2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷).doc

2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 在复平面内，复数对应的点位于A 第一象限 B 第二象限C 第三象限 D 第四象限 2 若与都是非零向量，则“”是“”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件3 在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有A 36个 B 24个C 18个 D 6个4 平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是A 一条直线 B 一个圆C 一个椭圆 D 双曲线的一支5 已知f（x）是（，）上的减函数，那么a的取值范围是A （0，1） B （0，）C ） D ，1）6 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1x2），f（x2）f（x1）|x2x1|恒成立”的只有A f（x） B f（x）|x|C f（x）2x D f（x）x27 设f（n）2242721023n10（nN），则f（n）等于A B （8n11）C （8n31） D （8n41）8 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则A x1x2x3 B x1x3x2C x2x3x1 D x3x2x1第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9 的值等于_10 在（）7的展开式中，x2的系数是_（用数字作答）11 若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab0）共线，则的值等于_12 在ABC中，若sinA：sin B：sinC5：7：8，则B的大小是_13 已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么，|PO|的最小值等于_，最大值等于_14 已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，ACBC，且ABR，那么A，B两点的球面距离为_，球心到平面ABC的距离为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题共12分）已知函数f（x）（）求f（x）的定义域；（）设是第四象限的角，且tan求f（）的值16 （本小题共13分） 已知函数f（x）ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（）x0的值；（）a，b，c的值17 （本小题共14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点（）求证：ACPB；（）求证：PB平面AEC；（）求二面角EACB的大小18 （本小题共13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小（说明理由）19 （本小题共14分）已知点M（2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|PN|2记动点P的轨迹为W（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值20 （本小题共14分）在数列an中，若a1，a2是正整数，且an|an1an2|，n3，4，5，则称an为“绝对差数列”（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”an中，a203，a210，数列bn满足bnan an1 an2，n1，2，3，分别判断当n时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项12 2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷）（答案与解析）一、选择题（本大题共8题，共计40分） 1 答案：D解析：，其中实部为正，虚部为负，第四象限 2 答案：C解析：由均为非零向量，夹角为90，反之若故“”是的充分必要条件 3 答案：B解析：数字之和为奇数共有两种可能：“三奇”：；“两偶一奇”：运用分类计数原理可知共24个 4 答案：A解析：由题，满足条件的直线AC形成直线AB的一个垂面，该垂面与面又交点之一为C点，故动点C的轨迹为两平面的交线 5 答案：C解析：当时，为减函数，需当时，为减函数，需又函数在上为减，则需代入解得取交集 6 答案：A解析：由知在（1，2）上，函数值的变化小于两变量的变化对于选项B，选项C、D均为 7 答案：D解析：中各项为一等比数列，其中首项为2，合比为8，项数为 8 答案：C解析：设由路口A直接进入路口B的车辆为a辆，则二、填空题（本大题共6题，共计30分） 9 答案：解析： 10 答案：解析：解得代回得所求系数 11 答案：解析：三点A、B、C共线，则即打开得 12 答案：解析：由正弦定理令则由余弦定理，又B为三角形内角， 13 答案：解析：如图示可行域为ABC，其中A（1，1），B（2，2），C（1，3）则 14 答案：解析：如图示AOBAB两点的球面距离球心到平面ABC的距离即为OO在正ABO中，三、解答题（本大题共6小题，共80分）15 答案：（）由cos x0得xk（kZ），故f（x）的定义域为x|xk，kZ （）因为tan ，且是第四象限的角，所以sin，cos，故f（）解析：本题主要考查函数的概念和函数定义域的求法,两角和与差的三角函数,倍角公式等知识点通常解决此类问题的方法是：写出使函数有意义的x满足的数学不等式，组成不等式组解这个不等式组求出使函数有意义的x的值组成的集合即为函数的定义域，第二问中可以利用已知求出角的正弦和余弦，然后将函数解析式化成只含x的正弦与余弦的式子，将求出的正弦、余弦代入即可求出函数值属于中等难度试题该类题目容易出错的地方是:找不出使函数有意义的x应满足的条件、解不等式组出错，不知道只需要求出角的正弦和余弦、不知道将函数解析式化成只含x正弦和余弦的式子16 答案：解法一：（）由图象可知，在（，1）上f（x）0，在（1，2）上f（x）0，在（2，）上f（x）0， 故f（x）在（，1），（2，）上递增，在（1，2）上递减，因此f（x）在x1处取得极大值，所以x01（）f（x）3ax22bxc，由f（1）0，f（2）0，f（1）5，得解得a2，b 9，c12解法二：（）同解法一（）设f（x）m（x1）（x2）mx23mx2m，又f（x）3ax22bxc，所以af（x）由f（1）5，即得m6，所以a2，b 