（信号与信息处理专业论文）基于不可分离二维小波变换的视频编码技术研究.pdf

中文摘要 小波变换由于具有时频局域特性，所以一直是图像压缩编码研究的热点。目 前有很多优秀的编码方法如e z w ，s p i h t ，s p e c k ，e b c o t 等。j p e g 2 0 0 0 将 e b c o t 编码纳为标准，不仅具有良好的压缩性能，而且具有如渐进传输、基于 感兴趣区域编码( r o i ) 等扩展特性。 虽然小波变换在图像编码中被广泛应用，但在视频压缩领域却相对滞后。目 前也有很多学者正致力于小波变换在视频编码领域的研究。m p e g - 4 将小波变换 应用于该标准，进行基于对象的编码。可以预见，随着更优秀的编码方案的出现 和硬件水平的提高，小波变换必将广泛应用于视频压缩编码领域。 目前小波视频压缩的研究主要包括针对更好的压缩效果和良好的可扩展特 性，主要有三个分支：o b m c + d w t ，d w t + m c ，3 d d w t 。这三种方案各具有 自身的优势。本论文仅对前两种二维的情况进行研究。 纯二维小波变换因为不区分方向性，可以利用各方向的像素对当前像素进行 预测和更新，所以在编码中相比可分离小波变换具有一定的优势。对不可分离小 波变换应用于图像压缩，目前也有一些研究成果。 本论文将基于a p d i c s f 内插滤波器的不可分离二维提升小波变换和相应二 叉树s p i h t 编码应用于视频序列压缩。首先构造了o b m c + d w t 视频编码器， 通过实验为i 帧和p 帧分别选择了合适的滤波器，与可分离情况下的编码结果进 行了实验比较；接着构造了d w t + m c ，即小波域运动补偿编码器。利用纯二维 小波变换的方向特性，给出了两种小波域运动补偿方法。并通过实验，给出了低 频子带的最优运动搜索范围和高频子带的精细搜索范围，最后也与可分离二维小 波域运动补偿进行了实验比较。 关键词： 不可分离小波变换；视频编码；二叉树；s p i h t ；o b m c ；小波 域运动补偿； a p d i c s f ( 全相位离散反余弦列率滤波器) a b s t r a c t w a v e l e ta p p l y i n gt oi m a g ec o m p r e s s i o nh a sb e e nr e s e a r c h e dw i d e l yb e c a u s eo f i t sc h a r a c t e r i s t i co fl o c a lt i m e f r e q u e n c y t h e r ea r em a n ye x c e l l e n te n c o d i n gs h e m e s s u c ha se z w , s h h t , s p e c k , e b c o t j p e g 2 0 0 0h a sa c c e p t e de b c o ta se n c o d i n g p a r t ，r e a l i z e dg r a d u a l l yt r a n s f e r r i n g ，r o i ( r e g i o no fi n t e r e s o ，e t c ，s i d e sp o w e r f u l c o m p r e s s i n g d e s p i t eo fi t sw i d e l yu s ei ns t i l li m a g ec o m p r e s s i o n ，t h er e s e a r c ho na p p l y i n gi tt o v i d e oc o d i n gh a sl a g g e db e h i n dal i t t l e h o w e v e r , m a n yr e s e a r c h e r se n g a g ei nt h i s r e s e a r c hr e g i o n n 量p e g 一4h a sa c c e p t e dw a v e l e tt r a n s f o r ma si t so b j e c t e do r i e n t e d e n c o d i n gs c h e m e s o ，i tc a l lb es e e nt h a tw i t ht h ea p p e a r a n c eo fm o l ee x c e l l e n t e n c o d i n gs c h e m ea n dt h ea d v a n c i n go fh a r d w a r e ，w a v e l e tw i l ld e f i n i t e l yb eu s e di n v i d e oc o m p r e s s i o n ， t h e r ea r et h r e eb r a n c h e si nt h ew a v e l e tb a s e dv i d e oe n c o d i n gn o