（基础数学专业论文）离散动力系统中的混沌.pdf

芗 且 v 爿 、l， l 多 办 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 指导教师繇王主迄 签名日期： 砂i1 年f 月1 日 产毋。 k ，； 露 事 ， l t 摩 ， 净 j 玉 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 在实际问题的研究过程中，由于人们研究领域的不同，从不同的观点、不同的角度 出发，揭示不同的混沌内涵，进而给出不同的混沌概念。虽然这些混沌的定义不同，但 是它们之间仍然存在着某些联系。 本文的主要结果是： 1 如果一个动力系统，力是按序列传递分布混沌的，那么它就是m a r t e l l i 混沌 的。 2 设口，6 x 且口6 ，a _ 是一个正整数序列。如果对任意序列c = q 气， 其中= 曰( 口，圭) 或者气= 丑( 6 ，圭) p ( 口，圭) = x ld ( a ，力 各) ，存在颤c ) 石使得对每个 厅 k 1 ，厂最( 心) ) q ，那么“厂) 就是l i y o r k e 强混沌的。 3 如果一个动力系统( 置门是l i y o r k e 强混沌的，那么它就是按序列分布混沌的。 4 设，d ) 是至少含有两个点的局部紧致度量空间。如果动力系统，力是弱混合 的，那么它就一定是l i - y o r k e 强混沌的。 5 设( 彳，d ) 是一个含有至少两个点的紧致度量空间，是它上面的连续自映射。如 果厂是完全极大敏感的且是几乎周期稠密的，那么僻( ，门是一个m - 系统。 关键词：动力系统；混沌；集值系统；m - 系统 ，。； ，事 ，一。v 、t “p y ， 【r j l，、，i a喱灌邛i扣 箨矗j 移 程 离散动力系统中的混沌 c h a o sf o rd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s a b s t r a c t i nt h er e s e a r c hp r o c e s so fr e a lp r o b l e m s ，p e o p l eo fv a r i o u sf i e l d sr e v e a l e dd i f f e r e n tc h a o t i c c o n n o t a t i o n sf r o md i f f e r e n tv i e w p o i n t sa n da n g l e s ，t h e ng a v ed i f f e r e n td e f i n i t i o n so fc h a o s t h ec h a o sh a v ed i f f e r e n td e f i n i t i o n s ，b u tt h e ye x i s ts o m er e l a t i o n s t h em a i nr e s u l t so f t h i sp a p e ra l ea sf o l l o w i n g ： 1 i fad y n a m i c a ls y s t e m ( z ，厂) e x h i b i t st r a n s i t i v ed i s t r i b u t i o n a lc h a o si na s e q u e n c e ，t h e n i ti sc h a o t i ci nt h es e r l s eo fm a r t e l l i 2 l e ta ，b xw i t ha ba n da 专0 0b eas e q u e n c eo f p o s i t i v ei n t e g e r s i ff o rm a n y s c = q c 七 气= 刀( 口，i 1 )气= b ( b ，妻) ( 口，1 = 扛i d ( e q u e n c e w h e r eo r b ( b i d ( 口，功 0 ，存在整数n 0 ，使得对任 何g 0 ，存在整数，g 0 ，使得对任意万 0 ， f 4 ( y 阮g ) ) ny s ) = f 2 j ，则称苫为厂的游荡点。