（基础数学专业论文）关于双截面曲率的注记与解释.pdf

关于双截面曲率的注记与解释 摘要：本文主要对全纯双截面曲率的研究成果做些完善与补充，并提出些自己的看 法，为自己今后在该方向进一步的学习与研究提供良好的基础本文第一部分主要介 绍了复流形中的一些概念与性质，介绍了曲e r 流形，复向量丛上复联络等基础知识第 二部分介绍了全纯双截面曲率的定义，及其与黎曼曲率的联系，还讨论了其与m c c i 曲率 的关系，其在具有常值截面曲率的流形中的取值范围，还有复子流形与全空间中全纯双 截面曲率的关系第三部分通过变分的手段讨论了t f r 姐k e l ，g 0 l d b e r g 与l ( 0 b a y 舔l l i 的 文章( 见【3 】【4 】) 中，关于紧且连通的k a l l l e r 流形中复子流形的三个命题，并详细讨论了定 理：具有正值全纯双截面曲率的紧且连通的鼬l e r e m s t e i i l 流形 p 与珲等距同构 关键词：全纯双截面曲率，紧j 幺i l 切流形，勋 跆，一e 咖s 地伽流形，复联络，全纯截面 曲率 so m en o t e sa n dr e m 诎so nh 0 1 0 m o 印h i c bis e c t i o n a lc u r v a t u r e a b s t r a c tp e o p l ei nt l l ec o m p l e xf i e l dr e s e a r c hf o u n dm a t w h e n 等2 o ，t h ef u n c t i 叩 ，h 勰m a n yi n t 朗：蚰g l i n g st 0r e s e a r c h o nt h i sb a s i s ，i f t l l cs m o o t l lm a i l i f o l d 艇m 觚d t l l e 由m 嬲f 0 咖a t i 伽b e t w 咖l o c a lc o 砌n a t e sh o l 伽n ( h p m c ，i tb 锄e sac o m p l e xm 龇悯d w h e nz = 工+ 耖，m 柚i f o l dmc 卸a l s ob es n 越i ti s2 小r e a ld i i m n s i o n a ls m 0 0 l 也 咖i f 0 l d 坶卸d i n t 趾g e n ts p a c e 巧，v p ，锄rl i n e 盯呦疏嘞撕o n _ ，c 锄b e d 争 i i n e ds u c hm a t 尸= 一讶s oi ，i 如= 如g e 蛐sh o l o m 删c - t 趾g 朗ts p a c ei 刍) w h e 他 z = l m ， ，i 咖= 一纠g 明明l t e s 柚曲0 1 0 删珥腼ct 加g 即ts p a c e 孝) 锄d ，i sl 【n c y v m 笛l e c 0 l p l 既咖c t i l r e 叽肘 h 也es t i l d y0 fm a i l i 姚勋矗z p r 磁n i f o l do c c u p i e sak e yp o s i t i 伽矗z p ，p o i t e d 0 u tt l l a tw h e nt l l e 肌册妇眦t r i cj i l = i l 吼副0 f 肘m e e t s 政一 疗甜 纠) = o ， i t sh e m l i t i a nc o n n e c t i o ni sm es 锄ea sr j e n 姗nc o n n e c t i o n 天么 跆厂一e 伽尉它协 m a i l i f 0 l d ，i e a 砌j i l 彪，m a n i f o l d 、i m 勘= 昭玎i sav e r yim 】p o r t 姐tm 柚i f o l d i nt l l er e s e a 砒0 f c o i n p l e xn l a n i f o l d ，h o l o m o r p l l i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ei s 锄i i l l p o n 姐t t i d 0 1 t f r a i l l 【e l ，m b e r g e r r l b i s h o p ，s i ( 沁l d b e 唱，k 0 b a y 硒l l i 柚ds o l 埝v cc o m e t o m 勰yc o n c l u s i o n s t l l i sp a p e r l a l 【e ss o m en o t e s 锄dr e m 缸l ( s 伽1 ed b o v ec o n c l u s i ss 0 私 t dm a k em y s e l fc o