（科学技术史专业论文）江户时代的和算流派.pdf

摘要 本文从社会学的角度，探讨江户时期的和算流派，论述了诸流派产生的社会 背景，就和算各流派的状况及数学内容，以及对江户时代和算发展、数学普及作 用作出论述。全文由五部分构成。 第一部分，分析和算流派产生的社会背景，认为和算是以艺道的形式发展起 来的，与江户时代的各种艺道一样，在传授过程中采取了家元制，形成了免许制 度，并对和算家的社会出身试作分析。 第二部分，概述江户时期和算诸流派的状况，围绕各流派的师承关系、活动 地点、传授的数学内容等展开论述。 第三部分，代数学与无穷小算法是和算发展中最为显著的数学成就，部分内 容已达到西方近代数学的水平。和算各流派在这些方面都有不同程度的研究，本 文以这两部分内容为例，比较丰要流派数学内容的异同。此外，探讨了流派间的 学术互动。 第四部分，以长谷川宽流派为例，论述和算流派对江户时期数学发展与数学 普及的作用。 第五部分，结语，以数学学派的社会学视角评论和算流派的特点与历史作用。 关键词：和算流派家元制免许状数学普及 江户时代的和算流派 绪言 德川家康( 1 5 4 2 1 6 1 6 ) 于1 6 0 3 年迁都江户( 今东京) 开江户幕府( 1 6 0 3 一1 8 6 7 ) ，开始了长达2 6 0 余年的江户时代的封建统治，史称江户时代或德川 时代。幕府建立初期，由于禁止基督教传播，1 6 3 3 一1 6 3 9 年间发布了五个锁 国令，直至1 8 5 4 年和美国缔结日美亲善条约才被迫开国。江户时代的锁 国在经济上促进了日本民族经济的发展和经济体制的形成；在文化方面虽然 限制了对西方文化的吸收，但对中国文化的吸收仍然十分盛行。而且，由于 锁国而得到了充分的时间来从容不迫地咀嚼、消化、融合已经吸收的东西， 并创造自己的东西。这一时期是日本摆脱模仿中国的习气，创造民族文化的 重要阶段。 日本传统数学的发展大致分为四个阶段。第一个阶段，从飞鸟奈良时代 到织丰时代，是全面摄取中国数学的时期；第二个阶段，从织丰时代到江户 初期，是实用数学阶段；第三个阶段，关孝和及其之后的日本数学，即和算 的时期：第四个阶段，是明治以后脱离传统，西洋化的阶段。而江户时代正 好处于锁国阶段，是日本数学独立发展的时期，超过中算并形成日本民族特 色亦是在此时期。 和算在江户时期是作为兴趣、作为无用之用，以艺能的形式发展、进步 的。和算知识的承传和诸艺道一样采用家元免许制度。在整个江户时期 曾先后出现二十几个和算流派，像关流、最上流、宅闻流、中西流、三池流、 大岛流等。其中“关流数学”代表了当时的主流数学，它与其他流派共同带 动了江户数学的繁荣。 和算流派在和算发展史乃至东亚数学发展史上具有独特性与重要作用， 因此有研究的必要性。关于和算史研究，以往的研究主要侧重内史( 和算知 识进化史) 研究，外史研究不够，主要有三上义夫从文化史上看日本的数 学，从文化史的角度研究了日本数学，很少有人从社会史的角度研究和算。 已有的相关研究有三上义夫的关流数学的免许阶段的制定与变迁 ，主要 从社会学角度论述了关流免许阶段的制定和变迁，而乌云其其格的博士论文 和算的发生。则主要从文化史和社会史角度论述了和算的产生。和算流 派在和算发展史上具有重要作用，但是作为硕士论文的专题研究还没有出现。 本文以此为对象，从数学社会学的角度来研究。 。三上义夫著，佐佐木力编从文化史上看日本的数学岩波文库1 9 9 9 。三上义夫关流数学的免许阶段的制定与变迁( 上) 史学第十卷第三号昭和六年九月 。乌云其其格和算的发生中国科学院博士论文2 0 0 0 江户时代豹和算流派 第一章和算流派形成的社会文化背景 1 1 江户时代的艺道与和算 r 本文化虽然是汉字文化圈的一部分，但是具有它的独特性( 民族性) 。 它重视内在的高雅，甚于外表的辉煌，表现出雅( 高雅) 、哀( 自然伤感) 、佗 ( 幽静) 豹特点。日本中世纪发展起来的艺道文化，当然也具有日本文化的上 述特点。 日本的艺道文化，范围甚广，涉及歌道、俳偕道、能艺道、花道、茶道、 书道、画道、棋道乃至剑道、柔道、武士道等，直接与“文武两道”有关的技 艺，都通称为“道”，并且拥有各自的艺道理念和艺道的规范。技艺称之为“道”， 不仅意味着艺伎有达到至高至纯的技法，而且还蕴含着深刻的文化精神的内涵 和具有某种普遍意义的哲理。 茶是镰仓时代由佛教僧人当作药介绍到日本的。但是由茶而发展成的茶道 却是日本特有的。茶道是足利义政将军部下的村田珠光创始的。在室町时代， 武士领袖和富有的商人们会晤，讨论政治或者商业问题时，往往要沏茶喝。悠 闲地坐在与外界尘世忧虑相隔绝的安静的茶室中，听着炉子上水在沸腾的声 音，人们认为这是非常高雅的享受。把喝茶提高到艺术水平的是千利休。喝茶 之所以发展茶道艺术，和当时的社会背景有关。在丰臣秀吉支持之下发展起来 的茶道，有两个明显特点，这些特点也反映了丰臣秀吉的生活和性格。秀吉征 服全国，使昔日的中央政府和它的艺术向一种地方性的农业势力屈服。因此， 金碧辉煌的宫殿和装饰得像茅屋农舍的茶室虽性质不同、但他们又是同一个硬 币的两个面。将军和富商在外表上装饰得辉煌壮丽，但内心中却期望生活于恬 静沉思的气氛之中。茶道的精神在“百忙之中挤出的片刻闲暇”。 