（基础数学专业论文）有限反射群coxeter群的最长元的一些问题.pdf

摘要 本学位论文研究了有限反射群，分为三章 第一章，主要介绍了本论文的一些概念。我们介绍了反射群和w e y l 群的 相关知识，并指出了有限c o x e t e r 群与w e y l 群之间的关系。最后我们还介绍了 c o x e t e r 群的抛物子群和c u s p i d a l 类的相关知识。 第二章，主要研究有限c o x e t e r 群的最长元的一般表达式。我们还发现典 型的w e y l 群的最长元的表达式的规律，并通过推广得到了它们的一般表达式。 第三章，研究了有限c o x e t e r 群的最长元的共轭类与c u s p i d a l 类。首先我 们给出了最长元的共轭类是c u s p i d a l 类的有限c o x e t e r 群，也给出了最长元的 共轭类不是c u s p i d a l 类的有限c o x e t e r 群。最后刻画了有限c o x e t e r 群内与最 长元的共轭的长度最短的元素的集合以及该集合中元素的个数。 关键词：c o x e t e r 群；w e y l 群；共轭类：最长元：c u s p i d a l 类：抛物子群 a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，s o m ef i n i t er e f l e c t i o ng r o u p sa r es t u d i e d t h et h e s i si sd i - v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ef i n i t er e f l e c t i o ng r o u p sa n dw e y lg r o u p s f u r t h e r m o r e ，w ep o i n to u tt h er e l a t i o nb e t w e e nc o x e t e rg r o u p sa n dw e y l g r o u p s l a s t l y , w ei n t r o d u c et h ep a r a b o l i cs u b g r o u p so fc o x e t e rg r o u p sa n d c u s p i d a lc l a s s h c h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h eg e n e r a le x p r e s s i o no ft h el o n g e s te l e m e n t i nf i n i t er e f l e c t i o nc o x e t e rg r o u p s w ef i n do u tt h er u l ei nt h ee x p r e s s i o no f t h el o n g e s te l e m e n ti nt h ec l a s s i c a lw e y lg r o u p s ，a n dg i v et h e i rg e n e r a le x - p r e s s i o n s t h ea i mo fc h a p t e r3i st os t u d yt h ec o n j u g a c yc l a s sa n dc u s p i d a lc l a s so f t h el o n g e s te l e m e n ti nt h ef i n i t ec o x e t e rg r o u p s w ef i g u r eo u ts o m ec o x e t e r g r o u p sw h o s ec o n j u g a c yc l a s so ft h el o n g e s te l e m e n ta r ec u s p i d a lc l a s sa n d w h i c ha r en o tc u s p i da lc l a s s i na d d i t i o n ，w ea l s od e s c r i b et h es e to fe l e m e n t s o fm i n i m a ll e n g t hi nc o n j u g a c yc l a s so ft h el o n g e s te l e m e n t si nt h ec o x e t e r g r o u p sa n dg i v et h e i rt h eo r d e r s k e y w o r d s ：c o x e t e rg r o u p ；w e y lg r o u p ；c o n j u g a c yc l a s s ；t h el o n g e s te l e m e n t ； c u s p i d a lc l a s s ；p a r a b o l i cs u b g r o u p 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n 1 1t h ef i n i t er e f l e c t i o ng r o u p sa n dw e y l g r o u p s i na ( r e a l ) e