如果x 不是厂的游荡点，即对 4 多 l l 0 l 土 可 观 鼍r e 辽宁师范大学硕士学位论文 v 占 o ，3 n 0 ，使f “( y “g ”r 、y 占) a ，则称x 为厂的非游荡点。的全体非游荡 点的集合记为q ( 门。 在引进混合概念之前先熟悉一下记号和规定：用厶表示m 个厂的c a r t e s i a n 乘积， 亦即 厶= f x 厂 。对任何 x = ( 而，x 2 ，) x 脚 ，规定 厶( 对= ( f ( x 1 ) ，厂( 而) ，厂( ) ) 。易见厶：x 朋专x 辨连续。 定义1 1 1 0 称是拓扑弱混合的，如果五是传递的，亦即对x 中任意非空开集 q ，u 2 ，巧和圪，存在正整数n 使得“( 阢) 厂、巧g ，i = 1 , 2 。 定义1 1 1 1厂称为拓扑混合的，如果对任意非空开集u ，v c 工，存在n 0 ，使 得对任何n n ，f “( r 、矿g 。 设u ，y 为x 的非空开集，令 k ( u ，矿) = 以卅厂”( nv a ) 可看出拓扑混合意味着拓扑弱混合，而拓扑弱混合意味着拓扑传递。 1 2 几种混沌的定义 定义1 2 1 设，d ) 是紧致度量空间，：z 兮石是连续映射，如果存在集合 d c x ，使得对v x , y e d ，x y ，有 l i m i n f d ( f 矗( 功，f 4 ( ) ，”= 0 ； l i m s u p d ( f “( 功，“0 ) ) 0 ， 疗+ 则称d 是映射厂的一个l i - y o r k e 混沌集，如果存在映射厂的一个不可数的 l i - y o r k e 混沌集，则称映射厂是l i - y o r k e 混沌的，简称混沌的。 定义1 2 2 设( x ，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射f ：x 专x 是分布混沌的，如 果存在不可数集dc x ，使得对v x , y d ，x y ，有， ( 1 ) j s 0 ，使得乃p ) = l 噪碧f 言善新。力q ( ( 力，f o ) ”= 0 ； ( 2 ) x t y v t o ，秒( 力= l i m s u p 圭新 ( 。，f 。) ”= 1 。 其中新。力表示【o ，f ) 上的特征函数，即当s 【0 ，f ) ，新叫) o ) = 1 否则新o ，) o ) = o 。 而称d 为的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x , y 称为分布混沌点对。 5 广 离散动力系统中的混沌 定义1 2 3 设( 石，d ) 是紧致度量空间，仞，) 为严格递增正整数无穷序列，称连续 映射f ：x 专x 是按序列分布混沌的，如果存在不可数集dcx ，使得v x ，y d ，x y ， 有 ( 1 ) 3 6 0 ， 使得岛p ，仞t ) ) = l i m m f 磊衙( d ( 厂 ( 功，f r - - 4 , o o 几( j ，) ) ) = 0 。i - 。，、 ( 2 ) v t 0 ，巧( f ，仞，) ) = 1 i l i l s u p 圭撕( d ( 厂 ( 功，f ( y ) ) ) = 1 ， + ，b l 。 则称d 为厂按序列仞，) 的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x , y 称为按序列分 布混沌点对。 由定义可知，分布混沌及按序列分布混沌是在l i - y o r k e 混沌基础上增加了对轨道 靠近或分开的频度的限制。分布混沌的映射是按自然序列分布混沌的，且按某序列分布 混沌的映射一定是l i - y o r k e 混沌的。 定义1 2 4 设( x ，) 是紧致系统，如果 ( 1 ) 厂是拓扑传递的； ( 2 ) 厂的周期点在x 中稠密； ( 3 ) 厂对初值敏感依赖( 即如果存在万 0 ，使得对每一个z x 和石的任意邻域讥， y u ，存在刀 0 ，使得a ( f ”( 功，f “( y ) ) 引，则称厂是d e v a n e y 意义下混沌的。 定义1 2 5 设( x ，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射f ：x x 为m a r t e l l i 一混沌 的，如果存在点x ，使得 ( 1 ) , o ( x o ，力= x ； ( 2 ) o ( x o ) 相对于x 是不稳定的。 