（基础数学专业论文）关于n半开集及n前开集的研究.pdf

摘要 于两要 a h m a da l o m a r i 和m o h d s a l m im d n o o r a n i 在开集的基础上定 义了肛开集，并且研究了m 开集的一些性质本文在上述定义的基础 上引入了矿半开集和肛前开集的概念并且研究了肛半开集和肛前 开集的性质，同时用这两个弱开集研究了一些映射的性质具体来说， 在第一章里，我们介绍肛半开集和肛前开集产生的背景、研究发 展概况，同时介绍了后面各部分要用到的一些主要定义、定理和有关的 记号 在第二章里，我们给出了肛半开集的定义，讨论了舻半开集的性 质，并且用肛半开集研究了一些映射的性质，同时也利用肛半开集 定义了一些新映射，研究了这些新映射的性质 在第三章里，我们给出了舻前开集的定义，讨论了肛前开集的性 质，并且用肛前开集研究了一些映射的性质，同时也利用舻前开集 定义了一些新映射，研究了这些新映射的性质 关键词：肛半开集；肛前开集；舻半连续映射；舻前连续映 射；* 连续映射；p r e i r r e s o l u t e 一映射 1 u a b s t r a c t a h m a da 1 一o m a r ia n dm o h ds a l m im d n o o r a n id e f t n e d 肛o d e n s e ta n ds t u d i e ds o m ep r o p e r t i e so fn - o p e ns e t i no u r p a p e r ，w e d e f i n ea f - s e m i o p e ns e ta n d a f - p r e o p e ns e ta n ds t u d yt h ep r o p e r t i e s o ia 一s e m i o p e ns e ta n d j v - p r e o p e ns e t a tt h es a m et i m e ，w es t u d v t h ep r o p e r t i e so fs o m e m a p p i n g st h a td e f i n e do na f - s e m i o p e ns e ta n d w - p r e o p e ns e t m o r ep r e c i s e l y , i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c en e c e s s a r ys y m b o l sa n dp r e l i m i n a r i e s w h i c ha r eu s e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：a f - s e m i o p e ns e t ；a f - p r e o p e ns e t ；n - 8 e m i c o n t i n u o u s m a p p i n g ；j v - p r e c o n t i n u o u sm a p p i n g ；6 k c o n t i n u o u s m a p p i n g ；p r e i r r e s o l u t e - m a p p i n g 1 v y d d e 小 n乱酶 n 增 1 l u a 丫 l r 1 r 哪 mm 珊 们 r 1渤缸n 汔卧眦 硝 s 唧 沁 啪 言 盯 螂 雎锄沁印 m m 。 剐 剑 n h p 玎哪悦 n p v叭z h v ，v j 耐叫 t1妣甜 d 叮耐胡斌戥h 田 梦阳唱 郇g e p 阳 巾 妒印 脚一 炝 硝m t j s羹“ e 0 h m u e 垤哪 n 骶舻 r s 纠泐慨喊 印叭 叽 茹 n p 玎 i e 唯 h ， 名脚 第一章前言 1 1引言 1 9 6 3 年，n l e v i n e 【l 】定义了拓扑空间中的半开集概念从此，很多学者 以半开集为中心进行研究，提出了很多关于弱开集的概念，如q 一开集， 前开集，半开集等等许多学者研究了这些弱开集之间的关系和它们具有 不同于开集的性质，研究了一般拓扑学中开集的新性质，得到很多结论 1 9 7 2 年，s g c r o s s e l y 和s k h i l d e b r a n d 在前人研究的基础上，提出半拓扑概 