（运筹学与控制论专业论文）有接纳控制的成批到达重试排队系统.pdf

中文摘要 摘要： 重试排队系统是排队理论的一个重要研究领域。在重试排队系统中，当到达 的顾客发现服务台可用时，则直接接受服务；若顾客到达时发现服务台忙碌或不 可用，则进入重试区域。重试区域中的顾客经过一段随机的时间间隔后，重新尝 试进入服务区以争取服务器的使用。重试排队系统广泛应用于通信及计算机系统 等相关领域。 1 9 7 6 年，f a l i n 首次研究了成批到达重试排队系统模型，其中假设 顾客不荐是单个到达，因而使得重试排队在电信领域研究中更加符合实际。例如 在网络通信领域，它可以较好地刻画分组数据的批量到达问题。最典型的例子就 是应用于c s m a c d ( 载波监听多路访问冲突检测方法) 的传输协议，c s m a c d 中数据包都是成批到达传送媒介的。 传统的成批到达重试排队系统一般假设每位到达的顾客都能进入系统并接受 服务，但这种假设与实际中许多情况不符。例如在通信系统的信息传送过程中， 当发现数据包出错时，需要把他们丢弃而不传送。因此，本文在接纳服务控制策 略下研究成批到达重试排队系统的性能指标，即假设每位顾客到达后不一定能进 入系统，而存在一定的概率被系统舍弃，从而使模型更接近现实。 本文的模型主要有两个。第一个模型描述的是有接纳服务控制的成批到达可 修重试排队系统，其中假设服务台不可靠，其寿命服从负指数分布，修理时间服 从一般分布，重试率为一个常量。第二个模型描述的是有启动失效和接纳服务控 制的成批到达重试反馈排队系统，其中假设在重试区域只有队首的顾客可以重试， 重试时间服从一般分布。本文详细讨论了这两个模型的稳态条件，并在稳态下得 到了一些排队指标或可靠性指标。最后，通过数值算例说明了几个重要系统参数 对系统性能的影响。 关键词：成批到达；重试排队；接纳控制；反馈；可修排队系统； 分类号：0 2 2 6 a bs t r a c t a b s t r a c i ： r e t r i a lq u e u e i n gs y s t e mi sa ni m p o r t a n tr e s e a r c ha r e ai nq u e u e i n gt h e o r y i ta r i s e s n a t u r a l l yi nm a n yt e l e c o m m u n i c a t i o na n dc o m p u t e rs y s t e m s t h er e n e w e di n t e r e s to n t h i st o p i ci sm a i n l ye x p l a i n e db yt h ea d v a n c e si nt e l e c o m m u n i c a t i o nt e c h n o l o g yl e a d i n g t ot h eu s eo fn e wf a c i l i t i e sa s r e p e a tl a s tn u m b e r ，r i n gb a c kw h e nf l e e ，e t c t h ef i r s t r e t r i a lq u e u e sw i t hb a t c ha r r i v a l sm o d e lw a si n t r o d u c e db yf a l i ni n19 7 6 i nt h i sm o d e l ， t h e r ei sac h a r a c t e rt h a tc u s t o m e r sa r r i v ei nb a t c h e s , r a t h e rt h a no n eb yo n e ，w h i c h m a k e st h eb a t c ha r r i v a lr e t r i a lq u e u e sm o r er e a s o n a b l et h a nc l a s s i c a lr e t r i a lq u e u ei n t e l e c o m m u n i c a t i o nr e s e a r c h t h i sa s s u m p t i o nm a k e si tm o r ea p p l i c a b l ei ns o m ep a c k e t d a t ap r o t o c o l s ( p d p s ) i nw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n s t h et y p i c a l a p p l i c a b i l i t yi