（系统分析与集成专业论文）h型群上次laplace方程的极大值原理和一维对称性.pdf

西北工业_ ：人学硕士学位论文 摘要 摘要 本文致力于h 型群上与d eg i o r g i 猜想相联系的一维对称性的研究。在第一章， 简单介绍了d eg i o r g i 猜想的研究进展以及h 型群的有关知识；在第二章，我们引 入了h 型群中k o r a n y i 球上的极坐标表示，证明了h 型群中次l a p l a c e 算子对径向 函数的一个公式，构造并证明了算子r 是一个紧算予；在第三章，我们首先证明了 一个加细极大值原理，接着，利用加细极大值原理与k r e i n - r u t m a n 定理证明了紧 算子r 具有正的特征值和特征函数；在第四章，我们结合算子丁存在正的特征值与 特征函数的性质，再次利用极坐标证明了一个h 型群中无界域上的极大值原理； 在第五章，我们利用极大值原理以及次l a p l a c i a n 算子对h 型群中群运算的左平移 不变性，证明了h 型群上与d eg i o r g i 猜想相联系的一维对称性结果。本文将 b i r i n d e l l i ，p r a j a p a t 在h e i s e n b e r g 群上的结果推广到了更一般的h 型群上，使得对 d eg i o r g i 猜想的研究进一步深化。 关键词：h 型群，极坐标，紧算子，极大值原理，次l a p l a c e 算子 西北t 业大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo fo n ed i m e n s i o n a ls y m m e t r yo nh - t y p e g r o u p ，w h i c hi sr e l a t e dt oac o n j e c t u r eb yd eg i o r g ii nr ”i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r yo f d eg i o r g i c o n j e c t u r ea n ds o m eb a s i cd e f i n i t i o n so nh t y p eg r o u pa r eg i v e n ；i n c h a p t e r2 t h ep o l a rc o o r d i n a t e sm rt h ek o r a n y iu n i ts p h e r eo nh t y p eg r o u pa r e i n t r o d u c e d t h e nw ep r o v ea ne x p r e s s i o nb e t w e e nt h es u b l a p l a c i a na n dt h er a d i a l f u n c t i o n ，a n dc o n s t r u c tac o m p a c to p e r a t o rt ；i nc h a p t e r3 ，w ep r o v i d ear e f i n e d m a x i m u mp r i n c i p l ef o rt h es u b l a p l a c i a nl ，w i t hi ta n dk r e i n r u t m a nt h e o r e mt o p r o v eth a sp o s i t i v ee i g e n v a l u ea n de i g e n t h n c t i o n ；i nc h a p t e r4 ，m a k i n gu s eo ft h e p o l a rc o o r d i n a t e sa n dt h ep r o p e r t yt h a t th a sp o s i t i v ee i g e n v a l u ea n de i g e n f u n c t i o n ， w ee s t a b l i s ham a x i m u mp r i n c i p l eo nu n b o u n d e dd o m a i n sc o n t a i n e di nh t y p eg r o u p ； a tl a s t ，i nc h a p t e r5 ，b yt h ef a c tt h a t i sl e f ti n v a r i a n tw i t hr e s p e c tt ot h eg r o u p a c t i o n 。