（计算数学专业论文）一类对流扩散问题的耦合解法.pdf

c o u p l i n go fc o n t i n o u sf e m a n dt h er o b u s td i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n m e t h o df o rc o n v c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s b y h e j i n g w e i b e ( h e b e in o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no f t h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s 1 n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e & t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rz h a n gh o n g w e i a p r i l ，2 0 11 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：羽l 淑书 日期：7 年 朋7 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本论文收录到 中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打 ) 作者签名：诃锄叉静 导师签名：承玄 节 日期：劲1 年明 日期：如t 1 年占月 y 7 日 7 日 摘要 近年来的数值解法的奇异摄动边界值问题得到了广泛的关注，但是 连续有限元方法在处理复杂边界层问题有自身的不足和缺点，间断有限 元方法却既保持了有限元法( f e m ) 和有限体积法( f v m ) 的优点，又 克服了其不足，特别是易于处理复杂边界层问题。2 0 0 1 年，l p e r u g i a 和 d s c h 6 t z a u 就利用两者的优点采用耦合的方法来解决此类问题。此后，耦 合方法得到了不断的发展。 本文的主要工作是，将连续有限元方法和间断有限元方法结合起来 解决一类奇异摄动对流扩散方程。其主要内容如下： 第一章绪论部分介绍了有限元和间断有限元的历史背景、研究动态 以及主要解决的问题。 第二章本章方程是系数为常数时的对流扩散方程，通过选用特殊数 值迹，证明耦合方法的稳定性。 第三章针对一类非定常对流扩散方程，通过将区间分成两个不相交 子区间，在不同的区间利用不同方法，并通过选择特殊的数值迹，我们 分析证明了该耦合方法是稳定的。 第四章针对上述耦合方法给出该方法的误差分析。 第五章通过数值试验，我们验证该方法的可行性。 关键词：对流扩散问题；连续有限元方法；间断有限元方法；耦合方法 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，m o r ea n dm o r ep e o p l ep a ya t t e n t i o nt ot h en u m e r i c a l s o l u t i o n so fs i n g u l a r l yp e r t u r b e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s h o w e v e r ，t h e c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sc a n ts o l v et h ec o n v e c t i o nd i f f u s i o n p r o b l e m sc o m p l e xb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，b u tt h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n m e t h o d sh a v et h eg o o dp r o p e r t i e so ff e ma n df v m ，a n do v e r c o m ei t sb a d p r o p e r t i e s m o r e o v e r i t g o o d sa t t od e a lw i t hc o m p l e xb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s i n2 0 0 1 ，1 p e r u g i a a n dd j 幽6 加甜u s e dt h ec o u p l i n gm e t h o dt o s o l v ep r o b l e m s s u c c e s s i v e l y ，t h ec o u p l i n gm e t h o dd e v e l o pf u r t h e r i nt h i sp a p e r ，o u re s s e n t i a lw o r ki st os o l v et h es i n g u l a r l yp e r t u r b e d c o n v e c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o