（基础数学专业论文）线性方程组解结构的历史研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 线性方程组的求解是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于数学与其它 科学领域。本文在前人研究的基础上，以线性方程组解结构发展的时间顺序为 主线，对线性方程组求解的历史发展进行了全面的分析与研究。主要成果如 下： 一、讲述线性方程组的起源。九章算术是中国古代一部重要的数学经 典著作。其“方程术”解线性方程组的方法是世界上最早、最完整的线性方程 组解法，涉及方程的矩阵表示和直除法消元。刘徽提出了比较系统的方程理 论。在西方，线性方程组的研究是莱布尼茨在1 7 世纪后期开始的。 二、论述线性方程组解结构的早期研究，理清c r a m e r sr u l e 的发展脉络。 麦克劳林与克莱姆都是从线性方程组的求解入手，用线性方程组的系数给出解 的表达式。虽然麦克劳林发现c r a m e r sr u l e 早两年，但克莱姆的规律更明晰、 古 苣 兀夫。 三、阐述了线性方程组结构的进一步研究与解结构理论的建立过程。详细 考察了在贝祖、范德蒙、凯莱、格拉斯曼、史密斯和道奇森等数学家的努力 下，线性方程组解结构理论从零散的知识发展为系统的理论体系的形成过程。 贝祖证明了刀元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零；范德蒙把 行列式应用于解线性方程组；凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解， 格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解；史密斯和道奇森进一步研究线性方 程组的解结构。 四、考察了线性方程组数值解法发展及应用。线性方程组的求解是数值计 算领域十分活跃的研究课题，既直接地出现于建立物理现象的数学模型，又间 接出现于其他一些数学模型的数值解。阐述了常用迭代法的历史发展及应用。 关键词线性方程组；解结构；矩阵：行列式；数值解法 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t a su s e f u lt o o l si nv a r i o u sb r a n c h e so fm a t h e m a t i c sa n dh a v e b e e ni n d i s p e n s a b l e i no t h e rs c i e n t i f i cf i e l d s ，t h es o l u t i o no fl i n e a re q u a t i o n ss y s t e mi sa l li m p o r t a n t p a r t o fa l g e b r a t h ep u r p o s eo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st oa n a l y z et h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n to f t h es o l u t i o ns t r u c t u r eo fl i n e a re q u a t i o n ss y s t e ma c c o r d i n gt ot h ep r i m a r yc l u ei n c h r o n o l o g i c a ls e q u e n c eb a s e do na n a l y s i so fo r i g i n a lm a t e r i a l sa n di n v e s t i g a t i o no f p r e v i o u sr e s e a r c h e si nt h i sf i e l d t h em a i nr e s u l t sg a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea u s f o l l o w s ： 1 、t h eo r i g i n a lp r o c e s so fl i n e a re q u a t i o n ss y s t e r ma r ee l a b o r a t e di nd e t a i l t h e “n i n ec h a p t e r so fa r i t h m e t i c ”i saf o r e m o s tm a t h e m a t i c sc l a s s i c a lw o r k so fc h i n a a n t i q u i t y w ea r ew o r k i n go v e ri ta n dw eh a v ef o u n dt h a t “t h ee q u a t i o nm e t h o d i st h em o s te a r l ys o l u t i o n m e t h o di nt h ew o r l d t h em e t h o dw a st h ee a r l i e s t e m b r y o n i cf o r mo fm a t r i xa n dc a n c e l l a t i o nb ya d d i t i o na n ds u b t r a c t i o n l i u h u i a d v a n c e dt h et h e o r yo fe q u a t i o n l e i b n i zs t a r t e dt or e s e a r c ho ns y s t e mo fl i