（光学专业论文）光腔中两原子共振荧光的相干性质和相对位置定位.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 对两原子共振荧光的相干性质和相对位置测量的研究不仅可验证量子力学的基 本原理，而且对量子信息科学的发展起着积极的推动作用。 本文研究了置于光腔中的两个二能级原子，在强相干场驱动下的共振荧光光场 的辐射场相干性质，发现在坏腔条件下，可以通过调节光腔与相干场的频率来提高 一阶可见度和减小二阶关联函数。这是因为改变光腔与相干场的频率会引起原子修 饰态布居数的改变，导致一阶可见度和二阶关联函数发生显著变化。 本文研究了置于一个单模驻波光腔中的两个二能级原子，通过利用测量场的正 交分量的方法定位这两个原子位置的情况，发现在不考虑腔损耗的条件下，利用此 方法即可很好地定位两原子的位置。若考虑腔损耗时，通过将测量所输出的信号反 馈回光腔中的方法可降低由腔损耗所导致两原子定位能力的损害程度。 关键词：两个原子；一阶可见度；二阶关联函数；反馈；定位 i a b s t r a c t t h es t u d i e so ft h ec o h e r e n c eo fr e s o u a n c cf l u o r e s c e n c ea n dt h em e a s u r e m e n to fr e l a t i v ep o s i t i o nf o rt w oa t o m sn o to n l yv a l i d a t et h eb a s i ct h e o r yo fq u a n t u mm e c h a n i c s ，b u t a l s op u s ht h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i o n w eh a v ei n v e s t i g a t e dt h ec o h e r e n c eo fr e s o n a n c ef l u o r e s c e n c ef o rac o h e r e n t l yd r i v e n t w ot w o l e v e la t o m sc o u p l e dt oas i n g l e m o d ec a v i t yi nt h eb a dc a v i t yl i m i t b ya d j u s t i n g t h ed e t u n i n go f t h ec a v i t y - m o d ef r e q u e n c yf r o mt h ed r i v i n gf i l e df r e q u e n c y , w ec a ne n h a n c e t h ef r i n g ec o n t r a s tf a c t o ra sw e l la sd e c r e a s et h es e c o n do r d e rc o r r e l a t i o nf u n c t i o n i ti s f o u n dt h a tt h ed e t u n i n gh a sa ne f f e c to i lt h ea t o m i cd r e s s s t a t ep o p u l a t i o n ，w h i c hm a k e st h e f r i n g ec o n t r a s tf a c t o ra n dt h es e c o n do r d e rc o r r e l a t i o nf u n c f o nc h a n g e de v i d e n t l y w eh a v ei n v e s t i g a t e dt h el o c a l i z a t i o no ft h et w oa t o m sp a s s i n gt h r o u 曲as t a n d i n g w a v ei na no p t i c a lc a v i t yb ym e a s u r i n gt h ef i e l dq u a d r a t u r e ，i tc a nb ef o u n dt h a tt h e1 0 c a l i z a t i o no ft h et w oa t o m sc a ob eb e t t e rr e s o l v e di nt h ea b s e n c eo ft h ed a m p i n go fc a v i t y i fw et a k ei n t oa c c o u n tt h ed a m p i n go fc a v i t y , t h ed a m a g eo fa t o m i c - p o s i t i o nl o c a l i z