（系统分析与集成专业论文）中值滤波的循环序列与高维小波的理论研究.pdf

原创性声明 j 删删删删删删舢删j j 删 y 17 4 119 0 。 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果。参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内 容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签 名：蝉导师签名：日 图书分类号：0 1 7 4 2 单位代号：1 0 2 8 0 学号：0 7 7 2 0 1 7 9 上海大学理学硕士学位论文 中值滤波的循环序列与 高维小波的理论研究 作者：张明涛 导师：叶万洲 专业：系统分析与集成 上海大学理学院 二零一零年四月 一令一令= 平四月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fm a s t e ri ns c i e n c e t h et h e o r yo fr e c u r r e n ts e q u e n c e s w i t hr e s p e c tt od o m a i nm e d i a nf i l t e r a n dh i g h - d i m e n s i o nw a v e l e t s c a n d i d a t e ： z h a n gm i n g t a o s u p e r v i s o r ：y ew a n z h o u e r v l s o r ew a n zo u： m a j o r ：a n a l y s i sa n di n t e g r a t i o no fs y s t e m s c o l l e g eo fs c i e n c e s s h a n g h a iu n i v e r s i t y a p r i l ，2 0 1 0 摘要 作为继f o u r i e r 分析之后调和分析发展史上的又一里程碑，小波分析具有理论 深刻和应用广泛的双重意义，它已经成为各个研究领域的科学工作者都乐于使用的 数学工具。在其诞生后的短短几十年里，小波分析在理论和应用方面都得到了迅速 发展。中值滤波是基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性信号处理技 术。它不仅能够去除或减少随机噪声和脉冲干扰，还能很大程度地保留图像的边缘 信息，在图像预处理等领域中有着广泛的应用。中值滤波的循环序列具有良好的性 质和广泛的应用，所以成为许多数学工作者研究的重点。高维矩阵值小波理论是在 一维小波理论的基础上发展起来的新理论，它是一类广义的多小波，具有更广泛的 应用性，是小波分析的研究热点。 本文的工作是讨论了中值滤波的循环序列的结构以及关于高维矩阵值小波的 构造问题。本文共分四章：在第一章中，简单介绍了小波分析的诞生与发展以及中 值滤波和高维矩阵值小波的概况。在第二章中，主要介绍了中值滤波的循环序列的 性质和l 2 ( r s ，c ) 空间中矩阵值小波及其性质。在第三章中，研究了中值滤波 的循环序列的结构。在第四章中，研究了l 2 ( r s ，c x ) 空间中高维矩阵值小波的 性质与构造。 本文取得的主要结果是：( 1 ) 在得到的一定结果基础上，证明了中值滤波的循 环序列可以分为两类：i 类和i i 类。( 2 ) 证明了中值滤波的所有循环序列都是周期小 于2 4 b 1 的周期序列。( 3 ) 对高维矩阵值小波的性质与构造进行了研究，对高维矩阵 值小波的构造系数进行了初步分类。 关键词：中值滤波，循环序列，矩阵值小波，矩阵值多分辨率分析，矩阵值尺度 函数，加细方程，矩阵理论。 a b s tr a c t a sam i l e s t o n ei nh a r m o n i ca n a l y s i sh i s t o r ya f t e rt h ef o u r i e ra n a l y s i s ，w a v e l e t a n a l y s i sh a sd o u b l es i g n i f i c a n c e so fc o g n i t i v et h e o r ya n dw i d ea p p l i c a t i o n i th a s a l r e a d yb e c o m eam a t h e m a t i c a li n s t r u m e n tt h a tt h es c i e n t i f i cw o r k e r si ne v e r yr e s e a r c ha r e aa r ea l lg l a dt ou