i nh t y p e g r o u p a n dt h em a x i m u mp r i n c i p l ea b o v e ，w ep r o v eo n e d i m e n s i o n a ls y m m e t r yi nh t y p eg r o u p ，s o w eg e n e r a l i z et h ew o r ko fb i r i n d d ga n d p r a j a p a ti nh e i s e n b e r gg r o u pt oh t y p eg r o u p ，s u c ht h a tt h es t u d ya b o u td eg i o r g i c o n j e c t u r eb e c o m e sd e e p e r k e y w o r d s ：h t y p eg r o u p ，p o l a rc o o r d i n a t e s ，c o m p a c to p e r a t o r , m a x i m u m p r i n c i p l e ，s u b l a p l a c i a n n 西北工业大学硕士学位论文绪论 1 1 引言 第一章绪论 在欧氏空间r ”中，d e g i o r g i 猜想( 1 ) 叙述为：如果“( x ) 是a u + “一“3 = 0 的 一个解且满足1 ，x 月”；x = ( 一，。“) r - i ；j 嗯“( x ，x ”) = 1 ，“( ) o 那么存在一个向量a r ”。以及一个函数“：r 斗r 使得在掣中 u ( x7 ，x 。) = ；d i ( 日x + ) 1 9 9 8 年，g h o u s s o u b ，g u i ( 2 ) i i e n 了d e g i o r g i 猜想中h = 2 的情形：2 0 0 0 年， a m b r o s i o ，c a b 珀( 3 ) 证明了”= 3 的情况；2 0 0 3 年，d uy i h o n g ，m al i ( 【4 】) 综述了 有关d eg i o r g i 猜想的最新成果。当” 3 时，d eg i o r g i 猜想至今是一个开问题。 在欧氏空问中，如果把d e g i o r g i 猜想中的条件l i m “( x ，) = 1 ，一r ”。加 w 强成“( x7 ，_ ) 一l 在x r ”1 上是一致的，那么，d e g i o r g i 猜想就变成了下面的 一w 一维对称性问题。 先叙述条件如下。设一个半线性椭圆方程为 “+ ，( ) = 0 ，x r ”，( 1 1 1 ) 它的解满足川1 ，z 尺”，并且 “( x ，矗) 。1 ，在x = ( x l ，x n 一1 ) r ”1 上是一致的； ( 1 1 2 ) ，( “) 是定义在【一l ，1 上的l i p s c h i t z 连续函数。 2 0 0 0 年，b e r e s w c k i ，h a r n e l ，m o n m a u ( 【1 】) 证明了下述一维对称性结果：如果 存在巧 o ，使得，在卜l ，一1 + 占】u 【1 一莎，l 】上是非递增函数，且，( 十1 ) = 0 ，“满足 ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ，那么u ( x ，x n ) = u o ( “) 关于_ 是递增的，这里“。是方程 西北j 一业人学硕十学位论文 绪论 r 浆等! 蠹“ ， 【“。( 蜘) = + 1 ， ”“ 的解，并且( 1 1 1 ) 的解“的存在性就意味着( 1 13 ) 的解“。的存在性，而且“在原点 平移的意义下是唯一的。 同年，b a r l o w ，b a s s ，g u i ( 5 ) 币x j 用概率的方法也证明了上述结论。2 0 0 1 年， b i r i n d e l l i ，p r a j a p a t ( 6 ) 进一步将上述一维对称性结果推广到了h e i s e n b e r g 群上， 叙述如下： 令“是下列方程的经典解 p 飞甜” n ，却 且在超平面( x7 ，y ，r ) 上是一致地有 l i mu ( x 1 ，x ，y ，f ) = 1 ， ( 1 1 5 ) - 其中x = ( x ，k ) r ”1 ，y = ( m ，y t ，) r ”，t r ；f 在【一1 ，1 上是一个l i p s c h i t z 连续函数，( + 1 ) = 0 。