑学、偏微分方程、动力系统和i l 算数学 、绪论 等数学分支产生了深远的影响，并且还衍生出了如量子群等新的数学分支，甚至 有的学者提出了孤立，数学的新称谓 ( 二) 、孤子方程精确解的求解方法及其研究 在孤子理论中，怎样有效地求m 类非线性方程的精确解并研究其解的性 质，一直是一个基本而且重要的课题寻找孤子方程的精确解1 i 但在理论上有 助于进一步了解孤子方程的本质属性和代数结构，而且在心用上可以合理地解 释相笑的自然现象，其意义不言而喻孤子方程的除了町以用数值计算和计算 机模拟进行研究外，主要是寻求其显式的精确解表示于是，具有不同特点的求 解方法相继问世例如，反散刺变换方法( i s t ) 、b 目i c k l u n d 变换平l l d a r b o u x 变换方 法、h i r o t a 双线性方法、w m n s k i a n 葶p i j m a n 技巧、p a i n l e v 6 j , j 析法、代数几何方 法等f i 自我们对非线性发展方程的主要求解方法迸行简要的概述 1 、反散射变换方法( i s t ) t 9 6 7 年，g a r d n e r , g r e e n e ，k r u s k a l = l l m i u r a 发现了k d v 方程的反散射变换方 法【5 】，也称为非线性f o u r i e r 分析它足数学物理在2 0 世纪的一个罩大进展反散射 ，叟换方法最初在求解k d v 方程初值问题中状得了成功，后来人们把它扩展去求 解其他悱线性方程的初值题i 町形成丫l a x 理沦和a k n s ( a b l o w i t z k a u p n e w e t l s e g u r ) 方法简单米说，它是利月非线性偏微分力程的l a x 对和常微分方程的谱理 论。把c a u c h y l 6 j 题转化为求解线性积分方稃，在退化核的情况下，能给出显示的 解反散射变换方法的成功应用引起了人们对被遗忘多年的可积系统的研究兴 趣，狭得了许多重要成果【6 ，7 】 2 、h i r o t a 双线性方法 1 9 7 1 年，h i r o t a 日if b 求解微分方程多孤子解的一种直接的代数方法，义 弱：h i r o t a 双线性方法1 8 】此方法的实j 贞是变换，也就是通过对势函数引入恰当 的变换，利用该变换将原方程改写成双线件导数形式，然后将扰动展开式代入 到烈线性方程中，若该展开式可以截断，则可构造f “方程的多孤子解1 9 ，1 0 】值 得一提的是在实翰：应h 【 j h i r o t a 方法所引入的势函数的变换，往往以反散射变 换的结果为基础或行p a i n l e v 6 截断展开为基础，但耍比反散射方法简单和直接 由- 3 二h i r o t a 双线性方法以烈线性导数为一i | 具，h 仪与求解方程有关，而不依赖 于方程的谱问题或l a x 对，具有简捷、直观的鲜明特点，已从最初水解k d v 方 程、m k d v 力程、s i n e g o r d o n 力程等的多孤f 解衙发展成为。种可以求解大 批啦线性发展方拌多孤子解的十分普遍的方法) c 使川范围儿乎涵盖了所有反散 射变换州解的方程以及非等谱力程它4 ：仪用f 给：非线性方程的孤子解，而且 、绪论 可以构造其它形式的解如周期波解、有理解等值得说明的是，通过这种双线性 方法，我们还可以通过统一的方法得到非线性方程的双线性b i i c k l u n d 变换由此 我们不仅可以导出方程的非线性叠加公式，得到方程的多孤子解；还可得到原方 程的l a x 表示、无穷多守恒律：从而这种纯粹的代数方法就与经典可积系统紧密 地联系在一起，进一步完善了其理论框架 许多学者一直致力于双线性方法的各种推广和应用，双线性方法有了进一步 的发展和拓宽如n a k a m u r a 矛l j 用此方法得到了周期解f 11 ，1 2 1 ；胡星标教授特别在 非线性叠加公式方面做出了很出色的工作 1 3 1 5 