m p r e h e n s i o n l e s ek n o w l e d g ec o m p l e t e l ya n dp r o v i d ea9 0 0 df o u n d a t i o n f o rf b 曲s m d ya l l dr e s e a r c hi i lf u t l l r e h im i sa n i c l e ，山ef i r s tp a r ti n 仃1 ) d u c e ss o m e l eb a s i ck n o w l e d g eo fac o m p l e xm a l l 一 讧b l d s ，f i d re x 觚l p l e ，s o r mc o n c 印t so f i l l l e rm a l l i f o l d 弛dc o m p l e xv e c t o r - b u n m e s 7 n l e s e c o n dp a r td i s c u s s e st h ed e f i n i t j o no ft l l eh o l o m o r p h j cb i s e c t i o n a lc u r v a t i l r e ，i t sr e l a t i o n s h i p w i t l li u e m a n nc 眦v a t l l r e ，w i t l ll d c c ic u r 、，a t u 陀，锄di t sp r 叩o s i t i o n si nc o l p l e xs u b m a i l i f o l d s t 1 1 et 1 1 i r dp a r td i s c u s s e s 卸i m 卵i 姗tt l l e o r e m ：a nn d i m e n s i o n a lc 0 玎叩a c tc o 衄e c 锄 k a l l l e rm a i l i f o l dw i t l la ne i n s t e i i lm e t r i co fp o s i t i v eh o l o m o 叩h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ei s 舀0 b a l l yi s o i 眦i ct 0 w h i c h h 豳b c e np r o v e db yt f m i l l 【e l ，g 0 l d b e r g 锄dk 0 b a y 私l l i i i lm e i ra n i c l e s ( c f 【3 】【4 】) 砧s o l - i i l t e r e s t i n gp r o p o s i t i o n s c o m p l e xs u b m a l l i f 0 i do f k a l l l e rm a n i f b l di sm e n d o n e di nt l l i sa n i c i e k e yw o r d sh o l 锄嘞i cb i s e c t i o n a lc i 料a l l 勰， c o m p a c tl ( 曲l e rm a i l i f o l 也l ( a h l 昏 e i l l s 劬m a i l i f o l d s ， c o m 讲e xc 咖e c t i o n ，h o l o l n ) 呐i cs e c t i o n a lc m v ：i t i l r e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并 表示谢意 作者签名：j 名- 日期：趁d _ 鱼一 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解 密后适用本规定 学位论文作者签名：牝 导师签名：醢 1引言 人们在研究复数域上函数厂时，发现当譬= o 时，函数，具有许多丰富的性 质，于是这些全纯函数得到了许多研究并有了很多的发展。在此基础上，若光滑 流形胪上局部坐标之间变换全纯，则有了复流形m 当z = j + 6 ，时，复流 形m 可看作实加维光滑流形仲，且在切空间乙凰，v p 上，可定义一r 线性变 换z 尸= 一谢则( y i = f v 生成全纯切空间 刍，z = l 一肌l ，川 = 一叫- 生成非全 纯切空间i 喜，z = l m l ，称为m 上复结构。 在复流形的研究中，耽r 流形占据了一个主要的地位勋 艮厂指出 当m 上m m 抛度量 = 彬吼纠满足d ( 一吾j l 再趔 d ) = o 时，其上容许联络与 黎曼联络一致。勋眦，一e 伽蹴拥流形，即肋j i l k r 流形且r - c 戤f 是砌 k r 流形 中，一类很重要，且结果丰富的流形。