w ：o b m c d 彤z d w t - m ca n d3 d - d w t e a c ho ft h e mh a si t so w ns u p e r i o r i t y t h ef o r m e rt w oi s r e s e a r c h e di nt h i sp a p e r a sad i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i cf r o mt r a d i t i o n a ls e p a r a b l ew a v e l e t , t h en o n s e p a r a b l e w a v e l e tt r a n s f o r md o e s n td i s t i n g u i s hd i r e c t i o n , a n di tc a l lp r e d i c tac u r r e n tp i x e l u s i n gi t sa d j a c e n tp i x e l si na l ld i r e c t i o n sw i t hl i f t i n gs c h e m e s oi th a ss u p e r i o r i t y c o m p a r e dt os e p a r a b l ew a v e l e t i ni m a g ec o d i n g t h e r eh a v eb e e ns o m er e s e a r c h e so n a p p l y i n gi tt oi m a g ec o m p r e s s i o n t h i sp a p e ra p p l i e st h en o n s e p a r a b l el i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r mb a s e do na p d i c s f a n dt h e2 - b r a n c hs p i h tt ov i d e oc o m p r e s s i o n f i r s t , t h eo b m c d w tv i d e oc o d e r a p p l y i n ga p p r o p r i a t ef i l t e r sf o ria n dpf r a m e si sc o n s t r u c t e da n dt h ep s n ro ft h e r e s u l t e di m a g ei sc o m p a r e dw i t ht h es e p a r a b l ev i d e oc o d e rb ye x p e r i m e n t s t h e n , t h e d w t - m cv i d e oc o d e ri sa l s oc o n s t r u c t e d u t i l i z i n gt h ed i r e c t i o n a lc h a r a c t e r i s t i co f t h en o n s e p a r a b l ew a v e l e t , t w om o r ec o m p e n s a t i o ns c h e m e si nw a v e l e td o m a i na r e p r e s e n t e d t h es e a r c hr a n g e si nl o w e ra n dh i g h e rb a n d sa l eg i v e nb ye x p e r i m e n t s t h e p s n ri sa l s oc o m p a r e dw i t ht h es e p a r a b l ew a v e l e tv i d e oc o d e r k e yw o r d s ：n o n s e p a r a b l ew a v e l e tt r a n s f o r m , v i d e oc o d i n g ，2 - b r a n c hs p i h t , d w t - m c ，a p d i c s f ( a l lp h a s ed i s c r e t ei n v e r s ec o s i n es e q u e n c ) rf i l t e r ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名彩每蓐缸匀0 签字日期：o 汐汐7 年多月j 歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丕盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：7 白弥 签字日期：1 尸叼年多月炒日 ， 导师签名：1 受孟j j 乞 签字日期：呻6 月o - n 第一章绪论 1 1 传统视频编码技术 第一章绪论 传统的视频压缩编码主要采用帧间运动补偿加离散余弦变换d c t 的混合编 码方案，目前这一技术已经相当成熟，m p e g 1 ，m p e g - 2 ，h 2 6 4 等著名的国际 标准都采用这一技术，并且得到了广泛的应用。