定义1 2 6 设( x ，力为紧致系统，厂：x 专x 是连续映射，ycx ，仞，) 是给定 的正整数递增序列，如果对任意连续映射g ：y 专x ，存在序列 q ，) c p ，) 使得 硒厂毋( 功= g ( 功，魄y ，则称】，是厂相对于序列p ；) 而言的一个熊混沌集，称厂为在】， 上关于序列慨) 熊混沌的。 定义1 2 7 设sc x ，使得对任意x , ys ，x y ，存在万 0 ，有 l i m s u p d ( f “( 功，f “( y ) ) 万， l i m i n f d f f l “( 功，f “o ) ) = 0 ， 6 l 9 j l i 诣 l i 幼 r 以? 扩 枣 辽宁师范大学硕士学位论文 那么s 就是一个强混乱集。如果厂有一个不可数的强混乱集，那么它就是l i - y o r k e 强混沌的。 定义1 2 8 设( x ，介为紧致系统，f ：x 专z 是连续映射。假设d 是一个不可数 的按序列分布混乱集。如果d 是稠密的，那么，就是按序列稠密分布混沌的；若d 不仅 是稠密的而且含有有稠密轨道的点，那么厂就是按序列传递分布混沌的。 1 3 符号动力系统 符号空间上的动力系统，称为符号动力系统，符号动力系统是动力系统理论研究的 强有力工具之一。一般符号动力系统的动力学性质的研究是一个远未解决的课题，文献 1 5 3 讨论了有限个符号生成的符号动力系统的几乎周期点、回归点及混沌集，以及它们 之间的拓扑共轭问题。文献 1 6 讨论了可列无穷个符号组成的无穷序列空间z ( z + ) 上位 移映射仃的一些动力学性质。 符号动力学产生于2 0 世纪初阿达马的工作中，起源于动力系统的抽象拓扑理论的 研究。1 9 3 8 年，m o r s e 和他的学生h e d l u n d 首次正式将符号动力学作为一个独立的学科 提出 1 7 j 。从2 0 世纪6 0 年代起逐渐在应用于一维映射的研究过程中得到发展和完善。 斯梅尔研究的马蹄映射就是一个可用符号动力系统很好地描述的典型。由于这种映射的 迭代过程的特征使它成为经典的混沌系统，因此符号动力系统也被视为混沌系统的原 型；进而还可将符号动力系统的运动特征作为混沌的描述并成为混沌的一种严格的数学 定义。符号动力系统在其他领域也有广泛的应用。例如研究离散事件动态系统控制问题 的代数方法就与符号动力学有密切的联系。近几年来，对于有限个符号的符号动力系统 的有限型子移位的研究已有很大进展，如文献 1 8 ， 1 9 ， 2 0 等，但对于一般子移位( 包 括非有限型子移位和一般符号动力系统) 的性质仍所知甚少。 设s = 0 , 1 ) ，= 协= 而五i 而s ，f = 0 , 1 ，2 ，) 。定义：p ：z z - - r ，对v x , y ， 其中石= 而而，y = y o y l ， ，、f o 耘= j ， p ( 而y ) 2 1 丢耘批其中七：v a i n 跳以) 不难验证夕是上的度量，( ，力为紧致度量空间。称( ，p ) 为具有二个符号的单 边符号空间。 定义1 3 1 s 中n 个符号的一个有限排列a = a o a 。称作s 上的一个长度为n 的 符号段。 7 离散动力系统中的混沌 在( ，户) 上定义一个特殊映射如下：对任意的x = 粕_ 屯， 仃：专， z = 而五屯卜盯( 功= 而而， 则仃是上的连续映射，称为单边符号空间上的转移自映射，故( ，仃) 是一个紧 致系统。 l l l ， n 鼙 t 鼙 a 辽宁师范大学硕士学位论文 2 离散动力系统中几种不同混沌之间的关系 自1 9 7 5 年l i - y o r k e 首次用严格的数学语言给出混沌定义以来，混沌的研究对现代 科学的影响，不仅局限于自然科学，而且涉及经济学、社会学、哲学及诸多人文科学， 可以说覆盖了一切学科领域。不可否认l i y o r k e 混沌的数学定义比其他的混沌定义有 更深远的影响，然而分布混沌除了长期行为的不可预测性之外还有一些统计学的规律， 所以把l i - y o r k e 混沌和分布混沌进行比较是很有意义的。本章的主要任务就是揭示离 散空间中几种不同定义的混沌之间的联系。 