（固体力学专业论文）非线性梁的混沌运动研究.pdf

西南交通大学研究生学位论文第1 员 摘要 y 3 4 0 7 0 在归纳总结了混沌判别的理论和数值方法的基础上，对非线性弹性架和板条 进行了研究，本文的主要工作如下： 1 在计及几何非线性、非线弹性的情况下，对屈曲后受横向周期扰动的简支 粱的动力学方程，进行了无量纲化，并应用伽辽金原理简化得到表达瑷动 力系统的常微分方程组。 2 考虑微分方程中参数的不同取值，即考虑材料性质和粱的几何特征，对 d 堪h 唱型方程表达的动力系统进行了详尽的分析，采用m e k m k o v 方法研 究了系统发生次谐分叉的条件及通向混沌的途径 3 针对简支屈曲粱，采用三种不同模式的动力学方程。化为相应的d i h 喧 型方程，采用m 曲址w 函数法，比较了不同模式对混沌运动的敏感程度。 4 考虑内共振即多个模态相互作用的情形，研究了水平激励屈曲简支板条的 内共振产生的条件，分析了系统在内共振条件下的复杂动力行为。 5 采用龙格库塔法进行了相应的数值模拟，验证了理论结果。 【关键词l 非线性结势混沌m 如曲v 方法 f 跨业i ? 西南交遵大掌研究生掌位论文第n 页 a b s t r a c t b a a i 蚰n 聆啊舶枷棚y c h 脚t i o 山鼬t h c r o ya a dm a n c t i o a im m a l a t i o n , t h c n m 凼盯d 枷cb o a ma n d 蛳a f r og r i d i c d t h em a i nr c a o a t o ha r co o n o t m l c di nn i c f o l l o w i n ga 印o c l s ： 1 b ym 舢o f t h oc r a l o r k i nr a c a m d , t h oa y m a o a l o q u a f i o no fm c 菇鸣，i y 乱呻p i ) 曲暑d b u c k i o d 妇a o t e lo nh a r m , , a i c a n y 妇h 商呻硒酣w h o ag o o m o t f i cl l o l f l m c 4 1 t a n d 伽d 赶磷越o l a a t 妇玳t a l a mi nt oa c , o o m ta g r o u po f 讲m 呻| y 凼f f c r o a t i a l 饯咖- w h i c h p l 删岫o t 硒m l 由m 栅畸c l i 眄蚰锄m o b t a i n o d 2 b yv l 町崦m e 妇o fw h i c h 舯m u c h r o l o v c a tt oi h om a r t i a lp r o p m i e ba n dt h e 掣砌m o 由i yo h a r a c t i o so f t h eb e a m ，ad o t a i l 砸壕b 一i sg h 幛- nt ot h 。a 蒯由m 鼬i l i c i d s y s t e mw h i c hh a sb c c nd i v o r t o d t ot h cd u t r 啤l y p co q u a t i o nl j 面坞m c l n i k o v m o t h o d , t h ew a yt ot h ec h a o t i cv i l m a i o na n dt h er o q u i m o n t sf o rs u b h a m m n i c l b i f u r a o a t i o nw m a 砷i l d 帆 3 t ot h c 日i 】。dm u p p o r tb u r k l a db r a n ，t h r o ed i f f o t o n tm 越h t 锄埔吐：a lm o d o hw 黜 d v e x e dt ot h e i r 甜棚叩删她d i 峨o c i i l a l o 幅，a n df l l o i r 柏埘赶i 诵l yt oc h a o 如 m o t i o n sw m “哪单删w 池e a c h 州k a r e s m c h l 血o vf u n c t i o n 4 w 弧1 l 艟i n , t m a l 坤戳m 锄狲t h a ti 8 证璩i a m a o f i o nb c t w 雠t h ef a s ta n d 黯c 砌m o c l e , , l a l 奄o o n o c m 。d l h or l u i m c n t af o r t h ci n t m m l 坤啪锄c oa n dt i 峙c , o m p l i c a t e d d y n a m i c a lb e h a v i o r o f t h ei a m a l i o i t l g l 幽啦蚵删拼唰b 蚓k i o d p i 咖w a f ts t u d y “i 5 t h e 弘1 0 i 蛐w i , sc 0 棚p 锺。