（基础数学专业论文）扩张映射引起的混沌.pdf

12，1 1 学位论文独创性声明 删f j i | f i | | i | | | i j j i 气 y 18 9 012 j ： 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：重幺 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 ， 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：l 牡指导教师签名：一 签名日期： 别年多月7 日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本文研究了紧致度量空间、符号空间上的混沌性，得出如下重要结论： 1 令( x ，d 1 ) ，( 】，d 2 ) 是没有孤立点的紧致度量空间，h ：x 专y 为fng 的拓扑半共 轭，这里f ：x 哼x ，g ：y 专y 是连续映射，我们研究具有传递性映射的扩张映射，并且 得到扩张映射是w i g g i n s 混沌和k a t o 混沌的充分条件。 2 令( ，夕) 是含有两个符号的单边符号空间，盯是上的移位映射，则( ，们是 拓扑动力系统，我们给出了( ，曲和( x ，的扩张映射是按序列分布混沌的充分条件。 如果f ：x 专x 是传递的且不是极小的，则存在一个因子系统是按序列分布混沌的。 关键词：紧致度量空间；拓扑动力系统；拓扑半共轭；按序列分布混沌；扩张映射 分 蘸。 扩张映射引起的混沌 c h a o sc a u s e db yt h ee x p a n d i n gm a p s a b s t r a c t 1 1 1t h i sp a p e rw e m a i n l yd i s c u s st h ec h a o t i cp r o p e r t i e so nt h ec o m p a c t m e t r i cs p a c ea n d s y m b o l i cs p a c e ，t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w i n g ： 1 l e t ，哦) ( y ，畋) b ec o m p a c tm e t r i cs p a c e sw i t h o u ti s o l a t e dp o i n ta n dh ：x 专y b e as e m i c o n j u g a e yb e t w e e nfa n dg ，w h e r ef ：x 专xg ：y - - 9 ya r ec o n t i n u o u sm a p s w e i n v e s t i g a t e dt h ee x p a n d i n gm a p sw i t ht r a n s i t i v i t y a n dw eg a v ea s u f f i c i e n tc o n d i t i o na b o u t e x p a n d i n gm a p sa r ec h a o t i ci nt h es e n s eo fw i g g i n sa n dk a t e 2 l e t ( ，p ) b eao n e s i d e ds y m b o l i cs p a c e ( w i t ht w os y m b o l s ) a n da b et h es h i f to n ，a n d ( ，神b et h et o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m ( t d sf o rs h o r t ) w eg a v eas u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o r t h ee x t e n s i o n o f ( ，曲和( x ，户b e i n gd i s t r i b u t i v e l y c h a o t i ci na s e q u e n c e a n di ff ：z 专xi s t r a n s i t i v