（机械制造及其自动化专业论文）双材料v型切口理论及应用基础研究.pdf

硕士学位论文 摘要 在兰州理工大学学术梯队及特色研究方向基金资助下，针对裂纹技术在机械 加工中的应用，开展双材料v 型切口问题的研究，为裂纹技术中的人为切口提供 高效、便捷的形成方法。 基于平面v 型切口理论及双材料垂直界面裂纹理论的现有成果，从弹性力学 平面问题的基本方程及z a k 和w i l l i a m s 所提出的应力函数出发，推导出了双材料 垂直界面v 型切口问题的应力奇异性特征方程，此方程可以看作是z a k 和 w i l l i a m s 所得到的双材料垂直界面裂纹问题的特征方程和w i l l i a m s 利用应力函数 法建立的v 型切口问题的特征方程的一般性地推广；给出了不同于c o o ka n d e r d o g a n 的关于双材料垂直界面裂纹问题应力强度因子的定义式，并将其推广到 双材料v 型切口问题中，从而将单材料裂纹问题、双材料垂直界面裂纹问题以及 v 型切口问题的应力强度因子的定义统一起来。详细探讨了有限元法数值求解应 力强度因子的方法，以有限尺寸板拉伸模型和三点弯曲模型为研究对象，对应力 外推法外推点范围和裂尖尺寸的选取进行了系统的研究，并对应力外推法应用到 双材料问题中的有效性进行了验证。通过对比分析相同边界条件下的单材料和双 材料应力强度因子，从理论上论证了双材料v 型切口作为人为切口的可行性。系 统研究了双材料中切1 3 深度、泊松比、切口张角变化对应力奇异场的影响，得到 了一些相关结论，从而为异体材料形成的v 型切口在应力断料中应用时的参数选 取提供了必要的理论依据。 关键词：双材料；v 型切口；应力奇异性特征方程；应力强度因子；有限单元法； 应力外推法；应力断料 双材料v 型切口理论及应用基础研究 a b s t r a c t u n d e rt h es u b s i d yo fa c a d e m i cs t e pa n dc h a r a c t e r i s t i cs t u d yi nl a n z h o uu n i v e r s i t y o ft e c h n o l o g y ，f o rt h ea p p l i c a t i o no fc r a c kt e c h n o l o g yo nm a c h i n i n go fm e c h a n i s m ， t h et h e o r yo fp l a n ev - s h a p e dn o t c h e si nb i m a t e r i a li si n v e s t i g a t e di nd e t a i l t h ea i mi s a to f f e r i n gah i g h - e f f i c i e n ta n dc o n v e n i e n tm e t h o df o r m i n ga r t i f i c i a ln o t c hi nc r a c k t e c h n o l o g y b a s e do nt h ee x i s t i n ga c h i e v e m e n t so ft h et h e o r yo fp l a n ev - s h a p e dn o t c h e si n h o m o g e n e o u sm a t e r i a la n dt h et h e o r yo fac r a c kp e r p e n d i c u l a rt ob i m a t e r i a li n t e r f a c e ， a sw e l la st h eb a s i ce q u a t i o n so ft h ep l a n ep r o b l e m sa n ds t r e s sf u n c t i o n sp r o v i d e db y z a ka n dw i l l i a m s ，s t r e s ss i n g u l a r i t ye i g e n e q u a t i o nf o rv - s h a p e dn o t c h e si nb i m a t e r i a l m o d e l si sd e d u c e d t h i se q u a t i o nc a nb ec o n s i d e r e da sag e n e r a l i z a t i o nt ot h o s e o b t a i n e db yw i l l i a m sf o rav s h a p e dn o t c hi nah o m o g e n e o u sm a t e r i a la n db yz a k a n dw i l l i a m sf o rac r a c kp e r p e n d i c u l a rt ob i m a t e r i a li n t e r f a