s e i th a so b t a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n ti nt h e o r ya n d a p p l i c a t i o ni nd o z e n so fy e a r sa f t e ri t sb i r t h m e d i a nf i l t e r i sa ni m p o r t a n tn o n - l i n e a ro p e r a t i o no fs i g n a lp r o c e s s i n g ，w h i c hi sb a s e do nt h et h e o r yo fa r r a ya n d s t a t i s t i c s i tc a nw e a k e nt h en o i s ee f f e c t i v e l ya n da l s oh a st h ea b i l i t yo fp r e s e r v i n g s i g n a le d g e s m e d i a nf i l t e rh a se x t e n s i v eu s ei nt h e a r e ao fp i c t u r ep r o c e s s i n ga n do t h - e r s r e c u r r e n ts e q u e n c e so fm e d i a nf i l t e r sh a sn i c ep r o p e r t i e sa n de x t e n s i v eu s e s o ，i t b e c o m e st h eh o t s p o tw i t hr e s p e c tt op e o p l ew h os t u d ym a t h e m a t i c s t h et h e o r yo f h i g h d i m e n s i o nm a t r i x - v a l u e dw a v e l e t si sa n e wt h e o r y , w h o s ed e v e l o p m e n ti sb a s e d o ns c a l a rw a v e l e tt h e o r y i ti sag e n e r a l i z e dm u l t i w a v e l e tw h i c hh a sw i d ea p p l i c a t i o n a n db e c o m e si n t e r n a t i o n a lr e s e a r c hf o c u s i nt h i sa r t i c l e ，w et a k em u c ha t t e n t i o nt ot h es t r u c t u r eo fr e c u r r e n ts e q u e n c e s o fm e d i a nf i l t e r sa n dt h ec o n s t r u c t i o no fh i g h - d i m e n s i o nm a t r i x - v a l u e dw a v e l e t s w ed i v i d et h ea r t i c l ei n t of o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ：i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h e o r i g i na n dd e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e ta n a l y s i s ，a sw e l la st h eg e n e r a ls i t u a t i o no f m e d i a nf i l t e r sa n dh i g h d i m e n s i o nm a t r i x - v a l u e dw a v e l e t s i nc h a p t e r2 ，w cm a i n l y i n t r o d u c et h ep r o p e r t i e so fr e c u r r e n ts e q u e n c e sw i t hr e s p c x ：tt om e d i a nf i l t e r sa n d t h em a i nt h e o r e m so fm a t r i x - v a l u e dw a v e l e t si nl 2 ( r