（基础数学专业论文）关于几类变换半群的研究.pdf

山东师范大学硕士学位论文 关于几类变换半群的研究 秦美青 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文研究了保等价部分变换半群的变种半群上的正则性及格林关系，给出由 部分变换半群的一个子集合生成给定子半群的充要条件和保等价变换半群的变种 半群若干结果本文共分三章，各章主要内容如下： 第一章主要研究了非空集合x 上的保等价部分变换半群忍( x ) 的变种半群 p e ( x ；p ) 上的正则性、格林关系，正则元主要结果如下： 定理1 1 7 半群- r e 伍；0 ) 中的元，是幂等元当且仅当对每个可洫，有f o ( y ) = 秒 引理1 1 8 若，是p e ( x ；口) 中的幂等元，则以下条件成立： ( 1 ) t i n ( o f ) 是7 r ( ，) 的一个横截面，且对每个y t i n ( o f ) 有o f ( u ) = 弘 ( 2 ) 口i i m ，：妇，_ 血( p 厂) 是e 幸一保持的双射 定理1 1 1 0 设，g 最p ；矽) ，则( ，g ) c 当且仅当，= 9 或7 r ( p ，) = 7 r ( ，) = 丌( 9 ) = 7 r ( 口9 ) 且e ( o f ) = e ( s ) = e ( g ) = e ( o g ) 定理1 2 1 设，p e ( x ；p ) ，则，是p e ( x ；伊) 中的正则元当且仅当 ( 1 ) 7 r ( 口，) = 7 r ( ，) ，e ( o f ) = e f t ) ； ( 2 ) 对每个a x s ，存在某个b x e ，使得a n t m ( o f ) e f o ( bn d o r a 0 ) 定理1 2 4 设，夕是p e ( x ；0 ) 中的正则元，则以下结论成立： ( 1 ) 若7 r ( ，) = 丌( 夕) ，贝07 r ( 口，) = 丌( ，) = 7 r ( 夕) = 7 r ( 口夕) 且e ( o f ) = e ( f ) = e ( g ) = e ( o g ) ( 2 ) 若i m ，= i m g ，则对每个a x e ，存在b ，c x e ，使得 f ( a nd o m f ) sg o ( bnd o r a 0 ) ，g ( and o i n g ) ，口( cnd o r a 0 ) ( 3 ) 令a = ani m y ，其中a x e ，则存在c x e ，使得 a nd o m 0 f o ( c n d o r a 0 ) 定理1 3 1r ( p e ( x ；口) ) = r ( p e ( x ) ) 当且仅当0 是x 上的驴一保持的双射 定理1 3 2 如( x ；0 ) 是正则半群当且仅当 山东师范大学硕士学位论文 ( 1 ) 口是x 上的e 4 一保持的双射； ( 2 ) e = ( x ) 或e = x x 定理1 4 3 设，g p s ( x ；口) ，则以下条件等价： ( 1 ) ( ，g ) 冗； ( 2 ) 对每个a x s ，存在b ，c x e ，使得s ( and o m f ) g e ( bnd o m e ) ， g ( a nd o i n g ) f o ( cnd o m e ) ； ( 3 ) 存在琊一可容许的双射妒：7 r ( ，) _ 7 r ( 夕) ，使得 = 玑矽 定理1 4 4 假设，g 如( x ；口) 且，9 ，则以下条件等价： ( 1 ) ( ，9 ) ； ( 2 ) 7 r ( e f ) = 7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) = 7 r ( e g ) 和e , ( e f ) = e ( f ) = s ( g ) = e ( 幻) ； ( 3 ) 存在e + 一保持的双射：i m ，一i m g ，使得g = ，且护f i m ，和口f i i n g 是e 一 保持的单射 定理1 4 5 设，9 忍僻；p ) ，则以下条件等价： ( 1 ) ( ，g ) 7 t ； ( 2 ) 7 r ( 口，) = 7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) = 虿r ( e g ) 和e ( e f ) = s ( i ) = e ( a ) = e ( e a ) 且对每个 a x e ，存在b ，c x e ，使得s ( and o m f ) g e ( b1 3d o m e ) ，g ( and o m 9 ) s y e ( c n d o m e ) 一 定理1 4 6 设，9 p s ( x ；口) ，则以下条件等价： ( 1 ) ( ，9 ) 口； ( 2 ) 存在曰一可容许的双射妒：丌( ，) _ 7 r ( 夕) 和矿一保持的双射：i n l ，_ i m g ， 使得咖 = 西妒且口i 妇，和口i 蛔g 是e + 保持的单射 第二章主要对部分变换半群p ( ) 的一个子集合生成的若干种给定类型子半 群进行了刻划主要结果如下： 定理2 2 1 设q 为p ( 五；) 的非空子集，且u = 则u 是左零半群当且 仅当对所有口，p q ，k e r a = k e r 卢且口2 = a 定理2 2 2 设q 为p ( ) 的非空子集，且u = 则u 是右零半群当且 仅当对所有口，q ，妇口= 妇p 且口2 = 口 定理2 2 4 设q 为p ( ) 的非空子集， q l ，o t n q ，且有 ( 1 ) i m a i = i i l l 哟，其中i ，j = l ，2 ，n ，且i 歹； ( 2 ) 啦l 