da n d t h e 娜瑚蟛函di m u l a f i o ni s 州t o t 。畦i h e 呐 姗她。n i 硝f i t se a c h o f l 艟- rw c l l k e y w o r d s i n o n 岫rc , o m t r t t u t oc h l i l 0 6m e q a i k o v 曲喀n 如d c k 硼吼5 i 9 9 西南交通大掌研究生学位论文 第l 页 第一章绪论 1 1混沌运动的研究简介 正如牛顿在巨著原理中所表达的：“世界上所有粒子的初始位置和速度， 决定其过去和未来。”1 1 1 长期以来，人们认为一个确定的动力系统。即用常微分方 程、偏微分方程、差分方程和迭代方程所控制的系统，方程的系数是确定的，不 包含任何随机因素，其运动状态也是确定的，即在两组相近的初始条件下。其运 动状态是相近的。 这种思想，就是拉普拉斯确定论的思想，自牛顿以来在人们思想中更加巩固， 在数学上。无穷小分析的占一艿语言，就是这种确定论的数学描述，以其为基础发 展起来的完整的数学分析体系，给这种确定论带来了充分方便的分析手段，然而， 确定性的系统确可以产生类似随机性的结果。 早在一百年前。在非线性动力系统中，对定性理论作出开拓性进展的数学大 师p o i n c a r e 就意识到非线性系统的复杂性和不可预见性( 初始敏感性) ，并提出 同缩、异缩点、双重渐进轨道、分叉的概念。 随后的_ - - - 十年里，近似方法的发展，特别是计算机的飞速发展，使得在非 线性微分方程的数值积分上取得了巨大的进展，从而也促进了人们对其解的了解 更加全面、透彻。 1 9 6 3 年，气象学家e n i m e n z 研究了一个简化的对漉模型【2 1 。并用一个完全 确定的三阶非线性常微分方程组来描述。从原始意义上讲，它描述了地球大气中 的对流，也即天气预报的问题。他发现小的误差却可以引起灾难性的后果，误差 以指数级的速度增长。落仑兹把对于初始条件的敏感依赖性称为蝴蝶效应，因为 他的方程仅仅因为一只蝴蠊扑动一次翅膀而改变。这样一来，长期预报注定要失 c i l 0 9 9 ，1 势 西南交囊大学研究生学位论文第2 更 败。 1 9 7 1 年。r u e u e 和t a k e m 在论滩瀛的本质lp l 一文中。提出了用混沌描述 湍流成形机理的新观点，并提出了奇怪吸引子的概念。f 司年，r m a y 提炼并研究 了逻辑斯蒂方程，这个研究混沌相当理想的“麻雀”，这是因为从这里既看到周 期倍分叉现象，又看到不规则的奇怪现象，发现髓机运动中又有稳定轨道。 1 9 7 5 年，华人李天岩和他的导师约克发表了周期三蕴涵混沌的文章1 4 1 ，在动 力学中引入混沌这个词，为这一领域制定了它的中心概念。 1 9 7 6 年，梅发表了具有复杂动力学过程的简单数学模型1 5 1 文章以单峰映 射为对象，着重讨论了逻辑斯蒂方程，系统分析了方程的动力学特征，编制了一 张分叉轮廓图，汇集了敏感依赖性、树枝分叉、切分叉、不动点谐波等混 电词汇， 提出了有关实际问题，为该领域的深入探索发挥了巨大的作用。 在这个基础上，f e i g e n b a m 于1 9 7 8 年发现了周期倍分支走向混沌的两个普 适常数并引入了重正群思想1 6 f i 。这是一个具有里程碑意义的发现。 1 9 8 2 年，i - f i r z c , h 和 i u 等概括出了通向混沌的两条道路，并指出阵发性机理 发生在一个切分支的 受域内，而周期倍分支则是叉形分支。 至此，混 呕学已经形成，此领域的研究方兴未艾。 在混沌的研究过程中，吸收并利用了现代数学理论和计算方法。混沌与分叉， 混沌和分形有者密切的关系，非线性系统出现分叉，特别是全局分叉在许多情况 下可导致混沌运动。分叉理论使我们了解系统如何从正常的有序状态过度到混沌 状态的理论之一，用p o i n t , a r e 关于周期解的著名的话说，分叉理论是一支火炬， 它照亮了从可研究的动力系统到不可研究性的递路。 分形数学是研究具有某种自相似结构或图形的几何学。如多孔材料、雪花图 案、闪电的树枝径迹等。混沌系统的奇怪吸弓l 子虽不是真实空问的结构、而是相 空间中具有莱种自相似性质的结构。正是这种时间标度的无规自相似性和分形结 构有些同样的规律，因而可以统一考虑，因此如果把混淹广义地看作是具有自榍 似性的随机过程和结构，则分形也可看作是一种空间混沌，反之，由于混沌运动 ( 服从决定性方程的决定性混沌) 具有在时间标上的无规自相似性，它可以看作 西南交通大学研究生学位论文第3 页 是时间上的分形。 对一个物理问题。在建立数学模型时，对混沌性态存在的可能性必须十分注 意。