a t i o n r e s u l t i n gf r o mt h ed a m p i n go fc a v i t yc a nb ed e c r e a s e db yf e e d i n gb a c ki n t ot h ec a v i t yp a r t o ft h eo u t p u ts i g n a l k e yw o r d s ：t w oa t o m s ；0 0 t i c a lc a v i t y ；f r i n g ec o n t r a s tf a c t o r ；s e c o n do r d e rc o r r e l a t i o n f u n c t i o n ；f e e d b a c k ；l o c a l i z a t i o n t l 项士学位论文 m a s t e r st h e $ 1 s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：袒拉平 b 翔：嘲年手只2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：钍粑罕 日期：硼年5b 硝日 导师签名：犁治 日期：纠年y 月7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重迨塞逞童卮溢卮；旦圭生；旦= 生；旦三生筮查! 作者签名：彳警水不尹 日期：硼辱5 只硝日 导师签名：夕章d 和 日期：铲5 月圈日 项士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 2 0 世纪量子力学在整个物理学界引起了一场革命，开阔了全新的视野。经 过1 0 0 多年的发展，量子力学己成为现代物理的两大支柱之一。它在人类认识物质 世界的思维过程中引进了崭新的革命性框架，成为人类认识疆界的利器。量子力学 在认识各个物质层次( 微观粒子，凝聚态物质，星体乃至整个宇宙) 的物理规律方 面扮演了核心作用。同时，量子力学也是人类改造世界，创造物质文明的利器。没 有量子力学，现代物质文明的物质成就是无法想缘的，例如原子能的应用，超导超 流的认识和利用。半导体技术的大规模发展等等，无一不是量子力学的发展。 量子信息学是一门新兴学科，它是利用微观粒子的量子力学原理( 如量子态的 叠加原理、量子纠缠等) 来实现信息的处理，是量子力学与信息学的交叉学科。量 子信息论【l ，2 】包括量子计算【3 】及其实现【4 】、量子通讯【5 】、量子网络和量子门、量 子态退相干的抑制、量子最佳拷贝机制、量子密码等丰富内容，以及由此引起的对 量子力学中基础问题的重新认识。目前量子信息论仍处于研究的初始阶段，但它为 量子力学的发展开拓了新的广阔的前景。可以谨慎的预言，量子信息论的发展很可 能会导致一个新的量子技术时代的产生。 对光腔中两原子共振荧光的相干性质和定位( 1 0 c a l i z a t i o n ) 两原子之间的相对 位置的研究不仅可验证量子力学的基本原理，而且对于量子信息科学的发展起着 积极的推动作用【7 】。自e i c h m a n n 等人率先观察到两个束缚原子的辐射场存在杨 氏干涉效应后【6 】，人们对这一现象产生了极大的兴趣。j a k o b 等人已经证实了在 两个四能级原子辐射场的杨氏双缝干涉实验中，利用条件量子擦除器( c o n d i t i o n a l q u a n t u me r a s u r e ) 可消除任一光子路径的可预见性【8 】。s k o r n i a 等人曾研究过与场 相互作用但相互间无关联的两原子荧光光场的非经典干涉效应【9 j 。这种非经典效 应主要表现为在不同的方向上都存在聚束和反聚束的光子，它主要是由于在探测的 过程中这两个无关联的原子所发射的光子不能被区分所导致的。并且在实验上人 们也研究了两原r 系统辐射场的一阶相干件 1 0 ，11 1 。自m o l l o w 【1 2 ，c a r m i c h a e l 和 w a l l s 【1 3 1 的早期研究以来，两个和两个以上的原子体系的辐射场的量子统计特性 已经被详细地研究过1 1 4 ，1 5 。r u d o l p h 和f i c e k 发现对于由相干场驱动的两原子， 辐射场会产生中心为暗条纹的干涉模式1 1 6 ，而一阶可见度和双原子某些纠缠态的 纠缠度一一对应【6 】，量子纠缠态度量也是人们感兴趣的课题之一。最近，单传家 等人研究t t a v i s - - c u m m i n g s 模型中曲纠缠原子纠缠的演化特性【1 7 l 。孙艳华等人也 研究过n 个光子纠缠态的量子纠缠和量子非局域性质【1 8 】。此外，人们逊研究了利 用非相干驱动场提高两原- 了的相干性，以及两个四能级原子的共振荧光场的十涉效 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 应 1 9 ，2 0 。