如果存在占 0 ，使得f 在卜1 ，一1 + j 与 1 一j ，1 上是 非递增的，并且，( 1 ) = 厂( 一1 ) = 0 ，那么u ( x ，x ，y ，f ) = u ( x ，) ( 这里u ( x ) 是下列方 程 u ”+ u f 。( u 。) ，= ：o , x 。，i 6r c s ， 的解) ，而且“关于一是递增的，满足川1 的“的存在性蕴涵( 1 1 6 ) 的解u 的存 在性，解“在直到原点平移的意义下是唯一的。 在这篇论文中，我们主要考虑上述h e i s e n b e r g 群上的算子h 被h e i s e n b e r g 型群上的次l a p l a c i a n 算子替代的情形，将b i r i n d e u i 与p r a j a p a t 在h e i s e n b e r g 群上的一维对称性结论进一步推广到h e i s e n b e r g 群上。 这篇论文的思想主要基于b e r e s t y c k i ，h a m e l 与m o n n e a u 的工作 1 】以及 b i r i n d e l l i ，p r 旬a p a t 的工作 6 。首先，采用j e r i s o n ( 2 1 ) 的方法在h 型群上建立了 h 型群中k o r a n y i 球上的极坐标表示，构造并证明了算子丁是一个紧算子。接着， 曲北i 。业大学硕十学位论文 绪论 利用加细极大值原理与k r e i n r u t m a n 定理，我们证明了紧算子，具有正的特征 值和特征向量，进而通过构造比较函数，证明了个h 型群中无界域上的极大 值原理。最后，利用h 型群中次l a p l a c i a n 算子三对群运算的左平移不变性和h 型群中无界域上的极大值原理，我们证明了一类与d eg i o r g i 猜想有关的一维对 称性结果。本文将g h o u s s o u b 与g u i 在欧氏空间的结果推广到了h 型群上，使 得对d eg i o r g i 猜想的研究进步深化。在下一节，我们介绍h e i s e n b e r g 型群的 有关知识。 1 2h e i s e n b e r g 型群 我们首先从c a m o t 群开始介绍。设g 是一个，( ，为正整数) 步c a m o t 群， 季= o 川r 是g 的l i e 代数季的一个分层， k ，v i i = _ 。1 ， o ，( x ，y ) g 。 ( 1 2 6 ) 设矿的一组标准正交基是 置= 击+ 圭秘圳玲毒，川肌 z ， 我们也用它来记h 型群g 上的左不变基向量场。g 上的广义梯度记为 o l i h ：【业大学硕士学何论文 绪论 x = ( 一，置，) 。 以上内容可参看 1 1 1 2 。 容易验证 l = d i v ( m7 狮) ，x = 押， ( 1 2 8 ) 其中v 是普通梯度，且 g 上的度量函数为 l o ( 【 】，i ) ；( 障鼻。 ，k ) o ”t j ( 障以( 【f j ) p ( 善) = ( i x ( 善) 1 4 + 1 6 1 y ( f ) h i ，善g ， ( 1 _ 2 g ) 它是k a p l a n 1 3 导出的。显然有 p ( ( 孝) ) = _ p ( 善) ， 0 。 ( 1 2 1 0 ) 记手= ( x ，y ) ，x = ( x ，x 。，) ，y = ( y l ，y 。) ，芋= ( ；，多) ，x = ( ；t ，；。) ，y = ( 多。，多，) ， 则g 上的群运算法则为 孝。手卸- 赢，x 州歹，+ 去毫6 虬+ 歹。+ 互l 高q f b 舢) g 中韵k o r a n y i 单位闭球 b c s ( p ，1 ) = 善g 4 孝。e l l 。兰1 ) ，e = ( o ，o ) g 上的度量函数为 p ( 手) = p ( 孝，e ) = ( i x l 4 + 1 6 1 y 2 ) i = l l f l l 善eg g 的拓扑维数n = d i m k = m + n ，而关于伸缩国的齐次维数 2 q = i d i m v , = m + 2 n 另外，我们记号1 为f 关于单位元p 的逆。 