（工程力学专业论文）固体力学中单位分解方法的研究.pdf

浙江人学硕 ：学位论文( 2 0 0 7 ) 摘要 无网格方法( m e s h l e s so rm e s h f r e em e t h o d s ) 是近十年来国际计算力学界的研 究热点。在众多的无网格方法中，单位分解法( p a r t i t i o n o f u n i t y m e t h o d ，简记为 p u m ) 在局部近似解空间构造和单位分解函数构造等方面具有很好的灵活性。本 论文以固体力学中裂纹等高梯度问题以及梁的几何大变形问题为研究对象，研究 了p u m 这些灵活性对求解精度和收敛性的影响，得出了一些有价值的结论。 论文首先对p u m 的局部近似解空间的构造进行了研究。一般的数值方法( 如 传统的有限元、边界元以及大多数无网格法等) 都是基于多项式进行局部解空间 近似。当碰到奇异性较强的问题时，多项式的局部逼近特性效果很差；p u m 在 局部区域引入问题的渐进特性函数后具有很好的逼近特性，可以得到更精确的数 值结果。论文以具有局部高梯度的泊松闯题和平面裂纹闯题为分析计算对象，将 问题的先验知识( 如裂尖位移场的渐进特性函数) 作为增强函数引入近似解空间 中，以更好地在高梯度区域逼近真实解。p u m 的数值计算结果表明，增强函数 的引入确实大大提高了计算精度，并改善了收敛特性从而节省了计算时| 日j 。 论文主要工作是进行梁的几何大变形问题的单位分解方法的计算研究。重点 研究了两种不同形式的单位分解函数，一种是s h e p a r d 单位分解函数，另一种是 传统位移有限元形函数，并针对构造s h e p a r d 单位分解函数采用了不同形式的权 函数( 高斯权函数和立方样条权函数) 对计算精度的影响进行了数值计算研究。数 值计算研究表明，p u m 的求解结果对模型节点分布( 或网格畸变) 不敏感以及p 型收敛速度快等特点；同时构造s h e p a r d 函数的高斯权函数对计算结果的影响较 大，对权函数参数比较敏感；而立方样条权函数具有较好的数值稳定性。 关键词无网格法，单位分解法，几何大变形 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) a b s t r a c t d u r i n gt h el a s tt e ny e a r s ，t h em e s h l e s so rm e s h f r e em e t h o d sh a v eb e e naf o c u so f r e s e a r c hi nt h ef i e l do fc o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c s a m o n gs e v e r a lk i n d so fm e s h l e s s m e t h o d s ，p a r t i t i o no fu n i t ym e t h o d ( p u m ) i sv e r yf l e x i b l ei nc o n s t r u c t i n gl o c a lt r i a l r a n dt e s t ) s p a c e sa n dc o n s t r u c t i n gap a r t i t i o no fu n i t y t h i st h e s i sd o e ss o m er e s e a r c h a b o u tp r o b l e m so fc r a c ka n dl a r g ed e f o r m a t i o no fb e a m , a b o u th o wf l e x i b i l i t yo f p u mi n f l u e n c e sa c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a lr e s u l t s ，a n dd r a w ss o m e v a l u a b l ec o n c l u s i o n s t h i st h e s i sb e g i n sw i t ht h ec o n s t r u c t i o no fl o c a lt r i a ls p a c e s c o m m o nn u m e r i c a l m e t h o d s ，s u c ha sf e m ，b e ma n dm o s tm e s h l e s sm e t h o d s ，c o n s t r u c tl o c a lt r i a ls p a c e s w i t hp o l y n o m i a l s f a c i n gp r o b l e m so fh i g hs i n g u l a r i t y , p o l y n o m i a l sp e r f o r m sp o o r l y i nc o n v e r g i n gt oe x a c ts o l u t i o n ；p u mp e r f o m sw e l lb yi n