念，得到很多很好的半拓扑性质2 0 0 0 年，a h m a da 1 一o m a r i 和m o h d ，s a l m i m d n o o r a n i 在开集的基础上定义了肛开集，研究了肛开集的性质，利用m 开集研究了强紧空间的一些性质1 9 6 1 年，n l e v i n e 【1 4 】引入了比连续映射要弱 的w + 连续映射和弱连续映射后来很多学者用弱开集定义了比连续映射要弱 的映射，如q 一连续映射，半连续映射，前连续映射等等并且研究了这些映射性 质，得到很多结果本文在a h m a da l - o m a r i 等人研究的基础上，引入了肛半 开集和m 前开集的定义，并研究了这两个弱开集的性质以这两个弱开集为 工具，我们定义了比连续映射要弱的映射，如肛半连续映射，m 前连续映 射，如一连续映射，p r e i r r e s o l u t e 一映射等，并且研究了这些映射的关系及性质 我们也利用舻半开集和m 前开集研究了半紧空间和前紧空间的一些等价性质 根据以上综述和研究内容，全文分为三章，具体安排如下： 第一章引言主要介绍舻半开集和舻前开集产生的背景及本文用到的符 号、定义、定理 第二章肛半开集我们给出了舻半开集的定义，研究了从半开集的性 质，并利用肛半开集刻画一些映射的性质，同时也利用舻半开集定义了一些 新映射并研究了这些新映射的性质 第三章从前开集我们给出了肛前开集的定义，研究了从前开集的性 质，并利用矿前开集刻画一些映射的性质，同时也利用肛前开集定义了一些 新映射并研究了这些新映射的性质 1 第一章前言 1 2 预备知识 本文中( x ，7 ) 除非另加说明，均指没有分离性的拓扑为丁的拓扑空间，一般 简记作x ，x 上的所有开集构成的集族记作o ( x ) ，x 的一个子集a ，其闭包 记作c i x ( a ) ，内部记作i n t x ( a ) 下面，我们给出本文所用到的主要定义、引理 定义1 2 1 1 】设a 是x 中的子集，如果有a c l x ( i n t x ( a ) ) ，称a 为x 中 的半开集x 中的所有半开集构成的集族记作s o ( x ) x 中的半开集的补集称 为半闭集，x 中的所有半闭集构成的集族记作s c ( x ) 定义1 2 2 2 设a 是x 中的子集，如果有a ，n 奴( c f x ( ，n x ( a ) ) ) ， 称a 为x 中的口开集x 中的所有o l 一开集构成的集族记作q d ( x ) 定义1 2 3 【1 3 】设a 是x 中的子集，如果有a i n t x ( c l x ( a ) ) ，称a 是x 中 的前开集x 中的所有前开集构成的集族记作p o ( x ) x 中的前开集的补集称 为前闭集，x 中的所有前闭集构成的集族记作p c ( x ) 定义1 2 4 2 】如果拓扑空间x 中的任意开集u 都有c l ( u ) 是x 中的开集， 称x 为极不连通空间 引理1 2 5 2 】拓扑空间( x ，7 ) 是极不连通空间的充分必要条件是s o ( x ) 是x 上的一个拓扑 引理1 2 6 2 】x 是一个拓扑空间设a q 0 ( x ) ，b s o ( x ) ，则anb s o ( x ) 引理1 2 7 3 拓扑空间x 是丑一空间的充分必要条件是x 中的每一个有限 集是x 中的闭集 引理1 2 8 4 】设a ，x o 是拓扑空间x 的两个子集，如果x o s o ( x ) ，a s o ( x o ) ，则a s o ( x ) 定义1 2 9 6 】设是拓扑空间x 的子集族，如果u a a = x ， 称是x 的一个覆盖，如果x 的覆盖中每一个元素都是开( 闭，半 开，前开) 集，则称为x 的开( 闭，半开，前开) 覆盖如果覆盖只 包含有限个元素时，称是x 的有限覆盖如果，历是x 的两个覆盖且 2 第一章 前言 有留，则称覆盖留是覆盖的子覆盖 定义1 2 1 0 【5 】如果拓扑空间x 的每一个半开覆盖存在有限子覆盖，称x 为 半紧空间如果a 的每一个由x 中的半开集构成的覆盖都存在有限子覆盖， 称a 是相对于x 半紧的 定义1 2 1 1 ( 2 1 1 1 ) 如果拓扑空间x 的每一个前开覆盖存在有限子覆盖， 称x 为强紧空间如果a 的每一个由x 中的前开集构成的覆盖都存在有限子覆 盖，称a 是相对于x 强紧的 定义1 2 1 2 设a 是拓扑空间x 的一个子集x 中的所有包含a 的半闭集的 交集称为a 