s ，c ) i nc h a p t e r3 ，w e s t u d yt h es t r u c t u r eo fr e c u r r e n ts e q u e n c e sw i t hr e s p e c tt om e d i a nf i l t e r s i nc h a p t e r 4 ，w es t u d yt h ec o n s t r u c t i o na n dp r o p e r t i e so fm u l t i v a r i a t em a t r i x - v a l u e dw a v e l e t s i nl 2 ( r 5 ，c ) t h i sa r t i c l ec o n t a i n st h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：( 1 ) b a s e do ns o m er e s u l t sw h i c h w eo b t a i n e d ，w es h o wt h a tr e c u r r e n ts e q u e n c e so fm e d i a nf i l t e r sc a nb ed i 、r i d e di n t o t w oc l a s s e s ：c l a s s ( i ) a n dc l a s s ( i i ) ( 2 ) w es h o wt h a ta l lr e c u r r e n ts e q u e n c e so fm e d i a n f i l t e r sp e r i o d i cs e q u e n c e sw i t hp e r i o d sl e s st h a n2 4 k - 1 ( 3 ) w es t u d yt h ec o n s t r u c t i o n a n dp r o p e r t i e so fm u l t i v a r i a t em a t r i x - v a l u e dw a v e l e t s t h e n ，w ea l s oc l a s s i f yt h e c o n s t r u c t i o nc o e 伍c i e n to fm u l t i v a r i a t em a t r i x - v a l u e dw a v e l e t s k e yw o r d s ： m e d i a nf i l t e r ，r e c u r r e n ts e q u e n c e ，m a t r i x - v a l u e dw a v e l e t s ，m a t r i x - v a l u e dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m a t r i x - v a l u e ds c a l i n gf u n c t i o n ，r e f i n e m e n te q u a t i o n ，m a t r i x t h e o r y 摘要 a b s t r a c t 目录 第一章绪论 1 1 1 小波分析的诞生和发展 1 1 2 中值滤波及其循环序列概述 3 1 3 高维矩阵值小波理论的概述 4 1 4 本文的研究内容与主要结果 5 1 5 论文结构安排 6 第二章 中值滤波的循环序列的性质和高维矩阵值小波 7 2 1 中值滤波的循环序列的性质定理 7 2 2 高维矩阵值小波 9 第三章中值滤波的循环序列的结构 1 2 3 1 引言1 2 3 2 预备知识1 2 3 3 主要结果1 3 第四章高维矩阵值小波的性质与构造 2 2 4 1 引言2 2 4 2 预备知识2 2 4 3 主要结果2 6 参考文献 3 2 作者在攻读硕士学位期间公开发表及录用的论文3 5 致谢3 6 第一章绪论弗一早殖比 1 1小波分析的诞生和发展 “小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) ”是2 0 世纪8 0 年代正式形成的一种新的数学方 法，它被看作是多元调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，是纯粹数学 和应用数学等的交叉学科。小波分析分别被纯粹数学家与研究石油勘探数据处理、 量子场论、声学等领域的应用数学家独立发现，它是纯粹数学与应用数学殊途同归 的又一个光辉例子。由于小波分析的“自适应性质”和“数学显微镜性质”，使其被 广泛应用于基础科学、应用科学尤其是信息科学、信号分析的方方面面，例如：函数 论、量子场论、信号处理、图像处理与传输、模式识别、地震勘探、音乐、雷达、c t 成像、彩色复印、流体湍流、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形及数字电视等。 