n sb yu s i n g t h e c o u p l i n g m e t h o do ft h e c o n t i n u o u sf i n i t em e t h o da n dt h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d t h em a i n c o n t e n t sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h es t a t u s o fr e c e n tr e s e a r c h e so ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o d ，a n dt h em a i np r o b l e mw h i c hw ed i s c u s s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ep r o v i d et h es p e c i a le x a m p l eo ft h es e c o n d c h a p t e rw h i c ht h ec o e f f i c i e n ti sac o n s t a n t w ea l s op r o v et h es t a b i l i t yo f t h em e t h o d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d yt h ee q u a t i o nw h i c ht h ec o e f f i c i e n t i saf u n c t i o n d i v i d i n gt h er e g i o ni n t ot w od i s j o i n tr e g i o n s ，i nd i f f e r e n t r e g i o n sw eu s ed i f f e r e n tm e t h o d s ，a n dc h o o s es o m es p e c i a ln u m b e rt r a c e s ， i nt h ee n dw ep r o v i d et h es t a b i l i t yo ft h em e t h o d i nt h ef o u t hc h a p t e r ，w eg i v et h ee r r o ra n a l y s i so ft h ec o u p l i n gm e t h o d i nt h el a s tc h a p t e r ，w ep r e s e n tt h en u m e r i c a le x a m p l et od e m o n s t r a t e t h ef e a s i b i l i t yo fo u rm e t h o d k e yw o r d s ：c o n v e c t i o n d i f f u s i o n p r o b l e m s ；f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ； d i s c o n t i n o u sg a l e r k i nm e t h o d ；c o u p l i n gm e t h o d 目录 摘要1 a b s t r a c t i i 第一章绪论 1 1 有限元的历史背景和研究动态1 1 2 间断有限元的历史背景和研究动态1 1 3 本文主要研究的问题2 第二章f e m 和l d g 耦合方法的稳定性 2 1 引言4 2 2 耦合方法4 2 3 耦合方法的稳定性分析6 第三章耦合方法的误差分析 3 1 耦合方法误差分析：1 1 第四章常系数方程耦合稳定性及数值试验 4 1 常系数方程的稳定性分析一1 6 4 2 数值算例2 l 第五章：结论及后续工作 参考文献。2 6 致 射31 附录一( 攻读学位期间发表论文目录) 3 2 附录二程序实现3 3 第一章绪论 1 1 有限元的历史背景和研究动态 1 9 4 3 年由r c o u r a n t 首先提出有限元方法，有限元方法是以古典的 欠论一g a l e r k i n 变分方法为基础，以分片多项式为工具，并且利用电子计算机强 大的计算功能而逐渐发展起来的一种求解微分方程的数值解法。2 0 世纪5 0 年代 有限元方法主要应用于航空结构方面，由于其方法的优点，随后在土木结构工程 方面得到应用，6 0 年代初，随着计算机技术的快速发展，进一步促进了有限元 方法在工程领域的发展。 、 有限元方法的基本原理是将原始问题根据变分原理转化为弱形式，然后在较 弱的空间矿上进行求解，通过构造能逼近变分问题求解空间的有限维空间圪， 我们一般是将求解区域q 剖分成许多小片，然后构造分片多项式，并在分片多 项式组成的有限维空间上求解。如果圪cv ，我们称为协调有限元方法，如果 圪旺矿，则称为非协调有限元方法。在我国，非协调元的构造、收敛性分析方 面也取得巨大进步，其中石钟慈教授在这方面的贡献尤为突出。同时有限元方法 超收敛性质的研究也取得了很大的进步。 在我国，冯康教授奠定了有限元方法的数学理论基础，由于越来越多的科研 工作者投入到有限元方法的研究行列中，从而使得有限元方法逐渐摆脱仅在工程 领域中运用的局限性，形成了统一而严密的数学论述，并确立了它的数学基础。 