（基础数学专业论文）格值模糊拓扑空间中若干问题的研究.pdf

格值模糊拓扑空间中若干问题的研究 谷敏强 y 6 1 0 1 2 1 摘要l 拓扑空间与一般拓扑空间的差异来源于前者比后者多了个层次结构，对 这类层次结构的深入研究是拓扑空间理论展开的基础分离性与仿紧性是拓扑 学中基本且重要的概念，相对拓扑性质与相对拓扑空间概念的提出，更加丰富了拓 扑学的内容本论文首先讨论了分子生成格的构造，然后以分子生成格作为格值模 糊集的值域，研究了相应的工广拓扑空间的层分离性和层仿紧性最后对l f 拓扑空 间的相对良紧性和相对仿紧性作了探讨本文内容要点如下； 一、进一步研究了分子生成格的构造：利用分配的分子生成格满足第二无限分 配律这一特点，给出了分配的分子生成格的等价刻划；揭示了分配的分子生成格与 拓扑空间的基本关系，证明了分配的分子生成格与某拓扑空间的闭集格同构，任 一拓扑空间的闭集格必是分配的分子生成格；给出了分子生成格是完全分配格的充 妥条件，证明了具有逆合对应的分配的分子生成格是f u z z f 格， 二、在厶拓扑空间中，用截拓扑的办法，给出了一套新的分离性公理层分 离性公理，找到了诸条层分离性公理的远域式刻划和层见的网式刻划讨论了诸 条分离性公理的遗传性、可乘性和同胚不变性接着在l f 拓扑空间中，把层分离 性公理和常用的另外一套分离性公理一王国俊教授在他的专著l f u z z y 拓扑空 间论诤中提出的第一套分离性公理作了细致的比较。表明前者比后者弱接下来我 们讨论了h u t t o n 单位区间，( l ) 和日( ) 单位区间的层分离性，结果表明i ( l ) 满足最 强形式的层分离性一层n 分离性，而i ( l ) 则连层霸也不满足作为本章的最后一 部分，我们把层分离性进一步弱化，提出了超分离性公理 三、同样在l - 拓扑空间中，用截拓扑的办法给出了一种新的仿紧性一层仿紧 性的定义，得到了层仿紧性的一系列性质经比较表明，对f 拓扑而言，i 型仿紧 性蕴含层仿紧性；对l f 拓扑而言，i i 型仿紧性蕴含层仿紧性但一般而言，层仿 紧不能推出仿紧，也不能推出i i 型仿紧，i 型仿紧也不一定能推出层仿紧 四、把一般拓扑学中关于相对紧和相对仿紧的若干结果推广到了l f 拓扑空间 理论中，对l f 拓扑空间相对良紧性与相对仿紧性作了细致研究，得到了一些有趣 的结果 关键词：分子生成格，拓扑空间，层正分离性，超五分离性，h u t t o n 单位 区间，( 工) ，h ( ) 单位区间j ( l ) ，层仿紧性，相对良紧性，相对仿紧性 s o m er e s u l t so nl t o p o l o g i c ms p a c e s g um i n q i a n g a b s t r a c t t h ed i f f e r e n c e so fl - t o p o l o g i c a ls p a c ea n dg e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e a r ed e r i v e d f r o mt h ef o r m e r sl a y e rs t r u c t u r e s c o m p r e h e n s i v er e s e a r c ho ft h i sk i n do fs t r u c t u r e si st h eb a s e o fl - t o p o l o g i c a ls p a c et h e o r y a sw ek n o wt h a tb o t hs e p a r a t i o na n dp a r a c o m p a c t n e s sh a v e a l w a y sp l a y e de s s e n t i a lr o l e si nt o p o l o g ya n dt o p o l o g i c a ls p a c et h e o r yh a v eb e e ne n r i c h e db yt h e 。i n t r o d u c t i o no ft h en o t i o n so fr e l a t i v et o p o l o g i c a ls p a c ea n dr e l a t i v et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s i nt h i s p a p e r ，w ef i r s t l yd i s c u s st h es t r u c t u r e so fm o l e c u l e l yg e n e r a t e dl a t t i c e s ，t h e nw i t ht h i sk i n do f l a t t i c ea st h ev a l u e - f i e l d so ff u z z ys e t s ，w