】：陈登远教授、张翼教授、邓淑 芳博士直接推广了双线性方法，构造出了许多孤子方程新的一类具奇性的精确 懈 1 6 - 1 8 3 、b g i c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换方法 b j i c k l u n d 变换方法【1 9 】是一种显式直接求解方法，它建立起了一个非线性偏 微分方程的解与另一个已知的线性偏微分方程之间的关系或者是建立一个非 线性偏微分方程两个不同解之间的联系，从而可以由己知解( 称为种子解) 来导 出新解b i i c k l u n d 变换虽然能把一个很复杂方程的解和一个简甲的方程联系起 来，但是很难找到这种变换的系统方法后来，人们将d a r b o u x 的一个用以处理二 阶线性常微分方程谱问题的方法应用到对非线性偏微分方程的显式求解中，从 而给出了d a r b o u x 变换方法 2 0 1 它的基本思想是：利用非线性方程的一个解及 其l a x 对的解，用代数算法及微分运算来得出非线性方程的新解和l a x 对相应的 解d a r b o u x 变换的实质也是以已知解为种子来导出新解，该方法具有很高的普适 性 近年来，胡星标教授在双线性b c k l u n d 变换和非线性叠加公式方面作了深入 和广泛的研究，取得了丰硕的成果 2 1 ，2 2 】；谷超豪院士、李翊神教授、周子翔教 授和刘青平教授等在d a r b o u x 变换方面做了许多重要的工作 4 、w r o n s k i a n l l p f a f f i a n 技巧 w r o n s k i a n 技巧也是种求孤了解的直接方法，它是 h f r e e m a n 和n i m m o 2 3 1 提出并建立起来的该方法以h i r o t a 双线性方法为基础。即首先要得到孤子方程 的双线性形式或双线性b l i c k l u n d 变换；然后选择适当的函数也构成w r o n s k i a n 形 式的行列式( 也，也，妒) ：再代入到双线性方程或双线性b i c k l u n d 变换中利 用w r o n s k i a n 行列式的性质和线性代数中i 拘l a p l a c e 定理进行验证在w r o n s k i a n 解 的验证中最终都化归为p l f i c k e r 荚系式或j a c o b i 恒等式，其证明过程非常简洁能 够进行解的直接验证，这恰是w r o n s k a i n 技巧的优势所在，因此w r o n s k i a n 是一 种应用广泛且高效的孤子求解方法f r e e m a n 和n i m m o 应用该方法获得了一系 、绪论 列发展方程和方程的b l i c k l u n d 变换w r o n s k i a n 形式的解 2 3 2 6 此外，孤子方程 的多孤子解除了町表示成w r o n s k i a n 形式外，还可有g r a m m i a n 形式的行列式解 n a k a m u r a 提出了k p 方程g r a m m i a n 形式的w r o n s k i a n 解1 2 7 1 ，g i l s o n 和n i m m o 推得 了d s 方程和离散k p 方程g r a m m i a n 形式的p f a f f i a n 解1 2 8 ，2 9 1 在1 9 8 9 年，h i r o t a 对解的表i ；作了更深入的研究和推广，首次将原本不太 引人注意的p f a | f i a n 用来表示孤子方程解的表示形式1 3 0 1 如将w r o n s k i a n 解用 p f a f f i a n 表示的话，则原来w r o n s k i a n 成立的恒等式( p l f i c k e r 关系式或j a c o b i 恒等 式) 都统一化归为所谓的p f a f f i a n 恒等式冈此，从本质上讲，p f a f f i a n 是w r