s c o n n e c t e dw i t ht h ep e r f o r m a n c ee v a l u a t i o no fl o c a la r e an e t w o r k so p e r a t i n gu n d e r t r a n s m i s s i o n p r o t o c o l s l i k et h ec s m a c d ( c a r r i e rs e n s em u l t i p l ea c c e s sw i t h c o l l i s i o nd e t e c t i o n ) i nw h i c hp a c k e t sa r r i v a li nb a t c h e s g e n e r a l l y , e v e r yc u s t o m e rw i l la c c e p ts e r v i c ei nc l a s s i c a lb a t c ha r r i v a lr e t r i a l q u e u e s b u ti ts e e m su n r e a l i s t i ci ns o m ec a s e s c o n t r o lo ft h ea d m i s s i o nm a yi m p r o v e t h ep r a c t i c a l i t yo fr e t r i a lq u e u es y s t e mw i t hb a t c ha r r i v a l w ea s s u m et h a te a c h i n d i v i d u a lb l o c k e dc u s t o m e ri sa d m i t t e dt oj o i nt h er e t r i a lg r o u pw i t hap r o b a b i l i t yp i n d e p e n d e n t l yo f t h ea d m i s s i o no ft h er e s to fc u s t o m e r sa r r i v i n ga tt h es a m eb a t c h t h e b e r n o u l l ia d m i s s i o nm e c h a n i s mc a nb ev i e w e da sad e v i c et om o d e is i t u a t i o n sw h e r ea p r o p o r t i o no f t h ea r r i v i n gp a c k e t sa r ec o r r u p t e da n dc o n s e q u e n t l y , t h e ym u s tb ed e le t e d t h i st h e s i sf i r s td i s c u s s e sab a t c ha r r i v a lr e t r i a lq u e u ew i t ha d m i s s i o nc o n t r o la n d s e r v e rb r e a k d o w n i ti sa s s u m e dt h a tt h es e r v e rh a sac o n s t a n tf a i l u r er a t ea n da r b i t r a r y r e p a i rt i m ed i s t r i b u t i o n i th a sa c o n s t a n tr a t eo f r e p e a t e da t t e m p t s t h es e c o n di sab a t c h a r r i v a lr e t r i a lq u e u ew i t ha d m i s s i o nc o n t r o l ，s t a r t i n gf a i l u r e sa n df e e d b a c k t h er e t r i a l t i m ei sa s s u m e dt of o l l o wa na r b i t r a r yd i s t r i b u t i o na n dt h ec u s t o m e r si nt h eo r b i ta c c e s s t h es e r v e ru n d e rf c f sd i s c i p l i n e w ei n v e s t i g a t et h es t a b i l i t yc