c o r p o r a t i n ge n r i c h e d f u n c t i o n si n t ol o c a lt r i a ls p a c e s t h et h e s i sg i v e se x a m p l e so f p o s s i o np r o b l e mw h i t h h i 曲g r a d i e n ta n dp l a n ec r a c kp r o b l e m ，i nw h i c hl o c a lt r i a ls p a c e sh a v ei n c o r p o r a t e d e n r i c h e df u n c t i o n sa b o u tt h o s ee x a m p l e s e n r i c h e df u n c t i o n su s u a l l yg i v ea p r i o rk o n w l e d g ea b o u tt h ep r o b l e mu n d e rc o n s i d e r a t i o n n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tp u mc a n i m p r o v et h ea c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c ew e l lw i t he n r i c h e df u n c t i o n s t h et h e s i sd o e ss o m er e s e a r c ha b o u tp r o b l e m so fl a r g ed e f o r m a t i o no fb e a m p a r t i t i o no f u n i t yi n c l u d e ss h e p a r df u n c t i o na n ds h a p ef u n c t i o no f f e m s h e p a r df u n c - t i o ni sc o n s 垃u 删w i t hg a u s sw e i g h t e df u n c t i o na n dc u b i cs p l i n ef u n c i t i o n n u m e r i - e a lr e s u l t ss h o wt h a tp u mc a np e r f o r m sw e l le v e nw h e nm e s ho f f e mi se x c e s s i v e l y d e f o r m e do rn o d e so f m e s h l e s sm e t h o d sa r ei r r e g u l a r , c a nc o n v e r g et oe x a c ts o l u t i o n q u i c k l y r e s u l t sa r e i n f l u e n c e db yp a r a m e t e r sw h e ns h e p a r df u n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e d b yg a u s sw e i g h t e df u n c t i o n , - b u tw h e nc u b i cs p l i n ef u n c t i o ni su s e d ，n u m e r i c a l r e s u l t sg i v em o r es t a b i l i t y k e y w o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d s ，p a r t i t i o no f u n i t ym e t h o d ( p u m ) ，l a r g ed e f o r m a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝鎏叁鲎或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名：羡6 弋， 签字日期：。7 年? 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝垄盘鲎有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授 权逝姿盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 导师签名1 呜 签字日期： 口7 年f 月6 日 学位论文作者毕业后去向：浙江大学建筑工程学院交通工程研究所 工作单位：浙大玉泉校区 电话：1 3 8 5 7 1 5 3 6 9 5 通讯地址：浙大路3 8 号 邮编：3 1 0 0 2 7 b m a i l 地址：s h o p p i n g w o o 3 r a h o o c o m c n 日 f ?