ed e f i n ean e wt y p eo ff u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，i n t r o d u c e t h en o t i o n so fl a y e rs e p a r a t i o na x i o m sa n dl a y e rp a r a c o m p a c t n e s sa n ds t u d yt h e i rp r o p e r t i e s a t l a s tr e l a t i v es e p a r a t i o na n dr e l a t i v ep a r a c o m p a c t n e e so fl - f u z z yt o p o l n g ya r ed e f i n e da n ds o m e p r o p e r t i e so ft h e ma r ei n v e s t i g a t e d t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri s a sf o l l o w s c h a p t e ro n e ，f u r t h e rp r o p e r t i e so fm o l e c u l e l yg e n e r a t e dl a t t i c ea r es t u d i e d w ed i s c u s st h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h i s k i n d o f l a t t i c e a n d t o p o l o g i c a l s p a c e ，g i v e t h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n s o fd i s t r i b u t i v em o l e c u l e l yg e n e r a t e dl a t t i c e ，p r o v et h a te v e r yd i s t r i b u t i v em o l e c u l e l yg e n e r a t e d l a t t i c ei si s o m o r p h i ct ot h el a t t i c eo f c l o s e ds u b s e t so fs o m et o p o l o g i c a ls p a c e 。a n di n v e r s e l y ，t h e l a t t i c eo fc l o s e ds u b s e to fe v e r yt o p o l o g i c a ls p a c em u s tb ed i s t r i b u t i v ea n dm o l e c u l e l yg e n e r a t e d a tl a s t ，w eg i v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fam o l e c u l e l yg e n e r a t e dl a t t i c eb e i n ga c o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v el a t t i c e ，f u r t h e rp r o v et h a te v e r yd i s t r i b u t i v em o l e c u l e l yg e n e r a t e dl a t t i c e w i t ha n o r d e r r e v e r s i n gi n v o l u t i o n i saf u z z yl a t t i c e c h a p t e rt w o ，i nl - t o p o l o g i c a ls p a c e ，w ed e f i n ean e ws e to fs e p a r a t i o na x i o m s ，s a yl a y e rs e p - a r a t i o n a x i o m s ，g i v et h e i re q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n s ，s t u d yt h e i rv i o u ee l e m e n t a r yp r o p e r t i e s b a s eo nt h a t ，w eg i v et h ec o m p a r i s o n sb e t w e e nt h i sn e ws e to fs e p a r