u c l i d e a ns p a c eve n d o w e dw i t hap o s i t i v ed e f i n i t es y m m e t r i cb i - l i n e a rf o r m ( a ，肛) ，ar e t i e c f i o ni sal i n e a ro p e r a t o r8o nvw h i c hs e n d ss o m e n o n z e r ov e c t o rqt oi t sn e g a t i v ew h i l ef i x i n gp o i n t w i s et h eh y p e r p l a n eh 0 t t h o g o n a lt oq w em a y w r i t es = 如，8 口= s 衄f o ra n y n o n z e r oc r t h e r e i s as i m p l e f o r m u l a ： s n a = a 一粼o t i ti sc l e a rt h a t ( s e a ，s n 弘) = ( 入，p ) f o ra l la ，肛v ，i na d d i t i o n ，s 。2 = 1 a 矗n i t e g r o u pg e n e r a t e db ys o m er e f l e c t i o n si sc a l l e daf i n i t er e f l e c t i o ng r o u p t a k e 圣 t ob eaf i n i t es e to fn o n z e r ov e c t o r si nv s a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n s ： ( r 1 ) 圣nr a = 口，- 4 f o ra l l 口圣； ( r 2 ) 8 n 圣= 圣f o rf o ra l l 口呜 ( l 3 ) w - - w ec a l l e d 圣ar o o ts y s t e mw i t ha s s o c i a t e dr e f l e c t i o ng r o u pw t h ee l e m e n t so f 圣a r ec a l l e dr o o t s t os o m et o t a lo r d e r i n go fv ，w ec a l las u b s e t 圣+ ap o s i t i v e s y s t e mi f 圣+ = a 圣i 口 o ) i ti sc l e a rt h a t 圣= 币+ u 圣一a n d 圣+ n 圣一= ， w h e r e 西一b ec a l l e dan e g a t i v es y s t e m c a l las u b s e tao f 圣as i m p l es y s t e m ( a n dc a l li t se l e m e n t ss i m p l er o o t s ) i fa i sav e c t o r s p a c eb a s i s f o rt h er s p a n o f 圣i nva n di fm o r e o v e re a c h 圣i sal i n e a rc o m b i n a t i o no faw i t ht h e s a m es i g n ( a l ln o n n e g a f i v eo ra l ln o n p o s i t i v e ) i fp 圣，w r i t eu n i q u e l yp = 口c a o t ，a n dc a l l t h eh e i g h to f ( r e l a t i v et o ) l e m m a 1 1 1 ( 1 1 1 ) r ft o ( v ) a n d 口i saa n yr l o n z g l ov e c t o ri nv ，t h e nt s 口t 一= s t q i np a r t i c u l a r , 矿伽ew ，t h e ns u ab e l o n g st oww h e n e v e rs ad o e s 江西师范大学硕士学位论文 l e m m a 1 1 。2 。( 1 1 1 ) 翟i sas i m p l e s y s t e mi n 匈。t h e nt h e r e i sau n i q u ep o s i t i v es y s t e m c o n t a i n i n ga l e m m a1 1 3 ( 1 1 1 ) l e tab ess i m p l es y s t e m ，c o n t a i n e di nt h ep o s i t i v es y s t e m 圣+ 驴 o l a ，t h e ns n ( 圣+ a ) ) = 圣+ n ) l e m m a1 1 4 ( n 1 ) f o r 口触e as i m p l es y s t e ma ，wi sg e n e r a t e db yt h er e f l e c t i o n s s 。