在全纯双截面曲率的研究也是复流形中的一 个重要问题，在此研究中，t f 向1 k e l ，m b e 唱e r r l b i s h o p ，s i 叫d b e 唱，k 0 b a y 硒l l i 等 已得出了许多结论( 见【3 】【4 】【5 】【6 】) 通过对流形中一些特性的研究，可以得到丰富的结果实流形中截面曲率，复 流形中全纯截面曲率就是这样的一个重要特性在1 9 3 6 年j - l s y n g e 在【1 2 】中，通过 讨论弧长的第二变分，得到了结论：具有正值截面曲率的，实偶数，可定向，紧，光滑流 形肘必单连通在此基础上，通过同样的想法，t 触i 【3 】中指出如下定理：光滑流 形胛中两个紧，完全测地的( 即，y m 上与y 上某点相切的测地线全落在y 上) 子流 形矿，旷，若厂+ s m ，则yn 0 当肘为j i l k 厂流形时，只要求v 为肘中复 子流形即可后来，b e 增b i s h o p ，s i g o l d b e r g 提出了复流形中全纯双截面曲率这个概 念( 见【3 】) ，并且s i g o k 耽略与s h o s h i c kk o b a y a s k 【4 】中指出，全纯双截面曲率与将复流 形看作实流形时的截面曲率之间可通过关系式以墨】，) = 尺( 墨，】，) + 豳忑y ) 转换并且 将t 眦l 的上述定理中条件作出了修改，将具有正值全纯截面曲率改成具有正值全 纯双截面曲率，结论仍然成立 随着进一步的研究，人们发现全纯双截面曲率的应用越来越多t f r a i l k c l 【3 】中提 出了猜想：具有正值全纯双截面曲率的，紧的m 维 拓，流形与复射影空间砰解析 同胚当m = 1 时，由g 口“s s 一肋n 船f 定理知，结论成立- a a n d r e o t t i s 证明了m = 2 的 情形( 见【1 9 】) g o l d b e 唱，k o b a y a l s m 证明了当m 为e f n s 地跏流形时，结论成立( 见【4 】) 到 了1 9 8 0 年，y u m - t o n gs i u 与s k n g t u n gy a u 在他们的文章”c o m p a c tk a t l l e rm 锄i f o l d s0 f p o s i t i v eb i s e c t i o n a lc u r v a n 鹏”( 见【2 0 】) 中完全证明了该猜想 2 在上述猜想的证明过程中，些应用到的基知识和结论是有趣和重要的本文主 要介绍s i g 0 1 d b e r g 与s h o s h i c h ik 0 b a y 删的一些结果( 见【3 】【4 】) ，并给出了完整的证明 和补充文第一部分参考了陈维桓老师的【2 】与陈省身老师的【l 】，主要介绍了复流形 中的一些概念与性质，介绍了衄e r 流形，复向量丛上复联络等基础知识还讨论了在 实流形上与在复流形上曲率张量间的关系第二部分参考了s i g o l 岫与s h o s l l i c l l i l 汹a y 雏h i 【4 】，介绍了全纯双截面曲率的定义，及其与黎曼曲率的联系，还讨论了其 与m c c i 曲率的关系其在具有常值截面曲率的流形中的取值范围，还有复子流形与全 空间中全纯双截面曲率的关系第三部分参考了t f r 锄k e l 【3 】，s i g o l d b e 曜与s h o s l l i c l l i k 0 b a y a s l l i 【4 】，通过变分的手段讨论了关于紧且连通的i l l l e r 流形中复子流形的三个命 题，并详细讨论了b i s h o p ，g o l d _ b e 唱，l i 啪a s l l i 等人在该文章中证明的定理，具有正值全 纯双截面曲率的紧且连通的k a h 】e 卜e i 璐t e i n 流形肘m 与珲等距同构 2 基础知识 3 本章主要介绍复流形方面的基础知识包括复流形，复向量丛及其上复联络的定义和性 质主要内容取卧l 】，【2 】，并对其中的一些证明作了具体化和补充 2 1 复流形，砌 彪r 流形 首先，介绍复流形，全纯函数，复结构，五k ，m 妇内积与砌 跆，流形的定义 定义1 设肘为具有可数拓扑基，h 卸s d o r f f 空间 ( 1 ) 肘上有开覆盖( 以l ，且对v 口，有同胚 ：- ( ) sc ，i ( 2 ) 对v 口，卢，当n 0 ，即。