（科学技术史专业论文）《西算新法直解》初探.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 1 9 世纪中叶，内部和外部的竞争打破了清朝正常的财政平衡，冯 桂芬提议引进“诸国富强之术”。谋富强必须发展技术，技术的发展建 立在知识存量之上，因而知识存量的扩张是关键，数学知识的扩张尤其 重要。不过，西算新法跟以往中西两家之法都不一样，数学对象主要是 一般关系。由于缺乏传统形式的解释，人们感到这些结果难以理解，西 算新法直解于是应运而生。 关于作者冯桂芬前人已有大量研究，至于西算新法直解，尚未 展开专门讨论。本文尝试专门探讨这部著作，分析它的内容、特点及其 影响，并说明它的贡献与局限。这将有助于了解中算家对高等数学的最 初反应，有助于了解微积分在中国传播的历史，有助于了解中国数学的 西化历程。 本文涉及三个方面的内容，概述如下。 1 成书经过：简要说明西算新法直解成书的时代背景以及作 者的思想动机。内部和外部的竞争打破了清朝正常的财政平衡，实现技 术近代化是唯一的出路，“西算新法直解”是技术进步的派生需求。 2 书中内容：理清书中内容，再与代微积拾级比较，分析直 解的结构与特点。虽然数学问题均选自拾级，但是“直解”这些 问题的形式却向古代的传统靠拢，关于两角和三切公式的证明则堪称独 上匕 少o 3 影响范围：根据直解的结构特点、作者的思想动机以及现 存的某些版本，说明它的贡献与局限。“直解”建基于勾股理论，这引 起中算论证的发展和概念的进化，虽然丧失厂西算新法的实质。 内蒙古师范大学硕士学位论文 本文全面分析西算新法直解的内容与特点，首次通过产品分析， 说明了中算家对西算新法的最初反应。对冯桂芬的数学工作及其性质、 数学概念的进化与维护知识传统的关系，本文的分析较为具体、确切。 关键字：冯桂芬；西算新法；晚清数学 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h em i d d l eo f19 t hc e n t u r y ，t h ec o m p e t i t i o nb e t w e e nt h ei n s i d ea n d o u t s i d eo fc h i n as m a s h e dt h en o r m a lf i n a n c eb a l a n c eo f q i n gd y n a s t y f e n g g u i f e ns u g g e s t e dt oi m p o r tt h ew a yo fm a k i n ga l lc o u n t r i e ss t r a n ga n d p r o s p e r o u s ，t os t r a n ga n dp r o s p e r o u sw em u s td e v e l o pt e c h n i q u e ，t h e d e v e l o p m e n to ft e c h n i q u ee s t a b l i s h e do nt h ea m o u n to ft h ek n o w l e d g e ，t h u s e x p a n d i n gt h ea m o u n to ft h ek n o w l e d g ew a st h ek e yp r o b l e m ，e s p e c i a l l y t h e e x p a n d i n go fm a t h e m a t i ck n o w l e d g e h o w e v e r , t h en e ww e s t e r n m a t h e m a t i c sd i f f e r e n tf r o mt r a d i t i o n a lc h i n e s em a t h e m a t i c sa n dt h ef o r m e r w e s t e m m a t h e m a t i c s ，t h em a i no b je c t o fm a t h e m a t i c sw a s g e n e r a l r e l a t i o n s h i p b e c a u s eo fl a c k i n go ft h ee x p l a i n a t i o no ft r a d i t i o n a lf o r m ， p e o p l ef e l tp u z z l e da b o u tt h e s er e s u l e s ，h e n c e ( x i s u a n x i n f a z h i j i e ) ) a p p e a r e d t h e r ea r el o t so fr e s e a r c h e so nf e n gg u i f e n sa c h i e v e m e n t s a st o x i s u a nx i