a t i o na x i o m sa n da n o t h e r d e f i n e db yp r o f e s s o rw a n gi nt h e o r yo fl - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e f o r m e ri sw e a k e rt h a nt h el a t e ra n dt h et w oa r eh a r m o n i o u s a sa ne x a m p l eo fa p p l i c a t i o no ft h e l a y e rs e p a r a t i o n s ，w es h o wt h a th ( 九) u n i ti n t e r v a ls a t i s f yl a y e rt 4s e p a r a t i o nb u th u t t o nu n i t i n t e r v a ld o e sn o ts a t i s f ye v e nl a y e rt os e p a r a t i o n a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r ，w ew e a k e nt h e l a y e r s e p a r a t i o n s ，i n t r o d u c et h eu l t r a - s e p a r a t i o na x i o m s i nt h ec h a p t e r t h r e e ，w ed e f i n ean e wt y p eo f f u z z yp a r a c o m p a c t n e s s - - l a y e rp a r a c o m p a c t n e s s a n do b t a i nas e r i e sr e l e v a n tp r o p e r t i e s w es h o w t h a t ，i f a f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e i si - p a r a c o m p a c t 3 ，t h e ni tm u s tb el a y e rp a r a c o m p a c t ；i f al - f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e i si i - p a r a c o m p a c t ，t h e ni tm u s t b e l a y e rp a r a c o m p a e t b u tg e n e r a l l y ，l a y e rp a r a c o m p a c t n e s s c a n i m p l yn e i t h e rl - p a r a c o m p a c t n e s s n o ri i - p a r a c o m p a c t n e s s ，l p a r a c o m p a c t n e s sc a nn o ti m p l yl a y e rp a r a c o m p a c t n e s s i nc h a p t e rf o u r ，s o m er e s u l t so nr e l a t i v ec o m p a c t n e s sa n dr e l a t i v ep a r a c o m p a c t n e s si ng e n e r a lt o p o l o g ya r eg e n e r a l i z e dt ot h ee a s eo fl - f u z z yt o p o l o g y t h en o t i o n so fr e l a t i v en a t u r e c o m p a c t n e s sa n dr e l a t i v ef u z z yp a r a c o m p a c t n e s sa r ei n t r o d u c e da n das e r i e sr e l e v a n tp r o p e r t i e s - a r ei n v e s t i g a t e di nd e t a i l k e yw o r d s ：m o l e c u l e l yg e n e r a t e dl a t t i c e ；l - t o p o l o g i c a ls p a c e ；l a y e rt is e p a r a t i o n ；u l t r a - t is e p a r a t i o n ；h u t t o nu n i ti n t e r v