它不仅成为数学家们研究的一个热点，同时也引起了物理学家、生物学家、工程师 等其它领域科学工作者的广泛关注。它的理论研究与实际应用的范围正在迅速深入 与扩大。 自1 8 0 7 年j f o u r i e r 提倡用函数的f o u r i e r 级数展开研究热传导方程以来，近二百 年来，f o u r i e r 分析成了刻画函数空间、求解微分方程、进行数值计算与处理信号数 据等的主要数学工具之一。f o u r i e r 分析之所以能有如此作为，是有其原因的。一方 面，从理论角度看，主要在于许多常见运算在f o u r i e r 变换下性质变得更好；另一方 面，从实际应用角度看，是因为f o u r i e r 级数展开式是每个周期振动都是具有简单频 率的简谐振动的叠加这一物理现象的数学描述。f o u r i e r 分析虽然有许多优点，然 而也有不可忽视的缺点。f o u r i e r 级数是厂( t ) 在整个时间域上的加权平均。但是局部 性质的描述无论是在理论方面，还是在实际应用方面都是十分重要的。f o u r i e r 分 析在时间域上局部性的缺乏大大的限制了它的应用。长期以来，数学家与工程师们 梦想对函数空间l 2 ( r ) 能有一种基函数族，即能保持优点，又能弥补缺点。他们想 象这种函数族的形式是由一个函数砂( z ) 经过两个简单的运算，即平移与伸缩生成 的。矽( z ) 是光滑的、局部的、也是振荡的，即具有充分多的消失矩性质。由于砂( z ) 的图像形如小波，因而这样的基称为小波基。对它的存在性、构造与性质的研究就 l 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 2 是小波分析的重要研究内容之一。 1 9 4 6 年，d g a b o r 1 1 弥补了f o 证i e r 分析在时间域上局部性的缺点，给出了将 信号分解为基本信号的方法。g a b o r 的方法很快成为涉及时间频域的分析方法的典 范。今天，g a b o r 的思想仍是无数g a b o r 框架应用的核心。 小波分析的诞生虽与2 0 世纪前半叶的某些数学发展( 例如h a r r 分析与l i t t l e w - o o d - p a l e y 分析) 有关，但其直接的发展只能追溯到2 0 世纪七十年代。那个时候，a c a - 1 d e r o n 表示定理的发现、对h a r d y 空间的原子分解与无条件基的大量研究为小波 分析的诞生作了理论上的准备。1 9 8 2 年，j o s t r o m b e r g 首先构造出了一个很接近 现在称之为小波基的基，但它没有引起人们的注意。在二十世纪八十年代初，许多 搞信号分析的工程师们也为小波分析的诞生做出了积极的贡献。例如，j m o r l e t 就 在二十世纪八十年代初最早使用了小波这一名称，提出了一个确定函数砂的伸缩平 移系展开的系统理论。 直至u 1 9 8 6 年，y m e y e r 在怀疑上述意义下的小波基的存在性的同时，偶然地构 造出了现在称之为m e y e r 基的真正的小波基，以及随后不久，s m a l l a t 与y m e y e r 建立了构造小波基的通用方法，即多分辨分析后，小波分析才正式成为- f 7 数学科 学。在其后至今不到二十年的时间内小波分析及其应用得到了蓬勃的发展。它涉及 面之宽广、影响之深远、发展之迅速都是空前的，它所取得的成就也令人瞩目。它 能对几乎所有的常见函数空间给出通过小波展开系数的简单刻画，也能用小波展开 系数描述函数的局部光滑性质。 二十世纪九十年代初，女数学家i d a u b e c h i e s 撰写了一部世界范围公认的经典 学术名著一( t e nl e c t u r e so i lw a v e l e t s ) ) ，它是根据d a u b e c h i e s 于1 9 9 0 年在第三次 国际小波大会上为众多来自数学与非数学的小波热心听众所作的十次讲演整理而成 的小波专著。该书为全世界普及和推广小波分析做出了重要贡献，参考文献【2 】是这 部著作的中文译本。1 9 9 5 年，龙瑞麟【3 】编写了一部高维版本的类似于( t e nl e c t u r e s o i lw a v e l e t s ) ) 那样的专著。作者用简洁的表达方式反映了高维小波分析领域重要的 成果。2 0 0 3 年，o c h r i s t e n s e n 4 编写了一本系统介绍h i l b e r t 空间中框架和r i e s z 基 的基本理论的专著。s t e p h a n em a l l a t 【5 】撰写了一本关于信号处理的小波分析应用方 面的经典丛书。 