o n d i t i o n su n d e rw h i c h t h e c o n s i d e r e dr e t r i a lq u e u e u i n gm o d e l sw i l lb es t a b l e ，s o m eq u e u e i n gm e a s u r e sa sw e l l a sr e l i a b i l i t yc h a r a c t e r i s t i c sa l eo b t a i n e di nt h i st h e s i s f i n a l l y , n u m e r i c a le x p e r i m e n t s s h o wt h ei n f l u e n c eo fs o m ek e ys y s t e mp a r a m e t e r so nt h e p e r f o r m a n c eo f t h eq u e u e i n g s y s t e m s k e y w o r d s ： r e t r i a lq u e u e s ；b a t c ha r r i v a l s ：c o n t r o lo fa d m i s s i o n ；s c r v g r b r e a k d o w n ；f e e d b a c k ； c l a s s n 0 ：0 2 2 6 v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 导师 签字日期： 年 月 日签字日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工董乍和取褥的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 两使用过的材料。与我一网工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期；年月日 致谢 本论文的工作是在我的导师王金亭副教授的悉心指导下完成的，王老师严谨 的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来王 老师对我的关心和指导。 感谢我同门的师兄师姐师弟师妹感谢在我攻读硕士学位期间给予我帮助的 院领导和老师。我还要感谢我的同学们。我从他们身上学到了很多有益的知识和 学习方法。我为自己两年来生活在那种坦诚相待、互帮互助的氛围中感到莫大的 荣幸! 另外也感谢我的家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 最后，感谢各位专家、学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见。 1 引言 1 1 排队论简述 排队论( q u e u i n gt h e o r y ) 是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队或拥挤 现象的规律性的_ j , - j 学科，它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性， 来解决系统的最优设计和最优控制。排队是一个普遍的现象。例如顾客到商店购 物形成的排队；病人到医院看病形成的排队；在售票处形成的排队等；另一种排 队是物的排队，例如路口红灯下面的汽车、文件等待打印或发送等。 所以排队论适用于一切服务系统，包括通信系统、交通与运输系统、生产与 服务系统、存贮与装卸系统、管理运筹系统以及电子计算机系统等。 排队论是运筹学的重要分支，它起源于2 0 世纪初丹麦数学家、电信工程师爱 尔朗( a k e r l a n g ) 对电信系统的研究，从而开创了这门应用数学学科，并为这门 学科建立了许多基本原则。在第二次世界大战之前，其研究多侧重于电话和远距 离通信方面，这阶段发展比较缓慢。3 0 年代中期，当费勒( w f e l l e r ) 引进了生 灭过程后，排队论才被数学界承认为一门重要的学科。大战以后，由于排队论渗 透到军事、经济、生产与服务、管理等多种部门，于是迎来了理论和应用的较大 发展，2 0 世纪5 0 年代初肯德尔( d g k e n d a l l ) 对排队论作了系统的研究，他用 马尔可夫链( m a r k o vc h a i n ) 方法研究排队论，并首先使用三个字母组成的符号表示 排队系统，使排队论得到进一步发展。特别是7 0 年代以来，随着计算机技术的迅 猛发展，通信网的建立和完善，信息科学、生命科学及控制理论的蓬勃发展均涉 及到最优设计与最佳服务问题，从而使排队理论与应用获得飞速发展。 