9，c12解析：本题主要考查函数的极值与导数等知识点;通常解决此类问题的方法是：利用连续函数取得极值的充分得出在x0处左侧和右侧导数的符号，结合导函数的图像数形结合即可得出x0的值，以及找出函数取得极值的点和极值，函数取得极值的点处导函数的值不存在或者为零，并且在这个点处函数的值就是函数的极值，利用这些得出含有a、b、c的方程组，解除即可属于中等难度试题该类题目容易出错的地方是:不好会运用导函数的符号与函数取得极大、极小值的关系，忽视函数取得极值处函数的导数的取值不存在或者为零17 答案：解法一：（）PA平面ABCD，AB是PB在平面ABCD上的射影又ABAC，AC平面ABCD，ACPB（）连接BD，与AC相交于O，连接EOABCD是平行四边形，O是BD的中点，又E是PD的中点，EOPB又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC（）过O作FGAB，交AD于F，交BC于G，则F为AD的中点ABAC，OGAC，又由（），（）知，ACPB，EOPB，ACEOEOG是二面角EACB的平面角连接EF，在EFO中，EFPA，FOAB，又PAAB，EFPO， EOF45，EOG135，二面角EACB的大小为135解法二：（）建立空间直角坐标系Axyz，如图设ACa，PAb，则有A（0，0，0），B（0，b，0），C（a，0，0），P（0，0，b），ACPB（）连接BD，与AC相交于O，连接EO由已知得D（a，b，0），E又PBEO，又PB平面AEC，EO平面AEO，PB平面AEC（）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为（），又OEAC，OGAC，EOG是二面角EACB的平面角cosEOGcos，EOG135，二面角EACB的大小为135答案：本题主要考查空间的直线和平面的基本性质,直线与直线垂直、直线与平面平行的证明方法，二面角的求法通常证明直线和直线垂直可以借助于证明一条直线垂直于另一条直线所在平面，也可以利用三垂线定理证明;求二面角的大小关键是要构造二面角的平面角，而构造二面角的平面角方法是非常重要的，常见的有在棱上找一点在两个半平面内做棱的垂线，也可以过其中一个平面内不在棱上一点做另一个平面的垂线然后过垂足做棱的垂线，连接棱上的垂足和第一点构成二面角的平面角；然后在三角形中求出二面角的三角函数和二面角的度数解决此类问题的关键是掌握常见证明和构造垂面、垂线、平行线、异面直线的夹角、二面角的平面角的方法，这些都是高考常考的热点问题学生常见的错误是对常见的方法不熟悉而束手无策，不会构造需要求的角，找不到证明的突破口，找不到需要的平行或垂直关系等该类问题也可以使用空间向量来进行计算，通过计算证明平行和垂直18 答案：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P（A）a，P（B）b，P（C）c（）应聘者用方案一考试通过的概率p1P（AB）P（BC）P（AC）P（ABC）ab（1c）bc（1a）ac（1b）abcabbcca2abc；应聘者用方案二考试通过的概率p2（abbcca）（）因为a，b，c0，1，所以p1p2ab（1c）bc（1a）ca（1b）0，故P1P2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大解析：本题主要考查几种常见的概率模型; 比较法比较两个式子的大小等知识点；通常解决此类问题的关键是充分理解题意，搞清楚事件的实质，按照符合题意的概率模型求出概率，把两个事件的概率相减判断差的符号即可得出两个概率的大小属于中等难度试题该类题目容易出错的地方是不理解事件的实质、对事件的分析不全面、对事件的概率计算错误、利用比较法比较大小时不会化简19 答案：解法一：（）由|PM|PN|2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a又半焦距c2，故虚半轴长b所以W的方程为1，x（）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）当ABx轴时，x1x2，y1 y2，从而x1x2y1y2x21y212当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm，与W的方程联立，消去y得（1k2）x22kmxm220，故x1x2所以x1x2y1y2x1x2（kx1m）（kx2m）（1k2）x1x2km（x1x2）m2又因为x1x20，所以k210，从而2综上，当ABx轴时，取得最小值2解法二：（）同解法一（）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x2i y2i（xiyi）（xiyi）2（i1，2）令sixiyi，tixiyi，则siti2，且si0，ti0（i1，2），所以x1x2y1y2当且仅当s1s2t1t2，即时“”成立所以的最小值是2解析：本题主要考查双曲线的定义及标准方程，双曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点；通常解决此类问题的关键是充分理解题意考察动点满足的条件是否符合某种曲线的定义，根据定义确定曲线类型然后求出曲线方程，研究直线与圆锥曲线的关系，通常是通过讨论直线斜率是否存在然后设出直线方程，将直线和圆锥曲线方程联立，利用根与系数关系得出然后再讨论其最值属于较难试题该类题目容易出错的地方是不能发现动点符合某种曲线的定义而盲目作答、不知道或不会设出直线方程将直线和圆锥曲线方程联立，或者联立后不能正确利用根与系数关系得出的表达式20 答案：（） a13，a21，a32，a41，a51，a60，a71，a81，a90，a101（答案不惟一）（）因为在绝对差数列an中，a203，a210，所以自第20项开始，该数列是a203，a210，a223，a233，a240，a253，a263，a270，即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n时，an的极限不存在当n20时，bnanan1an26，所以（）证明：根据定义，数列an必在有限项后出现零项证明如下：假设an中没有零项，由于an|an1an2|，所以对于任意的n，都有an1，从而当an1an2时，ana n1a n2an11（n3）；当an1an2时，ana n2a n1an21（n3），即an的值要么比an1至少小1，要么比an2至少小1令cn则0cncn11（n2，3，4）由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项ck0，这与cn0（n1，2，3）矛盾从而an必有零项若第一次出现的零项为第n项，记an1A（A0），则自第n项开始，每三个相邻的项周期