因为若存在混沌，因初值的微小变化都不可能预测将来的发展趋势，如若系 统又是结构不稳定的，那末参数的徽小变化，都将导致系统定性的变化，除非系 统是结构稳定的且不存在混沌性态，对系统的定性性质和将来的长期行为的预测 才是可倍的。这里，也要注意混沌和随机的区别，尤其要弄清楚系统到底是混沌 的还是噪声的，如果是混沌的。就可以抛弃人为的随机模型，并查明在所设计的 工作状态下。系统可能不希望发生混沌响应的条件。 1 2混沌运动的特征 混沌来漂于非线性，线性系统不可能发生混沌现象它有以下几个主要的特 征： 1 宏观上无规律 这种无规律表现在内i 箍机性、非周期性和局部不稳定性等方面。 2 微观上有规律 这种规律性表现为具有无穷嵌套的自相似几何结构，普透性。 3 混沌是有序与无序。稳定与不稳定。确定与隧枫的统一。 混沌解虽然在一定的范围之内。但却是杂乱无章的，它虽然往复变化但并 不是周期的，不论时间多长，也不会重复到原来的变化。因此，它的结果看上去 是随机的，但却是由确定性的方程导出的，故称为内凛随机性。混沌是初值敏感 的，假如初始条件有微小差别，短时问内两个解差别极小，但随着时间的增长 两个解的差别越来越大，而且很快就变得完全不一样了，所以说混沌与随机运动 不同，混沌长期不可预测，但随机运动完全不可预测。 从相空间具体点附近的性质来说，m 于它的局部小扣：o “f ”盯鼬喁 一 蛔临的轨道迅速讣i -j 一相快慢日! 一f 堂申指数来表征；而对于耗散系统来 2 列 r 整体相空间，耗散作用使得远处的轨道收缩到有限的范围( 吸引子) 上。 西南交道大学研究生学位论文舅“页 正是这两个相反的过程，使得轨道最后集中在相空间的有限的范围内。靠拢又分 开，分开又折叠靠拢，无数次的来回折叠，轨道被扰乱了，形成了混沌。| 夭i 此， 混沌吸引子具有复杂的无穷层次的自相似结构，不同于不动点和极限环这些平庸 吸引子，是奇怪吸引子。奇怪吸引子不是连续分布的实体，而是其中有着大量空 隙的结构，正是由于有大量的空隙。它才有可能具有无穷层次的自相似结构，我 们用豪斯多夫维数的概念来定量的表征它，奇怪吸引子有分数维和正的李雅普诺 夫指数。 分叉和混沌结构反映了非线性动力系统的种普遍存在的特性，它的普适性 表现在： 1 结构普适性 同样的分叉与混沌结构出现在大类不同的非线性系统中，如单峰映射的许 多性质与函数的具体形式无关。参数空问划分为周期区和混沌区，周期轨道也按 沙可夫斯基序列捧列，存在混沌带倒分叉与周期窗口，通过周期分叉进入混沌， 存在自相似层次嵌套结构。 2 测度普适性 混沌吸引子具有复杂的无穷层次的自相似结构，不断加大分辨的本领，也即 无论从多微小的尺度来看，总可以得到不断重复原分布形态的徽细几何结构。 系统通过怎样的方式或途径从规则运动过渡到混沌运动，是混沌研究的重大 课题，由于这个问题与混沌的控制和利用密切相关，具有重要的实践意义。 目前，公认的道路有三条： 1 准周期道路 准周期道路是最早发现的道路。由r u l l e 和t a k e m 首次提出的1 8 1 ，系统经过三 次h o f f 分叉即可到达混沌，即不动点、极限环、二维环面、奇怪吸引子。 2 倍周期分叉道路 系统经过一系列的倍周期分叉过渡到混沌。分叉点参数值的收敛服从普适规 律。 3 阵发f 间歇道路) 西南交通大学研究生学位论文第5 页 就一维映射而言，临近切分叉时。系统行为时而周期，时而混沌，表现为一 种阵发性，它与倍周期分叉是孪生现象，只要能观察到倍周期分叉，原则上能观 察到阵发混沌。 1 3混沌运动的研究方法 由于混沌运动的复杂性，必须采用有效的研究方法，通常有以下几种。 1 频闪采样法 为了避免复杂运动在相平面上轨迹的混乱不清，可以只限于观察一定时间间 辐，称采样周期，在相空问的代表点。即不管连续运动的轨迹如何，用一定时问 闪光一次的频闪观察法只观察轨迹上的代表点，称采样点。这样。原来在相平面 的连续运动就被一系列的离散点来代表。 观察这些点的集合以便确定运动的形态，周期运动的采样点是一不动点。当 系统作n 次分谐振时，运动的周期等于强迫力周期的n 倍，在一运动周期内有n 次闪光观察到的采样点，因此这时的采样点是n 个离散的点。 当采样结果是无穷离散点集合时，运动是随机的，如果采样点只是在一定区 域内密集且具有层次结构时( 可用加大分辨率本领来观察) ，则此随机运动就是 混沌运动。 2 。庞卡莱截面法 这个方法将在下一章内详述，如果庞卡莱截面沿时问轴截取，庞卡莱映象便 是轨线在这些截面上截点之间的映象，实际上，频闲法就是分析研究在这样的庞 卡莱截面上截点的分布。 3 相空间重构 在实验过程中，有时候可能只便于对一个变量进行测量，这时候频闪采样法 和庞卡莱截面法不一定适用。但这时仍可仿效频闪采样法并利用相空间的概念来 分析，即适当选取一时间延迟i 取d f ) 、坤+ r 、卫( f + ( 卅一1 ) 7 1 为举标画m 维空间的轨线。 