重试排队系统是排队理论和通讯网络理论的一个重要组成部分，它在许多实 际问题中得到了应用，如基于顾客重试的g n e t w o r k s ，呼叫中心问题，局域网冲 突问题，c e l l u l a rn e t w o r k s 中服务质量问题等等。重试排队系统是排队论中重要的 一部分。重试排队系统的特征就是当顾客到达系统时如果发现服务台空闲，则立 即接受服务；如果发现服务台忙，就必须离开服务区域，进入重试区域( o r b i t ) ，经 过一段时间后再次要求服务，不断进行重试，直到重试成功。基于顾客重试的排 队理论源自电话话务服务问题的研究。最早的工作见于2 0 世纪4 0 、5 0 年代k o s t e n ， w i l k i n s o n 和c o h e n ，他们发现这类排队系统是分析电话网络中电话用户行为的合 适的数学模型。 自2 0 世纪7 0 年代以来，随着计算机通讯网络、异步转换模式( a t m ) 等高 新技术领域的发展，大量复杂系统设计和控制问题亟待人们解决。重试排队理论 由于其合理的假设，以及在现代通讯网络、计算机网络、电话交换系统、随机制 造系统及供应链管理等不同领域中都有着广泛的应用背景，近二十年来得到国际 运筹管理学界、应用数学界、工程学界等许多专家学者的高度重视及广泛应用。 k o s t e n 谈到：“如果不考虑这种重试行为的影响，任何理论结果都应被看作为可疑 的( s u s p e e 0 。” 对于连续时间的重试排队系统，已经有不少作者进行研究，但是大多数关于 重试排队系统研究的文献，它们的重试时间分布是服从指数分布。在最近几年，又 有不少作者对具有一般重试时间的m g i 排队模型进行了研究，1 9 9 4 年t y a n g 2 4 1 采用一种近似的方法对具有一般重试时间的m g i 排队模型进行了研究， 1 9 9 9 年a g o m e z c o r r a l 【l5 】对有一般重试时间的单服务台重试排队系统给出了 精确解，b k r i s h n ak u m a r 【1 9 1 于2 0 0 2 年考虑了具有b e r n o u l l i 休假的m g 1 重 试排队模型。 1 2 成批到达排队系统 成批到达模型首先由f a l i n 【9 】提出：顾客不再是一个一个，而是一批一批的 到达系统，若成批到达的顾客发现服务器忙，则整批顾客进入重试区；反之，若 发现服务器空闲，则其中一位顾客接受服务，其余顾客进入重试区。f a l i n 分析并 给出了成批到达系统状态极限分布【9 】，非稳态条件下的忙期【1 0 】等。成批到 达可用于研究局域网传输协议，例如c s m a c d ( 载波监听多路访问冲突检测方 法) 【7 】：数据传递时，通常被分成许多数据包，一组数据包到达站点时，若传输 媒介( 总线) 空闲，随机传送其中一个数据包其余数据包存入缓冲区，反之，全 部数据包进入缓冲区，站点会监听总线状态( 相当于重试) ，一旦发现总线空闲， 立即传送下一个数据包。y a n g 和t e m p l e t o n 对这个问题进行了进一步的描述【2 5 】。 另外f a l i n ，和t e m p l e t o n 研究了m g 1 成批到达重试排队系统【l l 】( p 1 7 3 1 8 6 ) ， g a u t a mc h o u d h u r y 研究了b e r n o u l l i 休假的成批到达系统【1 3 】，但是总体上研究 成批到达的文章并不多。 传统成批到达模型都假设顾客到达即可进入系统。有接纳服务控制的成批到 2 达模型与传统模型有很大的不同，顾客到达后不再是无条件的进入系统，它将以 一定的概率进入系统( 相当于在系统入口设置了检测机，这就好比发邮件时的附 件大小控制、学校无线网络只允许校内i p 连接等) ，或以一定概率被系统舍弃( 系 统没有舍弃记录，这保证了对于每位顾客被舍弃的概率是相同的) 。接纳服务控制 概率是标准排队中的接纳顾客控制【1 6 】在重试排队的扩展。关于接纳服务控制 的模型的文章不多，但也不乏，比如a n a l e j o 与a t e n c i a1 3 】。 接纳服务控制的另一种变相应用是假设系统的总顾客数到达一定数目后( 比 如说k ) ，再应用接纳服务控制。接纳服务控制也可以应用于通信中当到达的的数 据包出错需要把他们舍弃而不传送的情况。 重试策略是成批到达重试排队理论中不可忽视的一部分。现有的文献采取的 重试策略主要有三种，即经典重试策略、常量重试策略和线性重试策略。大多成 批到达的文献使用经典重试策略。假设重试区域有i 位顾客，经典重试策略的重试 率为i i j 。其典型的应用是电话系统。