ea n dm i n i m a l ，t h e nt h e r ei saf a c t o rm a pi s d i s t r i b u t i v e l yc h a o t i ci nas e q u e n c e k e yw o r d s ：c o m p a c tm e t r i cs p a c e ；t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m ；s e m i c o n j u g a c y ； d i s t r i b u t i o n a lc h a o si nas e q u e n c e ；e x p a n d i n gm a p i i 一 0 ， 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 引言1 l 基本概念3 1 1 动力系统有关概念3 1 2 几种常见混沌的定义5 1 3 符号动力系统有关概念5 2由传递映射引起的混沌7 2 1 相关定义和引理。7 2 2 主要定理和证明：8 3扩张映射与因子映射的按序列分布混沌11 3 1 相关概念与引理1 1 3 2 主要定理和证明1 5 结论：18 参考文献1 9 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 1 i 致谢：! ：z 。： 混沌现象是发生在容易变动的物体或系统中，该物体在行动开始时极为单纯， 但是经过一定规则的连续变动后，能产生始料所未及的后果。但是这样的混沌状 态却异于一般杂乱无章的混乱状况，经过长期及完整的分析此混沌现象，可以从 中理出某种规则来。 2 0 世纪6 0 年代以前，科学研究的主要思想是确定论。人们认为只要有精确的数学 模型和初值，我们才能够反演过去，预知未来。但是气象学、生态学、天体力学等自然 学科中的许多现象，特别是l o r e n z 现象的发现，人们才认识到随机性和不可确定性的 重要。事实上，早在1 9 世纪末2 0 世纪初，法国数学家p o i n c a r 6 在他的著作天体力学 的新方法最后一章提到了混沌，p o i n c a r 6 对混沌的理解，也就是现在我们所指的初值 敏感的含义。但是他的这个伟大的想法却被忽略了整整七十多年。从2 0 世纪6 0 年代以 来，确定论的科学观开始动摇，人们开始探索科学上那些不可预测的现象，这使混沌科 学的研究得到飞速发展。美国气象学家l o r e n z 在这方面取得了很大的成功。1 9 6 3 年， l o r e n z 在 0 ，使得厂“( 功= x ，则称x 为厂的周期点，并把使 得厂“( 功= 石成立的最小正整数r l 称作x 的周期。厂的全体周期点的集合记作p ( 门。周期 为1 的周期点称为不动点，全体不动点的集合记作f ( 介。 定义1 1 4 若工c o ( x ，力，则称x 为的回归点。厂的全体回归点的集合记作r ( f ) 。 定义1 1 5 称x 是几乎周期的，如果对任意的g 0 ，存在整数n 0 ，使得对任何 q o ，存在整数，q 0 ， f “( y ( 毛s ) ) n 矿( 五s ) = a ，则称x 为厂的游荡点。如果x 不是厂的游荡点，即对 v s 0 ，3 n 0 ，使f 4 ( y ( x ，g ”厂、y ( x ，占) f 2 j ，则称x 为的非游荡点。厂的全体非游荡 点的集合记为q ( 厂) 。 定义1 1 8 称厂为( 拓扑) 传递的，如果对彳的任何非空开集u ，y ，存在行 0 ， 使得f ”( u ) n 矿o 。称轨道在x 中稠密的点为厂的传递点。 定义1 1 9 称厂是( 拓扑) 弱混合的，如果疋是传递的，即对x 中任意非空开集 u ，k 和圪，存在正整数，l 使得厂“( ) n 形囝，f = 1 , 2 定义1 1 1 0 称，为( 拓扑) 混合的，如果对石中任何非空开集泖矿，存在正整数 ，使得对f “( u ) n 矿f 2 j 对所有的刀n 都成立。设u ，y 为x 的非空开集，令 k ( u ，y ) = 刀卅厂“( u ) n 矿g ) 很显然能得到拓扑混合意味着拓扑弱混合，拓扑弱混合意味着拓扑传递的。 定义1 1 1 1 设h ：z 专y 是度量空间( x ，d ) 到度量空间( 】厂，g ) 中的映射，如果h 是一 一映射，且h 和j l - 1 都连续，映射矗被称为同胚。