c e an e wd e f i n i t i o nt h a t i sd i f f e r e n tf r o mc o o ka n de r d o g a n sd e f i n i t i o nf o rt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ro fa c r a c kp e r p e n d i c u l a rt ob i m a t e r i a li n t e r f a c ei sp r o v i d e d ，a n dt h e ni se x t e n d e dt ot h e p r o b l e mo fb i - m a t e r i a lv - s h a p e dn o t c h t h e r e o u t ，ag e n e r a l i z e de x p r e s s i o no ft h e s t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri so b t a i n e df o rac r a c ki ns i n g l em a t e r i a l ，av - s h a p e dn o t c hi n s i n g l em a t e r i a la n dac r a c kp e r p e n d i c u l a rt ob i m a t e r i a li n t e r f a c e s o m ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d su s e dt os o l v ef o rt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ra r ed i s c u s s e d ，a n dt h r o u g ht a k i n g d o u b l ee d g ec r a c k si nf i n i t ep l a t el o a d e db yu n i a x i a lu n i f o r mt e n s i o na n dt h r e e - p o i n t b e n d i n gs p e c i m e na so b j e c t si n v e s t i g a t e d ，t h es p a no fe x t r a p o l a t i o nn o d e sa n dt h e c r a c kt i pe l e m e n ts i z ei ss t u d i e di nd e t a i l ，a n dt h e na v a i l a b i l i t yo fs t r e s se x t r a p o l a t i o n m e t h o da p p l i e di nb i m a t e r i a lm o d e l si sv e r i f i e d u n d e rt h es a m eb o u n d a r yc o n d i t i o n ac o m p a r a t i v ea n a l y s i so ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri ns i n g l em a t e r i a la n db i m a t e r i a l i sd o n e t h er e s u l t sv e r i f yf e a s i b i l i t yo fv - s h a p e dn o t c hi nb i m a t e r i a la sa r t i f i c i a l n o t c h t h ei n f l u e n c e so fn o t c hd e p t ha n dn o t c ha n g l ea n dm a t e d a l sp o i s s o nr a t i oo n s i n g u l a rs t r e s sf i e l d sn e a rt h ev - s h a p e dn o t c ht i pa r ea n a l y s e ds y s t e m a t i c a l l y , s o m e u s e f u lc o n c l u s i o n sa r ea c q u i r e d ，c o n s e q u e n t l y , t h e s er e s u l t sp r o v i d en e c e s s a r i l y t h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n sf o rt h ea p p l i c a t i o no fv - s h a p e df o r m e db yd i s s i m i l a rm a t e r i a l i ns t r e s sb l a n k i n g k e yw o r d s ：b i m a t e r i a l ；v - s h a p e dn o t c h ；s t r e s ss i n g u l a r i t ye i g e n e q u a t i o n ；s t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；s t r e s se x t r a p o l a t i o nm e t h o d ；s t r e s sb l a n k i n g 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：帮售 日期：口 年6 月i 夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 日期：6 7 年 日期：0 7 * f 月k 日 6b f ob 硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 断裂力学可以简单地定义为“裂纹扩展的应用力学”，是一门主要研究带裂 纹物体的强度及裂纹扩展规律的学科。它萌芽于2 0 世纪2 0 年代a a g r i f f i t h 对玻璃 低应力脆断的研究。发展到二十世纪四、五十年代，断裂力学在金属脆断研究工 作中得到了广泛和系统的应用。根据所研究的裂纹尖端附近材料塑性区的大小， 断裂力学可分为线弹性断裂力学和弹塑性断裂力学，线弹性断裂力学主要应用线 弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断裂准则。线弹性断裂力学可用来解决脆性材 料的平面应变断裂问题，适用于大型构件和脆性材料的断裂分析。实际上对于金 属材料裂纹尖端附近总存在着塑性区，当裂尖的塑性区尺寸与裂纹的长度相比很 小时( 1 0 d ) ，称为小范围屈服。实验和理论都证明，经适当修正后，小范围屈服断 裂仍可用线弹性断裂力学方法解决。当裂尖的塑性区尺寸与裂纹尺寸相当甚至更 大时( 大范围屈服) ，就必须采用弹塑性力学的分析方法进行研究。断裂力学的任 务是：求得各类材料的断裂韧度；确定物体在给定外力作用下是否发生断裂，即 建立断裂准则；研究载荷作用过程中裂纹扩展规律；研究在腐蚀环境和应力同时 作用下物体的断裂( 即应力腐蚀) 问题。 裂纹是固体材料的固有现象，构件中的脆断大多是由固体材料的缺陷或裂纹 引起的，实际构件中存在的缺陷是多种多样的，在断裂力学中，常把缺陷简化为 裂纹。以断裂力学为代表的传统裂纹理论，其研究宗旨最早是建立在防止断裂和 控制裂纹扩展的基础之上的。1 9 7 8 年，由魏庆同、郎福元两位教授首次系统阐述 了利用人为切口的应力集中效应或缺口效应，使切口尖端的裂纹扩展，从而实现 固体材料主动断裂的思想，并将其定义为“裂纹技术”。“裂纹技术”的提出意味 着人们可以利用固体材料的裂纹尖端的应力奇异性，把裂纹的破坏作用转化到为 人类造福的有益作用，把低应力脆断应用于固体分离。从断裂力学的“安全设计” 到“裂断设计”，从避免对脆断敏感的应力状态，发展到设计对脆断敏感的应力 状态；从对断裂的控制发展到有控制的断裂；从对断裂的应力奇异性研究，发展 到利用敏感应力来实现固体材料的快速规则分离。裂断设计使裂纹理论从单向研 究发展到双向研究。 1 2 课题的研究背景及意义 基于裂纹技术的思想，兰州理工大学( 原甘肃工业大学) 魏庆同、郎福元两 位教授自1 9 7 8 年开始，用裂纹扩展进行了大量的断料试验，证实了利用预制切 双材料v 型切口理论及应用基础研究 口和敏感的应力状态，可以实现高效低能耗的规则断裂，进而把这种新的断科工 艺定名为“应力断料”【1 1 1 9 8 2 年，兰州理工大学研制成功国内外第一台全自动 应力断料机的科研样机，应力断料初步应用于生产实践。 在裂纹技术的应用研究中，如何快速制造出符合工程实际的切口是能否高效 生产的关键。限制断裂装备大面积推广使用的关键是设备的效率问题，影响断料 效率的关键是切口工序。目前的车、铣和其他方法均不能满足现代化生产的效率 要求，因此，寻求高效率的人为切口制造方法成为断裂装备大面积推广应用的关 键。文献【2 】将基体裂纹理论引入裂纹技术则为高效制造应力断料中的切口开辟了 一种新的方法，本课题旨在利用异体材料形成的v 型切口的应力奇异性来实现金 属材料的规则、高效断裂，为裂纹理论的工程应用提供高效的裂纹制造方法，从 而满足工程上的应力断料要求。因此为了进一步完善裂纹技术，提高断裂设计理 论研究的深度和广度，并将其最新的研究成果应用到工程实际中去，进行本课题 的研究有着巨大的经济效益。 1 3 课题的相关问题及其研究现状 1 3 1 裂纹技术理论及应用研究 线弹性断裂力学以线弹性理论为基础，研究含裂纹的材料在线弹性变形阶段 发生裂纹失稳扩展的规律，即理想脆性断裂的规律。研究裂纹扩展有两种不同的 观点。