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东北大学硕士学位论文摘要 压缩机组转子动力学特性的研究 摘要 随着现在工业的发展，压缩机组的功率越来越大。不可避免的，压缩机组向 大型化、高转速的方向发展。但是国内外频繁发生的大型旋转机械严重的振动事 故让人们日益重视压缩机、汽轮机、风机等机组的安全稳定性问题。人们对相应 的振动机理开展了深入的研究并积极寻求有效的故障诊断和预防措施。所以对大 型转子系统进行动力学特性分析具有重要理论意义和实际价值。 本文的主要工作是针对一套典型的离心式压缩机组进行动力学特性分析研 究，其主要内容包括三部分。一是建立分段均布质量的扭转模型，应用整体r i c c a t i 传递矩阵法，用m a t l a b 编写了通用程序，求出系统的前8 阶扭转固有频率和模态， 通过对结果分析得出，系统的工作转速都位于第一阶扭转临界转速之上，系统的 工作转速是安全的，但是其高压转予的工作频率与高压端二阶固有频率接近需要 注意。二是建立系统的集总质量模型用整体r i c c a t i 传递矩阵，用m a t l a b 编写了 通用程序求得了系统的前8 阶弯曲固有频率和模态。由分析得知，系统各部分都 工作其一阶弯曲固有频率和二阶弯曲固有频率之间，系统为超临界柔性转子系统， 系统的工作转速是安全的，系统的支承参数对其所在部分的振动有较大的影响， 而对其它部分影响很小可以忽略。三是建立了分布质量轴微段的弯扭耦合振动方 程，得出轴段的弯曲振动和扭转振动通过偏心距联系在一起而构成一个复杂的非 线性动力学问题；建立了轴系的集总质量模型以及齿轮的弯扭耦合振动模型，对 系统的弯扭耦合方程线性化处理，应用传递矩阵法求出考虑系统弯扭耦合条件下 的固有频率和模态。分析结果表明考虑弯扭耦合是会产生新的固有频率，弯曲对 扭转的影响要大于扭转对弯曲的影响，系统运行是安全的。 关键词集总质量系统，弯扭耦合振动，整体传递矩阵，压缩机组，固有频率 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名；否则视为不同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： z 阻| | 和孓(叶l丈 轹 膨 别 、 者忙 ： 史 期 阮 ， 籼 日 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题研究的现状和意义 近几十年来，随着工业的发展，人们一直设法通过提高转速来降低单位功率 重量，提高机器的性能。于是转子系统运转的稳定性、安全性便成为一个十分突 出的问题。一般的，我们将机器的中的旋转部分称为转子，以转子作为主要工作 部件的机械称为旋转机械，例如电机、流体机械、离心机等。通常我们将转子连 同轴承和支座等称为转子系统。由于偏心质量的存在及复杂的载荷形式等众多因 素的影响，转子系统不可避免的发生振动。据有关文献报道，旋转机械8 0 以上 的故障是由于转子振动引起的。 轴系的振动是弯曲和扭转的耦合振动。以往的转子动力学的研究主要集中在 弯曲振动，而忽略扭转的影响。近年来，由于发生了许多因扭转振动而引起的严 重事故( 例如1 9 7 0 和1 9 7 1 年美国m o h a v e 电厂连续发生两起严重的扭振事故) ， 使人们对大容量机组的轴系开始做扭转振动研究，但又忽略了弯曲振动。而实际 的大型机组的振动破坏事故往往是弯扭共同作用的结果，弯曲振动和扭转振动同 时存在于机组的轴系上，它们之间存在着相互耦合作用。 但是鉴于结构的复杂性，到目前为止，工程上人们还是将弯曲振动和扭转振 动分开来研究。认为各种形式的振动现象都发生在一定的参数或者参数组合范围 内，仅在该范围内，其现象才变的较为明显或具有重要影响。在一般意义上这些 范围是不重合的，该方法的优点是，可以采用简单的模型进行研究，作用机理清 晰，分析方法简洁，定性定量结果都容易获得。但是随着转子转速和转子材料性 能的提高，转子日益呈现出轻质、柔性、大跨度的特征，所表现出来的某些现象 无论是用现有的弯曲振动还是扭转振动体系均不能给出令人满意的解释。 在实际的系统中，弯曲振动和扭转振动的耦合在许多情况下表现出复杂的非 线性动力学现象。但是非线性动力学理论远没有完善，还不能满足实际的工程运 算。近年来，计算机技术取得了飞速的发展，对传统问题的计算分析提供了强大 有力的支持。如何更好的应用众多的计算软件已经成为当今工程技术人员必须解 决好的问题。 具有齿轮啮合的转子轴承系统在风机、压缩机、增速机等机器中广泛存 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 在。齿轮转子系统最初的处理方式是将齿轮看成刚性体，忽略齿轮的转动惯性， 将系统拆分成分支机构来分别来研究。后来在1 9 6 2 年，d c j o h n s o n 在研究 齿轮系统的动力学时，建立了动力影响系数模型如图1 1 。这可能是第一个试图把 齿轮间的耦合作用与转子动力学相结合的尝试【l l 。在该模型中引入了耦合刚度的 概念，耦合刚度 等于齿轮啮合刚度的平均值，通过动力影响系统和耦合刚度建 立系统的频率方程，求得系统的固有频率。