魄0 9 9 5 1 9 ，9 西南交通大学研究生学位论文第6 页 相空间重构虽然是朋一个变量在不同时刻的值构成的相= ! 空l 司，但动力系统的 一个变量的变化自然跟此变量与系统的其他变量的相互作用有关。即此变量随时 间的变化隐含着整个系统的动力学规律。因此，重构的相空间的轨线也反映系统 状态的演化规律。所以，用上述的方法加以研究即可。 4 功率谱法 频谱分析是最常用的统计特征，对所得序列做f o u r i e r 、快速f o m i e r 或某种 意义下的谱分析，对于多重周期运动，功率谱仅仅由相应的分立谱组成，如频谱 连续，并可重现，且有低频、宽带、连续的特征，则可确定这种运动是混沌运动。 采用这一方法研究混沌运动时，首先要对连续模拟的时间历程进行采样，采 样必须满足采样定理，以便离散信号的频谱能准确反映原连续信号的频谱。这种 方法的优点是有助于区分嵌在不同混沌带中的周期轨道，缺点是不仅需要计算机 容量大，而且计算十分耗时。 同时，应该注意到，随机系统的频谱也具有类似的特点。应注意和其他分析 方法相结合来判断混沌的存在。 1 4非线性结构中的混沌运动 非线性动力系统的动力响应问题，尤其是混沌动力学的不断完善和发展极大 的丰富了非线性科学的研究领域，人们对有限维特别是低维离散动力系统中的混 沌现象已经进行了较多的研究，然而对大量的无限维的连续介质确定的非线性动 力系统，尚待进一步深入的研究。 梁、板、壳、拱等作为基本的结构单元，在动力分析的某些情形下，必须考 虑其非线性效应，这种非线性效应大体上可分为以下三类即材料非线性；几伺 非线性一大挠度效应；非线性边界条件，对这些基本单元建立合理的非线性动力 模型，分析系统的发展演化过程，具有重要的意义。 1 9 8 5 年，p s s y m m l d s 和t x 采用单自由度的s h a n l c y 模型研究了两端轴 向固定的弹塑性梁的反直观行为哪； 西南交通大学研究生学位论文 第7 页 1 9 8 8 年。e c m o o n 利用s h m l e y 模型研究了弹塑性粱在脉冲载荷和周期激励 作用下的混沌运动1 1 0 l ； 1 9 8 9 年，t x y u 采用d o u b l e , - t i e r - s p r i n g 模型，分析弹塑性粱的动力响应问 题，分析结果表明粱的运动对初始条件极端敏感 2 7 1 ； 1 9 9 2 年，j y l e e 和s y m 嘶幽在上述研究的基础上，提出了二自由度的s h a n l e y 模型，利用能量法结合l y 棚a o v 的概念、判定弹塑性粱是否处于混沌运动n l l ； 1 9 9 4 年以来，l 印救就弹塑性梁和浅拱的动力响应问题进行了一系列的研究， 他的分析同样显示出在此类系统中存在着发生混沌运动的可能性n 2 l ； 1 9 9 5 年，v k a r a g i o z o v 对轴向冲击戴荷作用下的弹塑性粱的混沌运动进行了 研究，主要依靠有限差分进行数值计算1 1 3 1 。 1 5论文的主要工作 目前，混j 屯运动的研究已从抽象的数学研究转向了各领域的工程问题。梁、 板等作为工程应用的基本构件，在动力分析的某些情形下，表现出了较强的非线 性，有非线性就有可能存在混沌，因此对粱、板的混沌识别、混沌通道、混沌控 制的研究就有重募的意义。 本文就筒支屈曲梁和板条做了以下几个方面的工作： 1 在计及几何非线性的情况下，对屈曲后受横向周期扰动的简支梁的动力方 程进行了无量纲化并应用伽辽金原理简化推导，得到表示原动力系统的 常微分方程组。 2 考虑材料和粱几何特征，对d u f f m g 型方程表达的动力系统进行，详尽的分 析，采用m e l n i k o v 函数法给出了系统发生次谐分叉的条件和通向混沌的途 径，结合p o i r t c a r e 映射，相平面轨迹和时程曲线，判定系统是否处于混 沌状态。讨论了粱的材料和几何特征与临界条件的关系。 西南交通大学研究生学位论文第8 页 3 比较了脚l e i 曲模式粱、t n n o j h c n k o 模式梁和e u l e r 模式粱对混沌反映 的敏感程度，用m c h t i k o v 函数法进行了理论分析，用p o i n c a e 映射图， 相平面轨迹图对理论结果进行了验证。 4 研究了内共振情形下扳条的复杂运动，分析了零解与非零解的稳定性与 分叉及内共振产生的条件，给出了相应的数值模拟。 5 自编程序，进行了相应的数值模拟，验证了理论结果。 a l o ，奠5 1 9 9 9 西南交通大学研究生掌位论文 第9 贝 第二章混沌的判别方法 过同一鞍点的流形相交，产生横截同宿点，必然产生吸引子相空间的马蹄 映射，如果有奇怪吸引子，则可能产生混沌，因此判断同宿点的存在是很关键 的。 同宿点存在的羚j 断一般有两种方法，一是解析的方法。酃用m e h t i l o v 函数法， 通过稳定流形与不稳定流形的距离来得到混沌产生的阀值；二是数值计算的方 法，鉴于流形描述的复杂性，用计算机从捕捉区内某初始点不断反复迭代画出 不稳定流形从而得到奇怪吸引子是一条简洁的途径。