( o ! ) l e m m a1 1 5 ( n 1 ) f o raf i x e ds i m p l es y s t e ma ，wi sg e n e r a t e db yt h er e f l e c t i o n s s a ( a i x ) ，矿似w ，t h e nw a i sa n o t h e rs i m p l es y s t e m a na r b i t r a wuc wc a nb ew r i t t e na sap r o d u c to fs i m p l er e f l e c t i o n s ，s a y u = 8 1 8 ，( w h e r e 吼= s 口。f o rs o m eo 屹) d e f i n et h el e n g t hf ( u ) o f ( r e l a t i v et ou ) t ob et h es m a l l e s trf o rw h i c hs u c ha ne x p r e s s i o ne x i s t s ，a n d c a l lt h ee x p r e s s i o nr e d u c e d h a v i n gf i x e daa n dt h ec o r r e s p o n d i n gp o s i t i v e s y s t e m 西+ ，w ed e f i n e 佗( ) ：= c a r d ( 垂+ nu 一1 ( 一西+ ) ) = n u m b e ro fp o s i t i v e r o o t ss e n tt on e g a t i v er o o t sb yu l e m m a 1 1 6 ( 1 1 1 ) i f w w ，t h e nn ( ) = f ( u ) t h e r ee x i s tau n i q u ee l e m e n t0 y 0 ws e n d i n g 圣+ t o 圣一a n dc a l lw 0t o b et h el o n g e s te l e m e n t m o r e o v e r , l ( w o ) = n ( w o ) = c a r d 垂+ i np a r t i c u l a r , 岖1 = u o i ti sc l e a rt h a tz ( 咖u ) = l ( w o ) 一2 ( u ) f o ra l lu w 1 2t h er e l a t i o no ft h ec o x e t e rg r o u p sa n dt h ew e y l g r o u p s w ed e f i n eac o x e t e rs y s t e mt ob eap a i r ( 彬s ) c o n s i s t i n go fag r o u pw a n da s e to fg e n e r a t o r sscw ，s u b j e c to n l yt or e l a t i o n so ft h ef o r m ( 8 8 7 ) ”( ”。) = 1 ， w h e r em ( s ，s ) = 1 ，仇( s ，s 7 ) = m ( s 7 ，s ) 2f o r8 s i ns i nc a s en or e l a t i o n o c c u r sf o rap a i r8 ，s 7 ，w em a k et h ec o n v e n t i o nt h a tm ( s ，s 7 ) = o 。m o r e o v e r , w e m a y r e f e rt owi t s e l fa sac o x e t e r g r o u p ，w h e nt h ep r e s e n t a t i o n i su n d e r s t o o d t h ef i n i t ec o x e t e rg r o u p sa r ep r e c i s e l yt h ef i n i t er e f l e c t i o ng r o u p s w e s a yar o o ts y s t e m 圣i sc r y s t a l l g r a p h i ci fi ts a t i s f i e st h ea d d i t i o n a lr e 4 q u i r e m e n t ： 2 等茅筹zf o ra l la ，p 圣 t h e s ei n t e g e r sa r ec a l l e dc a r t a ni n t e g e r s i ti sa c t u a l l ye n o u g ht or e q u i r et h a t t h er a t i o sb ei n t e g e r sw h e n 口，p a t h eg r o u pg e n e r a t e db ya l lr e f l e c t i o n ss 。( 乜圣) i sk n o w na st h ew e y lg r o u po f 圣i ti sc l e a rt h a tt h et y p e k a r ew e y lg r o u p s ，w h e r e 溉= a n ( 佗1 ) ，鼠m 2 ) ，g m 2 ) ，仇( 佗 4 ) ，鼠，历，岛，只，g 2 = 如( 6 ) b u tt h eg r o u p so ft y p e s 风a n d 凰a r en o tw e g r o u p s l e m m a1 2 1 “5 d 彬= 矿s t 2 = 1 ( 口i ) ，( s i s j ) ”( 以，勺) = 1 ( s t s j ，仇( & ，s j ) o 。