但是，在强场情况下，由于非弹性散射过程占主导地位，它将会导致 两原子之间的相干性大幅度降低。若达到强场极限，一阶相干可见度将会完全消 失。若将两原子与一个单模光腔作用，它将有可能提高这两个原子的相干性 1 9 1 。 k o c h a n 等人通过研究置于光腔中的两原子共振荧光光场性质，发现腔场可诱导原 子问的关联从而改变两原子辐射场的一阶- 口j 见度1 2 1 1 。m e y e r 等人证实了置于单模 光腔中由非相干场驱动的两原子，辐射场也会产生中心为暗条纹的干涉模式 2 2 】。 而李高翔则发现处于腔中的一个v 型三能级原子在坏腔极限条件下会出现裸态布 居数反转的情况【2 3 】。腔场的量子性质要通过对原子状态的测量来推断，因而研究 腔内原子的辐射谱显现出重要意义，高云峰等人曾研究过两原子双光子跃迁过程中 的腔场谱 2 4 】。最近，郑仕标提出了利用弱相干腔场进行原子态的传输方案 2 5 】。 而早在量子力学领域研究的初期，原子位置的精确测量也已经引起了人们极 大的兴趣。r e m p e 在理论上提出了用经典驻波场可将原子定位在光的波长范围 之内的方案【2 6 】，两年后，d i e c k m a n n 等人在实验上证明了此方案的可行性 2 7 】。 而k i e n 等人通过研究与一单模的景子化的驻波场相互作用的三能级原子的定位情 况，发现相干场比经典场能更好地定位原子【2 8 1 。量子信息领域的研究早已引起人 们极大的兴趣，方卯发等人研究了双光子j a y n e s c u m m i n g s 模型中量子力学通道与 量子互熵问题 2 9 】，单传家等人则研究了t a v i s c u m m i n g s 模犁中两纠缠原子纠缠的 演化特性【1 7 】。而研究宏观物体被定位在某一定的空间范围内的课题有助于人们 对量子世界向经典世界过渡过程的理解 3 0 ，3 1 】，因此人们还提出了许多其它测量 原子位置的方案。s t o r e y 等人发现利用场的正交分量的测量法就可很好地定位原 子 3 2 1 。这是因为当原子穿过驻波光场时，依赖原子位置的相位信息可传递给驻波 场，所以只要进行场的测量即可将原子位置定位在远小于一个光波波长范围之内； 后来n h a 等人又提出了用双重测量的方法来定位一个与量子化驻波场相互作用的 三能级原子【3 3 】，在此方案中，他们是将整个系统放置在拉姆齐( r a m s e y ) 干涉仪 中，然后通过对场的正交分量和原予的内态的双重测量获得原子位置信息，类似 此方法，张俊香等人则提出了用孪生( t w i n ) 光束的干涉测量法来探测光相位的 变化信息【3 4 】。最近，a g a r w a l 等人发现通过相干布居捕获可得到亚波长的原子定 位f 3 5 1 。此外，m a n c i n i 等人又提出了用加反馈的方法来提高原子的定位能力【3 6 】。 除了对单原子位置定位之外，人们对两原子之问的相对定位也有极大的兴趣。利 用两个原子各自运动位置和它们所辐射的光予之间的纠缠性质，z h e n g 等人经过 研究发现自发辐射产生的光子反冲效应能诱导两原子之间的相对定位 3 7 】。最近， c h a n g 等人研究了在衍射极限条件下如何测量两原子间的距离以及如何通过强度关 联函数来获取两原子之间距离的信息 3 8 3 9 1 。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文的主要内容如下：在第二章中，我们将介绍本文主要涉及的理论知识。首 先介绍了光场的经典相干性质以及一阶和高阶相关函数的定义，接着介绍的是量子 谐振子的正规排列顺序的特征函数。 在第三章中，我们研究了置于光腔中的两个二能级原子，在强相干场驱动下的 共振荧光光场的辐射场相干性质。主要讨论了原子与强场为小失谐条件下的相干效 应，通过调节腔与场的失谐到总的拉比频率附近，既能提高两原子辐射的共振荧光 光场的一阶相干度，又能保证辐射的荧光光子有较好的空间分布。这是因为改变光 腔与相干场的频率会引起原子修饰态布居数的改变，导致一阶可见度和二阶关联函 数发生显著变化。 在第四章中，我# j n 研究了置于一个单模驻波光腔中的两个二能级原子，它们 相互之间的距离足够小以至于我们不能区分。而一旦利用差分零拍探测器测量场的 正交分量后，发现在忽略腔损耗时，两原子各自初始时的波包分别变窄，从而原来 不可分辨的两原子能够很好地被区分为两个单独的原子。但是利用差分零拍探测器 测量场的分量将无可避免导致腔场与外界的真空场发生作用，所以腔的损耗不可忽 略，从而两原子的定位能力受损。而通过将差分零拍测量所输出的信号反馈回光腔 中的方法，两原子定位能力的受损程度将会被减弱。 第五章是对本文的总结和展望。 3 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i $ 第二章本文的基础理论 2 1 光场的经典相干性 在两束光波的交叠处，如果出现光场强度重新分布的干涉条纹，我们就说这两 束光是彼此相干的：反之，如果不出现干涉条纹，我们则说这两束光彼此不相干。 