2 1 相关概念与引理 定义2 1 1 设 阢) 为一严格递增正整数无穷序列，称 p r ( f ，扫。) ) = ( x ，y ) x xxiv g 0 ，3 i 使得d ( f a ( 曲，f n ( 少) ) 的一个无穷递增子序列氆) ，使得a r ( f ，协) ) nd r ( f ，舰) ) cd c r u ，辑) ) 。 证明若p ，) n g ，) 为无限集仉) ，因 a r ( f , 仞，) ) nd r ( f , 臼，) ) c 欲( p ，) ) n d r c f ， ，= ，) ) = ， 结论显然成立。若切，) n 概) 为有限集，则不妨设饥) n 幻，) = ，对于任意 ( 毛y ) 舰( 厂， p ，) ) n d r ( f ，妇，) ) ，1 i md ( f a ( 功，f a ”= o r m f d ( f 毋( 力，f m ) ) 0 ，于是对于v s 0 ，存在 0 。当i n 时， d u 乃o ) ，f 所( y ) ) 0 ，对于v i ，d ( f 吼( 曲，厂吼( j ，) ) 艿。 选取一正整数序列，使得嘞= 1 ，刀川= 2 砌t 及正整数序列玩= i 2 忙= 1 , 2 ) 取 。伽，) 的无穷递增子序列识) ，使得对于 9 气 离散动力系统中的混沌 v i n , t j l n k , 一l j 刀白) c 仞f ，p 加毛 0 ，对于充分大的f ，当一l _ ， n 南时，有 d ( f h ( 功，f ) ) g ， ，去k 湫厂协肋啪警斗丽1 小志， m l i m 1 善 撕p u q 珐广抄) ) ) _ 1 。 而当疗七，一l 0 使得对d 中任意两个不 同的点x ，y 有( ，饥) ) = o 成立。我们固定d 中的任意点，因为而得轨道是稠密的， 所以对任意s 0 ，存在y d ，七1 使得d ，y ) ，所以x o 的轨道是不稳定的，从而证明，门是 m a r t e l l i 混沌的。 1 0 j r 哆 彳 t 耵 i ，、 l 敏 盯 气 辽宁师范大学硕士学位论文 定理2 2 2 设a , b x 且a 6 ，见专是一个正整数序列。如果对任意序列 c = q c 七，其中咯= 召( 口，丢) 或者气= 曰( 6 妻) ( 曰( 口，= 缸id ( a , 功 ) ，存在z ( c ) x 使得对每个k l ，最( x ) ) q ，那么阮门就是l i - y o r k e 强混沌的。 证明 设e 是的一个不可数子集。根据引理2 1 1 ，对每个j = $ 0 8 1 以ee 我 们可以选择一个点邢) j 使得对任意k ，如果刀! 0 0 使得对所有的i ，= 气。又因m t 足够大寺 万。因此躲d ( ，吒) 万，这说明 l ，_ i r a 。s u p d ( 吒，) 万。同时，因为吩足够大，和就可以同处于一个直径小于的 i 1 球中。因此d ( ，吒) 0 使得厂见( v d n b ( a , i 1 ) 彩和 厂n ( 圪) n b ( 6 ，砉) a 成立。因此我们可以找到两点五，恐使得厂n “) b ( 口妄) ， n ( 恐) b ( b ，去) 。假设存在正整数易 岛 o 和 m i 矿，i = 1 ，2 ，n ，令q = m a x ，鸭，) 。根据z 的连续性可得，存在万 0 使得对 于所有j 似y ) 0 使得f 8 ( n u o 和厂”( n y 彩。 证明( 1 ) 营( 2 ) ( 3 ) 的证明见文献 1 1 ：( 1 ) ( 4 ) 显然成立； ( 4 ) ( 3 ) ：设u ，矿是的彳的非空开集，因为厂传递的，根据引理3 1 3 ，可得对 某个f 0 ，a = u n 厂( 功o 成立。对于非空开集彳和矿，存在一个整数豇 0 ，使得 f 七( a ) n a 囝和f ( 么) n 矿f 2 j 成立。因此我们可得厂( v ) nv a ，所以有 f 叫( 矿) n 厂( 功3 厂( 彳) n 么g 。进一步可得f ( u ) n v d f 七( a ) n v g 。 3 2 定理与证明 定理3 2 1 设( x ，d ) 是一个含有至少两个点的紧致度量空间，厂是它上面的连续自 映射。如果是完全极大敏感的且是几乎周期稠密的，那么伍( x ) ，厂) 是一个 m _ 系统。 证明首先，我们证明饭( 幻，力是一个几乎周期稠密系统。设么= ( x l ，而，) 是么( 门 的一个可数稠密子集，所以互= 豕万= x ，彳也是x 的一个稠密子集。