，o q ，) ，w h e r em ( 锄，) d e n o t e st h eo r d e ro f s i s j 伽w ， t h e nw e y lg r o u pwi s 口c o x e t e rg r o u p b yl e m m a 1 2 1w ec a nk n o wt h ew e y lg r o u p so ft y p e sx 竹a r ec o x e t e r g r o u p s ，w h e r ek = a 。( 佗1 ) ，风( 佗2 ) ，玩( 佗4 ) ，昂，历，b ，局，g 2 = 如( 6 ) t h ec o n n e c tc o x e t e rg r a p ho ft h e s ec o x e t e rg r o u p sa n dt h eg r o u p so f t y p e sh 3a n dh 4 a r ef o l l o w i n g ： 1234 5 n - 1n a 。 4 12 3 45n 一1n 13 4 56n 1n 仇 曼 1 2 3 h 3 3 134567 8 4 4 奎二 1 3p a r a b o l i cs u b g r o u p h a v i n gf i x e d ，l e ts b et h es e to fs i m p l er e f l e c t i o n ss 口，o f o ra n ys u b s e t i s ，d e f i n e 忻t ob et h es u b g r o u po fwg e n e r a t e db ya l ls a i ，a n dl e t ，：= q t s 口朋- a tt h ee x t r e m e s ，= 【1 ) a n dw s = w r e p l a c i n g b y a n o t h e rs i m p l es y s t e mw aw o u l dj u s tr e p l a c e 肌b yi t sc o n j u g a t e 叫肌叫 a l ls u b g r o u p so fwo b t a i n a b l ei nt h i sw a ya r ec a h e dp a r a b o l i cs u b g r o u p s i f ( 彬s ) i sac o x e t e rs y s t e m ，t h e n ( 晰，i ) i sac o x e t e rs y s t e mi ni t so w nr i g h t , w h e r eics 。 l e m m a1 3 1 ( 1 3 1 ) l e tj 。kc s t h e nji sc o n j u g a t et oki nwi f a n do n l yi f w ja n dw k a r ec o n j u g a t ei nw i np a r t i c u l a r , i j l = i k lw h e n e v e rw sa n dw ka r e c o n j u g a t ei nw t h ei n t e r s e c t i o no ft w oc o n j u g a t e so fp a r a b o l i cs u b g r o u p so fw i sa g a i na c o n j u g a t e o fap a r a b o l i cs u b g r o u po fw i nf 2 1 ，ac o x e t e re l e m e n to f ( 彬s ) i sap r o d u c to fa l l8 si na n yg i v e n o r d e nt h u si fs = 8 l ，一，s 竹 t h e nu = s 1 8 ni sac o x e t e re l e m e n to fw a n da n yp e r m u t a t i o no ft h e8 ti nt h ew o r dug i v e sac o x e t e re l e m e n t , a l t h o u g h n o tn e c e s s a r i l yad i f f e r e n to n e t h et o t a ln u m b e ro fc o x e t e re l e m e n t so fw i s d e t e r m i n e d a c o n j u g a c yc l a s sco fw i sc a l l e dac u s p i d a lc l a s si fcn = 彩f o ra l l p r o p e rs u b s e t si cs f u r t h e r m o r ef o re v e r yc o n j u g a c yc l a s sc o fw ，w ed e - n o t eb y 饥= 叫c l l ( 伽) l ( v ) f o ra l l 口c ) t h es e to fe l e m e n t so fm i n i m a l l e n g t hi n c