血口；是置换，其中i = 1 州2 一，凡； ( 3 ) k e r c i = k e r a j ，其中t ，j = l 2 一，礼，且i j 则i r a ( a 1 o t n ) = i m a n 且k e r ( a l 口t 1 ) = k e r c e l 定理2 2 5 设q 为p ( ) 的非空子集，且u = 则矿是群当且仅当对 所有q ，p q ，有 ( 1 ) i m a = 岫卢且口i 妇a 是置换； 2 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 ) k e r a = k e r z 定理2 2 7 设u 是p ( 弱) 的子半群，则u 是完全单的当且仅当u 中所有元 有相同的秩 定理2 2 8 设q 为p ( ) 的非空子集，且u = 则u 是完全单的当且 仅当对所有口，p q ，i m a 是由k e r z 决定的分划的横截集 定理2 2 9p ( ) 的子半群u 是完全正则的当且仅当对所有口u ，有 r a n k a 2 = r a n k a 定理2 2 1 0 设q 为尸( 五。) 的非空子集，且u = 则u 是完全正则的当 且仅当对所有口u ，c o n e u ( i m a ) 构成k e r a 决定的分划的部分横截集 定理2 2 1 1 设u 是p ( k ) 的正则子半群，i i m s ( 矿) 和k k e r s ( u ) 且满 足j 是由k 决定的分划的横截集，则存在幂等元e 阢使得i m s = i 和k e r e = k 定理2 2 1 2 设矿是正则半群，则u 是逆半群当且仅当l i i l l s ( u ) i = i k e r s ( u ) i 且对每个i i h l s ( 矿) ，存在唯一的k k e r s ( u ) ，使得j 是由k 决定的分划的横截 集 定理2 2 1 3 设q 为尸( 五。) 的非空子集，且u = 则矿是c l i f f o r d 半群 当且仅当对所有口，p q 有： ( 1 ) 口l 洫口是置换； ( 2 ) c e 芦= e 卢卫 第三章给出半群强；p ) 是纯正半群、左群、右群的充要条件主要结果如下： 定理3 2 1e ( 殆僻；口) ) 是t e ( x ；口) 的子半群当且仅当对任意的，g e ( t e ( x ；口) ) 和对每个y l e g ( x ) ，有s o g o ( 3 ，) = y 推论3 2 2 半群：r e ( x ；p ) 是纯正的当且仅当以下三条成立： ( 1 ) 口是x 上的矿一保持的双射； ( 2 ) e = ( x ) 或e = x x ； ( 3 ) 对任意，g e ( t e 僻；9 ) ) 和对每个y o g ( x ) ，有o g o ( y ) = 爹 定理3 2 3e ( 码；8 ) ) 是而僻；口) 的左零子半群当且仅当对任意的，g e ( 2 ( x ；秽) ) ，有7 r ( ，) = 7 r 园) 推论3 2 4 半群乃伍；口) 是左群当且仅当以下三条成立： ( 1 ) p 是x 上的e 一保持的双射； ( 2 ) e = ( x ) 或e = x x ； ( 3 ) 对任意，夕e ( t e ( x ；口) ) ，有7 r ( ，) = 7 r ( 夕) 定理3 2 5e ( 码僻；p ) ) 是t e ( x ；口) 的右零子半群当且仅当对任意的，g e ( t e , ( x ；口) ) ，有f ( x ) = 夕( x ) 推论3 2 6 半群：r e ( x ；0 ) 是右群当且仅当以下三条成立： ( 1 ) 口是x 上的j 5 7 + 一保持的双射； 3 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 ) e = a ( x ) 或e = x x ； ( 3 ) 对任意，g e ( 码；口) ) ，有y ( x ) = 9 ( x ) 关键词：变换半群，部分变换，保等价部分变换半群的变种半群，正则 元，格林关系 中图分类号：0 1 5 2 7 4 山东师范大学硕士学位论文 s t u d yo ns o m et r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s q i nm e i q i n g t h es c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h er e g u l a r i t i e sa n d g r e e n sr e l a t i o n sf o rv a r i a n ts e m i - g r o u po fp a r t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p sp r e s e r v i n g a ne q u i v a l e n c er e l a t i o na n dd i s c u s s t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fs o m es e m i g r o u p 曲8 6g e n e r a t e db yas u b s e to f p a r t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pa n dg i v es o m er e s u l t sf o rv a r i a n ts e m i g r o u po ft r a n s - f o r m a t i o ns e