n e a r e q u a t i o n si nt h e17 t hc e n t u r yi nt h ew e s t 2 、t h ed e v e l o p m e n tc o u r s ea b o u tt h es o l u t i o ns t r u c t u r eo fl i n e a re q u a t i o n s s y s t e mi ne a r l i e rp e r i o da r ed i s c u s s e di ng r e a td e t a i l t h eo r i g i no ft h ec r a m e r sr u l e i sc l a r i f i e d m a c l a u r i na n dc r a m e rb e g a nw i t hs o l v i n gas y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s ， t h e np r e s e n tt h ee x p r e s s i o no f t h es o l u t i o nb yt h ec o e f f i - c i e n t so f t h es y s t e m m a c l a u r i n sd i s c o v e r yw a se a r l i e rb u tc r a m e r sr u l ei sc l e a r e ra n dp e r f e c t 3 、m o r er e s e a r c ho ns o l u t i o ns t r u c t u r eo fl i n e a re q u a t i o n ss y s t e ma n dt h e p r o c e s so ft h e f o u n d a t i o no ft h es o l u t i o ns t r u c t u r et h e o r yi si n s p e c t e di ng r e a t d e t a i l m a n ym a t h e m a t i c i a n ss u c ha sb e z o u t ，v a n d e r m o n d e ，c a y l e y ，g r a s s m a n n ，s m i t h a n dd o d g s o nd i ds u c hag r e a tm a s so fw o r kt h a tt h eh es o l u t i o ns t r u c t u r eo fl i n e a r e q u a t i o n ss y s t e mt h e o r yc o m p l e t e dar i p es y s t e mf r o ms c r a p so fi n f o r m a t i o n b e z o u t p r o v e dt h eq u a l i f i c a t i o no ft h eh o m o g e n e o u ss y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n sw h i c hh a d n o n - z e r os o l u t i o nw a st h a ti t sd e t e r m i n a n to ft h ec o e 硒c i e n t se q u a lt oz e r o m a n y i m p l e m e n tc a m ei n t ob e i n g w i t ht h er e s e a r c ho n s o l u t i o ns t r u c t u r eo fl i n e a r 山东大学硕士学位论文 e q u a t i o n ss y s t e m ，s u c h 鹪v a n d e r m o n d e sd e t e r m i n a n t ，c a y l e y sm a t r i x ， g r a s s m a n n sv e c t o r s m i t ha n d d o d g s o nd i dm o r er e s e a r c ho ns o l u t i o ns t r u c t u r eo f l i n e a re q u a t i o n ss y s t e m 4 、t h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o n so fn u m e r i c a lm e t h o do fl i n e a re q u a t i o n s s y s t e ma r ei n s p e c t e d n u m e r i c a lm e t h o d sf o rl i n e a re q u a t i o n si sa na c t i v es u b j e c ti n n u m e r i c a la n a l y s i s ，w h i c ha p p e a rn o to n l yi nt h em a t h e m a t i cm o d e le s t a b l i s h e db y p h y s i c sp h e n o m e n ab u ta l s ot h eo t h e rm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s t h eo r i g i n a lp r o c e s so i t e r a t i v es o l u t i o nm e t h o