nf az h ij i e ) ) s p e c i a ld i s c u s s i o nh a sn o ty e tc a r r i e do u t t h i sp a p e r a t t e m p t st oi n q u i r ei n t ot h i sw o r k a n a l y s e dt h ec o n t e n t s 、f e a t u r e sa n d e f f e c t s ，a l s oe x p l a i n e dt h ec o n t r i b u t i o n sa n dl i m i t a t i o n s i ti sh e l p f u lu st o u s et o a c k n o w l e d g et h e i n i t i a lr e a c t i o no fc h i n e s em a t h e m a t i c a ， a c q u a i n tt h eh i s t o r ys p r e n do f t h ec a l c u l u si nc h i n a ，c o m p r e h e n dt h eh i s t o r y o fc h i n e s em a t h e m a t i c sw e s t e r n i z e t h ep a p e ri n v o l v e st h r e ea s p e c t s s u m m a r i z e da sf o l l o w i n g 1 、t h ec o u r s eo fw r i t i n gb o o k w a sw r i t t e n ：b r i e f l y e x p l a i n e d t h e b a c k g r o u n do f x is u a nx i nf az h ij i e ) ) a n dt h ew r i t e r si d e a m o t i v a t i o n c o m p e t i t i o nb e t w e e n t h e i n s i d ea n do u t s i d eo fc h i n e s e 内蒙古师范大学硕士学位论文 s m a s h e dt h en o r m a lf i n a n c i a lb a l a n c eo fq i n gd y n a s t y t h eo n l yw a y o u tr e a l i z i n gt e c h n i q u em o d e r n i z a t i o n 2 、t h ec o n t e n t so ft h e b o o k ：a r r a n g e d t h ec o n t e n t so ft h i s b o o k ，c o m p a r e d t oe l e m e n t so fa n a l y t i c a l g e o m e n o r ya n do f d i f f e r e n t i a la n di n t e g r a l c a l c u l u s ) ) ，f i n a l l ya n a l y s et h e ( ( z h i j i e ) ) s t r u c t u r e sa n df e a t u r e s a l t h o u g ht h em a t h e m a t i c a lc o n t e n t sc h o o s e d f r o mt h e ( e l e m e n t so fa n a l y t i c a lg e o m e n o r ya n do fd i f f e r e n t i a la n d i n t e g r a lc a l c u l u s ) ) ，t h ef o r mw a sc l o s et o t h ea n c i e n tt r a d i t i o n s t h e p r o o f o ft h e t a n ( a + ) f o r m a lc a nb es a yo r i g i n a t e d 3 、t h e r a n g eo fi n f l u e n c e ：a c c o r d i n gt ot h es t r u c t u r ef e a t u r e so f ( z h i j i e ) ) ，t h ew r i t e r si d e am o t i v a t i o na n ds o m er e m a i n e de d i t i o n s ，t h i sp a p e r e x p l a i n e di t sc o n t r i b u t i o n sa n dl i m i t a t i o n s a