花道，是一种插花艺术，但提高到艺道的境界，是与茶道的发达分不开的， 成为茶道的有机组成部分。首先将插花艺术引进茶室是池坊专庆，他主张：“仅 以点滴之水，咫尺之树，表现江山万里景象，瞬息呈现千变万化之佳兴。正所 谓仙家妙术也。”也就是说茶室中插花，重点放在“心”上，也就是必须用“心 眼”来观赏，避免以华美炫人，而要力求展现出自然、简洁和朴素，与茶室保 持和谐与协调一致，与茶道的基本精神相通。至江户时代，插花艺术正式命名 为“花道”，提升成为艺道文化。它不仅是一种获得观赏性的美的享受，而且 含有精神上修炼的意义。以后随着花道的不断发达，先后出现了各种不同风格 的流派。 实际上，茶道、花道以及能乐道、画道，这些艺道，都是强调从“无” 的境晃中发现完全而纯粹的精神性的东西，它们的创造者没有把空寂的“无” 看作是消极的情绪，相反地从中发现了其积极的内核，可谓“无中万般有”。 江户时代的和算流派 艺道所追求的艺术道德目标是： 成为最高尚的艺术必须和道德一致；热心是达到妙技之门； 至死学不休：决不以己之技夸耀； 常与优于己者为友；未闻之曲不妄自评论； 不可闻其音而马上判断其曲之是非；决不追赶流行。 和算也是以艺道模式发展起来的，江户时代有“算道”的称谓。三上义 夫在从文化史上看日本的数学中，首先揭示了和算的艺道化特征。和算 在发展过程中也十分注重美学，绘制精美的算额，将数学问题供奉在神社以 求解答，这是日本独特之处。把数学作为艺术来处理，这与日本是个艺术趣 味浓厚的国家是相一致的。之后，小仓金之助也曾经指出，正当欧洲的学者 在大学、学会从事科学研究之时，和算家却没有可以与之匹敌的学堂，他们 只有一种行会性质的组织，他们的生活模式与武术、围棋、象棋匠师的生活 的模式相同，这样的生活模式必然地导致了他们追求数学解题过程中的巧妙 性而不是数学发展的理论化、结构化，与其说和算是一种学术，到不如说它 是作为一种艺术繁荣起来的，这是封建时代和算的特质。【2 l 此外，小仓金之助还指出，虽然和算的出现是因为实用，但是德川时代 由于产业技术和自然科学都不发达，加之和哲学思想方面的接触也较少，所 以和算不得不渐渐地作为游艺的艺能、作为趣味、作为无用之用来发展。【3 】 由此可见，和算以艺道的形式发展并不是偶然的，而是日本文化所决定的， 是与和算家的素养以及当时的社会生产力水平、文化氛围等诸多因素相关的。 1 2 家元制与技艺承传 家元组织是传统日本社会重要的非亲属集团。家元即“家之根本”。但这 里的家不是一般意义上的家，而是专指有某种特殊技艺者的家庭或家族。家 元是指那些在传统技艺领域里负责传承正统技艺，管理一个流派事务，发放 有关该流派技艺传授许可证，处于本家地位的家族或家庭。以这样的家庭或 家族为首，常常形成庞大的组织。 家元组织主要存在于下述三个领域：武家社会，如剑道、弓道、炮术、 马术柔道等。宗教界如神道、佛道、道教以及儒教各宗派。传统文 化的技艺领域。如花道、茶道、画道、歌舞伎、能、日本舞蹈、净琉璃、和 歌、古琴、琵琶、盆景、围棋、将棋等。家元组织被视作日本人晟l 重要的非 亲属集团。家元制度在结构上存在以下四个重要特征。 1 师徒之间的主从关系 师傅收徒授艺，弟子绝对服从师傅。在技艺内容的解释方面，师傅禁止 弟子作任何变更。基本技艺的传授、组织的扩大、分裂与组合等皆由师傅决 定和控制。在技艺传授方法上，强调“腹艺”，即主要不是用清楚的语言表达， 3 江户时代的和算流派 而是靠“心领神会”。这一特点使师傅的地位具有神秘性和权威性，从而进一 步强化了师徒间的主从关系。师徒关系是一种建立在“恩义”基础之上的主 从关系。即师傅对弟子有永久的恩情，这种恩情不仅表现在师傅教会了徒弟 技艺，还表现在师傅对弟子给予职业和社会上的庇护。弟子对师傅则有报恩 的义务；即他必须忠心耿耿地为师傅服务，不再改换门庭跟随别的师傅，在 业务上必须忠实地模仿师傅的技艺，在各种重要时刻向师傅赠送钱或物品以 感师傅的栽培之恩等。这种关系不仅是牢固的，也是连续的，即不仅他本人 在业务上要不断表明他是“某某流”即声明“家元是谁”，还要求他的弟子这 样做。 2 连锁的等级关系 家元是一种等级制度。这个制度通过师傅连接着许多弟子，而师傅又通 过更高一层的师傅相联结。这样便形成了一个以家元为项点，联结众多师傅 与弟子的庞大的组织体系。它类似以父子关系为轴心的亲族集团。那个处于 最高地位的“师傅”( 通常是该技艺流派的始祖或有杰出贡献者) ，成为这个 集团的祖先。这位祖先通常具有某种神赋才能和品格，该派技艺由他以秘不 宣人的方式传授下来。他死后，权威由他的男性后代( 没有男性后代时，由 婿养子或养子) 来继承。由他直接传承下来的家族便成为家元。家元代表该 门技艺的正宗，并起着统帅整个家元组织的作用。家元组织内等级地位的排 列取决于：同家元血缘关系的远近，获得艺名资格的年限，技艺水平等。 3 家元的最高权威 家元有最高的权威。它对所属的流派有控制权，并负责维持该流派的正 统，制定和维护评定技艺优劣的标准，发放开业许可证，调整各分支集团的 势力范围和利害关系。家元还有权把行为不端的弟子开除出去。家元的权威 是同一定的特权相联系的。家元除了在弟子入门时收取费用外，还有权在各 种重要时刻收取费用。另外，家元还有权将其位置世袭。