蛎1 双全纯 则称膨为掰维复流形 定义2 设巩，：u c 1 为u 上复值，光滑函数， ( z 1 ，z i ，1 ) 卜他1 ，z l ，1 ) 再设z = 一+ 矿，其中f 为虚数单位，上指标f - l m 注以下在不混淆的情况下，虚数单位都记作f 将f 的实部与虚部分开，写做厂( z 1 ，z m ) = g ( z 1 ，z ，i ) + 访( z 1 ，z i ，i ) 又g ( z 1 ，矿) ， ( z 1 ，z j ，1 ) 可看作c 抽上实值函数g ( 工1 ，少一，) ，i ，i ) ， 0 1 ，) ，1 一，y m ) 若对v f ，塞= 筹，一等= 筹( 称为c 锄c h y 鼬e 啪n 条件) 则称厂为【，上全纯函数 另外，全纯函数还有如下等价的定义， ( 1 ) 对u 上v 点p ，j p 处某领域u 仞) ，s t 在u ( p ) 上，有收敛的幂级数展开 ( 2 ) 肘在u 上y 点有偏导数， 8 8 | 8 亡8 叠 对u 胪上复值光滑函数，若肘上点p ，j 坐标领域( u ；) ，s t - ，o 既1 在( 上全纯，则称m 在点p 处全纯；若厂在u 胪上v 点p 均 全纯，则称，在u 胪上全纯 4 定义3 ( 1 ) 对于m 维实向量空间杪，若弧线性变换_ ，：y y ，s t ，2 = 一l ，则 称，为y 上复结构 ( 2 ) 设2 小维实，光滑流形，记作 而，若对印j l 孙，在巧肘j 上了，( p ) ，且j 关于p 光 滑，则，称为上复结构 定理1 m 维复流形胪上有复结构 证观对坳m 了( u ；z i ) ， 则巧肘： 岳l ，巧肘： 影l ( f _ 1 m ) 将肘看作2 m 维实，光滑流形，记作，z i = 一+ 矿， 则，对应坐标域( u ) ；，少) ， 令以砉) = 专，- ，( 寿) = 一刍 j ( d 一) = 一，( ) = ， 则- ，满足条件，且与坐标选取无关口 称，为膨上典范复结构，以下，均为m 上典范复结构 定义4 y 为m 维复向量空间，将，看做2 ，l 维实向量空间， ：y y c 为y 上二元复值函数，满足 阮力卜i i o ，y ) ( 1 ) j i l 关于) ，为r 线性 ( 2 ) | l 关于石c 线性，j i l 关于) ，共轭c 线性 ( 3 ) l l ( ，五y ) = 珈( 五力 ( 4 ) | l 正定 则j i l 称为y 上日p ，研f 纶内积 定理2 y 为m 维复向量空间，将，看做2 ，l 维实向量空间， 则，上，不变欧氏内积gl 一1 对应胁册加内积 征观将j 1 1 分解成实部与虚部，j i l = g + 玻，则g ，七为r 双线性 则由 的定义， g ( 儿) ，) + 政( ，工，力= j i l ( ，文，力= 访( 而y ) = f ( g o ，) ，) + 次( 五力) = 一七( 五力+ f g ( z ，) ，) 贝，联工，) ，) = - g ( ，工，) i ) ，g ( 工，) ，) = 七( 无l ) ，) 又由于占( ) ，力+ 政( ) ，石) = j l ( ) ，力= 丽= g ( 工，) ，) 一暇工，) ，) 贝0 ，g ( ) ，工) = g ( 芦，) ，) ，幻，工) = 七 ，) ，) 5 有，g ( “- ，”= 一从五，”= 双咖，力= g ，力= g ( 工，力 七，朋= g o ，咖) = g ( 如，力= 一板五) ，) = 地y ) 若给定_ ，不变欧氏内积g ，定义i l 化力= g ( 五力+ 堙( 工，乃) ， 则， 即为所求 口 定义5 设胛为m 维复流形，可将肘看作2 胁维实，光滑流形，记作 j 为上 典范复结构，对v p 肘，在巧上定义矶舰加内积，且j i l 关于p 光滑，则| l 称 为捣上肌册f 绍内积 定理3 设肘m 为m 维复流形，可将肘看作2 肌维实，光滑流形，记作j l 而j 为j l j 6 d 上典范 复结构，肘0 上必有 k 册抛内积 证明对于加维实，光滑流形娲，已知尺f 删度量存在，记作铷， 令g 陇功= ；( g o l ，) + 9 0 ( 取，聊) ， 则g 为，不变尉册l 绷厅度量 又令 ( x ，y ) = g ( x d + 堙( x ，y ) ，则 即为所求 口 以下计算局部坐标架下i l ，七的表达式 设胪为m 维复流形，对v p 尬了( u ( ；孑) ， 则巧膨：( 刍j ，巧m ：i 甜j ( f _ l 所) 将m 看作2 m 维实，光滑流形，记作j 为上典范复结构，= 一+ 矿， 有，乃：i 砉，专l 巧：i 耐，砂j ( f = l m ) 则 - ，( 寿) 以专) = 匕 a 丽 a 妒 ( 删) = ( 虬妒) 又令矿+ = 少，口，卢= 1 一加，f ，= l m ，g 筇= g ( 杀，南) ， 则由g 的，不变性， g i i is m + i 肿j ，g m + i j i g l 卅j 从而，g = g 叩舭群 = g i 艇叠园d x j + 对固耐、) + g t m + 心叠圆由j + 蚶od 心 又由于七d = g ，d ， 有，= 妖杀，岳) = g ( 杀，_ ，( 南) ) ， 即，k i ig i m + j ，k t 肿i - 一g i j ，k m + j j = g i j ，k m + i 肿j = g i 附j 则，七= g f 柙+ j ( “o 副+ 砂。