一种是能量观点，认为如果当裂纹扩展一增量，使得释放的弹性能多子产 生新裂纹表面所需要的能量，则发生裂纹的失稳扩展。另一种是应力场强度观点， 认为裂纹尖端应力强度因子超过表征材料特性的临界应力强度因子时，裂纹就失 稳扩展。这两种观点有密切联系但不总是等效。由此，从应力场强度观点出发研 究裂纹尖端附近的应力状态及其影响因素、应力强度因子的计算及断裂判据的问 题就成为线弹性断裂力学的主要内容之一。而建立在线弹性断裂力学基础之上的 裂纹技术的研究内容主要包括：裂断设计的基础理论、应力断料方法和裂断技术 装备的研究三个方面。裂纹技术的本质是在适宜的予荷方式造成的敏感应力状态 下，利用人为切口的应力集中效应或缺口效应，使切口尖端的裂纹扩展，从而实 现圃体材料连续界面快速和规则分离。 裂纹技术的思想从提出至今。已经经过了2 0 余年，这期间它在基础理论研 究、应力断料方法和工程应用方面得到了充分的发展。文献【3 6 】将裂纹技术的应 力断料原理引入剪切下料领域，提出了一种新的剪切下料方法“应力法剪切下 料”，进行了相关的理论和实验研究，探讨了应力法剪切下料的特点，确定了影 响剪切质量的几个因素的适宜参数，并与传统剪切进行了比较，得出结论：对于 相同直径棒料，应力法剪切的能耗比传统剪切降低了3 0 左右，其剪切断面的各 2 硕士学位论文 项技术指标都优于传统剪切。这项技术既为精密下料拓宽了道路，又为裂纹技术 增加了新的研究内容。文献f 7 】根据裂断设计原理，在一定条件下( 考虑刀具耐用 度及基于圆周切口试件受拉的模型) 给出了应力断料时棒料上预制v 型切口的最 佳参数。进而介绍了一种用于在圆棒料上切制环形切口的切糟机。文献【8 】讨论了 应力法断料的概念及特点，确定了适宜于低应力脆断的敏感应力状态和最佳预荷 方式，通过实验和计算得出低应力脆断的适宜切口参数，为应力下料的应用提供 了技术保证。文献【9 】从裂纹技术的裂断设计原理出发，在实验研究的基础上，对 超低周变幅疲劳应力断裂的几个设计问题进行了探讨。结果表明：零载至断裂的 加载方式是满足工程超低周疲劳断裂条件下最适宜的加载方式。黄华 1 0 l 提出了在 进行应力断料时用对称两侧压口代替环形切口的思想( 图1 3 ) ，并建立了压口应 力断料的三维有限元模型，进行了有限元分析研究，从而得出了压口应力断料的 合理设计参数，从而为压口应力断料的工程应用打下了理论基础。 口o l m a t e r i a l1 m a t e r i a l2 lm a t e r i a l1 一 劝 一 口 图1 1 单向拉伸下双材料含双边裂纹有限尺寸平板模型 围1 2 三点弯曲下双材料单边裂纹 图1 3 棒科三维压口的几何模型 李有堂等【2 , 1 1 , 1 2 1 则进一步提出了利用异体材料形成的v 型缺口( 基体裂纹) 尖端应力奇异性来裂断材料的思想，从而将基体裂纹理论引入裂纹技术，并探讨 了基体裂纹的应力场强和应力奇异性问题，给出了平面基体裂纹应力场和位移场 表达式，并用有限元一边界元交替法对单向拉伸( 图1 1 ) 和三点弯曲( 图1 2 ) 模型下的基体裂纹在不同参数h b 下的无量纲应力强度因子贝口，6 ) 进行了求解，将 结果与单一材料条件下的结果进行了对比分析，最后得出结论，两者具有较好的 一致性。从而在理论上论证了基体裂纹作为应力断料时人为切口的可行性。徐勇 双材料v 型切口理论及应用基础研究 【l 副基于m a t l a b 软件平台，对三点弯曲断裂模型下的基体裂纹断裂问题进行了 仿真，对仿真结果进行了详细分析，并利用自行设计制造的实验装置，对基体裂 纹的断裂进行了初步的实验研究，仿真和实验结果证实了基体裂纹作为人为切口 的可行性。 1 3 2 v 型切口理论 v 型切口由于其在工程实践中简便易行，一开始就在裂纹技术中得以应用， 从理论和实验的角度研究v 型切口的尖端应力场和位移场，探讨v 型切口作为 人为切口的可行性，考察v 型切口的几何参数对其功能的影响，自然成为裂纹技 术的一个重要问题。 许多文献采用不同的方法来求解各种切口问题的应力强度因子。对于大多数 数值方法，若要有效地计算应力强度因子，都要在不同程度上直接或间接地利用 问题的特征方程。早先的研究大都集中在切口尖端应力场和位移场分布及特征方 程的求解上。w i l l i a m s 1 4 】是最早研究切口问题学者之一，他利用应力函数法建立 了v 型切口问题的特征方程，指出了在切口尖端处奇异性的强弱与切口张开角有 关，而应力场强度是构件几何形状、裂纹形状和远端施加载荷的函数，并把裂纹 看着是切口角度为零的一种极限情况。自从1 9 5 2 年w i l l i a m s 先驱工作后，人们在v 型切口尖端的弹塑性应力奇异性问题、应力强度因子的求取及v 型切口的断裂判 据问题方面用不同方法进行了大量的研究。g r o s s ”】利用级数方法研究了v 型切口 问题的应力分布，但是没有求得v 型切口的特征值，因此没有得到应力和位移的 全场表达式。k u a n g 1 6 j f f f 析了弹塑性v 型切口的奇异场问题。文献 1 8 2 0 从不同 角度提出了v 型切口问题的断裂判据。