的半闭包，记作s c l x ( a ) x 中的所有包含于a 的半开集的并集称 为a 的半内部，记作s i n t x ( a ) 引理1 2 1 3 【6 】设映射厂：x _ y 为连续开映射设a s o ( x ) ，则f ( a ) s o ( y ) 定义1 2 1 4 【1 】设映射厂：x _ y ，如果对于y 中的每一个开集y 都 有，一1 ( y ) 是x 中的半开集，则称，为半连续映射 定义1 2 1 5 如果拓扑空间x 的每一个稠密子集都是x 中的开集，称x 为 次极大拓扑空间 引理1 2 1 6 1 8 1 设x 是一个拓扑空间，下面的条件等价： ( 1 ) x 是次极大拓扑空间( 2 ) x 中的每一个前开集是开集 引理1 2 1 7 【9 】拓扑空间x 中的o z 开集与前开集的交集是前开集 引理1 2 1 8 【l o 】设a 和是拓扑空间x 的子集，则： ( 1 ) 如果a p o ( x ) ，x o s o ( x ) ，则a n x o p o ( x o ) ( 2 ) 如果a p o ( x o ) ，x o p o ( x ) ，则a p o ( x ) 定义1 2 1 9 1 2 】设映射，：x y ，如果对y 中的每一个半开集y 都 有f - 1 ( y ) 是x 中的半开集，则称厂为i r r e s o l u t e - 映射设映射，：x y ，如果对y 中的每一个前开集y 都有y - 1 ( y ) 是x 中的前开集，则 称厂为p r e i r r e s o l u t e 映射 3 第二章肛半开集 在这一章中，第一：节我们给出肛半开集的定义并且讨论了m 半开集的一些 性质，利用肛半开集给出半紧空间的一些等价条件第二节我们用m 半开集研 究了一些映射的性质 2 1 肛半开集的性质 定义2 1 1 设a 是拓扑空间x 中的子集如果对于任意点z a ，存在x 中 的包含点z 的一个半开集观，使得巩a 是有限集，则称a 是x 的m 半开 集x 中的肛半开集的补集称为舻半闭集x 中的所有舻半开集构成的集族 记作h s o ( x ) ；相应的，x 中的所有肛半闭集构成的集族记作n s c ( x ) 根据以上定义，对于x 中的一个子集a ，有下面的关系成立： 开集 上 肛开集 半开集 肛半开集 下面的例子表明肛开集和半开集的关系 例2 1 2 设x = a ，b ，c ) ，拓扑定义为7 - = ( 仍，x ，【n ) 则 h i 是一个m 开 集，因为存在包含b 的开集x ，使得x h i 是有限集，但 h i 不是半开集 设r 是具有自然拓扑的实数集，设a = ( 0 ，1 】，因为a c k ( ，佗r ( a ) ) ，所 以a 是半开集，但a 不是从开集 定理2 1 3 设x 是一个拓扑空间则x 中的每一个肛半开集族的并是舻半 开集 证明： 设 以：a 人) 是x 的一个m 半开集族设任意z u a a 玖，则 存在a o a 使得z 以。因为玖。是x 的一个从半开集，故存在x 中的 包含z 的半开集y 使得y 以。是有限集又因为y u a 队y 以。， 4 第二章肛半开集 故y u a a 叭是有限集因此u a a 巩人r s o ( x ) 定理2 1 4 设x 是一个极不连通空间，则( x ，人f s o ( x ) ) 是一个拓扑空间 证明： 显然，乃，x 人r s o ( x ) 设以v 人f s o ( x ) 并且z unv 则存在包含z 的半开集g ，h x ，使 得g u 和日y 是有限集另一方面我们有( g nh ) ( uny ) = ( gnh ) n ( ( x v ) u ( x v ) ) ( g n ( x u ) ) u ( 日n ( x y ) ) = ( g u ) u ( h y ) 因 此( g u ) u ( h v ) 是有限集因为x 是极不连通的，由引理1 2 5 得g r h 是 半开集，这就得到unv h s o ( x ) 设 以：a 人) 是x 中任意m 半开集族，由定理2 1 3 得u a 人以是肛半 开集 综上我们证明了( x ，人r s o ( x ) ) 是一个拓扑空间 定理2 1 5 设x 是一个拓扑空间，则x 中的开集和肛半开集的交集 是m 半开集 证明：设u 是一个q 开集，a 是一个m 半开集则对于任意z a ， 存在x 中的一个包含z 的半开集k 使得k 4 是有限集由引理1 2 6 ， 得到unk 是半开集现在对任意z