应用这一技术的视频编码框图如 图1 1 。 图1 - 1 传统视频编码框图 码流 对视频序列的编码采用帧内模式和帧间模式。对于帧内编码模式，直接对当 前帧进行d c t 变换，量化，熵编码，并通过反量化，反d c t 变换重构当前帧， 作为下一帧的参考帧；对于帧间编码模式，通过参考帧对当前帧进行运动估计和 预测，去除帧间冗余，得到残差图像，对残差图像进行d c t 变换，量化和熵编 码，并进行重构，与通过运动补偿得到的预测帧相加，得到当前帧的重构帧，作 为下一帧的参考帧。这种编码器的运动补偿和变换编码都是以宏块( m a c r ob l o c k ) 和块( b l o c k ) 为单位。量化是引入失真的唯一环节，为了避免误差漂移，参考 帧采用重构帧而不是原始帧。正交变换d c t 用于去除空间相关性，最新的视频 第一章绪论 压缩标准h 2 6 4 采用了更有效的整数d c t 交换。熵编码用于去除符号集的统计 相关性，属于无损压缩编码，之前的m p e g - 1 ，m p e g - 2 ，对量化系数采用游程 编码加h u f f m a n 可变长编码方式，对运动矢量采用h u f f m a n 编码，h 2 6 4 给出了 基于上下文的可变长编码c a v l c 和基于上下文的算术编码c a b a c 两种熵编码 方式。运动估计，运动补偿用于去除帧间冗余，m p e g - 1 ，m p e g 2 采用前向预 测和双向预测两种预测模式，前向预测采用前一帧的重构帧作为参考帧，双向预 测采用前一帧和后一帧的重构帧作为参考帧，h 2 6 4 则进一步采用多参考帧预测 模式，使预测更有效。另外，优秀的运动估计，运动补偿策略也不断出现，最常 用的如全搜索，钻石形搜索，可变形块运动估计，可去除块效应的重叠块运动补 偿o b m c ，为进一步提高预测精度，h 2 6 4 支持最小4 x 4 的搜索块，和1 4 像素 精度，还支持帧边界外的运动矢量。运动估计的主要指标一般采用s a d ( s u mo f a b s o l u t ed i f f e r s ，绝对帧差) ，具体公式这里从略。码率控制通过控制量化参数， 保证输出缓存既不上溢也不下溢，避免因此而产生的失真。缓存保证编码器输出 平稳的比特流。 1 2 基于小波变换的视频压缩技术 随着网络视频的不断发展和接受终端的日趋多样化，人们对视频编解码系统 不仅要求其具有更高的压缩性能，更要求其具有良好的可扩展性，包括时域可扩 展，空域可扩展，质量可扩展和复杂度可扩展等。小波变换在图像压缩领域取得 了巨大成功；j p e g 2 0 0 0 不仅具有良好的压缩性能，而且支持渐进传输，r o i ( r e g i o no fi n t e r e s t i n g ) ，随机存取等特征。小波变换在视频压缩领域的应用研究 越来越受到学者们的关注，以希望获得更好的压缩比和良好的可扩展性。目前此 领域的研究主要有三个方向【l 】：( 1 ) m c d w t ( 时域运动补偿+ 空域小波变换+ 预编码，编码) ，运动补偿主要采用o b m c ( 重叠块运动补偿) ，以避免块之间产 生不连续的高频边界，目前这一编码结构的主要研究集中预编码和编码环节，希 望通过优秀的预编码和编码方案取得良好的压缩性能和可扩展性，比如z t e ， p a c c ，s l c c 等【2 3 ，4 】。( 2 ) d w t - m c ( 空域小波变换+ 小波域运动补偿+ 预编码， 编码) 【5 6 7 ，踟，目前这一编码结构的主要研究集中在小波域的运动补偿算法研究 上，包括子带直接运动估计、子带间接运动估计、克服平移可变性运动估计。一 是希望在更精确预测的基础上，降低运动估计的复杂度【5 1 ，二是希望克服小波变 换所带来的平移可变性【7 ，踟。也有人在进行克服平移可变性的小波变换的研究， 如复小波，过完备小波，并且对在其基础上的运动补偿策略进行了研究1 9 , 1 0 。( 3 ) 基于三维小波变换的视频编码系统 1 , 1 1 , 1 2 】，由于三维小波变换视频编码在支持码 第一章绪论 流的容错性和可扩展性上具有显著特征，目前成为研究热点，但是三维小波变换 需要解决延迟和内存需求大的问题，而且就压缩质量来看，目前三维小波变换在 低码率情况下的压缩性能还不是很理想。以面向对象压缩编码的m p e g - 4 标准首 次将小波压缩技术纳入视频压缩标准。关于小波技术在视频图像压缩中的应用， 在第三章本论文将做详细讨论。 1 3 研究内容与章节安排 本论文主要对二维小波在视频压缩中的应用进行了研究。采用全相位反余弦 列率滤波器( a p d i c s f ) 作为内插滤波器，实现了对视频序列不可分离的二维小 波变换；采用整型小波变换，实现了即位的二维小波变换；解决了二维小波变换 的边界延拓问题。