1 9 7 3 年，h f l l k 啪a 提出了一个扩展 模型【2 】，如图1 2 所示，这是一个三自由度模型，同时考虑了相互垂直的两个方 向上的横向振动和扭转振动，齿轮被简化成具有时变啮合刚度的弹簧。1 9 7 5 年， l d m i c h e l l 在研究齿轮祸合的高速转子系统时通过实验证明了弯扭耦合效应对 该系统的动力学特性有很大的影响，从而指出在高速旋转机械中必须考虑弯扭耦 合的影响【3 】。 1 9 8 4 年，r j j a n n u z z e u i 在研究压缩机组中的齿轮转予系统时发现所测的固有 频率只能用齿轮系统的弯扭耦合理论来验证【4 1 。h r s i m m o s 的实验还发现轴承油 膜阻尼对叠加有弯曲膜态的扭转膜态有一定的影响【5 】。同年，1 钛u z o1 w a t s u l ( o 用 传递矩阵法研究了滑动轴承支承的齿轮轴系【6 】，比较了弯扭耦合和不耦合的情况 下系统的特征值及不平衡响应，所得的主要结论为，弯扭耦合将产生新的特征值， 扭转振动和弯曲振动相互影响。1 9 9 7 年，l y u 对齿轮耦合的转子轴承系统进 行了模型研究和动态特性分析f 7 】；wz h u a n g 对离心压缩机的非正常振动进行了 分析【8 】。 图1 1d c j o h n s o n 模型 f i g 1 1t h em o d e lo f d c j 0 h n s “ k n ( t ( f ) ， 淞。l淤卜卜阿q 搽n 夕7 ，r m 、 r 儿 图1 2h f u k u m a 模型 f i g 1 2t h em o d e io f h f u l ( 啪a 1 2 国内外的研究现状和发展水平 旋转轴系的弯振研究。最早见诸于文字的报道发表于1 8 6 9 年，r a i l k i n e 在题 为“o nt h ec e n t r i 触a 1f o r c eo f r o 诅t i n gs h a f t ”的论文中，首次提出了临界转速的 东北大学硕士学位论文第一章绪论 故障诊断研究的国家之一，目前从事这方面研究的机构主要有：e p r i 及部分电力 公司、西屋、b e m l y 、i r d 、c s i 等公司。日本也很重视诊断技术的研究，目前从 事这方面研究的机构主要有：东芝电气、日立电气、富士和三菱重工等。而欧洲 的法国电力部门f e d f ) 、瑞士a b b 公司、德国西门子公司、丹麦b & k 公司等也 都在从事这方面研究。国内起步较晚，主要有：哈尔滨工业大学、西安交通大学、 清华大学、华中理工大学、东南大学、华北电力大学等科研院所从事这方面研究。 自二十世纪7 0 年代以来，随着投运机组容量日益增大，轴系扭振问题日趋严 重，众多研究者对扭振问题投入了大量精力，他们重点对扭振机理及计算、扭振 监测设备研制和扭振的主动抑制进行了广泛而深入的研究，并取得了显著成绩。 其中，扭振模型和算法是扭振机理研究的基础。而汽轮发电机组轴系模型是扭振 模型研究的基础，也是大家最为关注的部分。目前，常用的机组轴系模型有三种： 简单集中质量模型，多段集中质量模型以及连续质量模型。简单集中质量模型能 较准确地描述轴系的低阶扭振特性，方程阶数不高，计算量小，但该模型相对比 较简单，模型阶数太低，一些有影响的较高频率模态无法用这种模型体现；多段 集中质量模型是多质量块的质量一弹簧系统，其质量块数一般在5 0 - 3 0 0 内取值， 可较准确地反映低阶和高阶的扭振特性，但它的计算精度受质量分块数影响，这 种模型也无法考虑叶片扰动特性对扭振计算的影响；连续质量型是汽轮发电机组 轴系的精确描述，可方便地计算轴系任意截面上的受力情况，但是计算量大复杂。 扭振研究中，分析计算是很重要的一方面。汽轮发电机组扭振分析可分为稳定性 分析和动态响应分析两种。稳定性分析的主要方法有特征根分析法、等值阻抗法、 复力矩系数法和传递矩阵法等。动态响应分析主要使用时域仿真，由于求解扭振 响应是一种明显的刚性问题，数字仿真中步长选择不能过大，仿真方法也要适合 于刚性问题求解。扭振的时域响应计算有常微分方程初值问题数值解、时域有限 元以及振型叠加等多种方法。同时，在仿真中要充分考虑系统中非线性的影响， 研究表明，系统中的非线性对扭振的稳定性影响比较大。近年来，又不断有新的 算法涌现。基于多段集中质量模型，有人提出了特征向量法，有人提出了状态向 量法并在扭振分析中得到应用。人们也在探索连续质量模型用于扭振强迫振动响 应的计算方法，提出了用扭转波方法求解扭振动力响应，也有人用其它方法研究 扭振问题，如：用于扭振实时响应分析的人工神经网络、分析扭振中非线性引起 的h o p f 分叉的混沌动力学等等。 东北大学硕士学位论文第一章绪论 对于轴系振动问题的研究，人们往往将弯振与扭振分开研究，实际上，轴系 振动时，弯振与扭振是同时存在的，并且相互耦合。对于任何机械故障引起的振 动，仅仅利用弯振特征进行振动故障的诊断依据是不充分的；将轴系的扭振特征 也作为同弯振特征同等重要的依据，必将使诊断的可靠性和准确性大大提高。 