l e tcb et h ec o n j u g a c yc l a s so fw c o n t a i n i n gt h ec o x e t e re l e m e n t s ， t h e nci sac u s p i d a lc l a s sa n d 饥= _ 【伽w l wi sac o x e t e re l e m e n to f 彤， i ng e n e r a l ，ac o x e t e rg r o u pw i l lh a v em o r et h a no n ec u s p i d a lc l a s sa n dn o t o n l yc o x e t e re l e m e n t sw i l lo c c u ra se l e m e n t so fm i n i m a ll e n g t h l e ti s a n dl e tw ws u c ht h a tt h ec o n j u g a c yc l a s sc lo fwi nw ii sc u s p i d a li nw l ， t h e nc 7 = cn 肌，w h e r eci st h ec o n j u g a c yc l a s so fwi nw g i v e nar e d u c i b l ec o x e t e rg r o u pw = m 肌，s h o wt h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) i fc i sac o n j u g a c yc l a s so f 姒 = 1 ，2 ) ，t h e nc = c 1 xqi sac o n j u g a c y c l a s so fwa n dc k n = c 兹汛c 舞泔 ( 2 ) t h ec o n j u g a c yc l a s sc = c l q o fw i sac u s p i d a lc l a s si fa n do n l yi fc 1 i sa c u s p i d a lc l a s so fm a n dc 2i sac u s p i d a lc l a s so f 4 c h a p t e r 2 t h e e x p r e s s i o n so ft h el o n g e s t l e m e n t si nc l a s s i c a lw e y l g r o u p s i n t r o d u c t i o n l e t 西nb ei r r e d u c i b l er o o ts y s t e mo ft y p e ，w h e r e = a 竹( 佗1 ) ，鼠( 扎 2 ) ，瓯( 扎2 ) ，风( 佗4 ) l e t = 口l ，勉，口。】b eac h o i c eo fs i m p l er o o t s y s t e r no f 咖n ，a n d 蝣t h ec o r r e s p o n d i n gp o s i t i v er o o ts y s t e m f o r1i 1 w ed e n o t e 口巧2 啦+ 锄+ l + + 一1 + f o r1 i 歹住t h eh i g h e s tp o s i t i v er o o t a 器= q l n l e t y j = q 巧1 1 j 忱) a n d 一巧= 一1 1 i 歹s 佗) ，w h e r e o q i 。吼w e c a n g e t t h a t ： ( 1 ) 圣：= u l 巧= 圣0 1uk ，a n d & 匕= 巧f o r1 i j 一1 佗一1o r 1 歹 i 佗一1 ； ( 2 ) s f 时= 时f o r1 j i 一1 佗一1 ，a n d 魏一l = 1 啦t ) f o r2 i 佗 l e m m a 2 1 1 f 佑j ) s 孑= 8 1 8 2 8 n - 1 8 他8 n - 1 一2 8 2 8 1 江西师范大学硕士学位论文 b y 【5 】，w ec a l lg e t i t i nc a s en = 3 ，u 8 = 8 1 s 2 s 3 8 1 8 2 s i ，a n d 胡( 口1 ，( x 2 ，叻) = ( - - o l 3 ，一0 1 2 ，一0 1 1 ) ， s 3 = 8 1 s 2 8 3 8 2 8 1 i nc a s e n = 4 ，u 3 = s 1 $ 2 8 3 8 4 【0 3 ，a n du 3 ( q 1 ，口2 ，口3 ，o t 4 ) = ( 一q 4 ，- - 0 1 3 ，w o t 2 ，一口1 ) i nc a s e 佗= 5 ，u 8 = s l s 2 s 3 s 4 s 5 叫3 ，a n d 瞎o i = 一口5 + l i ，f o r1 t 5 p r o p o s i t i o n2 1 2 嵋= 8 18 2 8 n - 1 8 n u 孑一1a n d 嵋口 = 一+ 1 一if o r1 z 礼， 晡喈= 一略，s 子= 鳍。