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 3 1 2 中值滤波及其循环序列概述 中值滤波是常用的非线性数字滤波方法，也是图像处理技术中最常用的预处理 技术。它对消除脉冲干扰、斑点噪声和椒盐噪声非常有效，而且在光学测量条纹图 象的相位分析处理方法中和保护图像尖锐的边缘方面也有特殊作用，是经典的平滑 噪声的方法。 中值滤波是在1 9 7 1 年由j w j u k e y 首先提出并应用在一维信号处理技术f 时 间序列分析) 中的，后来被二维图像信号处理技术所引用。标准的中值滤波 6 , - - f 以 描述如下：对当前像素点的邻域像素进行排序，将其中的统计中值作为滤波器的输 出。可以假定信号s 的长度为有限长度，信号包含的样本为x t - k 到z 。+ 知其中轨为中心 样本。滤波器的输出可以表示为：k = m e d i a n ( x t 一蠡，观，钆+ 七) ，k z 。在 一定的条件下，标准中值滤波在处理脉冲噪声等应用中有比较好的效果。但是它仅 仅使用了邻域的统计信息，破坏了邻域的空间和结构信息，从而导致图像中结构的 扭曲，尤其是图像的边缘，细线和角点等重要信息被破坏了。为了克服这个缺点， 后来自适应中值滤波器 7 】被引入，即基于中值滤波的特点和性质，考虑采用变换窗 口大小的方法，在中值算法中加入一个判断操作，判断窗口内的像素中值及滤波处 的像点灰度是否为脉冲噪声，并分别处理。另外，为了在图像细节的保存和噪声抑 制方面寻求一种平衡，后来还出现了其它改进的中值滤波。具体内容可以参见文 献 8 1 ，【9 】，【1 0 ，【1 1 【1 2 ，【1 3 ，【1 4 1 “1 5 ，【1 6 1 和【1 7 】。 循环序列是在中值滤波概念的基础上提出的，由于其具有很好的性质，所以 成为许多数学工作者研究的重点。t y a n 【1 8 】首先介绍了中值滤波的循环序列的概 念，并提出中值滤波的循环序列是二值序列的假说。后来z h o u 1 9 和b r a n d t 2 0 对中 值滤波的循环序列进行了研究。中值滤波的循环序列【1 9 】可以如下定义：对于一个 实序列z = 【z ( 扎) ) n ；0 , 4 - 1 , 4 - 2 ，如果它的中值滤波不是根，但是存在s ( s 2 ) ，使 得z 的s 次中值滤波等于z ，则z 就称为循环序列。中值滤波的循环序列的性质可参见 文献f l8 】，f 1 9 ，【2 0 】，【2 l 】，【2 2 】和1 2 3 。 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 4 1 3 高维矩阵值小波理论的概述 众所周知，在信号处理的实际应用中，如果小波和尺度函数是紧支撑的，则相 应的分解和重构算法可以通过有限滤波器组实现；如果小波和尺度函数具有正交 性，那么分解和重构就能保持能量；而小波和尺度函数是对称时，相应的滤波器 是广义线形相位的，缺乏此性质会引起相位失真，对称性又易于信号在边界的处 理。所以，分析工具同时拥有这三种性质是十分重要的。可是，实数域中，紧支、 对称、正交的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在这三者之间进行折衷。 为了解决这个问题，人们开始提出新的思想一多小波。最早出现由多个尺度函数生 成多小波基的文献是在1 9 9 1 年，a l p e r t 和r o k l i n 两位学者构造了r ( r 大于1 ) 个尺 度函数，每个尺度函数都是支集在【o ，1 1 区间上的7 一1 次多项式，这些尺度函数生 成了多小波，并被用于解积分方程，它能够使积分方程形成的矩阵有较大的稀疏 性。1 9 9 4 年，g o o d m a n 2 4 1 等人基于r 元的多分辨分析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ， m r a ) ，建立了多小波的基本理论框架。g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 2 5 1 利用分 形插值的方法，成功地构造了具有短支撑集、正交、对称和二阶消失矩的向量尺度 函数垂= 【1 ，砂2 】r 。这就是著名的g h m 多小波尺度函数。这对单小波来说却是不可 能的。1 9 9 6 年，d o n o v a n ，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 2 6 】再次利用分形插值方 法，构造了g h m 的多小波函数皿= p l ，妒2 】t ，称为d g h m 多小波。 因为多小波的成功构造，近年来，多小波理论成为小波分析的研究热点。