m u s z y n s k a ( 1 9 9 2 年) 实验研究了各向异性轴的不平衡和定常径向载荷力导致的弯 扭耦合振动问题，结果表明与弯振模态的祸合存在显著的扭振；张嘉钟针对两个 成直角联接的双梁结构，研究了非线性因素对弯扭耦合特性的影响。对于汽轮压 缩机组这样结构对称的复杂轴系，因其弯扭耦合振动特性较为复杂，这方面的研 究相对较少。早期在对称转子系统方面开展研究工作的有t o n d l ，他研究了一个 汽轮发电机模型，经过对弯振和扭振间相互影响对转子运动稳定性的研究发现， 在一些非弯振临界转速区内由不平衡引起的振动是不稳定的；k e l l e n b e r g e r 在 l a v a l 转子模型基础上研究了弯扭耦合振动问题，建立了弯扭耦合振动微分方程： k a t o 在模型中考虑了质量不平衡及陀螺效应，忽略了重力因素，研究了单质量对 称轴的弯扭藕合振动问题。近年来，对称转轴的弯扭耦合振动问题逐渐引起国内 研究者的注意，清华大学的黄典贵、张勇，华北电力大学的任福春、傅忠广，山 东工程学院的李舜酩等相继开展了这方面的研究工作。 1 3 转子系统的分析与计算方法 对简单离散转子系统的分析大多是基于理论力学的分析方法，而对复杂转子 系统则多用传递矩阵法和有限元法【9 舯】。传递矩阵法在6 0 年代中期被应用于转 子系统的分析和临界转速计算，并且直到现在仍然是转子动力学的主要分析手段 之一。这一方法的特点是：矩阵的阶数不随系统的自由度数增大而增加，因而编 程简单、内存用量小、运算速度快，特别适用于像转子这样的链式系统。其不足 是在考虑支承系统等转子周围结构时分析较困难。有限元法的表达式简单、规范， 特别适用于转子和周围结构组成的复杂结构的分析，但系统复杂时会导致自由度 数特别大，耗费计算机时。随着计算方法的改进和发展以及计算机速度的快速提 高，先后出现了如r i c c a t i 传递矩阵法、传递矩阵阻抗藕合法、传递矩阵 分振型综合法及传递矩阵一一直接积分法等专门针对转子系统而建立的分析方 法。既保证了传统的p r o h l 方法【1 6 】的计算简单的特点，也保证了计算结果的稳定 s 东北大学硕士学位论文第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 2 1 转子临界转速的基本概念1 1 0 矧 对于一个单盘转子，如图2 1 所示设其轴直径为d ，中间有一轮盘质量为所， 转子铰支于刚性支座上，支座间跨距为，忽略轴的质量。建立如图2 2 所示的笛 卡尔坐标系o x 归，z 轴表示未变形前的轴线方向，其它示两根轴线位于轮盘的中 心平面上，坐标原点设在转子未转动时的轴截面形心上。形心的坐标为 力。由 于加工制造及安装等原因，轮盘的重心与形心不重合，设轮盘重心g 的坐标为 ，y 。，偏心距p 与轮盘质量州之乘积称为不平衡量。 u = m e ( 2 1 ) 图2 1 单圆盘转子图2 2 单圆盘转子坐标系 f g 2 1t h es i n g l e - d i s cr o t o rf i g 2 2t h es i n g l e d i s cr o t o rs ”t e mo f c o o r d i n a t e s 已知转子绕形心j 自转，角速度为m 。轮盘在瞬时f 的状态如图2 2 所示。这 时转子有位移x 、j ，。弹性轴因而产生弹性恢复力。弹性恢复力作用在轮盘形心上 方向指出坐标原点。它在两个坐标轴上的分量分别是：一丸、一七， 其中七为轴 在盘处的刚度系数。认为轴是各向同性的，由材料力学可知：两端简支梁的跨中 刚度系数为女= 4 8 五y ，。轮盘惯性力与弹性恢复力之间必须平衡，由牛顿定理 得 x g = 一舡 ( 2 2 ) my g = 一砂 由图2 2 的几何关系得到重心坐标与形心之间的关系为： xg=x+8c o s ( 6 d f + y ) y g = y + pc o s ( 出hy ) ( 2 r 3 ) 把式( 2 3 ) 代入上式( 2 2 ) 得到 东北大学硕士学位论文第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 ，施+ h = m e m 2c o s ( f + 1 ) 州多+ 砂= ，何e 2c o s ( f + 1 ) 这是两个相互不耦合的非齐次线性微分方程，化成标准式： ( 2 4 ) x + 【o n x = 【i ) 2c o s ( ( i j f + 1 ) ( 2 5 ) y + ( 1 ) ”y = i ) 。c o s ( r + y ) 式中u 。= 1 生单盘转子无阻尼横向振动固有频率。 y ，打 式( 2 5 ) 与单自由度无阻尼强迫振动微分方程在数学形式上完全相同。所以解 的形式可以设为 把式( 2 6 ) 代入式( 2 5 ) 分别得到振幅 x = 寿 y = 寿 q 7 这说明圆盘在x 、y 方向同时以相同的频率及振幅作谐振动，但x 、y 方向的 相位差为9 04 。其谐振的频率与转子转动频率相同，振幅与( i ) 有关且与r 成正 比。当= 。时，强迫振动的振幅趋向于无穷大，即发生共振。实际上由于阻尼 的存在，振幅，不是无穷大，而是较大的有限值。