（基础数学专业论文）广义分数次积分算子交换子的有界性.pdf

1 摘要 y3 9 8 4 6 5 本文主要研究了墨坌墼姿塑鳢子交抉壬的有界性 在第一章中，作者介绍了本文将要用到的一些基础知识，讨论了广义分数次 积分算子交换子在空间上的有界性 在第二章中，作者讨论了广义分数次积分算子交换子在h a r d y 空间的子空间 琊( 舻) 上的有界性 在第三章中，作者讨论了广义分数次积分算子交换子在弱h a r d y 空间的子空 间阻f 。( 舻j 上的有界性 在第四章中，作者讨论了广义分数次积分算子交换子在h e r z - h a r d y 空间的子 空间p ( 彤j 上的有界性 a b s t r a c t t h ea u t h o rs t u d i e st h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r so fg e n e r m i z e df r a c t i o n a li n t e 。 g r a lo p e r a t o r s i nc h a p t e r1 ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e ss o m ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g e ，a n ds t u d i e st h e b o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r so fg e n e r a l i z e df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r so nl 9 ( r “) s p a c e s - i n c h 卸t e r2 ，t h e a u t h o rs t u d i e st h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r so fg e n e r a l i z e d f r a c t i o n a ii n t e g r a lo p e r a t o r so n 聊( 尺“) ，as u b s p a c eo fh a r d y s p a c e s i nc h a p t e r3 ，t h ea u t h o rs t u d i e st h eb o u n d e d n e so fc o m m u t a t o r so fg e n e r a l i z e d f r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r so i l 群( r “) ，as u b s p a c eo fw e a kh a r d ys p a c e s i nc h a p t e r4 ，t h ea u t h o rs t u d i e st h eb o u n d e d n e so fc o m m u t a t o r so fg e n e r a l i z e d f r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r so i l h k i , b p ( r ”) ，as u b s p a c eo fh e r z h a r d ys p a c e s 2 序言 在偏微分方程中，为了研究p o i s s o n 方程 a u = ， 的解，引入了标准分数次积分算子( 又称r i e s z 位势算子) 五 ，、 丑m ) 2 厶。尚d y ( o ? n ) 对标准分数次积分算子五的研究已有几十年的历史，其中最重要的经典结果是 s o b o l e v 在1 9 3 8 年证明的丑的l v ( r “) 到l q ( r “) 的有界性及z y g m u n d 在1 9 5 6 年 证明的弱( 1 ，n m 一2 ) ) 型( 见 1 ) 七十年代，h a r d y 空间实变理论的发展，促进 了丑在h a r d y 空间上的有界性的研究1 9 8 0 年。