l t h o u g hl o s i n ge s s e n c eo f t h en e ww e s t e r nm a t h e m a t i c si ne x p l a i n a st h i sb o o kw a sb a s e do n p y t h a g o r e a nt h e o r ya n dc a u s e dt h ed e v e l o p m e n to ft h ep r o o f so fc h i n e s e m a t h e m a t i c sa n de v o l u t i o no f c o n c e p t so f c h i n e s em a t h e m a t i c s t h i sp a p e ra n a l y s e dt h ec o n t e c t sa n df e a t u r e so f x is u a nx i nf az h i j i e i t sf r i s tt i m et oe x p l a i nt h ei n i t i a lr e a c t i o no fc h i n e s em a t h e m a t i c a n a b o u t f e n gg u i f e n sm a t h e m a t i c sw o r k 、h i sc h a r a c t e r s 、t h ee v o l u t i o no f m a t h e m a t i c s c o n c e p t s e v o l u t i o na n d s a f e g u a r d i n g t h et r a d i t i o n a l r e l a t i o n s h i po fk n o w l e d g e ，t h i sp a p e rm a d e ac o n c r e ta n de x a c ta n a l y s e k e yw o r d s ：f e n gg u i f e n ；w e s t e r nm a t h e m a t i c a ln e wm e t h o d ； m a t h e m a t i c a lo fl a t e rq i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：独乏拓 日期： 哆年月衫日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 f 张多长年椤 锄鲐宗瑚， 日期：移q 年告月台e l l 冯桂芬像 ( 采自：熊月之冯柞芬评传 m 南京：南京人学出版社，2 0 0 4 首页) 引言 己i 吉 丁l目 随着代微积拾级于1 8 5 9 年被译成出版，微积分首次被介绍到中国来。当时 的学者对其产生浓厚的兴趣，对他们来说微积分、代数学、解析几何等知识具有新鲜 性和先进性。由于多方面原因，高等数学在中国接受起来并不是一帆风顺的，在重重 困难下仍有不少有识之士抱着缩短东西文化差距的热切愿望，致力于近代数学方面的 研究并试图推广普及它，冯桂芬的西算新法直解正是以此目的而著。1 9 世纪后 期是中国数学由传统向近代过渡的转型时期，对于中国数学家来说面临着巨大的挑战 和困惑，探索中算家对初传入的高等数学的学习、理解和应用能力，无疑对了解中国 数学的发展具有十分重要的意义。自鸦片战争前后的社会和民族危机，构成了影响近 代中国社会发展变化的决定因素，成为刺激着清醒的爱国者寻求自强御侮之道的直接 原因，从鸦片战争到1 9 世纪5 0 年代中，中华帝国连遭西方列强坚船利炮之重创，在 屡遭失败的惨痛中，冯桂芬( 1 8 0 9 1 8 7 4 ) 对此极为忧愤。但在上海，他又亲眼目睹 了西方资本主义侵入后工商业蓬勃发展和城市繁荣的景象，他认为一个重要的原因就 在国人对西方诸国之无知。晚清帝国内外交困，首要之事是不得不通夷务，他认为西 方科学技术都是建立在基础学科一算学之上， “今欲采西学，自不可不学算”，于 是在1 8 5 9 年代微积拾级被译成后，冯桂芬很快得到此书并与徐有壬( 1 8 0 0 1 8 6 0 ) 共同研究。 拾级这部西方著作在当时对于初学者来说是很难理解的。徐有壬称：“是 法壬叔外鲜能晓，书中文义语气，多仍西人之旧奥涩不可读，惟图式皆可据。 徐有 壬不久去世，冯桂芬与陈踢合著西算新法直解，目的是让微积分成为“人人可知， 人人可学”的学科，这也正是数学家徐有壬的夙愿。西算新法直解主要内容是阐 释拾级中的数学思想和方法，本书共8 卷，前4 卷为解析几何，卷5 至卷7 为微 分，后1 卷为积分。 关于冯桂芬的一些成就，前人已有大量研究，至于他的数学成就西算新法直 解，至今没有专门的讨论。冯桂芬的校邰庐抗议中所体现先进的政治思想和教 育思想，一直很受学者们的关注，贺素敏已于1 9 9 5 年发表的冯桂芬( 校郐庐抗议) 中的进步思想，全面的解释了冯桂芬在当时的先进思想。