da r en a r r a t e d k e yw o r d s ：s y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s ；s o l u t i o ns t r u c t u r e ；m a t r i x ； d e t e r m i n a n t ；n u m e r i c a lm e t h o d i i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：当叠日期：丝业：刍歹 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件 和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 山东大学硕士学位论文 曼曼曼皇量曼量曼曼皇曼量璺蔓曼暑皇曼曼曼蔓曼量曼曼璺| 1 1i ii 量量曼曼曼蔓曼曼曼曼量曼曼曼曼量篡 己l 吉 j _嗣 线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分 支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。线性方程组( s y s t e mo fl i n e a r e q u a t i o n s ) ，关于未知量是一次的方程组，这是最简单也是最重要的一类代数 方程组。 线性方程组的求解问题可描述为：对于给定的a c 疗和b c ”，找到 z c ”使得a x = b 。从数学理论的角度讲，线性方程组的求解问题可以简单明 了地用系数矩阵的行列式来表示。 线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作九章算术方程章中己作 了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施 行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的 研究是在1 7 世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性 方程组组成的方程组。麦克劳林在1 8 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未 知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了 这个法则。1 8 世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列 研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。法国 数学家范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创性研究，而且把行列式应用于 解线性方程组。英国数学家凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解。1 9 世纪，英国数学家史密斯( h s m i t h ) 和道奇森( c l d o d g s o n ) 继续研究线性 方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了 拧个未知数聊个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相 同。格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。 目前，对于“线性方程组解结构的历史研究”国内外做的还很少，本文在 前人研究的基础上，以数学史资料为研究实例，以线性方程组求解及解结构发 展的时间顺序为主线，系统梳理了线性方程组理论的历史发展过程。本文分四 部分进行论述： 山东大学硕士学位论文 第一部分讲述是线性方程组的起源：本部分主要陈述了中国古代对线性方 程组的研究。 九章算术在代数方面的成就是具有世界意义的，方程章中解 三元线性方程组所使用的“方程术 是世界上最早的完整的线性方程组解法， “遍乘直除”算法还涉及方程的矩阵表示和消元。刘徽采用“互乘相消”法简 化了线性方程组解，而且在深入研究九章算术方程章的基础上，提出了比 较系统的方程理论。在西方，线性方程组的研究是在1 7 世纪后期由莱布尼茨 开创的，莱布尼茨曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组，给出 线性方程组的系数行列式为零的条件并在求解线性方程组用到行列式。 第二部分论述线性方程组解结构的早期研究。麦克劳林在1 8 世纪上半叶 研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，详细地分析了线性方程组解的 结构，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆在分析齐次线性方程组解结 构时，用分数表示未知量的值，并且有一套确定分子、分母的表达以及符号的 规则，即克莱姆法则。克莱姆的规律更明晰、完美。 第三部分阐述了线性方程组解结构的进一步研究。介绍了贝祖、范德蒙、 凯莱、史密斯、道奇森、格拉斯曼等人对线性方程组求解所作的贡献。线性方 程组的解从零散的知识发展为系统的理论体系，众多的数学家做了大量的工 作。贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了撑元齐次线性方程组有 非零解的条件是系数行列式等于零。范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创 性研究，而且把行列式应用于解线性方程组。