泣一一月 土彳 馨啄 年 名，- ， 鹕 回 音作 文 期 沧 日 位 字 学 签 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 1 1 无网格方法提出的背景 第一章绪论 在科学和工程技术领域中，对于许多力学问题和场问题( 比如热传导、电磁场 等) ，人们已经得到了它们应当遵守的基本方程和定解条件，但是只有极少数问 题才能得到解析解，比如方程比较简单，几何形状相当规则，边界约束理想化的 问题，为此，人们借助数值方法，特别是近5 0 年来，随着计算机硬件和软件的 飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学和工程问题的主要工具( 1 】。 数值方法至今大致可以分为两类【1 】：一类是有限差分法，它能够求解某些相 当复杂的问题，特别是流体流动问题，在流体力学领域至今仍占支配地位：另一 类是以有限元为代表的加权残值法，经过4 0 多年的发展，有限元的理论基础和 误差估计都已成熟和完善，其应用几乎遍及所有工程技术领域。然而，这两类数 值方法都有一个内在缺陷，即它们都依赖网格，在有些问题中，过度细化的网格 或计算过程中的网格重构导致计算代价过大。随着研究的深入，计算力学所要处 理的问题越来越具有挑战性，在处理下面这些问题时上述两类数值方法都难以胜 任或计算代价过大。这些问题主要有如下几个1 2 驯： ( 1 ) 裂纹扩展问题：有限元在模拟的过程中需重构网格，且效率和精度都低： ( 2 ) 几何大变形问题：有限元网格严重畸变，无法继续计算，也需网格重构； ( 3 ) 内、外边界奇异问题； ( 4 ) 高速碰撞引起的几何畸变问题：比如超弹性材料t a y l o r 杆的碰撞问题； ( 5 ) 工业材料的冲压成型问题：有限元难以模拟流动变形： ( 6 ) 高振荡、高梯度问题：比如高应力梯度问题，短波传播的数值模拟1 4 j ； ( 7 ) 自适应计算问题：在白适应分析时，有限元的网格在高梯度区的尺寸须 非常小，计算代价过大，动态过程的自适应分析更是如此( 网格需不断地更新) ； ( 8 ) 相变问题：比如相变温度场问题，相变边界的变化导致有限元网格的不 断重构，且要求有限元网格不能穿过相变边界； ( 9 ) 爆炸问题。 为此，经过诸多学者的共同努力，许多新的数值方法被提出，目前较有影响 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 的有两种【2 】：流形方法和无网格g a l e r k i n 法。流形方法用统一的数学表达形式处 理连续和非连续场量问题：而无网格g a l e r k i n 法则由节点进行场量近似。 1 2 无网格方法的介绍 与有限元通过分片插值进行近似场量不同，无网格方法是基于分布在求解域 内的节点进行场量的近似，对节点间的联系不做硬性的规定，摆脱了网格的约束， 具有前后处理简单、适合大变形分析等优点。虽然有些无网格方法要涉及到网格， 比如无网格o a l e r k i n 法中的背景积分网格、扩展有限元中的有限元网格，但是与 有限元方法中的网格不同的是，背景积分网格只是辅助数值积分，而扩展有限元 中的有限元网格在模拟裂纹扩展或分析其他问题时无需重构，它们有本质区别。 1 2 1 无网格方法的发展过程 无网格方法大概在2 0 年前被提出。1 9 7 7 年l u c y 提出了光滑粒子流体动力学 法( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c sm e t h o d ，简称s p h ) p 】。s p h 方法被用来模拟无 边界域的天体物理和宇宙进化现象，如爆炸的群星；在众多学者的研究中，s p h 法也被用于固体力学的高速冲击计算、流体固体的相互作用、碎冰场和碎冰流 动的计算以及流体动力学的计算f 6 】。s p h 被视为最早的无网格方法。 1 9 8 1 年，l a n c a s t e r 和s a l k a u s k a s 基于曲面的拟合提出了移动最小二乘近似 ( m o v i n gl e a s t - s q u a r ea p p r o x i m a t i o n ，简记为m l s ) 口l 。n a y r o l e s 等人则把m l s 用 于散射单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，简记为d e m ) t 引。b e l y t s e h k o 等人在n a y r o l e s 等人研究的基础上，将m l s 和伽辽金法( o a l e r k i n ) 结合提出了无单元伽辽金法 ( e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，简记为e f o ) 1 9 ( 需借助背景积分网格完成数值积 分) ，把它用于裂纹的扩展并取得成功。e f g m 是目前被研究和应用最为广泛的 无网格法，国内的诸多学者也研究了e f g m 在线弹性、弹塑性、几何大变形、 裂纹扩展和岩石力学等方面的应用，且有些应用比较成功。 