光的干涉实验表明，只有当两束光的频率相同，且相互间有稳定的相位差时，他们 才能产生干涉。对同一束光，如果它的子波列之间相互相干。我们则说这束光场为 相干光场。例如，由于激光的单色性好，所以它是较理想的相干光场，而由腔体辐 射的热光场则由于它是大量不同频率的光波组成，所以一般来说它不是相干光场。 在经典理论中，光场的相干性表现为光场的时间相干性和窄间相干性。采用相关函 数j 以从解析上描述任意两时空点的光场的相十程度 4 0 】。下面我们先从杨氏双缝 干涉实验出发来介绍光场的一阶相关函数。 2 1 1 一阶相关函数 p 图2 1 平面岛上探测点p t ) 所处的相对位置 如图2 1 所示，在t 时刻，平面岛上某点尸t ) 处的光场振幅函数e t ) 为 e ( f t ) 一k i e ( 而，t t t ) k 2 e ( 而，t t 2 ) ( 2 1 ) 4 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 这里t 1 = l a c ，t 2 = l a c 系数硒和鲍分别是倚赖于针孔大小以及几何布置的常 数。由于在光频范围内，置于p 点的光子探测器不能直接测量随时间迅变的场函 数e et ) ，而只能测量p t ) 附近的场的强度e t ) e 。( ft ) 的平均值。 = = ；z r e + ( c ) e ( t ) 出 ( 2 2 ) 将( 2 1 ) 式代入( 2 2 ) 式，即得p ( ct ) 处的场强 = i l q l 2 + l k 1 2 ，( 而， + 2 l k l k 2 i r e t 2 ) ( 2 _ 3 ) = + + 2 r e f ( 1 ( 而，而，t t l ，t t 2 ) 式中已令 r 赢警拳蔫警本 】 r 2 4 a ) r 2 4 b ) r ( 1 ( 矗，而，t t l ，t t 2 ) = ， ( 2 6 ) 它代表不同时空点，t 1 ) ，慨，t 2 ) 光场之间的关联，称之为互相关联函数。它反映 了光场干涉条纹的亮度，即它描述了来自两个时空点的光场叠加时产生干涉的能 力。 通常我们讨论的是平稳的，各态历经的光场，即在( 2 2 ) 式中对时间求平均时， 与时i h j 原点无关，并且互相关联函数仅仅依赖于时问差7 - = t l t 2 。凼此( 2 5 ) 式可 5 硬士学住论文 m a s t e r st h e s i s 简化为 ( ，( 力 + + 2 r e r ( 1 ( 矗，而，7 | ) c 裂暑碧尜l i 2 ， 亿， 更方便地引进归一化函数 g ( 1 ( 最，疋，丁) = r ( 1 ( 而，而，r ) 【 】1 2 ，( 2 8 ) 如果令 9 ( 1 ( 开，而，r ) = 1 9 ( 1 ( 而，而，7 - ) ic x p i q o ( t l ，而，7 - ) 则p 点光场强度可写为 ( 2 9 ) = + + 2 ( 1 1 2 1 9 ( 1 ( 开，而，f ) ic 唧( f i ，而，7 - ) ，( 2 1 0 ) 如果定义干涉条纹的可见度 v= ( 榭一 而n ) ( 。m + 耐。) ，( 2 1 1 ) 在的特殊场合，光场的一阶相干度的模简化为 i 夕( 1 ) ( 而，而，7 - ) i = y( 2 1 2 ) 因此光场的阶相干度的大小可以通过测量干涉条纹的可见度来测定，它反 映了来自两个时空点的光场叠加时产生十涉的能力。通常将i g o ) ( f i ，兄，7 - ) f = 1 ，的光场称为阶相干光；若b ( 1 ( 而，磊，7 - ) f = 0 ，则光场为非相干光；而当0 1 ) 慨，磊，r ) i 1 时，光场是部分相干光。一般来说，不可能把光场的时间相干性 和空问相干性分离开来，原因在于光场服从波动方程，而该方程把光场的时间变化 和空间变化联系在一起。 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 1 2 光场的高阶相关函数 光场的一阶相干度实际上描述了不同时空点光场强度的关联，因而对光场一阶 相干度的讨论并不足以全面揭示光场的相干性质，对光场相干性的进一步揭示需 要讨论光场的高阶关联函数。下面，我们首先通过h b t 实验来介绍光场的二阶相关 函数，然后将其推广到高阶相关函数。h b t 实验的原理如图2 2 所示，来自光源的 图2 2h b t 实验的原翌 ! 图 c 准单色光束经过一半透半反的镜面m 后分成两束光，分别通过光电探测器p 矗 p m 2 ，把它们输出的信号输送到相关器c 上。相关器测量到的物理量是 = 一 ， ( 2 1 3 ) 式中 旧，t ) 及，2 ( 而，t + 丁) 分别是p 矗，p 9 2 处的瞬时光强， ， 是 在一个响应时间内的 佩，t ) ，2 慨，t + 1 ) 的平均强度，因此相关器c 输出的实际 上是p m 。，p m 。处光场强度涨落的关联。 