t a i b l e s o n 和w e i s s 在【2 】2 中运 用h a r d y 空间的分子分解方法证明了丑为( h p ( r “) ，l 9 ( 酽) ) 和( h p ( r n ) ，日9 ( 酽) ) 型1 9 8 7 年，f e f f e r m a n 和s o r i a 在【3 】中给出了弱h a r d y 空间日( p ，o 。) 当p = 1 时的原子分解定理1 9 9 1 年，l i u 在【4 中将他们的结果推广到0 p 1 的情 形张璞在【5 】中利用弱h a r d y 空间的原子分解，把结论推广到( h ( p ，o 。) ，l ( q ，o 。) ) 和( 日( p ，o 。) ，h ( q ，o 。) ) 型具有粗糙核的分数次积分算子的研究见【6 【7 【8 1 受【9 中0 核的影响，汤灿琴等在【10 中把标准分数次积分算子推广为广义分 数次积分算子正，并证明了丑在口空间，h a r d y 空间，弱h a r d y 空间及h e r z h a r d y 空间的有界性 1 9 8 2 年，c h a n i l l o 在1 1 1 中引入了交换子的概念，并证明了标准分数次积分 算子的交换子【b ，l z 】的( 扩，口) 有界性1 9 9 5 年，p e r e z 在f 1 2 中证明了奇异积 分算子交换子的弱型估计 在本文中。作者讨论了广义分数次积分算子的交换子【b ，列在口空间，h a r d y 空间。弱h a r d y 空间，h e r z h a r d y 空间的某些子空间是有界的 第一章广义分数次积分算子交换子在扩空间上的有界性 1 1 引官与主要结果 这一章，我们将讨论广义分数次积分算子交换子在扩空间上的有界性首先给出几个 定义 定义1 1 ( 【1 0 ) 设函数口在( 0 ，o 。) 上非负不减，为非负整数，0 z n ，若存在 彤、j p ( z ，曲：。月，) 上的可测函数k ( z ，y ) 满足： i ) 当0 兰i isn 时。有i 露k ( x ，y ) isc f z y l 一“+ 2 一忙i ， i i ) 当l y y j i 。一7 1 2 时，有 k 沪，三，刍删叫吼r i 鲫( 瑚) f 知， li 口i i ” i i i ) 当j z z i i 。一y l 2 时，有 卜沪i 三，扣蹦姒。一，) 口l 鲫( 斟) f 斋， li 口f nl 。 使得对所有f s ( a “) ，成立 t l f ( x ) = k ( z ，) ，( ) d y ， 则称t l 为广义分数次积分算子 定义1 2 ( 1 2 】) 设b b m o ( r “) ，丑为广义分数次积分算子，其交换子【b ，丑】定义为 【6 t t f ( x ) = b t d ( x ) 一t , ( b f ) ( 。) = 上。聊m 【6 ( 沪m ) 由 有关b m o 的详情还可觅【1 s i 1 4 i x s 定义1 3 定义 f i f l l l l 。g l = i f ( y ) l ( 1 + l o g + j f ( y ) 1 ) d y ， j r 4 这里l o g + | u i = m x 0 ，l o gi u m 定理1 1 设beb m o ( r ) ，0 0 ，有 l 扣e r “：耳】，( z ) i ) 1 1 。 2 鳓似怕怕刮妒( 掣) 忆。1 0 9 + | j 妒( 掣) 忆。 n t ， 定理1 2p 1 ，0 1 ，1 p + 1 q = 1 ，如果，( z ) p ( r “) ，9 ( z ) l q ( r “) ，则 ，( z ) - 9 ( z ) 工1 ( r 4 ) ，且 1 i # l l lsi i i i i ，l l g l l 口 ( 离散形式) 设p 1 ，q 1 ，且1 p + l q = 1 ，若级数c k o ：1 忙t l o 。，墨1 悟k l 口 1 ，如果级数墨1 i z i ， m ，墨1 i ， o 。，则 f o o i。t+”*f，)17(薹iztikffil1 一11 加+ ( 薹j 。t | ，1 1 7 ( 。t + 弧叫( z t 一) + ( 肌| ，) t =t = 1 引理1 3 推广的m i n k o w s k i 不等式( 【1 7 】) 设1 p ，( z ，) 在r “= r ”j p 上l e b e s g u e 可测，( m ，n 为自然效) ，则 厶( 厶训舭”) rs 上。