家元是一种既得利 益，家元地位意味着丰厚的收入。当代的茶道、花道等家元都极富有。家元 制度是一种强有力的统治制度。家元对流派中所有的人都有强大的控制权。 加入这个制度的个人，以一种类似君臣之间的服从关系相联结。 4 拟家族制 家元制度虽然不是真正的家族制度，但它的构造以及运作原则却模拟了 家族制度的许多特点。师傅具有家长的身份，他的弟子类似他的孩子。弟子 通过获得新的家名和个人艺名，从而确定了一种类似父子关系的“血缘关系”。 同一个派阀的人称为“自己人”。1 4 】 日本学者西山松之助认为日本社会形成家元制度原因由三：第一，是家 元制度本身构造上的原因，即“艺名”制度满足了日本人重名义胜于重实际 4 江户时代的和算流派 重富、宫本自得、佐藤解记、野荣亲等；医家出身者，如香月启益、村井中 渐、中川淳庵、麻田刚立等；农家出身者，如石黑信由、岩田应成、斋藤尚 中等；儒者小池友贤、大庭景明、入江修敬、荻生徂徕、松宫俊仍等；国学 者山本格安、话村远里、神谷定令等；书法家细井知慎；画家藤原德风；僧 人文雄、觉道。而一般修习者都以町人、农民为多，对和算研究有重要成就 并对和算教育起重要作用和影响的还主要是武士们。笔者根据增修日本数 学史，对德川时代比较著名的三百余位和算家的出身进行统计，发现近1 3 都是武士身份，下面对这一特殊群体加以分析。 1 3 1 武士阶层的形成 “武士”一词十世纪以前虽已出现，但不固定。同样含义的词语还有“兵”、 “侍”、“武者”等，到十二世纪时三者统一为“武士”。武士自出现到镰仓幕 府建立，形成为一个阶级并建立政权，这期间历经了近3 个世纪的曲折过程， 大体可分为五个阶段：土地扩张阶段，对抗朝廷阶段，充当鹰犬阶段，形成 新贵阶段，建立幕府阶段。曾先后建立镰仓幕府、室町幕府、江户幕府等武 家政权。武士政权延续了近7 0 0 年，直至明治维新。武士最初是一群以射艺 为专业的骑兵，被选拔到国衙之中，从事国司之馆和政厅的宿直警卫。后来 贵族也有自己的护卫家院的武士。随着日本封建庄园制的进一步发展，新兴 的有势力名主为保护自己利益，开始蓄养武装与中央朝廷和地方国司相对抗。 名主武装初以血缘同族为核心，按主从关系将家仆、下人编成战斗集团，而 小名主与农民为请求大名主的保护，也自愿加入这个集团，主从关系因之逐 步扩展，形成势力强大的武士团。庄园以外的国司领地内也有武士团，甚至 有解任国司另组武士团者。1 0 1 2 世纪，全国有许多政治影响颇大的武士团， 突出者有清和源氏、桓武平氏。由于中央兵制解体，地方混乱，地方贵族和 天皇朝廷都要借武士团之力保卫自己。在外戚集团与皇室的权力斗争中，武 士乘机排斥摄关、院厅势力，控制了中央政权。后来，源赖朝灭平氏，任征 夷大将军，创镶仓幕府，武家政权诞生。经室町时代、织丰时代和江户时代， 武家政权存在近7 0 0 年。在江户时代，武士阶层形成严格的身分等级制度， 武家权力达于顶点。明治维新后废除了封建的身分等级制度，1 8 7 2 年否定武 士身份，此后，武士阶层日渐消失。 1 3 2 武士道精神 人类在相当长的历史时期中是在阶级对立中运动的，因此道德是阶级的道 德。在奴隶社会与封建社会阶级是通过复杂的等级来表现的。就日本封建社 会来说，在平安时代后期，尤其是进入镰仓、室町时代以后，封建主阶级中 就出现了贵族与武士的身份区别。在进入江户时代后，社会各阶层更明确地 6 江户时代的和算流派 分为士、农、工、商四大等级。各大等级内部又分若干小等级。江户时代的 阶级道德具体表现为等级身份道德。贵族与武士虽同属封建主阶级，但由于 他们的社会物质生活不同，人与人的结合关系不同，因而他们的道德观亦有 所不同，武士的道德规范被称为武士道。 武士道有一个形成与变迁的过程。武士道的形成与变迁始终与儒家思想 的影响密不可分。武士团是相对封闭的集团，其内部最主要的人际关系，一 是主从关系，二是家族关系。规范这两种关系的道德观念，便是对主君的“忠” 和对亲长的“孝”。在日本武士的主从关系中，最初，臣属对主君的“忠”也 不是臣下单方面的绝对忠诚义务，它是以主君的“恩”为交换条件，带有某 种契约性质。不过，由于武士间的主从关系常常是世代相袭的，因而在经济 利益之外，也逐渐形成了情的关系。有时主君的“情”甚至超过主君的物质 性恩惠，这对武士从有条件的忠向绝对的忠奠定了基础。在镰仓时代“忠”、 “孝”之中何者为重尚未形成统一的认识与规范。进入室町时代，尤其是到 了“应人、文明之乱”咀后的战国时代，幕府和各地的大名逐渐重视儒学。 随之，儒学的道德观也成为日渐理论化的武士道德规范的重要内容，开始强 调对主君和亲长的无条件的“忠孝”，并把它们当作最根本的道德规范。 对镰仓、室町时代的武士道德观有影响的除了儒学，还有佛教禅宗。禅宗认 为只有否定了作为执迷根源的自我，进入无我境地，完全断绝了生死的羁绊， 才能“见性成佛”，它从精神上支撑武士们不计生死追随主君。因此，这一时 期的武士道是“死的觉悟”的武士道。进入江户时代，武士的社会机能与生 活方式都发生了重大变化。江户幕府统日本后，出现了较长的和平时期。 幕藩统治者为巩固统治，实行“兵农分离”和严格的士、农、工、商四民等 级制。武士们作为最高等级的“士”，大多离开农村领地住进城市过寄生生活。 