una ，存在x 中一个包含z 的 半开集unk 并且( unk ) ( una ) = ( unk ) n 【( x u ) u ( x a ) 】= ( u nk ) n ( x u ) 】u 【( unk ) n ( x a ) 】= ( n k ) a 因为k a 是有限集，因此( unk ) ( u na ) 是有限集，这就得到una 是 一个m 半开集 定理2 1 6 设空间x 是正一空间，则x 中的任意非空肛半开集包含一个非 空半开集 证明：设a 是x 中的非空肛半开集且z a ，则存在一个包含z 的 半开集使得a 是有限集设c = 以a = 玩n ( x a ) ， 则。以c a ，由引理1 2 7 我们得到x c 在x 中是开集，当然也 是q 一开集，由引理1 2 6 我们得到睨c = 巩n ( x c ) 是半开集- 日非空这 就证明了定理 下面的例子说明，如果x 不是矸。空间，那么存在一个非空肛半开集其不 5 第二章肛半开集 包含任意非空半开集 例2 1 7 设x = o ，b ，c ) ，x 上拓扑定义为7 - = 仍，x ， o ) ，d ) ， o ) ， 6 ) 】 则 c ) 是一个m 半开集，因为存在一个半开集x 使得x c ) 是有限集但 是 c ) 不包含任意非空半开集 定理2 1 8x 中的子集a 是舻半开集的充分必要条件是对任意z a ，存 在一个包含z 的半开集和一个有限集c 使得玩c a 证明：必要性设a 是肛半开集，z a ，则存在一个包含z 的半开 集使得巩a 是有限集设c = a ，则c a 且c 是有限集 充分性设z a ，根据条件存在一个包含z 的半开集以和一个有限集c 使 得c a 因此巩a c 而c 是有限集，这就得到巩a 是一个有限 集，所以a 是肛半开集 定理2 1 9 设x 是一个拓扑空间，f x 如果f 是舻半闭集，则存在半 闭子集k 和有限集c 使得f ku c 证明：设f 是x 中的肛半闭集，则x f 是肛半开集，因此对任 意z x f ，由定理2 1 8 ，存在一个包含z 的半开集和一个有限集c 使 得u c x f 这时f x ( u e ) = x ( un ( x c ) ) = ( x u ) u c 设k = x u ，则k 是半闭集且有f kuc 这就证明了定理 定理2 1 1 0 设4 和是x 的子集如果a n s o ( x ) 且x o 0 ( x ) ， 则anx o 厂s o ( x 0 1 证明：设z anx o 因为a 是x 的肛半开集，所以存在一个包 含z 的半开集日使得日a 是有限集由于) c o 0 ( x ) ，所以有x o q o ( x ) 由引理1 2 6 得到日n s o ( x ) ，则存在一个开集0 o ( x ) 使 得0c hnx o c k ( d ) 又0 x o d ( x ) ，我们有0 0 ( x o ) 因 此日nx o s o ( x o ) ，z hnx o 并且( 日n 弱) ( an ) 是有限集这就证 明了anx o a r s o ( x o ) 定理2 1 1 1 设a 和是x 的子集如果a a r s o ( x o ) 且x o s o ( x ) ， 则a n s o ( x ) 6 第二章m 半开集 证明： 如果a n s o ( x o ) ，则对任意z a 存在包含z 的半开集圪 s o ( x o ) 使得圪a 是有限集因为k s o ( x o ) ，) c o s o ( x ) ，由引理1 2 8 得 到k s o ( x ) 且k a 是有限集因此a ，v s o ( x ) 下面研究用m 半开集刻画半紧空间的性质 定理2 1 1 2 设x 是一个拓扑空间如果x 的任意半开子集是相对于x 半紧 的，则x 的任意子集是相对于x 半紧的 证明： 设a 是x 的任意子集， ：q 人) 是x 的半开覆盖，则 ： o z 人】- 是半开集u q a 的半开覆盖根据条件，存在人的有限子集a 0 使 得u 口a 以gu 胚 。