上 式右边的第一项是如下类型的相关函数： r ( 2 ) ( 而，而，t 1 ，t 2 ) = 一 7 ( 2 ，1 4 ) 项士学位论文 m a s t e r st h e s l s r ( 2 旧，而，t l ，如) 是四个场量的关联，称为光场的二阶相关函数，它描述两个时空 点光场的强度的关联，同光场的一阶相干度相似，光场的二阶相干度定义为 张矾，俨孤黯要糍而， ( 2 1 5 ) 下面我们来讨论一下二阶相干度的性质，对于平稳的、各态历经的光场，二阶相二r 度为 9 2 ( 桶，下) = 坐盟端簧嚣誊盟坐， 亿1 6 ) 光场的二阶相关函数和二阶相干度描述了光场强度涨落的关联程度，他们更进一步 揭示了光场的相干性。上述相关函数和相干度的定义可进一步推广到更一般的情 况。通常定义光场的n 阶相关函数为 r ( 砷( 而，l ，磊，t 2 ，磊，t 。，磊+ 1 ，t n + l ，而。，t 2 。) = ， 与之相应的1 1 阶相干度表示为 ( 2 1 7 ) r ( “) ，t l ，而，t 2 ，磊，。，露+ 1 ，1 ，i k ，如。) 曰何，t ) 皖嘛，t 。) 玩+ 1 ( 磊+ 1 ，g a + 1 ) 邑。( 而。，t 2 。 一 【 】。 ( 2 1 8 ) 2 2 正规排列顺序的特征函数 通常情况下，在由算符吐和矿描述的量子谐振子系统中，对于由a 的m 次幂 和o + 的n 次幂的乘积所表征的物理量，我们最感兴趣的是如下的三种排列顺序： ( 1 1 正规排列顺序：对于由a 的m 次幂和n 十的n 次幂的乘积构成的算符，如 果所有的湮灭算符a 均在产生算符矿的右边，即形如( o + p a m ，那么我们就称算 符处于正规排列顺序。 ( 2 ) 反正规排列顺序：相反地，如果所有的浮灭算符。均在产生算符8 + 的左 边，即彤如a m f + ) n ，就称n 的，n 次幂和+ 的，t 次幂的乘积算符处于反正规排列 8 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i $ 顺序。 ( 3 ) 对称排列顺序：的m 次幂和n + 的n 次幂的乘积算符的对称排列就是对 其m + m ) ! ( n i m ! ) 种不同顺序的乘积求平均，通常用米( + ) ”m 标记处于对称排 列顺序的乘积算符。 根据以上三种排列顺序方法，我们定义算符_ 7 ) 缸，s ) ；_ ) ( n ) e 。衅2 ，其中 d ( n ) = e x p ( o t a + 一矿a ) 为平移算符。d ( n ，5 ) 作泰勒级数展开可写为 d ( 叩) = c x p ( n n + - - o t * a - f 扣a f 2 ) = 薹。等似+ ) n n m ) s ， 亿 其中s = 1 表示i f _ 规排列顺序，s = 一1 表示反正规排列顺序，s = 0 表示对称排列 顺序。 若定义算符d ( q ，s ) 的复傅立叶变换算符为丁( a ，s ) ，即有 t ( 。，s ) ：f d ( a ，s ) e x p ( q a * - q * a ) 7 r 一1 俨a ， ( 2 2 0 ) 由于准概率分布函数尸( n ) = 7 r - 1l i 碘n 【p t ( a ，s ) 】【4 8 】，所以对于正规排列顺序 ( s = 1 ) 算符，准概率分布函数为 尸( q ) = ”一2e x p ( a a * * a ) 7 1 r 【p ，) ( a ，1 ) 】d 2 a ， ( 2 2i ) 令x ( a ) = t , - p o ( x ，1 ) 】= t r pe x p ( a a + ) e x p ( 一a 4 。) ，一般我们称x n ( a ) 为正规排 列顺序的特征函数。 考虑到相干态矢集i o t ) 具有超完备性，因此密度算符可以用相干态矢集l o t ) 的 对角元表示为 ，) = 扩n p ( n ) i n ) ( n i ， 将( 2 2 1 ) 式带入到( 2 2 2 ) 式，即有 p = 一2 = 丌一2 ( f 2 a 萨a d 2 “e x p ( a + u ) l “) ( ie x p ( 一a ) x ( a ) d 2 ne x p ( a + n ) i n ) ( o ie x p ( - - a + a ) x ( a ) 9 ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 7 r _ 毋、l m1 i n ) ( “i d 2 口e ) ( p ( a a ) e x p ( 一a + ) x ( a ) 譬x ( a ) e - 1 1 2 2e x p ( 粕训， ( 2 2 3 ) 第三章光腔中两原子共振荧光的相干性质 原子在光腔中的行为可展现它们与辐射场相互作用的一些有趣特性1 4 9 】。 一直以来，原子的动力学行为主要是依赖于它周围电磁场的统计特性。因此腔 场和真空场的模式不j 一必然导致置于其中的原子的行为特征不j 司。