砂) + g u ( 一耐固砂+ 砂 耐) 又由于 alaa 砑2 乏( 丽叫丽) 刍= 圭c 刍+ z 刍， d z = d i + i 桫 面：甜一谢 代入。 j l = g + 跃= j i l 阮面 k = 一h 亡八面 其中= j i i ( 刍，刍) 又通过计算， j l ( 为，刍) = j i l ( ( 刍一f 劳) ， ( 易一f 专) ) = j i z ( 杀，南) = g ( 毒，参) = g ( 刍，刍) 则，i l = i z ( 刍，岳谢鼬疸七= 一；| i l ( 砉，易脚 历 6 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 定义6 设胪为m 维复流形，| l 为胁册妇内积， = g + 破，则七称为肘的勋 跆，形 式当出= 0 ，称m 为勋 跆，流形 2 2 复向量丛上的复联络 接着，介绍复向量丛，全纯向量丛，其上复联络，鼠姒p r 流形上容许联络 定义7 设光滑流形e ，m ，光滑映射7 r ：e 一肘满( 不妨设万为投射) ， 满足：( 1 ) v p 肘：j u p ) ，s t 7 r 一1 ( “( p ) ) 兰u ( p ) c 7 同胚， j | 所以，若7 r 为投射，则印m 万1 ( p ) = 岛兰c ，； ( 2 ) 当uny o ，有咖。对：蜘。矿1 ( un ”- 矿1 ( 【，n 功- wo 丌_ 1 ( unv ) 光 滑 所以，若丌为投射，则鼬y ( p ) = 咖。妒i l b 为c ，间c 线性同构 则称万：e - 肘为肘上复向量丛，c r 称为纤维型 注若实向量丛丌：e _ 肘，纤维型为驴，且实向量丛上复结构在坐标变换下不 变，即，og 【，y = g u yo ， 则，可定义易上复结构易= 妒i lo _ ，。妒，：易- 昂 2 1o ，o 妒y ( 因为妒才o ，o 妒，= 妒；1o 妒yo 妒i lo _ ，o 妒c ，o 1o 妒y = 妒；1og 【，yo ，og 云i yo 妒y = 姊1o _ ，o 咖) 定义8 设胪为m 维复流形，丌：e _ 肘为厂秩复向量丛， 若局部坐标间变换函数g u ，全纯，则称丌：e + 肘为肘上全纯向量丛 定义9 设胪为m 维复流形，丌：e - 肘为厂秩复向量丛， 若矿：肘一层全纯，且丌。矿= 谢，则称矿为e 上全纯截面 例设为m 维复流形，复切丛丁m 为全纯向量丛 定义1 0 设为m 维复流形，可将m 看作2 m 维实，光滑流形，记作，j 为上典范 复结构，e 为复向量丛 若j 为e 上联络，且，od=do ，则d 称为e 上复联络 定义1 1 ( 1 ) 设胛为m 维复流形，7 r ：e 一肘为m 上全纯向量丛， 若d = 以，其中以均为全纯1 形式 则，d 称为e 上( 1 ，0 ) 型联络 ( 2 ) 设j i l 为e 上日p 册娩度量， 若x ( j l l 售，刁) ) = ( 仇手，功+ 皓，d x ，7 ) ，其中x 乙m 手，玎岛，v p 肘 则称d 与日溯加结构j i l 相容 则，d 与i l 相容仁jd 与对应g 相容 8 定理4 设胛为m 维复流形，万：e - m 为肘上全纯向量丛，j i i 为e 上肌朋妇度量， 则了! 与j l 相容的( 1 ，0 ) 型联络d 则，丁肘作为全纯向量丛了! 与j i l 相容的( 1 ，o ) 型联络d ，称为胁册加联络 证观( 唯一性) 因为d 与| i l 相容，所以= 以 c - + 砺k 又由d 为( 1 ，o ) 型，则等趔= 嘶坛 所以旺= 驴等甜 所以叱唯一确定 ( 存在性) 可验证，= j l 动等d z 满足复联络的条件，且在坐标变换下满足变换公式 在丁膨：砉上，令饧= j i l ( 为，易) ，钟= 庐誓甜 口 以f 讨论j 幺j l 跆，流形上的复联络 记d 寺= 叫易，其中d 为唯一的( 1 ，o ) 型与i i l 相容的联络，4 为全纯l 形式 令一= 一+ 炒，则( u ；，) 为坶的局部光滑坐标系 所以d 为盼的复联络，所以叫= o ，其中j 为典范复结构 又设叫= 彰+ 婶 ，叫= 彰一唧吖 又因为，刍= 南籍+ 筹砉= 刍+ 壶 旁= 砉多+ 雾砉= f 寺一f 刍 所以d ( 岳) = d ( 刍+ 砉) = 叫参+ 叫与 = 叫( ；南一 南) + 4 ( 南+ ；品) = ( 彰+ 砰 ) ( 南一；寿) + ( 彰一婶吖) ( 南+ 品) = ；彰易一；彰匆+ j 够吖南+ 卵吖寿+ 彰南一；印吖南+ 南+ 够吖南 = 彰南+ 簟 晶 d ( 劳) = d ( 磅一f 砉) = f ( 砉一4 砉) = f ( ( 嘭+ f 够+ ) ( 刍一 专) + ( 彰一f 口吖) ( 专+ i 劳) ) = 一够吖刍+ 彩南 若再令吒+ j = 