，而 ：p a o 也是a 的由x 中的半开集构成的覆盖 这就证明了a 是相对于x 是半紧的 定理2 1 1 3 设x 是一个空间x 的子集a 相对于x 半紧的充分必要条件 是对a 的由x 中的肛半开集构成的任意覆盖 k ：q 人) ，存在人的一个有 限子集a o 使得a u _ 坛：q a o 】 证明： 必要性设 k ：o a ) 是a 的一个覆盖且k z s o ( x ) 对 任意z a ，存在e ( x ) a 使得z k ( z ) 因为坛( z ) 是m 半开集，则存在一 个包含z 的半开集( z ) 使得( 茁) k ( 曲是有限集我们得到a 的一个半开 覆盖 ( 霉) ：z a ) 因为a 相对于x 半紧，存在一个有限子集，不妨假设 为 z l ，x 2 ，x n ) 使得a u ( 瓤) ：i f ) ，这里f = 1 ，2 ，n ) 现在我们 有a u i e f 玩( 甄) = u f ( ( ( 戤) k ( 戤) ) u k ( ) ) = u 诞f ( 睨( ) k ( 戤) ) u u i e f k ( z 。) 对每一个x i ，玩( 引坛( z 。) 是一个有限集，因此存在人的一个有限子集a ( x i ) 使 得( 巩( z ；) y o ( 砌) na u k ：a 人( 眈) ) 这样我们有asu i f ( u ( k ：o l 人( 戤) ) uu i e f k ( 观) ，设a o = u f 【人( 戤) u q ( 翰) ) ) ，则人。是有限的因此得 至0a 坛：q a o 充分性设 圪：a a 是a 的由x 中的半开集构成的覆盖，因 为每一个半开集是m 半开集，根据条件，存在人的一个有限子集人。使 得a u ( k ：o 人0 ) 这就证明了a 相对于x 半紧 推论2 1 1 4 对任意拓扑空间x ，下面的条件是等价的： ( a ) x 是半紧的； 7 第二章肛半开集 ( b ) x 的任意m 半开覆盖存在一个有限子覆盖 定理2 1 1 5 对任意拓扑空间x ，下面的条件是等价的： ( a ) x 是半紧的； ( b ) x 的任意m 半闭真子集是相对于x 是半紧的 证明： ( a ) 净( b ) 设a 是x 的一个肛半闭真子集， ：o l 人) 是a 的 由x 中的半开集构成的一个覆盖对每一个z x a ，存在一个包含z 的半开 集圪使得圪( x a ) = 圪n a 是有限集这样我们得到x 的一个半开覆盖 ： q 人) u k ：x x a ) ，又x 是半紧的，所以存在a 的有限子集a 1 和x a 的 有限子集f = x l ，x 2 ，x n ) 使得x = u 玩：q a 1 ) uu k ；：x i f ) 因 此a u ：q a 1 ) u u a n k ；：x i f 由于对每一个x i 来说a n v 。是有限 集，所以存在人的一个有限子集人2 使得u ank ；：兢f - u ：q 人2 ) 这样我们得到a u ：q 人1ua 2 ) ，这就证明了a 相对于x 是半紧的 ( b ) = 争( a ) 设 k ：q a ) 是x 的一个半开覆盖我们选择并固定乜o a ， 则u 圪：q 人 q o ) ) 是肛半闭集x k 。的半开覆盖根据条件，存 在a o o ) 的一个有限子集人。使得x 坛。u ( k ：q h o 因此x = u ： q a ou q o ) ) 这就证明了x 是半紧的 推论2 1 1 6 设x 是一个半紧拓扑空间，4 是半闭子集，则a 相对于x 是 半紧的 定理2 1 1 7 设( x ，7 - ) 是一个极不连通的拓扑空间则( k7 - ) 是半紧空间的充 分必要条件是( x ，人f s o ( x ) ) 是紧空间 证明：必要性 设 ：o a ) 是( x ，j c s o ( x ) ) 的一个开覆盖对 每一个z x 存在a ( z ) 人使得z k ( z ) 因为k ( $ ) 是肛半开集， 则存在x 的一个半开集以( z ) 使得z 巩( z ) 且( z ) k ( 是有限集，这 样 魄( z ) ：z x 是( 义，7 ) 的一个半开覆盖，根据条件( x ，7 - ) 是半紧的，则 存在x 的一个有限集f = z 1 ，x 2 ，x n ) 使得x = u 【( z 。) ：甄f 这样我 们有x = u 甄f ( 魄( 吼) 坛( 姚) ) uk ( 烈) = u 飘f ( ( ) 圪( 规) ) uu 戤f 坛( 瓤) 又 对每一个如，玩( 鳓) k ( 戤) 是有限集，所以存在人的一个有限子集a ( x i ) 使 得( 叫圪( z 。) u 坛：q a ( 如) 】因此我们得到x = u z 。