忙l 前面已经提到，事实上，存在许多h 型群。譬如，设g 是一个秩为1 的单 群，1 w a s a w a 分解g = k a n 中的幂零部分n 就是一个h 型群，称为1 w a s a w a 群 1 4 。 5 西北t 业大学硕士学位论文 绪论 对任何正整数m ，总存在n 维中心的h 型群，见 1 3 。当h 型群g 的中心的维 数等于1 时，在同构的意义下，它就是h e i s e n b e r g 群。h 型群在分析和几何中扮 演着重要的角色。 1 3 本文所做的工作 本文致力于h 型群上d eg i o r g i 猜想的研究，组织如下： 在第一章，简单介绍了d eg i o r g i 猜想的研究进展以及h 型群的有关知识。 在第二章，我们建立了h 型群上的极坐标表示，证明了h 型群中次l a p l a c i a n 算子三对径向函数的一个公式，构造并证明了算子r 是一个紧算子。 在第三章，我们首先证明了一个加细极大值原理，接着，利用加细极大值原 理与k r e i n r u t m a n 定理证明了紧算子丁具有正的特征值和特征向量。 在第四章，我们结合算子r 存在正的特征值与特征向量的性质，进一步利用 h 型群上的极坐标证明了一个h 型群中无界域上的极大值原理。 在第五章，我们利用极大值原理以及次l a p l a c i a n 算子对h 型群中群运算的 左平移不变性，证明了d eg i o r g i 型猜想，即h 型群上的一维对称性结果。 本文将g h o u s s o u b 与g u i 在欧氏空间的结果推广到了更一般的h 型群上， 使得对d eg i o r g 型猜想的研究进一步深化。 两& ：1 2 q k 大学硕士学位论文 第二章 2 1 引言 第二章h 型群上算子丁的紧性 紧算子是在无穷维g a n a c h 空间中一类特殊的线性算子，它的性质与有限维 空间中的矩阵很相似，因此关于线性代数方程的可解性结果往往可以推广到含紧 算子的线性偏微分方程中去。紧算子在积分方程理论和各种数学物理问题的研究 中起着核心的作用。 1 9 9 5 年，b i r i n d e l l i ( 1 5 ) 在欧氏空间的一个有界域mcr “上定义了一个算子 t ：f ( m ) 斗r ( m ) ， “( p ) = 珂是下列边值问题 f ( i - 1 “= 一f ，妒m i “= 0 ，妒a m 的解，并且证明了r 是一个紧算子；2 0 0 1 年，b i r i n d e l l i ( 1 6 ) 5 l 在h e i s e n b e r g 群h “ 上证明了类似的结果：令n 是h ”中的一个有界域，算子 t ：r ( n ) j f ( n ) ， “( 妒) = 7 1 7 是下列边值问题 【一d “= h f ，妒n 【“= 0 ，妒烈 的解，则t ”是一个紧算子。 本章将进一步把b i r i n d e l l i 在h e i s e n b e r g 群上的结果推广到了h 型群上，算子 t ：r ( d ) 斗l 2 ( 9 2 ) ，形= “( p ) 玩， 这里的“是边值问题 西北t 业大学硕士学位沦文 第二章 f d ，“= h f ，妒q i “= 0 ，口a q 7 l 的解，q 是单位球而s l j 上不含特征点的一个子集，b 。，是c ；( q ) 关于。、的闭包。 本章内容如下：在第2 节，我们建立了h 型群卜的极坐标；在第3 节，证 明了h 型群中次l a p l a c i a n 算子上对径向函数的一个公式：在第4 节，证明了算 子丁是一个紧算子。 本章利用h 型群上的极坐标证明了算予r 的紧性，而丁的紧性条件对研究h 型群上的一类d i r i c h l e t 问题意义重大。首先，t 具有普遍性。虽然它只是一个具 体的算子，但却适用于一类d i r i c h l e tf a t n ：其次，本章中t 的紧性是对b i r i n d e l l i 结果的推广，b i r i n d e l l i 在h e i s e n b e r g 群上证明了r 的紧性，而本章却在更为一般 的h 型群中的无界域上证明了同样的结果。 2 2h 型群上的极坐标 在这一节，我们采用j e r i s o n ( 1 7 1 ) 的方法引入g 中k o r a n y i 球上的极坐标表 j 、o 设p = p ( 喜，e ) = 蚓1 。，0 e o b 。( 0 ，1 ) ，则( p ，口) 疋q 是g 上的极坐标，这 里d 是单位球面s 。