( 小训) 由 引理1 4 设函数日在( 0 ，o o ) 上非负不减，0 p 1 ，0 z 0 p ( 2 一) 2 2 j - + v - - ) q j 。 2 萎上一，附) m 州。m 升1 蛳 s g z l 毋( 1 0 s ；) 。出 引理1 5 设函数口在( 0 ，) 上非负不减，0 p g 1 ，0 f 0 ，使得 i x r ”：m l l 。g l 。l ，( z ) a ”。 s c 上妒( 掣) 由蛔+ 上。妒( 掣) 叫 引理1 8 ( 【19 】) 记l p ( t ) = t ( 1 + l o g + t ) ，妒( t ) = 妒( 妒( t ) ) ，则存在常数g 0 ，使对具有紧支 集的光滑函数，有 船而舻：l i b , t 1 ) f ( 。) l 。) 眇 兰c 妒( 1 1 6 i i b j l f 。船南e r “：讹l o g l , i f ( 。) ) 一 定理1 1 的证明 证明不妨设，是有紧支集的光滑函数，由齐次性只需证 当a = 1 时，( 1 i ) 式成立 由引理1 7 与引理1 8 ，得 i z 足：2 ，( $ ) l 1 ”“ 船南肛n 珊( 。) 圳m g 删i i 训嚣石南j x e r n ：地1 0 9 川m ) 圳枷 删。i i ，船南上妒( 掣) 西 ，+ l o g 厶妒( 掣) a 铂 兰c 妒( 1 1 6 i i 口一) s 舢u p 叭。l 两妒g ) ) 正。妒( i f ( y ) f ) d y 1 + l o g + 丘刚，) 1 ) d y c 州| 6 i i 占”。) 上训，( 洲) 由 1 + ；1 0 9 + f n - 妒( 1 f ( 删) d ” 定理1 1 得证 引理1 9 ( p 1 ) p 1 ，0 z n ，1 加= 】加一z n ，6 口d ( j p ) ，f b ，列为标准分数次积 分算子的交换子。则【6 1 丑】是x ：c r “) 到 ( 舻) 的有界算子 定理1 2 的证明 证明t ， 【6 1 丑】，( 。) =f k ( z ，v ) 【6 ( z ) 一6 ( w ) 】，0 ) 由 j j 卜 = k ( 2 ，) 【6 ( $ ) 一b ( y ) f ( y ) d y + 耳( z ，) 【6 ( z ) 一6 ( v ) 】，( ) d 5 y 以l 时，【6 ( z ) 一b c y ) f c y ) 2o ，a 2h 丁，i b ( x j 一6 【j j 儿们 0 l 【6 ，2 q l f c x ) isi j r 扛，v ) 陋扛) 一b ( y ) f ( y ) d y i i j 1 i + | ( z ，) 【6 ( ) “( z ) 】，( ) 剖 j j i i 茎阪涛叭小啪) ，由l + 阪南) “( 列由 c l b ，五 ，( 。) i + c i 一 b ，五 ，( z ) = c i f b 五1 ，1 由引理1 9 ，得 定理得证 降，t 1 f i l 口sc l l b ，j 1 f l l 口sc i i f l l ， 6 第二章广义分数次积分算子交换子在h a r d y 空间上的有界性 2 1 引官与主要结果 在这一章，我们将利用前一章的结果和原子，分子分解定理来讨论广义分数次积分算子 交换子在h a r d y 空间上的有界性 定义2 1 设0 ps 1 q 墨o 。，p q ，非负整数8 兰【n ( 1 p 一1 ) 1 ，b b m o ( r “) ，若函 数o ( z ) l q ( r “) 满足， i ) s u p p acb ( x o ，r ) ； i i ) l 口茎i b ( x o ，r ) j 1 q _ 1 p ； i i i ) ，口 ) z 。d z = r n ( z ) z 0 6 0 ) d z = 00 s i a i s 则称q ( z ) 为( p ，q ，6 ) 原子 定义2 2 定义h t ( n “) 研c r “，= ，：，e c r “，= 薹町，a j 是。，的原子，j 妻= l h f o o ) 研( r “) = ，：，( r “) ，= 町，是口，6 ) 原子，i p o o l 扫1 j 及 。 