不同用户都按照自己的安排在任意时间重拨 电话( 即每位用户重拨都是独立的、时间由自己控制) 。相反，常量重试策略的重 试率是常量，即仅( 1 6 i o ) 。常量重试策略的典型应用是c s m a ( 载波监听多路访 问) 。c s m a 中重试是由总线控制，而不是缓冲区的信息包。线性重试策略的重试 率= 仅( 1 6 i o ) + 汕它综合了经典重试策略与常量重试策略。线性重试策略首 先由a r t a l e j o 与g o m e z c o r r a l 与1 9 9 7 年提出【2 】。 1 3本课题研究的主要模型及方法 本课题研究的是重试时间为一般分布的重试排队系统。主要通过“嵌入马氏 链方法”得到系统稳态的充要条件，运用“补充变量法”得到系统的k o l m o g o r o v 方程，最终得到我们所考察的排队模型的稳态队长分布及我们感兴趣的系统的相 关性能指标。 根据实际问题的需要，本课题建立并解决了两个成批到达重试排队系统的模 型： ( 1 ) 具有接纳服务控制的m x g 1 可修重试排队系统； ( 2 ) 具有启动失效和接纳服务控制的m x g 1 重试反馈排队系统。 2 有接纳控制的成批到达可修重试排队系统 2 1前言 成批到达重试排队模型是重试排队理论的个重要领域。a r t a l e j o ，j r 等【1 】 研究过单一服务器的成批到达重试排队模型。可修排队模型从出现之后，就成为 了学者们的一个重要研究方向( 服务器不可能永久的运行下去，而从来不需要修 理或保养) 。a t e n c i a ，i 等【4 】，w a n g , j 等 2 3 】，l i ，w 等1 2 0 1 研究的都是可修 重试排队模型。本章在已有文献研究的可修及成批到达重试排队模型的基础上加 入一个同样重要的性质接纳服务控制。由于服务器资源有限，假如重试区( o r b i t ) 中顾客太多，让顾客无限等待下去只会使顾客不耐烦或者使重试区过于庞大从而 增加系统开支。我们在此增加接纳服务控制，用于解决这个问题。 接纳服务控制在现实中非常适用，特别是应用于信息传送的过程中。假如数 据出现了错误，再对它进行传送只会浪费传输媒介有限的资源，这时把出错的数 据删除( 相当于有接纳服务控制的系统中顾客被系统舍弃) 显得非常之重要。 本章研究的具有接纳服务控制的m 【x 】g 1 可修重试排队系统，在实际中有很 强的应用背景。第二节对本章的模型进行了详细的描述，第三节是嵌入马氏链的 稳态条件，第四节求出了系统的稳态概率分布并给出了一些主要性能指标，第五 节分析了系统的可靠性并给出了一些重要性能指标，最后一节对本章模型进行数 值分析。 2 2模型描述 本章研究带接纳控制的单服务器成批到达重试排队系统。 我们假定：顾客的到达形成广义泊松到达过程，即顾客的到达遵循参数为入 的泊松过程。同批到达的顾客数( 批量) 以y 表示，p ( y = k ) = c k ，k = l ，2 ，3 ， 且满足鑫o c k = 1 ，母函数形式为c ( z ) = 嘉1 c n z n ，前三阶矩分别是五，五，历。 每批到达的顾客数相互独立。假设每位顾客到达后都会接受关卡检测( 接纳控制) ， 以概率p 通过并进入系统，或以概率q = 1 一p 被系统拒绝，p ( o ，1 】。以a n 表示一 批顾客到达后，允许n 位顾客进入系统的概率( 准入概率) ，n20 ， 则有 4 i 咽k n o a n = k 老 l c k ( ：) p n q k n n 1 、k = n ( 2 1 ) 前三阶矩分别是五，瓦，酉。 当一批顾客( 批量为k ) 到达，经检测系统后允许n 位进入系统。若此时系统 为空，则随机选择一位顾客接受服务，其余顾客进入即重试区，在任意一段时间 后重试再寻求服务。若此时系统服务器忙或坏，则所有顾客进入重试区。为了避 免陈述累赘，在此申明下文提及的“到达的顾客”即“到达后被接纳的顾客”。 我们假定：对于任意一位重试顾客，重试时间服从参数为a n 的指数分布( n 为重试区中人数) 。服务时间服从一般分布8 1 ( x ) ，其l a p l a c e - s t i e l t j e s 变换为艮( s ) ， n 阶矩为阮n 。每位顾客服务时间相互独立，完成服务后立即离开系统。 当系统服务器( s e r v g t ) 忙时它存在一定概率变坏。一旦服务器为坏，将立即 送往修理。正在接受服务的顾客耐心等待，直到服务器修理完成，则继续接受未 完成的服务。 我们假定：服务器生命周期服从参数为v 的指数分布。对于顾客面言，服务 时间是累加的( 服务器坏之前逝去的服务时间加上服务器恢复正常之后的服务时 间) 。修理时间服从一般分布b z ( y ) ，其l a p l a c e s t i e l t j e s 变换为b 2 ( s ) ，n 阶矩为b 2 n o 设以上各随机变量相互独立。 