针对不同的具体问题，很多研究者提出了 不同的方法来求取切口尖端的应力强度因子。z h a o 1 7 】通过研究v 型切口与线形 裂纹之间的联系而从已有的线形裂纹结果得到v 型切口k x 值。s t e r n 2 1 】所提出的互 功围线积分法( r w c i m ) 被认为是利用有限元数值结果获得带裂纹构件应力强度 因子的强有力工具之一。c a r p e n t e r 2 2 , 2 3 把互功围线积分法推广到求解v 形切口问 题。杨晓翔【2 4 】对求解v 形切口应力强度因子的围线积分法作了改进，还分析了单 边和双边v 型切口板的应力强度因子与切口深度和切口张角的变化关系，拟合出 了计算远场拉伸模型中v 型切口的应力强度因子经验公式。龙驭球等 2 5 】则提出了 分区混合有限元法用来分析和计算含裂纹、切口结构的应力场和应力强度因子。 分区混合有限元法是将含裂纹、切口结构分为两类区域：由常规位移元组成的势 能区( p 区) 和奇异应力元组成的余能区( c 区) ，分别以势能区的结点位移和余 能区的应力参数为未知量，通过分区混合能量原理构造有限元基本方程。傅向荣 【2 6 l 从w i l l i a m s 应力函数出发，推导了v 型切口尖端的应力场基本解析解列式。并 用此结果根据分区混合能量原理构造了含切口解析单元，还对含切口解析单元的 4 硕士学位论文 单元尺寸和应力项数等因素对分析结果的影响进行了系统的讨论。s e w e r y n 3 8 ，3 9 ，4 0 】 则针对平面v 型切口问题提出了一个不同于g r o s s ”1 的应力强度因子的定义式。 1 3 3 双材料垂直界面裂纹理论 随着复合材料在工程实践中的应用日趋广泛，双材料界面裂纹的研究也成为 目前断裂理论研究的重点之一，但大部分研究针对的是界面端部裂纹和非金属基 体界面裂纹( 例如：陶瓷基体及纤维基体复合材料) 的研究。能够用于主动断裂 的基体裂纹理论( 例如：双材料垂直并终止于界面的裂纹) 的研究目前也已取得 了一些进展，但研究的内容大都仅限于二维半无限裂纹问题，其研究已取得了较 为成熟的理论成果。对有限尺寸裂纹的研究目前还较少，一般只能借助数值的方 法来进行研究，对有限尺寸双材料v 型切口问题，因为分析中要涉及到特征方程 的求解及奇异应力场和位移场的分布问题，目前可借鉴的研究成果就更少了。 双材料垂直界面裂纹的研究始于z a k 和w i l l i a m s | 2 7 1 ，他们研究了双材料中半 无限长垂直界面裂纹问题，得到了裂纹与界面接触点附近的奇异性指数的特征方 程。c o o k 和e r d o g a n 2 5 】对“半无限”垂直并终止于界面裂纹模型( 如图1 4 ) 进 行了分析，并利用m e l l i n 积分变换的方法，得到了半无限长裂纹受集中力作用时 裂尖处的奇异应力场，给出了其应力强度因子足t 的值。 j i l t e i f a c e 图1 4 半无限体中垂直并终止于界面的裂纹 1 9 9 1 年a h m a d 【2 9 1 采用8 节点等参元用位移有限元法对图1 4 中的问题进行了 分析，从而得到了渐进应力场的数值解。p i h u a w e n 3 0 1 应用不连续位移法( 边界 元法) 计算了双材料垂直界面裂纹板的应力强度因子。1 9 9 4 年c h e n 3 1 l 采用特征 函数展开法研究了半无限板垂直界面裂纹受法向力、切向力及二者共同作用时裂 尖附近的奇异应力场，给出了对称及反对称载荷条件下奇异应力场和位移场的表 达式，并对式中的角位移分布函数在不同材料匹配下的变化规律进行了研究，定 义了对称及反对称载荷下应力强度因子置l 、k n ，用体积力法数值求解了应力强 度因子。 双材料v 型切口理论及应用基础研究 对于具体问题有限尺寸问题应力强 度因子的求解，由于其问题的复杂程度远 大于单材料问题，所以研究成果相对较 少。有部分研究者用不同的方法对几种有 限尺寸模型进行了研究。1 9 9 6 年s l a h i r i 3 2 用有限元一边界元交替法( f i n i t e e l e m e n t - b o u n d a r y e l e m e n t a l t e r n a t i n g “ m e t h o d ) 对双材料有限尺寸裂纹板( 如图 1 1 ) 进行了研究，并对置。值与计算模型 的相关参数的关系进行了初步的探讨。 1 9 9 9 年e e g d o u t o s i ”j 基于z a k 和 w i l l i a m s 所提出的应力函数对轴向载荷 下具有环向垂直界面裂纹的轴( 图1 5 ) 的脆性断裂问题进行了研究，计算出了裂 尖附近的应力和位移。w o n k y u n l i m l 3 4 , 3 5 基于裂纹表面的裂尖位移解 v ( r ，万) 给出了计算图1 6 所示模型平面应 变问题的应力强度因子的表达式，并用等 am ， f ff 唾 m a 协x l b e r 唾 僻t l l 帕 ( 彤炒 。知 i 2 i i ! 垄 一 围1 s 轴向载荷下具有环向 垂直界面裂纹的辘 参有限元对应力强度因子进行了分析计算。