p o u r c e l 曾预 言若一个受激原子置于一个共振的光腔中则可增大原子的自发辐射率 5 0 1 相 反。a n a l o g o u s l y 和k l e p p n e r 指出，若原子的跃迁频率与腔频相差很大时，则可抑制原子 的自发辐射【5 1 】如今，这些预言在实验上都被证实了【5 2 - 5 5 1 。本章则讨论了置于光 腔中的两原子共振荧光的相干性质。 3 1 模型及理论推导 考虑两个二能级原子置与一个单模光腔中，这两个原子还分别与强激光场 作用。u l 和“i c 分别为相干激光场和腔场的频率，w a ( i = l ，2 ) 第i 个原子的跃迁频 率。假定两原子之间的距离足够大以至于可忽略两者之间的偶极偶极相互作用。将 激光场的频率此作为参考频率，则原子与光场耦合系统所满足的主方程如下： 其中 p = 一i f 日 + h c + 日2 + e c p 乩= 喜；，+ 妻；q ，c 一十町， = 6 a + n ， 2 e a p = 7 i ( 2 a ；- p a + 一哎。：p p 。：。：、 t 2 i c c p = a ( 2 a p a + 一a - i - a p p a + 0 1 ( 3 1 ) f 3 2 a ) ( 3 2 b ) ( 3 2 c ) f 3 2 d ) ( 3 2 e ) o 寸 矿 一以烈 。日 = 所 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 这里凰和分别是由相干场驱动的原子和腔场的哈密顿量，胁描述原子与 腔的相互作用项，“p 和。p 分别刻画原子的自发辐射和腔模的损耗过程，q 0 = 1 ，2 ) 为与相干场作用的第i 个原子的拉比频率，a = u 。一吮和a = 一u l 分 别是第i 个原子的共振频率和腔场与驱动场的频率差。盯产是第i 个原子的赝自旋算 符，并且满足对易关系【对，o f 】= 和f 西，寸】= 4 - 辞。9 i 是原子与腔的耦合常 数，m 和k 分别是第i 个原子和腔的衰变常数。 假定原子与光腔的耦合很弱且光腔奉身的品质因子很低，即有k 9 ，y 成 立。在此坏腔条件下，腔模对真空场的反应相对于它与原子闻的作用较快，原子总 是处于由真空场诱发的腔模中，因此通过绝热消除腔场的变量方法，可得到仅关于 原子变量的约化密度所满足的主方程 4 1 ，4 2 1 。在此消除过程中，描述原子的衰变 项厶p 不变化，因此在推导约化密度主方程的过程中可先不考虑此项。首先通过 做幺正变换可得到在原子和腔的相互作用表象里系统的主方程为： 其中 = - i l l l l ，矾+ c 石= c 。( h a + h c ) 。p e 一( h a + h c ) 2 h t ( t ) =g l ( 百( d ( l + e 豌+ 矸( t ) 伽一碗l + 9 2 a 2 - ( t ) a + e 溉+ 对( 加e 一讯】 厅函( t ) = 如咭 2 ) ( ) e 一蛳 引入算符x = e - 幻妒，则自 i c ( t ) = 一i g 】e “ k + ，厅f x ( t ) e 话+ f n ，x ( t ) 对】e 一话 一i g l e 一“ p i ，x ( t ) a + 】e 讯+ 睁 ，o x ( t ) 1 e 一此) 一i 9 2 e 【+ ，西) 0 ) 】e 面+ 陋，x ( ) 厅羞- k 一话 - i 9 2 e 一“f 隧，x ( t ) n + 】p ”2 + 扣芗，n ( ) k 一村 1 2 ( 3 3 ) f 3 4 a ) f 3 4 b ) ( 3 4 c ) ( 3 5 ) 硕士学位论文 m a s t e r s1h e s i s 由于耦台常数g 很小，通过傲微扰近似对上式积分得 x 0 ) = x o i g l 矿一“n + ，i 亍f x ( ，) 】e 4 r + 陋，x ( t ) 厅产】e _ , 6 t j ) j o ，c i g l e - e t t 【方i ，x ( t ) o + 】e 如。+ 【矛产，a x ( t ，) 】e 一甜。 j 0 ，t - - i 9 2 e “7 矿，子e x ( t ，) 1 e 硝。+ kx ( t ) 霹】e 1 乩) j 0 p t - - i 9 2 e - t t t 阿，x ( t ，) n + 觇+ 阱，a x ( t 例e 1 副)( 3 6 ) 然后再将x ( t ) 代回( 3 5 ) 式) ( t ) 的表达式中。 假定初始时刻腔与原子是没有相互作用的，因此开始他们之问是无关联的，即 有 x ( o ) = 儿( o ) 以( o ) ( 3 7 ) 随后，由于腔与原子的耦合作用将会导致它们之问相互关联，但是由于腔的衰变常 数k g ，因此在t k 一1 的时间范围内腔基本上是不变的。