a l ；h ( 入) u n i ti n t e r v a l ；l a y e rc o m p a c t n e s s ；r e l a t i v en a t u r e c o m p a c t n e s s ；r e l a t i v ef u z z yp a r a c o m p a c t n e s s 4 引言 l - f u z z y 拓扑学是格上拓扑学的研究方向之一，其研究从1 9 6 8 年c l c h a n g 1 】提 出f u z z y 拓扑空间概念的第一篇论文算起，至今已有3 0 多年了在这3 0 多年中，它 的研究已从初始的模仿性研究逐渐走上了创新的道路，层次结构的特点使它具有了 不同一般拓扑学的特有风格，与完备格代数结构的紧密联系又赋予了它以新的生命 力 以c l c h a n g 引入的f u z z y 拓扑空间概念为基础，许多学者尝试对f u z z y 拓扑空 间开展迸一步研究，其中以c k w o n g 2 的局部化及b h u t t o n | s ，帕一致化研究尤为突 出，但是由于其研究工作不涉及点，不可避免地会有许多局限性1 9 7 7 年蒲保明、 刘应明f 5 】修改了c k w o n g 的f u z z y 点的概念，引入了f u z z y 点与f u z z y 集合之间的 一种新的从属关系，即所谓重于 关系，这样的重于”关系满足一条基本原则一 择一原则【6 】，相应地，首次打破了传统的邻域方法，引入了突破性的! 重| 费，概念， 建立起了完整的m o o r e - s m i t h 收敛理论，随后王国俊教授创造性地引入了远域的概 念，有点派的工作从此全面展开，获得了丰富多彩的成果王国俊教授关于良紧性 的工作 7 1 ，标志着取值于1 0 ，1 j 上的f u z z y 拓扑学走向成熟 由于在实际问题中，某些层次指标是不可比较的，需要用具有一般序结构的某 种格l 来代替 o ，1 】作为模糊集的值域于是，开展格值模糊拓扑学，即l - f u z z y 拓 扑学的研究成为自然这方面的研究始于上世纪八十年代中期，至今成果已相当丰 富，其中王国俊教授【e 】以分子、运域和序同态为工具，对l - f u z z y 拓扑空间理论进行 的系统研究尤为突出 伴随着l - f u z z y 拓扑学研究的深入展开，许多学者尝试进一步拓展l - f u z z y 拓扑空 间的理论框架，如前苏联学者a p o s t a k ，德国的u h s h l e 等1 9 8 5 年，$ o s t a l 【首次提 出广义f u z z y 拓扑空间的概念到了1 9 8 9 年，这方面的研究已相当深入f w u h s h l e 则将层次结构的值域l 从f u z z y 格推广到一般的m v - 代数( 交换q u a n t a i e ) 中f w 在 国内，应明生给出了不分明化拓扑的概念【1 2 j 最近，李生刚教授把模糊集的值域l 从一般的f u z z y 格推广到完备的d em o r g a n 代数，取得了一系列成果 1 3 1 41 5 本论文前三章所做的工作，受到了文 1 3 , 1 4 , 1 5 的启发众所周知，分离性和仿紧 性是拓扑学中最重要的概念之一，自从有了模糊拓扑空间的概念以来，如何定义一 种合适的分离性和仿紧性一直是令人关注的问题到目前为止，已有不少分离性概 】 念被提出和研究( 如【1 6 ，1 7 ，l8 j 等) ，但它们或多或少都有些不足仿紧性是一般拓 扑学中最复杂的一个基本概念，推广到f u z z y 拓扑学中就更复杂了，范九伦、罗懋 康在这方面做了出色的工作( 1 9 ，2 0 ) 除此之外，至今这方面的工作仍不太多且尚待 深入上述分离性和仿紧性概念，都是在l - f u z z y 拓扑空间理论框架下，即模糊集的 值域l 是f u z z y 格的情况下提出的在本文中，我们在更广的框架下提出一种新的 分离性和仿紧性，我们所用的格l 是可分子生成的完备分配格刘满在文【2 1 中对 这类格作了初步研究，本文在此基础上作了进一步探讨所得结果表明，这类格以 f u z z y 格为特例又不同于f u z z y 格，其范围更广，且具有良好的性质 在一般拓扑学研究中，人们发现有一些性质类似于遗传性质但又不是遗传性质， 它们同样能够揭示拓扑空间整体与部分之间的丰富的关系，这种性质被称为相对拓 扑性质相对拓扑性质的概念首先由a v a r h a r g e i s k i i 和h m m g e n e d i 于1 9 8 9 年提出 并作系统阐述【。