刘j f 伟于1 9 9 8 年发表的论 冯桂芬的教育思想中，着重讨论了冯桂芬在近代教育史 ：的贡献和影n 向，此外，熊 内蒙古师范大学硕士学位论文 月之于2 0 0 4 年出版的冯桂芬评传中，对冯桂芬的传记、思想、成就及人际关系 面面俱到。关于这部使中国开始有了高等数学的第一部微积分译书代微积拾级， 自出版以来一直很受学者们的关注，早在1 9 6 0 年，中国科学院研究员梅荣照在纪念 代微积拾级出版一百周年中就已经对该书有了很系统的介绍，之后关于该书各个 方面的研究都有文章和书籍出现，1 9 9 2 年张奠宙在中国科学技术史料发表的 的原书与原作者中比较详细的介绍了原作者罗密士及成书的依据和过程。 浙江大学数学系的汪晓勤更是对本书从多方面进行研究，发表过许多文章。此外，涉 及数学史方面的书籍多多少少都会有关于此书的介绍，可见此书在中国的重要性。在 此基础上，本文将对其数学著作西算新法直解从内容及影响上深入研究，来探讨 中算家对高等数学的接受能力与水平，从而了解高等数学在中国发展的历程。 对于这部中国人出版的第一部高等数学著作西算新法直解，本文将其内容为 研究对象，目的是为了解释清楚冯桂芬数学成就的性质和意义，从而说明他在特殊背 景下的影响和贡献。 技术的发展建立在知识的存量上，而知识的存量关键是数学知识的扩张，高等 数学的传入，这种具有新鲜性和先进性的知识，吸引着中国学者，由于中西数学存在 差异，许多学者作出努力，试图以中体的形式理解中算。 本文主要从以下几个方面对西算新法直解进行研究和讨论： 第一章从成书的特殊社会背景和作者自身的文化背景入手，说明成书的原因和 目的。在当时的历史条件下，西算新法的引进不得不引起中国学者的注意，由于理解 中存在困难，包括冯桂芬在内一些学者做出努力，试图尽量使中算家容易理解高等数 学知识，他注意到引进知识应与中算传统相适应。 第二章对此著作的内容进行一翻细致的理解、学习和总结，分别对解析，l 何、 微分、积分等方面研究，通过对内容的分析探索作者对西算新法的吸收和消化程度， 从总体看西算新法直解具有中体西用的特点，体例则向古代传统靠拢。 第三章主要比较中国人著的高等数学著作西算新法直解和西方高等数学著 作代微积拾级巾的内容及特点。6 订者的数学内容主要来源于后者，所以数学知识 前者没有脱离后者的范围。解析几何通过直解，重点由一般关系转到数值计算，微积 分部分难以中学为体只能做些简单的数值计算。尽管如此，两角和l f 切公式的证明 堪称独步，甚至超越后水中算家的i 刊类：1 ：作。通过埘中西著作的比较分析，从侧面了 解当时中国学者埘西方先进知识接受中的【： 难和水j 艮 引言 第四章分析此著作的影响和意义。在当时传统和先进思想并存的情况下，对此 著作的反应也不同，有反对也有继承的。从总体特点上，西算新法直解建基于传 统勾股理论，由此引起中算论证的发展和概念的进化，却丧失了西算新法的实质。西 用的范围受中体的限制，从而直解西算的效益也由此限定。 作为中国人的第一部高等数学著作西算新法直解至今没有被数学史家仔细 研究过。本文对此著作全面的分析，对于同样数学内容，中西数学家的方法和理解上 有哪些不同，从而指出，中算家用自己熟悉的方法会通西方高等数学知识，而这种做 法使得形式和目标之间存在冲突。尽管如此，它反映出的f 是一个吸收和转化外国数 学精神的过程。 内蒙古师范大学硕士学位论文 第一章成书经过 1 9 世纪中叶，西方技术的冲击加重了中国的内部危机，内部和外部的竞争打 破了清朝正常的财政平衡。主张经世致用的一些学者以维护帝国统治为己任，开始 关注帝国经济及其运行状况，并且试图引进“诸国富强之术”。他们发现，发展技 术可以扩张资源的基数，技术的发展建立在知识存量之上，因而觉得知识的扩张至 少与技术的引进同等重要。不过，西算新法跟以往中西两家之法都不一样，数学对 象主要是一般关系。由于这些结果缺乏传统形式的解释，人们感到难以理解，西 算新法直解于是应运而生。 1 历史背景 明末清初西方传教士在传教过程中始终存在着基督教与中国孑l 孟之道正统思想 之间的矛盾、冲突和斗争。康熙四十三年( 1 7 0 4 年) ，教皇发表了禁止中国人祭祖、 祭孔的禁令，挑起了著名的“礼仪之争”。康熙得知后，下令禁止天主教在华活动。 此后雍j 下、乾隆等朝，又相继颁布禁止天主教的命令，这一时期除在钦天监等机构仍 有少量传教士供职外，西方传教士大部分被逐。由于闭关政策的影响，西方科学知识 不能继续传入中国。雍正即位后，一反他父亲的笼络怀柔政策，对汉族士大夫阶层施 行高压政策，掀起了几次文字狱，一般知识分子只能埋头于古代经籍中做些注释工作， 于是清前期的“会通”转为“复古”。晚明学者顾炎武和黄宗羲等人开创的考据学， 在乾隆、嘉庆的1 0 0 多年问成为学术界的主要趋势，并形成考据学派。在这种考据学 研究中，一批中国古代数学典籍被挖掘、校注和辨伪，这一时期的数学工作以复兴传 统数学为主要特色，促进了包括勾股在内的中同传统数学的发展和完善。然而中算的 发展受到儒学概念的制约，一般关系未能成为主要的日标，知识存量还不能满足发展 新技术的需要。 