m i g r o u p st h a tp r e s e r v i n ga ne q u i v a l e n c e t h e r ea r et h r e ec h a p t e r s ，t h em a i n r e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w i n g i nc h a p t e r1 ，w ed i s c u s st h er e g u l a r i t y , g r e e n sr e l a t i o n sa n dr e g u l a re l e m e n t so f t h ev a r i a n ts e m i g r o u po fp e ( x ) o nan o n e m p t ys e tx t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na s f o l l o w i n g ： t h e o r e m1 1 7a ne l e m e n to fp e ( x ；0 ) i sa ni d e m p o t e n ti fa n do n l yi ff o ( y ) = 可 f o re a c hy 妇， 。l e m m a1 1 8l e t ，p e ( x ；o ) b ea ni d e m p o t e n t t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s h o l d ： ( 1 ) t i n ( o f ) i sac r o s s - s e c t i o no f7 r ( ，) a n do f ( y ) = yf o re a c hy i m ( 0 f ) ； ( 2 ) 护i 血，：i m 一t i n ( o f ) i sa ne + p r e s e r v i n gb i j e c t i o n t h e o r e m1 1 1 0l e tf ，g p e ( x ；口) t h e n ( f ，g ) ci fa n do n l yi f ，= go r r r ( o f ) = 开( ，) = 7 r ( 9 ) = r ( o g ) a n de ( o f ) = e ( f ) = e ( g ) = e ( o g ) t h e o r e m1 2 1 l e t ，p e ( x ；p ) t h e nfi sr e g u l a ri np e ( x ；0 ) i fa n do n l yi f ( 1 ) r ( o f ) = 7 r ( ，) a n de ( o f ) = e ( ，) ( 2 ) f o re a c ha x e ，t h e r ee x i s ts o m eb x es u c ht h a ta nt i n ( o f ) 冬 o f o ( bnd o m 0 ) t h e o r e m1 2 4l e tfa n d9b er e g u l a re l e m e n t si np e ( x ；口) t h e nt h ef o l l o w i n g s t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) i f7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) ，t h e n 丌( p ，) = 7 r ( ，) = 7 r ( 夕) = 丌( 口9 ) ，e ( o f ) = e ( f ) = e ( g ) = e ( o g ) ( 2 ) i fi i n ，= i m 9 ，t h e nf o re a c ha x e ，t h e r ee x i s tb ，c x e ，s u c ht h a t f ( and o m f ) g o ( b n d o m o ) ，g ( and o m g ) f o ( c nd o m o ) 5 山东师范大学硕士学位论文 ( 3 ) l e ta = a n 妇，w h e r ea x e t h e nt h e r ee x s i tc x e ，s u c ht h a t a 7n d o m 8 f o ( c n d o m o ) t h e o r e m1 3 1 r ( r e ( x ；口) ) = r ( p e ( x ) ) i fa n do n l yi f0i sa l le - p r e s e r v i n g b i j e c t i o no nx t h e o r e m1 3 2 p e ( x ；0 ) i sar e g u l a rs e m i g r o u pi fa n do n l yi f ( 1 ) 0i sa ne 奉- p r e s e r v i n gb i j e c t i o no nx ；a n d ( 2 ) e = ( x ) o re = x x t h e o r e m1 4 3l e tf ，9 r e ( x ；口) t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( f ，g ) 冗； ( 2 ) f o re a c ha x e ，t h e r ee x i s tb ，c x es u c ht h a tf ( and o m f ) sg o ( bn d o m