1 = a b ( ；( e ，1 ) 上不台特征点的一个子集，p c 。( g ) ，并满足 p ( 疋( x ，y ) ) = 2 p ( x , y ) ，0 e o b g ( p ，1 ) 。设光滑函数“：o b c ( e ，1 ) 一r ，我们在幌( 8 ，1 ) 上定义微分算子砰，s ? ： x a u ( o ) p 4 ) = ( 月“ ( 目) ) 矿1 ，( f = 1 ，m ) ( 2 2 1 ) l ( 口) p “) = ( s 。“( ) 尸”2 ，( ，= 1 ，叻 ( 2 2 2 ) 并且 群= 轰，+ a 即 ( 2 2 3 ) s ，a = j + a p b _ ， ( 2 2 4 ) 8 两北工业大学硕士学位论文第二章 其中d ，= x ，( p ) ，b ，= p r ( p ) ，五，一，是置，在醴上的切分量，它们作用在常量 上等于零，且满足 t_ 【r ，rs = s ， j ：1 由( 2 2 1 ) ，( 2 2 3 ) 简单计算得 l ( u ( o ) p 。) = 一霹( “( 臼) p 。) 2 一x ( r ，“( 目) ) p 。1 旧1，= 1 i n月t 一r ? 。( r ? “( 曰) ) p 。一= - p 。( r ? 。只? 如( 口) 一p a z 羔【( 五，+ ( a - 1 ) q ) ( 五。+ 口q ) _ ( 臼) f # l p 。一z 羔卜五j a 蠢，q + ( 1 - a ) q 五，+ ( 1 - a ) a n ? - ( 臼) ( 2 2 5 ) j = 【 令h = y 盯? ，我们引进下列算子 l = 1 爿n = 芝( 一盖j 一口硒+ ( 1 一口) q 盖，) + ( 1 一a ) a h ， ( 2 26 ) ，= 1 d 1 = 芝( 咄a2 一硒 ( 2 2 7 ) 由于在品1 上存在特征点( 1 9 ) ，又因为氪是置在品1 上的投射，所以在& ，。上 具有形如彘= ( o ，1 ，0 ) 的特征点，这里数1 只位于前m 个位置中的某一个位置 k 。我们用 e 。，e 。，e + ，一e 。) 表示在欧氏空间r ”“中的标准基，如果 e ，西( f = 1 ，m ) ，那么在q cs 。i j 中见是一致椭圆算子。另外，由于 【五。，五一：窆，所以在q c s 。1 i 中见是h 6 r m a n d e r 型算子。对任意的 f ，g r ( q ，d o ) ，我们定义f ，g 的内积为 9 两北上业人学硕士学位论文第二章 ( ，g ) = ，( p ) g ( 口) d 臼 1 “的模为i = ( “，“) j ，恻i 。可表示为 f 2 2 8 1 iq ，= ( a ( 刚) + 8 五“黔， ( 2 9 ) 其中a ( 刚) ：芝( 套“，盖，“) ，f ：( 2 q 一1 ) h 。 t , 殳- b o 是c 苫( q7 ) 关于恻i 。的闭球，我们定义 t ：p ( q7 ) 斗r ( q ) ，可= “( p ) b o 这里的“是下列边值问题 d l “= h f ，妒q i “= 0 ，妒a q ( 2 2 1 0 ) 的解。r 的紧性条件是求解上述边值问题的必要条件。在第4 节，我们将证明丁 是一个紧算子。 2 3h 型群上次l a p l a c e 算子上对径向函数的一个公式 为了在第4 节中证明第三节中定义的算子r 是一个紧算子，我们首先证明两 个有用的公式。 月 假设善= 卣+ 岛= 一置+ y ，一，叩 i = 1 j = t 美七美# 置+ 矿l ， 其中舌，舁k ，善：，器，x = ( _ ，_ ，) ，p = 0 7 ，) r ”。若r 为g 中 一定点，则有下面的结论成立 珧酬2 ：聪 圳锄) = 喜霹础朋= 瓦q 丽- 1m 驯2 这里，q 为g 的齐次维数。 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 西北工业大学硕+ 学位论文 第二章 所以 证明：由g 上的群运算法则有 矽) 爿，十芝，一矿一；兰6 j 如) 一 ，- l i = i p ( 亭，印) = p ( r l - f ) = i x 从而对i = i ，m 置础莉= 万b 置以勃) 。4 p 蒜刈。3 ( 亭，7 7 ) l x 。1 4 + 1 6 竞( y ， x 。i 4 + 1 6 窆( 乃 2 i j 了 芋：孑i 4 1 x x 。