凯莱用矩阵表示线性方程组及线 性方程组的解，格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。此外，西尔维斯 特、弗罗贝尼乌斯对矩阵及线性方程组的求解作出了贡献。 第四部分考察了线性方程组数值解法发展及应用。线性方程组的求解是数 值计算领域十分活跃的研究课题，如何建立在计算机上可以实现的有效而实用 的解法，具有极其重要的意义。求解线性方程组a x = b 通常有两大类方法，即 直接法和迭代法。迭代法需要的存储量较小，程序简单，与直接法相比更适用 于某些高阶间题。 大量的文献与著作为本文探讨线性方程组解结构的历史发展提供了前提。 线性方程组解结构发展的历史内容丰富，本文只是做了初步的探讨，由于研究 文献与资料不够全面，限于水平，文中一定会有不足之处，恳请各位专家批评 指正。 2 山东大学硕士学位论文 第1 章线性方程组理论的起源 线性代数是数学的一个古老分支，大约在公元前五世纪，人们在从事贸 易、测量和航海的实践活动中，积累了许多数学知识，逐渐形成了数的概念，产 生了数的运算方法，在处理数量关系时，又提出了解一次联立方程组的间题。 中国古代的数学著作九章算术中“方程术 解三元线性方程组的方法 是世界上最早、最完整的线性方程组解法。其中所述方法实质上相当于现代的 对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。 在西方，线性方程组的研究是在1 7 世纪后期由莱布尼茨开创的。 1 1中国古代对线性方程组的研究 中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程 组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算 法( 中国数学家称之为“术 ) ，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程， 从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归 结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。 中国传统数学在世界数学发展史上的影响是与九章算术息息相关的。 九章算术就其数学成就来说，堪称是世界数学名著，它在代数方面的成就 是具有世界意义的。方程章“方程术”属于代数方面，涉及方程的矩阵表示和 直除法消元。方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。 “方程术”解三元线性方程组的方法是世界上最早、最完整的线性方程组解 法。 1 1 1九章算术成书历史背景及数学成就 九章算术是我国古代流传下来的最早的一部数学著作，成书年代大约 在公元一世纪东汉初年章帝时期，是古代劳动人民和数学家在长期生产斗争中 运用数学知识的结晶。九章算术集先秦至西汉我国数学知识之大成，是我 国现存最早的数学专著，其传本包括九章算术本文、曹魏刘徽注、唐初李 淳风等注释三部分内容。 3 山东大学硕士学位论文 中国传统数学从形成和发展的过程看，对推动中国社会政治、经济的发展 起着基础性的不可替代的作用。九章算术是中国传统数学中最重要的著 作，集中地体现了中国古代数学体系的特征：以筹算为基础，以算法为主，寓 理于算，广泛应用。这些特点是同当时社会的发展情况与学术思想密切相关 的。九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结， 秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产 服务，强调数学的应用性，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及 其解法。宋元时期，农业、手工业、商业相当繁荣，科学技术的发展特别是造 纸与印刷术的发达，加速了数学知识的流传，使得筹算的发展达到高潮。从 九章算术可以看得出，中国数学文化起源于人的实际需要，比如丈量土 地、测量容积等。它以社会生活与生产实际为研究对象，以解决实际问题为目 标，围绕建立算法与提高计算技术而展开，强调由具体算术运算过渡到抽象符 号运算，在分析归纳的基础上得出程序化算法。 九章算术的编纂标志着我国古代数学已经形成比较完整的体系。它包 含有系统的分数四则运算、面积和体积的计算、开平方和开立方的方法、各种 分配比例问题、正负数概念和正负数加减法则、多元一次联立方程的解法以及 一般二次方程( 首项系数非负) 的解法等。内容涉及算术、几何、代数的许多 方面。其中负数和概念的引入、多元一次联立方程的解法以及系统的分数四则 运算等的提出，分别比国外早几百年到一千几百年。这是我国古代数学的杰出 成就。 九章算术是以问题集的形式编写的。它收集了二百四十六个应用数学 问题和各类问题的解法，其中有秦以前流传下来的老问题，也有西汉以后的新 题目，分为方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九 章，故名九章算术。下面简介各卷内容。 卷一“方田 ，3 8 问，主要讲平面图形的计算，包括系统的分数算法。 卷二“粟米”，4 6 问，粮食交换中的比例问题。 卷三“衰分 ，2 0 问，比例算法在分配物资等问题中的应用。 卷四“少广 ，2 4 问，开平方、开立方问题。 卷五“商功”，2 8 问，土木工程中的体积计算。 4 山东大学硕士学位论文 卷六“均输”，2 8 问，主要讲纳税和运输方面的计算问题，实际是比较复 杂的比例算法。 卷七“盈不足 ，2 0 问，算术中盈亏问题的解法。 卷八“方程”，1 8 问，主要讲线性方程组解法，还论及正负数概念及运算 方法。 书中的各类问题都有统一解法，但没有证明。经后人验证，这些解法的绝 大部分是正确的卷九“勾股”，2 4 问，勾股定理的应用。