但是转轴的振动依然非常剧烈， 以致有可能断裂。所以称( ) 。为转轴的临界角速度，与其对应的每分钟转速称为 临界转速，以表示 。：罢组：9 5 5 m 。( 2 7 ) 2 2 转子系统临界转速及振型计算的几种方法【1 5 l 实际上的转子都是一个质量连续分布的弹性且有无穷多个自由度。为了便于 分析转子的动力学特性，在转子动力学中，人们常常用集总参数的方法将转子简 够q )，r + 如如 差兰 茎宝 z r = = x y 东北大学硕士学位论文 第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 化成为具有若干集总质量的离散多自由度系统，从而能够计算求出有限多个临界 转速。在计算机大量应用之前，人们常用瑞雷法或邓柯莱法来估计系统的一阶固 有频率和主振型。 随着电子计算机的迅速发展和应用，目前在求解振动问题最广泛的两种方法 为传递矩阵和有限元法。 传递矩阵法是把转子系统分为圆盘、轴段和支承等若干个典型的单元或部件， 用力学方法建立这些部件两端截面状态矢量间的传递关系，再利用连续条件就可 求得转子在任意截面的状态矢量与起始截面的状态矢量之间的关系，通过对能满 足边界条件的涡动频率的搜索，就可得出转子系统的各阶临界转速。根据己求得 的临界转速和转子两端的边界条件，可以得到起始截面或最终截面的状态矢量， 再根据各截面状态矢量之间的传递关系，即可递推得到整个系统的模态振型【1 1 ，2 2 1 。 传递矩阵法的优点是矩阵的维数不随系统自由度的增加而增大，各阶临界转速的 计算方法完全相同，而程序简单所需存储单元少机时短。 有限元法是最初随着固体力学领域蓬勃发展起来的种很有效的数值方法。 它的基本思想是将一个连续体看成是若干基本元素单元，在结点，彼此联结 的组合体；从而使一个连续体的力学问题变成一个有限自由度的力学问题，它使 问题有可能借助线性代数方程组进行求解，而与传统的连续体力学必须借助微分 方程进行求解相区别。 用有限元法分析转子动力学问题始于1 9 7 0 年，起始考虑转子只有移动惯性的 情况下的弯曲振动问题。随着研究的逐步深入，转子的有限元模型也不断得到完 善，在模型中逐渐包括了转动惯量、陀螺力矩、轴向载荷、内外阻尼以及剪切变 形的影响等因素，能求解转子的临界转速、不平衡响应、稳定型及瞬态响应等问 题。考虑各种因素在内的有限元模型是一个比较精确的模型。和传递矩阵法相比， 有限元法需占用更多的计算机存储空间与机时，程序比较复杂，但是计算精度较 高，而且可以避免传递矩阵法中出现的数值不稳定的现象。现在已经有了许多成 熟的界面友好的大型有限元分析计算程序如a n s y s ，m 缸c 等。 2 3p r o h l 传递矩阵法 为了求系统的固有频率与模态，m y k l e s t e d 与p r o l l l 发展了一种列表算法。 随着电子计算机的发展，为了便于在计算机上进行数值运算，人们将p r o h l 法排 东北大学硕士学位论文第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 成矩阵的形式，这便是p r o h j 传递矩阵法【2 2 ，2 3 1 。 在计算平面弯曲振动时( 支承为各向同性) ，传递矩阵法就是将转子系统集总 化为n 个圆盘与l 个支承，各圆盘间用无质量等截面的弹性轴段来连接。然后把 系统分成n 个与图2 3 类似的单元，并按顺序编号：1 ，2 ，3 ，n 。对于第n 个单元有工= 0 。 截面编号1 构件编号 图2 3 典型轴盘系统 f i g 2 3t h et y p i c a ls h a f l d i s cs y s t e m 对于转子的第f 个单元，由于截面f 的挠度乃，斜率吼弯矩m ，及剪力q 所 组成的列阵，称为该截面的状态向量即： zf = 【心 q 1日y 】i ( 2 9 ) 对于任一单元f 两端截面f ，f + 1 的状态向量存在一定的关系即： z i + i = 疋z f( 2 1 0 ) 于是有 z 2 = 五z l ； z 32 疋五z i ； ( 2 1 1 ) z ，= 瓦l 2 疋五z l ； 设a ，一j = r r 2 r 2 r l z 】，求得 z j - 一f l z l( 2 “) 公式( 2 1 1 ) 表明，任意第f 截面状态向量z f 中的各个元素都可以用起始状态 下的各截面的状态向量中的各元素的线性组合来表示。所以可以由已知的状态向 卿 东北走学硕士学位论文 第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 量，求得各截面的状态向量。 对于图2 3 所示的模型，边界条件为 膳l = o ；q 1 = o 因此对于任意第f 截面( 卢2 ，3 ，4 ，行+ 1 ) 由式( 2 1 1 ) 得知 z ，= 4 f 一1 正= 口- - 口za t ， 口。 口2 l 毋2 28 2 3a 2 41 a 3 l口3 2口3 3口3 4l 口4 1口4 2 口4 3 口4 4 j f l ( 2 1 3 ) 所以可得未段第n + 1 截面向量，由式( 2 1 3 ) 知有 阻+ l _ 匮地阻 暇岣 对于末端截面同样有边界条件 膨 ，+ l = o ，q + l = o 所以由线性方程解存在定理可知必有： i q 3 口1 4 i ：o l 吃3 口2 4 l 令p 2 ，= l ：1 称 ：，为剩余变量。 