它己 被广泛应用在信号分析2 7 1 、分形 2 8 】、图像# k n 2 9 1 等方面。矩阵值小波就是一类 广义多小波【3 0 1 。文f 3 1 1 引入矩阵值小波的概念，并说明多小波可以由矩阵值小波的 系数方程得到。b a c c h e l l i 等f 3 2 】引入矩阵值正交小波的概念，研究了矩阵值正交小波 的存在性及其构造。在多小波理论和信号表示中( 电视图像就是矩阵值信号的例子) ， 研究矩阵值小波是必要而有意义的。由于现实世界中绝大多数的信息是多维信息， 因此对高维小波理论的研究为许多研究人员所关注。 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 5 1 4 本文的研究内容与主要结果 ( 1 ) 关于中值滤波循环序列的结构的研究 本文在论述相关中值滤波的循环序列的理论基础上，首先得到了一个关于中值 滤波的循环序列的结果： 定理1 4 1 假设凡是窗口宽度为2 k + 1 的中值滤波，z 和剪是凡的两个循环序 列。如果存在几o z ，使得 z 0 ) = 耖d ) ，z ( 1 o ) = y ( 1 ) 0 ) ，佗o j n o + 2 k 一2 则z = y 。而且对于长度小于2 k - 1 的段，此结论不成立。 随后，我们对中值滤波的循环序列进行分类研究，得到下面的结果： 定理1 4 2假设凡是窗口宽度为2 k + l 的中值滤波，z q 是r 的循环序列。 则下面的结论有且只有一个成立： ( i ) 所有点都不是z 的不动点。 ( j i ) 在z 中长度为2 k - l 的每一个段上，既有不动点也有非不动点。而且当长度小 于2 k - 1 时，此结论不成立。 根据定理1 4 2 ，我们可以将循环序列分成两类：满足条件( i ) 的循环序列称为i 类 循环序列；满足条件( i i ) 的循环序列称为i i 类循环序列。 最后，我们对中值滤波的循环序列的周期性进行了研究，得到下面的结果： 定理1 4 3 假设凡是窗口宽度为2 k + l 的中值滤波，则兄的循环序列都是周期 小于2 4 扯1 的周期序列。 ( 2 ) l 2 ( a s ，c n x n ) 空间中高维矩阵值小波的构造的研究 对l 2 ( r 8 ，c n n ) 空间中高维矩阵值小波的构造进行了研究，得出了有意义的 结果，并对其构造系数进行了初步分类。 定理1 4 4 g ( z ) l 2 ( r s ，c n n ) 是紧支撑正交多变量矩阵值尺度函数，满足 g ( z ) = a k g ( 2 x 一七) 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 6 如果存在某个向量f 1 2 0 使得( 2 。n a 钟) _ 1 a i a 是正定矩阵。 定义q p ( 肛q ) 为： ( q p ) 2 = ( 2 8 h a z a ；) 一1 a f a ； 假设q p q ) 为满足上式的厄米特( h e r m i t e ) 矩阵，记 委：宁2 岸。 j q 删q a o b 5 p ) = 一( q p ) 一1jj - - t jc4 pc 。“ 设 以( z ) = 酵a ( 2 x - 七) ，p q k 6 1 2 0 则兄( z ) ( p q ) 是关于尺度函数g ( z ) 的紧支撑矩阵值正交小波函数。 1 5 论文结构安排 本文总共由四章组成。第一章我们简要介绍了研究课题的背景，阐述了小波分 析研究的发展，介绍了中值滤波和高维小波理论的概况，简要叙述了本文研究的主 要问题与取得的主要成果。在第二章中，我们主要叙述了本文研究的问题所需要的 基本知识，包括定义、引理和主要定理。在第三章中，我们主要讨论了中值滤波的 循环序列的结构问题。在第四章中，我们主要讨论了l 2 ( r 8 ，c ) 空间中高维矩阵 值小波的性质与构造，对高维矩阵值小波的构造系数进行了初步分类。 第二章中值滤波的循环序列的i 生质和高维矩阵值小波 2 1 中值滤波的循环序列的性质定理 本文用k 表示一个固定正整数，z 表示整数集，q 表示实数序列集。设 z = z ( n ) ) n ：0 ，士1 ，士2 ， 是一个实序列，则对每一个n z ，我们用z ( 1 ) ( n ) 表示t n 2 k + 1 个实数由小到大重 排后位于中间的那个数： x ( n 一艮) ，z ( 仡一k + 1 ) ，z ( 礼) ，x ( n + 七一1 ) ，z ( 佗+ 七) 通过这种重排运算，z = z ( n ) ) 变成一个新的实数歹a j x ( 1 ) = z ( 1 ( n ) ) 。它称为z 的 中值滤波( 窗宽为2 七+ 1 ) ，记为凡( z ) 。对z ( 1 ) 又可进行窗宽为2 七+ l 的中值滤波，其 结果记为z ( 2 ) = z ( 2 ( 佗) ) 。