九章算术的数学 成就： ( 1 ) 提出分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则，比欧洲早 1 4 0 0 多年； t ( 2 ) 提出整套的比例理论。西方直到1 5 世纪末以后才形成类似的全套方 法； ( 3 ) 介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世 界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长 期领先世界的基础； ( 4 ) 采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵。解线性方 程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性 方程组解法。在西方，直到1 7 世纪才由莱布尼兹提出提出完整的线性方程的解 法法则： ( 5 ) 引进和使用了负数，并提出了正负数，正负数的加减法则，与现今代 数法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数 学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7 世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。 ( 6 ) 提出了勾股数问题的通解公式。在西方直到3 世纪才取得相近的结 果，比o h 章算术晚了约3 个世纪； ( 7 ) 提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式。 中国传统数学作为一种算法体系在筹算的基础上取得了辉煌的成就，在世 界数学发展史上具有开创性的价值。九章算术作为中国传统数学的典范， 流传至今已达两千余年之久，不仅指导着中国数学的发展，而且早已流传到世 界各地。在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。 5 山东大学硕士学位论文 它的一些代数方面的成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿 拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。 1 1 2 “方程术 解线性方程组 九章算术中的“方程 ，实际是线性方程组。“方程术 解线性方程 组的方法是世界上最早的完整的线性方程组解法。现今矩阵变换中的一些性 质，诸如，对方程组的增广矩阵进行初等变换不改变方程组的解，对矩阵施行 初等变换不改变矩阵的秩等，在方程术及刘徽注中都有其理论依据。 1 1 2 1“方程术”的“遍乘直除”算法 九章算术包括了算术、代数、几何大多数初等数学知识，其中第八章 方程章共计1 8 个题，二元的8 题，三元的6 题，四元、五元的各2 题。方程章 “方程术属于代数方面，涉及方程的矩阵表示和直除法消元每一题都是借助 于算筹进行“遍乘直除”。所谓“遍乘”就是用常数乘某一行中各数；所谓 “直除 就是要消去乙行某未知数系数，使用甲行同一未知数的系数乘乙行所 有的数，然后用甲行一次次对减乙行，直至乙行该系数为零。 下面，以九章算术卷八方程章第一题为例进行说明。 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三 秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中下禾实一秉各几何? 答日：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四 斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。术日：置上禾三秉，中禾二秉，下 禾一秉，实三十九斗，于右方。中，左行列如左方。( 禾即庄稼，秉即捆，实即 粮食。) 如果按照现代的记法，设x 、y 、z 依次为上、中、下等禾每捆打粮食的斗 数，则上述问题就是求解三元一次方程组： 1 3 x + 2 y + z = 3 9 ( 1 ) 2 x + 3 j ，+ z = 3 4 ( 2 ) i x + 2 y + 3 z = 2 6( 3 ) 九章算术“方程术 的“遍乘直除算法为：以右行上禾偏乘( 即遍 乘) 中行，而以直除( 这里“除 是减，“直除 即连续相减) 。又乘其次， 亦以直除。然以中行中禾不尽者，遍乘左行，而以直除。左方下禾不尽者，上 。李文林数学史概论【m 】北京：高等教育出版杜，2 0 0 2 6 山东大学硕士学位论文 量曼詈曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼皇曼曼曼量皇鼍曼曼皇皇皇量曼曼曼曼曼曼曼曼曼1 皇曼皇曼曼曼曼曼詈曼曼量皇量曼曼兰曼曼曼鼍皇蔓鼍曼量詈皇皇! 鲁曼 为法，下为实，实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余 如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾 之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。 前面的方程组根据上述“遍乘直除算法，演算如下： 用( 1 ) 式工系数3 遍乘( 2 ) 式，得6 x + 9 y + 3 z = 1 0 2 从( 4 ) 式“直除( 1 ) 式，也就是( 4 ) - ( 1 ) x 2 ，得砂也= 2 4 同样用( 1 ) 式x 系数3 遍乘( 3 ) 式，得3 x + 6 y + 9 2 = 7 8 从( 6 ) 式“直除”( 1 ) 式，也就是( 6 ) ( 1 ) ，得4 y + 8 z = 3 9 同样用( 5 ) 式y 系数5 遍乘( 7 ) 式，得2 吵+ 4 0 z = 1 9 5 从( 8 ) 式“直除”( 5 ) 式，也就是( 8 ) 一( 5 ) 4 ，得3 6 z = 9 9 用9 约( 9 ) 式两端，得钇= ll ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) _ ( 9 ) ( 1 0 ) 求x 和y ，还是用“遍乘直除”的方法。 