对于任意时刻t ，系统状态可描述为马尔可夫过程( t ) ；t 0 ) 。t x ( t ) ；t 0 ) = ( c ( t ) ，n ( 0 ，；1 ( t ) ，亏2 ( t ) ，t o ) 。其中c ( 0 表示t 时刻的服务器状态，c c t ) 0 ，1 ，2 。 0 ，l ，2 分别表示服务器空闲、忙、坏。n ( 0 表示t 时刻重试区中顾客数，n ( t ) 20 。 当c ( 0 = 1 ，毛( t ) 表示t 时刻逝去的服务时间； 当c ( 0 = 2 ，n ( 0 0 ，2 ( t ) 表示t 时刻逝去的修理时间。 显然，在某个服务结束后，进入服务器接受服务的顾客有两种来源：i ) 成批 到达的新顾客；i i ) 没有新顾客到达时，重试区中重试顾客重试成功。 2 3稳态条件 设沁，i n ) 表示第i 个服务完成时刻。n i = n 0 i + ) 表示第i 个顾客离开后瞬 间，重试区中的顾客数。 定理2 1( n i ，i n ) 为( d ；t o ) 在服务完成顾客离开瞬间的嵌入马尔可夫 链。( n i ，i n ) 是遍历的，当且仅当 ( 1 + v 6 2 ，1 ) p 1 b n = p “t = n ，= l 上j ：z 。e 茎- x x e d 以b x ( x 三) 专字! a ? ，d 百。妁：三二 吾( x ) 表示顾客在服务器中所用时间的分布，其l a p l a c e s t i e l t j e s 变换为爵( s ) ， 蟊( s ) = b 1s + v v p 2 ( s ) ) 。a ：为( a n ) 的j 阶卷积。 b ( z ) = b n z n = b q x a ( z ) ) e ( 1 1 i ) = yn b n = b ( 1 ) j 一 n = 0 所以，e “i ) = 瓶p 1 1 ( 1 + v b 2 , 1 ) = ( 1 + v b 2 1 ) p 为了证明( n i ，i n ) 的遍历性，我们介绍f o s t e r 准则【2 l 】：一个不可约，非周 期的马尔可夫链是遍历的，如果存在一个非负函数f ( j ) ，j n 及 0 使得平均偏 移值( m e a nd r i f t ) x l = e f ( x n + 1 ) 一f n ) i x n = j 】对所有的j n 有限且除有限个外 几乎所有的j n 有x i - - 。 我们考虑函数f o ) = j ，则平均偏移值为： x n = e n i + 1 一n ii n i = n 】 = e b i + l l n i = n 】一1 + e 1 i + l i n i = n 】 = 齐_ f r 而一1 + ( 1 + v p 2 ，1 ) p 6 若要使此马氏链遍历，需有 l i r ax n 一 n o 。 设( 1 + v b 2 ，1 ) p 1 一入瓦( r + ，取= 【1 一九瓦q + + 一( 1 + v 1 3 2 ，1 ) p 】2 ， 则 n l i 掣mn = 禹一1 + ( 1 地，) p _ _ 2 一 即除了有限个状态外，都有x n 一s 成立。所以嵌入马氏链是遍历的。 显然，( 1 + v p 2 ，1 ) p 1 一嫡q + 也是嵌入马氏链遍历的必要条件。 证毕。 对于平均偏移值嫡n + + + ( 1 + v 1 3 2 , 1 ) p 1 可以合理的解释为：在两次连 续的服务完成之间的间隔内，进入系统的平均顾客数必须小于离开系统的平均顾 客数( 每次服务完成一个) 。 2 4 稳态条件下的一些重要结论 首先定义： 极限概率： p o n = j i mp ( c ( t ) = 0 ，n ( o = n ) ，n 0 t - - , , o o 极限概率密度： h ，n ( x ) d x = ! i mp c ( o = 1 ，n ( t ) = n ，x p 2 ，n ( x j y ) z n 篙 将等式( 2 7 ) 一( 2 1 2 ) 都化为母函数形式： + a ) p o ( z ) = a p o ，o + f p l ( x , z ) b l ( x ) d x ( 2 1 3 ) e n ：。z n ( 1 - 6 0 , n ) 入e k ：，a k p l , n - k ( x ) = 九n e ：，e k ：，a k p l n - k ( x ) z nn = o k = 1 n = lk = 工 = 入eea k p l n - k ( x ) z n - - ) ( e a 。吣x ) z n = x a ( z ) p 1 ( x ，z ) 一a a o p l ( x , z ) 所以( 2 8 ) 可以化为 未p 1 ( x ，z ) = _ 【”一抽( z ) + 旭。