那么对任意 k k ( 朋和占 o ，存在一个有限子集丑= 瓴，气，气) ca ，使得日，足) 詈成立。 设4 = d ( 五，门，j = l ，2 ，刀，那么4 ，4 ，4 i 是极小的。 根据引理3 1 1 ，在乘积系统( 4 4 a n ，厂厂门中存在一个几乎周期点 瓴，咒，只) 。因为4 是极小的，所以乃在( 4 ，力中是传递的，对于任意f 1 ，2 ，甩) 。 因此存在铂，n h ，使得对所有的j = l ，2 ，刀，d ( f m 7 ( 乃) ，五，) - 6 q 成立。又因为 日( ( 厂啊( 儿) ，厂研2 ( 儿) ，( 以) ) ，( 屯，吃，气” 詈， 所以日( ( 厂帆) ，厂，z ( 耽) ，f 饥) ) ，k ) 0 ，使得b ( x ，万) cu ，b ，万) c 矿。因为，单调递减为零，所以存在正整数眠使得 霄 詈和r n o 强n 。+ i 成立接下来我们先证明一个假设：存在一个岛，0 n 曰0 ，回a 再由 引理3 1 4 可得，是弱混合的。 最后，我们证明厂是传递的。设u ，矿是k ( 柳的非空开集。存在x 的非空 u ，q ，巧，圪，k 使得垦= 口( u ，虬) c u ，垦= 曰( k ，匕，k ) c 矿， 令 m = m a x s ，f ) ，并令玩= 1 i s ， 1 s f ，o rm + l i m + t ， t i 7 矩o rm + t f 2 m 显然，玩，露都是x 的非空开集。因为是弱混合的，根据引理3 1 4 ，可得z 。是 传递的。所以对某个n o ，有尸( q ) n 杉a 成立，其中1 i 2 m 。因此对每个 i = l ，2 ，2 m ， 我们可以选择五玩，乃巧使得f “( 玉) = 乃 。 令 置= “，屯se l 9 ) ，互= 饥，耽，) ，易= + ，牝，屯。) ，最= + ，越，赐。) 可得 厂4 ( e ) = e ，i = l ，2 。另外我们可以很容易看出互c 且和鸟，互，互岛，从而可以得到 f 4 ( n 矿3 f “( 骂) n 垦囝，f ”( 功n y 3 f “( 垦) n 垦g 。再由引理3 1 4 可知，厂是 弱混合的，因此它就是传递的。 1 5 、 离散动力系统中的混沌 综上所述，晖( x ) ，歹) 是一个舻系统。 1 6 l i 看 薯 垂 i 岁 赶 。i i _ i i _ _ _ l - _ _ i _ _ _ _ _ _ _ j 喧-，眦w；-1 彳 l i 雹 薯 氛 l 辽宁师范大学硕士学位论文 结论 由于人们研究领域的不同，从而导致有了不同定义的混沌。令x 是一个离散的空间， 考虑x 上的动力系统。通过研究不同混沌的定义，从而找出它们之间的内在联系，证明 它们之间转换的条件。 集值离散系统的动力学性质完全取决于诱导它产生的单值系统。设( z ，d ) 是一个含 有至少两个点的紧致度量空间，厂是它上面的连续自映射。构造一个系统( k ( 朋，_ ) ， 通过厂的完全极大敏感性和几乎稠密性证明出饭( 朋，乃是一个m _ 系统。 1 7 离散动力系统中的混沌 参考文献 1 y a n g ，d i s t r i b u t i o nc h a o si nas e q u e n c ea n dt o p o l o g i c a l l ym i x i n g ，a c t am a t h e m a t i c a s i n i c a ，v 0 1 4 5 ，n o 4 ，p p 7 5 3 7 5 8 ，2 0 0 2 2 w a n g l i d o n g ，l i a og u o f e n g ，r e c u r r e n t p o i n t s e to fs h i f to nza n d s t r o n g c h a o s ，a n n p o l o n m a t h ，v 0 1 7 8 ，n o 2 ，p p 1 2 3 1 3 0 ，2 0 0 2 3 t y l i ，j a y o r k e p e r i o d3i n p l i e sc h a o s j a m e r m a t h m o n t h l y ，1 9 7 5 ，8 2 ：9 8 5 - 9 9 2 4 b a n k s j ，b r o o k s j ，c a i r n s g e ta l ，o nd e v a n e y sd e f i