用( 1 0 ) 式z 的系数4 遍乘( 5 ) 式，得2 0 y + 4 z = 9 6 ， 直除0 0 ) 式，得2 0 y = 8 5 ，用5 约两端，得4 y = 1 7( 1 1 ) 用( 1 0 ) 式z 的系数4 遍乘( 1 ) 式，得1 h + b y + 4 z = 1 5 6 ， 直除( 1 0 ) 式，得1 h + 8 y = 1 4 5 ， 再直除( 11 ) 式，得1 厶= 11 1 ，用3 约两端，得4 x = 3 7 ( 1 2 ) 最后由( 1 0 ) 、( 1 1 ) 、( 1 2 ) 式计算得x = 9 1 4 ，y = 4 三一，z = 等。 由此可见，九章算术方程术的“遍乘直除 算法，实质上就是现在解 线性方程组所使用的消元法，消元法在西方被称为“高斯消元法 ，“遍乘直 除”算法的原理与消元法一致，只是比较繁琐，它是世界上最早的完整的线性 方程组解法。九章算术的“方程术”被称为中国数学史上的一颗明珠。 1 1 2 2“遍乘直除 的筹算过程即为矩阵的初等变换 古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为 1 3 1 4 c m ，径粗0 2 , - - - , 0 3e m ，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属 等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携 带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆 7 山东大学硕士学位论文 弄。据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年( 公元前7 2 2 年公元前 2 2 1 年) ，一直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。 在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1 5 均分 别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6 - 9 则以上面的算筹再加下面相应的 算筹来表示，如图1 1 所示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位 用纵式，千位用横式，这样从右到左，纵横相间，遇零则置空。以此类 推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。毫无疑问，这样一种算筹记数法 和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。中国古代十进位制的算筹记数法 在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比 较，其优越性是显而易见的。- 九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将x 、y 、z 的系数和常 数项排列成一个方阵。方阵中各数用筹码按位值制表示，每行白上而下，各行 自右向左，依术列筹式如图1 2 ( a ) 所示，它相当于三元一次方程组。 8 左中 毒 行行 行 io 川 川 i l = 1 -= 1 1 1 i 兰丽 左中右 行 行 行 i | loi i i t| l i i il i 丽li 占1 l i = 1 1 1 i 三w b cd f 图卜2 w 占一。 可_。 丌上， t 上o 詈； h 图 至。 三3 一： i 一。 右行卦 中行t剐 左行i t = 右行i i 部 中行。川。钏 左行o o 盯卵 右行i i 卸中行。川i钏 左行。面鄞酬 右行i i 硼 中行。川刮荐。帮l需 山东大学硕士学位论文 然后移动算筹，逐步进行筹算。在本例中演算程序如下：用1 2 ( a ) 右行 上禾( 力的系数3 “遍乘 中行各数，然后从所得结果按行分别“直除 右行， 即连续减去右行对应各数，得到图1 - 2 ( b 、c ) ；用图1 2 ( a ) 右行上禾( z ) 的系 数3 “遍乘 左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，得到图l - 2 ( d 、e ) ，此时将中行与左行的系数化为o 。以图1 2 ( e ) 中行中禾( y ) 的系 数5 “遍乘 左行各数，然后从所得结果“直除”中行，又得到图1 2 ( f 、 g ) ，最后就可以解出方程。 按刘徽注：“列此，以下禾之秉数乘两行，以直除，则下禾之位去矣。各 以其余一位之秉除其下实，即斗数矣 。按此注，遍乘直除的过程如图1 3 。 以图l 一2 ( g ) 左行约分，得图1 3 ( h ) ；以该图( z ) 的系数4 遍乘两行， 得图1 3 ( i ) ，以5 直除中行，得图1 3 ( j ) ，重复“遍乘直除”“遍约”程 序，最后得到图1 3 ( k 、1 ) 。 荐 0 0 叫 一l 由 行 o l i i l = 1 1 1 i h 右 行 i l l l 暑邢 k 将算筹换作阿拉伯数码，上述“遍乘直除的变换如下： o 董可荣矩阵理论的历史研究山东大学 硕士论文 2 0 0 7 6 9 右行训m副中行。幻。圳 左行o 0 叫 右行训w洲董 中行。