o n s k i a n 的 一种自然推广但它l = l w r o n s k i a n 更紧凑如果将双线性方程看成是p f a f f i a n 的代数 关系式，则孤子方程就与k a c m o o d y l _ 数中的变换群理沦及其表示理沦很自然地 联系在起来，使我们能够很好地理解孤子方程的统一性 关于w r o n s k i a n 技巧，还有很多深入推广的工作f 3 1 - 3 5 1 至于p f a f f i a n 技巧， p f a f f i a n 化技术为已存在w r o n s k i a n 或g r a m a n i a n 形式解的孤子方程导出具p f a f f i a n 形式解新的可积方程提供了一种强有力的工具 3 6 ，3 7 ( 三) 、论文的主要工作和结构 本论文在双线性方法的理论框架下，深入地研究了孤予可积系统的求解 问题研究从解的h i r o t a 形式、w r o n s k i a n 和p f a f f i a n 等多种表示形式到各种精确 解的推导两个方面着手，揭示了孤子方程双线性结构的实质并将h i r o t a 方 法、w r o n s k i a n 技巧与b a c k l u n d 变换等求解方法的多样性和孤子方程的统一性有 机地联系在一起，充分说明了h i r o t a 方法是孤子方程精确求解的强有力工具并反 映了孤子方程丰富的代数结构文章安排如下： 全文共分四章其中第一章为绪论，分为孤立子理论的产生与发展和孤子 方程精确解的求解方法及其研究，以及本论文的主要工作三部分内容第二 章，首先给出双线性微分算子的定义及其基本性质其次详细推导变系数k p 方 程h i r o t a 形式的孤子解然后构造变系数k p 方程的双线性b i i c k l u n d 变换、非 线性叠加公式和l a x 对第三章，首先介绍孤子方程的w r o n s k i a n 形式解，其中包 括w r o n s k i a n 的有关性质和推导变系数k p 方程的w r o n s k i a n 行列式解其次给出关 于p f a f f 式的基本性质，并求解变系数k p 方程的g r a m m i a n 行列式解，其证明过程中 的解足由g r a m m i a n 型的p f a f f i a n 表示第四章，基于h i r o t a 双线性方法，综合讨论几 类波动方程的精确解的求解问题本章分为三个部分，第一部分推广h i r o t a 方法， 以b o u s s i n e s q 方程作为例子详实地介绍如何求得其新的精确解一周期波解。并以图 示分析研究，l 吉1 期波解的一些性质；第二部分以吲样方法得到( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方 程的周期波解，力通过长波极限法求得其有理解；最后部分是总结与讨论 4 一 、孤了，j 。穰n 勺“j 移! 什质 二、孤子方程的可积性质 所谓的孤了方程，也可称为具有可积性的方程，其中最基本的性质如 存在b i i c k l u n d 变换、非线住叠加公式、l a x 表示、无穷守恒律等当然，利 用h i r o t a 双线性方法求 h 孤子方程的一孤子解也是其可积的重要条件之一 h i r o t a 方法的基本思想是通过相关变量变换把非线性方稃化为双线性方程，再将 得到的双线性方程应用摄动方法进行求解本章将在h i r o t a 双线性方法的理论框 架下求解一些孤予方程的孤了解i i ：讨论其町积性质， ( 一) 、双线性微分算子的基本性质 为研究孤子方程，h i r o t a b i 进了如下形式的微分，称之为双线性微分算子【1 0 】 设n ( t ，x ) - 与b ( t ，z ) 是变量与z 的可微函数，引进微分算子d f 与d 。使得对任意的非 负整数m 并d n 有 d 职o b = ( o t 一包，) ( 以一吃，) ”o ( ，z ) b ( t 7 ，茁川。