i p | | 川如) = i n f 爿【蚤胁引j ， 分解，= e a j a j 的含义是在s 意义下说的，有关群( j p ) 的详情见1 2 0 2 1 显然，骈( r “) 是日，( j p ) 的子空间 定理2 1 设函数0 在( 0 ，) 上非负不减，0 z n ，b b m o ( r “) ，【b ，t z 为广义分数 次积分算子的交换子，0 p 1 ，非负整数n = i n ( 1 p 一1 ) ，且1 q = a l p f n ，若 z 1 毋1 。s ) q d t 1 时。h q ( r ) = ( r “) ；而0 qs1 时，日。( 舻) 与l q ( r “) 有着本质的区 别，故下面讨论0 口1 时。交换于是否仍有界? 定义2 3 若对所有满足下列条件的n ( z ) ： i ) n ( z ) 工1 ( j p ) ； i i ) a 有紧支集 7 i i i ) f a 0 ) z 。d z = f 口( 。) z 。6 0 ) d z = 0 0si 口isn ，b b m o ( r “) 有 ， 【b ，t i 】( d ) ( z ) 铲d z = 【b ，列( n ) ( z ) 扩b ( $ ) 如= 0 j , r nj r 4 则称 【6 ，丑 。( 矿) = 0 对0 s1 1 3 t i n ，n 为非负整数， 其中【b ，丑1 表示【6 ，盈 的共轭算子 定义2 4 设o m a x s n ，1 p 一1 ) ，n o = 1 1 p + ，b o = 1 + - z 一1 q 函数m 弘( 口) 称为中心在z o 处的扫，q ，b ，e ) 分子。是指它满足， i ) l 。l n b o m ( z ) l 。僻”) ； i i ) n q ( m ) 垒i i m i i ；。t o i i m ( - ) i 一x o p 旧- a o 6 。 o ，n ( 。) 也 是0 ，“b ，e ) 分子，且 心( n ) s g 其中常数g 与口无关 证明设s u p p a c b 扛o ，r ) ，注意到 o o 一6 0 = 1 q 一1 p ， 及 | i 口( ) i - z o n b ol i 。c l b l 6 0i i l l 。g i 丑i “ 定理2 2设函数日在( 0 ，o o ) 上非负不减，非负整数n = 【n ( 1 p 一1 ) 1 ，0 o n ， 0 p 口 1 q 一1 ，使得 z 1 蒜，吣；d t m 则当n ( n + n + 1 ) p sn ( n 十1 ) 时。p t t l 为聊( j p ) 到t l q ( 1 i “) 的有界算予 8 b 一幻 日 一 g b 故 2 2 定理的证明 定理2 1 的证明 证明由h a r d y 空间的原子分解定理，只需证对每一( p ，0 0 ，6 ) 原子o ，有 即可 【b ，丑川口s c 6 t z a l l a _ ( 小删刮。如l q + ( r a bl i b t t a ( x ) q d x ) 1 口， 选取p l ，g i ，s t1 p l 口1 0 故q q 1 由h o l d e r 不等式，得 ( 厶n 卜如) v “( 厶出) v 叫“ g m ，t z a ij 口，吲1 q 一1 ，n e f p ，j bj 1 q 一1 q ， se i f n j 。t s l l 加，+ 1 q 一1 口， sd 引一1 v + 1 v 1 + 1 q 一1 q 1 = c ( k b k ( x , y ) b ( x ) - b ( y ) a ( y ) d y l 口) v 9 。( 五洲蚓训蚺肛洲训榔圳) 4 矿 s 正。、。( ：i k c z ，”，“a c ”，一a e ”n c v ，i 由) 。a z 1 7 。+ 比叶。( 厶i c z ，v ，”n c ”，i 由) 。j 。c z ，一“。i t 叫1 7 。 = a l l i + 1 1 2 由于ye 口( 知，r ) ，z 掣4 b = b 和o ，4 r ) ，我们有 一。o js j 2 一y 1 2 及j 2 一引j z x , 0 j 2 ， 巩2 i r 4 b ( 啦剖一j 暑啬摊训旷训。卜圳陬训由h v 9 ”怯。( 五一( 矧) 苦杀i b ( y ) - b a b l d y ) q d z r ”旷加。