随着封建社会历史变化的变迁和大规模选拔性考试的发展演化，科举考试逐渐 从选贤任能的机制蜕变为束缚人才的工具，晚清科举流弊加深，考试文体走向僵化， 考官阅卷滋生“抑文重字”之弊，专尚楷法、以字取人不仅压抑了真爿实学，而且对 人j 培养产生了巨人的误导作用，使士绅文化素质h 益f 降，晚清考试作弊越演越烈 成为+ 种普遍的礼会行为，由丁科举以入仕的唯一归宿久之求官者众而无官可授，遂 第一章成书经过 致科举人才积压，即使得官者也往往苟安其位，惟年俸是计终日无所作为，总之晚清 科举人才已无法适应现实的需要，与官场庸才相对应的是近代中国所需要的军事、外 交、科学技术、工商实业等专门人才却无从培养和选拔。同时，近代中国社会变迁史 急剧和全方位的，国门被迫打开后，中国逐渐陷于世界资本主义殖民体系，社会经济、 政治、文化等方面发生了巨大的变化，西方工业化国的商品涌入中国导致以农业为基 础的自然经济体系解体、白银外流、民生凋敝。鸦片战争后，随着列强宰割的半殖民 地，文化上，西方语言文字、宗教信仰、价值观念、制度规范等挟其军事侵略之余威 逐渐渗入中国，中国文化冲突和民族文化危机加强，在西方列强的挑战和民族危机的 强烈刺激下，一部分先进的中国人开始寻求富国强兵之术，林则徐主张“师敌之长技 以制敌”在此基础上魏源提出“师夷长技以制夷”的思想，冯桂芬通过中西比较指出 “中国屈于俄、英、美之下非天时地利物产之不如，人实不如，人不如非天赋人以不 如，乃人自不如。”叫这种“自强”思想是晚清教育近代化的动力根源圆。 1 8 4 0 年，鸦片战争的失败成为中国近代史上的一个转折点，按照南京条约 传教士可以在五个港口自由传教、设立学校等，这些传教士中有较高的文化水平和科 学知识，他们出于不同的动机带来许多科技书籍与中国学者合译为中文，这个时期的 数学著作总体上要高于明末清初所译的，内容最深的是解析几何、微积分等古典高等 数学，其中李善兰与伟烈亚力合译的代微积拾级影响最大，当时的中国的学者对 其产生浓厚的兴趣，对他们来说这些高等数学知识具有新鲜性和先进性，由于多方面 原因，高等数学在中国被接受起来并不是一帆风顺的，徐有壬称“是法壬叔外鲜能通 晓书中文义语气多仍西人之旧，奥涩不可读，惟图式皆可据”， 华世芳称“咸丰之季， 西人新术初入中土。通其法者鲜，而李壬叔所译代微积拾级尤为难读”。在这 种困难下，仍有不少有识之士抱着缩短东西文化差距的热切愿望，致力于近代数学方 面的研究并试图推广普及它。其中冯桂芬的西算新法直解证是以此为目标，他觉 得诸国富强之术以此为本，因为技术的发展有赖于格致而西算新法说明了格致原理。 这样的见解很有代表性，那时许多洋人也都认为数学与科学相似，可用于收益最大化。 内部和外部的竞争打破了清朝币常的财政平衡，引进“诸国富强之术”是唯一 出路。诸固富强之术的要点在于扩张资源的基数，为此必须发展技术，而技术的发展 1 1 冯棒芬采州学议校邻庐抗议 2 q 一国近代史学制史料第辑l ：册 鱼冯桂芬曲算新法直解柏算新法+ f f 解序 4 1 华f f l = 芳近代畴人若述记载华衡芳的学算笔谈光绪- 二十二年( 1 8 9 7 ) 昧经刊f5 处干u 本 内蒙古师范大学硕士学位论文 建立在知识存量之上。因此，知识存量的扩张是关键，数学知识的引进尤其重要。 2 作者简介 冯桂芬，字景亭，号林一，又号梦柰，晚号儇叟，嘉庆十四年( 1 8 0 9 年) 九月 初七子时出生于江苏吴县。冯桂芬出生时其父四十岁，其母三十九岁属大龄得子，在 他出生以前其母生过两个儿子，分别在三、四岁时夭折。冯桂芬出生时家里共四口人， 即父亲、母亲、姐姐和他，不难想象，在一个以男丁传世的社会里，平均期望寿命只 有三十五六岁的时代，父母的老来得子是多么的高兴、多么的珍惜! 冯桂芬天资聪颖 入塾读书以后，读书一目数行，记忆力相当好，成绩自然不错。道光七年( 1 8 2 7 年) 便考中吴庠博士弟子员，有了秀才身份。道光八年，年正弱冠的冯桂芬进入苏州有名 书院之一的正谊书院学习，书院藏书丰富，老师渊博，学生济济，是读书治学的好地 方。冯桂芬入正谊书院时，山长为朱兰坡，他是嘉庆时期著名大儒，对冯桂芬相当赏 识，所选刻的j f 谊书院课艺以冯桂芬所作最多，在学习期间还受到江苏巡抚林则徐赏 识。林则徐到正谊书院考课，首拔冯桂芬并将他招至署中读书，林则徐对这位苏州学 生赏识有加，将自己辑的西北水利说交冯桂芬编校，还曾让冯桂芬替他起草太 上感应篇图说序，同时林则徐的经世思想对冯桂芬有重要的影响。道光十二年八月， 冯桂芬乡试中举。科举考试的最后一关三年一科的会试，冯桂芬并不顺利，连续三次 落第，曾有人劝告他放弃科举另寻出路，冯桂芬不为所动以此来激励自己。道光二十 年( 1 8 4 0 年) ，冯桂芬第四次赴京，高中榜眼授翰林编修。科举之路冯桂芬感受深切， 科举制度之消磨光阴、折磨人彳、消耗钱财，数年后，冯桂芬借饶廷襄之口对当时科 举制度作出猛烈抨击“其事为孔孟明理载道之事，其术为唐宗英雄入彀之术，其心为 始阜坑儒之心意在败坏天下之才，非欲造就天下之彳。”氡鉴于此，冯桂芬对科举 考试制度提出过大胆的改革意见。1 8 4 3 、1 8 4 4 年分别任顺天府乡试同考官、广西乡 试主考官。太平军在1 8 5 3 年攻陷金陵时，冯桂芬以在籍官身份奉特旨在苏州举办团 练。