他们的主要职能不再是战斗员，许多入成为行政官僚。由于武士社会职能与 生活方式的变化，以往“死的觉悟”的武士道已不适用。此时，日本古学派 儒者山鹿索行( 1 6 2 2 1 6 8 5 ) 为刨立新的武士道做出了重大贡献。他以儒学思 想改造原有的武士道理论，完成了武士道由“死的觉悟”向“道的自觉”过 渡的理论，使之成为江户时代武士最主要的生活指导原理。山鹿语类中指 出武士要“立本”，应“知己之职分”。其中规定了武士有两大职分：一是要 象过去一样，对主君尽忠：二是应“自觉”和实践“人伦之道”，并作为指导 者和典范。为完成武士的职分，饱还主张要“立本”、“明心术”、“练德全才”、 “自省”、“详威仪”和“慎日用”，即要加强内心的道德修养，严守日常生活 中种种礼仪，使他人感到威严。这一时期，武士言行与信仰变得理论化、系 统化，是真正意义上的“武士道”。【6 l 7 江户时代的和算流派 1 3 ，3 德川时代的武士 德川时代的行政体系是幕、藩、村( 町) 三级制。将军的统治机构称幕 府，大名的统治机构称为藩。德川幕府既是全国最大的封建领主，又是全国 最高的封建主君。幕府与藩的关系是封建领主内部的主从关系。大名作为将 军的家臣，服从幕府的最高统治。但在藩内，他又是全权的主君，是独立的。 村与藩是被统治者与统治者的关系，村虽谈不上独立，但也有一定的自治权。1 7 l 德川时代，武士约占总人口的6 7 ，是一个世袭的身份等级。每一个武士 必须隶属于一个主君，成为其家臣，没有主君的允许，不得退仕，也不能任 意选择主君。他们集中于大名的城堡城下町中的武士町，完全脱离生产 劳动，修文练武，按石高。从主君那里领取禄米，离开了主君就无以为生。 武士阶级内部按官位、俸禄、家格。、职格 又分为许多等级，依主从关 系的原则，层层相属。顶端是将军，将军直属的武士分为大名。、旗本。、御 家人。三级。在大名、旗本、御家人下又各自分为若干等级。大名根据和将 军的宗族关系的亲疏程度以及臣属于德川氏的早晚，分为亲藩大名o 、谱代大 名囝和外样大名 。1 8 1 大名、旗本的家臣、陪臣( 家臣的家臣) 的划分更为复 杂。例如，长州藩藩士分1 7 等，卒分2 3 等；萨摩藩藩士分三大等级，在这 三大等级中又分很多等级。武士虽分为复杂的等级序列，但他们有着共同的 思想意识即武士道。因而，武士充满着对上的忠君意识、对人民的统治意识。 总之，幕藩体帛4 下的武士是寄生阶级、统治阶级、特权阶级，同时也是知识 阶级。 1 3 4 各阶层武士与和算 江户幕府建立初期，社会进入相对稳定时期，制度化的封建政治组织渐 渐确定下来，以农业生产力为基础，以武士为中心的社会机构很好地保持了 社会的和平。武士不再需要征战，离开了战场的武士阶层，尤其是上层武士 开始成为悠闲的贵族阶层，他们不仪不用为生计而奔波，还有足够的闲暇、 精力和财力从事文化创造活动，并开始将注意力转向学问，他们研究学问并 以此作为消遣。此时，一部分闲散的上等武士，视数学为智力性、求道性的 游戏。1 9 1 当时，由于数学在社会各方面，如财政、税收、军事、经济等方面 ”近世根据土地丈量，法定耕地的生产量，用玄米量表示。武士中村高、知行的俸禄大小也用石高表 示。 o 即家柄，门第。 o 江户时代武士职位的高低。 o 即藩国之主，江户时代一万石以上的诸侯。 o 江户时代将军的家臣，地位仅次于大名的高级武士，禄高五百万石以上，一万石以下。 o 江户时代将军直属的家臣，德川的近身随从( 家臣) 。 o 江户时代，德川家的近亲的大名。 o 江户时代，从关元之战以后，服侍德川氏的大名。 o 江户时代，亲藩、谱代以外的大名。 8 江户时代的和算流派 大阪有宅间流，京都有中根一派，在金泽因为与大阪的关系兴起了三池 流，纪州有小川流，后来在大阪有武田流、福田流称霸。但京坂地区的和算 不能和江户地区的和算同日而语。江户自从成为和算的中心，直至和算的终 止，始终没有丧失它的中心地位。 江户之所以成为和算研究的中心，是因为和算主要在武士阶级中间兴起， 江户是聚集很多诸国武士的地方，江户的武士比较闲散，而且又有很多修学 上的便利，因此江户自然就成为中心地，并且能够一直持续。而京坂在丧失 政治中心的同时，武士也不多了。这是京坂地区的数学不能与江户的数学抗 衡的一大原因。 在日本，大概全国各地的数学都受江户数学的影响。一方面由于参觐交 替制度，在江户聚集很多人，他们在江户学习数学，然后回到地方进行传播。 在金泽，虽然引进大阪的系统成立了三池流，但在富山和大圣寺还是传播江 户的数学。在仙台藩，派户板保佑到江户学习。另外其它藩也有奉藩命从江 户和算家学习的。另一方面，作为个人到江户学习的例子也很多。久留米侯 有马赖彳童( 1 7 1 4 一1 7 8 3 ) 向幕府天文方的山路主住( 1 7 0 _ 4 1 7 7 2 ) 学习。由于 以上这些原因，诸流派的数学内容相似。1 1 2 j 2 2 算学主要流派概况 2 2 ，1 关流 1 关流概况 关流主要在江户地区活动。关流这一称谓在关孝和及他的高徒建部贤弘， 荒木村英时代还没有。到其孙弟子松永良弼，他的许多著述中特别是在括 要算法中第三难“角法演段图抄”中有“关流末学葆斋松永良弼”的署名。 这是最初出现关流的说法。