m 一( 矧) 耳斋m 柏) 4 出1 1 口 旷加上。0 ( 矧) 若斋) 4 出n 的矧内 纠胪上瞎k 卜圳掣懈( 一( 去1 ) 南) 4 如一蛐蚓由 ! e f b r l ，f 口“6 “b f 。 j 妻= l c 口c 。一7 ，。c z ，+ i r ，。n h l 。，+ 2 r i “ 1 7 。 if s c | i 叫i 。 f 。i b | i l ，p + l n 一1 + 1 口妻( o ( 2 - j ) ) q 2 j ( 1 - - n ) q + n j = 1 1 7 2 l r 1 i q = c l l b j l b m oi ( 目( 2 一) ) 口2 j f ( h 斛州i j j = lj ! c 肿( 0 1 蒜( ，锯孙t ) v 9 k 舯k 沪驴1 一e l 一一一吲e l 卜) 。吣蚓。司 鲫肛怯占旺一( 矧) 南咖) 圳a 如1 v 4 g l b j 一1 7 【上、。( f ：一、2 i v - = 0 1 ，、。1 。，= 。由) 。f a c 。，一。如1 1 7 。 g i b l 一1 7 p ( ： 上、。( 、a ( 、2 i y - 一= 。o 1 ，、1 。, , = i i a c z ，a 。f ) 4 出 1 7 。由 】o 剑町1 加五匿z 。吲沤。，( 。( 南) 南 b ( x ) - b a b i ) 。a r sc l b l l - - i p sc j | b | | b m o 融z 州2 j + 1 r ) “”h k 矿陋i1qj=l r 一 1 l ”4 i 妻( 8 ( 2 - j ) ) q ( 2 1 + l r ) ( 1 - n ) q l l b q b m o j q 2 j + l b 1 2 jbij=1 1 口 i i ( ( 2 - j ) ) q 2 j n + ( 1 - n ) 一 j q l 口 i i s c 怕( z 1 瑞s 抛) 叫9 = c 综上所述，定理得证 定理2 2 的证明 证明选取p 1 ，q l ，s t 1 p l 口1 m “t h ( 1 口一1 ) 加， q 一1 ) = q 一1 ，常数c 与口无关 设a 是一中心在原点的( p ，p 1 ，b ) 原子，不妨设 s u p p ac b ( 0 ，r ) 记a o = 1 1 口+ ，b o = 1 一l q l + e 则有 f l b ，正】。( 圳。p s ( 慨列。( 。) n a 。) ，d z l l m 1 j 4 b j + 。忡忙p 叫“ 垒j + i i 又 j s g ( z 。l 【6 ，丑 n ( z ) i “d z ) 1 7 “( 4 r ) “6 。 sc l l , ，l l ，i b i “ 若zg4 b ，当y b 时，有 故 l y 一0 i 忙一o r 2 【b ，撕忆仆沪i 暑刍州印炉6 ( z ) “卜 s g 厶一( 尚) f 杀i 出) 1 1 ) “协 c 五日( 群) l 。c y ) l l 啦c 删d f 1 商 g 小) 1 1 b叫删a v 南一( 高) j1 4 11 。1 ， 墨c l i 。c 删) i t 沪。幽南ie ( 高) 4 il “i ， + e l,咖凇”土ixl,-ib口( 啬) 小i 1 4 l s g 开18 ( 高) 删一聊1 m 6 i i e 一 + g 酽1 口( 高) i l a l l 舻i r 枷巾( 旷6 t 外 对于我们有 j ，c l l a l l p 。i b l l 1 1 = c l l a l l ni b l l 1 1 r - 4 b ( 一( 裔) 击( i i b l i b m o + i b ( 。) - b , b i ) ) “a r 吼如。， ( 一( 高) 蚓b o + l - - n 川酬b m o 。- 陬旷l ，) “r 1 e “n p 删- 1 “批蜥础。， ( 0 2 r ) “( b o + t - n ) q l 川6 嘶圳叫“ 因此 c 一 n ( 1 i p 一1 ) = n ( 1 q 一1 ) + z 【( 1 l q 一1 ) 由溉正】( z 。) = 0 ，对hs n + 1 ，可看出h 五 n 满足分子条件 综上所述，定理得证 i ) q d x p b l l s _ l i x 。