山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2017决赛试卷(含答案).pdf

数学竞赛试题 第 1 页（共 5 页） 绝密启用前 山东省大学生数学竞赛（专科）决赛试卷 （非数学类，2017） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分 题 号 一 二 总 分 满 分 30 70 100 得 分 一、填空题（每小题 5 分，共 30 分，请将答案填在题中横线上。 ） ._)(2)(3) 1 1 (1. xfxxf x x f，求设 . 1 1 1 4 1 4 3 )( 1 1 26)(8 1 22 2)(3 3 1 1 2) 1 1 (3)( , 1 1 , 1 1 x x x xxf t t ttf t t ttf t t t t ftf t t x x x t ，所以 整理得 于是 则解：令 ._ 2 13 lim2. 2 1 xx xx x . 6 2 13 1 lim 2 2 lim 13 1 lim )2)(1( )1 (2 lim )2)(1( 13 lim 11 111 xxx xxxx x xx xx xx xxx 解：原式 注意：1答题前，请竞赛选手将密封线内的项目填写清楚。 2将答案直接答在试卷相应题目的位置，答错位置不得分。 得 分 评阅人 线 封 密 身份证号： 所在院校： 座号： 姓名： 数学竞赛试题 第 2 页（共 5 页） ._8) 2 (lim3. a ax ax x x ，则设 . 2 ln 8e) 3 1 (lim 3 3 3 a ax a a ax ax a ax x 所以 解：原式 ._) 1 , 0( cose 2sine . 4 处的法线方程为在点曲线 ty tx t t . 0 1221 2 2 1 d d 00 2cos22sin sincos 2cose22sine sinecose d d d d d d 0 yxxy k x y tx tt tt tt tt t x t y x y t tt tt ，即所以法线方程为 ，所以法线斜率为从而时 ，解： 法 ._de )(ln . 5 )( yfxfy xf 可微，则，其中设 .d)(ln)()(ln 1 edd )(e )(lne 1 )(lne)(lne )(ln )( )()()()( xxfxfxf x xyy xfxf x xfxfxfy xf xfxfxfxf ，解： ._d cos sin1 . 6 x xx x .cosln cos )cos(d d cos sin1 Cxx xx xx x xx x 解： 二、综合题（本题共 70 分，请写出相应演算步骤。 ） . )tan1ln() 1e ( cossin lim)10(1. 22 222 0 xx xxx x x 求分 . 3 1 3 lim 3 sincoscos lim 2 cossin lim 2 1cossin lim cossin lim 2 1 )cos)(sincos(sin lim 2 1 2 cossin lim 2 2 0 2 0 3 00 3 0 4 0 2 222 0 x x x xxxx x xxx x xxx x xxx x xxxxxx xxx xxx xx xxx xx 解：原式 得 分 评阅人 数学竞赛试题 第 3 页（共 5 页） x y xtxtt xy t d d )0(dlnde)10(2. 2 23 0 2 0 ，求分 . . e ln22ln8 d d ln24ln8 d d e dlnde dlndln 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 0 43 0 22 y y x x y t x x x xxxx x y xxxx x y xyuut uutxtxtu 解得 的函数求导数，得为两边视对等式 ，则解：令 .0)( 0dcos 1 01 0),cos1 ( 2 )()10(3. 0 2 2 处的可导性在，试讨论设分 xxf xtt x x xx x xf x .0)()0()0( 0 2 sin2 lim 2 1cos lim dcos lim 1dcos 1 lim)0( 0 6 sin lim 6 2cos2 lim 3 2sin2 lim )cos1 (2 lim 1)cos1 ( 2 lim)0( 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 00 2 0 3 2 0 2 0 处可导在 解： xxfff xx x x x xtt x tt x f x x x x xx x xx x x x f x x x x x x xx xxx .d)( ln ) 12()10(4. 7 1 xxf x x xf，求设分 ).14(ln8)4(ln8 )d 1 ln(4)(dln4 d ln 2d) 12(2d) 12(2d)( 4711d2d12 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 7 1 x x x xxxxx x x x xxfttfxxf txtxtxtx时；时，则解：令 1. )()() 1 , 1()2( 1)() 1 , 0() 1 ( , 1) 1 ( 1 , 1)()14(5. ff f fxf ，使得存在 ，使得存在 证明：上具有二阶导数，且在设奇函数分 数学竞赛试题 第 4 页（共 5 页） . 1)(01)()() 1 , 0( ) 1 , 0( 1 , 0)(, 01) 1 () 1 (, 00)0()0( 0)0()( 1 , 1,)()() 1 ( ffF xFfFfF fxfxxxfxF ，即使得由罗尔定理知，存在 内可导，上连续，在在而 是奇函数，设证明： . 1)()(01)()()() 1 , 1( ) 1 , 1( 1 , 1)( ),1 (1) 1 () 1 () 1 ( ),1 () 1(1) 1() 1() 1( 1 , 1)()( 1 , 1,)()()()2( ffffG xG fffG ffffG xfxf xxxfxfxG ，即使得由罗尔定理知，存在 内可导，上连续，在在而 上是偶函数在是奇函数， ，设 .)2( ) 1 ( 20, 02 02,2)16(6. 21 2211 2 2 2 1 大值取得最大值？试求此最为何值时，问当 ；积轴旋转而成的旋转体体绕；积轴旋转而成的旋转体体绕试求 中所围成的平面区域，其和直线 是由抛物线所围成的平面区域；及和直线是由抛物线设分 VVa VyDVxD aaxyxy DyxaxxyD .) 4 1 (2d 2 2 )32( 5 4 ) 5 4 (d)2( ) 1 ( 4 2 0 24 2 0 22 2 5 2 5 2 22 1 2 2 ayay