p o n c , m 映射给出了具体迭 代过程，因而是一个重要的概念，本章从这里出发，依次介绍了稳定流形、不 稳定流形、横藏同宿点、捕捉区、奇怪吸引子、s 瞄l e 马蹄、m 幽l i l o v 函数等重 要的概念。 2 1 庞卡莱截面法 从连续系统构造离散系统的一种重要方式是庞卡莱映射。 1 p o i t 糨t r e 映射( t 映射或t 变换) 考虑平面非自治系统 篆= z b r ) 篆= 如川) ( 2 - 1 a ) f 2 一l b ) 西南交迓大掌研究生学位论文 第i o 页 若x ，j ，连续且满足l i p s c h i t s 条件，那么通过相空闻一点( f o ，蛳) 的积分 曲线就只有一条，可以写成 x = x ( t , t 。，x o ，y 。) y = y ( t , t 。，x 。，y 。) 1 2 2 ) 若x ，r 是以t 为周期的函数，所求的周期解则对应于讨论t ，= t 。+ r 平向上 的不动点问题，即讨论通过积分曲线将f = t o 平面的点昂( ，确) 和区域瓯映射到 t = t ，的平面上，得到点只g ，y ，) 和区域s ，的问题，这样的映射称为是t 映射， 记为只= r ) ，还可以作相反方向的映射。即逆映射r = t - 1 ( 最) 。若r 是t 变 换的不动点，即通过变换后其b ，力不变的点，它满足： 岛=玎昂)(2-3) 进一步对只点作t 变换，得只= 如) = 玎玎r ) | = ? 2 ( 岛) ，对p o 进行m 次变换， 得只一t m ( 只) ，由此可知，t 变换不是将相点连续地映射到相平面( 并，y ) 上，而 是仅仅在瞬时t = n t ( n = 1 , 2 ) 将相点映射到相平面上。 7 2 p o i n c a r e 截面 将p 曲帖砒映射的概念加以推广，引入庞卡莱截面的概念 设氟是r - 中的c 向量场舡) 生成的漉，若为r i 中的( n - 1 ) 维超曲两h 的 一部分，对于任何x ，流识g ) 不与相切，称艺为流识的一个截面。在此截面 上，滤以处处与横截相交。考虑p 0 的p o i n e a 眦映射只= 玎r ) 点及以后各次 西南交通大学研究生学位论文 纂l l 页 p o i n c a r e 映射只，p 2 ，使之成为逐次映射，横截面芑上的点墨，最就称为庞 卡莱截面。 周期性响应的p o i n c a r e 截面为有限点，非周期的混沌响应之p o i n c a r e 映射有 无数个点。但是，有无数个点的p o i m a r e 映射不一定是混沌，如拟周期运动，p o h t c a r e 截面上的相点分布在椭圆上，间断相点形成轨。 总之，p o i n c a r e 映射就是动力系统的轨迹化成轨迹与一个横截面( p o i n c a r # 截面) 的交点来研究，这样就将一个连续的时间演化转变为一个离散的映射，这 给研究带来了很大的方便。并且映射保持原动力系统的拓扑性质。如原动力系统 是耗散的，则相空间体积是收缩的，那末映射t 在p o i n c a r e 截面上同样要收缩曲 积。p o i n o a r c 截面方法的优点是明显的，它将相空间的维数( 或坐标) 减少一个， 同时映射t 是差分方程，易于解决。 2 2 稳定流形与不稳定流形、横截同宿点 1 稳定与不稳定不变流形 设方程( 2 _ 1 ) 周期等于t 的周期解为g ；( t ) ) ，它在t ：t 。时道过变换t 的不 动点p ( x 。，y 。) 。在t = t 。时通过临近点q 。( x 。+ u 。，y 。十v 。) 的解为( x ( t x y t ) ) ，该解 在t = t 。+ t 时通过点q ，( x 。+ u ，y 。+ v 1 ) 。将该解在周期解i “) = x ( x 。，y 。，t ) 。 多( t ) = y ( x 。，y 。，1 ) 的邻域内展开为u 。，v 。的幂级数得 a l 蛳5 1 9 9 9 西南交通大学研究生学位论文 第1 2 贝 x ( t ) = i ( t ) + 璺! 鱼客；趔u 。+ 堡! 垒吝；翘v 。十 小，刊+ 掣u o + 掣v o + 伫， 令t = t 。+ t ，注意至4 ；“十r 1 = i f ，1 x 、，歹ir + ，j 一1 r l f o + 、，吼要! 尝1 量7 1 ；_ 、，叫- 二 芝二+ “。，) ( 2 - 5 a ) rwfl佛，o ，。b tz i = y o + 宴学“。+ 皇学+ 叹“。，v 。) ( 2 一孙) 其中。【，0 。，v 。) 。矿0 。，v 。) 表示“。v o 的所有二次以上的项。将t = t 。十t 代入上 式，设由q 。出发的解在t = t o + t 时到达q ，( x 。+ u 。y 。+ u ) 则有如。