另外，在绛老馀算首卷中出现“统术是当流 的新撰妙术”的说法。当流，即本流，指关流。但是，关流的意识还不怎么 浓厚。到了松永良弼的弟子山路主住时，关流的这种流派的意识就逐渐变浓 厚了。山路主住确立了关流的数学教科的系统，确定了传书，这样把关流算 学逐渐确立下来。i ”】 后来，一户板保佑将从山路主住那得到的传书，多数进行了誊写，共五百 余卷，奉献给藩侯。这些书称为关算四传书，包括关算前传1 8 5 卷， 后传1 1 0 卷，要传1 1 5 卷，完传1 0 1 卷，合计5 1 1 卷。时间是在安永9 年( 1 7 8 0 ) 。 这些书包括了当时关流主要的算书( 一些极秘之书除外) ，是非常珍贵的文献。 但是，要传的1 0 7 1 1 4 卷丢失缺少，其它的现在保存在东北大学。经过山路 主住、户板保佑等人的组织工作，关流的基础就稳固下来。【1 4 】有马赖僮在拾 玑算法( 明和6 年) 中将关流秘中之秘的点窜术和最高秘术圆理公布于世，【”1 1 3 江户时代的和算流派 别式、正负根的存在条件及方程根变换问题，还使用了牛顿叠代法求方程实 数根。在讨论方程根与系数关系时，刨立“适尽诸级法”学说，为极值理论 的萌芽，为后来和算极值方法的形成奠定了基础。 关孝和在代数学上另一项最引入注目的数学成就是在世界数学史上首次 引入了行列式。在解伏题之法中，为解多元高次方程组( 关氏名之为解 伏题) ，引入行列式展开，以方程系数行列式的终结式作为消元的结果。他的 这一创造比欧洲莱布尼兹的工作要早2 0 余年，而且与莱布尼兹为解线性方程 组的代数背景不同。这一工作，开创了和算行列式展开法研究的新领域，其 后，和算家在行列式展开法方面取得大量成果，时间上都比欧洲相应成果要 早。( 1 8 l 在级数方面，关孝和扩展了郭守敬授时历中“三差定平立”的等间 距三次内插法，使招差术一般化，仓立“累裁招差法”与“混沌招差法”两 种插值公式，后者就是今天所谓的“牛顿插值公式”。对于高阶等差数列求和， 发展了中国宋元时期的垛积术，给出了求“乘方垛”p + 矽+ 字+ + 矿之 和的一般性公式，并且在推导乘方垛公式中获得了伯努利级数。 在不定分析方面，为探讨祖冲之约率2 2 ，7 和密率3 5 5 1 1 3 的由来，发明 了所谓的“零约术”，以和内插方式用有理数逼近实数；为解一次不定方程和 同余式组，发明了与秦九韶“大衍求一术”等价的“剩一术”，并发展了杨辉 的“剪管术”，获得了一次同余式组的一般性解法，与秦九韶“大衍总数术” 相似。 圆理是和算的最高成就，是江户时代和算家在中国数学传统上发展起来 的一种类似于微积分的无穷小算法，主要解决曲线长和曲面体积问题。关孝 和为这方法的形成，奠定了基础。引导其弟子建部贤弘( 1 6 6 4 1 7 3 9 ) 创 立所谓“累遍增约术”( r o m b e r g 算法) 的数值逼近方法，并进而获得精确到 小数点后第4 0 位的圆周率数值。1 1 9 】 关氏独创性地用插值方法求圆弧长，把弧长幂表示成矢的七次代数多项 式，诱导建部贤弘开拓弧长的无穷级数展开式研究，使和算圆理走上微积分 的道路。在证明球体积公式时，关孝和将球有限分割，并进行叠加，再利用 增约术，获得球体积公式。这方法已经和积分学方法很接近了，蕴涵微元 思想，诱导其孙弟子松永良弼发展至无穷分割以至建立关于立体求积的积分 方法。和算圆理经过一代代的发展，到安岛直圆、和田宁，形成了多重积分 方法。 在几何学方面，关孝和证明了勾股定理，获得了椭圆面积公式，研究了 如何求阿基米德螺线长问题，提出了与帕普斯古尔亭定理相当的求积公式， 认识到了作为圆锥截口的圆锥曲线。特别是开创了关于正多边形计算的新领 1 6 江户时代的和算流派 术圆理( 弧背密法) 等也公布出来，在和算的普及，发展方面功绩很大。安 岛直圆得出了代数关系式有用缀术得到指数是三的2 项级数展开式，关于对 数从l o g ( 叫) = l o g x + l o g y ，l 0 9 1 0 = 1 等出发，做了逆对数表，而且给出了普通 对数表的做法。本多利明有八位八线真数表，八位八线对数袁，三角 关数表，三角关数对数表，弧三角法等著述。藤田贞资有精要算法 3 卷( 天明1 ( 1 7 8 1 ) 年) ，神壁算法2 卷( 宽政l ( 1 7 8 9 ) 年，算额集) ， 垛术变术( 明和9 ( 1 7 7 2 ) 年，给出方垛，衰垛的新法) ，变商( 安永6 ( 1 7 7 7 ) ，论述了四次方程式) 。石黑信由的诸角缀术之解( 文化4 ( 1 8 0 r 7 ) ) 给出了直径为r 的圆周和一边为a 的内接n 角形的关系式： 。= 等f 1 + 忐c ，一箬，+ i 志。一等x 字一箬，+ i i i 嘉：j j _ 五( 1 一箬) ( 3 2 一箬) ( 5 2 一箬) ”l 的另一种证明。 在平方捷术( 宽政8 ( 1 7 9 6 ) 年) ，用逐次近似法解出r 一爿= o 。幕 末，日下诚用缀术给出了s i n z 的公式。和田宁用极数术给出求 ，o ) = 口o + 口一十口2 + 的极值条件，0 ) = n 1 + 知+ 3 口3 工2 + = o ，与费 马的方法一样。另外还给出了衰垛、级数的反演。