o ) ，g ( and o m g ) o ( o f ld o m o ) ； ( 3 ) t h e r ee x i s ta n 蟛一a d m i s s i b l eb i j e c t i o n 妒f r o m 丌( ，) o n t o7 r 0 ) s u c ht h a t = 夕+ 妒 t h e o r e m1 4 4l e tf ，g r e ( x ；p ) t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( ，9 ) ； ( 2 ) 7 r ( o f ) = 7 r ( ，) = 7 r ( 夕) = 7 r ( p 夕) a n de ( o f ) = e ( f ) = e ( g ) = e ( 口9 ) ； ( 3 ) t h e r ee x i s ta ne + - p r e s e r v i n gb i j e c t i o n 咖f r o mi m fi n t oi m gs u c ht h a t9 = c f ， a n db o t ho l i n ：a n do i l oa r ep p r e s e r v i n gi n j e c t i o n s + t h e m e m1 4 5l e tf ，g r e ( x ；秽) t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( ，g ) 咒； ( 2 ) 7 r ( 秒，) = 7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) = 7 r ( 口g ) ，e ( o f ) = e ( ，) = e ( g ) = e ( o g ) w h i l ef o r e a c ha x e ，t h e r ee x i s tb ，c x es u c ht h a tf ( and o m f ) g9 0 ( bnd o m o ) a n d g ( a n d o m g ) f o ( c n d o m o ) t h e o r e m1 4 6l e tf ，g p e ( x ；口) t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( ，g ) d ； ( 2 ) t h e r ee x i s ta n 彩一a d m i s s i b l em a p p i n g 妒f r o m7 r ( ，) o n t o 丌( 夕) a n da l le * - p r e s e r v i n g b i j e c t i o n 西f r o mi m fo n t oi m gs u c ht h a t 咖 = 办妒a n db o t h 引h ，a n dp i 血口a r e e + - - p r e s e r v i n gi n j e c t i o n s i nc h a p t e r2 , w ed i s c u s st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fs e m i g r o u pt h a t g e n e r a t e db yas u b s e to fp ( ) t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w i n g ： t h e o r e m2 2 1l e tqi san o n e m p t ys u b s e to f 尸( k ) a n du = t h e nu i sal e f tz e r os e m i g r o u pi fa n do n l yi ff o ra l l 口，p q k e r c e = k e r f la n d 舻= a t h e o r e m2 2 2l e tqi san o n e m p t ys u b s e to fp ( x n ) a n du = t h e nu i sar i g h tz e r os e m i g r o u pf f a n do n l yi f f o ra l l 位，q i m a = i m a n da 2 = 口 t h e o r e m2 2 4l e tqi san o n - e m p t ys u b s e to fp ( ) ，q l ，q n q ，a n d 6 山东师范大学硕士学位论文 ( 1 ) i m 啦= i i l l ，w h i l ei ，j = l ，2 ，n ，a n di 歹； ( 2 ) 啦i i m q ti sap e r m u t a t i o n ，w h l i ei = 1 州2 一，弼 ( 3 ) k e r a i = k e r ，w h i l ei ，j = l ，2 ，礼，a n di 歹 t h e ni i n ( 盘l ) = i n l 口凡a n dk e r ( r 1 ) = k e r r l t h e o r e m2 2 5l e tqi san o n e m p ws u b s e to fp ( x n ) a n du = t h e nu 主sag r o u pi fa n do n l yi ff o ra l l 仅，p q ， ( 1 ) i m a = i m pa n dq l i i n i sap e r m u t a t i o n ；+ ( 2 ) k