i 2 ( x ，一x ? ) 1 4 p 3 ( 孝，叩) 舶c 言+ 圭喜c 扣。，寿c 害c 乃廿圭蠢斗 (一虼x?)+(醵)(2(虬一乃01 1 一寺1 磁一) ) 】 月j m 女= 1d = id = i二k ，= t = 爿丽似2 ( x i _ 札s 善c 乃 + 1 6 窆( 羔嘭矗) ( 一y ：一i l 厶m 8 0 一) d = 1 口= i f = i 志卜ix 。2 ( x i - - x 喀圹圹0 圭嘉慨”喜0 ， + 1 6 窆( 芝醮坼) ( y ，一y ；一去芝_ ) j = l 女= i，= ij o t x 。 1 2 一 y 一 户一 。州 一2 一 。、 ) ) x 。州 1 2 一 矿 一 乃 烈 。一 吼 + # 一0妒一x， ，：、l “ 。 一 h 畸 。啪 1 2 一 ” 西北r ：业大学硕士学位论文 第二章 又因为 l 4 i x 4 ( 善叩) y ? 一；兰屹x ) ( 芝6 _ 6 ( x k _ 0 ) ) a 1 = 1 = l 畴一等，x 。】，p = k = 1 5 = l b , j , ( x k 女= i + 4 略 志妒心瑞p + 4 j ；1 ，= l = 志忙x 。阵一舁抄 ” 1 m + 4 ，( 2 3 3 ) j = i ，f = lj 其中在上面最后一个等式中用到了( 1 2 3 ) 式。因此有 l x p ( f ，叩) 1 2 ：芝k p ( 孝，7 7 ) 1 2 玲 。 l 一2 西北j 业人学硕士学位论文 第二章 ；熹剐o | 1 4 c 手 矿( 善，7 ) 鲁r “ 1 6 2 + 8 1 x z 。1 2 ，= 1厶k ，= i ，( ( y ， 因为 x 点：。，是标准正交基，所以由( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 得到 和 于是 f = 1，= l，= 1 = 2 z 女1 = 1 ” 1 ” 阢o ，一y ? 一寺x 骱1 ) 聪一等) ； = i ，= l = 1 = 1 i 掌 n j = l二k ，i = 1，= jk ，= 【 ( 2 3 4 ) m 驯2 = 志【卜。6 + 1 6 卜。婚n 乃一矿一丢毫如) 2 f ，()1 ) 一 。叫 1 2 一 y 第一二章 卜x 。1 2 p 2 ( 善，1 ) 下面我们来证明( 23 2 ) 式，由( 2 3 3 ) 式有 f 尸。( f ，叩) ：引4 l x - - x 0 2 ( 一一x o ) + 1 6 宝( 乃一y ，0 4 i x - x o l 2 + 8 ( t x ? ) 2 + ) ) 1 6 毒+ 吉喜( 薹) 0 0 v a 】 芝j = ( 乃一矿一土2k 争, = 1 坛蝴( 蔷r e 龇曲 乃0 一i i 厶 y 0 制y + 1 6 寺【( 鹾b ) ( 磁( 讳一x ? ) ) 1 l 女，：【j = j口= 【，i x ：) ) 】 x 。1 2 + 8 ( x ，一x ? ) 2 + 8 砉 ( - 善圪x ：) ( 善一x ：) ) 】 ) ) 】 = 4 i x - x 。 2 + 8 ( t x ”8 善( 善( 一埘 = 4 i x - x o l 2 + 8 辑一舁，五) 2 + 8 蔷n ( i ，( ) ( 卣一等) ，置) 2 其中在上面最后一个等式中用至l j t ( 1 2 3 ) 式。由( 1 2 5 ) 式得到 喜x ；p 4 ( ；厕= ( 4 m + 8 ) 卜一x 。1 2 + 8 喜喜 2 。 m 砖 。州 1 2 ” 一 p0醚 。 k“ 。h 1 2 卜 。例 6+ ) 妒 o+ ” 一 ( 睨 。h j = l = ( 4 m + 8 ) f x - - x 0 2 + 8 窆 * t ，- - * - y - = = e = 一 定义2 - 4 2 设爿，e 是b a n a c h 空间，设，：a - - e 线性；称，是紧算子如果 t ( b o ) 在e 中是紧集，其中b o 是a 中的单位闭球。 引理2 4 3 h 型群上的p o i n c a r f i 型不等式( 2 0 ) 忻。：寓五f ，e c ”( q r )( 2 4 1 ) 这罩c o ，墨，置，是李代数g 第一层k 上满足h o r m a n d e r 条件的标准正交基 q 是单位球面j 1 上不含特征点的一个子集，为球半径。 