+ t ) = x 。+ u 1 ， y o 。+ t ) = x 。+ v 。，q 。即为由q 。经变换t 而得到的点，亦即q 。= t q 。， 令 刚得 竺! 垒! 墨! 垒! ! ：口 鼬。 钞x o ，y o ，t o + t ) 一。1 。q a l i o i g x ( x 。, y u , t o + t ) ：6 饥 d y ( x o , y o , t o + t ) ：d 轨 ，。+ 1 乞x 。+ 硼。+ 如。+ ( ，q 。，。) ) ，o + v i = y o + 饿。十由o + 矿缸o ，) 仅取线性项，写成矩阵形式。则得 ( 2 - - 6 a ) ( 7 a ) ( 2 - 7 b ) 西南交通大学研究生掌位论文 第1 3 j l j , ( 槲：矧 ( 2 - 8 ) p n 为燹抉i 的个动点即i k 。p o ，于是碣 0 。v 1 ) = q r = 娥一哦= 。一只j = 确。，) ( 2 - 9 ) 可见上式右端即为变换t 在点p 0 的邻域内的级数表达式，现约定此变换的线性 部分仍以t 表示，即令 r = ( c ， 又d ：o x ( x e , y o , t o + t ) 瑚o ：o x ( x o _ , y _ e , t 一+ 7 ) ( 2 一1 1 ) 瓴 a ，b c ，d 也同理有类似的关系式。 此时研究变换t 的特征值，pd 昝州州州耐嘞) = 。 设 ，如是它的两个根，由于a d 一知 0 故 五必同号，讨论 1 厶 0 的情况，作非奇异线性变换。将上式化为 翻 o o j 一 ，一 v 。i v + 一 o + 一 。 益觑 石 越。一 越。 + 一 + 一 k k 一 盘盘 西南交通大学研究生学位论文第l 页 从而可知 厶f 静，= ( 去 ，= j “。 几r 羔) z 。 ( 2 - 1 2 ) ( 1 3 ) 此时点的映象沿p f 轴向p 趋近，牿p 露轴向p 远离。这种情况的周期解及其相应 的不动点为正不稳定。点p m , 平面的映象如图( 2 _ 1 ) 所示，此时过不动点p 有两条 变换t 的不变流形，一条是朋，其上各点的映擘均向p 趋近，称为稳定不变流 形，一条是只4 ，其上各点的映象均向p 远离，称为不稳定不变流形。 o 兹 | 鉴彳乎 1 图( 2 一i ) 考虑式( 2 7 ) ，它实际上是一个迭代公式，其一般形式可写为： “_ + 1 = q u 。+ 6 。+ u ( u ，v 一) y 件1 = c 雒。十如。+ 矿“，。) f 2 1 4 a ) ( 2 一1 4 b ) a “聃5 1 ，9 9 西南交通大学研究生学位论文第1 5 爽 上图中稳定与不稳定不变流形均为直线，因为1 1 j ( 2 - d 是根据线性部分绘制的，这 一图形只适用于p 的充分小的邻域，当映象q _ 距p 较远时，u m 、v - 不再是小量， 从而必须考虑上式的高次项的影响，正是这些高次项的影响，使得当距p 稍远时， 上述两不变流形不再是直线。而开始变的弯曲，如图( 2 之) 所示。 萨f 班 = 二去 图( 2 - 2 ) 2 横截同宿点同宿孰道 现假定稳定不变流形与不稳定不变流形在点q 。首次相交，则此后它们必然无 数次再相交，这是因为，q 。作为稳定不变流形上的一点，其映象q 。= t q o 应仍在 此稳定不变流形上；另一方面。q 。作为不稳定不交流形上的一点，其映象 q ，= t q o 又应仍在此稳定不变流形上。因此，q 应在两者的交点上。这就表明上 述二不变流形应在点q 。再次相交。按此推理，可知此后应顺次在q 。，q ，点继 续相交。由于这些交点所组成的序列沿正方向( 即沿稳定不变漉形向p 趋近的力 西南交通大学研究生学位论文 第1 6 贞 向) 与汾逆向( 即沿不稳定不变流形向p 远离的方向) 均以p 为极限点；或者， 换句话说。均以p 为归宿，因此称此交点为同宿点，如果在此交点处稳定不变流 形与不稳定不变漉形二者为横截相交。则进而称此交点为横截同宿点。 z 3 奇怪吸引子及捕捉区 1 t 交换中面积的变换 在t = t 。平面上点r ( & ，) 的邻域面积徽元为d 吒，经过t 变换，在f = 平面 上的映象为p 1 k ，y ，) = r ( p o ) ，相应的面积微元为蠡1 由微分方程的理论可知 两哦唧旷( 州枷 令 f = 唧旷( 刚p ( 2 1 5 ) 其中a 。d 为式( 2 - 1 0 ) t 矩阵主对角元素，则： 当e i 时，面积是增大的； 2 奇怪吸引子及其捕捉区 在不动点p 附近任选一区域g ，并使p 位于其内，郾p 是它的一个内点，由 于在p 的邻域内变换t 线形部分的特征值一个模小于1 ，另一个模大于1 ，因此 在t 的作用下该区域g 将在一个方向压缩而在另一个方向伸长；此外，由于非线 性的影响，它还将发生某些弯曲，为便于说明，假定上述区域g 为一正方形，并 西南交通大学研究生学位论文第1 7 页 假定在t 的作用下。