，；。，：。( 21 ) 根据卜述定义，显见 d x ab = a x b 一k ，d ：n - b = a x z b 一2 a 。b x + a b x 。 d ：a a = 2 ( a 。f l 一) ，d d 。a b = 。f 。6 一a t b x n 。钆+ a b r 。， 谚o b = a x 。b 一3 a 。k + 3 a ，k 。一a b x 。， 式( 2 1 ) 称为函数n 与6 对施行”次口“对z 施行n 次i k 的双线性导数这种导数具 有以卜，性质： 性质2 1 荇m + n 为奇数，则 性质2 2 性质2 3 性质2 4 d f m u n n a = 0 ( 2 2 ) d y 璎n b = ( - 1 ) ”“d ，职6 a ( 2 3 ) d z a b = 0 的充要条件是n = k b ( 女为常数) d m 。n 口1 = 掣啦a f 2 4 ) ( 2 5 ) 、孤子方程的日j 积十牛质 性质2 5 设矗= 岫t + 觑z + o 0 = 1 ，2 ) ，则有 q m 上，。ne x p e x p 2 = ( b ) 1 一地) ”( k l k 2 ) ”e x p ( j + 已) ( 2 6 ) 由此推得 d d ；e x p l e x p 1 = 0 。( 2 , 7 ) ( 二) 、变系数k p 方程hr o t a t 式的一孤子解 近年来，变系数非线性发展方程的研究已引起众多数学和物理工作者的重 视特别是用于描述物理模型的变系数广义k p 方程，在浅水波、等离子体物理 学等中有着重要的作用，引起学者极大的兴趣在本节，我们构造如下的变系 数k p 方程： u t + f ( t ) u u 。+ 9 0 ) “。+ f 0 ) “+ q ( t ) u 。+ n ( t ) u pl + m 0 ) u = 0 ， ( 2 8 ) 其中，( ) ，9 ( t ) ，f ( t ) ，q ( ) ，m ( ) 和n ( t ) 都是关于的任意函数在特殊情形下，方 程( 2 8 ) 训退化为通常的k p 方程现在用h i r o t a 双线性方法来求出其孤子解作 变换 ”( 啪，) = 1 - - 2 。_ ，l ( 州 1 n f ( 删，t ) b ( 2 9 ) 方程( 28 ) 的变系数双线性导数方程为 l d x d t + 9 0 ) 噬+ q ( t ) d ：+ m ( t ) d ；+ n o ) d 。d 9 i f f = 0 ， ( 2 1 0 ) 其中包含限制条件 f ( t ) = c o g ( t ) e f ( ) 出，( 2 1 1 ) 式中c o 0 是任意积分常数当然条件( 2 1 1 ) 只是方程( 2 8 ) 通过p a i n l e v 6 钡, l 试的 特殊情形之一 设f ( z ，y ，t ) 可按参数e 展成级数 r ( x ，t ) 一1 + f ( 1 ) + f ( 2 ) e 2 + + f u ) e j + 一( 2 1 2 ) 将( 2 1 2 ) 代入( 2 1 0 ) 并比较的刚次幂系数得 砖；+ 9 ( t ) e 2 。+ q ( ) e ：+ m ( ) f ( 2 + n ( ) 曩：= 0 ， ( 2 1 3 ) 2 ( f 。( t 2 + 9 ( ) e 翌。+ q ( ) 砖：+ m ( z ) q ；十n ( t ) 砭；) 一6 一 、孤予方程的n j 税什质 = 一 眈d + 9 ( ) 谚+ q ( t ) 珑+ m ( ) d ；+ n ( ) 见d 。i f f ， ( 2 1 4 ) 定尹+ g t t 、f 。( 。a ) 。+ 9 0 ) 蹬+ f n ( t ) 蜀；+ ( ) 怒； = 一【皿d + g ( ) 噬+ 口( ) 珑+ m ( ) d ；+ n ( ) 功巩f f ， ( 2 1 5 ) 2 1 f 4 + g ( d e o 蹦)+ 9 0 ) 碍：+ z ( ) f 嚣+ n ( ) 曩；) ：一 d 。