弧打 左行o 0 雌叫 右行刈o酬 中行0o可 左行o o 叫 山东大学硕士学位论文 l2 23 3l 2 63 4 45 8l 3 92 4 2 0 44 1 19 6 一l 三兰三 一 2 5 0 三 1 25 31 2 62 4 5 3 6l 9 92 4 4 4 1l1 7 3 65 91 7 82 4 5 4l l l2 4 4 4 1 11 7 很清楚，“遍乘直除 法是把此“方程 前三行转化成只有反对角线上有 非零元，从而求得解答。 如果将方程组系数的方阵横着写，就是现行教材中线性方程组系数的增广 矩阵，筹算过程就是现行矩阵的行初等变换。然而由于当时筹算过程的程式化 与机械化，需要多次反复的演算，使得筹算过程相当繁琐，并且又由于受到直 除是以少行减多行的限制，常常使变换无法施行。但正是基于这种程序化的演 算，才出现了小数“直除 大数的情形，从而促进了负数的产生和正负数加减 法法则的形成，随之变换过程得以施行且越来越简捷。 1 1 3刘微对线性方程组的研究 1 1 3 1 刘徽的“互乘相消”法 刘徽是中国古代最伟大的数学家之一。他是三国时代魏国人，籍贯山东， 生卒年不详，约死于西晋初年。刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数 学家。刘徽在童年时代学习数学时，是以九章算术为主要读本的，成年后 又对该书深入研究，于公元2 6 3 年左右写成九章算术注。刘徽自序说： “徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源探赜之暇，遂 悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。 刘徽在研究九章算术的 基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并 提出一些卓越的新理论、新思想。九章算术注是刘徽留给后世的十分珍贵 i 0 3 2 ，” ，3 2 ，纷 4 竹 r 2 。”，n 2 。剪， 屹8 1 呈 3 2 。扣 3 2 。剪 坦8 4 段 山东大学硕士学位论文 曼皇! 曼曼曼鼍曼曼量曼量曼曼蔓曼皇曼皇鼍曼曼曼曼曼曼曼曼鼍皇量皇皇! 曼寡皇曼曼曼皇! 曼曼曼皇曼皇曼曼曼曼皇i ii , , 皇量皇曼曼詈皇曼皇曼曼曼曼 的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作。此外，刘徽还著有重 差一卷，专讲测量问题。 九章算术方程章的“方程术 ，是关于线性方程组解法的重要成就。 这种方法是用直除法消元，直到每行只剩下一个未知数，即可求得方程的解。 但是这种方法比较繁琐，刘徽认为“举率以相减，不害余数之课。，于是创 立新术。 刘徽对方程组有很深刻的认识，明确提出当时所说的“方程”应当“令每 行为率，二行者再程，三物者三程，皆如物数程之，即对于线性方程组有几 个未知数要列几个方程。这个问题到近代才清楚。此外，刘徽在研究线性方程 组解法方面也有很大贡献。， 例如方程章第七题：“今有牛五、羊二，直( 值) 金十两。牛二、羊五， 直金八两。问牛、羊各直金几何。 用现代表示法：设x 、y 分别代表每一牛、羊值金数则按题意，得 1 5 x + 2 y = 1o ， ( 1 ) 【2 x + 5 y = 8 ，( 2 ) 按照九章算术的“遍乘直除法，令( 2 ) x 5 得 l o x + 2 5 y = 4 0 ( 3 ) 然后由( 3 ) 两次减去( 1 ) ，即可消去x 项。 刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了“互乘相消 法，即 采取相应各行系数互乘后再消元的方法。刘徽是这样解的： ( 1 ) 2 ，( 2 ) 5 ，得 il o x + 4 y = 2 0 ，( 3 ) l l o x + 2 5 y = 4 0 ，( 4 ) ( 4 ) 一( 3 ) ，得2 1 y = 2 0 显然，刘徽的“互乘相消 法已和现在所用的线性方程组加减消元法一 致，不过那时用的是筹算。刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推 大，虽四、五行不异也。”他还进一步指出，“相消时要看两方程首项系数 的同异，同则相减，异则相加。刘徽的工作，大大简化了线性方程组解法。 回九章算术方程章钱宝琮校点本算经十书( 上册) 【m 】中华书局，1 9 6 3 山东大学硕士学位论文 1 1 3 2 刘徽的“配分比例 法 九章算术方程章中的第九题为“今有五雀六燕集称之衡，雀俱重，燕 俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕雀重一斤，问雀燕一枚各重几何 。 这个问题不论用遍乘直除法或互乘对减法求解，过程都比较繁杂，于是刘 徽写了一篇方程新术的论文，附于该题的解法后。他的这一方法的中心思 想是先消去常数项，再消去其他项，求得只含有两未知数的方程然后就用比 例表示出来这时只要求出一个未知数的解，用分术即可立即求出各未知量的 值 刘徽在注中指出：“此四雀一燕与一雀五燕，其重等，是三雀四燕重相 当，雀率重四，燕率重三也。 因此，本题可以用比例分配( 衰分法) 来解。 1 1 3 3 刘徽对线性方程组的研究 刘徽在深入研究九章算术方程章的基础上，提出了比较系统的方程理 论。 刘徽为“方程的定义注：“程”，课程也。群物总杂，各列有数，总言 其实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故 谓之方程。“程，课程也 ，是说“程即是“课 。按“课”的本义是试 验、考核。意思是说在试验考核的意义上，把问题在算板上模式化成筹式。 “群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。 是说表示群物的数都有实 际的依据，将各数按实际意义排列成行，把列出的行看作是一组率，可以成比 例变化。“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方 程。