引理2 4 4 对任意的n ，v 簖( q j ) ，下列公式成立 膳“v d o = 一，旗v d o 一量, u v a f l o ( 2 蚴 证明：已知置( “p 8 ) = ( 盖，“+ a q “) 矿，因此盖“= p 置( “矿) 一口口，“ 又因为 置【( v 矿) p 。“2 】 = x , ( v p 。) 尸。2 “+ v p 。x , 6 0 - 2 r + 1 ) = 砰v 矿“p 2 “1 + v p “( 一2 ( z + 1 ) p “置( 户) ， 所以 盖r “v d o = ( p 一口“墨( “p “) ，v ) 一( 甜q “，v ) 2 ，置( “矿p p d o f 。o r a , u v d o 2 ) 置( “p “) ( v p 。) p 一2 口“d o i 】盯q “，d 目 = 一，“p 。x a ( v p 。) p 一2 口“ d o 一上o t a , “v d o = 一，( r “v ) d 臼+ ( 2 a 一1 ) 1 , u v a f l o a l , c t i u v d o = 一l ，“( 龛，v + 口a y ) d o + ( 口1 ) l “”q d o = 一l 旃v d o 一口l , u v a f l o + ( ) ，d o 西北) 。业火学颈士学位论文第二章 = l ，“五r v d o 一z 。v “，d o 由( 1 21 ) 式知 置( 置( 1 ，p 4 ) ) 月jm = 一x ( 砰( 1 ) p 3 ) = 一霹( 月翩) p 2 仁il i = p ：芝( 一五；一4 蠢，q 一3 q 盖。一1 2 口? ) = p z 羔( 。爱，q 一1 2 d ；) ， 将( 2 4 3 ) 式与( 2 3 5 ) 式结合可知 移项得 p z 兰( 4 她+ 1 2 。? ) = ( 4 q + 8 ) 1 x 1 2 a p i “；邓，7 i x l 2 也善群 p 2 月w 由c z ，固式我们知道办= 喜群= 善 五衍= 等，并代入b 。川式可得 羔硒：( q 1 ) 卉 由( 2 2 7 ) 始na ：芝( 一五；一五，q ) ，再利用( 2 2 8 ) 和( 2 4 2 ) 式得 ，= j ( d i “，v ) 芝，( r i “一r , a i u ) v d o 一喜，五? “v d p 一莩盖一q “v d 臼 一氖i = lm 咖弘瓤确v d 口 7 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) = 4 尸 z 。 一 = 4 p 曲北l 业人学硕十学位论文 第：章 我们令 烀“五，v d o 一烀剐，d o ) 一芝肛州d o 芝i = 1l ，盖，“r j v d o + 薯，盖t q “v d 臼一善五，q “v d 臼 羔( 觚硒 a ( 州) ：( d 1 ) ：芝( 五氪v ) ， ( 2 4 6 ) 则a ( u ，v ) 是连续的。 事实上，由三角不等式和c a u c h y s c h w a r z 不等式我们得到 又因为 所以 i 喜c 五，“，五t “，i 喜1 c 五。“，五，v ，i 善1 1 盖“i |黔忆 ( 觚硒芝( 砜蛐+ 9 而1 1 2 = 砌，小l i 而| 1 2 = | 呲 胁1 | 2 = ( 矶妯茎芝( 酰衲+ 1 1 届= m ，v ) + 1 | 届1 | 2 = | 憾， i 口( “，v ) l ：娄0 五，“i 盖r v l is 喜i | “i i 岛i i v i l 岛= ，”i i “i i i i v i i 岛 故a ( u ，v ) 是连续的。由( 2 4 1 ) 式可知 所以 鲫= 喜( 砒砒) = 靴“p 2 c ，i “1 2 d o = c l l “1 1 2 ，c 。 砌，啦c l l “1 1 2 = 割厄1 1 2 曲北j 业大学坝十号7 位论文 第二章 爿( 岫) + 兰爿( 址“) 刘、，圳2 + 爿( 酬) ) ， 舢川熹c + ，堋= 斋；，= c l l 巩， 其中c 0 ，故“( m ，v ) 在瑞中关于。模是强制的。于是由l a x m i l g r a m 定理可 知：对任意的f r ( q 7 ) ，都存在唯一的“b o ，使得a ( u ，v ) = ( h f ，v ) ，v v b o ，所 以丁是有意义的。 现在我们来证明 d ( “，“) c 1 1 “l | ；c ”0 “l 口：。 