1 9 9 5 年，l i u 等人提出了再生核点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，简记 为r k p m ) ( 1 0 ，1 1 】，并用于结构动力学问题，计算结果表明它比s p h 法有更好的稳 定性。之后，l i u 在r k p m 的基础上提出了多尺度再生核点法以及小波粒子方法。 1 9 9 5 年，d u r a t e 和o d e n 提出了l i p 云团法( h p c l o u d s ) ”2 j 。随后，m e l e n k 2 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 和b a b u s k a 提出了单位分解有限元法( p a r t i t i o no fu n i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简记 为p u f e m ) ”。这两种方法都是基于单位分解的无网格法( p u f e m 虽然基于有限 元网格，但是它具有无网格方法的一些特性，故在此把它归为无网格法1 。这两 种计算方法都在近似空间中引入相关问题的先验知识，使得其局部逼近特性比多 项式局部逼近特性要好，通过单位分解函数( 可具有高价连续导数，且保证两种 方法的收敛性) 则可以构造连续性较好的整体近似空间。本文的主要工作就是基 于这两种单位分解方法( 主要是云团法) 分析高梯度问题和几何大变形问题。 1 9 9 6 年，西班牙数值分析中心的o n a t e 和i d e l s o h n 提出了有限点法( f i n i t e p o i n t m e t h o d ，简记为f p m ) 【1 4 1 ，它是一种纯无网格法，被用于流体动力学问题，成功 地解决了对流扩散方程。 1 9 9 8 年，a t l u r i 等人提出无网格局部彼得咯夫伽辽金法f l q ( m e s h l e s s l o c a l - p c t r o vg a t e r k i n ，简记为m l p g ) ，m l p g 以m l s 建立场量近似的形函数， 不过在建立离散方程时，它从微分方程在局部子域上的弱形式出发，试函数和近 似函数来自不同的函数空间，得到的刚度矩阵不对称，但它是纯无网格方法，只 需在求解域内分布节点，积分时不需要背景网格。 其他的无网格方法还有局部边界积分方程法、径向基函数法、自然单元法等， 在此就不一一介绍了。 1 2 2 无网格方法的场量近似 为了摆脱网格的约束( 网格畸变后带来很多问题，且这些问题较棘手) ，无网 格法基于节点进行近似场量，为此，需在求解域上布置一些节点，每个节点有一 个影响域( 形函数在影响域内大于零，在边界和影响域外面为零) ，节点只在自己 的影响域内对场量近似有贡献，在影响域外不参与场量的近似，类似有限元的分 片插值( 单元内点的场量近似只涉及单元节点，与其他节点无关) ，从而保证了之 后的总体刚度矩阵具有带宽性。目前主要有以下一些近似方法： ( 1 ) 核函数近似 设场量函数“( x ) ，其核函数近似矿( x ) 如下【6 ，1 6 1 ： 甜6 ( x ) = 【，以x y ，h ) u ( y ) d v ( 1 一1 ) 其中，w ( x 一弘而) 是核函数或权函数，在m o n a g h a n 看来，核函数要满足以下 5 个条件f 6 ，1 6 j ； w ( x y ，h ) o ，在子域以内，即正定性： w ( x 一乃协= 0 ，在子域k 外，即紧支撑性； f 吣一乃 矽矿= 1 ，即正态性； 忡，国是关于s 的单调递减函数，其中j 刮x y l i ，为其他点到节点i 的距离； 当h 寸0 时，w ( s ， ) 号占( s ) ，其中艿( j ) 是占函数。 在数值计算时，要对式( 卜1 ) 进行数值积分以得到离散形式，一般采用直 接积分方法，可以得到： 矿( x ) = w ( x x i ) u 1 a v l = 咖( x ) “， ( 1 2 ) 其中，一是节点i 周围域的某种度量；n 是求解域内分布的节点数：u l 是节点 的场量值，即“，= u ( x ，) ，0 i ( x ) 是由核函数近似建立的形函数。s p h 方法采用了 核函数近似。 ( 2 ) 再生核函数近似 离散形式的核函数近似在边界上难以满足线形一致性条件，导致在边界处计 算不稳定r 丌。为了克服这个不足，l i u 1 0 ，1 1 1 对核函数引入修正函数施加再生条件， 从而可以满足边界上的相容性条件，不仅精度提高，且计算更稳定，再生核函数 近似如下： 以功= f e ( x 力吾矿( 竿m 州矿= 喜卜神吾妒牮) _ ( 1 - s ) 其中，r 是核函数的伸缩系数，e ( x ，j ) 是修正函数。r k m p 方法采用了荐生核函数 近似，具有变时一频特性、多尺度特性，从而在流体动力学、微结构、结构声学、 大变形分析等领域得到了广泛的应用【m 。 ( 3 ) 移动最小二乘近似 6 1 在移动最d x - - 乘近似法中，场量函数“ ) 近似地表示如下： 4 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) m 4 h ( x ) = p j ( x ) a j ( x ) = 以x ) a ( x ) = o j ( x ) 舀， ( 1 4 ) 1 = 1 1 其中，易( x ) 为基函数，m 是基函数的项数，a j ( x ) 为相应的系数，它是坐标x 的 函数。