以后相继在金陵、苏州、上海等地主持惜阴、敬业、紫阳、正谊诸书院。1 8 6 0 年辞官移居深受西方文化侵染的上海，在那罩他目睹了西方先进的物质文明，又“尝 博览夷书”从而埘西方政治、文化、教育等有定的了解，于是从巩固和维护帝国统 治的市场出发提出了“以中国伦常名教为本，辅以诸因富强之术。”的先进观点。在 5 r 马梓芬变 斗举议校纠；d ：- 抗议3 7 页 第一章成书经过 成为李鸿章高级幕僚时他于1 8 6 2 年提出设立初步具有近代新式学校特征的上海广方 言馆的建议，很快这一建议在任江苏巡抚李鸿章的支持下付诸实施。冯桂芬亲任上海 广方言馆的监院，并手订上海广方言馆章程，在课程设置上除聘中外教习执教西 文、经史课外，还十分重视算学，他说：“一切西学皆从算学出，西人十岁外无人不 学算，今欲采西学，自不可不学算。”唧为加强算学课程学习，冯桂芬亲手制定定向尺 及反罗经用于绘图，他认为学好算学，方可旁及西洋格致，历算诸科。在上海冯桂芬 先后只生活了四年又疾病缠身，但他做了或参与了五件大事：( 一) 著校邰庐抗议； ( 二) 参与创办广方言馆；( 三) 参与“借师助剿”活动；( 四) 参与乞师援沪；( 五) 运动江南减赋成功。这五件事奠定了冯桂芬在近代思想史和政治史上的地位，是冯桂 芬一生学问、事功中最重要的部分，是冯桂芬之所以值得后人研究的地方，所以在一 定意义上可以说，上海造就了冯桂芬。同治= 年( 1 8 6 4 年) 冯桂芬从上海回到苏州， 主要在家读书、养身。多次被人举荐，朝廷也有意发挥他的作用都被婉言谢绝了，冯 桂芬自幼多病，晚年更是病势沉重，同治十三年四月十三同( 1 8 7 4 年5 月2 8 日) 凌 晨去世。 冯桂芬一生的著作很多，其中最重要的是校邻庐抗议、显志堂稿、梦柰 诗稿集中体现了他的先进思想。他也爱好数学、天文学，道光十九年完成弧矢算 术细草图解系图解李锐的弧矢算术细草、与陈踢合著西算新法直解，道光 甲辰元赤道恒星图、李氏恒星图中星表；文字学方面的有说文解字韵谱补正、 说文解字段注考证说文部首歌；课艺与志书方面的有惜阴书舍课艺、正谊 书院课艺、两淮盐法志、苏州府志等。 陈赐( 1 8 0 6 1 8 6 3 ) ，字子瑁，江宁人。“有异禀，读书数过，终身不忘。” “经 学、史学、天文、小学、诗、古文词，旁及词曲、武各、方术，靡所不习，而尤精于 算学惟不工艺试帖、楷书。屡踬大小试，年二十有七始受知于廖公洪荃入江宁学”， 后应课金陵惜阴书舍，被当时任l i j 长的冯桂芬所赏识，延其绘苏州地图。在太平军攻 克金陵后，其妻儿、兄长均遭焚而死，陈踢只身逃出，辗转来到太湖边上，与冯桂芬 相遇，之后共同研究代微积拾级，并合著了西算新法直解，1 8 6 3 年转到e 海， 在冯桂芬助李鸿章创办的上海同文馆，被聘为首任算学教习。 冯桂芬在西算新法直解的序言。中具体介绍了成书的经过：冯桂芬因病回籍， 8 冯棒芬采p q 学议校邻厶j j 抗议 。熊月之冯柞芬评传南京人! 学出版社2 0 0 4 8 冯棒芬陈君传1 51 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 徐钧卿( 徐有壬) 当时在苏州担任巡抚，两人共同切磋数学，一起研究代微积拾级， “钧卿日：是法壬叔外鲜能通晓，书中文义语气，多仍西人之旧，奥涩不可读，惟 图式皆可据，宜以意j 铀绎图式，其理自见。余公冗，未遑卒业，君颇闲，其有意乎? ” 于是冯桂芬按照徐有壬的意愿与陈子堵共同编著此书，完成第一卷时拿给徐有壬看， “钧卿见之则大喜日：此吾志也，愿速成之”。后因战乱徐有壬去世，冯桂芬邀陈子 瑁一起避于山中，朝夕从事，四个月完成至第四卷之后冯桂芬离开，陈子瑶留冲山中， 独任此事，一年后冯桂芬在上海遇到陈子瑁，书已完成。 第二章内容分析 第二章内容分析 西算新法直解成丰九、十年间著( 1 8 5 9 1 8 6 0 年) ，图2 - 1 为冯桂芬所作的 序言，从以上序言部分冯桂芬说明了成书背景、经过、及目的。冯桂芬评价中西数学 特点道：“夫代数胜于四元，中人不能违也，亦犹四元胜于借根，西人不能违也，学 问之道则其善者而从之，中西奚别焉”。作书的目的冯桂芬所讲：“代数、微分、积分 三术，人人可知，人人可学，不负壬叔初译之盛心”。9 序言之后的凡例主要介绍了 本书写作依据、整体结构、代数符号、代数诸式的表达形式及其书写格式：书中正文 部分的每个问题，若含有图式和算式皆置于左上方，左下方则用文字进行解释，这样 的结构安排显得整齐、清楚与其他微积分方面著作相比是别具特色。正文共8 卷，前 4 卷为解析几何，卷5 至卷7 为微分后l 卷为积分，后记介呈 了绘图用的反罗经、 定向尺的构造、使用方法及作用。由于正文部分是以例题形式给出的，并且题目很多， 本文在对其具体的内容介绍中所涉及到的概念、定义敷其定理归纳总结，相关的详解 将在后面需要时对个别例题进行整理分析。 辫 日竹芭 亲群 黉羁 ；嚣孽 壤鬻 黧 5 * 刘 2 - 1 硝算新法直解 q 桂芬白序 1 解析几何 这部分共四卷：眷一( 代数一，代数二) ，卷二( 代数三、f 尉，代数四抛物线) ， 卷= ( 代数五椭圆) ，卷四( 代数六双曲线，代数七) 在返部分罩涉及到些不常 注：以上加引号部分皆出白曲葬新法直解序 9 e丰子i再盱日羊柠曲竹巽量南_同?