e r r = k e 印 t h e o r e m2 2 7l e tui sas u b s e m i g r o u po fp ( ) t h e nui sc o m p l e t e l ys i m p l e f fa n do n l yi ff o ra l le l e m e n t so fuh a v et h es a m er a n k t h e o r e m2 2 8l e tqi san o n e m p ws u b s e to fp ( ) a n du = t h e nu i sc o m p l e t e l ys i m p l ei fa n do n l yi ff o ra l lr ，p q ，i m ai sat r a n s v e r s a lo fk e r 3 t h e o r e m2 2 9a s u b s e m i g r o u pu o fp ( ) i sc o m p l e t e l yr e g u l a ri fa n do n l yi f r a n k a ，2 = r a n k af o ra l l 口矿 t h e o r e m2 2 1 0l e tqi san o n - e m p t ys u b s e to fp ( 矗) a n du = t h e nu i s c o m p l e t e l yr e g u l a ri fa n do n l yi ff o ra l lr u ，c o n e u ( i m a ) c o n s i s t so fp a r t i a lt r a n s v e r s a l o f k e r r t h e o r e m2 2 1 1l e tub ear e g u l a rs u b s e m i g r o u po fp ( k ) ，1 e ti i 】【n s ( u ) a n d k k e r s ( u ) s u c ht h a tii sat r a n s v e r s a lo fk t h e nt h e r ee x i s ta ni d e m p o t e n t u s u 幽t h a ti m 6 = ia n dl 【e r = k t h e o r e m2 2 。1 2l e tub ear e g u l a rs u b s e m i g r o u po fp ( k ) t h e nu i si n v e r s e s e m i g r o u pi fa n do n l yi fl h n s ( u ) i = l k e r s ( u ) la n df o re a c hi i 脚( 矿) t h e r ee x i s ta u n i q u ek k e r s ( u ) s u c ht h a tii sat r a n s v e r s a lo fk t h e o r e m2 2 1 3l e tqi san o n e m p t ys u b s e to fp ( ) a n du = t h e nu i sac l i f f o r ds e m i g r o u pi fa n do n l yi ff o ra l lr ，q ： ( 1 ) 口i 血ai sap e r m u t a t i o no fi m r ； ( 2 ) r e 3 = e z a i nc h a p t e r3 ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs e m i g r o u pt e ( x ；p ) t ob e o r t h o d o xs e m i g r o u p ，l e f tg r o u p ，r i g h tg r o u pa r eg i v e n t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na s f o l l o w i n g ： t h e o r e m3 2 1 e ( 码( x ；秽) ) i sas u b s e m i g r o u po ft e ( x ；口) i fa n do n l yi ：ff o ra r b i - t r a r y ，g e ( t e 僻；p ) ) a n de a c hy f o g ( x ) ，w eh a v e f o g o ( y ) = y c o r o l l a r y3 2 2s e m i g r o u pt e ( x ；口) i so r t h o d o xi fa n do n l yi ft h i st h r e es t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) 口i sae + 一p r e s e r v i n gb i j e c t i o no nx ； 7 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 ) e = a ( x ) o re = x x ； ( 3 ) f o ra r b i t r a y 工g e ( t e ( x ；拶) ) ，a n de a c hy ，幻( x ) ，w eh a v ef e g o ( y ) = y t h e o r e m3 2 3e ( 强；伊) ) i sal e f tz e r os u b s e