特别的，如果h 是一一映射，且h 和乃- 1 均为 一致连续，映射h 就称为一致同胚。 定义1 1 1 2 ( x ，) ，( y ，g ) 都是动力系统，如果存在同胚h ：x y 使得对任何 x x ，都有j l ( 厂( 曲) = g ( j j l ( 功) ，则称与g 拓扑共扼称h 为从到g 的拓扑共轭。 定义1 1 1 3 ( x ，门，( y ，g ) 都是动力系统，设厂，g 都是满射。如果存在连续满射 h ：x y 使得对任何石x ，j l ( 厂( 功) = g ( 矗( x ) ) ，则称厂与g 拓扑半共轭，称 为从厂到 g 的拓扑半共轭，厂叫作g 的扩张，g 叫作厂的因子。 定义1 1 1 4 称映射厂是( 对初值的) 敏感依赖的，如果存在占 0 ，使得对彳的 任何非空开集u ，存在点x , y u 和正整数r l ，使得d ( f 4 ( 功，厂”( y ) ) 占。其中占称作厂 的敏感常数。 定义1 i 1 5 设 x 。) 为距离空间x 中的点列，若对任意s 0 ，都存在自然数， 当m ，刀 n 时，有d ( ，矗) 0 ， 则称d 是的l i - y o r k e 混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的点x ，y 称为厂的l i y o r k e 混沌点对。 定义1 2 2 设( x ，d ) 是紧致度量空间，称连续映射f ：x _ x 是分布混沌的，如果存 在不可数集dc 肖，使得v x ，y d ，工y ，满足 ( 1 ) j 占 o ，使得( 占) = l i 磐f i l 善i i 厮咖) p ( 。( 功，f o ) ) ) = 0 ； ( 2 ) 对于v f 0 ，f 矽( f ) = 1 i i i l s u p 圭新。，) p ( 厂( x ) ，厂。( 夕) ) ) = 1 。 其中厮o , 0 表示 o ，f ) 上的特征函数，即当s 0 ，f ) ，蔬o ，f ) o ) = 1 否则新。力( j ) = 0 。 则称d 为厂的分布混沌集，满足条件的两点x ，y 称为分布混沌点对。 定义1 2 3 设( x ，d ) 是紧致度量空间， p ，) 为严格递增正整数无穷序列，称连续映 射f ：x 寸x 是按序列分布混沌的，如果存在不可数集dcx ，使得对v x ，y d ，石y ， 有 ( 1 ) 了s 0 ， 使得( s ，妇，) ) = ! 受i n f 三饥，( d ( 办( 力，f ( y ) ) ) = 0 1 1 , 1 ； h ：。：一j ( 2 ) 对于v f 0 ，巧( f ， p ，) ) = ! 鲤s u p 三讯。( d ( 厂 ( 功，f 1 1 ( y ) ) ) = 1 。 一：。：一l 。， 则称d 为厂按序列和，) 的分布混沌集，满足条件( 1 ) ( 2 ) 的点x , y 称为按序列分布混沌点 对。 1 3 符号动力系统有关概念 符号动力系统在混沌动力系统领域中的地位是极其重要的，因为它不仅作为一个简 单的数学模型而且还包含着几乎所有典型的复杂动力性态，因此成为动力系统复杂性研 究的重要工具。 扩张映射引起的混沌 定义1 3 1 设s = 0 , 1 ，= x = x o x a i 而s ，f = 0 , 1 ，2 ，) 。定义：p ：一r ， 对觇，y ，其中z = 而，y = y o y l ， l0 若石= y ， 以而力2 1 丢觏批其中后：m i n 枷l 毛儿) 不难验证p 是上的度量，( ，p ) 为紧致度量空间。称( ，p ) 为具有二个符号的单边符 号空间。： 定义1 3 2 在( ，p ) 上定义一个特殊映射如下：对任意的x = x o x l x 2 ， 仃：一， 石= 而吃i - - - ) 盯( x ) = 而x 2 ， 则1 7 是上的连续映射，称为单边符号空间上的移位映射，故( ，盯) 是一个紧致系统， 我们称它为符号动力系统。 符号动力系统研究的主要目的并不在于对该系统本身的了解，更重要的是通过它搞 清那些与它共轭或半共轭系统的动态性态。 