所以转子系统的频率方程式有 p 2 ) = o ( 2 1 5 ) 解上式( 2 1 5 ) 即可求得系统的各阶临界转速a 当某阶临界转速求得后，由式( 2 1 4 ) 可解出y l 与日1 的比例解为 = y 1 僧l( 2 1 6 ) 又由于： 阱臣：a 。阱盼孙 令y l = 1 ，即可求得各截面y 与口比例解，即得到该阶临界转速下的模态振 1，j 臼y 1，旷000址lj 4 4 4 4 卜 2 3 4 盯 口 盯 口 3 3 3 3 l 2 3 4 口 口 口 东北大学硕士学位论文 第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 型。 2 4m c c a t i 传递矩阵法 2 4 1r i c c a t i 传递矩阵法 p r o h l 传递矩阵法具有程序简单，占用机时和内存少等优点。但是在计算频率 阶次较高转子过长或计算模型的分段过多，转子又较多的弹性支承及弹性联轴器 且弹性支承刚度较低等情况时，会使计算精度降低，出现数值不稳定的现象，在 振型计算中会出现末端振幅急剧增长的失真现象。引起这些情况的原因是在计算 传递矩阵的过程中f 的某些元素会变的很大在传递过程中要多个矩阵相乘而出现 累积误差，得到的特征行列式近于病态。在进行行列式的计算及振型的求解时会 遇到大数相减的情况使计算精度大为降低，甚至使有效数字完全丧失。1 9 7 8 年， h o m e r 与p i l k e y 提出了r i c c a t i 传递矩阵法【1 8 】，通过砌c c a t i 变换，把原来微分方 程的两点边值问题变换成了一点的初值问题，普遍提高了传递矩阵法的稳定性 0 ，1 1 1 。 m c c a t i 传递矩阵法是把状态向量中的r 个元素分为厂，e 两组，即： z 。= 玎 式中，由起始截面状态向量z l 中有o 值的胞个元素组成： ( 2 1 8 ) p 一由起始截面状态向量z 。中其它不为o 的舵个元素组成。 l 司样对于弟f 个单兀，曲相邻的截回f 、f + l 的状态同量存在看递推关系硝： 阻，镪：批 ， 眨，。， 将式( 2 1 9 ) 展开得： ，= k 1 1 】f 厂j + - 1 21p j p ：k2 l 】f ，i + k2 2lp l ( 2 2 0 ) 帘义r i c c a t i 变换 东北大学硕士学位论文 第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 ，。= s ，p ，( 2 2 1 ) 由式( 2 2 0 ) 和式( 2 2 1 ) 可以得到 p ，= - 2 l5+22r 1p ( 2 2 2 ) ，f + l = l i ls + h 1 2 】fl2 ls + 2 2 1p ，+ i ( 2 2 3 ) 所以由式( 2 2 1 ) 和式( 2 2 3 ) 可以得到r i c c a t i 传递矩阵得递推公式 j = l l ls + h 1 2 】，l2 ls + 邸2 2 】i 1 ( 2 2 4 ) 因为起始截面的边界条件 = o ，。1 = o ，由式( 2 2 4 ) 可得初值s 1 = o 。将初值代 入式( 2 2 4 ) 即可递推得到： j 2s 3 s 十l 。对于末端截面+ l 有 ，_ + ，= s + l p + l ，( 2 2 5 ) 对于图2 _ 3 中的转子系统右端面边界条件为_ ，_ + l = o ，p 。+ ，0 ，由上面得到 的j + l 表达式可以得 s + = i ；：；兰i + 。= 。 c z ：a ， 这里s + 1 就是剩余量。| j + ti _ o 即为系统的频率方程。 同样在求得各阶临界转速后，由式( 2 2 5 ) 得到： 虬n 。= 。 眨z ， 将式( 2 2 7 ) 展开得到 e + 1 = 一g l l 店1 2 ) v + i y + 1( 2 2 8 ) o + l = 一g 2 l s 2 2 ) + l y v + l ( 2 2 9 ) 令一( 剖州或一川，从稚u 东北大学硕士学位论文 第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 p 。+ t = 孑 + 。= ： j ，“ 再由式( 2 2 2 ) 递推，令m = 1 ，即可求得该阶模态振型。 2 4 2 融c c a t i 传递矩阵法的奇点及消除方法1 2 4 】 ( 2 3 0 ) 在r i c c a t i 传递矩阵进行数值计算时，由于除法的存在，会出现异号无穷型奇 点。从而引起增根或漏根的现象。王正1 9 1 等人在深入研究后指出了异号无穷型奇 点得物理意义，并对r i c c a t i 传递矩阵法中的剩余量加以改造。 所以 厂 ，十i = j + l p + 1 ，已_ + l = p ，_ v + 1 = s ，+ l l2 1 j + 即2 2 】 ，一ip 一般。 ，一i o ，要满足边界条件_ + l = o 时则有 ( 2 3 1 ) _ l = i 趴+ l k l j + 吻2 】一i j - o( 2 3 2 ) 以上式为剩余量的曲线，不会出现原来那些奇点，但是却会出现另外一些新 的异号无穷型奇点。这些新的奇点所对应的，就是当e 。一。= o ，奇点对应的频率 是右端截面具有互补边界条件的各阶临界转速。对式( 2 _ 3 1 ) 依次作为类推得 一1 ，+ l = s v + l 兀l 2 ls + k ( 2 _ 3 3 ) f = l 满足全部边界条件时应有 小卜疆扣 亿。，1 = k 。n - 2 ls + 小o ( 2 3 4 ) f = l v 将式( 2 3 4 ) 改写为 l2 + l 丌b s + j ， ( 2 3 5 ) f = l 考虑各种不同的左右边界条件，r i c c a t i 传递矩阵中状态矢量元素的划分，以 及剩余量的各种表达式会有所不同。综合各种不同的边界条件共有十六神情况。 东北大学硕士学位论文第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 但是由于实际工程结构的复杂性很难建立统一的补充方程，因此用子结构法 计算是处理繁琐，编制通用程序困难。为克服子结构法的这些缺点，最初北航的 朱梓根吲等人提出了整体传递矩阵法，后来蒋书运 5 0 l 、柴山等人又作了大量的 工作。 2 5 1 多转子系统的整体传递矩阵 整体传递矩阵法是在传统的传递矩阵法的基础上改进而得到的。这种方法把 转子之间的联结作为弹性连接，用线刚度和力刚度来模拟，在耦合点处使用满足 协调方程的耦合传递矩阵，从而式各转子作为一个整体沿一条直线来传递。 在整体传递矩阵法中，取各转子的状态向量z ，的集合作为系统的状态向量： z = 【z 。，z ：，z 。】r 。整体传递矩阵的阶数由整体状态向量决定。在构造整 体传递矩阵时，主要遵循以下的原则： ( 1 ) 各个转子独立划分单元，所以各转子划分的单元不一定样，此时采用 添加虚段的方式使各转子结构逻辑对齐。虚段即虚设长度为0 ，质量也是o 的单 元。虚段的单元传递矩阵为于单独转子状态向量同阶的单元e ； ( 2 ) 将各轴的普通单元传递矩阵写在整体传递矩阵的对应位置，整体传递矩 阵中的非耦合单元的耦合项为o ； ( 3 ) 耦合单元的传递矩阵为考虑两连接刚度阻尼及位移协调条件而得到的传 递矩阵，两轴间的状态向量存在耦合。 由于本文计算的结构为双转子系统，一下就以某双转子系统见图2 4 为例建 立整体传递矩阵。图2 4 中由i 、i i 号轴组成，共1 5 个单元。轴i 、i i 在单元6 、 1 3 处连接，用z i 、z 表示i 、i i 轴的状态向量，所以整个转子系统的状态向 量可以表示为z = 【z i ，z j 。 在单元1 、2 、3 、4 处，轴i i 无对应的单元，所以轴i i 上的单元1 、2 、3 、4 用虚段来表示。 设轴i ，i i 在普通单元f 的传递矩阵为r i ，列。 所以在前四个单元处，相对应的整体传递矩阵为 霉= p 坍 三 4 东北大学硕士学位论文 第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 单元痔号 转予i 转予i i 图2 4 典型双转子轴盘系统 f i g 2 4t h et w ot y p i c a ls h a na f l dd i s cs y s t e m s 在单元5 、7 、8 、9 、l o 、1 l 、1 2 、1 4 、1 5 处，两轴无耦合但有单元逻辑对齐， 所以在这些单元处，单元的整体传递矩阵： 五= 孑1 坍口茹卜，珐m ，s ， b 4 ， 在单元6 、1 3 处两轴存在耦合具体形式应由具体的力平衡和变形协调关系来 确定，确定的方法见2 5 2 耦合单元部分形式如下 = 臣黝 b 。z ， 求得以上各单元的整体传递矩阵后，就可以得到系统的总体传递矩阵： 爿= nl( 2 4 3 ) 得到整体传递矩阵后，根据各轴的边界条件，就可以得到系统的特征方程， 从而解得系统得各阶固有频率和主振型。 2 5 2 耦合单元 所谓得耦合单元，就是在多转子系统中，连接两根及以上轴的单元。单元的 状态向量由所连接的轴的状态向量组成，反映耦合单元左右两侧状态向量关系的 矩阵即为耦合单元的传递矩阵衅5 ，3 7 ，3 射。 本文计算的双转子各向异性支承的转子系统，下面就介绍各向异性耦合单元 的传递矩阵。各向异性阻尼和刚度的耦合单元数学模型图参见文献 2 5 ，3 7 ，39 1 。各向 异性阻尼耦合单元的刚度和阻尼由8 个参数决定： 5 查些垄兰堡主兰堡堕圭 笙三主竺墨丝墨塑坌堑竺笪兰丝堡鲞 置= 隐讣= 黔翻 偿4 4 ， 状态向量为： 互：b 。呜。翰坂。巳。_ 以。y 。q ：呜：g ：坂：以：x ：以：y ：p 。，后。 令s = 五+ f ，丘。2l l “彬 由于 q 曼 q 盎 q 曼 q 炙 = q 三一m l x l s2 + l = q 五一卅1 y l s2 + 0 = q 当一聊2 x 2 s2 + l = q ；2 一m2 x 2 s2 + 0 = 。