f ( u ( 圪：q 8 第二章m 半开集 人( 鼢) ) ) uu 戤f k ( 吼) 这就证明了( x ，j c s o ( x ) ) 是紧空间 充分性设“是( x ，7 ) 的一个半开覆盖，则“a l s o ( x ) 因为( x ，s o ( x ) ) 是紧空间，所以x 的覆盖“存在有限子覆盖，因此( x ，7 - ) 是半紧空间 2 2 肛半开集刻画的映射的性质 在这一节中，我们研究用肛半开集刻画的肛半连续映射，并且利用舻半开 集刻画了其他一些映射的性质 定义2 2 1 设映射，：x _ y ，如果对y 中的每一个开集y 都有s - , ( y ) 是x 中 的m 半开集，则称厂为舻半连续映射 从上面的定义可以看到，半连续映射是肛半连续映射在【1 】中我们知道连 续性映射是半连续性映射，因此连续性映射是肛半连续性映射但是，下面的 例子说明m 半连续性映射不一定是半连续性映射 例2 2 2 设x = o ，b ，c ，d 】，上面定义的两个拓扑分别为：7 = o ，x ， 口】- ， 6 ) ， o ，6 ) ， o ，b ，c 】) 、盯= 0 ，x ， d ) ) 设，：( x ，7 一) _ ( x ，盯) 是恒同映射则厂是一 个肛半连续映射但不是半连续映射这是因为存在( d ) 盯使得i - , ( d ) ) = d ) 甓s o ( x ，7 ) 定理2 2 3 映射，：x _ y 是m 半连续映射的充分必要条件是对任 意z x 和y 中的每一个包含f ( z ) 的开集y ，存在x 中的一个m 半开 集u 使得z u 且f ( u ) v 证明：必要性设x x 且y 是y 中的一个包含t 厂( z ) 的开集因 为，是肛半连续映射，所以x 厂1 ( y ) s d ( x ) 设u = 1 - 1 ( y ) ， 则z u 且y ( u ) v 这就证明了必要性 充分性设y 是y 中的开集且z 厂_ 1 ( y ) ，则厂( z ) v 囚此存在 一个集合巩鹏o ) 使得z 玩且i 厂( ) y 这样有z 以至 s - 1 ( y ) 且s - , ( y ) = u 以：x s - ( y ) 由定理2 1 3 得到厂- 1 ( y ) 是人厂_ 半开 集这就证明了充分性 定理2 2 4 映射，：x _ y 是肛半连续映射且凰是x 中的一个o l 开集， 9 第二章一半开集 则限制映射一x 。：_ y 是舻半连续映射 证明： 设y 是y 中的一个开集，因为厂是肛半连续映射，所以f - 1 ( y ) 是 x 中的一个矿半开集是q 开集，由定理2 1 5 得，- 1 ( y ) n x o 是肛半开 集，由定理2 1 1 0 得( ，l x 。) - 1 ( y ) = ，- 1 ( y ) nx o 是x o 中的m 半开集这就得 到一x 。：凰一y 是肛半连续映射 定理2 2 5 设厂：x y 是一个映射， a q ：q 人) 是x 的一个半开覆盖 如果对每一个q 人，限制映射一a 。：4 a y 是肛半连续映射，则f 是肛半 连续映射 证明：设y 是y 的任意开集，对每一个q a 因为一a 。是m 半连续 映射，所以有( ，| a 。) 1 ( y ) = f - x ( y ) na 。n s o ( a a ) 对每一个q a ，由定 理2 1 1 1 得到厂_ 1 ( y ) na 口n s o ( x ) ，再由定理2 1 3 得到u s _ 1 ( y ) na a ： q 人) = f - 1 ( y ) j v s o ( x ) 这就证明了，是肛半连续映射 定理2 2 6 设( x ，呶) ，( d y ) 是度量空间对礼= l ，2 ，3 ，厶：x _ y 是肛半连续映射并且_ 【厶) 一致收敛到s o ：x _ y ，则s o ：x _ y 是舻半 连续映射 证明： 对任意z x ，存在y 中的开集o 使得f o ( z ) o ，则存在某个7 7 0 ，有f o ( x ) 品( 如( z ) ) o ，这里品( ，0 ( z ) ) = z ：z yd y ( z ，s o ( z ) ) 因 为 厶) 一致收敛到 ，则对所有y x 存在一个扎使得d y ( f ( y ) ，s o ( y ) ) 7 7 2 ，所以有d r ( 厶( z ) ，o ( z ) ) 叼2 ，因此厶( z ) 岛2 ( 如( z ) ) 0 因为厶是肛 半连续映射，由定理2 2 3 ，存在一个肛半开集a 使得z a 且厶( a ) 品2 ( 知( z ) ) 如果有s o ( a ) o 我们便完成证明设y a ，则d y ( s o ( y ) ，0 ( 。) ) d y ( f o ( y ) ，厶( 可) ) 十d y ( 厶( 可) ，s o ( z ) ) 7 7 2 + 叩2 = r ，即如( a ) 品( ( z ) ) o 这就证明了定理 定理2 2 7 设厂是从x 到y 的到上肛半连续映射如果x 是半紧空间， 则y 是紧空间 证明： 设 坛：a a ) 是y 的一个开覆盖，则 厂1 ( k ) ：o l 人) 是x 的肛 半开覆盖因为x 是半紧空间，由推论2 1 1 4 ，存在人的一个有限子集人。