既 p r o o f ：i n d u c t i o no n 佗i f 佗5 ，i ti sc l e a r s u p p o s ef mw eh a v e “= 8 1 8 2 鼠一1 8 1 u 扩1 ，a n du 5 口t = 一o + l tf o r1 i z i np a r t i c u l a r 嵋一1 圣0 1 = 8 1 8 2 8 n - 1 u 孑一2 垂0 l = 8 1 8 2 , q n - - 1 嵋- 2 ( 西：一2uk 1 ) = 8 1 8 2 s 。一1 ( 圣：一2uy 么一1 ) = 垂o i ， a n d 嵋一1 啦= 一一 f o r1 i 佗一1 t h e n , w e h a v e s l s 2 8 n - - 1 8 钆u 孑一1 中嘉= 8 1 s 2 s 礼嵋一1 ( 西0 1uk ) = 8 1 8 2 s 竹( 垂0 1u k ) = 8 1 8 2 5 佗 味2u ( 一k 一，) uk = 8 1 8 2 8 n - - 1 【圣：一2u ( - k ) uk 一1 = 圣0 1u ( 一k ) = 圣二 t h u s 嵋= 8 1 8 2 8 n - - 1 8 n u 0 灿1 f o r1 i 他一1 ， 嵋叱= 8 1 s 2 8 n - - 1 8 n 孑_ 1 0 q = 8 18 2 8 n - - 1 8 n ( 一凸! n i ) = 8 1 8 2 , q n - - i ( 一o 一 一o l n 一件1 ) = b 1 8 2 , s n - - i l ( 一o 一i + 1 ) 2 一( + 1 一i 瞄= 8 1 8 2 8 n - 1 8 n 嵋_ 1 = 8 1 8 2 。q n - - 1 8 札8 1 8 2 8 n - 1 瞎o l n = 8 1 8 2 8 n - - 1 8 他8 1 s 2 8 n - 1 ( ) = b 1 8 2 s ”( 口1 n ) = 一口1 6 s o 嵋啦= - - 0 竹+ l if o r1 i m a n d w 孑0 o = 一0 0 b yl e m m a 2 1 1 ，i ti sc l e a rt h a ts 子= s n s 若一1 s 竹 2 2t h e t y p eo fb 礼( 佗2 ) t h er e f l e c t i o ng r o u po ft y p eb n ，i t sr o o ts y s t e m 圣n = 士矗4 - 4 1 1 i 1a n d1 墨i ，歹佗，a n d8 i 0 i = 一q i ，f o rlsi 墨弼 ( 2 ) s i 0 歹= 啦+ 哟f o ri i j i = 1a n d2 ，j 嘭 ( 3 ) 8 2 0 120 i + 0 2a n d8 1 0 222 0 1 + 0 2 ，0 02 矗一1 + 厶= 0 l n + 0 l ( r l 1 ) l e m m a2 2 1 ( 1 5 1 ) s 器= 8 r , - 1 8 n 一2 8 2 s 1 8 2 s n - - l s 礼一1 s 2 s l s 2 鼽一2 8 n 一1 b y 【5 】，w e c a ng e ti t l e tm = 0 1 ，蚝= 嘞，0 1 2 ，0 1 2 + 口1 ) a n dm = 哟i ，啦，0 1 i 十0 l j f l 歹 i 佗) t h e r ea r ep r o p e r t i e s ： ( a 1 ) 8 t k = k 一1u - 0 , u 【乜“+ 口l a 一1 ) ) ，a n ds w i l = k 啦，g i ! l i + 0 1 ( i 一1 ) ) f o r2 i 佗： ( a 2 ) s i y j = y jf o r1 i 】 = 圣0 2u ( 一k ) 【一口。，一n 1 。，一口，似一1 ) ) u 一) u ( 一k 一1 ) u c ) ，一q 1 。，一a 1 仰一1 ) ) 【q 舰) = 圣二一2u ( 一碥) u ( 一一1 ) = 垂： t h u s “，嚣= s 礼s 札一1 s 1 8 2 s 一l s n u 孑一1 “召口1 = 8 n , q n 一1 , q l , q 2 s n 一1 8 礼“召一l o l l = s 竹s n 一1 s ls 2 , s n - 1 8 n ( 一a 1 ) = s 竹s 忆一1 8 1 8 2 ( b o 1 ) = s n s n 一1 s 1 ( 一q l q 2 ) = 8 n s n 一1 $ 2 ( - - o f 1 一q 2 ) = s 佗s 一1 8 3 ( 一0 1 ) = 一q l 【j 孑0 1 2 = s 竹s 一1 , s l s 2 s n - 1 s 竹c u o n l ( 0 1 2 ) = s n s 饥一1 8 1 8 2 8 n _ 1 8 n ( - - a 2 ) = 8 n 8 n 一1 s l s 2 ( 一q 2 一a 3 ) = s s 竹一l s l ( - - c 2 3 ) = s 竹s 竹一1 8 2 ( 一o 3 ) = s 竹s 竹一l q 3 ( 一口2 一o ，3 ) = s n s n 一1 s 4 ( 一口2 ) 2 一u 2 f o r3 住一1 ， “学啦= , q n s n l s 1s 2 8 n - 1 8 住“召一1 0 q2s n s n 一1 8 i 8 i + 1 ( 一叱) = s 竹s 札一1 s l s 2 s t ( 一。屹一。咤+ 1 ) = s 佗s n 一1 s l s 2 s t l ( 一o ! t + 1 ) = s n s 竹一l s t + 1 s i ( 一。