f 3 膏i 辽宁师范大学硕士学位论文 2由传递映射引起的混沌 在1 9 7 5 年，l i - y o r k e 第一次给出了数学上混沌的定义，自那以后，人们对混沌概 念的理解越来越深，尽管还没有全面认识到混沌系统中混沌的定义及其分类，但是人们 在不同领域上给出了不同的混沌定义，像分布混沌、d e v a n e y 混沌、w i g g i n s 混沌和k a t o 混沌等等。许多作者发现有周期点稠密集的传递系统是初值敏感依赖的，一方面h u a n g a n dy e 1 2 1 研究了有不动点的传递系统并且证明了这样的系统是l i - y o r k e 混沌的。另一 方面，x i o n ga n dc h e n l l 3 1 4 l 描述了由拓扑混合映射( 不同于l i - y o r k e ) 引起的混沌现象。 下面主要的目的是研究( y ，g ) 扩张的混沌性。 2 1 相关定义和引理 定义2 1 1 映射厂是( 初值) 敏感依赖的，如果存在一个g 0 ，使得x 中的任意 一个非空开集u ，都存在点x , y u ，刀为正整数，使得d ( f “( 功，f ”( y ) ) g ，s 叫厂的敏 感常数。， 定义2 1 2 连续映射厂是w i g g i n s 混沌的，如果 1 ) 厂是拓扑传递的 2 ) 厂是初值敏感依赖的 定义2 1 3 映射厂是k a t o 混沌的，如果厂既是初值敏感依赖又是可达的。 定义2 1 4 令( x ，盔) 和( y ，d 2 ) 是两个度量空间，且厂：x 专x 和g ：y 专y 是两个 连续的满射，如果存在一个映射h ：x y 使得j l 。f = g 。h ，h 是连续的满射，则厂和g 是拓扑半共轭的。 定义2 1 5设h ：x 专y 是从到g 的拓扑半共轭，子集x cx 叫做】，的 h 一极小覆盖，如果 ux h = x h 2 ) 厂( 邑) c 五 3 ) h ( x ) = y 4 ) x 。中没有满足上面1 ) 2 ) 3 ) 条件的真子集。 定义2 1 6 映射被称为可达的，如果v 6 0 ，且石的每一对非空开集u ，矿，都 存在点工u ，y v 和整数以使得d ( f “( 破f 4 ( j ，) ) 0 3 ) 对于k 中任意两两不同的个点五，屯，h ，n 是一个大等于2 的整数，有 l i m i n f m a x d ( f “( t ) ，f ”( 工，”：f ，j 1 ，2 ，) ) d o ， 这里民是系统( x ，厂) 的不变集直径的下确界( 如果系统( x ，门有一个不动点，则d o = 0 ) 4 ) 对于k 中任意两两不同的n 个点而，x 2 ，h ，n 是一个大等于2 的整数，有 r a t 妥撕i n l i r a s u p m i n d ( f “( t ) ，f 露( 乃) ) ：f ， 1 ，2 ，奶；f _ ，) “2 这里知是系统( x ，厂) 的n - i i 缶界敏感系数并且对于k 中任意两两不同的个点 x t ，x 2 ，x n ，奄 l m 铡i n 。l i m s u p m i n d ( f ”( t ) ，f ”( _ ) ) ：j 1 ，2 9 e , 册；待办如2 ( n 一1 ) 引理2 1 4 设( x ，厂) 是紧致的拓扑动力系统，如果存在两两不相交的闭子集 4 ，呜，a k 满足厂( 4 ) 2u ；。a j , i = 1 , 2 ，后，则a = n ：。f 叶( 4 ) ：瓴，) ( 后) ) 是多 维空间映射2 厂的不变子集，并r ( 2 ，i a ，a ) 与符号动力系统( ( 后) ，仃) 是拓扑半共轭的。 证明：f o rap r o o f , s e er e f 1 6 2 2 主要定理和证明 定理2 2 1 设( x ，) 和( 】，g ) 是紧致系统，h ：x - - 9 , y 是拓扑半共轭，如果g 是拓扑传 递的且厂在h 极小覆盖x h 中有厂的非回归点( 臣p 3 x t 甓r ( f l 也) ) ，则 1 ) f i 以是w i g g i n s 混沌的 一8 一 2 ) 进一步地，如果存在f ( fi 如) ，nfl x 是i ( a t o 混沌的。 证明：首先我们证明i 以是w i g g i n s 混沌的因为h ：x 专】r 是拓扑半共轭且g 是拓 扑传递的，由引理2 1 1 ，存在h - 极小覆盖x 。，使得厂i 以是拓扑传递的。接下来证厂i 以是 初值敏感依赖的。