在进行有限元分析时，为了提高计算 精度，他采用了s t a a b 3 q 和a b d i l 3 7 1 提出的通过移动8 节点等参元内节点位置而在 裂尖获得r - 。应变奇异性( 即不同于单材料裂纹中1 7 奇异性) 的方法。同时， 还分析了裂尖单元大小对计算结果的影响。 a w = a l = l i 9 图1 6 垂直界面裂纹的有限尺寸模型 1 3 4 小结 作为新的学科方向，在裂纹理论主动化的应用研究中有待解决的问题还很 6 硕士学位论文 多，其中核心的问题是主动设计敏感应力场、裂纹的快速制造方法和可控规则断 裂理论的开拓和完善。基体裂纹理论正是为高效制造应力断料中的裂纹开辟了一 种新的方法，从而满足工程上的应力下料要求。目前能够用于主动断裂的基体裂 纹的研究也已取得了一些进展，但对于更接近工程实际的双材料垂直界面v 型切 口问题，目前的研究还很少见，包括文献【2 ，l l ，1 2 ，1 3 1 在进行基体裂纹的理论研究 时，都采用了裂纹形式( 即切口角度为零的特例) ，因此，对双材料垂直界面v 型切口问题进行深入的理论研究则有着实际意义。同时，何种材料组合能够形成 理想的人为切口( 即，匹配弹性模量和泊松比对其切口尖端应力奇异性的影响) 、 切口的角度及深度变化对其影响在理论研究上尚属空白，有待于进一步研究。 对于各向同性弹性双材料垂直界面裂纹问题，在理论上己得到充分研究，其 裂纹尖端的应力和位移渐近场己经得到，其应力强度因子可由问题的整体解确 定。对于有限尺寸模型，由于问题复杂性，很难得到解析解，须通过数值计算等 途径以得到符合工程精度的近似解答。然而，在各种数值方法中，不管是通过构 造奇异单元【3 4 , 3 5 进行数值计算，还是通过互功围线积分等方法，都存在计算过程 比较复杂、计算量大，通用性差等缺点，不便于工程应用。因此，寻求通用性强、 便于应用的数值方法也成为本文的工作之一。此外，在有限元方法中，裂尖单元 的大小、分布及节点的选取对应力强度因子的求解精度影响较大，如何有效地提 高应力强度因子的求解精度，也是值得研究的问题。 1 4 课题的来源、研究目的和研究内容 1 4 1 课题的来源 本课题来源于兰州理工大学学术梯队与特色研究方向资助计划，属于科研课 题。 1 4 2 课题的研究目的和研究内容 本课题旨在利用异体材料形成的v 型切口的应力奇异性来实现金属材料的规 则、高效断裂，为裂纹理论的工程应用提供高效的裂纹制造方法，从而满足工程 上的应力断料要求。具体的研究内容如下： 基于弹性力学平面问题的基本方程及z a k 和w i l l i a m s 所提出的应力函数， 推导出了双材料垂直界面v 型切口尖端的应力奇异性特征方程。此方程可以看作 是z a k 和w i l l i a m s 2 7 1 所得到的双材料垂直界面裂纹的特征方程和w i l l i a m s 【h 】利用 应力函数法建立的v 型切口问题的特征方程的一般性推广。 对于双材料垂直界面裂纹问题，给出了不同于c o o ka n de r d o g a n 2 8 1 的应 力强度因子的定义式，并将其推广到双材料v 型切口问题中，此定义式可以看作 单材料v 型切口问题、单材料裂纹问题、双材料垂直界面裂纹问题的一般性推广。 7 双材料v 型切口理论及应用基础研究 基于此定义式，推导出了用应力外推法计算双材料v 型切口应力强度因子的计算 公式，并用数值算例对其合理性和有效性进行了验证。 利用单材料含双边裂纹有限尺寸平板受单向拉伸模型和三点弯曲模型， 通过数值算例对应力外推法的外推点范围和裂尖单元尺寸的选取以及有限元网 格的划分方式进行系统地对比性分析研究，然后将分析所得结论推广到双材料的 分析中。 通过分析相同几何模型和边界条件下单材料和双材料应力强度因子与 a l b 变化关系来论证双材料v 型切口作为人造切口的可行性。 通过数值计算，分析双材料垂直界面裂纹深度和泊松比比值对应力奇异 性的影响以及双材料v 型切口张角变化对切口尖端应力奇异性的影响。得出了一 些结论，为双材料v 型切口应用到应力断料中的参数选取提供一些必要的理论依 据。 8 硕士学位论文 2 1 引言 第2 章双材料平面v 型切口理论 v 型切口在工程应用中极具普遍性，在应力断料的工程实践中，也是用尖锐 v 型切口来实现低应力脆断的敏感应力状态。因此研究双材料下v 型切口问题的 相关理论就具有实际意义。 本文从弹性力学平面问题及其基本方程出发，系统阐述了利用应力函数法求 解平面裂纹问题和单材料平面v 型切口问题的相关理论和方法。基于z a k 和 w i l l i a m s 所提出的应力函数推导出了双材料平面v 型切口的特征方程，此方程可以 看作是z a k 和w i l l i a m s 2 1 所得到的双材料垂直界面裂纹的特征方程和w i l l i a m s 1 4 】 利用应力函数法建立的v 型切口问题的特征方程的一般性推广。同时，本文将 a n d r z e js e w e r y n 3 8 】关于单材料v 型切口的应力强度因子的定义式引入双材料垂直 界面裂纹问题中，得到了不同于c o o ka n d e r d o g a n 2 8 】的应力强度因子的定义式。 