算击，蹙 于“女寸，均岐亨o 2 ：1 蜚谭前砖口不牲时亨j叶酗矸钟非；墨暂尊乏品浮一洙张非珏1靠“鍪t簧趵竹口是忖蚪*班，社请 内蒙古师范大学硕士学位论文 用的名词在此说明一下：( 1 ) 相属径：交曲线内的斜纵横轴的长度( 2 ) 次切线：切 线在横轴的射影( 3 ) 法线：与切线垂直的线( 4 ) 次法线：法线在横轴的射影( 5 ) 切径：切点距曲线中心的线段( 6 ) 带径：曲线上任一点与曲线焦点的连线 代数一：本节共2 1 个例题主要是简单的算式及图解，以传统的勾股术引出的相 关计算有2 0 例。其中涉及到求勾股内容长方形的面积、勾股定理、平方和( 差) 公 式、相似比例，剩余1 例是关于圆的计算，求两圆公切线，解答中隐含了直径所对的 圆周角是直角。 代数二( 直线) ：本节共1 0 个例题，首先引进了坐标：正交坐标和斜交坐标，相 关的概念：极( 原点) 、原线( 纵横两轴) 、极角( 直线与横轴的交角) ，带径( 直线 交两坐标轴的线段) 题l 、2 、3 给出直线的几类解析式 未寅= 切天，地= 切i 天上乙， 地_ 王_ 切l ( 天t 夫) ，地t 王= 鬟l ( 天t 夫) o 以上分别为斜率、一般式、斜率式及两点式 y = t a n 舭y = 妇+ b ，j ，= k ( x - x ) ，y = 尝( h t ) o 题4 两点间的距离公式： 人= ( 天t 夫) 二上( 地t 王) 二， 即 d = ( x f ) 2 + ( 少一少) 2 。 题5 两角羞正切公式： 天= 孚， 即 t a n ( 铲舻器。 题6 f 弦定理： 寅未：天：金弦：( 木一金) 弦， 刚 a ：y = s i na ：s i n ( b c 、。 第二章内容分析 越7 半移坐标式： 天= 甲上夫，地= 乙上王， 即 题8 坐标轴变换式： f 天= 甲上( 夫睁汀( 王i 弦) 1 地= 乙- l ( 夫p 玄) 上( 王i 弓) 即 y x = ：a 6 + + x x s c ；o n s 彳a + - y y c s 。i n s 三 代数三( 平圆) ：本节共6 个例题。首先给出圆的定义及相关概念：平圆之界距 心俱等，界为圆周、界心距线为半径”。其中有3 个例题介绍圆在不同坐标下的几种 解析式 地= f 萨面， 地= 、三j 哥丽，地= 王上萨彳- _ 弓手丽。 即 y ：厢y ：丽。y = y 、七f j i 孓， 例题4 为过圆周任一点的切线方程： 人= 肛两面， 即 r = 丽。 后两题是讨论圆内容三角形问题，在解答中用到射影定理。 代数四( 抛物线) ：本节共8 个例题。首先给出抛物线的定义：“抛物线为圆锥曲 线之一。设准线于线外，设定点子线内。任做点子抛物线上，距定点及准线皆等”。 给出了抛物线的画图方法( 与今同) 并在题l 中给出抛物线解析式 地= j _ f 丽，地= t = 三司天， 即 y = 厮。 内蒙古师范大学硕士学位论文 题2 、3 分别给出切线与法线方程 地2 蘸，人= 腼， 即 j ，：掣，y ：4 p ( 2 x + p ) 。 。 y 。 题8 给出抛物线的一个性质：“截抛物线一段面积等于纵横所成矩形的三分之 二”，即 s = 扣。 其余是关于抛物线的一些相关计算。 代数五( 椭圆) ：本节共1 6 个例题。首先给出椭圆的定义：“椭圆亦圆锥曲线之 一。有两心，点平分两, d l e ，以其中为中点。过中点抵圆周之十字线，长者为长径， 短者为短径。过心点之倍纵线为长径之通径，圆周距心线为带径。圆周一点必有两带 径，其带径之和皆等”。随后给出椭圆作图的两种方法，一种与现代相同，另一种是 利用椭圆器。题l 与题2 实质上都是同一椭圆方程，区别只是选取了不同位置的坐标 系。 y ：再、石：阿，y ：4 箬( 2 a - x ) x 。 题2 还给出一个性质“曲线上任设两点，即有两纵线。其两纵线之方幂比，必 若纵线所分长径各两分之矩形比”。即已知两点( x7 ，y ) 与( x ”，y ”) ，则有 y 2 ：y ”2 = ( 2 a x7 ) x ：( 2 a x ”) x ”。 题3 讨论了椭圆内切圆和外切圆之问的关系，给出两个性质：( 1 ) 外切圆纵线 与椭圆纵线之比同于长径与短径之比；( 2 ) 内容平圆横线与椭圆横线之比同于短径与 长径之比。题4 是求椭圆一卜任意点与长径两端连线所成二角 金切2 警，栅警， 即 第二章内容分析 t a na ：j ，_ ，t a n b ：j ，一。 题5 与6 分别给出切线方程和法线方程 地2 砰翻一天t 蕞一厩， 即 少2，y 、= x 一了p x y ”= 0 丽o a 以下几个例题给出关于椭圆的一些性质。 题7 ：法线平分切点距二心线的交角。 题9 ：切线必与通弦平行，切径必与余通弦平行。即设a ，b 分别为椭圆长径的 两个端点，d 为中心，p 为切点，为切线，m 为椭圆上任一点，若m b l ，则 m a p o 。 