一哆村，嘭= 暖z ，则有丁上复联络d ， d 者 d 希 又因为啦= 庐誓副 挠率丁k 一甜 q 一萨等副 硭四 一一 = 萨( 第一誓) 副 硭 所以，= 0 仁号肘k 砌跆， 研中 如眩 a 万 a 妒 ( 因为勋j z 跆r 形式七= 一 i l 彬 历， 则，敬= 一 ( 誓硭+ 誓d 两蹦 历 = 一；( 谢( 誓一等) 甜人彩 历+ l 肚( 誓一警) 办人甜 而 = 一 ( 讲( 誓一等) 甜 以 历+ ( 等一雾) 秘 露 副) = 一；( 肚( 誓一等) 砑 趔 历一讲( 誓一等) 站 甜 厕 所以肘j l 胁敬= o 誓= 箬) 则，有下述定理： 9 ( 9 ) ( 1 0 ) 定理5 当肘为i l 跆，流形，m 上m m 抛联络，即唯一的与 相容的( 1 ，o ) 型联络 与 j 6 d 上黎曼联络一致 设为j i l 跆，流形，可将肘看作2 m 维实，光滑流形，记作j 为上典范复 结构，则，朋j 上曲率算子具有下列性质： ( 1 ) ro ，= ，o 尺； ( 因为r l ，) = 仇d y d y 巩一d 【置y 】，且do ，= ，od ) ( 2 ) 尺为，不变的： ( 因为g 僻( - ，l ，) z 聊= g 僻( z 聊( 脚，y ) = g ( - ，( z 聊墨，y ) = g ( 尺( z ，聊xl ，) 1 0 2 占似( 蔗，? ) z ，彬) 则有，= 砾，喘= “w ， 吆+ 枷+ ，= 略，屯吖= 一州) ( 3 ) r f c ( ，d = r f c 佤y ) ( 因为若设巧膨上规范正交基，口= 1 2 m ，则由于| l 对应的g 为，不变的，所 以，仍为规范正交基， 贝尺缸加= 月( 腿，m = r 陇地，儿。，j ，) = 舰陇n ) 设胛为m 维勋 跆r 流形，可将m 看作2 m 维实，光滑流形，记作j 为蛳上典 范复结构对印e 尬了( u ；z ) ， 则肘：f 寿l ，巧膨： 甜j “= l 一帕 易：f 杀，砉l 巧： 尉，砂) “= 1 神 又d 为肘的胁妇联络，即d 为唯一的与 相容的( 1 ，0 ) 型联络，且为的黎曼联 ，d 寿 1 【d 毋 又令o ：= 碰一醴 够，即， = 研中 吆 驯三鲁 则有，o ：；= 叫，掣+ 7 = 一“ 再令群= 叫一衅 ，即 q = q ：钟 戳嗽 础i 螂 嗽删 a 万 a 妒 ? q 1 吆j ；岬 以蛾 研印 吆眩 山：岬 以螺 = 枷一口 吠1 2 ) = 幽一u “1 3 ) l l 一叫吆 则，q = 酬一钟 “ = d ( 喏+ 衅 ) 一( 砖+ 岬诎) ( 嚷+ 娣 ) = d 彬+ 豇招r + 一( 睇 一掣+ 昭+ + f 甲+ + f 睇 呀+ 7 ) = 叫+ 畔吖 又因为，醒= 枷 硝 耐 历= ( “+ 删) 一渺) = d 叠入d 对+ 耐八d ：+ i 母八d x j i d 叠入d ， 则，耐 纠+ 砂人砂= ( 耐 历+ 历 列) 一d 安入d + d 9 八d x j = 一；q 亡八( i 云一面入d 0 、 则，= 叫+ f 畔吖 = 略+ 蝶矽 硝 = 瞰+ 蚜7 ) ( 彬 删+ 砂 ) + ( 屯+ l + 峨嚣f ) ( 群 一砂 耐) = 慨+ 呀) 澎 露+ 办 冽) + 咄+ f + 蛾基f ) 谢 办一办 到) = ( ( 尺幺+ ) + f u 吃朋w + 尺z ：七朋+ f ) ) c 缮 划 令= + 碟) + i + ，+ 硝+ ，) ， 则有，q = 魁 耐 州 又由于，尺( 毒，刍) 刍 = 尺( 杀一；寿，；寿+ i 寿) ( 刍一 寿) = 畋易+ 呀j 旁一 + 洲刍一；碟蠡寿 + 州为+ 碟羔，南+ “埘南+ 碟：毛南 一；尺厶州刍一；蚶南+ 吒+ 。朋+ ，南+ 碟枷+ ，易 一；碟+ 枷+ 锄+ ，南一；碟：乙+ 。朋+ ，专一 + 枷+ u 易一 ：o j 专 = 尺乞南+ 喘“易+ ；吒朋+ ，寿+ ；。坤+ ，南 一；尺名旁一；硝纛，寿+ + ，劳+ 。朋+ ，劳 = ( 尺名+ 尺：。，f + 氓磊，“+ 订老。朋“) ( 南一；品) = 砝为 令k 蕊= g 西k ，咯= 滔k 嘶， 有，j l l ( r ( 毒，砉) 杀，易) = 哳 k 再1 a = 冰l 辫一r i m + j l j ，l + o + i 幔l m + j _ k l + r i j k 肿o a k i t i - k ：； 1 “删 l l ( 因为，吃= 峨+ 曙。