2 2 弹性力学平面问题及其基本方程 任何一个弹性体都是空间物体，所受的外力都是空间力系，因此严格地来说， 任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题。但是，许多工程构件，例如面内承 载的薄板、水坝、隧道、厚壁圆筒、滚柱等都可以近似简化为平面问题，使分析 和计算工作量大大地减少，而所得到的结果仍然能够满足工程上的精度要求。弹 性力学平面问题通常分为平面应力问题和平面应变问题。 在不考虑体积力时，弹性力学平面问题的平衡方程为： 亟+ 堡：o 0 x 砂 ( 2 1 ) 堡堕：0 砂 咖 式中：吒、盯，和为应力分量 几何方程为： e x = 罢巳= 言岛= 斋+ 罢 ( 2 - 2 ) 瓦巳2 面岛2 瓦+ 瓦 ( 2 。2 ) 式中：q 、s y 和y v 为应变分量，“和v 为位移分量。 由几何方程消去“和1 ，可以得到应变协调方程或相容条件： 等+ 鲁= 鲁 仁s ， 缈2 苏2 苏匆 、 9 双材料v 型切口理论及应用基础研究 半圆_ 匝力状态f ，兵物理万程为： & 2 圭h 一蚂) 髟2 吉b 一刚 亿4 、 巳= 一考h + o - y ) 岛2 否1 知g 4 夏再e 丽 上式中的雎e 用( 1 一) e ( 1 一2 ) 代替后即可得到平面应变状下的物理方程， g 为剪切模量，e 为弹性模量，为泊松比。 利用物理方程，可从应变相容条件得到应力相容条件 v 2 h + q ) = ( 等+ 雾肛+ q ) = 。 ( 2 - 5 ) 引入a i r y 应力函数o ，则应力分量 q = 等q = 窘勺一塞 弘s ，q 2 矿q 。可知一丽 厶o j 总能满足平衡方程，将其代入相容条件，得 ， v 2 ( 警+ 窘) _ v 2 v 2 西= o ( 2 - 7 ) 这就是用应力函数表示的相容条件，或称双调和方程。若所取应力函数既满足双 调和方辉叉满足具体问题的边界条件，就可以得到平面问题的具体解答。 2 3 平面裂纹问题的基本理论 2 3 1 断裂模式 按照裂纹的几何特征，可以把裂纹分为穿透裂纹、表面裂纹和深埋裂纹。在 实际构件中的裂纹，按照受力情况，可以分为三种基本类型： 审蚵商 i 型儿型 l i i 型 图2 1 裂纹的三种位移类型 1 张开型( i 型) 裂纹受垂直于裂纹面的拉应力作用，裂纹上下两表面相对张开； 2 滑开型( i i 型) ，又称面内剪切型 1 0 硕士学位论文 裂纹受平行于裂纹面而垂直于裂纹前缘的剪切应力作用，裂纹上下两表面沿 x 轴相对滑开； 3 撕开型( i i l 型) ，又称反平面剪切型 裂纹受既平行于裂纹面又平行于裂纹前缘线的剪切应力作用，裂纹上下两表 面沿z 轴相对错开。 对于i 型和i i 型裂纹，是属于平面问题；对于i i i 型裂纹，是反平面问题。 2 3 2w e s t e r g a a r d 应力函数 对具有裂纹的弹性力学二维问题，用复变应力函数求解较为方便，只要所求 二维问题的应力函数既满足双调和方程，又满足具体问题的边界条件。 针对i 型裂纹问题，w e s t e r g a a r d 引用如下的应力函数 o = r e z + y i m z( 2 8 ) 其中，z 为复变解析函数，z 是z 的一阶导数，也是z 的一次积分，因此w e s t e r g a a r d 应力函数也就自然满足双调和方程。 将上式代入式( 2 6 ) ，得 吒= 矿0 2 0 = 等( r e 荔) 芬皿艺) ：旦f 堑1 + 旦f 迦1= l l + 一lo l 一i 砂i 砂j 砂l 锣j ， = - y l m z + r e z 同理可以求得i 型裂纹应力场各应力分量的表达式 吒= r e z y i m z q = r e z + y i m z ( 2 - 9 ) f 。= 一y r e z 将式( 2 - 9 ) 代入物理方程，有， 毛= ( 吒一朋。) = 吉【( 1 一# ) r e z 一( 1 + 力j ，i n l z 】 占，= 丢( q 一脚吒) = 三【( 1 一) l k z + ( 1 + u ) y i m z 7 】( 2 - 1 0 ) 岛= 石1f f = 一否1 j ，r e z 将上积式分即得位移表达式 ： ( 1 一) r e 乏一( 1 + ) _ ，i m z 】 v = 【2 h 乏一( 1 荆_ ) ，r e z 】 、 双材料v 型切口理论及应用基础研究 i i 型猾移型或咖冈舅切型) 裂纹 取应力函数：o 兀= 一蛐。乏，代入式( 2 - 6 ) ，得到各应力分量的表达式 巳= 2 l m z n + 妒。磊 q = 一以磊( 2 1 2 ) = r 。z n 一儿磊 将式( 2 - 1 2 ) 代入物理方程，并且利用应变和位移的关系，积分后得到平面状态下 的位移表达式 材= 下i + v 2 ( 1 一y k z u + y r , z n ，：季l + v 卅r 2 v ) r , 豕蜗】 q 。