因为本论文中采用逐层量化的s p i h t 编码方案，小波变换比 例因子的影响比较大，所以仍采用浮点型小波变换。由于时间关系，对变换后的 残差图像的编码方案并没有进行深入研究，目前已有很多关于变换之后残差图像 的编码方法，而且取得了和当前主流标准可比甚至更好的效果。这些成果都可以 在不可分离二维小波变换编码中得到借鉴，这是下一步研究的主要方向。采用二 叉树s p i h t 编码方法对变换后的系数( 包括预测残差的小波系数和小波域运动 补偿的残差系数) 进行编码，可以得到精确码率控制的视频序列编码器。 在先运动补偿后小波变换( m c d w t ) 编码方案中，采用重叠块运动补偿 技术( o b m c ) ，本论文对h 2 6 3 模型中的o b m c 进行了改进，使其更适合整域 的小波变换编码；通过实验对i 帧和p 帧图像各采用了适合的滤波器。对残差图 像不可分离二维小波变换加二叉树s p i h t 编码和可分离二维小波变换加s p i h t 编码的实验结果进行了比较。 在先小波变换后运动补偿( d w t - m c ) 方案中，利用不可分离二维小波变换 的各向同性特征，借鉴多分辨率运动补偿( m r m c ) ，对小波域内的运动估计进 行了研究，通过实验给出了m r m c 的主要参数，确定了最有效的运动估计方案， 并与基于可分离二维小波的m r m c 进行了比较，给出了实验结果。 本论文第一章绪论部分对当前主流的视频编码方法和目前基于小波变换的 视频编码方法进行了概述，介绍了本论文的主要研究内容；第二章对小波变换的 定义以及主要的编码方法进行了介绍，主要介绍了五株采样的不可分离二维小波 变换和二叉树s p i h t 编码方法；第三章除对目前主要的基于小波变换的视频编 码方法进行较为详细的介绍外，对基于全相位反余弦列率滤波器a p d i c s f 的不 可分离二维小波变换和二叉树s p i h t 编码应用于视频压缩编码进行了研究。其 中第一节对先运动补偿后小波变换编码方案( m c d w t ) 进行了研究，并给出 第一章绪论 实验结果；第二节对先小波变换后运动补偿方案( d w t - m c ) 进行了研究，并给 出实验结果。第四章是总结和展望。 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 小波变换因为其特有的时频局域分析特征，在图像压缩领域一直是研究的热 点。本章对小波变换的基础知识进行了介绍，对小波的时频局域特性进行了分析； 介绍了m a l l a t 算法和小波变换的提升算法；重点介绍了二维小波变换和五株采 样；对本论文采用的a p d i c s f 内插滤波器进行了介绍；给出了基于a p d i c s f 内插滤波器的不可分离二维小波变换的实现过程；最后对基于不可分离二维小波 变换的二叉树s p m 编码方法进行了介绍。 2 1 小波变换基础 小波分析的基本思想是寻求一个满足一定条件的基本小波函数y ( f ) ，通过对 基本小波函数的伸缩和平移构成小波函数族 儿。( f ) ) ，把待分析信号厂( f ) 在 虬。( f ) 进行投影以表征待分析信号。因为可以在不同的位移6 ，不同的尺度口下 表征待分析信号，因此，小波分析具有时频局域化特征。 2 1 1 一维连续小波变换 设y ( f ) 为一平方可积函数，即v ( t ) r 俾) ，若其傅立叶变换汐( ) 满足容许 性条件： q = e 瞽以 。，6 r 频域表示： ( 睨厂) ( 口，6 ) = 尝旷徊) o - i - 2 9 弦肛d 国 这里夕( 功，妒( 动分别表示厂( f ) ，y ( f ) 的傅立叶变换。 其逆变换为 ( f ) = - c 2 - ：re ( 厂) ( 口，6 ) 虬( f ) 仍睾 ( 2 3 a ) ( 2 3 b ) = 百2 f i ：( ) ( 口，6 ) 击y ( 学) 乃亨 c 2 4 ， 由式( 2 3 ) 可见，连续小波变换( 睨厂) ( 口，6 ) 是厂( f ) 在函数儿。( f ) 上的投影， 它将一个一维函数f ( t ) 变换为一个二维函数。假定y ( f ) ，o ( c o ) 的窗函数的中心和 半径分别为( f ，沙) 和( 矿，a o ) 。对于一组确定的参数( 口，6 ) 而言，小波变换 ( 门( 口，6 ) 的值可解释为通过一个中心位于f6 + 口，竺i ，边长分别为2 口y 和 口一， 2 业的矩形时间频率窗r 6 + a t * - a a y ，b + 斫+ a a 吵 i 尘一生，尘+ 业l 对 口 。 。l 口 口口aj 信号进行观察，即它提取的是信号厂o ) 在上述指定时间段和频率段内的局部信 息。小波变换本质上是对信号的时频联合分析。对于某一固定位置f 0 附近的信号， 在时域内，当口增大时，时域窗变宽，相当于在时域进行粗略观察，而在频域内 当口增大时，频域窗中心频率变小，宽度变小，对低频信号进行观察，分析带宽 范围较小；当口减小时，时域窗变窄，相当于在时域进行细致观察，而在频域内 当口减小时，频域窗中心频率变大，宽度变大，对高频信号进行观察，分析带宽 范围较大。这符合了实际信号分析的需要。