毋，是场量函数u ( x ) 在节点i 的值，k 是多项式基函数的阶次。常用的一维 和二维的线形基函数和二次基函数如下： p 舞2 毛l 2 p j 絮一y x 2x y k , y 寻 k ：2 m s ， 1 = ( 1 ，x ，x 2 ) ，1 = ( 1 ，x ，2 ) = 对于有奇异性的问题，基函数也可以是奇异函数。可以证明，奇异函数可以 被移动最d x - 乘近似精确地再生 6 1 。 移动最小二乘近似是无网格法中比较普遍的近似方案，其所得到的形函数满 足单位分解条件，即中；( x ) = 1 ，故可以作为h p c l o u d s 法的单位分解函数， 关于这一点将在后面加以说明。 “) 单位分解近似【1 司 单位分解法( p a r t i t i o no fu n i t ym e t h o d ，简记为p u m ) 是一种更为广义的无 网格方法，从构造上看，它首先在局部尽可能地精确逼近场量函数，然后通过单 位分解函数将局部近似空间“粘合”得到整体近似。 根据单位分解法的定义，求解域qcr ”，它有开覆盖f q 。) ， q ，) 满足有限 重叠条件，从属于开覆盖 q ， 的l i p s c h i t z 单位分解函数 纪 满足仍= l 及其 他条件。在覆盖上 q 。) 定义局部逼近空间：形ch 1 ，n q ) 。在构造局部逼近空 间k 时，可以利用被分析问题的先验知识从而取得较好的逼近效果( 比如裂尖附 件的位移渐进函数，分析波动问题时的平面波知识) ，局部空间的逼近能力直接 影响到整体逼近的收敛性和收敛速度，即整体空间继承了局部空间的特性。 攘体的逼近空间( 又称p u m 空间) 如下： 矿= 仍= 仍ki v , c 巧 c h l ( q ) ( 1 6 ) 如果局部空间 表示如下： v = s p a n p , 口 ，= l ， ( 卜7 ) 从而整体逼近空间又可表示如下： 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) y ： vv ：艺鲜岛吗，吗c r ) ( 1 - 8 ) 式( 卜8 ) 中，仍岛类似有限元的形函数，一般把它称为广义形函数，与其对应 的自由度称为广义节点自由度，广义节点自由度可能不再具有场量函数的量纲。 单位分解函数协) 的形式有多种，比如移动最4 , - - - 乘近似得到的形函数、有 限元节点形函数和s h e p a r d 函数等等。本文用到的单位分解函数包括s h e p a r d 函数和等参四节点有限元节点形函数。 ( 5 ) 径向基函数 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，简记为r b f ) 是一类以函数定义点到节 点的距离为自变量的函数，以每个离散节点置为中心定义的一组函数，记为 ( f ix 一五1 1 ) 。若以径向基函数建立场量近似，则场量函数u ( x ) 近似如下： 矿= “，( 1 1 x ti i ) ( 1 9 ) j = l 其中，n 是节点数，玑为待定系数。径向基函数法具有形式简单、空间维数无 关、各向同性等优点【1 9 1 。r b f 方法的应用可参考文献 2 0 - 2 3 等。 1 2 3 无网格方法的离散方案 无网格方法中方程的离散是基于加权残量法。传统加权残量法的权函数是求 解域内的全局函数，即非紧支撑性；而无网格方法中的权函数具有局部性，即紧 支撑性，不论是计算效率还是实现的难易程度都有很大的进步。从问题的控制方 程和边界条件( 一般不包括位移边界条件，位移边界条件通过其他方法施加) 出发 得到加权残量方程后，由于选取的权函数不同，得到不同的无网格法。目前，主 要的离散方法有配点法、g a l e r k i n 法、局部p c t e r o v - g a l e r k i n 法【6 】： ( 1 ) 配点法( c o l l o c a t i o n ) 在配点法中，控制方程只在求解域内的节点上满足，边界条件只施加在边界 节点上，故其计算效率高，但是由于满足的方程较少，导致精度不高，且计算不 稳定。 ( 2 ) 伽辽金法( g a l e r k i n ) 6 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 伽辽金法是加权残量法的一种，其权函数与近似函数一样。伽辽会法是积分 形式下满足基本微分方程和自然边界条件，也称为弱形式。目i ； ，无网格法大多 采用伽辽金法离散弱形式的微分方程，常被称为无网格伽辽金法( e l e m e n t f r e e g a l e r k i nm e t h o d ，简记为e f o m ) 。e f g m 离散后得到的方程需进行数值积分， 这一点和有限元类似，但是它需要借助背景网格( 背景积分网格与节点分布无关， 不过要覆盖求解域) ，其不足之处就是积分计算量大，但精度较好，得到的刚度 矩阵具有对程性。 ( 3 ) 无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m l p o ) 伽辽金法是弱形式的积分方程在整个求解域上进行离散，而m l p g 是把控制 方程的弱形式在局部予域上进行离散，m l p g 是真正的无网格法，在积分时不需 要背景积分网格。