d + g ( t ) 珑+ q ( ) d ：+ m ( t ) d ；+ n ( ) d 。d 。 ( 2 f 1 - ，3 + f 2 ) f 2 ) ，( 2 。1 6 ) ( 1 ) 单孤子解，显然方程组( 2 1 3 ) ( 2 1 6 ) 有一个特殊的线件指数函数形式的解 f ( 1 ) = e “f ( 2 ) = f ( 3 ) = = 0 ( 2 1 7 ) 当= 1 时，级数( 2 1 2 ) 变为 f = 1 + e “ 扣z k l x + k l p l y - 4 k ；f 砟) d t - k l 眯) d t - k l p ；fm ( t ) d t - k l p l 唰蝌) ( 2 1 8 ) 从而方程( 2 8 ) 有单孤子解 u = 罢球叫( f ) 小鼬2 i - z + e i p l y - - 4 k ；如) 出 二女，f q ( t ) d r - k , p i m ( t ) d t - k l p t n ( 岫+ ( 2 1 9 ) ( 2 ) 二孤子解再设 f ( 1 ) = 1 + e 如 白= 2 b 计b 功州碍卵) 肌码们) r l _ 白考m 舭b 乃础) 蚪纠 ( 2 2 0 ) 代入f 2 1 4 、詹有 由此解得 f ( 2 ) 曩；+ 9 ( ) 曩2 。+ q l t 、f ( 2 + m ( ) q ；+ n ( t ) 卑： = 4 t 也陋( ) ( h 一：) 2 一m ( ) ( p ，一p 2 ) 2 p 均 ( 2 2 1 ) 毒t + 和+ a 1 2 砂2 = 蒜黔等焉糌等( z 2 2 ， 。 1 2 9 ( ) ( 1 + 2 ) 2 一m ( ) ( j ，l 一】，2 ) 2 。 7 7 _ 、孤子方程的a j 积忭质 于足从( 2 ，1 5 ) 与f ( ) ( 1 = 1 ，2 ) 的表达式推知 砖? + g g t t s f ( 。3 。) 。+ q ( ) q ：+ r e ( t ) f 嚣+ n 0 ) q ；= 0 ( 2 2 3 ) 从而不难导出f ( 3 ) = f ( 4 ) 一= 0 ，而( 2 1 2 ) 被截断成有限形式，取= 1 ，它为 对应的二孤子解为 f = l + e 1 + e f 2 + e t h + 2 + a 1 2 u = 和毗肺 型普筹鬈筹芸燮 【2 k l e f l + 2 k 2 e 缸+ 2 ( k 1 + k 2 ) e 1 + 缸+ 4 1 2 1 21 1 + e “+ e f 2 + g l + a + a 1 2 1 2 j ( 3 ) n - 孤子解一般地，如果取 f ( 1 ) ：e f l + e 如+ + e “， 白= 2 b z + b 功一4 碍。( t ) 出一向a ( t ) 出一岛窍厂m ( t ) 出 一磅巧n ( t ) 出+ 彰。) o = 1 ，2 ，一，) 则通过归纳可得级数( 2 1 2 ) l 当e = l 时的截断式 其中对卢的和式仍表示当u j ( j = 1 ，2 方程( 2 8 ) 的，孤子解为 1 2 “。瓦8 它也可以通过阶行列式表示为 ( 22 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ， 。：! 垫垡2 f 生二鱼! ：二竺! 1 2 ( 堡二丝2 ： 。x 2 9 ( t ) ( k j + 乜) 2 一m ( t ) ( p j p f ) 2 ( 2 2 7 ) ，) 取0 或1 时所有可能的项之和于是 舭a z ) 儿 1 茎， f ( 2 2 8 ) 一1 2e - i t ( t ) d t 啡t ( 勘+ 雨2 k je 学) l ( 。- 2 9 ) 一8 山0 外 + 6 。触 u 懿 一 = 艮 卜 尚 。