剑持章行用零约术改良了 关孝和的方法，给出了解整系数方程式的独特方法，指出 塑堡上尘立。厂，0 ) ，使用了逐似近似法。【2 0 】 竹一埘2 几何方匦后面章节与其他流派比较，详述。 4 关流免许状 ( 1 ) 关流兔许状现存情况 关于关流的免许状情况，三上义夫在关流数学免许阶段的制定与变迁 中作了许多调查考证。在江户诸流派的免许状中，现存关流的免许状是最为 丰富的，据笔者掌握的材料，将关流现存免许状情况列表如下： 1 8 江户时代韵和算流派 田高宽的见题、 隐题免许 藤田贞资授予中 1 1 田高宽的伏题免安永七年 许 藤田贞资授予中 田高宽的别传和 1 2 安永八年别传无序文 印可免许的一部 分 日下诚授予栗田 文化十一年东北大学狩野 1 3宜贞的见隐伏免 ( 1 8 1 4 ) 文库 许 日下诚授予长谷 1 4 享和三年学士院 川宽的别传免许 山口和授予佐藤见隐：天保9 年 1 5 解记的见、隐、伏：天保1 1 年学士院 伏、别传四免许别传：天保1 3 年 千篥胤道授予阿 见、隐、伏：嘉永 1 6 部重道的见、隐、四年 伏、别传四免许 另q 传：安政六年 “关流宗统之修 远藤利贞收 1 7 业免许状”中町不详 东京大学 藏 见术免许 内田五观授予川 见隐伏：文久四年 北朝邦“关流宗 别传：庆应四年 1 81 8 6 8 东京大学 统之修业免许 印可：明治十五年 状” 町见术：元治二年 内田五观授予冈 无年代、宛 1 9 卷物终：天保四年学士院 名 奉则录的印可状 内田五观授予藤 见隐伏：天保十年 其孙藤冈宏 2 0 别传：弘化三年 网有贞四免许私藏 1 8 4 6 2 1 荒木村英授予田正德五年八月十学士院 江户时代的和算流派 中市之进的规矩五日 元法免许 2 2 当流算法目录解 不详东京大学 中根彦循的算学 2 3宽保三年水户彰考馆 神文书式 ( 2 ) 关流免许阶段的变迁 1 ) 两段免许 据三上义夫调查，关孝和在其数学杂著中出现了“算学许符”和“算 学印可”两种数学免许的标题，但没有具体传书目录、序文等，如同发放免 许状时对学生的嘱托词。现存的唯一一则由关孝和亲笔的数学免许状是关孝 和于宝永元年( 1 7 0 4 ) 授予宫地新五郎的“算法许状”，现存于日本学士院。 各个部分完整，包括序文、目录、神文、传书联名、传书时间、印章、宛名 。 关孝和授予宫地新五郎的“算法许状”目录是： 河图；洛书；大极；两仪；四象； 八卦；释九数法；九归除法；明纵横决；大数之类； 小数之类；求诸率类；斛斗起率；斤秤起率；端匹起率； 田亩起率：之分齐同术；合课分术；减课分术；平分之术； 经分之术；乘分之术；重有分术；通分之术；约分之术； 方田；粟布；少广；商功；均输； 衰分；盈肭；方程；勾股；开方释锁术； 规矩两道术；町见分度术；环矩之术；径矢弦之本；弧矢弦之术； 立玉贯深渡术；立玉积率起术；玉阙积率起术：玉顺积率起术； 宣弱历术；时授历术；吴子廉率；天元之一术；诸法根源【2 1 l 目录的名称是学习的条目。目录第一、二两行是根据算法统宗制订， 第三至七行是根据算学启蒙制订的。后面的有些与关孝和著书规矩要 明算法中相一致的项目。规矩两道术与町见分度术两个项目是关于测量术。 宣明历术和时授历( 授时历的误记) 是中国传去的两个历术。吴子廉率就是 用帕斯卡三角形数画的二项式定理系数图。算法统宗也绘出了此图，可能 是根据算法统宗得来的。“天冗之一术”是指天元术，诸法根源是指简单 的图解。【2 2 1 关孝和授予宫地新五郎的“算法许状”的时间是宝永元甲申岁十一月良 辰，署名是关新助藤原孝和。 水户彰考馆收藏的算法许状和上述给宫地新五郎的算法许状非常类似。 只是目录中增加了九因法、除分、开平开立，带纵开平开立，相应开平开立 。收件人的姓名、地址。 江户时代的和算流派 和勾股弦变化术，算脱法，验符法，倍垛法起。最后落的时间是正德六丙申 年正月。 水户彰考馆收藏的算法印可的目录是： 方阵之术；圆攒之术；规矩之法并国图；授时历术并七曜历术、招 差之法；拾遗算法( 互约之术，逐约之术，齐约之术，遍约之术， 增约之术，损约之术，零约之术，遍约之术，剩一乏术，剪管之术) ； 垛术演段( 衰垛之术，方垛之术) ；圆周率( 求弧之法，立玉积法) ； 题术辨议之法( 病题( 转，虚，繁，变) ，邪术( 重、滞、率、戾) ，权 术( 塞、断、疏、碎) ：演段之例( 单伏术，分合术，之分术，方程术， 归本，维乘术，消长术，聚伏术，加减反覆术) ；解伏题之法( 真虚 两式( 略、省、约、缩) ，定乘( 叠，括) ，换式( 芟、治) ，生克( 交 式，斜乘) ，寄消) ；开方翻变之法( 开出商数之章，验商有无之章， 适尽诸级之章，诸级替数之章，亲商极数之章) 最后落款时间是正德五未乙历十二月。水户彰考馆收藏的算法许状和算 法印可最后的传书联名都是关新助藤原孝和，建部彦治郎贤弘，今井官藏兼 庭，本多三郎右卫门利明。 据三e 义夫调查，甲斐隆道氏的算法许状与算法印可与水户彰考馆的内 容基本一致，只是有少数误抄和变动的地方。传书时间完全一致，只是传书 联名为关新助藤原孝和，荒木彦四郎藤原村英。这一点与彰考馆的不同。 从上面两处收藏的算学许状和舅法印可来看，在一段时间内关流的免许 制度只有这两个段位，并且沿着关孝和荒木村英，关孝和建部贤弘 两条路线发放。