g 2 一 ) + 女。2 一_ ) ，1 ) 弓= 女g 2 一而) + 女w ( y 2 一y 1 ) 将式( 2 4 6 ) 代入式( 2 4 5 ) 即可得： ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) q 曼= q 刍一向1 s 2 + i 蹦j x l 一七删y 1 + 七蹦x 2 + 七聊y 2 笔荛登芝，篇，：翁：乏孟之： 。， q 墨= q 是+ 七瓣x l + x 删y l 一伸2 s 2 + 七螂j x 2 一七铡y 2 、。 鲢= 璐十x l + y l k x 2 + 阳2 s 2 + 女聊抄2 由式( 2 4 7 ) 得到耦合单元的传递矩阵： 其中 五4 = 码2 r 。= 纠 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 得 可 1lj 哪 跚 o k e o 0 e 0 幢 弛 r e r o e o 0 0 铆。协。 o 0 o o 删。缈。 一旧泊旧一 1 1 0 o o 0如。 o o o 0 = _ b 之 、i?，j 细。如。 0 o 0 o 渺 西o 埔o - m m一 = 墨 东北大学硕士学位论文 第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 d 1 = 一m1 s2 一七 d 22 一肌i s2 一七删 d 3 = 一，”2 s2 一七 d4 2 一埘2 s2 一| j 删 ( 2 5 0 ) 至于具有盯根轴的多转子系统的整体传递矩阵法，柴山等人在文献中做过 详细的论述。 2 5 3 转子系统的整体r i c c a t i 传递矩阵法 由前述已知r i c c a t i 变换使得传递矩阵法的数值稳定性大为提高。为了保证计 算的数值性，整体传递矩阵也需要采用相应的黜c c a t i 变换即整体r i c c a t i 传递矩 阵法。对于多轴系的整体黜c c a t i 变换，柴山，刚宪约等人在文献陋5 】中作了详述。 这里就对于本文的双转子系统的& c c a t i 变换做了详细的介绍。 设兀、勺o ：1 ，2 ) 为，轴的状态向量，且在初始截面上，= o ，p j 0 0 = l ，2 ) 。 第f 段的整体传递矩阵为r ，由整体传递矩阵得： 将上式变换为 p i ，2 p 2 ，l “ e 1 e 2 根据r i c c a t i 变换，有 ，1 1 u 2 i 令r i c c a t i 矩阵： 五l 五2 孔3 疋l 疋2 疋3 乃lr 3 2 乃3 乃l 孔2n 3 五lr 1 3r 1 2r 1 4 乃l 乃3r 3 2 孔4 乃l 丁2 3r 2 2r 2 4 lr 4 3r 4 2r 4 4 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) q 疋吃 =jiijii北 叱勉k q 屯 丌ijiii儿 列纠臣臣 l i = 婚 托 u u 1 ，j j 1 l h ， 印如彩如 死 r。l r，l = = 东北大学硕士学位论文第二章转子系统振动分析的传递矩阵法 s = 臣纠 所以r i c c a t i 传递矩阵的递推公式同样为： ( 2 5 4 ) s ，+ 1 = l l s + u 1 2 ) l 2 1 s + u 2 2 ) 1( 2 5 5 ) 式中： 咿= 臣笔i 曼：卦臣 ，s + ：z = 2 ：凳； 曼：乏 + 凳： 其中彳拈，为予矩阵( j = l ，2 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 爿肚= ( r 2j - l ，2 f _ l s 七) + r 2 川甜 ( 2 5 8 ) ，= 1 s 北j + 疋_ 2 ( 2 5 9 ) 由于起始截面上，s 1 = o ，反复递推公式( 2 5 5 ) ，顺序得到s2s3 - s 。+ 再由已知的系统最终截面边界条件，可以得到系统的特征方程，从而求得系统的 各阶频率及相应的振型。 2 6 本章小结 传递矩阵法是转子动力学分析得主要方法之一，本章得主要任务就是介绍传 递矩阵法得几种主要形式p r o l l l 传递矩阵、硒c c a t i 传递矩阵法、整体传递矩阵 法等的内在联系及区别。最后推导求得了双转子耦合单元的传递矩阵，以及整体 r i c c a t i 传递矩阵法各种典型单元矩阵的求法，这对以后的工作有重要的指导意义。 1 ，j 一 一 氐4 h 垦 r_=l r。l i | = 1j，j 乳艮 取艮 一2一 。 | i 肛 8 东北大学硕士学位论文 第三章轴系的扭转振动分析 3 1 总述 第三章轴系的扭转振动分析 随着机组容量的增大，一些压缩机组或者汽轮机组的轴系变的越来越长，轴 系的固有频率也逐渐降低，轴系的扭转振动的危害，逐渐引起了人们的重视。因 此，轴系的扭转振动成为大型机组必须考虑的问题。在对轴系扭转振动的问题的 研究中，轴系的固有频率和主振型计算是其中重要的工作。近年来，改进的r i c c a t i 传递矩阵由于具有众多的优点，已经成为计算压缩机组轴系扭转固有频率常用的 方法。 