这就是小波的时频局域特性。 这一特性对分析非平稳信号如图像信号非常有用，因为图像信号的边缘等细 节部分主要集中在高频区，需要对其做细致观察，而对其低频概貌信息可以做粗 略观察。 实际上，小波函数眈( 曲可以看作是一个适配带通滤波器，这一滤波器的品 质因数 。 d q = 警= 丢= 茜= 常数 协5 ， 可见，小波变换可以看成是一个品质因数为常数的滤波器的滤波过程。无论 是在高频段，还是在低频段，都具有相同的相对时间和频率精度。这一特征也符 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 合人的生理特性。- 2 1 2 一维离散小波变换 一维离散信号厂( f ) 作小波变换成为二维的( 睨厂) ( 口，6 ) 后，其信息是有冗余 的。因此从压缩数据和节约计算的角度上看，希望能只在一些离散的尺度和位移 值下计算小波变换，而又不致丢失信息。 对于尺度因子a 的离散化，目前通行的办法是对其按幂级数作离散化。即令口 取，口。为常数，j z 。 再看位移因子b 的离散化。当a = 韶= 1 ( 也就是，= 0 时) ，b 可以取某一基 本间隔6 b 作均匀采样。应适当选择使信息仍能覆盖整个b 轴而不丢失( 例如不 低于n y q u i s t 采样率) 。在其余尺度上由于y ( 7 t ) 的宽度是妙( f ) 的倍( 相当于 其频率降低了a g 倍) ，因此采样间隔可以扩大倍。也就是说，在某一_ 值下沿 b 轴以a ，o b o 为间隔作均匀采样仍可保证信息不丢失。这样就有， 虬。( o i 。，。刊如= 萨y k 嘶一硪6 0 ) = a o v a 0 7 f 一慨 ( 2 - 6 ) 记作，( f ) 。 在这些点计算得的w t 记作： ( ) ( ，蛾) 2 ( ( f ) ，材b ( f ) ) 2p ( f ) 瓦 ( 2 7 ) j z k z 实际中常取a o = 2 ，此时a 取值为2 ，把b 轴用加以归一。这样便有： y m ) = 22 y ( 2 吖t - k ) ( 2 8 ) 相应的、t 是： ( ) ( ，后) = ( 厂( ，) ，。o ) ) = p ( ，) j j i 勋 ( 2 - 9 ) 定理2 1 若少m ( ，) 是r ( 月) 的框架( f r a m e ) ，即满足稳定性条件，则信号厂( ，) 可由其离散小波变换 ( 厂) ( ，七) ，j e z ，k z 和纷，。p ) 的对偶乃 j o ) 重构，重构 公式为： 厂o ) = l ( w , s ) o ，j ) l o ) ( 2 - 1 0 ) j k 可见，对于离散小波变换，关键在于构造可重构的对偶小波，d a u b e c h i e s 在 这方面做了比较深入的研裂1 3 j 。 2 1 3 多分辨率分析与一维m a l l a t 算法 1 9 8 9 年，s m a l l a t 受图像编码技术中塔形分解和多速率信号分解思想的启 发，提出多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 【14 1 5 3 的概念及小波分解与重构 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 的快速算法m a l l a t 算法【1 4 1 5 1 ，使小波理论与经典滤波方法建立了联系，从而促 进了小波理论的实际应用。 2 1 3 1 多分辨率分析 多分辨率分析又称为多尺度分析，它是建立在函数空间概念上的理论。多分 辨率分析的基本思想就是用一簇具有不同分辨率的近似函数来对给定函数 f ( t ) r 似) 进行逼近，而这些近似函数可以通过对l 2 ( r ) 使用选择的滤波函数进 行平滑滤波而得到。 定义2 - 2 r ( 尺) 空间中的一闭子空问 巧 脑，若满足： 单调性： c 巧一lc 巧c 巧+ lc ，v j z ； 完备性： n 屹= 0 ) ，ul = r ( r ) ； 伸缩性：f ( t ) 匕f ( 2 t ) 巧+ l ，v j z ； 石k 平移不变性：厂( f ) 巧营厂o + 吾) 巧，v k z ； r i e s z 基存在性：存在烈f ) v o ，使得 ( f 一后) ikez 是的一个r i e s z 基。 则称矽( f ) 生成一个r ( r ) 的多分辨率分析( m r a ) 巧 越，且餮矽( f ) 为尺度函数 ( s c a l i n gf u n c t i o n ) 。 由c 巧- 1c _ c 巧+ 1c ，w z 的包含关系，知( f ) = 吮，o ( f ) z ock 可以用 巧空间的基函数破。o ) = 2 矽( 2 f 一七) ，k z 展开，令其展开系数为 仇) ，k z ，则 有 烈f ) = 压p 。矽( 2 f 一后) ( 2 1 1 ) 另一方面，引入闭子空间 ) ，西，且形是巧在巧+ t 空间中的补空间，即： 巧+ t = 巧+ 形，j e z ( 2 1 2 ) 显然，r 俾) 空间可以表示成子空间序列 形 ，e z 的直和，即 r ( r ) = 形= _ oo + 形，+ + ( 2 1 3 ) j e z rj1 设 。