f ) + f 屹+ ，+ 碟枷+ ，) = ( 一尺毛一尺幺+ 尺：u ) + f ( 一加+ “一+ 城+ r ：囊朋+ i ) = 吃+ ( 一础“一畋+ 础“) + 必一喘枷+ 厂础+ 碟枷，) = 砭+ ( 一碟：如一畋) + “一掣一+ 城) = 砭) 下面讨论 幺i l 跆，流形上全纯截面曲率，并讨论与光滑流形的关系 1 2 定义1 2 设胪为勋 比r 流形，对v p 尬x 巧眠定义七= 觚因称 为胪在p 处沿x 的全纯截面曲率对应的曲面墨肛称为全纯截面( 实2 维) 又因为麒上x ，所以甄鄹= 一等辫 ( 因为g ( 的= 一g 啪= 一g ( 的= 0 所以麒上x ) 定理6 设胪为妇j i l 跆厂流形，对印尬了 ) ；z ) ，一= 一+ v x = 膏专+ f “寿乃则 足= 芬其中如n i 证观令z = ( x 一旧矽肘 = 谬砉+ f “寿一脚寿+ 淤“砉) = f ( 专一；寿) + f “( 寿+ 刍) = 膏南+ 凹“( 一；寿+ 岳) = + 印“) 为 = 万砉 又因为x = z + 乏麒= f ( z 一历 所以g 陇习= g ( z + 艺，z + 西 = g ( z ，z ) + 幻( z 蜀+ g 岳，历 = j l = j l l ( z z ) ( 上述最后第二个等号是由于( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，最后一个等号是由于( 4 ) ，且应用了幻= 勋+ 哲枷吖，g u = g m + 枷+ j ，孙+ j = 一g 拥吖，贝0 ，j i l 牙= ，k + f ，鬲巧，“了= 一j i l f 而刁 ( 1 ) g ( 者，易) = g ( 寿一i 专， 岳一 品) = g 一 g 朋+ 枷+ j 一；g 。+ u 一；g f 朋+ ， = 0 所以g ( z ，z ) = 力力射= o = o 所以g 动= o ( 3 ) g ( 毒，砉) = g ( 刍一 寿，；南+ ；专) = g 盯+ 踟+ 枷卅+ ；g 枷吖一 g 历+ u = 知i j + 妇i 附j = ( g 玎+ f g 枷吖) = = j i i ( 刍，南) ( 4 ) j i l ( 毒，南) = ( 刍一 寿， 为一 南) = 牙一 k + 6 雨一 i l ，件酊+ i i i j ；习 = ( + 访瘌) = g i j + i g i 舯j + i g i m + j + g i = = | i l ( 刍，南) ) 又因为尺x 因 = r ( z + 乏f ( z 一面，z + 乏配一面) = 一r ( z + 乏z 一乏z + 乏z 一动 一4 尺( 五z ，z ，z ) = 一4 2 ：芴砻孤( 刍，刍，毒，刍) = 一4 2 励瓦氓( 刍，毒) 刍，刍) = 一红庑慨( ；壤参，刍) = 一2 z 叨砂刀硌( 参，刍) = 一2 z j 砻z i h 西咯 = 一面z 囝k 矗豆 所以k ( 的= 以下讨论具有常值全纯截面曲率c 的妇j l l 跆r 流形 口 a 矽 ，-2 + a 孤 a 矽 黝qd 耖a 两“畦 ) g g = 定理7 以维复向量空间vj 为典范复结构，r 为4 重r 线性函数，满足 ( 1 冰( x ，kz ，忉= 一尺( x 五z 聊= 一尺( 墨zw z ) ( 2 皿ez 聊= 尺( 乙彤x 功 ( 3 ) 尺kz ，聊+ 尺( z zm 的+ r ( 暇zz 聊= 0 ( 4 冰( 肛z 聊= r 陇】；= 皿，聊= 尺伍xz ，忉 若丁为另一满足条件的函数，且尺x 脚= r x 嘲则丁= r 证朋只要证若尺腿五旧= 0 ，则r = 0 设q ( 五z 乙聊= 尺 j ez ，聊+ r 皿z ，聊+ r ( x ，暇】：仍关于x y z ，w 对称 则q 墨x 习= 3 尺( x x 旧= 0 所以q + f l = = x + f z x + f z x + f 】，) = o f 3 q zz 功+ 2 f 2 q ( x 五z 】，) + f q 五五y ) = 0 ，v f 所以q ( x 】：= z 功= q 陇五】；：d = q ( 墨墨五d = o 用x + 幺l ，+ f w 分别代入x y ， o = q ( x + f z y + f 眦y + f 形y + f 矸，) = 2 f 2 q 佤e 】j = 聊+ 产q 仪ew 聊+ f q 陇wk 功+ 2 f 2 q 瑕】= ：聊+ 户q ( x ，ww 聊+ 2 f 2 q ( 五zz 聊+ f 3 q ( z ：zw 肋+ f 2 q ( zwk 功+ 2 户q ( z ；暇l j = 聊 = 3 户q ( z z 取忉+ 3 产】；= 睨聊+ 3 产q ( xz z j 聊+ 3 f q ( 墨xz 聊，v f 所以q ( x ，kw 聊= o 用z + f 代入。 