下面是h 5 1 8 机组的系统机构总图见图3 1 。 连轴 隔 戮 圈3 1h 5 1 8 机组的系统结构总图 f i g 3 1t h eg e n e r a ld r a w i n go f h 5 1 8s y s t e m 本章中，计算扭转时采用分段连续质量分布的数学模型，采用整体r i c c a t i 传递矩阵法来计算，求得了普通单元，斜齿轮耦合单元，弹性联轴器单元的传递 矩阵，并用m a t l a b 编程来实现 4 3 ，4 7 1 。 3 2 普通单元的力学模型及其传递矩阵 在计算压缩机的扭转时，先将压缩机组轴系离散成一系列的分布质量弹性动 力学单元【1 4 ，3 5 ，4 们。在每一单元轴段上的附加机构作为集中转动惯量处理。如图3 2 。 由文酬1 4 1 可以推得该单元得扭转运动微分方程 + 等 学咆，挚 ， 塑 东北大学硕士学位论文 第三章轴系的扭转振动分析 融= c o s 竺 位 业s i n 竺，； a ，a 上式即为单转子得p r o h l 传递矩阵得递推关系式。 根据以上的单元模型，建立h 5 1 8 压缩机组建立模型如下 12 2 93 0 3 13 23 33 4 ll。i，1 工 ltt 上上 ff ： 一 j tt | l _| _ 1 1 61 1 7 ( 3 4 ) 图3 3h 5 1 8 机组力学模型总图 f 培3 3t h cg e n e r a ld r a w i n go f h 5 1 8s y s t e m st o r s i o n a lm o d e l 所以对于普通单元，整体传递矩阵，存在三类情况：第一类，i 轴系上的普 通单元存在，i i 轴系上的普通单元为虚段；第二类，i 、i i 轴系上普通单元都存在： 第三类，i 轴系上的普通单元为虚段，i i 轴系上的普通单元真实存在。 下面分别就上面的三类情况求r i c c a t i 变换的表达式。 对于第一类： 由整体传递矩阵法，可知系统的状态向量可以设为：o = 岛蝎m n 。 所有由整体传递矩阵的概念可以得： 岛 m 铅 c o s 旦 啦 旦l s i n 旦，：dd g | j pt 4 s i n 旦c o s 旦厶 00 q ，a f 010 001 岛 m ( 3 5 ) 一眵一 卫嘶当 m 赤。 导 1j ll，j 东北大学硕士学位论文 “l 第三章轴系的扭转振动分析 o c 。s 旦，d 量坐s i n 旦f ， o 【j 。 a j a j 1 o o 赤s i n 詈。c o s 刊g ，j ，口，。口，。l ( 3 1 0 ) 由于本文采用m c c a t i 传递矩阵法，所以将截面得状态向量分成，、p 两组 z = 【，e r ，由，p 的概念( 参见小节2 4 1 ) 可知，= 阻。，m n 】r ，冒= p 。，目。r ， 所以上面式( 3 6 ) 、式( 3 8 ) 、式( 3 1 0 ) 可以参照式( 2 1 9 ) 写成统一的标准形式。 其中，对于第一类，对应于式( 2 1 9 ) 中的子矩阵 = 岛纠，f 叱12 l 赤血詈p 2 卜 对于第二类，对应于式( 2 1 9 ) 中的子矩阵 即i i = 2 1 = o o ，l ， 吨22 8i o 0 业s i n 旦，o 口f口f d ：鱼兰竺s i n 旦，； 口，口，。 船= 对于第三类，对应于式( 2 1 9 ) 中的子矩阵 ， o 2 loc 。s 旦，j 。 l口。j d c o s 旦，。 口，。 0o o 业s i n 旦， 口j口。 - 2 7 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 1j 胁脚巩即 1hiiiiijjjjj厂j m m b o 旦嘶半 一 一 j 一 国一嘶 s o 。，。l = o 竺嘶 瞄 竺嘶 | 兰 。 竺嘶 s0c o 国一南 轳毋 东北大学硕士学位论文第三章轴系的扭转振动分析 姐铲离号剖【可万“i o 。0 8 i o j 3 3 弹性联轴节的传递矩阵 ( 3 1 3 ) 在h 5 1 8 压缩机组中，采用的是弹性联轴节，这是一种典型的非线性部件， 其刚度和阻尼是时变的。在求系统的扭振特性时，目前主要采用的还是用线性系 统进行简化的方法。由于阻尼对系统固有频率的影响很小，所以忽略阻尼的作用 将弹性联轴节简化成两端为扭转弹簧，中间为集中惯量的弹簧圆盘系统。联 轴器的转动惯量已经给出。 由于系统的状态向量为p ，mr ，对于弹簧单元其传递矩阵为 正： ，刚性盘的传递矩阵为= 二：ii ，所以整个联轴器的传递o ，i l j m1 j 矩阵为 r = t l t = 一砌2 ( 3 1 4 ) 变换，可以推得，第一、三类得变换式。 对于第一类( i 轴单元实际存在，i i 轴单元为虚段) = r 。卜= fq0ll ”o j ：p 。卜：p 。 l o oj l o o j 对于第三类( i i 轴单元实际存在，i 轴单元为虚段) = ：。一亥卜：= 瞄一斟= f 丢一。磊卜：= i 。一。磊卜s ， 东北大学硕士学位论文 第三章轴系的扭转振动分析 3 4 斜齿轮耦