一般地，z 通：i 勘次窗宽为2 七+ 1 的中值滤波后的结果记 成z = z ( p ( 竹) ) 肛o ，土1 , 4 - 2 ，特别记z ( o ) = z 。 定义2 1 1 嘲假设r 是窗口宽度为2 k + l 的中值滤波。对x q ，令z ( 1 ) = 冗( z ) ，z ( p + 1 ) = 兄( z 扫) ) ，p 1 贝4 ( 1 ) 如果z ( 1 ) = z ，那么我们把z 叫做r 的根。 ( 2 ) 如果z ( 1 ) z ，存在s 2 ( s z ) 使得z ( 3 ) = z ，那么我们把z 叫做艮的循环 序列。 ( 3 ) 假设cz 。如果对每一个n a ，l i i 嘞一。z ( 礼) 存在且是有限的，那么我 们把x 称为在上关于最局部收敛。 ( 4 ) 如果l i i i l p _ z ( p ) ( n ) = r ( n ) 是一个实数，礼z ，那么x 称为关于r 收敛，表 示为z p _ n r = r ( n ) ) 。z 。 定义2 1 2 【2 2 】假设r 是窗口宽度为2 k + l l 舯值滤波，z q 。如果对于每一 个n acz ，存在m n ，使得扣) ( n ) = z ( 几) ，p 成立，则z 叫做在上关 于凡局部有限收敛的序列。如果a = 么，x , q 做关于r 有限收敛的。 7 定理2 1 2 【2 3 1 假设r 是窗口宽度为2 k + 1 的中值滤波，z q ，且【z ( 2 p ) p 1 和 x ( 2 p 一1 ) p 1 都是收敛的。令x ( 2 p ) _ a ，x ( 2 p 一1 ) _ 卢。如果q = p ，则z p ) _ q ，q 为r 的根。如果q 卢，则q 和p 都是r 的循环序列，q ( 1 ) = p ，p ( 1 ) = q 。 定理2 1 3 1 2 2 1 假设r 是窗口宽度为2 k + l 的中值滤波，z q 。如果存在n o z ， 使得z 在= 伽，n 0 + 2 k 一2 ，上关于凡是局部有限收敛的，则z 是关于r 有限 收敛的。 定理2 1 4 【2 2 1 设r 是窗1 ：1 宽度为2 k + 1 的中值滤波，z q ，那么z 关于r 收敛 的充要条件是：存在凡o z 使得z 在a = n o ，绚+ 2 k 一2 ) 上是关于忍局部收敛 的，且的元素个数2 k - 1 是最小的，k 2 ，3 。 上面最小的意思是指存在一个序列x q ，使得x 在a = 咖，n o + 2 k 一3 1 - _ 是关于r 局部收敛的，但是序列z 不是关于r 收敛的。 定理2 1 5 【2 3 1 假设r 是窗口宽度为2 k + 1 的中值滤波，z q 。如果z 是凡的一 个根，那么z 中长度为k + l 的段或者是单调的( 第一类) 或者是非单调的( 第二类) 。如 果z 是r 的第二类根，则z 是二进制的。 定理2 1 6 f 2 3 】 设凡是窗i = 1 宽度为2 k + 1 的中值滤波，o 化理( 2 ) = q 。如果存 在7 , 0 z ，使得a ( 1 ) ( i ) = q ( i ) ，i a = n o ，钆o + 2 尼一2 ) ，则n 是凡的一个根。 一 妞 ( 2 2 3 ) 其中 表示实变量z 与u 的内积。 对于圣，t l 2 ( r 3 ，c n x n ) ， 表示币与t 的符号内积，定义如下： = 上。吣) m ) + 如 、lillilil_、，、，、v 扛 一 w m 助 。 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 0 其中木表示复共轭转置。 定义2 2 1 一个矩阵值函数序列 风( z ) ) 知zcl 2 ( r 8 ，c ) 称为l 2 ( r t s ，c ) 中 的规范正交集，如果它满足 = 6 弛i n j ，k z 这里，是n n 单位矩阵，岛七是克罗内克函数，即岛七= 矗；蒺 定义2 2 2 【3 1 】一个矩阵值函数序列 z k ( z ) ) zcl 2 ( r 8 ，c ) 称为l 2 ( r v ，c ) 中 的规范正交基，如果它满足正交性且对任意g ( z ) l 2 ( r s ，c ) ，存在一个n 常数矩阵序列 m k k z 使得 g ( z ) = m k g k ( z ) k e z 其中右边的和式在( 2 2 1 ) 式定义的范数下收敛。 定义2 2 3 删空间l 2 ( ，c ) 中的矩阵值多分辨分析是l 2 ( r 8 ，c x ) 的一 个闭子空间嵌套序列 巧) j z 满足： ( i ) cv - 1cy oc c 。 ( i i ) n j zb = o 且u l z 在l 2 ( r s ，c ) 中稠密。 ( i i i ) h ( ) y o h ( 2 j - ) k ， v j z 。 ( i v ) 存在矩阵值函数g ) v o ，使得g 扛一血) ( 七z 8 ) 构成的一个规范正交 基，这里称g ( z ) 为矩阵值多分辨分析的矩阵值尺度函数。 