因为l 以是拓扑传递的，由引理2 1 2 ，存在粕以，使得d 厂6 ( ) = 又因为而萑r ( fi 以) ，因此毛诺u l lf 七( 五) ，所以d l = i n f d ( x , ，y ) o ，y u 惫lf ( 五) 对于任意的工x h ，u ( x ) 是x 的邻域，存在m 刀 0 使得f ”( x o ) ，f ”( x o ) u ( 曲。 又因为厂的连续性和五的紧致性，存在占 0 ，使得对于任意的 x u ( 五，占) ，d ( f 搠。“( x ) ，厂扩”( 石1 ) ) d l 4 ， a ( f n i t + n ( 而) ，f 如( 功) d l 4 所以厂l 瓦是初值敏感的，即厂i 以是w i g g i n s 混沌的 接下来我们证明f l 也是k a t o 混沌的。因为f i 而是初值敏感的，今下来说明厂i 以是 可达的。 设u ，y 是以的两个非空开集，这里u = ur n 五，v = 矿r 、毛，u 和矿是x 的非空 开集。因为厂i 以是传递的，由引理2 1 3 ，存在五的子集k ，对于毛中每个开集么使 得kn 彳都含有一个非空紧致完备集，且k 满足引理2 1 3 中的条件3 ) ，n = 2 ，我们令 x u t n k ，y 矿r nk ，因为厂i 乩有一个不动点，所以我们得到 l i m i n f d ( f ”( 功，f “( 少) ) = 0 因此存在正整数拧使得 d ( f “( 功，f “( y ) ) o 令 ( f ，饥) ) = 1 i 卿咭k = l ，( d ( 厂 ( 曲，f ( y ) ) ) ， l 巧( 以娟攀i 力丢，( d ( 厂 ( 功，f ( m 其中z t o f ) 表示 o ，f ) 上的特征函数，即当s 【o ，f ) 时，新o ) ( s ) = 1 ，否则前o ( s ) = 0 如果不可数集dc 石，v x ，y d ，x y ， 1 ) = 1 8 o ，l = ( 万， a ) ) = 0 ， 2 ) 对于v t 0 ，瓦( f ， p f ) ) = 1 就称d 为厂按序列 p i ) 的分布混沌集，满足条件( 1 ) ( 2 ) 的点x ，y 称为按序列 p ，) 的分布 混沌点对。如果厂有一个不可数的按序列分布混沌集，称连续映射f ：x x 是按序列 分布混沌的。 7 定义3 1 2 设f ：工- - - ) x 是连续映射，其中ycx ， p ；) 是给定的正整数递增序列， 二如果对任意连续映射g ：y 一石，都存在序列 g ，) c p ，) 使得 j i l l l 吼( 力= g ( 功，v x 】r ， 则称】，是厂相对于序列 觑) 的一个熊混沌集。 定义3 1 3 令( x ，d 1 ) 和( y ，d 2 ) 是两个度量空间，且厂：工专x 和g ：y 专y 是两个 连续的映射，如果存在一个映射h ：x 专】，使得h 。f = g 。h ，h 是连续的满射，则和g 是拓扑半共轭的。 定义3 1 4 设仞，) 是严格递增正整数无穷序列，称 p r ( f ， p i ) ) = ! x ，y ) x x i v s o ，了f n ，d ( 厂n ( 力，厂n ( j ，) ) o ，于是对于v g 0 ，存在 o 。当i 时， d ( f n ( 功，f 见( y ) ) 0 ，对于v f n ，d ( f 吼( 力，f 吼o ) ) 万。 选取一正整数序列刀。，使得以。= 1 ，n 川= 2 k n 。及正整数序列玩= i 2 l i = 1 , 2 ) 取 m ，) 的递增无穷子序列弘) ，使得对于 v i ，i n 屯一l c p f ) ，p ，一向 0 ，对于充分大的i ，当n 毛- l _ ， n 岛时， 有d ( f ( x ) ，f ( j ，) ) g ，且 去缸c 九埘m 半小丽1 小赤， 即。l ，i m 仃1 _ _ k _ ，；l m ”，( d ( 厂“( 功，厂“( j ，) ) ) = 1 。 当心，- l ) 。 引理3 1 4 令( 工，) 是含有不动点的传递系统，并且令，呢是x 中互不相 交的非空开集，a 1 则对于任意的占 o ，存在k n 和非空开集u lc 形o = 1 ，口) 使 得f ( u 刍u t ) cb ( o o ，g ) 证明：令w 是厂的传递点，则存在正整数g l 一，g 。使缈吼( w ) 形，i = 1 ，口设 q = m a x q l ，一，q 。 