沿x 方向伸长，沿y 方向缩，井按孵时针方向弯曲1 8 0 ，由 于研究区域在变换t 作用下的拓扑性质，所以上述假定是允许的，在此情况下就 可以得到g 的顺次映象g = 丁1 g ，g 2 = t g i = t 2 g ，可以着出。t 的顺饮作用下， 区域g 将变为层次越来越多的条形连通域。由于变换t 还具有压缩面积的性质， 根据以上所述不难推知，当捍斗m 时。映象序列矿”g i 的极限集将是一条宽度为零、 面积为零且无限次来回盘旋的曲线。显然，它是变换t 的不变集。由于在变换t 的顺次作用下。区域g 将沿p 稳定不变流形方向不断缩短，沿p 不稳定不变流形 方向不断伸长，因此上述变换t 的不变集，亦即r g ，就是过p 的不稳定不变流 形。 由此可见，在t 的顺次作用下，区域g 中的所有各点将与过尸的不稳定不变 流形无限趋近。因此，该不变流形对区域g 内各点起着一种吸引作用，所以它是 区域g 的一个吸引子。 因为该不交流形上既不存在方程的平衡位置与周期解f 因为该不变流形上并 无其它不动点) ，又不存在概周期解( 因为该不变流形不是一条闭曲线) ，因此进 而称此不变流形为奇怪吸引子，而区域g 则是此奇怪吸子的个捕捉区。 2 4s m a l e 马蹄 如图 3 ，a 为一不动点，实线为不稳定不变流形，对应于r i l 虚线为稳 定不变流形，应于肛：i 藏，。口 0 。无扰系统( 3 1 1 ) 有三个平衡态( 0 ，o ) 。(a l p ，o ) 和( - 、= ? 五7 万，o ) 。无扰动力系统的线性化矩阵是： ( 一位：0 1 、j l 一位一3 励2 对无扰系统进行线性化分析后可知。( o ，o ) 是双曲鞍点。( 、二i 7 万，o ) 和( - 厢万，o ) 是无扰系统的两中心，所以无扰系统( 1 1 ) 是双井势。根据 h i m i l i o n 能量的不同，系统将有不同的动力行为。 西南交通大学研究生学位论文第嚣! 埏 ( 1 ) 设 = 积分( l 一1 3 ) 式得到无扰系统中分别包含两中心的周期轨道： 州咖胤辱刁 斛丽k a f f 矾( 1 i f 再啦h 辱r ，刁 其周期为： m ) = z j 等m ) = 等 其中：k 为第一类椭圆积分，册，棚，幽为j a c o b i 椭圆函数。 因为i a t 0 ，所以k 越大的周期轨道，其周期也越大，当七斗l 时。 亦 无穷。所以有r 斗+ 。 在微小阻尼及周期外激励作用下超次谐轨道的m e l 柚l k o v 函数为： ，詈( f 0 ) ：r 7 矿t ( r ) 陆y t ( r ) 一，哪口( v + v oj k 将( 3 1 一1 4 汛入( 3 - 1 一1 6 ) 中可得： m i ( f 0 ) = 互碡：( 棚，一) 一夕麓，( 慨一扣妇研。 在( 3 1 一1 7 ) 式中： ( 3 1 一h ) 哟 赶 坳 卜 k - l o p 于 阻、 仔 隆 酐 伊 p 西南交通大掌研究生学位论文第3 0 页 1 0 气慨班傺厩警) n 1 n = 1 枷，= 鑫蹄 掣d 一时一t 瑚 f 是第一类椭圆积分。e 是第二类椭圆积分，k = g - , i k 2 。 动力系统出现超次谐轨道时，满足膨i k ) 存在不依赖于f 。的简单零点的条件， 当n = l 时，若吾 馐i = 墨，的条件满足则( r 0 ) 有不依赖于7 a 的简单零点， 扰动系统出现次谐波， 其中： r ：4 k “3 霸盯 ( 2 ) 设矗= ( 3 - 1 1 9 ) 忙州一咄卅同 此时积分( 3 一l 一1 3 ) 式得到无扰系统中同时包含三个平衡点的周期轨道： 西南交通大学研究生学位论文第3 i 贞 “咖土硎岳刁 斛袅尉禹，七h 压，q 这族周期轨道的周期为： ( 3 一l 一2 0 ) ，( 七) ：4 ，7 堡 伍) ：一2 = m ( 3 - i - 2 1 ) y 一口刀叮 此时有：襄 。，说明k 越大的轨道。其吼积 周期也越大，当七斗1 时，有r 斗+ 。 将( 3 - 1 2 0 ) 代入( 3 - i 一1 6 ) 中可得超次谐轨道的m c l n i l 【o v 函数为； m i ( r o ) = 豇k ( 鹕以) 一统；白，n ) a n 万r 。( 3 1 - 2 2 ) 在( l 2 2 ) 式中： a 2 1 ( 辨，刀) = o 2 册s 露0 枷，= 警后；蜊叫 当n = l 时，次谐波存在的条件为： n l 或m 为偶数 n ：l 且m 为奇数( 3 - - - i - 2 3 a ) 西南交避大掌研究生掌位论文第3 2 页 ( 3 1 之4 ) 心= 去赢 斟* 厚 s ， ( 3 ) 设h - - o ，可由( 3 1 一1 3 ) 式积分得到： 九( r ) = ( 纽伊r 雠蚓 y 。