“，此后十多年间，一批拓扑学家在这方面傲了大量工作，取得了 许多有趣的结果( 【2 3 】， 2 4 1 ，【2 5 】， 2 6 】等) 但作为一般拓扑学的推广的f u z z y 拓扑学中，相 对拓扑性质的研究则刚刚开始【z ”本文第四部分就此推广工作作了一些研究，把相 对紧和相对仿紧的概念推广到l - f u z z y 拓扑学中，给出了相对良紧和相对仿紧的定义 并讨论其性质 本论文的结构和基本内容安排如下： 第一章，在刘满的工作的基础上，进一步研究了分子生成格的构造：利用分配 的分子生成格满足第二无限分配律这一特点，给出了分配的分子生成格的等价刻 划；揭示了分配的分子生成格与拓扑空间的基本关系，证明了分配的分子生成格与 某一拓扑空间的闭集格同构，任一拓扑空间的闭集格必是分配的分子生成格；给出 了分子生成格是完全分配格的充要条件，证明了具有逆合对应的分配的分子生成格 是f u z z y 格此外，第一章对全文将要用到的关于l 广拓扑的基本概念和结果等必须 的预备知识作了介绍 第二章，在工一拓扑空间中，用截拓扑的办法，定义了一套分离性公理一层分离 性公理，给出了若干等价刻划讨论了诸分离性公理的遗传性，可乘性和同胚不变 性接着在l - f u z z y 拓扑空间中，把层分离性公理和常用的另外一套分离性公理，即 文 1 】中的第一套分离性公理作了细致的比较接下来讨论h u t t o n 单位区间i ( l ) 和 h ( ) 单位区间( l ) 的层分离性最后，我们把层分离性公理进一步弱化，提出了超 分离性公理 第三章，同样在厶拓扑空间中，用截拓扑的办法给出了一种新的仿紧性一层 仿紧性，讨论了层仿紧性的若干性质，并在l - f u z z y 拓扑空间中，将层仿紧性与范九 伦、罗懋康等定义的仿紧性( 即i 型仿紧性与i i 型仿紧性) 作了比较 第四章，把一般拓扑学中相对紧和相对仿紧的概念推广到l - f u z z y 拓扑空间理论 中，对l f u z z y 拓扑空间的相对良紧性和相对仿紧性作了初步研究 第一章预备知识 1 1 分子生成格 定义1 1 1 设l 是完备格，若l 中的任意元可表成若干个分子之并，则称l 为 分子生成格，l 中分子之集用m ( l ) 表示 定义1 1 2 设l 是完备格，称l 满足 ( i ) 第一无限分配律，若v z l 和v s 厶有z a ( v s ) = v o a8 ) ( i i ) 第二无限分配律，若v z l 和v s 工，有z v ( a s ) = h 扣vs ) 定义1 1 3 设l 是满足第二无限分配律的完备格，则工的点是指保任意交保有 限并的映射 记 p s l = p i p ：l - 2 是保任意交，保有限并的映射) 即p s l 是l 的全体点之集 命题1 1 1 【。1 】分子生成格的完备子格是分子生成格 命题1 1 2 【2 1 】若工是分配的分子生成格，则工满足第二无限分配律 注1 1 1 若l 是分配的分子生成格，则l 不必是完全分配格例如：数直线r 上 的一切闭集集按包含序构成了第二无限分配格( 当然是分配格) 但它不是第一无限 分配格，事实上设a = 1 0 ，1 1 ，j 是自然数集，对每个自然数n ，令b 。= 【1 + i 1 ，2 1 ，则 磊一 a a ( v b 。) = a n ( u 且。) = 【o ，1 n i l , 2 = 【o ，1 1 n 1 ，2 1 = 1 1 n = 1n = l 但 y ( a 口n ) 2 竖【0 ，1 1 n 【l + 列1 = 。 ( 其中，对任一集合j 4 ，j 表示a 的闭包) ，所以这个格不是第一无限分配格，当然也 不是完全分配格 另一方面，r 上的每个单点集是闭集且显然是这个格的分子，而每个闭集都是 含于它的单点集的并，即这个格是分子生成格这就说明分配的分子生成格不必是 完全分配格 分配的分子生成格简记为m 9 1 4 以分配的分子生成格为对象，以保任意交，有限并的映射为态射所构成的范畴 称为分子生成格范畴，记作m g l ，其中态射称为m g l 同态 m g l 范畴的对偶范畴记为c o m g l ，其态射称为m g l 连续映射 引理1 1 1 【2 8 】设a 与b 都是格 ( i ) 若，：a _ b 是v 半格同态，则f - 1 ( o ) = o a l i ( a ) = 0 ) 是a 的理想 ( i i ) 若，：a _ + b 是a 一半格同态，则f - 1 ( 1 ) = 。a f ( a ) = 1 ) 是a 的滤子 引理1 1 2 2 s 1 设工是格，j 是工的理想，则下列条件等价： ( i ) 工一是l 的( 素) 滤子； ( i i ) l 是l 的素理想； ( i i i ) 存在格同态，：l _ + o ，1 使得i - 1 ( o ) = o ； ( i v ) 存在格同态，：l _ + o ，1 ) 使得i - 1 ( 1 ) = l 一 引理1 1 3 【2 8 1 设l 是格，n l ，则a 是工的余素元当且仅当滤子t 。是素滤子 引理1 1 4 设工是满足第二无限分配律的完备格，p 仇厶则p 一1 ( 1 ) 是l 的素主 滤子 证明设p p s l ，则p ：l 叶2 保任意交，保有限并，p 当然是 - 半格同态， 由引理1 1 1 , p “( 1 ) 是滤子设n ，b l ，当nvbep - i ( 1 ) 时，由于p 保有限并，有 p ( a vb ) = p ( o ) v p ( b ) = 1 ，所以p ( n ) = 1 或p ( b ) = 1 ，即o p - 1 ( 1 ) 或bep - 1 ( 1 ) ，所以p - 1 ( 1 ) 是素滤子+ 因为p 保任意交，所以 p ( a p “( 1 ) ) = ( po p - 1 ( 1 ) ) = l 即a p 。