m l g p 中的试函数和近似函数来自不同的函数空间，试函数( 权 函数) 在局部子域的边界上为零( 试函数为节点权函数，局部予域为节点影响域) ， 故得到刚度矩阵没有对称性。a t l u r i 等人的数值算例表明，m l p g 法计算得到的 场量函数和其导数均有较高精度。 1 2 4 无网格方法中基本边界条件的实现 在无网格方法中，基本边界条件的实现是一个难点，这是因为节点场量近似 值不等于节点场量值，即u h ( x ，) ( x ，) ，故无法直接施加基本边界条件。目前提 出的解决方法有配点法和修正配点法、罚参数法、修正变分原理和与有限元耦合 法【6 1 。配点法能够较精确地满足边界上节点的基本边界条件，但是无法满足边界 节点之间的点上的基本边界条件，这点和有限元类似【6 】：采用罚参数法得到刚度 矩阵仍然是对称的，但罚参数的选取要谨慎，并不是越大越好，罚参数非常大则 可能使刚度矩阵病态；修正变分原理是由拉格朗日乘子法变化而来，拉格朗日乘 子在不同的问题中具有不同的物理意义，比如在平面问题中，拉格朗日乘子为表 面力；与有限元耦合法是在基本边界条件给定的边界附近设置有限元网格，利用 有限元的网格满足基本边界条件，不足之处是界面区的形函数较复杂。 1 2 5 无网格方法总结 无网格方法可总结如下洲： 7 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 方法名称代表学者近似方案离散方案背景网格 光滑质点流体动l u c y t核函数近似配点法无 力学法( s p h ) 散射单兀法 n a y r d e s 移动最小二乘g a l e r k i n 法有 ( d e m ) 无网格伽辽金法 b e l y t s c h k o 移动最小二乘g a l e r k i n 法 有 ( e f g ) 有限点法o n a t e 移动最小二乘配点法无 ( f p m ) 再生核粒子法 l i u 再生核近似g a l e r k i n 法有 ( 1 u ( p m ) h p 云团法 o d e n 移动最小二乘 g a l e r k i n 法 有 ( h p - c l o u d s ) 广义差分法 l i s z k a移动最小二乘配点法无 单位分解法 b a b u s k a 单位分解g a l e r k i n 法有 ( p u f e m ) 扩展有限元b e l y t s c h k o单位分解g a l e r k i n 法有 ( x f e m ) 局部彼得咯夫a t l u r i移动最小二乘p e t r o v - g a l e r k i n无 伽辽金法m l p g法 径向插点法 g r l i u径向基插点g a l e r k i n 法和配有 ( r p i m 、r p c m ) 点法 1 3 无网格方法的优点、不足及其应用 无网格方法具有如下几个优点 2 4 j ： ( 1 ) 场量函数的近似基于离散的节点，且节点的分布较随意，没有网格依赖 性，因而对物体的几何畸变敏感性降低了，适合分析高速碰撞、动态裂纹扩展、 塑性流动、流固耦合等涉及大变形和需动态调整节点位置的计算问题； ( 2 ) 函数逼近空间可以包含关于待求问题特性的函数，提高了局部逼近精度， 适合分析各类具有高梯度、奇异性等特殊性质的问题，比如裂纹尖端的应力场、 应力集中问题、固体中短波的传播、h e l m h o l t z 问题等； ( 3 ) 无网格方法中的形函数具有紧支撑性，故得到的代数方程具有带状稀疏 性，且有些无网格方法的代数方程具有对称性，适合大型的科学与工程计算问题； ( 4 ) 适合进行h 、p 、h p 型自适应分析，尤其是p 型( 自由度全部定义在节点上) ， 一般地说，通过增加节点上的广义自由度可以提高计算精度，且本文的算例还表 8 浙江大学硕十学位论文( 2 0 0 7 ) 明单位分解法的p 型收敛速度较快； ( 5 ) 计算的前处理简单，不需网格划分，只需节点坐标、影响域等信息； ( 6 ) 形函数具有高阶的连续导数，因此不必进行应力修匀等后处理，另外， 正由于具有高价连续导数，则有可能构造较好的板壳模型。 无网格方法的不足【2 5 】： ( 1 ) 计算效率较低，主要原因是形函数及其导数的计算非常耗时( e f g 的情况 更是如此1 、数值积分的计算量大； ( 2 ) 场量近似的不过点特性使得无法精确地直接施加基本边界条件，增加了 额外的计算量； ( 3 ) 离散后控制方程的数值积分没有可靠的数学理论支持( 背景积分网格的布 置较随意) ，计算效率和精度没有达到很好的平衡； ( 4 ) 节点的布置较随意，但是计算精度和节点的布置有很大的关系，特别高 梯度或高振荡问题、应力集中问题、裂纹问题等； ( 5 ) 权函数及其参数的选择无理论依据，不同的选择得到的结果有时相差很 大，故计算过程中，必须不断地调整权函数的参数以判断结果的有效性； ( 6 ) 如何把无网格方法引入多尺度分析也是一个值得研究的方向，当然，在 这方面，r k p m 法已进行了探索m j ； ( 7 ) 有限元的数学理论和误差估计都已经很成熟了，但无网格方法中的数学 理论和误差估计的研究则刚刚开始，急需数学基础来解释种类繁多的无网格方 法，目前看来，单位分解方法的提出起了很好的带头作用； ( 8 ) 诸多不确定因素加上没有应用软件的支持，无网格法在实际应用中较少， 当然，这个问题的解决有待于无网格方法理论的成熟。 