i p ) = 2 2 y ( 2 。f 一i ) ，j ，k z 构成的r i e s z 基，其中矿( ，) 是尺度函数 lj ( f ) 对应的小波。 由于k = z o + ，故吵( f ) = 。( f ) ck ，这意味着小波基函数y ( f ) 可以 用k 子空间的r i e s z 基魂。( f ) = 2 矽( 2 f 一七) ，k z 展开，令其展开系数为 o ，6 l ，6 2 r ( 2 2 8 ) a a“ 则二维连续小波变换定义为 【厂) ( 口，包，如) = ( f ( x ，力，虬画如“力) = 丢肌咖睁，学卜 相应的小波反变换是 他加z 旷一。硝，6 2 ) ( 孚，引幽熟 式牟 勺= 专ee勺2 谚ll ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) d 锡d c a 2 ( 2 3 1 ) 二维小波变换较之一维情况更复杂之处在于：在尺度伸缩的同时还可以进行 坐标旋转，也就是说尺度因子口可以改写成矩阵表示： a = a r o ( 2 3 2 ) 式中= i 璐c s 。i n s 0 秒i ( 2 - 3 3 ) 是旋转因子。 因此，比( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 更具一般性的表示是： 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 晡= 丽1y 一- ) = 朴1 ( 铡 ( 2 2 8 a ) ( 厂) ( 以石) = ( ( - ) ，一( ) ) = 丢厂面沙( 白一等户；( 2 - 2 9 a ) 式中，a = d e t a ，x = i x ，y 】r ，占= 胁，玎。 式( 2 2 9 a ) 的具体含义是： ( 厂) ( 口，幺6 1 ，6 2 ) = lf f i ( x ，y ) 5 f ， ( x - b , ) c o s o - ( y - b ：) s i n o ，坠业业丛型l 蚴 ( 2 - 3 4 ) 所以，具有旋转能力的小波变换，在利用其进行时频局部分析的同时，还具 有方向的选择性。 二维信号f ( x ，y ) 经变换后变成具有四个变量口，0 ，6 l ，6 2 的函数，因此信 息必有冗余。为了减少信息冗余，同一维情况一样，可以只在( 口，0 ，岛，6 2 ) 构成的 多维空间中的离散栅格上进行变换。但与一维情况相比，二维情况下离散栅格的 含义更复杂些。首先把具有旋转能力的尺度因子4 记作： 彳乏吃a 1 2 。 协3 5 ) j a l = a , 。a z ：一q ：a z 。 式中各嘞( f ，_ ，= 1 ，2 ) 都取整数。因而式( 2 2 8 a ) ，( 2 2 9 a ) 变成： 万( 习5 两1 沙 彳。1 ( i 一纠 (2-28b) 哆( 彳，b ) = ( f ( x - - - ) ，万( x - 3 ) ( 2 2 9 b ) 再把彳和万都加离散化： a = 4 7 万= 4 靖 式中a o 是取定的非奇异2 2 矩阵，- ，z ，万= 啊，n 2 2 是离散化位移的序号( 设 位移间距面= 1 ) 。于是便得到离散栅格上二维小波变换的定义： 万( 习= 1 4 l 。y 以一7 ( i - n - - ) ( 2 2 8 e ) ( 厂) ( 歹，万) = ( 厂( 虿) ，宵( i ) ) = 1 彳o l 少( - ) y 4 7 ( - 一- ) 商 ( 2 - 2 9 c ) 式( 2 2 9 c ) 的具体含义是： ( 础_ ，m ) 州7 妙( 训) 、 (2-36)i- 。y lq 1 7 t x + q 2 y 一，z 1 ，a 2 1 j x + y r t 2l a x a y 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 式中设 a o = l 乏笼j o 对于二维信号，在( x ，y ) 二维平面坐标上，离散采样方式是多种多样的，决 定于尺度矩阵4 的具体取值。最常用的两种抽取方式是行列分别作二抽取和五 株采样方式。本论文接下来分别对这两种方式加以介绍。为了说明这一问题，设 沿) 时两个方向的原始栅格都是均匀采样的，啊，n 2 是其坐标序号。如图2 3 所 示。 图2 - 3 原始二维离散序列坐标 现在按 一n = a o 一, r w( 矛= h ：吃r ，一n = n a ，吃r ) ( 2 3 7 ) 关系进行抽取。，l i 。，n 2 是抽取出各点的新坐标序号。 ( 1 ) 可分离的抽取 当么= f 云竺i 时，式( 2 3 7 ) 为 n t = 2 n a ( 2 - 3 8 0 )二。j 【n 2 = 2 n 2 其作用相当于在啊，拜，两个方向上( 即行和列方向) 都作二抽取，被抽取各点在 原始栅格上的位置如图2 - 4 上各灰色的圈所示，其总效果相当于四抽取。可分离 具体的含义将在后面结合图像的小波分解详细介绍。 