( 1 ) 是滤子p - 1 ( 1 ) 的最小元，但滤子是上集，所以p _ 1 ( 1 ) = t ( a v 一- ( 1 ) ) ，所以 p _ 1 ( 1 ) 是主滤子综上所述，p - 1 ( 1 ) 是素主滤子 引理1 15 设l 是满足第二无限分配律的完备格，v p p s l ，记a ( p ) = a p - 1 ( 1 ) ，则 映射 j ：p s l _ + 盯( l ) 是双射 证明由引理1 1 4 知p - 1 ( 1 ) 是素主滤子，再根据引理1 1 3 ，a p t ( 1 ) 是l 的余素 元，在这里也就是分子，这表明口：p l l - + m ( 工) 是映射v e m ( l ) ，由引理1 1 3 知 te 是l 的素滤子，根据引理1 1 2 ，存在格同态p 。：l _ + 2 ，使得p i l ( 1 ) = t e ，容易验证 5 p 。保任意交，保有限并，即乳乳三定义映射 使得v eem ( 工) ，r ( e ) = p 。，显然有 ro 盯= i d p 。l ，口ot = i d m ( l ) 所以一是双射 引理1 16 设l 是满足第二无限分配律的完备格，则 ( i ) v x l ，记妒( z ) = p p l i p ( z ) = 1 ) ，则l p ：l _ p l ) 保任意交，保有限并( 其 中p ( p s ) 表示p s l 的幂集) ( i i ) f p ( 。) k 日是p 。l 上的闭集拓扑，记作n 缸) ( 在不出现混淆的情况下，我们 也把n 帆工) 看成一个格) 证明( i ) 设p n l ，s l ，若s 为空集0 ，则 妒( 毋) = 妒( 1 ) = p s l = a o = n _ p ( 0 ) 若s 0 贝 p n p ( n ) 陋s ) v a s ，p ( o ) = 1 p ( n ) l o 研= 1 甘v ( a s ) = 1 ( 因为褓任意交) 静p 妒( s ) 即妒( s ) = n 妒( s ) ，这表明妒保任意交 设p p , l ，又设o ，b e l ，则 p 妒( 口v6 ) 甘p ( a vb ) = 1 讳p ( o ) v p ( b ) = 1 ( 因为p 保有限并) 铮p ( 口) = l j 勤( 婶= 1 铮p _ p ( ) 1 3 i p c p ( b ) 甘p 妒( 口) n 妒( 6 ) 即妒( 口v6 ) = 妒( o ) 1 1 妒( 6 ) ，又l p ( v 0 ) = 妒( o ) = 0 = u 妒( 0 ) ，所以妒保有限并 ( i i ) 由( i ) 可直接推出 定理11 1 设工是满足第二无限分配律的完备格，则下列条件等价 6 ( i ) l 是分子生成格； ( i i ) v a ，6 l ，口6 时，存在p 仇l ，使得p ( 。) = 1 与p ( 6 ) = 0 ； ( i i i ) v o ，6 l ，n 6 时，存在e m ( l ) ，使得e o ，e 基6 ； ( i v ) 妒：l _ + a ( p 。l ) 是单射，从而是格同构 证明( i ) 辛( i i i ) 设l 是分子生成格，n ，6 l 且n 6 ，设p = e m ( l ) i e 。) ，则 o ：v p ，则存在e p 使得e b 不然，v e p 有e b ，此时o = v p b ，这与。蚰矛 盾 ( i i i ) 辛( i ) 设o l ，仍设p = ( e g ( l ) r esn ，令c = v p ，显然c q 如果等号不成 立，则有o c ，由假设，存在e p 使e d ，e 基c 但由c = v p 显然有v e p e c ，矛 盾这表明o = v p ( i i ) 号( i i i ) 设口，b ，n b ，根据( i i ) 可知存在p m l ，使得p ( o ) = 1 ，p ( b ) = 0 由引理 1 1 5 知有双射口：p s l _ + m ( l ) ，使得口扫) = a p 一1 ( 1 ) 记e = a p ，由引理1 1 4 ，p 一1 ( 1 ) = t e 于是从p ( n ) = 1 ，p ( 6 ) = 0 分别可得e 口，e 6 ( i i i ) j ( i i ) 设n ，6 l ，口甚6 由( i i i ) ，存在e m ( l ) 使得e 口，e 甚b ，由于te 是素滤 子，由引理1 1 2 ，存在格同态p ，使p - 1 ( 1 ) = te ，p _ 1 ( o ) = l 十e 容易验证这时p 保任意 交，保有限并，所以p n l 显然有p ( o ) = l ，p ( 6 ) = 0 ( i ) 辛( i v ) 设n ，b l ，n b 不妨令。