o = q ( x k z + f w z + f 聊= 2 f q ( x kz 聊，v f 所以q ( x zz 聊= 0 又令z = 五= y ，代入q ( x ，y z ，帅= o o = q ( x ，ex 功= r ( x ，】= = 墨- ，y ) + r ( 墨z ，】，) + 尺( x ，ke ，抑 = 2 r ，z 五，】，) + 尺，xl = = - ，】，) 又因为r e ，y ) = 姐( k 踊- ，k 却一r ( j z 五y ) = 足( x x 墨l ，) + r 陇，kx j d 所以o = q ( 墨zz y ) = 3 r ( x - ，zx y ) + 尺( x zx ，功 0 = q ( 五，z 墨，l ，) = 3 r z 置y ) + 尺( x j z 墨，】，) 所以，尺仪z 墨y ) = 0 则，尺= o 口 1 5 下面通过，度量g 构作一曲率张量 设g 为y 上，不变黎曼度量， 定义慨kz 聊= g ( x z ) g ( x 聊一g ( x 耽( kz ) ，v x xz w y 则r 满足条件( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，且 r ( ，墨，z z j 聊= 墨z 皿j 聊 ，z 皿，聊= 厂( x ，】；= z 聊( 因为g 为，不变的) 又令r ( 墨zz 聊= 慨zz ，聊+ 憾z 亿- ，聊 则夏满足条件( 1 ) ，( 2 ) ，( 4 ) 计算瓢zz 忉+ 页亿l ；= w 的+ - ( w kx z ) = 憾zz 聊+ 憾e 皿，聊+ 忆k w 的+ 她z _ ，w 因+ ，( 职xx z ) + r ( w x 腿国 憾z 钇，聊+ 犯e ，形旧+ ，( 眦z 硒 = g ( 彤脚g ( z ，聊一g ，耽( k 阎怊( z ，j 矸馏( 】j ：腰) 1 ( z 因g ( z ，聊怊( w 朋塘( z ，忉一 g ( 职旧g ( z 因 = 2 9 ( x 圆g ( k j 聊+ 2 9 ( 职四g ( 1 ；= 旧+ g ( z - ，聊g ( z 因 再令岛zz ，忉= 穴墨】_ ：z 忉+ 2 9 陇，聊( z - ，聊 则岛满足条件( 3 ) 因为可构造出岛( x zz 聊= 憾zz 聊+ 憾k 皿，聊+ 2 9 仪，聊( z ，聊 = g ( x z ) g ( z 聊g 聊g ( xz ) + g 佤旧g ( zj 聊一g _ ，聊g ( zj z ) + 2 9 伐，聊( z ，聊 所以凰仪k 五y ) = g 陇嗣g ( zy ) 一9 2 陇n + 3 9 2 伐，功 粕( 墨墨嘲= 4 矿陇的( 因为g 陇啪= o ) 3 全纯双截面曲率 本章讨论全纯双截面曲率的一些性质，主要对【3 】，【4 】做了些完善和注解 3 1 全纯双截面曲率的定义与性质 ， 定义1 3 设胪为复m 维妇 l 切流形，尺为上黎曼曲率张量 对v p m 以，为乃慨上- ，不变的两个平面，五y 分别为仉，上单位向量， 即矿： 墨嘲，矿： l ：= ，聊 定义日( 仉矿) = 咄( x e ，y ) 称为关于正一的双截面曲率 ( 日仅与正，有关，与x 】，的选取无关， 若另取x ，= 丛+ 易肠，其中口，6 r c z 2 + 炉= 1 ， 则，肠= 口 ，x 一城 尺，r ，】j = ，功= r ( 旅+ 6 ，x 枷+ 碱l j = ，d = ( 口2 + 矿) 尺佤，x jl ；= _ ，】，) = r ( x 腿x j d ) ， 先讨论下全纯双截面曲率与截面曲率间的关系 因为r ( x l ；= ，y ) = 靠( e 聪，】= 的一r ( _ ，】_ ：隅五功 = 一尺( ，k x j _ 厂z 神一r ( k 五五】，) = r 陇，】：五- ，功+ 烈墨k 墨功 所以日( 矾矿) = 根( x z ，功 = 胡( x ，e 墨_ ，y ) 一尉x x 五y ) = k 陇，】，) + k ( x ，功 即全纯双截面曲率可表为两个截面曲率之和 1 6 3 2 在具有常值全纯截面曲率c 的空间上的情形 接着，讨论在具有常值全纯截面曲率c 的空间上的情形 记为复m 维妇j l 比厂流形，可看作实2 ，l 维光滑流形，记作卯，g 为仲上，不 变黎曼度量 若肘具有常值全纯截面曲率c ，则曲率张量可表为 1 7 r ( x zz 缈) = 一三( g ( 墨z ) g ( xw ) 一g g ，w ) g ( x z ) + g 伍，z 涫( l ，w ) 一g 忧，w ) g 【，么) + 幻( 墨，】，) g ( z ，) ) ( 因为，c = 一擀 = 一然矧器 所以尺陇墨脚= 一；凰墨厕 所以由前面的引理。上试成立) 定理8 m 为妇j i l 跆r 流形，具有常值全纯截面曲率c ， 则麒仉，) 【；，c 】，其中正，为丁肘中复l 维全纯截面，墨】，分别为以，中单位向 量 证明因为r z m = 一；( g ( x 聊( m g 堋憎( 】，) 一g j ( y ) + g 陇聊( 踊j 功+ 2 9 ( 墨聊( k 功) ) 所以，尺( 五z ， = 一号( g g ( k d + 矿憾d + 矿- ，y ) ) = 一号( 1 + 9 2 仪d + 9 2 - ，功) 又因为矿陇y ) + 9 2 ，d = i j