n i t i o no fc h a o s j ，a m e r m a t h m o n t h l y ，1 9 9 2 ，9 9 ：3 3 2 3 3 4 5 d e v a n e y ，r l ，a n i n t r o d u c t i o nt oc h a o t i c d y n a m i c a l s y s t e m s m ，r e w o o dc i t y ： a d d i s i o n w e s l e yp u b l i s h i n gc o m p a n y ，1 9 8 7 ：2 me d ，1 9 8 9 6 m a r t e l l i ，m ，d a n g ，m ，s e p h ，t ，d e f i n i n gc h a o s j ，m a t h m a g a z i n e ，1 9 9 8 ，1 ( 2 ) ：1 1 2 - 1 2 2 7 r o b i n s o n ，c d y n a m i c a ls y s t e m s ：s t a b i l i t y ，s y m o b l i cd y n a m i c s a n d c h a o s m ， f l o r i d a ：c r c ，1 9 9 5 8 王立冬，紧致系统中的概率性质一遍历性及拓扑混合 d ，长春：吉林大学，1 9 9 9 9 x i o n gj i n gc h e n g ，y a n gz h o n gg u o c h a o sc a u s e db yat o p o l o g i c a ll ym i x i n gm a p ，i n d y n a m i c a l s y s t e m sa n dr e l a t e dt o p i c s m ，s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ，1 9 9 2 ，5 5 0 5 7 2 1 0 周作领弱几乎周期点与测度中心 j 中国科学：a 辑，1 9 9 2 ，2 2 ( 6 ) ，5 7 2 5 8 1 i i l i a og u o f e n g ，w a n gl i d o n g ，t r a n s i t i v i t y ，m i x i n ga n dc h a o sf o rac l a s so fs e t v a l u e d m a p p i n g s ，s c i e n c ei nc h i n a ( s e r i e sa ) ，4 9 ( 2 0 0 6 ) ，l 一8 1 2 a s h w i n p ，a t t r a c t o r o fa r a n d o m l y f o r c e de l e c t r o n i c o s c i l l a t o r ，p h y s i c a d ，1 2 5 ( 1 9 9 9 ) ，3 0 2 3 1 0 1 3 k a c z y n s k i t ，m r o z e k m ，c o n l e yi n d e xf o rd i s c r e t em u l t i v a l u e ds y s t e m s ，t o p o l o g ya n di t s a p p li c a t i o n s ，6 5 ( 1 9 9 5 ) ，8 3 - 9 6 1 4 x i o n gj i n c h e n g ，c h a o si nat o p 0 1 0 9 i c a l l yt r a n s i t i v es y s t e m ，s c i e n c ei nc h i n a ( s e r i e s a ) ，4 8 ( 2 0 0 5 ) ，9 2 9 9 3 9 1 5 w i g g i n s ，s g l o b a lb i f u r c a t i o n sa n dc h a o s ，a n a l y t i c a lm e t h o d s ，s p r i n g e rv e r l a g ，1 9 8 8 1 6 b i r k h o f f ，g d d y n a m i c a ls y s t