目前，有限元方法已经广泛运用于工程力学及大规模科学计算等领域中。 1 2 间断有限元的历史背景和研究动态 近年来，数值解法的奇异摄动边界值问题得到了广泛的关注。奇异扰动问题 就是指最高阶导数项含有小参数s 的微分方程，并且它的解存在指数边界层或内 部层。而连续有限元方法在处理复杂边界问题时有自身的缺点和不足。但是，间 断有限元方法却既保持了有限体法( f v m ) 的优点又保持了有限元法( f e m ) 的优点，且克服了其不足，特别是易于处理复杂边界和边值问题。由此得到了越 来越广泛的应用。 r e e d 一胁在1 9 7 3 年提出了间断有限元( t h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nf i n i t e e l e m e n tm e t h o d 简记为d g ) ，并在中子输运方程砌- i - v ( a u ) = f ( 一阶双曲 型方程) 中得到了很好的运用，其中万和a 分别是一个实数和常向量。此后，它 被广泛运用于求解常微分方程 4 1 、抛物方程 3 3 、椭圆方程 4 2 以及双曲问题 4 3 4 4 。b a s s i 和r e b a y 在1 9 9 7 年利用间断有限元方法求解n a v i v e r s t a c k e s 方 程，且获得了稳定的高阶收敛格式。到了2 0 世纪8 0 年代后期和9 0 年代， b c o c k b u r n 和c w s h u 等提出了l d g ( l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ) 方法，并用 于求解一维守恒定律方程和方程组，高维守恒定律方程和方程组，且给出了部分 收敛性的理论证明。 间断有限元方法除了保持通常有限元方法的优点外，还具有以下几方面的性 质：一、利用完全间断的多项式作为基，能够很好的模拟解的剧烈变化；二、能 够处理复杂的区域边界问题，得到与区域内部一致的计算精度；三、容易通过网 格加密，实现自适应计算；四、可以得到任意阶精度格式，而且具有很好的局部 紧致性等。 总而言之，有限元方法和间断有限元方法作为求解偏微分方程数值解的两大 基本方法，在解决实际问题中发挥着越来越大的作用。 1 3 本文主要研究的问题 考虑f = 面的一维对流扩散问题： 一翱。+ 阮= 厂q = ( o ，1 ) ( 2 1 ) l 材( 0 ) = “( 1 ) = 0 其中0 g 0 ，寺( x ) 一2 j i 0 ( 2 2 ) v x e 西，2 5 i 为某些常数，这种假设就保证了( 2 1 ) 在日2 ( 哟n 磁( 哟，v x e 壶， 对所有的f 口( 哟有唯一解，并且( 2 1 ) 的解在x - - - - l 有指数边界层。 2 上述问题由于存在指数边界层，所以用传统的有限元方法在指数边界层附近 其解很难达到预期的效果，而间断有限元可以很好的处理该问题，而有限元方法 在处理连续领域有很好的性质。本文的出发点就是将整个区域q 分为两个部分 ( 0 ，们和【a ，1 ) 。在( o ，加利用连续有限元方法，而在【名，1 ) 利用l d g 方法，利用两 种方法的耦合，通过采用特殊的数值迹进行求解。本文证明了该耦合方法解的存 在性、唯一性及稳定性，并在一定条件下给出了的误差分析。最后给出当系数为 常数时稳定性的证明，及数值实验。 3 第二章f e m 和l d g 耦合方法的稳定性 2 1 引言 近年来，数值解的奇异扰动边界值问题得到了广泛的关注，而间断有限元方 法既保持了f e m 和f v m 的优点，又克服了其不足，由于它在边界、边值问题处理 上的优越性，得到了越来越多人的认可，也得到了越来越广泛得应用，例如浅水 系统中污染物的输运和循环，在该系统中，有的区域的解是连续的我们就用连续 有限元，而在有边界层的区域我们采用不连续g a l e r k i n 方法，然后将两种方法进 行耦合，在 1 ， 2 中就采用了耦合的方法，通过采用一组特殊的数值迹，通过 分析，计算我们可以证明耦合的稳定性。 2 2 耦合方法 考虑下面的一维对流扩散问题： 焉蔫三二 耻他1 其中0 s 0 ， a 一( u h ，) d ( 1 一d 帆+ ( 1 一扣厶( ) 岫+ 地啦+ g 啡+ l u , l ： ( 2 3 0 ) 据 1 当口= o ( h 叫) 时，存在常数c 使得i | 厶( ) i l o q - c l u l 。，v ue v ( h ) ( 2 3 1 ) 见 4 2 将2 3 1 ) 代入( 2 3 0 ) ，对任意秒满足若i 0 1 ，可得 4 ( ，) g ( 1 一，r 训。2 ，。+ 巩c 2 ( 1 一万1 ) + 1 1 e + 包i k 晤n + 占i i ：+ k i ： 厂( s m ；：。+ g 蚶) + 圳枷。n + 眦 m i n ，6 i ) l l 圳卜 其中广= m i n l 一幺c 2 ( 1 一吉) + 1 ) ，令c = m i n 厂，包) ，则引理2 4 得证。 由引理2 4 可得帖。m ：- 1 1 i i i 。皿，所以( 2 2 6 ) 存在唯一解，因为( 2 2 6 ) 是一个 有限维空间k 的线性问题，由解的唯一性可得证解的存在性，由( 3 4 ) ，可知当 9 数值迹为( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 时，问题( 2 1 2 ) 一( 2 1 4 ) 解的存在性及唯一性得 证，因此该方法的耦合也是稳定的。 