事实上，类似文献 1 7 中命题3 1 ( a ) 的证法，我们选择玎( p ) ( 苷( 0 ，c o ) 使得 r 警忙1 棚j 有p q 如肛p 州咖0 - q f 挚p q ，由( 1 8 】【2 1 ) 我们知遁在科上存在一个非零r a d o n 测度，使得g 上的h a a r 测度 d = p 伊1 d p d o 。因为“四( q ) ，并且“：a 吃( p ，1 ) r ，所以a ( “，“) 的实部 啪，炉f ( 吼”) 势尸= r 咖袱弩删p ，r 兰霹( “p ) ( “p ) 叩( p ) p o - 1 d 鲥p = 一x j ( “p ) ( “户) v ( p ) d v o 格竺式芝i = 1l 置( “力珊p 黝】矾 = 喜i 邸朋瞰咖) 忡酬删d 喜( 酬脚m 内+ u p r f ( 凼】d v o = 喜( r 秽，7 ( p + 善f ；( r “姐册协) q d 西北工业大学硕士学位论文 第二章 2 喜n ( 删2 咖扩“删p + 喜n ( 即a i r ( 咖啪和 2 善m d 口f 咖扩oi 州孙m ( r i a , u 2 + u 2 a 瑚臼肌咖 2 善m 肌q 瓤( 芡掣2 膏国枷 z ( e ，“，置“) 一q ( ( q 一1 ) h l l “| | 2 + 怯l l2 ) = ( r “，e “) 一q 2 2 ， = i 进而我们将上式中的( r “，r ，“) - u n ( 2 2 3 ) 式展开，得到 所以 兰( 尺弘r 。“) ：芝( 蠢肘掣，j i 卅掣) j = lt = l 2 喜( 盖似五神+ z l 蔷m 宠叩2 d 臼+ l 善咖2 d 臼 ：兰( 五鸺五，“) + ( 2 q 一1 ) h i “1 1 2 f = 1 = 芝( 她硒+ l | 届1 1 2 即( ) = ：一2 由文献 2 2 1 中的定理4 ( i i ) 矾n 即( 刚) = ：一酬“9 2 - c l l 毗，c 0 所以 ： - c i 毗 西北工业大学硕士学位论文 第二章 这里| | ；是圭阶s 。b 。l e v 空l f i h ：( d ) 的模( 9 】) ，于是由标准嵌入定理可知单位闭 球玩在r ( q ) 中是紧的，又因为r 是线性的，所以r 在r ( q ) 上是一个紧算子， 定理2 4 1 得证。 现在我们来验汪r 是线性的。 令_ ，i ， l 2 ( f 1 7 ) ，则_ ，厶满足 觋= “，( 竹) b o ，现= u 2 ( 仍) 岛， 由( 2 2 1 0 ) 式知 f d i = m ，纪q f d t u 2 = 帆，n 7 ll f l = 0 ，蚂m l “2 = 0 ，仍a q 再令 r ( 颤+ 包疋) = “b 。，e l , b r 当“q7 时，必有 d 1 “= ( 嘶+ 妖) = d i ( a u l + b u 2 ) = d i 研+ 6 矾) ， 所以 n 项+ b y f = “， 丁( 西+ 皈) = 口弧+ 6 珥 西北： 业大学硕士学位论文第三章 3 1 引言 第三章丁的特征值和特征函数 在上一章，我们针对h 型群上的一类边值问题，给出了与之相连系的一个算 予r ，并且证明了丁是一个紧算子，在这一节，我们将进一步讨论紧算子丁的特 征值与特征向量。 1 9 9 5 年，b i r i n d e u i ( 2 3 ) 在 氏空间的一个有界域m 上定义了一个算子 靴g 埘( 蛳( = 形是p 生 一，妒5 m 的解，并且证明了t ，是- - + n g o m 子；2 0 0 1 年，b i f i n d e l l i ( 2 4 ) 又在h e i s e n b e r g 群上证明了类似的结果：令 q r c 岛c ”，算子丁”：。) 矗p ( d ) ，“( 西= r 丁是 一：i 乞娄罗的解，则丁”是 一个紧算子，并且丁”有正的特征值和特征向量。本章将b i r i n d e l l i 在h e i s e n b e r g 群上的结果推广到了h 型群上，即在h 型群上证明了在第二章中获得的紧算子r 具有正的特征值和特征向量。 在第三章，我们首先在第二节中详细证明了一个加细极大值原理：设p 是q 上的一个次临界算子，庐c ( n ) 是方程p u = o 在n ：上的一个正解，q ：= q q ， 如果在n 中p v = f 0 ，厂c ( q ) ，l v i c 庐，j l v z , 在q 中v o 。接着，我们又在 第三节中证明k r e i n r u t m a n 定理：如果丁是一个紧的线性映射，使得r