j 1 2 h 2 8 1 1 7 。1 1 等同 + 向 8 2+ 掣 om日 6 ， n一- 暑+ r矽 一 2日 埘 曲 出 船 唱 惭器 触f “ p 第三章广义分数次积分算子交换子在弱h a r d y 空间上的有界性 5 31 引言与主要结果 在这一章，我们将讨论【b ，丑 在弱h a r d y 空间上的有界性 首先，介绍一些定义及相关记号 设妒s ( j p ) 且厶。妒( z ) 出= 1 ，令 ( p t ( x ) = t - 妒0 t ) 用矿( ，) 表示，的径向极大函数，则 矿( ，) = s u p f ，t 帆( 对f ，俾”) 定义3 1 设p ( 0 ，o 。) ，定义弱l e b e s g u e 空间l ( p ，) l ( p ，o 。) = ，：，为一可测函数且l i i l l p , v o ) 卅7 o o 定义3 2 定义弱h a r d y 空间日0 ，。) 日( p ，0 3 ) = ，s ( r “) ：矿( ，) 工( p ，o 。) ) 定义3 3 1 2 2 令6 b m o ( r “) ，称一缓增分布函数，e 日f 。( 彤) ( 0 p 1 ) ，若存在一 序列 ) 箍一o 。c 工”( r “) 使得，= a 在s 意义下，且每一a 又可被分解为a = ，磅 在工”( 彤。) n h ，( 五“) ，这里砖满足， i ) s u p p h ；c 研= b ( 苟，毋) ， 8 u p 莩x 。； 0 ，使得 l 磅| i 。c 2 对每一女，j i i i ) r 砖( 。) z 4 出= - r ( z ) 扩6 ( z ) 出= 0 ，0 s 川s ，s 【n ( 1 加一1 ) 1 4 定义 h ，晦一晓i 五n f 啪s u 警p 卸莩i 蛳 空间日 。( r - ) 被a l v a r e z 在【2 0 中介绍显然日 。( j p ) 是日m ”( f p ) 的子空间 定理3 1 设函数口在( 0 ，o o ) 上非负不减，0 z n ，b b m o ( r ”) ，【b ，列为广义分数次 积分算子的交换子，0 p s l ，非负整数n = n ( 1 p 一1 ) ，1 加= 1 p l n ，若j 如，0 卯 q ， 使得 z 1 毋( 崦；) q o d t 。， 则伽，列为研。( r “) 到l ( q ，0 0 ) 的有界算子 定理3 2 设函数口在( 0 ，o f ) ) 上非负不减，0 l n ，0 p 墨1 ，非负整数= ( n ( 1 p 一1 ) 1 ， 0 q 1 ，且1 q = 1 v z 加，【b ，丑】为广义分数次积分算子的交换子，若眠列+ ( 护) = 0 ，对 f q s n ，及亚满足m a x l l q 一1 ，加 0 ，令p = 9 伸l l f l 1 t j p ( r 。) 选取，使得 2 h p 2 k o “， 取p l ，口1 ，使得1 p l 口l a ) i ! a 1 1 正 f 1 ( 。) 卜d z = a 1 1 f l i b ，丑 r 慨 s g a l l | f 只i 暇 s ”。1 ( p i - - p p l 祭( ) “ = g a - 乱( a 咖j 每磐) n 加。“( m f 耸k 。驯) “ 2 g a l l f h ；- f * ( “1 阱= 磁( z ，4 r ；) i b o ls g i b ? 1 k = k o + l g = k o + l k = k 2 嘶- * ( 刖 s 0 2 一b + 1 ( 1 2 - j ) i i f l l 品- ：，一f a 。 ；9 1s g a 一仰l l s i i ，( r 。) ， ( 33 ) 若。岳b o ，设y 讲，贝 故有 f f z i i z z ：1 2 f 6 ，冠】砖( z ) 一磷 v 。 u 一 = 岛 ! 厶卜沪i 暑扣叩趴铲忙) _ 6 胪缅 蔓c o 。厶口( 必j 。- y 1 ) 、苦南瞅小6 ( y ) i d y ! q m 引k 卜瑚“8 ( 禹) 小( 矿地 邓2 q ”珈( 蕊) ( 小叫曲+ 小刊曲) s ( 蒿) 2 _ h 踟6 。 ( 圹嘞j ) 7 当o 蜘1 时， 以刘嘞”r 。 。( 。