题1 1 ：切径与相属径之二正方比若纵线所分切径两分之矩形与纵线之正方比， 即设相属径为2 a 、2 b ，斜横纵线分别为x ，y ，则有 ( 2 a ) 2 ：( 2 b ) 2 = ( b + 】，) ( b y ) ：y 2 。 题1 2 ：切径及相属径之二正方和等于长短径之二j 下方和。 题1 3 ：两带径相乘之矩形等于相属径自乘之正方。 题1 4 ：外切四边形积等于长短径相乘积。 题1 6 ：外切平圆全积除椭圆全积等于长径除短径。即 = 篆* 其余几个题例是关于椭圆的相关计算。从以上可以看出，作者对椭圆的理解还 是比较全面和细致的。 代数六( 双曲线) ：本= 肖1 6 个例题，首先给出双曲线的概念：“双曲线又名双线， 亦圆锥曲线之一也。其线有二，各有心。点平分两心距，以其中为中点。过中点抵两 曲线界之横线为横径，过中点抵相属两曲线界之纵线为直径，过心点之纵线为通径， 曲线距心线为带径。曲线一点必有两带径，其两带径之较皆等，带径较即横径”。随 后给出双曲线与今同的l 亩i 法。题l 给出双曲线方程 内蒙古师范大学硕士学位论文 地二：罢i ( 天二t 甲二) ， 厶一。 即 少2 = 箬g 2 。) 。 同时给出双曲线的几个基本性质 口2 + 6 2 = c 2 ，三= p ， l 崛i = e x - a ，i m f z l = e x + a ( m 为双曲线上任意一点) 。 题4 与5 给出了双曲线的切线方程和次切线方程 王= 羔，物= 嘉。 刘 卢单，y ：垄。 题6 与7 给出了法线方程和次法线方程 瓜笨，物2 皋。 即 y 一：s e e a y ，y m ：_ b 2 x ( 彳为切线与横轴交角) 。 c o ta 。 口2 。一。 还有些题目涉及到关于双曲线的性质。 题l l ：斜径幂与相属斜径幂之比同于纵线距斜径两端之矩形与纵线幂之比，即 设相属两半斜径口，b ，双曲线上任一点为( a ，b ) ，则有 b 2 ：c 1 2 = y 2 ：( x 一以) ( x + 口) 。 题1 2 ：相属二斜径之二f 方较等于半横直径之j f 方较。即设相属二斜径长分别 为a ，b ，半横直径( 实、虚半轴) 为口，b ，则有 a 2 一b2 ：以2 一b 2 。 题l ： ：外切叫边形积等j 二横纵直径相乘之积。若横纵直径分别为2 “，2 b ，则 s 四= 4 a b 。 第二章内容分析 题1 5 与1 6 讨论了双曲线渐近线的画法及相关计算，并给出性质：切线抵斜横 轴( 渐近线) 之长等于相属之斜径。 代数七( 诸曲线) ：本节讨论了五种非圆锥曲线，有摆线、对数曲线、螺线( 亚 奇默德螺线、双曲螺线、对数螺线) 。在介绍这几个曲线时，先介绍其概念和作图法， 然后给出例题得到各曲线的方程。 摆线方程： 天= 瓜一三丽， 即 工= ，一扛再丁， ( 伪弧长) 。 对数曲线方程： 天= 地寸， 即 x = l o g 。， 亚氏默德螺线方程： 天2 袅， 即 n ! 双曲螺线方程： 天2 嘉， 即 劢 ， 对数螺线方程： 天= 庚寸， 即 z2 l o g 。c 。 内蒙古师范大学硕士学位论文 2 微积分 本部分有四卷：卷五( 微分一求微分，微分二求极大极小之函数) ，卷六( 微 分三求赭函数之微分) ，卷七：( 微分四以微分求诸曲线) ，卷八( 积分) 微分一( 求微分) ：本节有1 8 个例题，首先介绍了微分学：“微分者求面体边之 率以为比例也”。随后介绍了几个基本概念及表示法有：常数、变数、函数、微系数 等，其中有1 6 例是一些求简单算式的微分分别为： ( 1 ) y = x 2 ，( 2 ) y = x 3 ， ( 3 ) y = x 4 ， ( 4 ) y = ( x + n ) 2 ，( 5 ) y = a x 2 ，( 6 ) y = a + x 2 ， ( 7 ) s a = l z l h ，( 8 ) y 引2 2 2 ， ( 9 ) j ，= ；， ( 1 0 ) y = x 2 ，( 1 1 ) y = 似2 ，( 1 2 ) y = 滋， ( 1 3 ) 钿= 以( 1 4 k 俜，( 1 5 ) 锥= 喜脒， ( 1 6 ) = 鲁刀3 。 在这些具体的例题中涉及到了以下常用的公式运用： ( 1 ) d ( x ”) = n x ”1 d x ， ( 2 ) d k 厂g ) 】= 甜l 厂( x ) 1 ， ( 3 ) d 陟g ) c 】- d l 厂g ) ， ( 1 ) d l 厂g ) g g ) 】= g g p l 厂g ) + 厂g p b g ) ， d = 剑铲， ( 6 ) d k ) = 轰。 最后两道题是涉及求叠微分的解法： ( 1 ) 戊= 天四( y = x 4 ) ， ( 2 ) 戊= 甲天五( y = a x 5 ) 。 这艰的解法与现在的解法有点区别，是解到不能在微分为止。 微分一l ( 求极大极小之函数) ：奉节有l1 个例题，首先介绍了极人值、极小值的 第二章内容分析 含义及图像特征并详细的给出了求解的方法：“先令一次微系数等于0 ，而求得天之同 数，命之为甲，次以一加甲又以一减甲，遁代原式中之天，而课其所得。若两数俱小于 甲，代天之