如，由( i i i ) 知存在e m ( l ) 使e 。，e 基b 设 p = o - - 1 ( e ) p , l ，由引理1 1 4 可知 p - 1 ( 1 ) = t e 于是从e n ，e 6 分别可得oep - 1 ( 1 ) 油掣p - 1 ( 1 ) ，即p ( a ) = 1 ，p ( 6 ) = o ，这表明p 妒( n ) ，p 掣 p ( 6 ) ，即妒( n ) 妒( 6 ) 这就证明了妒：工_ + n l ) 是单射r ( i v ) j ( i i ) 设o ，6el ，口垂b 由于映射 妒：l + n ( m l ) 是双射，由b 基b 可知l p ( n ) _ p ( 6 ) ，所以存在p 仇工使p _ p ( d ) ，p 岳_ p ( 6 ) ，即p ( o ) = 1 ，p ( 6 ) = o 定理l - 1 2 设x 是拓扑空间，则其闭集格n 俾) 是分配的分子生成格 证明设1 = + ) 是单点空间，v ze x ，定义映射 ( 这里1 = + ) 是单点空间) 则n ( 。) ：2 _ n ) 是m 引连续映射，记p ；= n ( ) ”则p 。= n ( z ) ”是对应的m g i 同 态，则p 。p 。n ( x ) 任取g ，k n ( x ) ，g k ，不妨设g 基k ，于是存在z g ，z 岳k ，从而 p 。( g ) = 1 ，p 。( ) = 0 所以，p 。妒( g ) ，p 。g 妒) ，也就是妒( g ) 妒( k ) ，这表明， 妒：n ( x ) _ n ( 仇n ( x ) ) 是单 射，由定理i i 1 知n ( x ) 是分配的分子生成格 定理i i3 分子生成格中的任意紧元可表成有限个分子之并 证明设a l 是紧元，则存在s mc l ) ，v s = o ，由紧元的定义，存在有限子集 f s ，使v f = m 定理i i 4 具有逆合对应的分配的分子生成格l 是l o c a l e 进一步，这l o c a l e 是 空间式的 证明已知分配的分子生成格满足第二无限分配律，现设a l ，s l ，有 d a ( v8 ) = d “a ( vs ) ”= ( a v ( vs ) 。) j e s0 s日s = ( o v ( as ) ) = ( ( 口j vs ) ) 8 e s5 = ( ( o as ) ) ，= v ( a as ) ” sl s = v as ) e s 这表明工满足第一无限分配律，所以l 是l o c a l e 进一步，我们知道一个l o c a l e 是空间式的当且仅当它的任意元可表为若干索元 之交设v a l ，存在s mc l ) ，使a t = ve e s f a = o ”= ( ve ) = 八e ， c sc e $ 上述e 是素元，即工中的任意元a 可表成若干素元之交，这表明l 是空间式l o c a l e 定理1 - 1 5 如果完备格l 既是分子生成格又是空间式l o c a l e ，则v a ，b l ，口b ，存 在l 中素元p 与分子口使得 ( i ) og p ，g 基6 ； 0 i ) w l ，z ! p 或z2q 证明设0 1 b l ，则口= v ( m ( l ) n 口) ，b = ( _ p ( l ) n ) 如果口甜，则存在m ( l ) n l 口 中的分子q l ，p ( l ) n t6 中的素元p 1 ，使q lgp l ，由于t 口。是索主滤子，i p 。是索主理 r 想，容易验证l 一寸玑是素理想，l 一 p l 是素滤子，并且p = v ( l 十2 ，) 是素元， 4 = a ( l 一0 p 1 ) 是分子显然有基p ，口甚b 反设存在。f ，满足z 甚p ，z 羔q ，则由p ，q 的定义知，必有q - $ p a ，这与9 1 p l 矛盾这就证明了定理的第二部分 引理1 17 设三是完备格，则l 是完全分配格的充要条件是以下条件成立： c a ，6 l 8 b ，存在l 中素元p 与分子q ，使得 ( i ) o p ，6 q ； ( i i ) v z a ，。p 或z 口： 证明由于完全分配格既是分子生成格又是空间式l o c a l e ，必要性由定理1 1 5 已 证，下面证充分性 假设引理中的条件成立，又设 h n 是a 的任意子集族，记 o = m v f ( i ) l i t 壬) ，6 = v a j d i n ， 若o b ，则由假设可知存在l 中素元p 与分子q ，满足条件( i ) ，( n ) ，因为 2 b jw j ，g 丢 五 jv ，j ，0 垂，0 ( 1 ) ，q 甚c o ( ) 辛v i j ，j 如垂，p 如( i ) j 3 0 西，p v f o ( i ) l ie n 于是有 8 = v ，g ) i i n i ，e 壬) v o ( i ) l i ，) sp 这与a p 矛盾所以，n 9 ，丽n 邳显然成立，所以o = b ，即完全分配律成立 由定理1 1 5 与引理1 1 7 ，立得 定理1 1 6 分子生成格工是完全分配格当且仅当l 是空间式l o c a l e 再由定理1 1 ，4 ，叉得 定理1 1 7 具有逆合对应的分配的分子生成格是f u z z y 格，即具有逆合对应的完 全分配格 1 2l 一拓扑的基本概念 本节将给出第二、第三章将要用到的一些基本概念和符号 9 在上述两章中，不加特殊说明是带有最大元l 和最小元d ( o i 的分配的分 子生成格显然， a = n l i e5a ) 和l x ( 所有l 一集组成的集合) 都是完备格( 其 中a l ，x o ) ；我们将用0 x 和1 。