因为f ( v o ) = ( ) ，存在万( o ，詈) ，使得 f 7 ( b ( o o ，万) ) cb ( u o ，g ) ，j f = 1 ，q 选择k n 满足f ( w ) 曰( y ，回则对于i = 1 ，a ，有 ( 厂吼( 叻) = f 吼( f 七( 们) b ( o o ，- - 4 ) 扩张映射引起的混沌 所以彬中存在包含f 9 ，( ”的开邻域满足( u ，) c b ( u o ，s ) 引理3 1 5 令厂：x 专x 传递映射，并且巧，圪0 2 ) 是彳中互不相交的非空开 集，则对于任意的后n ，存在整数m 后和非空开集彬c 杉= l ，口) 使得 f 朋( 形，) c 形，其中i = 1 ，a 证明：令x 是厂的一个传递点，则存在正整数g l ，”，q 。和占 0 使得 厂嘶( 功b ( f 嘶( 功，占) ck ，f = l a 令q = m a x q i ，g 。) 因为f 是一致连续的，有万( o ，- 6 d 使得 二 f 7 ( x ，万) ) cb ( f 7 ( 功，要)j = 1 ，g 二 选聊 后使得d ( x ，f 埘( 功) ，满足厂”( 厂吼( 曲) = f q , 所( z ) ) b ( f 吼( x ) ，詈) 因此，在巧中存在一个包含厂毋( 计的开邻域形满足 m ( 形，) c 曰( 厂吼( 功，g ) ck 引理3 1 6 设( x ，厂) 是动力系统，并且dc x 不是单点集。如果存在正整数递增 序列 m ，) ，伽，) ，满l i m i _ _ , 。d ( f 嘶i d ，i d d ) = 0j j 1 i m ，一d i a m ( f ( d ) ) = 0 ，贝, t jd 是按序列分 布混沌的。 证明：f o ra p r o o f , s c cr e 2 0 引理3 1 7 设石是一个没有孤立点的完备度量空间，为连续的，令f ：x 专x 是 传递映射并含有周期为p 的周期点，则厂是按序列分布混沌的。 证明： 由厂的传递性，满射，令w 是厂的传递点。对于i = 0 ，1 ，2 ，记 置= o ( f ( w ) ，p ) 则厂( 置) = k ，f p ( 五) = 墨+ p = 置，x = u p 扭- o i 五，f pl 置：五一置是 传递的。记x ；为x ，的内部。令旯= m i n ( j o ，1 ，p - l ：u 厶五= x n x u 冬。x ，是一 个非空开集，因此x t3 x - u l 。置矽因为f 有周期点p ，f ，1 有不动点0 0 ，令 k o = 1 ，l = x o 命题1 对于每个正整数，l ，都存在玩，厶) cz + ，并且k 的非空开子集圪，圪：，圪：。满 足下列条件： 弋 毒 k 辽宁师范大学硕士学位论文 ( 1 ) d i a m ( v , 酊) 二，f = 1 , 2 ，2 露 n ( 2 ) 闭包y m y 幽，y 彬是互不相交的集合 ( 3 ) y 。2 hu 砌，2 ic 吒乩f ，f = 1 , 2 ，2 扩1 ( 4 ) f ( u 艺l 矿耐) cb ( v o ，三) 几 ( 5 ) 厂( v 以2 1 一lu v 。，2 1 ) c 圪- l d , i = 1 , 2 ，2 7 命题1 的证明：我们假设当_ ，z + 时，对于每一个正整数玎 。l - - ，o a 因为j j l 。1 ( j ，。) 是单点集，我们有 船厂毋( 而) 2 嫩f 所( x ：) = h - t ( y o ) ， 所以我们得到( x 1 ，x 2 ) a r ( f ，妇，) ) 又因为存在一个正整数递增序列锄) 使得 l i m 伸o r 巩( y 1 ) 。熙o r 毋( j j l ( 而) ) 2 y l ， 1 i m 仃吼( y 2 ) = l i m o r 吼( j i l ( x 2 ) ) = y 2 ， l - - , - t o a i + 意味着 1 i mi n f d ( f 吼( x 1 ) ，f 吼( x 2 ” 0 所以有 ( 而，x 2 ) ：毛，x 2 d ，x i x 2 ) ca r ( f ，仞j ) ) r 、d r ( 厂，幻j ) ) 则由引理3 1 3 ，存在一个 递增序列亿) 使得 ( 而，屯) ：五，x 2 d ，而屯) cd c r ( f ，纯) ) ，这里d 是f 的按序列瓴) 的分布混沌集。 