( r ) = 土缸3 伽y 2 嗽础五r h 二列 r 3 一l 一2 6 a ) 轨道( 3 一l - 2 6 ) 是通过鞍点( o 0 ) 的同宿轨道，由j o c , a b i 椭圆函数的定义可知； 册。( 与f 1 = s e e h 1 & 1 d n “k ，) = s i g h 1x ) s 以1 k ，) = 珐。1x ) 所以，当l e - - i 时，( 3 一l 一1 4 ) 式与( 3 一l 一2 0 ) 式皆成为( 3 一l 一2 6 ) 的形式，同宿轨道的 周期趋于无穷。可见同宿轨道是以上两种周期轨道的分界线。无扰系统的运动轨 迹如图( 3 - 2 ) 所示： 同宿轨道的m e l n i k o v 函数为： r l i l 一， ， 一，lim 西南交通大学研究生学位论文第3 3 爽 ，一、 ，= o 、。 心二卜二厂 、 圈( 1 ) f ( ) = c 妒。( r ) l 矗y 。( f ) 一夕c 。s 酊( f + r 。m r = 厨k a o 。i n m r o 其中： = 砂( r 版= 弓污 利用留数定理，可求得。 枷一照 f 3 1 - 2 7 ) 若同宿轨道受到微扰动后稳定流形与不稳定流形横截相交，出现s m a l c 马蹄 变换下的混沌，则肘( f n l 必有不依赖与f n 的简单零点，此时外激励波满足： 西南交通大学研究生学位论文 ，兰兰! ! 二j ! ：! 兰：c n 。1 1 7 7 7 刀 ( 3 1 2 8 ) 7 历! 、二、业， 当膏斗1 时，由( 3 一l 一1 9 ) 及( l 之8 ) 知，动力系统经过无数次谐分叉进入混沌 态： 当| j 斗1 时，由( 3 1 - 2 5 ) 及( 3 1 - 2 8 ) 知，动力系统经过无数次的奇阶分叉后， 进入混沌态； 2 若后屈曲路径不稳定 此时口 0 ( 1 ) 若岛 0 ，则户 0 实空闻中，无扰系统唯一的平衡态( o ，o ) 是中心。 令 矗= 譬陆+ ( 去 2 可积分出中心( 0 0 ) 周围的一族周期轨道： 州牡嗣函刁 州= 南尉丘丢七h 压叫p - 堋 这族周期轨道的周期为： 西南交通大学研究生掌位论文第3 顶 毗) = 譬酬= 等 f 3 1 3 0 ) 此时有：d = h 0 ，即随着k 的增大能量增大；冬 0 ，说明k 越大的轨道，其周 饿a t t 期也越短；当| | - - ho 时， 斗o ，有r 呻娶；当七斗l 时，i ，啼。0 有r 斗0 。 口 受扰系统超次谐孰道的m e h f i k o v 函数为： 其中： m ，i ( f o ) = 面如：( m ，一) 一力l ，( m ，一) c 0 8c孔(3-1-31) 毛咖悟0 跞h 警卜，脚奇数 in 倒汹为偶数 撕班志后 掣叫 当激励与阻尼力比值逐渐加大时，微分动力系统将产生一列分支序确i 。产生的必 要条件为： 伽差屎习塌叫警 ( 3 - 1 - 3 2 ) ( 2 ) 若易 o ，且满她 0 ，说明k 越大 班撒 的轨道，其周期也越长，满足m ) = 4 堑等量忙) = 害詈( f i i ，n 互质) 的超次谐 轨道的m e l a i k o v 函数为： ，詈( f 。) ：矾：( 鸭一) 一j ，( 搠，。) c 。矿吒( 3 l 3 5 ) 在( 3 1 3 5 ) 式中： 西南交通大学研究生学位论文第卯页 扰动 ，一 = 一 f 0n 一1 或m 为偶数 “陬小 字斤写d 鲁 一m 为奇数 地咖警胨n k 一 系统产生次谐分叉序列的必要条件是： 一点j = 南酝2 一，k 一位2 +3 册3 1 i f ( 1 彬陟”v _ 一 仁2 十1 潮 t p 恤浮 c 令 = 一易，积分( l 1 3 ) 式，得到过鞍点的异宿轨道： “牡麒孚f ) 斛善5 叫譬r ( l 一3 7 ) 系统受扰后，异宿环破裂，产生s m a k 马蹄的必要条件是： p 嘉、库峨l j i ( 孚拄 伊，。s ， f h o - 1 3 6 ) 及( 1 _ 7 ) 式可得，当| | l 时，系统进入s m a l e 马蹄变换意义下 的混沌前，要经历无限次奇阶次谐分叉。 无扰系统的运动轨迹如下： 西南交通大学研究生学位论文第弼贝 一 、 ，一、 弋7 圈( 啪) ( 二) 易= 0 非线性材料的本构关系可由二次多项式表示，此时声 0 。 1 若后屈曲路径稳定，窿 q p 0 1 2 渐软恢复力型，a o , t s o ； 三种情形下系统的次谐分叉和混沌发生的条件，已经从理论上得以探讨，现 选取两组特性和几何尺寸的不同的梁进行数值模拟。 程序是用c 语言根据龙格库塔法编制的。初始值为砂= 2 0 1 ，j ；= o 0 1 ，迭代 次数为3 2 万次，作图是在讲i g i 鹏上略去前2 0 0 0 次后，由计算结果绘出的。 计算时首先求得= l y 2 e t a ，：= i x y 4 d a ，代入到( 3 1 7 ) 中得岛，依次求得 纠+ 弛岛+ 碣露，c l = 土l + r