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 刀2 ，毋，1 ) ( a ) 原始信号样本，灰度圈表示采样点 ( b ) 抽取后重新设定坐标得到的采样点 图2 - 4 可分离情况下的抽取 ( 2 ) 不可分离的五株采样 当彳= l 二l ：i 时，式( 2 3 7 ) 为 j 啊2 啊斗n 2 ( 2 3 9 ) 上 l 吃21 + n 2 其作用是沿相邻两行和两列都是奇偶交错地在行和列内作二抽取，总的效果 仍是二抽取，见图2 5 。图中灰色圈表示第一个采样子栅格中的样本，白色圈表 示第二个采样子栅格中的样本，这两个采样栅格互为陪集。这种抽取方式是不可 分离的，也称为五株形抽取( q u i n c u n xs a m p l i n g ) 。 需要说明的是，尺度矩阵不是唯一的，例如 4 = i 二。 4 = i - i 1 4 = 二。2 均能达到五株抽取的目的。但是多级串联时它们的表现却不一样，因为这时的性 能与彳的高次方有关，例如不可分离的尺度矩阵彳2 、4 2 、4 2 ，即两级串联后 总的效果恰好为可分离情况的对角阵，而丘2 则不具有这种特性。所以，可以采 用彳、4 、4 中的任一个作为尺度矩阵，本文中我们采用彳作为尺度矩阵。 2 2 2 图像的可分离二维小波变换 对于可分离情况，二维多分辨率可分两步进行。先沿x 方向分别用矽( x ) 和 y ( x ) 作分析，将o ，y ) 分解成平滑逼近和细节两部分。然后对这两部分再沿夕方 向分别用矽( y ) 和y ( y ) 作类似分析。这样，二维图像被分解成l l ( 水平低频，垂 直高频) ，h l ( 水平高频，垂直低频) ，l h ( 水平低频，垂直高频) ，h h ( 水 平高频，垂直高频) 。同样，提升小波算法也可以在图像的行和列分别进行。可 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 分离小波的一级小波分解实现过程如图2 - 6 。 ( a ) 原始信号样本，灰度圈表示第一个陪集 中的样点，白色圈表示第二个陪集中的样 本 i 刀2 i l i 心粤 - - 一 ( b ) 第一个陪集中的样本在新的坐标 h ，刀：) 中的位置( 将原h ，吃) 坐标轴逆时 针旋转4 5 。，并重新设定坐标) 图2 - 5 五株形采样 水平 水平 低频高频 lh ( a ) 水平分解 l l lh l l u i lh h l c b ) 对水平分解结 果进行垂直分解 图2 6 可分离小波级分解过程 图2 - 6 中，儿表示图像的平滑逼近部分，i l l ，脯，h h 分别表示图像水平方 向的细节，垂直方向的细节，和对角线方向的细节部分。 为实现多分辨率分解，低频子带儿1 可以采用上述分解步骤继续进行分解下 去。每经过一级分解，当前子带l l n 一1 被分成l l n ，h l n ，l h n ，h h n 四个子带。图 2 7 为三级小波分解的示意图。图2 8 是l e n a 图像经三级小波分解的结果。 第二章小渡变换及其在图像编码中的应用 l l 3 l h l 3 l h b im h 1 2 圈2 - 7 可分高小馥分解兰曩分解各子带示童田 为了显示图像，对小波变换后的系数作了处理。 圈2 - 8l t 圈鲁三层小鞋分解 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 2 2 3 图像的不可分离二维小波变换 2 2 3 1 五株采样的频域特征 如图2 - 5 所示，五株采样后输出y ( ，啦) - q 输z x ( n , ，n 2 ) 间的基本关系如下： 时域： y ( ，气：伤) = x ( + 吃，玛+ 他) ( 2 - 4 0 ) z 变换：】，( 毛t 9 9 2i ) = i 1lx ( 毛i z 2 i ，z 1 1 2 2 j ) + x ( 一毛j z 2 j ，一毛1 ) l ( 2 - 4 1 ) l j 利用采样矩阵彳进行采样再进行插值后，插值前的信qx ( n 。o ，, ：( 即五株采 样后得到的信号) 与插值后得到的信号y ( ，他) 的基本关系如下： 时域：y ( n ：h 型，型) ，当强叫为偶数(2i 224 2 ) 时域： ，) = “l 司1 “匕”。一取 ( 2 【0 ，其他 z 变换：】，( 毛，乞) = 石( 弓乞卜1 ，z 1 乞i ) ( 2 4 3 ) 插值过程如图2 9 所示。 刀2 i i 2； j h -jo ) 。 r- 7 i i ( a ) 插值前信号的( 即五株采样的结果)( b ) 插值后的信号( 1 sq a0 表示样本值为 0 的点) 图2 - 9 五株上采样( 插值) 过程 因此，对图像五株形采样后再插值的作用是把原抽取处补零。也就是把原图 像信qx ( n ，伤) 中的啊+ n 2 = 偶数的点保存，鸭+ 吃= 奇数的点置零。