又由关孝和授予宫地新五郎的算法许状的时间宝永元年 ( 1 7 0 4 ) ，即关孝和病殁前五年，可以推断至少在关孝和晚年已确立了免许状 制度。 2 ) 三段免许和五段免许 远藤利贞的人日本数学史有如下说法，见、隐、伏三免许从关孝和时 代就存在并确立了，别传和印可是松永良弼制定的。三上义夫认为远藤利贞 的推断典据不明，只是根据关流宗统之修业兔许的抄本得到的见解。 就远藤利贞收藏的关流宗统之修业免许状进行调查，从诸免状的序 文及目录记载的原始材料看，仅以传授的联名为例。无论哪个免许时间、宛 名都没有写。见题、隐题缺少联名，伏题署名如下： 关新助藤原孝和 荒木彦四郎藤原村英 松永安右卫门源良弼 山路弥左卫门平主住 江户时代的和算流派 安岛万藏藤原直固 日下贞八郎平诚 第四阶段别传免许，没有关孝和与荒木村英的署名，从松永良弼开始： 松永安右卫门源良弼 山路弥左卫门平主住 安岛万藏藤原直圆 日下贞八郎平诚 第五阶段印可免许，历代传授的联名与别传的联名相同。 三上义夫认为，远藤利贞的全部解释来源于此。远藤利贞从历代联名的 起头人物的时代开始当作该段免许状完成的时候，即最初的见隐伏三题免许 应该是从关孝和时代开始的，别传印可应该是第三代传人松永良弼制定的。 三上认为仅以关流宗统之修业免许状作为史料参考，而没有其它的参考 资料得出的推定的论据是非常薄弱的。【2 4 】 下面列举帝国学士院收藏的藤田贞资抄写的关流免许目录： 第一见题免许 卷首 河图；洛书；三成；大极：四象；大数；小数；诸率；算法 草术；加减乘除之法；开除法；九章；平垛解术；圆法玉率及弧矢 弦玉欠论；诸法根源；诸法慎始：统术；点窜；筹策；一算盈肭； 之分法：统术解；同秘传；同目录之解；单伏点窜；再乘扣门；总 括；见题蕴奥。 第二隐题免许 太极；全积门；差分门；因积门；勾股门；互换门；形容门；截积 门；收约门；杂式门；诸角门；分合；形写兑换盈缩；勾股变化之 法：隐题温奥。 第三伏题免许 无极；单伏演段；众伏演段；单伏起术；维乘；两式演段；方程演 段；交离：商一演段；因府；消长又日加减反复；起率演段；两义 式；潜伏式；造化式；渚角经术；解伏题蕴奥；交式斜乘之解。 这三种免许状是以关孝和三部书“解见题之法”、“解隐题之法”、“解 伏题之法”为基础制定的。其中解见题目录中，统术，统术解，统术秘传， 同目录之解，单伏点窜，再乘和门，统术总括是松永良弼的著作。平垛解术， 算法革术，一算盈肭是山路主住的著作。【2 6 1 根据给出的免许目录，与关孝 和的两免许目录对比，有很大差异，又其中包含了松永良弼、山路主住的著 述，可以推断关孝和时代不存在此三段免许状，其制定应该是山路主住或其 江户时代的和算流派 后人。 剐传目录 经纬式；探差；方步式；直差；脱差；诸约；两一术；剪管演段； 剪管；类约经术：垛术；对换式；演段杂式；索术；探术；括术； 步术；缀术；廉术；径术；算法变形草；桃李蹊径；燕尾猿臂两术； 无有奇；得商；增约求积；太阴率。 算法印可状 招差总术；垛叠总术；诸约总术；剪管总术；角法一级演段；平圆 率之解；立圆率之解；弧矢弦；方阵；算脱验符法；病题明致；开 方翻变；题术辨议；球缺变形草；求积；太阳率。 现存的有藤田贞资亲手抄写的关流免许目录和山路主住授予贞资的别传 和印可免许状。前者的时间是延享四丁卯年，见题、隐题、伏题的三免许状 及算法印可状的署名是： 关新助藤原孝和，荒木彦四郎藤原村英，松永安左卫门源良弼， 山路弥左卫门平主住 而别传免许状的署名仅是：关孝和四世山路弥左卫门平主住 后者山路主住授予藤田贞资的别传免许状和上面的几乎相同。只是年代 和署名变成： 明和三丙戊正月廿四日关流统道山路弥左卫门平主住 印可状是孝和，村英，良弼，主住的联名。 山路主住之子山路之徵将五免许授予了松江的多多纳三郎，其中的印可 是山路主住及之徵二人的联名。其它的免许状是关孝和以下的联名。 别传的目录中有松永良弼晚年的著述桃李蹊径术，燕尾猿臂两术 等，因此三上义夫认为可能是松永良弼殁后山路主住开始的。印可目录中采 用了算法许状中的一些条目和七部书的全部条目。别传目录的最后是太 阴率，印可目录的最后是太阳率，内田五观说太阳率是指乾坤之卷，其真 伪不明。三上义夫认为此两者一定是对应命名的。因为太阴率是松永良弼所 作，所以太阳率也足同时代所作。二上义夫所持观点为延享四年的五段免许 是山路主住制定的。 关流数学的每一段免许都以序文、传书目录、神文( 即血誓) 和关流历 代宗统传人联名的方式行文，共分为五段免许，对学算者入门后学习的数学 阶段做了明确区分，而且对于算学的境界也从形式上给出了严格的判别准则。 关流算学免许制度是江户数学诸流派中最典型、最完备的。 江户时代的和算流派 年还要新编五六十卷，逐渐地有很多算法传书和杂书的补卷。落款时间是文 化己巳年( 1 8 0 9 ) ，六十三岁。下面列举他的传书目录：【3 2 1 算法发端算法位附法平立步诘 水盛术算法释锁法 四 乘除加减法 带过乘算题集算法交商法算法分合法 算法裁断术 算法侧图集一九算法招差法一。 