无网格方法的应用 2 6 1 ： 经过诸多学者的努力，无网格方法被应用在很多领域，且有些领域的应用非 常成功。目前，无网格方法主要应用在固体力学、计算流体力学、热力学、声学、 电磁学等方面。以下是无网格法在固体力学各个方面的应用： ( 1 ) 断裂力学：弹性静、动力断裂力学，弹塑性断裂力学，裂纹尖端应力分 析及引力强度因子的计算，动态裂纹扩展的跟踪等； ( 2 ) 岩土工程：岩土工程中材料的复杂性、构造的复杂性使得有限元的分析 9 浙江大学硕t 学位论文( 2 0 0 7 ) 结果和实际相差甚大，而无网格法的出现使得这一问题的解决得到了很好的改 观，国内的学者在这个方面的研究工作表现不俗； ( 3 ) 板壳问题：有限元函数空间中的函数没有高阶导数( 比如四节点等参单元 的形函数的一阶导数就不连续) ，难以构造理想的板壳计算模型，而无网格法中 的形函数具有高阶导数，这为解决板壳问题提供了一个较好的基础； ( 4 ) 新材料的性能分析和模拟：随着科学的发展，新的材料，尤其功能材料， 不断地涌现出来，由于特殊的结构，传统的力学模型和力学参数很难解释这些材 料的性能，无网格法的灵活性可以很好地介入这个新领域； ( 5 ) 其他方面：结构动力学，如梁的振动问题、随机力学分析和可靠度分析、 渗流问题、求解土的固结方程问题等。 1 4 本文的主要研究工作 本文的主要工作是研究单位分解法在高梯度问题和几何大变形分析中的应 用( 大变形分析中的材料涉及弹性材料和超弹性材料) 。严格地说，科学和工程中 的力学问题在本质上都是非线性问题，所以研究无网格法在非线性问题中的应用 很有必要。 首先，回顾一下国内外部分学者应用无网格法解决非线性问题的研究工作： ( 1 ) 弹塑性问题：李卧东等人【2 7 】应用e f g 分析中心裂纹板的塑性区分布及极 限载荷，在平面应力和平面应变两种情况下，得到的极限载荷和有限元计算结果 相差不到5 ，塑性开展区也和有限元结果类似，而且很好的捕捉到了裂纹尖端 应力场的奇异性：龙述尧等人【2 8 l 用e f g m 分析了悬臂梁、带圆孔的方块物体的 弹塑性问题，进一步证实了无网格法分析弹塑性问题的可行性；熊渊博等人【2 9 】 用m l g p 分析了简支梁、带圆孔的方板，数值结果表明了该法具有很好的数值 精度、稳定性，简捷地处理了应力集中问题；朱合华等人【3 0 1 用无网格自然单元 法( n 曰田分析了厚壁圆筒的内压、悬臂梁问题，数值结果表明该法比有限法( 三 节点单元) 计算精度高，基本上等于四节点有限单元法的精度，不过与四节点有 限单元法比较，其前处理简单； ( 2 ) 弹塑性大变形问题：李光耀等人【3 1 1 用e f g 分析了弹塑性大变形接触问题， 数值结果表明该法可以处理严重的畸变变形； 1 0 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) ( 3 ) 材料的成形问题和接触问题：娄路亮等人1 3 2 j 用无网格法分析了圆柱体的 镦粗成形问题，数值结果和有限元结果很接近，且可以很好地模拟大变形，中间 无需调整或增减节点；崔青玲等人【3 3 】用r k p m 分析二维平面应变的镦粗问题， 压缩量可以达到9 0 ，而有限元在相同的条件下出现了网格的畸变，只能有6 8 的压缩量；庞作会、朱岳明1 3 4 1 用e f g m 分析了弹性材料的接触问题，得到了合 理的变形结果，界面应力与文献结果基本吻合； “) 弹性和超弹性材料的几何大变形问题：陆新征等人1 3 5 l 用e f g m 分析平面 正方形弹性块体在拉伸、压缩作用下的大变形问题以及悬臂梁的大变形问题，结 果表明e f g m 可以比有限元模拟更大的变形，且在变形的过程中对节点几乎不 用作调整；龙述尧等人【3 6 l 用e f g m 分析悬臂梁、钉子形物体的几何大变形问题， 数值结果与解析解、a n s y s 软件计算结果符合的很好；张希，姚振汉印j 用m l p g 分析了几何非线性、几何与材料双重非线性问题，结果表明该法计算精度高，并 能改善有限元计算中遇到的网格畸变问题，模拟更大的变形，且相对于其他积分 型无网格法，如r k p m ，其计算速度更快；谢琴等人【l7 1 用r k p m 分析了橡胶悬 臂梁的纯弯曲大变形，其研究表明，r k p m 法在处理大变形问题上比有限元更有 效，精度更高，同时根据计算需要可在严重变形区域增加节点以进行自适应分析； z d h a r t 等人1 3 8 】用m l p g 与有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) 的混合方法分析了 橡胶材料的二维悬臂梁大转动、三维高速碰撞的泰勒问题，得到的数值结果和有 限元相近；c h e n 等人1 3 9 , 4 0 用r k p m 方法分析了橡胶材料的大变形问题，如橡胶 块体的拉伸与压缩、橡胶块的剪切、无限长橡胶圆筒的内压问题等，其数值结果 表明r k p m 法比有限元更适合大变形问题，在处理不可压缩材料的几何大变形 问题时不会出现体积闭锁现象，同时r k p m 方法也能有效地解决材料的过渡扭 曲变形问题，另外，n e m 也被用于几何大变形分析【4 1 4 2 1 ，它也能很好地处理网 格畸变而不必进行网格的重构。 