既然g ( z ) v ock ，则由定义( 2 2 2 ) 和定义( 2 2 3 ) 知，g ( z ) 满足下面的加细方 程 g ( z ) = a k g ( 2 x 一七) ( 2 2 4 ) 惫z 4 这里，我们假定 a 七) 蜒z 。是阶常数矩阵的有限支撑序列，即【a 詹 知乃仅有有 限个非零项，其余都为零矩阵。 引入记号 a ( u ) = 去a k 。 u 彤 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 这样，( 2 2 4 ) 式的频域形式为 o ( u ) = a ( 詈) o ( 詈) r 8 ( 2 2 5 ) 设0 z ) 是在+ l 中的正交补空间，则存在2 8 1 个矩阵值函数 兄( z ) l 2 ( r s ，c n x n ) ，p q = 【1 ，2 ，2 8 1 ) 使得兄( z ) 的平移和伸缩构成的威e s z 基，则 = c l o s l z ( 舻，c n ) ( s p a n 0 ( 2 j 一k ) ：k z s , p q ) j z 因为以( z ) ( p q ) w oc ，则存在2 s 1 个有限支撑常数矩阵序列 b ) 惫即使 得 兄( z ) = 砖g ( 2 x - 后) p q k e z 。 在上式两边实施f o u r i e r 变换得 这里 r ( u ) = b m ( 詈) o ( 詈) u 彤，p q b ( ( u ) = 磊1 砖e 水 p q 。k e z s 第三章中值滤波的循环序列的结构 3 1 引言 中值滤波的循环序列具有很好的性质，近年来，人们对其进行了深入广泛的研 究，得到了不少好的结果。在无限长的情况下，在文【3 7 】中得到了完备的关于中值滤 波的根的分类，本章我们得到了关于中值滤波的循环序列的分类。本章我们首先得 到了一个关于中值滤波的循环序列的基本结果，然后在这个结果的基础上，我们对 循环序列进行了分类和周期讨论。本节所用的符号和定义参见第二章。 3 2预备知识 在证明主要定理前，我们先证明下面的性质及定理。 定义3 2 1 设凡是窗口宽度为2 k + l 的中值滤波，z q 是凡一个循环序列， 如果满足z ( 竹) = z ( 1 ) ( n ) ，则称陀是z 的一个不动点。 引理3 2 1 1 1 9 ，2 0 1 设最是窗口宽度为2 k + l 的中值滤波，z q 是r 一个循环序 列，则z 是二进制的且z ( 2 ) = z 。而且z 中长度为k + 1 的所有段都不是恒定的段。 引理3 2 2 设疋是窗口宽度为2 k + l 的中值滤波，a q 是兄的一个循环序列。 如果存在n z ，使得q ( n ) = 1 ，q ( n + 1 ) = 一1 ，则 n + k q 1 ( 孔一砖) = 1 ，q 1 ( n + 1 + 后) = - 1 ， q 1 ( j ) = 0 证明因为q ( n ) = 1 ，a ( n + 1 ) = 一1 所以由引理3 2 1 1 1 9 ，2 0 知道 q ( 2 ( 几) = q ( n ) = l ，q ( 2 ) ( n + 1 ) = a ( n + 1 ) = 一1 又由凡的定义我们得 n + 1 + k q 1 ( i ) _ 1 i = n + 1 一七 1 2 一 0 口 m 一 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文1 3 因此 r , + 缸n + 1 + 七 q 1 ( 竹一七) 一q 1 ( n + 1 + 后) = q 1 ( i ) 一q 1 ( i ) 2 i = n - k i = n + 1 - k 因为 a ( 1 ( z ) = 1 或一1 ， i z 所以有 因此我们有 q ( 1 ( n k ) = 1 ，q ( 1 ( n + 1 + k ) = 一1 竹+ k 口1 ( i ) 0 ， i = n + 1 一七 n + 七 a ( 1 ( ) 0 i = n + 1 - k 所以 a 1 ( i ) = 0 i = n + 1 一七 注：如果q 和q ( 1 ) 都是循环序列，由引理3 2 1 i t 9 ，2 0 1 ，我们知道q ( 2 ) ：q 那么结合 引理3 2 2 我们就能知道，如果存在n z ，使得n ( 1 ) = 1 ，口( 1 ) = 一l ，则 竹+ 奄 q 一七) = 1 ，c k n + 1 + 七) = 一1 ， q ( i ) = 0 i = n + l - k 3 3 主要结果 本章我们主要证明下面的定理。 定理3 3 1 假设最是窗i ：1 宽度为2 k + l 的q h 值滤波器，z q 和f 2 是_ f k 的 两个循环序列。如果存e n o z 使得z (