即有 x ( t ) 2m ( o ) 以( t ) ( 3 8 ) 又由于t r c x ( t ) it r c p ( t ) ；苁0 ) 因此通过求迹可得到关于原子算符纵的约化密 度主方程为： ； ( t ) = 一9 ；d r e ( 一+ 锚p i 以( t 7 ) 厅 ( t ，) ，百( ，) j ，0 ， 一g ；d g e 一似+ 岱卜 a t ( t 7 ) ，a i ( t 7 ) 声 ( f ，) | 一9 1 9 2 d t 7 e 一( + 话卜【矛 ( ，) ，厅手( t ) 芦 ( t ，) 1 ，o， n g j , q 2 d f e ( 1 懈) 7 胁( 亡，) 厅 ( f ，) ，筇( t ，) 】彰c ( 一“研胁( f ) 磅( t ，) ，荔( ，) 】 ju，u ，i，l g i 9 2 e 七“6 ) 7 防( r ) ，厅i ( 。( ，) 卜缱d e e 一( ”订) 7 i 磅( t ，) 硅( t 邯 ( t ，) 】 j 0 d o 一仇伪d t e ( 一+ 话 【芦月( t ) 西( 7 ) ，厅i ( ，) 】， ( 3 9 ) j n 1 3 由于k g ，因此腔的反应时间7 | 趋于零，利用马尔可夫近似则有 以( 一r ) ! 以( ) ( 3 1 0 ) 将积分上限扩大到无穷大，冉和用p = e 冲( 一i h a t ) j ae x p “巩t ) 可将以便回到 原来的表象，即有 以( ) = 一z 【巩，纵】 ， g ；e ( _ + 晒卜【p ( t ) 矛 ( 一r ) ，口i ( 7 ) 】c 打 j 0 一g i 9 2 e ( 一+ 甜卜【p ( ) 磅( 一7 - ) ，口i ) j 打一贫 j 0 ， 一p 1 9 2 e - ( + 话) 7 【口，( ) ，谚( 一7 ) p ( t ) 】d r 一建 j o p 一毋 e ( 一+ 砧) 7 【p a ( t ) 子手( 一下) ，口i 0 ) i 。打一m 口 j 0 ， 一9 1 9 2 p ( 一“+ 站】7 【，) ( ) 厅，( 一f ) ，i ( ) 】抚 忙+ 锚弦【盯产( ) ，矛f ( 一r ) p a ) 加， c 咄州) 7 f 口；- ( t ) ，谚( - r ) p a ( t ) l d r j 0 o 。 e - ( ”西) 7 埘( t ) ，# ；( - - t ) p a ( t ) d t 重新加入原子的自发辐射项，则原子密度矩阵主方程为： i a ( t ) = 一i h a ，p a 】 2 + 7 j ( 2 c r ；p a o + 一时丐肌一p a o + ( t j ) j = l + 1 k ，舶对】+ 院p a ，矿 - j + 似2 k ，p a 霹】+ f s p a ，西】 + 3 阿，p a 黠j + 防p a ，西】 + 似3 k ，p a 对】+ 院p a ，盯 - l ， ( 3 1 1 ) r 3 1 2 ) 这里 仉l = 9 k ，1 曲= 露斤，馏= g i 9 2 a 为计算简单起见，我们仅考虑两个完全相同的原子，即可假定q t = n 2 = q ， t = a 2 = ，g l = 乳= g ，i = 能= 7 ，l = 忱= 铀= ，即有 s i = a o o ；+ a l a + + a 2 a i - r 3 1 3 a ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中 写= a o 西+ a 1 磅+ a 2 町， 矸：以j 盯；+ t ：盯f 以；仃 对= i ；十1 ；o i + 1 ；对， 山= 罢c 羔一熹禹+ 未高 a 1 a 2 k n 2 ，2 11 4 雨k + i 6 + l ( 6 一q )k + i ( 6 + q ) k ，2 q 2( 矗+ ) 2( q 一) 2 4 r f 。k + i 6 。k + z ( d q ) k + ( 6 + q ) f 3 1 3 b ) r 3 1 3 c ) r 3 ，1 3 d ) f 3 1 4 a ) ( 3 1 4 b ) ( 3 1 4 c ) 这里，q = 抓f f 酽是总的拉比频率。等式( 3 ) 的第一项描述原子的相干演化过 程，第二项代表原子在真空中的自发辐射项，最后三项表征腔模诱导的衰变项。 3 2 稳态的关联函数 将原子密度主方程在态矢l a ) = l l h p ) ：，i 6 ) = f 1 ，i o ) 。，i c ) = l o ) 。1 1 ) 。，i d ) o ) - i o ) 2 中展开，得到原子在裸态表象中的布居运动方程为： 缸= 2 ( 2 - r + a ：+ 訇+ i 罢舳+ i 罢陆一札a i 肋一i 罢腑 一号硒一2 协胁，( 3 1 5 a ) 鼬 一( 研+ 2 j 4 。+ 鸽+ i a ) p 0 6 一a ；p 。+ ( 轧a ；+ i 罢) 肺 ( 2 a o + z 罢) 陆+ 仉a 。加一t 詈舳+ 4 。 一i 一2 似彻，( 3 1 5 b ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s p 。