使 得x = u s _ 1 ( 坛) ：a h o 因此有y = s ( x ) = f ( u f _ 1 ( 圪) ：口h o ) = 1 0 第二章肛半开集 u _ k ：q a o ) ，这就得到y 是紧空间 定义2 2 8 设映射厂：x _ y ，如果对x 中的每一个舻半闭集a 都 有f ( a ) 是y 中的肛半闭集，则称，为肛半闭映射 定理2 2 9 设，：x y 是一个m 半闭满射且对任意y y 都有s - 1 ( 秒) 是 相对于x 半紧如果y 是半紧空间，则x 是半紧空间 证明：设 ：口人) 是x 的一个半开覆盖根据条件，对每一 个y y ，f - 1 ( 可) 是相对于x 半紧的，则存在人的一个有限子集人( y ) 使 得i - x ( 可) u ：q 人( 可) ) 设u ( y ) = u ：口a ( 可) ) 和v ( y ) = y f ( x u ( 可) ) 因为，是肛半闭映射，则v ( y ) 是y 中的一个包含y 的肛半 开集且有1 - 1 ( y ( 可) ) u ( 可) 因为 y ( 秒) ：y y ) 是y 的一个肛半开覆盖， 由推论2 1 1 4 存在一个有限子集 讥：1 k 礼 - y 使得y = u 冬l y ( 鲰) ，因 此x = s - 1 ( y ) = u l l 厂- 1 ( y ( 玑) ) u l l u ( y k ) = u l 。( ：a a ( 鲰) ，这就证 明了x 是半紧空间 定义2 2 1 0 设映射，：x _ y ，如果x 中的每一个半开集u 在，下的象 是y 中的半开集，则称厂为m 一半开映射 定理2 2 1 1 如果，：x y 是m 半开映射，则x 中的舻半开集的象 是y 中的舻半开集 证明：设w 是x 中的肛半开集对任意y f ( w ) ，存在某个x w 使 得f ( z ) = y 因为w 是x 中的肛半开集，所以存在x 中的一个包含2 7 , 的半开 集u 使得u w = c 是有限集又，是m 半开映射，则f ( u ) 是y 中的半开 集且s ( u ) s ( w ) f ( u w ) = y ( c ) 是有限集，这说明f ( w ) 是y 中的舻半 开集这就证明了定理 定义2 2 1 2 设映射，：x _ y ，如果x 中的每一个半闭集u 在，下的象 是y 中的半闭集，则称，为m 一半闭映射 显然m 半闭映射是舻半闭映射，但是下面的例子说明反过来一般不成立 例2 2 1 3 设x = 【o ，b ，c ，d ) ，其拓扑定义为丁= o ，x ， 设u ( u ) = u u | a ：q 人( 可) ) 和y ( ) = y f ( x u ( 可) ) 因为，是m 前闭映射，则v ( y ) 是y 中的一个包含y 的- 前 2 0 第三章肛前开集 开集且有f - 1 ( y ( 耖) ) 冬( 可) 因为( y ( 可) ：y y ) 是y 的一个舻前开覆盖， 由推论3 1 1 4 存在一个有限子集 纨：l k 几 y 使得y = u & 1 y ( 讥) ，因 此x = f - 1 ( y ) = u l l f _ 1 ( y ( 讥) ) u 2 ：1 u ( y k ) = u l l 观：q a ( 讥) ) ，这就证 明了x 是强紧空间 定理3 2 1 0 设，：x _ y 是一个p r e i r r e s o l u t e 映射如果a 是y 中 的从前开集，则f - i ( a ) 是x 中的肛前开集 证明：设a 是y 中的一个肛前开集设z f - 1 ( a ) ，则f ( x ) a 且存在y 中的一个包含f ( x ) 的前开子集y 使得y a 是有限集因 为厂是p r e i r r e s o l u t e 一映射，所以f - 1 ( y ) 是包含z 的前开集这样f - 1 ( y ) f - 1 ( 4 ) = f - 1 ( y a ) 是有限集，所以，_ 1 ( a ) 是x 巾的前开集这就证明了 