塞p 撇，f ) ”如r s e ( 。喜：弘、岛肫圳”出r ( k = k o - ，- ，p 嘲“厶4 m r 卜矧一( 蔫) 、 1fj ml 。 、协一z f ， ( 叫i b 村。+ | 6 ( z ) 6 口 ) 。c b ) 1 7 如 “纠b 聊f k = t o + lp 卿j r 删卜瑚( - 咖。p ( 毒乌) 口0 如ri “4 0 ，l 【z z $ 【，f f + i k ；k o + ，。2 * “l b f q 。砷”铲咖。p ( 蕊) 卜山p 如r ，一c 川叫 l k = 壹k o + ，i 。”薹k m 叫b 。时 卜胡卜机0 ( 禹) ) “r 鲫俐h 。陵p 脚洳j = l 叫叫阳呻产妒：研r 1 7 c i i b l i b m o 妻。科 卜= o + 1 g 6 怕”。f 妻2 ( 2 - k p i i f ll ：, t 州1 + t q o l k = k ：1 0 + l u ， sg j 6j j 占埘o c | | b i i b m o 由于0 q o 1 q + 2 n = 1 p 1 一p ( 1 q o + z n 1 0 ( 口( t ) ) 9 0 兰c i i b l i b m 。2 。+ 1 肛7 ”哪圳群p ( 1 * q o + z n c l l b l l 口m 。，一7 “一2 7 “t l l p 辫( 1 1 一q o ( + r z 。) n = c l l b l l s o , x 1 - 2 q o i i 1 t 务( 州 g l 蠹：p 脚。薹k 嘶叫豳。”一m ( 一( 禹) ) ”小”r l 兰 c , o ， s c i 2 “i b , i “( + 1 r 伊叫“( 口( 2 一) ) n 。 k = k o + l t j = l j 2 l o o o o g l 2 “科i a 。( 扩1 r 伊- n ) ”( 口( 2 一) ) “ lk = k o + l = 1 c l i b l i b m o 2 如。i b t l l + l 口 f o ( 口( 2 一) ) “2 j ( “+ f q o 。；ibtll+lqon，f1 u 1 鼎 。 1 q o 1 1 q o j 6 扣) 一b ，j “如j 拍毋? 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) l d z l 川小h 咖 彻l 岳南l 纠一。厶 一( 警哥) 圳a c 幻- b b ? 怕吲岫h 曲 垒1 1 2 l + j ，屯2 由于兰n ir 1 墨船b 0 g 9 ( z ) 1 flk = k o + l ij ，、 g ，2 ”( 研p ”“咖) k = k o + 1 s 盯r 妻z * r ( z “， i = o + l ，i ，、( 1 + + 2 “) 7 jij 矗f 4 ( 伊) = g ( i i i i h f ，一( 刖) ( 1 ”7 “少2 嘶1 懈。7 “ k 茑k o + l 由于e l q 一1 ，故 从而 综上所述。定理得证 p o + e + f n ) p ( 1 q + l n ) = 1 i 如j 矿b o ：1 0 * ( 【6 ，噩1 b ) ( z ) u i c 一r ( i i 川域。【小) ) 州1 + + 咖p 小( 1 + f + l n ) = g 一i l l l l , ：r t - ( r “ 第四章广义分数次积分算子交换子 在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 54 1 引言与主要结果 在这一章，我们将讨论【b ，丑】在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性有关h e r z 型h a r d y 空 间的介绍见1 2 4 ，这类空间可被看作在原点的标准h a r d y 空间的局都翻版类似h a r d y 空 间，这类空间的原子，分子特征也被建立( 【2 3 】【2 4 】【2 5 1 ) 首先，给出一些定义及常用记号 令凤= 忙舻：12 k ) ， z ， c k = b k b k 一1 x 表示g 的特征函数 定义4 1 令q r ，0 p ，q o o ，定义齐次型h e r z 空间k ? ，(