m i g r o u po ft e ( x ；口) i fa n do n l yi f f o ra r b i t r y ，g e ( t e ( x ；秒) ) ，w eh a v e7 r ( ，) = 万( 夕) c o r o l l a r y 3 2 4 s e m i g r o u pt e ( x ；口) i sal e f tg r o u pi fa n do n l yi ft h i st h r e es t a t e - m e n t sh o l d ： ( 1 ) pi sae + 一p r e s e r v i n gb i j e c t i o no nx ； ( 2 ) e = a ( x ) o re = x x ； ( 3 ) f o ra r b i t r y ，g e ( z b ( x ；p ) ) ，w eh a v e7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) t h e o r e m3 2 5 e ( t e ( x ；口) ) i sar i g h tz e r os u b s e m i g r o u po ft e ( x ；口) i fa n do n l y i ff o ra r b i t r yf ，g e ( 殛( x ；口) ) ，w eh a v ef ( x ) = 9 ( x ) c o r o l l a r y3 2 6s e m i g r o u pt e ( x ；口) i sar i g h tg r o u pi fa n do n l yi ft h i st h r e e s t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) 口i sae 一p r e s e r v i n gb i j e c t i o no nx ； ( 2 ) e = ( x ) o re = x x ； ( 3 ) f o ra r b i t r y ，g e ( 2 k ( x ；p ) ) ，w eh a v e ，( x ) = 夕( x ) k e y w o r d s ：t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s ，p a r t i a lt r a n s f o r m a t i o n s ，t h ev a r i a n t s e m i g r o u p so fp a r t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pp r e s e r v i n ga ne q u i v a l e n c e ，r e g u l a re l e - m e r i t ，g r e e n sr e l a t i o n s c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 8 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 豪聪 导师粹硝磅 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解羔堑有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人授权羔兰童蔓可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 杀矧 签字f 1 期：2 ) 0 9 年中月乡只 年 谤一 e 了 期 勺， 日 氧 泞 搿 签 师导 山东师范大学硕士学位论文 前言 变换半群是人们最早研究的半群类之一，其研究成果非常丰富，这些成果在半 群理论和理论计算机科学的研究中有广泛应用变换半群目前仍是国内外学者研 究的热点之一本人阅读了大量关于变换半群的文献，在已有的研究成果基础之 上，对变换半群在三个方面进行了进一步的研究 格林关系由j a g r e e n 于1 9 5 1 年提出，此后，格林关系在半群的代数结构研 究中得到广泛应用( 参见【1 】 【3 】，【6 】，1 7 1 等) 用格林关系研究半群是半群理论的特色 之一，刻划某类半群上的格林关系，对研究该类半群的结构具有重要意义夹心半 群关于正则元和格林关系的一般结果首先由k d m a g i l l 等人在1 9 7 5 年给出，并且 以后有了进一步发展2 0 0 5 年，裴惠生和孙垒等人对保等价变换半群的变种半群 上的格林关系和正则元进行了研究，取得了许多新颖而又深刻的结果本文将这 些结果推广到保等价部分变换半群的变种半群中，研究了保等价部分变换半群的 变种半群上的格林关系和正则元 研究半群的各种子半群也是研究半群的重要方法之一( 参见【1 6 ，【17 】，【1 8 】i 【1 9 】， 等) 2 0 0 5 年，r ，g r a y , j d m i t c h e l l 研究了完全变换幺半群的最大子半群，其中讨论了 由完全变换半群的一个子集合生成的某种给定类型子半群的条件在此基础上， 本文对由部分变换半群的一个子集合生成的若干种给定类型子半群进行了刻划。 