所以抽取 后再插值得到的信 y ( n a ，也) 与) c ( 啊，吃) 的关系如下： 时域：y ( 啊，吃) = 吾 工( ，恐) + ( 一1 ) 一+ 吃x ( 码，也) ( 2 - 4 4 ) 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 z 变换：】，( z 1z 2 ) ；去【x ( 毛，乞) + x ( _ ，一z 2 ) 】( 2 - 4 5 ) 令式( 2 - 4 5 ) 中而= 沙，乞= 一屹，得到抽取后再插值总结果的频域关系 y ( q ，哆) = 去【x ( 锡，咤) + x ( q + 石，o ) 2 + 万) 】( 2 - 4 6 ) 对此式的处理作用可解释如下。设石( m ，吃) 的频谱x ( q ，哆) 范围如图2 - l o a 上阴影部分所示。则x ( q + 万，鸭+ 万) 的范围如图2 1 0 b 所示( 考虑了频谱的周期 性) ，因而】，( q ，锡) 的范围如图2 - l o e 所示。只要再用适当的滤波器作低通滤波 就可以把原始信号的x ( q ，哆) 恢复出来。所需滤波器g o ( q ，吧) 的频率特性大致 如图2 1 0 d 所示。 国一 l + 万 一庀么锄，+ 万 汽汐 一万 ( a ) 0 2 2 l + 万 一万鬻渊+ 万 愁缌 i 一石 c 0 2 , l + 万 一万萝。n 念念 一石 ( b ) ( c )( d ) 图2 1 0 式( 2 - 4 8 ) 的频域解释一。钻石形”情况 ( a ) x ( c o , ，哆) ；( b ) x ( 0 4 + 万，哆+ 万) ；( c ) 以0 4 ，c 0 2 ) ；( d ) g o ( r 4 ，o ) 2 ) 同理，如果信号频谱x ( 0 4 ，q ) 占据范围如图2 - l l a 所示，其镜像谱 x ( q + 石，c o , + 万) 占据范围将如图2 一l l b 所示，i ( 0 4 ，魄) 将如图2 1 l e 所示。采用 形如图2 一l l d 的高通滤波器g l ( q ，哆) 也可以把x ( q ，呸) 恢复出来。 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 以上分析证明：可以采用如图2 1 2 所示的二通道滤波器组来进行图像的分解 与重构。只要风，g 0 具有接近于2 1 0 d 所示的频率特性( 称为“钻石形”特性) ， 马，g l 具有接近于2 - l l d 的频率特性( 称为“反钻石形”特性) ，就能取得比较理想 的处理效果。 硇l + 万 一万秒n+ 万 熬么 一万 ( a ) 删 l + 万 豢隧| |垂；渤 + 石。 一芤 彭 誊：； 蔽蓥；|蠹涮 气 一万 ( c ) 剁l + 万 一万么鑫+ 疗 n穸 一万 ( b ) ( d ) 图2 - 1 1 式( 2 - 4 6 ) 的频域解释一。反钻石形”情况 ( a ) x ( 劬，0 ) 2 ) ；( b ) x ( q + 刀，哆+ 石) ；( c ) y ( q ，哆) ；( d ) g 1 ( q ，伤) 设计接近接近钻石形频率特性的矾，g n 及反钻石形特性的e ，g 是实现五株 采样不可分离二维小波变换的核心问题。 构造性能良好的不可分离二维小波滤波器组的方法不多。最为经典的是 j e l e n ak o v a 芒e v i d 和w i ms w e l d e n s 提出的任意维小波族【2 6 】，构造了n e v i l l e 滤波器作 为内插滤波器。形成任意维任意采样格式的滤波器组和小波；g e e r tu y t t e r h o e v e n 提出的红黑块格式的不可分离二维小波f 2 7 】，其内插滤波器相当于n e v i l l e 滤波器组 ( 2 ，2 ) ，并将其用于实现图像降噪，取得比张量内积构建的二维小波更好的效 第二章小波变换及其在图像编码中的应用 果。r o d o s l a vv a g i c 将红黑小波格式扩展为一种t o t i n g t y p et r a n s f o r m l 2 8 1 ，并将其 用于图像压缩，另外还有一些文献提出对n e v i l l e 滤波器的改进【2 9 1 。这些方法都是 建立在j e l e n ak o v a 6 e v i d 和w i ms w e l d c n s 提出的n e v i l l e 滤波器组的基础上的。本论 文采用基于全相位理论的全相位反余弦列率滤波器( a p d i c s f ) 作为钻石形内插 滤波器，运用二维小波提升算法实现了上述的五株形采样不可分离二维小波变 换。因为全相位滤波充分考虑了周围像素对当前像素的影响，因此具有良好的预 测性能。 ， 圈2 - 1 2 五株形处理的二通道滤波器组 2 2 3 2 钻石形全相位内插滤波器的设计 全相位理论的前身是重叠数字滤波器( s d f - s u p e r i m p o s ed i 西t a lf i l t e r ) ，最 初由王兆华教授和a m i dh 博士在1 9 8 2 年提出【3 0 】，1 9 8 5 年侯正信教授给出了基 于w a l s h ，f o u r i e r ，和i d c t - - 种正交变换的重叠数字滤波器的一般构造方法【3 1 】。 根据重叠滤波器的特点，在文献 3 2 1 q b 首次使用“全相位滤波器”这一概念，文献 【2 2 ，2 5 ，3 3 - 3 5 进一