+ v + b 1 ( x ) 】p 1 ( x jz ) + 上p 2 ( k y ，z ) b 2 d y = 一队一a a ( z ) + v + b l ( x ) 】p 1 ( x j z ) + i p z ( x , y , z ) b 2 ( y ) d y ( 2 1 4 ) 同理，( 2 9 ) 可化为 杀眨，n ( x ，y ，z ) 一旷x a ( z ) _ b 2 删p z ( x ，弘z ) ( x i 5 ) 对( 2 1 0 ) 母函数变换： 州z吒薹meakpon-k+l+删epon=o n + 矽伍 n = 0 k = 1n = u z p i ( o jz ) = 入z n + 1 a k p 功州+ m z n + 1 i i 九zn+1(薹akp。，nk+，一a。p。，n+，)0 k = o 7 = 九a ( z ) p o ( z ) 一九a o p o o a a o p o ( z ) + a a o p o ，0 = x a ( z ) p o ( z ) x a o p o ( z ) 所以( 2 1 0 ) 可以化为 ( 2 1 1 ) 可以化为 z p l ( 0 ，z ) = 【h ( z ) 一入a o + a p o ( z ) 一a p o ，0 9 n z n 脚 = 、j0 o p p 2 ( x j 0 ，z ) = v p l ( x ，z ) ( 2 1 7 ) 求解( 2 1 s ) 式 尝：- i x - 地( z ) + b 2 】 1 忑再广2 船l z j + b 2 哆j j 葺i np 2c x , y , z ) = 一f 队一z a ( z ) + b 2 ) 】d y = 专p 2 ( x , y , z ) = c e 一队a a ( z ) 】y e 一，b z ( y ) d y e l b z ( y ) d y = e 一妫d y = e 嘲( 1 _ b 2 ( y ) ) = i - b 2 ( y ) 所以， p 2 ( x , y , z ) = p 2 ( x , 0 ，z ) 1 一b z ( y ) 】e 一队矗3 ( 2 ) 】y ( 2 1 8 ) 将( 2 7 ) 式代入( 2 1 4 ) 式，求p 1 瓯z ) 瓦o r ( x jz ) = 一队一x a ( z ) + y + b 1 ( x ) 】r ( x ，z ) + jp 2 ( x , o ，z ) e 一队 3 ( 2 ) j y 1 一b 2 ( y ) 】b 2 ( y ) d y f p 2 ( x , 0 ，z ) e - x - ) t 3 ( 2 ) 】y 1 一b 2 ( ) ，) 】b 2 ( y ) d y = p 2 叭z ) 卜m a ( z ) 】y 【1 - 唰嵩d y = p z ( x , 0 ，z ) b 2 n 一地( z ) ) = v p l ( x ，z ) l h o 一地( z ) ) 所以( 2 1 4 ) 式可化为： 赢o r ( x ，z ) = 一队一旭( z ) + v + b 1 ( x ) 一v b 2 q h ( z ) ) 】p 1 ( x ，z ) 求解之，得 p i ( x , z ) = h ( 0 ，z ) 【1 一b i ( x ) 】e 一队a a ( z ) + v - v f l 2 q - a a ( z ) ) 】x 令h ( z ) = 九一x a ( z ) + v v b 2 ( 九一z a ( z ) ) 则有： p 1 ( x ，z ) = p 1 ( o ，z ) 【1 一b i ( x ) e - h ( z ) x ( 2 1 9 ) 将( 2 1 9 ) 代入( 2 1 3 ) ，求p o ( z ) q 。+ a ) p o ( z ) = 仅p o o + b 1 ( h ( z ) ) p 1 ( o ，z ) 结合( 2 1 6 ) ，得 ( ”+ a ) z p oc z ) = a z p o ，o + b 1 ( h ( z ) ) 【( 地( z ) 一x a o + a ) p o ( z ) 一a p o ，o 】 整理： 【( ”+ z 一( 加( z ) 一x a o + ) b 1 ( h ( z ) ) 】p o ( z ) = a p o ，oz - - b 1 ( h ( z ) ) 】( 2 2 0 ) l o 由( i z 2 0 ) 即- 7 求得【z 功。 再求v l ( o ，z ) ，p 2 ( x , 0 ，z ) 。 