埘 ， 唧 圳 ，l 一：、孤了方程的n 手 ! t t 质 ( 三) 、 变系数k p 方程的双线 l 生b & c k l u n d 变换 孤子方程存在b 自i c k l u n d 变换足其司积性的一个重要特征它既可以构造 多孤子解，又可以用于获得守恒律卯与反散射方法存在着紧密的联系研 究b i i c k h m d 变换的基木问题是：对于给定的非线件发展方程，如何设法导出它 的b a c k l l l n d 变换以及如何通过此变换给m 新解的显式表示在；j b = 。仃，我们将讨论 变系数k p 方稗的双线性b a c k l u n d 变换 考虑其双线性方程( 2 1 0 ) ，令r ( z ，y ，t ) 是方稃的一个解，疋( z ，y ，) 是其另一 个解若我们找到联系f l ( z ，y ，t ) 和f 2 ( z ，y ，) 的两个方程，即满足 p 三 d = d c + g ( ) d 4 + q ( ) d ：+ m ( ) d ：+ n ( t ) 玩d f z ，f 2 f , f l 一易f 2 见夙+ g ( t ) d ：+ 口( t ) 噬+ m ( t ) 瑶+ n ( ) 巩d 刁r f 1 ) = o ，( 23 0 ) 则它就是b i i c k l u n d 变换 我们引入两个零项 一6 9 ( t ) a d = ( d x f 2 f j ) r r + 6 9 ( ) a d ， 月f 2 ( 玩r 如) ( 23 1 ) 和 一6 m ( t ) a 珥( d p f 2 f 1 ) ，f i 乃+ 6 m ( t ) d # ( a 玩尼f 1 ) f i 兄， ( 2 3 2 ) 其中a 为任意参数，将其代入( 2 3 0 ) 后有 p ； d 。d t + 9 ( t ) 磁+ 口( ) d ：+ m ( ) d ；+ n ( t ) 玩d ， f 2 g f f t 一6 9 ( t ) a d 。( 皿b f 】) f 】f z 一6 m ( t ) a d 。( d 而月) f i 最 一f 2 f 2 d 。d c + 9 ( t ) 珑+ q ( ) d ：+ m ( t ) d ；+ n ( ) d 。d ，e l r ) + 6 9 ( t ) a 优【f l 马- ( 上kf 】足) 1 + 6 m ( t ) d 。( a d 。如e 1 ) 月f 2 = 0 ( 2 3 3 ) 利用双线性算子性质1 8 1 0 1 ，可得 p = 2 d 。 d c + 9 ( ) d ：一3 m ( t ) g ( t ) d z d t + g ( t ) d 。一3 q ( t ) a d = 一3 m ( t ) a d 。+ n f ) 9 f 2 f 1 ) f l 最+ 6 9 ( ) d ， d ：+ m ( ) 岛+ 高玩+ a 足f j ) ( d ，f j r ) + 2 m ( t ) d ， 3 9 ( ) d ：+ d ，+ 3 a d 。+ 3 9 ( t ) a b 日) f j f 2 ( 23 4 ) 一，孤f 方程的口j 积忤质 显然，满足方程( 2 3 4 ) 的条件是m ( ) 5 而访和以下方程成立： i1 9 ，, + g ( t ) d ：一3 m ( t ) g ( t ) d ：。d t + q ( ) 一3 9 ( t ) a d ：。一3 m ( t p , d j ”+ 几( t ) d if 2 f l = 0 ， ( 2 3 5 a 。) 障+ 邮) 巩+ 高见+ a f 2 f l _ 0 ) ( 2 姗) 其中a 为一个任意常数，这就是方程( 2 8 ) 双线性形式的b a c k l u n d ! 变换而且上述方 程可以等价写为 功+ 如) 珑一见d t + q o ) 眈一3 如) a 珑一高b + 呻) b f 2 f 1 = o ，( 2 3 6 a ) 阻赤阱高阱a 卜f 1 扎( 2 3 6 b ) 即为另一种形式的b i i c k l u n d 变换 值得沣意的是这里所求的b f i c k l u n d 变换不是自b a c