诸约混一术算法( 添约削算法零约术 五 约) 术 算法极数术 八算法垛叠术四算法诸约术 开立方之卷算法( 盈肭方检地二叶草 程) 之卷 算法交会术算法局题集算法变式术 算法堆积术算法位算算法累式术 方阵变换术棋将戏变数术算法缀术 七 算法相场割回 四 算法用字并定开平方之法 袁 算法变数术算法角术圆理弧背术 算i 去大兀术幂式演段分间术 算法九章算法地方之卷算木用法 算法分术两式演段町见术 算法天生法 一九五 算法文义之法算法两式术 算法整数术 l 算法逐索术四算法求积术四 ，、 再订算法评林算法手引草评 整小数算题集 林 诸约算题集四 算法( 增约损 算法自约术( 拾 约) 术玑之题) 锋题辨篇峨剐鳓臣基震墨啮涮蔺 剜韩关孝和是童耍到霹淞郎翡礁 婆囊荽y 醒恝鳃薹驾即驷薹浏舞蹈弧囊 剿荟_ 爱銎以鳖嫖蝰雾之弹静鏊 & 高填壤簋 峰 娃萎霪雾韩u 铂驰州爵百爱羲 玮 i 囊鎏篓雾蠹：萎羹耋蒌季妻 的周髀算经中有环矩的术语，关孝和是否看到过 江户时代的和算流派 弧环求积术重乘算题术算题一日八章 算法大成 一。古今十五问解 精要算法评林 同增刊评林剩歉左段数明应需九条评( 幸 解不幸辨) 扫清算法论书平圆截之术 对数表起源 贯通开方术可辞添草题集 当世尘劫记解 拾玑算法评林 五绘本工夫锦起半梯整数术 源 异好算题集得段数归除术阐微十五问术 求单数之术算法翻题集算法小筌起源四 改算记纲目评三订算法 御伽草纸童子 林问评林 通弦术咬换术数学松社编起算法交商集 合问源 得个数算题集再订精要算法 八 探原术 起源 算题求源集 五算法脱约术 错斜垂针术 五角算题集算圆相交算题开方盈肭赶趁探 集索步索平方零约 术 地周直径里数 算题三条米仓卸贷附金割 天文简要论算法换式术约术三日题大论 ( 1 ) 镜像相映术方圆算经评林 五 题除商得实法术 北越算额写八线比例法算法少女术解 神璧算法评林算学小筌评林 算法口谈( 1 ) 算本并变数方交三斜术赠藤田七术论 ( 1 ) 语国标题集阿兰陀算法 算题百五十门 算法千里独行球面三斜术算题二十条 筹法截能集四不朽算法评林 算法索引 轻题重术集剩一左段数起括要演段评林五 源 算学稽古大全算法贯通术六五三角三斜整数术 评林 江产时代的和算流派 ( 学士院所藏最上流免许状，照片由徐泽林教授提供) 2 2 3 宅间流 1 宅间流概况 宅间流主要在大阪地区活动。宅闻流是宅间源左卫门能清所创，大坂人， 生卒年不详。据遗存下来的宅间流宝永2 年( 1 7 0 5 ) 列予术的年代推断，应 该是宝永以前的人。第二代阿座见俊次，第三代镰田俊清，俊清的业绩比较 辉煌。第四代内田源兵卫秀富，在宝历5 年( 1 7 3 7 ) 将算用手引革公开。 宅问流将大阪做为活动的地点确切时间是在第五代松冈良助能一的时代。能 一之子清信是宅问流第六代。此后，听不到第几代传人的称呼。 宅间流的名称在松冈能一时代以前的文献中没有出现。内田秀富的算用 手引草里，也没有宅间流的名字。松冈能一的著作，如方阵圆阵解中 出现“摄州浪华住宅间流五世松冈良助能一著”。此处出现宅间流五世的记述， 可见到松冈能一时已经有了宅间流的名字。 宅间流受到了关流的影响，这一点从它的目录内容可以看出。但是，它的 术语和关流还有很多不同的地方。磕鬓莲璀蠹稳婪话蔓薹式坚黍识一雾。霉 囊趋磁撼射蟹器量蒿蓉始非j 囊雒菲邀鏊。塞一_ 囊二| 二霪霪：耋 妻三；二参陪堕耄野唾童三季；塑耋薹蓄 一墓羹曼ii 至i i ? 藿蓑譬矍； 垂鞲基萋艄驰霎己括割警l 囊魏；约周幂。 接着，求 ，比值接近壶，由去+ 志+ 一去， o 4 一乃丐一o o 1 ” 1 ”、1 ”， 1 。 建部贤弘用上述累遍增约术求到正1 0 2 4 边形截周幂，增约8 遍，便得到 小数点后4 0 位准确值。累遍增约术的好处就在于降低割圆次数反而提高了收 敛速度，很快得到高精度。【5 6 l 。原文出自【日本】建部赞弘缀术见：三枝博音编纂日本哲学全书( 8 ) 东京：第一书房，1 9 3 6 ， 3 8 7 江户时代的和算流派 只的妙矩集中有让越之矩合一条，与长谷川宽的极形术有类似的思想， 从特殊到般的归纳的方法。另外，之只还著了资弃起术。 宅间流历代宗统传人示意图： 宅间能清阿座俊次镰田俊清( 1 6 7 8 1 7 4 7 ) 内田秀富松冈长 延( 后改松冈能一) ( 1 7 3 7 一1 8 0 3 ) 松冈清信 2 今谷以燕的宅间流目录次第的数学内容 平立门： 平位法开平法开立法平立带纵平立相应勾股弦解锥积 解楔形解两刃楔形解方台解厚幅台解勾股变化古流弧 矢弦球缺积 天元门： 方程正负太极天元平方写乖起术圆解起术式解趣趁逐索 透索整数倍增通术算颗平方带纵九减之法 诸约门： 互约逐约齐约遍约遍通剩一剪管增约损约均分 零约招差方垛衰垛方圆洛书计子胸一自约诸约变 化资弃 演段门： 幂一再一演段二斜起术角法起术计程之法角积廉率 二斜廉率珠截廉率垛积廉率段数廉率计子一件维乘率 变通图杂化图勾股芟化术解 从内容上看，能看出关流的很大影响，当然宅间流特有的术语也有，例 如：平方写和、起术式解、计程之法、资弃、幂、再一、变通图、杂画图。 平方写和，即通过( 如2 一铀c 一6 ) + 孙计算二次方程式甜2 + h + c ；o 的根 的计算方法。它是对和术即算盘术而言称写的。 计程之法，所谓的町见术即测量术。 资弃术，即根据题意知道方程的根是整数的情况下，求根的近似值。1 3 6 】 最上