本文的主要工作是用单位分解法( p l r m ) 解决高梯度问题和弹性材料和橡胶材 料的几何大变形问题，推导了单位分解法几何非线性分析的完全拉格朗日公式， 讨论了单位分解法的p 型收敛和抗网格畸变性或对节点分布不敏感性。本文采用 的单位分解函数是s h e p a r d 函数和等参四节点有限元单元的形函数，其中s h e p a r d 函数的权函数又分为高斯权函数和立方样条权函数，数值计算表明了权函数对计 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 算结果影响很大，且不同的权函数表现出不同的特性。另外，本文也通过在局部 近似空间中引入非多项式函数( 裂尖位移场的特性函数) 分析了裂纹板问题和局 部具有高梯度的泊松问题，裂纹板算例的数值结果表明，即使节点分布比较粗糙 也能得到较满意的结果，分析泊松问题时，节点近似空间中引入解析解后可明显 提高计算精度或在自由度较少的情况下也可得到精度相近的数值结果。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 第二章单位分解法与扩展有限元法 2 1 单位分解法中的基本概念 单位分解法中的基本概念有单位分解和覆盖。 单位分解【4 3 ，“，4 5 1 是数学流形中的重要概念，其作用是从局部数值分析到整 体分析。假定q 是定义在r ”o = 1 , 2 ，3 ) 中的有界域，五是q 的闭包，q 。表示任 选择的n 个节点的集合：q 。= 五，石：，x i ，x ) ，其中x ，为求解域q 内第 1 个节点，节点x ，对应一个覆盖q ，：q ，= x r ”：1 1 x - x 川h i ，曰，表示 该覆盖的大小，且有五c u q ，。在二维情况下，覆盖的形状可以是圆或矩形， 如图2 - 1 和图2 - 2 所示。 图2 - 1 圆形覆盖 图2 2 矩形覆盖 函数办与覆盖q ，相对应，这n 个函数记为= 舫，= 1 , 2 ，) ，这个函数 集合满足下面三个条件： 旃( z ) = l ，锻q ( 2 1 ) ，；l 办( x ) = o ，x 芒q j ( 2 2 ) 办( x ) c s ( q ，) ，l 蔓i n ，s l ( 2 3 ) 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 则称办为单位分解函数或从属于覆盖q ，的一个单位分解。从式( 2 2 ) 可以看出， 单位分解函数具有紧支撑性。单位分解函数有多种，比如s h e p a r d 函数、移动最 小二乘法得到的形函数、有限元的形函数等等，现加以详细论述。 单位分解函数的建立方法如下： ( 1 ) s h e p a r d 函数： 办( x ) ：芋啦 ( 2 - 4 ) w ( x x j ) 。l 其中，w ( x - x 。) 是节点x 。在点x 的权函数值，s 表示覆盖域覆盖了点x 的节点的 个数。 以圆形覆盖为例，如下图所示： oooooo 图2 - 3 节点影响域 水代表求解域内的任一点，+ s t 示覆盖域覆盖了点木的节点，0 表示其余的节点； 由图2 3 可知，s = 9 。 ( 2 ) 移动最小二乘法( m l s ) 7 1 ： 设“( x ) 为求解域q 上的场量函数，其近似表达为矿( x ) ，根据m l s ，u h ( x ) 的 表达式如下： u h ( x ) = p a x ) a a x ) = p ( x ) a ( x ) 1 - 1 ( 2 5 ) 式中，m 是基函数向量p ( x ) 的项数，p a x ) 是基函数，a ( 】【) 是对应的系数向量， 为空间坐标的函数。最常使用的基函数是多项式基函数，比如： 1 4 o o o o o 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 7 ) 线性基 p 1 ( x ) = ( 1 ，x ) i n1 d ，p t ( x ) = ( 1 ，x ，j ，) i n2 d ( 2 - 6 a ) 二次基 p 7 ( x ) = ( 1 ，x ，x 2 ) i n1 d ，p t ( x ) = ( 1 ，石，y ，x 2 , x y ，y 2 ) i n2 d ( 2 - 6 b ) 又设在求解域上布了n 个节点 x j , i = 1 ，2 ，以 ，这n 个节点对应的场量函数 值为 羁，i = l ，2 ，刀 。最小二乘法拟合数据是在求解域上的n 个节点上进行，且 此时系数向量a c 【) 是常数：m l s 法则认为在任意的局部区域，比如某点的邻域里， 数据的拟合与这点邻域外的节点无关，从而用加权最小二乘得到如下二次形式： ，= 粪似x - x s ， 芝1 = 1 所c x 。，a c 硇一蟊 2 c z 一， ，= w - ( x - x s ) f 所( x s ) a ( x ) 一蟊l ( 2 7 ) s 。l lj 式中，n 表示点x 影响域内的节点个数，w ( x x s ) 是权函数，具有紧支撑性及光 滑连