来表示中的最大元和最小元 y 为x 的非 空子集，用x ，l x 表示y 的特征函数( 有时我们对y 与其特征函数不加区别) ；令 l ，用l 。来表示取常值a 的l 一集；令n l 一 o ) ，z x ，记z a = 【】 x ，o 被叫做z 。的高度令( l x ，d ) 是一个l 拓扑空间( 其中6 cl 。且d 对有限并和任意 交封闭，通常称其为l x 上的闭集工拓扑) ，记 叩一( 2 。) = 日d 忙。甚b ) ； q ( z 。) = 归l 。1 b eq 一( z 。) ) ； 设a l 。，。l ，记6 挈( a ) = 忙ex 陋a ( ) ) ，由此得映射竽：工。_ 2 5 关于此映 射，有下面两个命题，读者可参照文献 29 】的6 4 1 0 命题1 , 2 1 若a 为分子，则映射。挈：工。- 2 。保有限并，保任意交 命题1 2 2 设( l 。，d ) 是l 一拓扑间，则对任意分子n ，( x ，。护( 6 ) ) 是分明拓扑空间， 其中。挈( 6 ) = 。挈( a ) l a d 我们用圮( 6 ) 来表示x 上的由u 。挈( d ) i n 为中的分子) 为子基产生的闭集拓 扑如果工具有逆合对应，我们定义： b ( a ) = x l a ( 口) 垂n 若b l 。，则b l x 定义如下： v 。e x ，b 7 知) = ( 口0 ) ) 7 称小为a 在x 中的扩张特别地，若弧u ( l 。) ，则珐m ( l x ) 定义1 2 2 设工是完备格，x 是非空集，l ，是x 的非空子集设4 是x 上的 任一l 集，定义y 上的l 集 i y 如下： t a y ) = a ( 茹 1 0 f如更定 d e r 钳 部 “ 刖以 a r【 = 豫 帅 努 五 腓 恍 y 是殴义定 称a t y 为a 在y 上的限制又，设6 c l 。，则称 a i y i a 田为6 在y 上的限制，记 作6 i f 定义1 2 3 设 ( 工m ，剐) f t 是一族工- 拓扑空间，t 0 ，x = 兀* t 托，v t t ，r ： 工x - 噩是射影映射，则l x 上以7 = 耳1 ( a ) i a t 也，t t ) 为闭子基所生成的l 拓扑空闻5 q 做各三- 拓扑空阅 l m ，彘) k z 的乘积- 拓扑空间，简称为积空间 z ( 工x t ，魂) 叫做( l 。，6 ) 的因子空间 定义1 2 4 设( 工。，j ) 是工拓扑空间如果v a 工，取常值a 的l 一集川是开集， 则称( 三。，d ) 为满层l 。拓扑空间 定义1 2 5 我们说a 工一 o ) 是工的余素元( 完备余素元) 是指，对的任意有 限子集j ( 任意子集j ) 来说，若n v j ，则存在如，使得as 如，我们分别用m ( l ) 和c m ( l ) 来表示l 中所有的余素元和完备余索元构成的集合 定义1 2 6l 的子集l ，被叫做三的并生成集是指对每一个ae 厶都存在以cj ， 使得 = v 定义1 2 7 当也( d ) = 【司时，我们就称( l x ，d ) 是弱诱导的；满层的弱诱导的工拓 扑空间被称为诱导空间 定义1 2 8 设( 工x ，6 ) 是l 拓扑空间，a 二。，圣c 最a 肘( 工) ，如果对每一个 拈a 来说，圣n u ( u o ) 口，则称垂为a 的个m 远域族，简称为d r f 定义1 2 9 设d 是定向集，旺x ，d ) 是一个l 拓扑空间，称映射s ：d + m ( l x ) 为工。中的网，记作s = s ，n d 设且工。，若y n d ，s ( n ) 墨a ，则称s 为a 中 的网 定义1 2 1 0 我们说一个网s = s ( n ) ，”d ) 最终在a 中是指，存在一个n o d ，使 得当”d 且n 咖时，s ( n ) a 反之，若存在n oe d ，使得当n n o 时，s ( n ) a ， 则称网s 最终不在a 中 定义1 2 1 1 设( l 5 ，国是厶拓扑空间，e m ( l x ) ，s 是中的分子网 1 ) 如果v p q 一( e ) ，s 最终不在p 中，则称e 为s 的极限点或称s 收敛于e ，记作 s _ e 2 ) 如果p q 一( e ) ，且对任意d d ，都存在一个”d d ，使得n d d 且s ( n d ) p ， 则称e 为s 的聚点 定义1 2 1 2 若