定理 定义3 2 ，1 1 设映射f ：x _ y ，如果x 中的每一个前闭集u 在，下的象 是】，中的前闭集，则称厂为m 一前闭映射 显然m 一前闭映射是m 前闭映射，但是下面的例子说明反过来一般不成立 例3 2 1 2 设x = a ，b ，c ，d ，其拓扑定义为7 = ( d ，x ， o ) ， 6 ) ，a ，6 ) ，a ，b ，c ) ) 设f ：( x ，7 ) 一( x ，7 - ) 是按如下定义的映射：f ( a ) = c ，f ( b ) = d ，f ( c ) = a ，f ( d ) = b 则，是m 前闭映射但不是m 一前闭映射事实上，存在 c ) p c ( x ) 使 得，( c ) ) = o ) 譬p c ( x ) 因为m 一前闭映射是舻前闭映射，所以我们有定理3 2 9 的推论： 推论3 2 1 3 设f ：x _ y 是一个m 一前闭满射且对任意y y 都有f - , ( 可) 是 相对于x 强紧的如果y 是强紧空间，则x 是强紧空间 定义3 2 1 4 设映射f ：x y ，如果对于每一个z x 和y 中每一个包 含f ( x ) 的前开集y ，存在x 中的一个包含z 的舻前开集使得f ( u ) v ， 则称，为n 一连续映射 显然p r e i r r e s o l u t e 映射是n 连续映射但是下面的例子说明反过来一般不 成立 例3 2 1 5 设x = 【口，b ，c ，d ) ，其拓扑定义为7 - = 【d ，x ， n 】- ，d ) ，a ，6 ) ，a ，b ，c ， 2 1 第三章肛前开集 设f ：( x ，7 ) 一( x ，丁) 是按如下定义的映射：f ( a ) = c ，f ( b ) = d ，f ( c ) = a ， f ( d ) = b ，则f 是址连续映射但不是p r e i r r e s o l u t e 一映射 定理3 2 1 6 设厂：x _ y 是一个从x 到y 的到上n 连续满射如果x 是 强紧空间，则y 是强紧空间 证明： 设 k ：q 人 是y 的一个前开覆盖对任意z x 存在q ( z ) a 使 得f ( x ) k ( z ) 因为，是n 连续映射，所以存在x 中的一个包含z 的舻前开 集( z ) 使得，( ( z ) ) k ( ) ，凶此( ( z ) ：z x ) 是强紧空间x 的一个肛前 开覆盖，由推论3 1 1 4 ，存在一个有限子集 z 南：l k 礼) gx 使得x = u 2 ：1 ( z 。) 因此y = f ( x ) = ，( u 廷1 玩( 正。) ) = u k l 厂( 玩( z 。) ) cu 1 k ( z 。) 这就 得到y 是强紧空间 由于每一个p r e i r r e s o l u t e - 映射是n 一连续映射，所以可以得到定理3 2 1 6 的 一个推论： 推论3 2 1 7 设厂：x _ y 是一个从x 到y 的到上p r e i r r e s o l u t e 一满射如 果x 是强紧空间，则y 是强紧空间 参考文献 1 n o r m a nl e v i n e ，s e m i o p e ns e t sa n ds e m i c o n t i n u i t yi n t o p o l o g i c a ls p a c e ， a m e r m a t h m o n t h l y , 7 0 ( 1 9 6 3 ) ，3 6 - 4 1 【2 】o l a yn j a s t a d ，o ns o m ec l a s s e so fn e a r l yo p e ns e t s ，p a c i f i cj m a t h ，1 5 ( 1 9 6 5 ) ， 9 6 1 - 9 7 0 【3 】3r e n g e l k i n g ，g e n e r a lt o p o l o g y ，r e v i s e da n dc o m p l e t e de d i t i o n h e l d e r m a n n v e r l a g ，b e r l i n1 9 8 9 【4 】t n o i r i ，s e m i c o n t i n u o u sm a p p i n g ，a t t i a c c a d n a z l i n c e i r e n d c 1 s c i f i s m a