定理3 2 2 设( z ) 和( 】，g ) 是拓扑动力系统，( y ，g ) 是拓扑弱混合的，h ：x y 是 连续映射。如果存在点y 。y 使得j i l 。1 ( y 。) 是单点集，则厂是按序列分布混沌的。 证明：证明和定理3 2 1 的证明相似。 。 f r 辽宁师范大学硕士学位论文 定理3 2 3 如果厂：xj x 是传递的且不是极小的，则有一个因子映射是按序列分 布混沌的。 证明：由于厂不是极小映射，存在x 工使得彳= o j ( x ，门是无处稠密集收缩彳为一 点，我们得到( 石，门的传递因子系统，它不为周期轨且包含了一个不动点g ，q 是周期 点，所以由引理3 1 7 ，这个因子系统是按序列分布混沌的。 _- 夕1 扩张映射引起的混沌 结论 对于动力系统研究某些混沌之间的关系很常见，本文首先给出了由传递条件引起的 扩张映射是w i g g i n s 混沌和k a t o 混沌的的充分条件，其次给出了满足一定条件的扩张 映射以及因子映射是按序列布混沌的充分条件，得出如下结论： 1 设( x ，厂) 和( y ，g ) 是紧致系统，h ：x - - y 是一个拓扑半共轭，如果g 是拓扑传递 的且在毛中存在f 的非回归点，是h 的最小覆盖( 了五舞r ( fi 以) ) ，则 1 ) f i 以是w i g g i n s 混沌的 2 ) 进一步地，如果存在x o f ( fi ) ，则厂l 而是k a t o 混沌的。 2 设x 是紧致度量空间，d 是x 的一个紧致子集，f ：d 专x 是连续的。如果d 中 存在互不相交的两个子集d l 和d 2 ，每个d ，在厂的作用下是连续的，且 f ( d f ) 3 d lu d 2 ，f = 1 , 2 则 1 ) 如果存在x a kcd ，使得五盛r ( f | j 【) ，则厂i 置是w i g g i n s 混沌的。 2 ) 进一步的，如果存在x o f ( fi 置) ，则厂l 置是k a t o 混沌的。 3 设( x ，厂) 和( ，仃) 是拓扑动力系统，这里是单边符号空间并且仃在z 上是可移位 的，h ：x 专为厂到t 3 r 上的拓扑半共轭。如果存在点y o 使得j i i 。1 ( y o ) 是单点集，则 存在dc x 和一个正整数递增序列辑) 使得d 为的按序列纯 的分布混沌。 4 设( x ，门和( y ，g ) 是拓扑动力系统，( y ，g ) 是拓扑弱混合的，h ：x 专y 是连续映 射。如果存在点y o y 使得h - 1 ( y o ) 是单点集，则是按序列分布混沌的。 5 如果厂：x 专x 是传递的且不是极小的，则有一个因子映射是按序列分布混沌 的。 辽宁师范大学硕士学位论文 参考文献 r 1 t l i ，j y o r k e ，p e r i o d3i m p l i e sc h a o s ，m a t h m o n t h l y ，v 0 1 8 2 ，p p 9 8 5 9 9 2 ，1 9 7 5 2 b a n k s j ，b r o o k s j ，c a i r n s g e ta l ，o nd e v a n e y sd e f i n i t i o no fc h a o s ，a m e r m a t h m o n t h l y ，1 9 9 2 ，9 9 ：3 3 2 3 3 4 3 d e v a n e y ，r l ，a n i n t r o d u c t i o nt oc h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m s m ，r e w o o dc i t y ： a d d i s i o n w e s l e yp u b l i s h i n gc o m p a n y ，1 9 8 7 ；2 n de d ，1 9 8 9 4 r o b i n s o n ，c d y n a m i c a l s y s t e m s ：s t a b i l i t y ，s y m o b l i c d y n a m i c s a n d c h a o s m ， f l o r i d a ：c r cp r e s s ，1 9 9 5 5 m a r t e ll i ，m ，d a n g ，m ，s e p h ，t ，d e f i n i n gc