是说“程”的次数应该与“物 数相同，有几物便有几行，行列对齐， 在算板上用筹码布列成“方阵”，即是“方程 名称的来源。 由此看来，刘徽定义的“方程 相当于现在的方程组。刘徽认为：有两个 所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程。程的个数必须与所求 物的个数一致。诸程并列，恰成一方形，所以叫方程。这里的“物 ，实质上 是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念。 刘徽除了为“方程”定义外，还有对方程组有唯一解的定论。“行之左右 无所同存，且为有所据而言耳 。若译成现代数学语言，即：方程个数必须与 。李继闵九章算术导读与译 m 西安：陕西科学技术出版社，1 9 9 8 2 7 4 1 2 山东大学硕士学位论文 未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例，每行中的数据都有 实际依据。这就保证了“方程 有唯一解，从而数据与实际问题相符。若“方 程”中有两行相同或成比例，那么系数矩阵的秩就小于增广矩阵的秩，不可能 出现唯一解。这和现行教材中线性方程组解的理论是一致的。 刘徽指出：遍乘就是“齐 ，即同组各率扩大或缩小相同倍数，“其义然 矣”。“举率以相减，不害余数之课也”。是说，直除是对应的率相减，故由 余数组成的新行代替旧行不会改变方程的鲤，从而保证了方程解的存在性。高 斯消去法解线性方程组的理论根据，即线性方程组施行初等变换不改变方程组 的解与刘徽注是一致的。 刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不 唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率 以言之”。 对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项 成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无 伤 ，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之 课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解。很明显，刘徽对于线性方程 组的初等变换，已经基本掌握了。不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因 为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便 的。 1 2 莱布尼茨对线性方程组的研究 在西方，线性方程组的研究是在1 7 世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研 究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。 莱布尼兹( g o t t f r i e n dw i l h e l mv o nl e i b n i z ，1 6 4 6 1 7 1 6 ) ，德国最重要的 自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天 才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学 知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 1 2 1 给出线性方程组系数行列式 莱布尼兹在1 6 9 3 年4 月致洛必达的一封信里，详细地向洛必达说明用数 字代替字母的好处：一是可以通用，二是用起来很方便，三是数字本身具有一 1 3 山东大学硕士学1 立论文 定的自我分析能力。他解释到：如果我们不把2 3 看作是一般的数，那么在这 个前提下，允许使用2 3 就象使用a 或b 那样，即2 3 并不代表6 ，而是表示 a b ；2 3 并不代表6 ，而是表示a b 。 当问题被表现为要从方程组： 口+ 奴+ 锣= d ，d + e x + f y = 0 ，g + 融+ 砂= d 中消去x 和y 时，莱布尼兹用1 0 代替口，用1 1 替代b 等等。 莱布尼兹引进方程： l o + 11 x + 1 2 y = 0 ，( 1 ) 2 0 + 2 1 x + 2 2 y = 0 ， ( 2 ) 3 0 + 3 l x + 3 2 y = o ， ( 3 ) 莱布尼兹指出在两个“虚构”的数字中，前一个告诉我们此数所属的方 程，后一个即第二个代表此数所属的字母，即就是所属的未知量。这样，在进 行计算时，就充分体现出这样表示的优越性，它不仅能便于我们检验核查，而 且能够使我们意识到某些规则、定理。例如，从第一、第二个方程中消去y ， 得 1 0 2 2 + l 卜2 2 x ：0( 4 ) 1 2 2 0 - 1 2 2 1 从第一、第三个方程中消去y ，得到 1 0 3 2 + 1l 3 2 x ：0( 5 ) 1 2 3 0 1 2 3 l 其实，方程( 5 ) 是容易得到的，只要把方程( 4 ) 中前面一个数字2 换成3 ， 其它不变便可得到方程( 5 ) 。从第四、第五个方程中消去x ，得到： l o 2 l 3 2l o 2 2 。3 l l l 2 2 3 0 =l l 2 0 3 2 ( 6 ) 1 2 2 0 3 l 1 2 2 l 。3 0 这就是从方程组中消去未知量x 和y 的最终结果。 ( 6 ) 式等价于： 。缪d 尔指e s m 出i t 这h 是a + i u s o u r c e 2 呈o o k i n m a t h e m m a t i c s n 习e 帆wy o r k ：d o v 训嘶2 2 9 观 一1 2 2 0 1 2 2 1 x = 0 i