裴惠生等人对保等价变换半群的变种半群上的正则元和格林关系进行了研究 1 】本文进一步研究了保等价变换半群的变种半群是纯正半群，左群、右群的充要 条件 9 山东师范大学硕士学位论文 第一章保等价部分变换半群的变种半群上的正则元和格林 关系 1 1引言与预备知识 设x 是一个集合，集合x 上的所有部分变换在一般映射的合成运算下做成的 半群称为部分变换半群，记为取设e 是集合x 上的等价关系，定义 j ( x ) = ( ，k ：v x ，y d o m f ，( z ，y ) e ：争( ，( z ) ，( 秒) ) e ) 显然x 上的空变换谚忍僻) 且对任意的工g 忍僻) ，若z ，y d o m ( f g ) 冬d o i n g ， 贝4 ( z ，y ) e 可推出( 夕( z ) ，9 ( 可) ) e ，故有( ，夕( z ) ，9 ( 3 ，) ) e ，从而，夕p ：e ( y ) ，所 以p e ( x ) 是取的子半群，我们称其为保等价部分变换半群 取定0 忍僻) ，如下定义集合殆) 上的一个新的运算“o ”： ，og = f o g ，g 忍( x ) ， 其中乘积f o g 为部分变换，p ，g 的合成这样，则在新的运算“0 ”下，我们得到了 一个新的半群，我们称其为保等价部分变换半群您r 伍) 的变种半群，记为- r e ( x ；p ) 在本章中我们刻划半群忍僻；0 ) 上的正则元和格林关系 首先介绍一下在本章中用到的概念和定义 定义1 1 1 n 对任意，忍r ) 和z i m ：，集合 y d o m f ，( ) = z ) 记为 1 - 1 ( z ) 定义1 1 2 n 设，取集合 ，- 1 ( z ) ：正i m ，) 记为7 r ( ，) 显然丌( ，) 为由变换，诱导的对d o m f 的一个分划 定义1 1 3 f 2 】设，p x 对任意a x ，集合 秒d o m f ，( 秒) a ) 记为厂1 ( a ) 集合 p 7 r ( ，) ：pna d ) 记为张( ，) 引理1 1 4 n 设，) ，则对每个a x e ，存在b x e ，使得f ( a f l d o m f ) b n t m f 对每个b x e ，若b n i m f 仍，则集合广1 ) 是一些a n d o m y 的并，其中a x e 定义1 1 5 n 集合【厂1 ( a ) ：a x e ，ani m f 西】- 记为e ( ，) 10 山东师范大学硕士学位论文 显然e ( f ) 是对d o m f 的一个分划且7 r ( f ) 细化e ( ，) 由引理1 1 4 知对每个 m e ( ，) ，m 是一些bnd o m f 的并，其中b x e 此外，对任意的m e ( ，) ， 存在某个a x e ，使得f ( m ) = a ni m f 定义1 1 6 i t 】设e 是x 上的等价关系，kz 分别表示x 的子集映射咖：y z 称为e 一保持的，若对任意y ，y 当( y ，y ) e 时有( ( 可) ，咖( 可) e 映射称 为是e 。一保持的，若对任意y ，y y ，有 ( 秒，y 7 ) e 营( ( 矽) ，( 矽7 ) ) e 定理1 1 7 半群；口) 中的元，是幂等元当且仅当对每个y i m f ，有f e ( y ) = 暑，- 证明任取y 洫，则存在z d o m f ，使得f ( x ) = y 因为，是忍；口) 中的幂 等元，所以 ，( z ) = f0 ，( z ) = f o f ( x ) ， 从而 y = f ( x ) = f o f ( x ) = f o ( y ) 这样，对每个y i m f ，有f o ( y ) = y 反之，假设对每个y i m f ，有f o ( y ) = 二对任意z d o m f ，则显然，( z ) i m f ， 故有 f ( x ) = f e f ( x ) = f0 ， ) ， 从而，是幂等元 引理1 1 8 若j f 是p e ( x ；0 ) 中的幂等元，则以下条件成立： ( 1 ) i r a ( o f ) 是7 r ( ，) 的一个横截面，且对每个y 妇( 伊，) ，有o f ( y ) = ； ( 2 ) 纠i i y l ，：i m f _ i r a ( o f ) 是e + 一保持的双射 证明( 1 ) 对任意m 7 r ( ，) 和z m ，令y = ，( 正) ，则y i 1 厂因为，是e s ( x ；0 ) 中的幂等元，由定理1 1 7 知，f o ( y ) = y ，所以o ( y ) m 又因为o ( y ) = o f ( z ) t i n ( o f ) ， 从而o ( y ) m n i r a ( o f ) 若存在7 t m f ，使得o ( y 7 ) mn i i l l ( 口，) 再由7 r ( ，) 的定义 和定理1 1 7 知， y = f ( o ( y ) ) = f o ( y ) = y 从而o ( y ) = o ( y ，) 故l m n 妇( p 删= 1 从而i r a ( 0 ) 是万( ，) 的一个横截面 任取y t i n ( o f ) ，因为 d o r a ( 0 ) = f - 1 ( i r a nd o r a 0 ) 冬d o m f ， 山东师范大学硕士学位论文 所以存在z d o m f ，使得y = 口，( z ) 因为已证i r a ( o f ) 是7 r ( ，) 的一个横截面，则 t i n ( o f ) gd o m f 这样，对任意2 ，t m ( o f ) ，有可d o m f 又因为厂是幂等元，则有 秒= o f ( x ) = o f o f ( z ) = of ( o f ( z ) ) = o f ( u ) 即对每个秒t i n ( o f ) ，有o f ( 2 j ) = 矽 ( 2 ) 首先证明引i m ，是满射任取t m ( o f ) ，由( 1 ) 知o f ( u ) = 可，故o l i m f 是满 射设o ( z 1 ) = 秒( 钇) ，名1 ，钇i m ：f 则存在y l ，抛d o