h a o s j ，m a t h m a g a z i n e ，1 9 9 8 ，l ( 2 ) ：1 1 2 1 2 2 6 r o b i n s o n ，c d y n a m i c a ls y s t e m s ：s t a b i l i t y ，s y m o b l i c d y n a m i c s a n d c h a o s m ， f l o r i d a ：c r c ，1 9 9 5 7 周作领弱几乎周期点与测度中心【j 】中国科学：a 辑，1 9 9 2 ，2 2 ( 6 ) ，5 7 2 5 8 1 8 s c h w e i z e rb ，a n ds m i t hj m e a s u r eo fc h a o sa n ds p e c t r a ld e c o m p o s i t i o no fd y n a m i c a l s y s t e m s o nt h ei n t e r v a l j t r a n s a c t i o n so ft h ea m e r c i a nm a t h e m a t i c a l s o ci e t y 1 9 9 4 ，2 ：7 3 7 7 5 4 9 王立冬，紧致系统中的概率性质一遍历性及拓扑混合 d ，长春：吉林大学，1 9 9 9 1 0 z h o uz u o l i n g ，t h et o p o l o g i c a lm a r k o vc h a i n ，a c t am a t h e m a t i c as i n i c a ，n e ws e r i e s ， 4 ，1 9 8 8 ，3 3 0 - 3 3 7 1 1 z h o uz u o l i n g ，t h et o p o l o g i c a lm a r k o vc h a i n - - t r a n s i t i v i t ya n dm i x i n gp r o p e r t i e s ， a c t am a t h e m a t i c as i n i c a ，n e ws e r i e s ，1 9 9 3 ，9 ，卜7 1 2 w h u a n g ，x d y e ，d e v e n y sc h a o so r2 - s c a t t e r i n gi m p lie sl i - y o r k sc h a o s ，t o p o l o g y a n di t sa p p l i c a t i o n s ，2 0 0 2 ，1 1 7 ：p p 2 5 9 2 7 2 1 3 j c x i o n g ，e c ，c h e n ，c h a o s c a u s e d b y a s t r o n g m i x i n gm e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n ，s c i e n c eo fc h i n a ( a ) ，4 0 ( 3 ) ，p p 2 5 3 2 6 0 ，1 9 9 7 ，( i nc h i n e s e ) 1 4 x i o n gj i n gc h e n g , y a n gz h o n gg u o c h a o sc a u s e db yat o p 0 1 0 9 i c a l l ym i x i n g m a p ，i n d y n a m i c a ls y s t e m s a n dr e l a t e d t o p i c s m ，s i n g a p o r e ： w o r l ds c i e n t i f i c ， 1 9 9 2 ，5 5 0 5 7 2 1 5 z l z h o u ，s y m b o l i cd y n a m i c a l ，s h a n g h a is c i e n t ica n dt e c h n o l o g i c a le d u c a t i o n p u b lis h i n gh o u s e 。1 9 9 7 ( i nc h i n e s e ) 1 6 y g w a n g ，g w e i