屹+ 1 ) = s 佗s n 一1 8 i + 1 ( 一o l i 一啦+ 1 ) = s n s n 一1 s i + 2 ( 一a t ) = 一q t 晡o n = , q n , q n 一1 s l s 2 。q n - 1 s n ( s 竹一l s l s 2 s n 一1 “召一2 ) o = 8 n 8 札一l s l s 2 q n - - 1 8 n s n 一1 8 1 8 2 8 n - 1 ( q n ) = s n s 忆一1 s l s 2 s n s n 一1 s l ( 口2 n ) 8 = 8 n 8 n 一1 8 1 8 2 8 n ( q 1 n + o t l ( n 1 ) ) = 8 n 8 n 一1 8 1 8 2 ( c r i 竹+ o t l + q 2 ) = 8 n 8 住一1 s 1 ( a l n + 口1 ) = s n s n 一1 8 2 ( 0 f 2 n j = 一 t h u sw 3 a i = 一锄f o r1 i 扎，a n d 嵋口子= 一口孑 b yl e m m a2 2 1 ，i ti sc l e a rt h a ts 3 = 8 n - - 1 b n s 3 1 s n 8 n 1 2 3t h et y p eo f ( 几2 ) t h er e f l e c t i o ng r o u po ft y p e 倪d u a lt o 点k ，b y 【5 】，w ec a ng e t l e m m a 2 3 1 ( 1 5 1 ) s 若= 8 n 8 1 8 2 8 1 8 n - 1 8 n p r o p o s i t i o n2 3 2 u 孑= 8 n 8 n 一1 8 1 8 2 8 n - 1 8 竹蚶一1 ，a n du 孑锄= 一啦 声r1 i 礼，u 子口子= 一凸0 ，s 孑= 8 n 8 ”0 1 8 2 4t h e t y p eo fd n ( n 4 ) t h er e f l e c t i o ng r o u po ft y p ed n f o r 佗 圣竹= 土已士白1 1 i 歹佗， f o rt h es i m p l es y s t e mat a k e o 1 = 1 十2 ，0 f 2 = 2 l ，o 竹 t h e r ea r e 4 ，i t sr o o ts y s t e m = 矗一矗一1 ( 1 ) 瓯口t = 一叱，f o r1 i 佗a n do 苦= 靠一1 + 矗= d 1 n + a 3 ( 竹一1 ) j ( 2 ) s i a j = 叱+ f o ri i 一歹l = 1a n d2 i j n j ( 3 ) 8 1 c 2 32o t l + o t 3 ，a n d8 3 0 t 12o t l + 0 1 3a n d8 1 q 22o t 2a n d8 2 0 1 12 o t l ； ( 4 ) o t h e r w i s e8 i o q = 口，f o r1 i 歹佗 s ow eh a v e8 i o t l n = 口1 n ，f o r3 i 佗，a n d8 3 g q 他= q 1 n + o ，3 l e t 蚝= q 1 ，口2 ) ，蚝= 锄，q 1 3 ，口2 3 ，o l l + 口3 a n d 巧= ，q l j 一口2 ，口l j + a s k 1 i j 住a n d3 歹一1a n d 4 j 讫) t h e r ea r ep r o p e r t i e s ： ( a 1 ) & = k 一1u 一。屹_ u 【q l t + 凸，3 0 1 ) ) f o r3 i 佗； ( a 2 ) & k 一1 = m 叱，口“+ c y 3 ( i - 1 ) ) f o r3 i 佗； ( a 3 ) s t 巧= 巧f o r1 i j 钆o r3 歹+ 1 i 钆； 9 口 ( a 4 ) 圣去= u ：2 巧= 圣0 1u k i nc a s e 佗= 4 ，翻= 8 1 s 2 8 3 8 4 8 l s 2 s 3 s 4 s l s 2 8 3 8 4 ，a n du 8 0 屹5 - - o qf o r1 i 4 ，s 3 = 8 3 8 2 8 1 8 3 8 4 8 3 8 2 8 1 8 3 i nc a s e 佗= 5 ，罐= 58 4 s 3 s ls 2 s 3 s 4 s 5 u 3 ，a n d 瞄( x 12 0 1 2 ，罐o e 2 = 一o l ， 碥锄= 一锄f o r3 is5 i nc a s e 佗= 6 ，u 8 = 8 6 t s 5 s 4 8 3 8 1 s 2 8 3 8 4 8 5 8 6 0 2 5 ，a n dw 0 6 q i = - - o qf o r1 i 6 i nc a s e 佗= 7 ，瑶= 8 7 s 6 s 5 s 4 s 3 s l s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 u 3 ，a n d 嵋a l = 一口2 ，w j o f 22 一口1 ，“q t = - - o qf o r3 i 7 l e m m a 2 4 1 ( 1 5 1 ) s 器= 8 n _ 1 8 竹一2 8 3 8 2 8 1 8 3 8 4 8 n - 1 8 n s n 一1 8 3 8 2 8 1 8 3 8 4 8 n - 2 8 n - - 1 p r o o f ：b y 【5 , w ec a ng e t i