定理2 1当数值迹为( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 时，问题( 2 1 2 ) 一( 2 1 4 ) 解的存 在且唯一。 1 0 第三章耦合方法的误差分析 3 1 耦合方法误差分析 在本章中针对上面问题，这一部分主要给出该耦合万法在一定条件卜的误差 分析。 记死：r ( q ) 斗圪是圪上的r 一映射，也就是说，对甜r ( 哟，我们定义 n h u 为 上 一死 川出= 0 ，v 圪 ( 3 1 ) 映射有如下性质( 见【2 】。性质1 1 3 5 ) ： 引理3 1 设巩 为( 3 1 ) 所定义的对于一个给定函数 日七+ 1 ( q ) 的亭映射， 则卜死m q + 办 死“| i o q c h “m j 。p 因为铭一u = ( u 一死 ) + ( 万 “一u h ) 三7 7 + 孝 ( 3 2 ) 由三角不等式可得m 甜一= l i | 7 7 + 刮 占- 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 f 因此为了估计i l l “一，我们只需要估计m 刁和1 1 1 孝1 1 1 。 首先我们对m 善眦进行估计。 由引理2 3 ，2 4 ，我们得到： c , h ： - a , ( r ，孝) = 一最( 刁，孝) 一c ( 7 7 ，善) 一s ( 7 7 ，孝) ( 3 3 ) 由c a u e h y - s c h w a r z 不等式以及( 2 31 ) 得： l 岛( 7 7 ，孝) i = l g ( 刁+ 厶( 7 7 ) ) ( 孝+ 厶( 孝) ) 出l s ( 1 刁l ，加+ ci 刁i x l 孝l ，j + cl 孝l 卑) + 0 c l l 。户0 7 7 i l o p0 孝i l 。，q c ( 占+ 办) 办七圳矶 ( 3 4 ) l s ( 哆，孝) l = 8 a r 2 _ ，【彘】，- - e c r u 7 2 ( 1 一) 乞( r ) + 鲫( 7 7 l 一磋) ( 五) ( 磊一劈) ( 名) j = n + 2 9 1 7 7 l + l 孝i 。 c g 彤办七1 , 1 1 “，p | l i 孝叱 ( 3 5 ) q ( 7 7 ，孝) = b ( r 。+ l , ( , 7 ) c 3 d x = 一6 7 7 孝出一切孝出+ 委n + m 2 鸭( 7 7 2 】，一去娩) m 色】， + 6 ( 旯) ( 磊一嚣) ( 元) 7 7 1 ( 允) + 6 ( 1 ) 仍( 1 一) 磊( 1 一) = 互+ 正+ 正 = l - b 孵出i = 眇7 7 孝叫 l p 8 8 7 7 i i 。皿i i 多l i 。，q 鳓“m 川例， 设石为6 的分片常数逼近，则 吲= i 一6 7 7 孝出1 = 恒切孝出l = i ( 6 一石) 7 7 纠( 耐d x = o ) 1 1 6 一云0 0 7 7 l i 。，qh 。皿 - - - c h 1 6 l 。，h 七+ 1l u l 七+ 。q h 一1i l 孝0 。，q 鳓“m 捌。 下面对乃进行估计，首先我们先看一个引理 引理3 2 ( 多重迹不等式) 设厂日1 ( l ) ，则 i s ( x , ) 1 2 2 ( 圳厂l l + l i 厂i l r 。k ，) ，s 伽+ 1 ) 证明：为了证明( 3 9 ) 我们只需要证明下式 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 阢) 1 2 锄乙，制k 。，h 咖) ，z o 1 ) v 吵日l ( o ，1 ) 1 2 首先，我们证明当z = 0 时，结论成立。 设g ( z ) = 夕2 ( z ) ( 圭一z ) ，则g ( z ) = 一夕2 ( z ) + 27 ( z ) 夕( z ) ( 圭一z ) 由g ( o ) = 一脬o ) a s ，则 i g ( o ) l = l 一e g c s ，凼i = 1 f 1g c s ，凼l 胎( s ) b f l 夕o ) 1 2 凼+ 2 i 夕o ) 夕o ) ( 三一s ) 卜 6 夕l 巳。，+ 2 暑蔬l 三一s l l l 夕o f 。j ，i i 夕。l l 。o j ， = 8 夕l l 二。j ，+ 0 夕l l r 。o ，i l 夕0 f 。舯 因为g ( o ) = 一丢夕2 ( z ) ，所以当z = o 时，( 3 1 0 ) 式成立。 当z = l 时，设g ( z ) = 夕2 ( z ) ( z 一三) ，则 g ( z ) = 夕2 ( z ) + 2 夕( z ) 夕( z ) ( z 一丢) 事实上，g ( 1 ) = 丘g o ) a s ，因此 l g ( 1 ) l 叫枷 儿 哆 _ 厂， ，心 o i l p 丘2 圭帅c 嘶s m a r z 不 等式和引理3 2 得： in + ，1i i r , i = l 以( 【砚l 一去 珑) m 受l + 6 ( 名) ( 缶一劈) ) 碣( 兄) + b ( 1 ) r 2 ( 1 一) 受( r ) l l = n + 2 尸i n + m 1n + m + ii c f l b j 专2 2 + b ( 1 ) d f 2 2 ( 1 一) + 6 ( 允) ( 磊一) ( 允) ) j 旌( 巧) 乒 c i 孝l c 元一一1 1 7 7 0 ：+ 1 1 7 7 i i 。q1 7 7 1 。) i 1 鳓七+ 铂m ，qm 占 则l g ( 7 7 ，o l c h “饰bm 占 ll 所以l h i 譬c ( s j + 办i ) 办七l q (