3 2 3 3 平面裂纹尖端附近的应力场和位移场 以裂尖为坐标原点，采用w j s t e f g a a r d 应力函数方法分别选择适当的解析函数 z 即可推导出i 型裂纹和i i 型裂纹问题的应力和位移场渐近表达式，具体推导过 程可参考有关书籍 6 5 , 6 6 】。 i 型裂纹裂尖附近应力场和位移场主奇异项的表达式如下： q = 去c o s 弘血詈s m i 3 0 ( 2 - 1 4 a ， q = 去c o s 知咖罢s m 了3 8 ( 2 - m ) ：等咖导c o s 罢c o s 警( 2 - 1 4 c ) 2 了赤锄i 螂i 咖丁 1 4 。) “= 硒g i 旧r 阻胁罢一了3 0 ( 2 - 渤) v = 硒g i 压r 卜- ) 咖争百3 0 ( 2 - 1 5 b ， 热i _ j 嚣平面应力。 3 - 4 平面应变 i i 型裂纹裂尖附近应力场和位移场主奇异项的表达式如下； 吒面g hs m 知c o s 詈c o s 习( 2 - 1 6 a ) q = 丽k n 一i o c o s g o s 3 0 1 6 b ) t ( 2 - 1 6 b )q 。丽“i 咖8 1 2 硕士学位论文 = 羞茅c o s 罢( 一咖旦2 如翌2 ) 甜一4 g v 臣2 石k l + s ) s m 詈+ 血詈l 甜= j o b 七+ 3 j s m i + 锄了l v = 鲁压卜，) c o s 罢了3 0 忙右、瓦l 阱。3 j 咖i 悃8 了l 式( 2 1 4 ) 、( 2 - 1 6 ) 可用张量标记统一表达成 嘞= 去， 乃p ) 式中：m 分别取t 和l i ( 2 - 1 6 c ) f 2 1 7 a ) ( 2 - 1 7 b ) ( 2 - 1 8 ) 墨= l i m2 x 厮o y ( r ，o ) 三：画厩( ，岛 ( 2 - 1 9 ) 2 姆2 万【，o ) 。 三麓 。， = 器压姆掣 一 2 4 单材料平面v 型切口理论及其应力奇异性特征方程 w i l l i a m s 1 4 指出，在弹性理论的基础上，v 型切口尖端附近的渐进应力场具 双材料v 型切口理论及应用基础研究 有奇异性，奇异的程度仅取决于切口的张开角度，而应力场强度是构件几何形状 和远端施加载荷的函数。如图2 2 平面v 型切口模型，坐标原点位于v 型切口的 尖端，x 轴取在切口张角平分线上，切e l 角度为筇，? = u - f l 。弹性平面v 型切1 5 1 问题可以化为求解应力函数的双调和函数的边值问题。 图2 2 平面v 型切口模型及其坐标系 极坐标下的物理方程为 b 2 壶b p o o )岛2 壶瓴一胪，) 。石7 一拈互i 而 极坐标下的几何方程为 0 uu a ， 跏 o u， 占，2 石2 7 + 一r o b以p 。石+ 丽一7 同样地，对于平面应变问题，、e 用0 - 1 ) 、e o - p 2 ) 代替即可。 当应力函数满足双调和方程时，极坐标下的应力分量为 1a 2 中1a 中a 2 中 o r2 一l , 2 万+ i 石o o2 矿 疗，1a 、a 事a 2 0 t r o 一- d t 7 丽j _ 而一r a r 0 8 极坐标下的相容条件 v 2 v 2 中= 睛+ 吾昙+ 吉杀挎+ 吾；+ 上r 2 旦0 0 2 k ) = 。 v 型切1 2 1 的裂纹面边界自由条件 a o ( r ，) = 0 盯，( ，一，) = 0 f 坩( ，) = o 铂( ，- y ) = 0 1 i 型v 型切口问题( 对称载荷的情形，( ，o ) = 0 v r o ( ，o ) = 0 ) 应力函数可取为如下形式【1 卅 o = ，卅厂= ，i a c o 电+ 1 ) o + b s i n ；h o s i n o 】 1 4 f 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 佗- 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 a ) ( 2 2 5 b ) ( 2 - 2 6 ) 式中彳和曰是待定系数，由边界条件确定。将应力函数代入式( 2 2 3 ) ，得到 铲葛苌蛩1 ) s i “n & 岫o s m i n o - 啪2 b ；。c o s ；。e c o s o ( 2 2 7 a ) + 观“一 7 q = ，p 1 “+ l n c o “+ 1 ) o + b s i n o s i n o 】( 2 2 7 b ) z b l 一翟毁0 + 1 s i b n0 吨4 - s i n + 裟0c o s 们 ( 2 2 7 c ) 一i a ，c o s 五a 口l一。 将上式代入边界条件，可得一组线性齐次方程组 彳c o s i + 1 ) y + b s i n y s i n y = 0 ( 2 - 2 s a ) 彳“+ 1 ) s i n “+ l ：) 旷一b “c o s y s i n ，+ s i n 五，c o s ，) = 0( 2 2 8 b ) 由于彳和占不能同时为零，故方程组( 2 - 2 8 ) 要有非零解，其系数行列式必为 零，由此得到 ，) = s i n 2 五l