将( z 3 ) 式代入( 2 1 6 ) 式 z p , ( o ，z ) = 队a ( z ) 一九a o + a d z 一1 3 1m ( z ) ) ( x + a ) z - ( x a ( z ) - 二x a o + a ) l s 1 ( h 一( z ) ) 仅p o ，o 一叩o o 求得： 帆z ) = 两面i 面p a 再( z ) 瓦- x 五厕伍咖( 2 2 1 ) 将( 2 2 1 ) 代k ( 2 1 9 ) ，得到了( 2 4 ) 。 将( 2 4 ) 代入( 2 1 7 ) 可求出眨( x ，0 ，z ) ， 将p 2 ( x ，0 ，z ) 代入( 2 1 8 ) 式，可求得( 2 5 ) 接下来我们求p o 0 。 由归一化条件，可得 p o ( z ) + 互p x ( x , z 皿+ j ：j ：p z ( x , y , z ) d x d y = z n ( 2 2 2 ) f o ”p l ( x , z ) d x - f 帅，z ) 1 - b 1 ( x ) 】e - h ( z ) x d 】( = 等小。( x ) - 1 】肿h = 掣 ( b 1 ( 州，e - h ( z ) x 卜j ：o o e 训咖慨】 = 掣。( h ( z ) ) 】 j ：”卜，崎= j ：。卜c 删1 - b 2 ，e - i x - x a ( z ) y 蛐 = 面v 丽p i ( o , z )【11ibl(h(z)1【16li2队一axa(z) 1 1 = 叶 一1 1 n i7 - _ i 一 1i 一a i z i i h ( z ) n 一) r “r 一 。 “”“1 粤卜d x = 卿等。( h ( z ) ) 】 州0 ，1 ) 卿些潞燮 = p l ( o ，1 ) p 1 1 ：l i + r a l 凡ij o p 2 ( x , y , z ) d x d y = r ( 0 ，1 ) b 1 ，1 v 侈z ，1 取z = 1 ，( 2 2 2 ) 式可化为 v o ( i ) + ( 1 + v b 2 】) b 11 b ( o ，1 ) = 1( z 2 3 ) 啦，= 卿两而丽赢杀怒磐b 酾咖，。 h ( z ) = - i a ( z ) 一( 一h ( z ) ) v b 2 ( 入一地( z ) ) h 7 ( 1 ) = ( 一碗) ( 1 + v b 2 1 ) 所以： p o ( 1 ) = 两杀等咖，。 ( 2 2 4 ) 帆1 = 万丽百t a 面1 丽仅咖 ( 2 2 s ) 综合( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 2 s ) ，求得p 0 o o 证毕。 对( 2 4 ) 、( 2 s ) 积分可求得b ( z ) 、p z ( z ) 。 h ( z ) = 上。p 1 ( x ，z ) d x = 两而揲篙x 掣咖，。亿2 6 ， =_一仃n i ，h - q + z 一( 九a ( z ) 一九a o + b 1 ( h ( z ) ) 。 h ( z ) 一叱u 、 p 2 ( z ) = if p z ( x , y , z ) d x d y = 两杀惹薯等掣吼。 亿2 7 ， =-，-一rrn i ，i ( 入4 + 0 【) z 一( 九a ( z ) 一九a o + b 1 ( h ( z ) ) h ( z ) 一u 、 由于p o 0 0 ，可知( 1 ) 是马氏过程遍历的必要条件。 推论2 1 重试区与系统总人数的母函数如下： 1 ) 设重试区中总的顾客数为j 的概率 q j = l i r ap n n = j ) ，j 0 。 n + 有 = p o , n q j po+，n(x)dx+f。fip2，n(x，y)dxdyjo j oj o = + lp 1 ，n+ ijp 2 ，n ( x ，y ) 贝j j q j 的母函数为q ( z ) = p o ( z ) + p z ( z ) + p z ( z ) 。 q ( z ) = z 一1 (x*+cx)z-(xa(z)-xao+lx)13x(h(z)仅po-o 2 ) 设系统中总人数的概率分布为p j ， 功= 功，+ ( 1 6 j 。) 【j ：。h 。一，c x ，a x + j ：j ：”砭。一t ( x , y ) d x d y 】 其母函数p ( z ) = p o ( z ) + z 【p 1 ( z ) + p z ( z ) 】。 喈，= 两杀篆磐吼，。 推论2 2 其他一些重要指标： 1 ) 系统为空的概率： 。 ( 九+ ) 1 一( 1 + v b z a ) o 】一九五 r o ，o 一f 一。 2 ) 服务器空闲的概率： p o ( 1 ) = 1 一( 1 + v f l 2 1 ) p 3 ) 服务器忙的概率： p t ( 1