= ( 2 a ；+ i 罢) p 甜一，4 ；m 6 一( 研+ 2 a 2 + ；+ i ) 儿。 ( 。月。7 c + 。詈) 勉+ a 。一t 警m 十a ：趾 一i 罢脏+ z 似肚： ( 3 1 5 c ) 以a = ( 2 a 。+ i 罢) p 。一( 2 7 + 2 a 。，y c + 2 i ) p 。+ a ，m i 罢p ( 2 丘。7 c + t 詈) 加a 十，y c a 。西。+ ，k a ，硒+ a 。脏 一号朐一钆劬础， ( 3 1 5 d ) ( 研+ 也+ 韪) p 。一i 罢脚+ a ：p “+ i 萼加+ ( 2 a ；+ t 詈) 腑 - ( 2 7 + a 2 + k a ；) p 埽一1 0 ；p k 一1 j a 2 p 出+ 7 c a l p 出 + ( 2 饥一i 詈) 舳，( 3 1 5 e ) 风= ( a 2 仉+ ，y c a ；) p a a - - 譬p 卵一( 2 7 + a 2 十，4 ；) p 6 c + i 昙p k + + ( 弘孤+ 。罢) 御一a ：艮一_ ；m + a 。胁 + ( 2 饥一i 罢) 胁 一：m 8 ( 3 1 5 d p = ( a z + a ；) 肺+ ( 2 7 + a 2 + a ；) 阻一( 2 a ；+ l 罢) p d + i 詈舳 + ；萼风一( 7 + a ，+ i a ) p b a a 。仉p d + 。仉胁+ a 。俄p 出 + ( 2 一i 罢) 肋， ( 3 1 5 9 ) 豇= ( 2 1 + a 2 1 j + 1 t j 4 ；) p 。 + ：k + ( 2 7 + a 2 1 。 懈几一i 罢 一i 詈一a ：阻+ i 萼胁+ ( z 以“+ z 警) 腑 + 4 ；) p 一仉a ；p 曲+ a 1 p 如 r 3 1 5 h ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 础= ( 2 7 + a 2 + 月；) m 6 + ( a 2 + 月；) 阢。一( 2 a ；+ i 罢) f 一a 2 p m + i 罢n 。一( ，y + ，+ i ) p 矗+ i 詈肛+ 4 。p 曲+ a 。p 出 + ( 2 饥一i 争脚 f 3 1 5 0 而原子辐射的荧光光场的一阶可见度c 和二阶关联函数s 在裸态表象中分别为表示 为【6 ，9 】： c ：譬肇巢：善， ( 3 1 6 。) v 2 鼬+ 服 叫 s = 可著襄名赫 =! 竺竺 ( + m + 舡+ 2 风) 2 ( 3 1 6 b ) 下面我们对荧光场关联函数进行数值分析。为了满足坏腔条件，先设定参数，y = 1 ，g = 2 0 ，k = 2 0 0 ，若a = 2 0 ，q = 2 0 0 ，如图3 1 ( a ) 和( b ) 所示，一阶可度很小，而 二阶关联函数较大，但在6 = 4 - 2 0 0 附近一阶可见度有明显的向上跃变情况，而二 阶关联却表现为向下的跃变现象。同时还可看出两幽出现不对称的两峰分布，右边 的峰值较大于左边的峰值。此外。6 = 0 时阶可见度并不为零，但当6 取一5 5 和 - 4 3 0 附近一阶町见度为零且二阶关联函数为1 。着a = 2 0 0 ，q = 1 0 0 。情况正好 相反，如图3 1 ( c ) 和( d ) 所示一阶可度很大，而二阶关联函数较小，在6 = + 2 0 0 附 近一阶可见度有向下跃变情况，而二阶关联函数却表现为向上跃变现象。但两图都 呈现左边的跃变情况较明显的现象。对上面的结果可用修饰态方法加以解释。修 饰态j o ) 即原予与相干光场耦合系统的本征态，满足本征方程月i a ) = a 。i o ) ，它 具有如下形式： 1 i s ) 2 壶( i + ) l h + ，) 1 7 ( 3 1 7 a ) r 3 1 7 b ) 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s c ( c ) 矿 一1 0 0 0 - 5 0 005 0 01 0 0 0 6 h s s ( b 1 扩 ， 一1 0 一5 0 00 5 0 01 0 0 0 a 4 , t u j a 一沙 一1 0 0 0 - 5 0 00 5 0 01 0 0 0 h 图3 1 一阶町见度c 和二阶关联函数s 分别在裸态和修饰态表缘中随失谐j 的演化，给定 参数7 = l ，9 = 2 0 ，k = 2 0 0 ；( a ) ，( b ) a = 2 0 ，n = 2 0 0 ；( c ) ，( d ) a = 2 0 0 ，q = 1 0 0 ；实线为谍 态表象中的c 和s ；虚线为修饰态表象中的c 和s 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s n ) = 历1 ( i + ) 1 | - ) ：一h i + ) 2 ) 四个态相对应的本征值分