（基础数学专业论文）量子外代数的z2galois覆盖的hochschild（上）同调.pdf

中文摘要 捅芰 代数的h o c h s c h i l d 同调和上同调是结合代数较精细的不变量，如m o r i t a 等价 不变量，t i l t i n g 等价不变量及导出等价不变量等它们在a r t i n 代数的表示理论中 扮演着重要的角色本文主要研究量子外代数的z 2 g a l o i s 覆盖的h o c h s c h i l d 同调 和上同调 量子外代数a 口= 七( z ，u ) ( x 2 ，q y x + x y ，y 2 ) 是一类非常特殊的k o s z u l 代 数b u c h w e i t z 等人通过计算它的h o c h s c h i l d 上同调展现了它的某些“病态”行 为，从而否定t h a p p e l 猜想这类代数也为一些其它著名的猜想提供了反例， 如t a c h i k a w a 猜想，r i n g e l 猜想及a u s l a n d e r 猜想等等设a 口为厶的z 2 一g a l o i s 霾j ， 韩阳已证明a 口也是k o s z u l 代数本文将讨论以下三个主要问题： 首先，我们通过对b u t l e r 等人构造的极小投射双模分解的细致分析，用组合的 方法计算了a 口的各阶h o c h s c h i l d 同群的维数且在基域的特征为零时，也计算 了a a 的循环同调群的维数 其次，我们通过计算a 。的h o c h s c 蛐d 上同调展现了它的h o c h s c h i l d 上同调行 为，结果表明它的h o c h s c h i l d 上同调行为仍是“病态”的从而对h a p p e l 猜想又给出 了一族反例 最后，我们先找出了的各阶上同调群的k 基，再用平行路的语言刻画了上 同调环的乘法结构，从而给出了上同调环的结构 、 关键词：量子外代数；g a l o i s 覆盖；h o c h s c h i l d ( 上) 同调；循环同调； h o c h s c h i l d 上同调环 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t t h eh o c h s c h i l dh o m o l o g ya n d c o h o m o l o g yo fa na l g e b r a a r es u b t l ei n v a r i a n t so f a s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，s u c ha sm a r i t ae q u i v a l e n c e ，t i l t i n ge q u i v a l e n c e ，d e r i v e de q u i v - a l e n c ea n ds oo n t h e yh a v ep l a y e daf u n d a m e n t a lr o l ei nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo f a r t i na l g e b r a s t h i sn o t em a i n l ys t u d i e st h eh o c h s c h i l d ( c o ) h o m o l o g yo fz 2 一g a l o i s c o v e r i n g so fq u a n t u me x t e r i o ra l g e b r a s l e ta q = k ( x ，y ) ( z 2 ，x y + q y x ，y 2 ) b et h eq u a n t u me x t e r i o ra l g e b r a sw h i c ha r e aq u i t en i c ec l a s so fk o s z u la l g e b r a s b u c h w e i t ze ta le x h i b i ts o m ep a t h o l o g yb e h a v i o r o f 厶b yc o m p u t i n gi t sh o c h s c h i l dc o h o m o l o g ya n dt h u sg i v ean e g a t i v ea n s w e rt o h a p p e l sp r o b l e m i ta l s op r o v i d e saf a m i l yo fc o u n t e r e x a m p l e st os o m eo t h e ro p e n p r o b l e m s ，s u c ha st a c h i k a w a sc o n j e c t u r e ，r i n g e l sp r o b l e m ，a u s l a n d e r sc o n j e c t u r e a n ds oo n l e ta qb et h eg a l o i sc o v e r i n go fa qw i t hg a l o i sg r o u pz 2 h a ny a n gh a s p r o v e dt h a ta ga r ea l s ok o s z u l t h i sa r t i c l ew i l ld i s c u s st h ef o l l o w i n gt h r e ep r o b l e m s f i r s t l y , w ec a nc a l c u l a t et h ed i m e n s i o n so fa l lh o c h s c h i l dh o m o l o g ys p a c e so f b ym e a no fc o m b i n a t o r i c sb a s e do nc a r e f u la n a l y s i so fm i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o n s c o n s t r u c t e db yb u t l e re ta 1 a n dt h ec y c l i ch o m o l o g yo f a qc a n a l s ob ec a l c u l a t e dw h e n t h eu n d e r l y i n gf i e l di so fc h a r a c t e r i s t i cz e r o s e c o n d l y , w ee x h i b i tt h eh o e h s c h i l dc o h o m o l o g yb e h a v i o ro f b yc o m p u t i n g i t sh o c h s c h i l dc o h o m o l o g y , a n da sac o n s e q u e n c e ，i ti ss h o w nt h a tt h eh o c h s c h i l d c o h o m o l o g yb e h a v i o ro fa 口i ss t i l lp a t h o l o g i c a la n dt h u sp r o v i d e saf a m i l yo fc o u n t e r e x a m p l e st oh a p p c l sp r o b l e ma g a i n f i n a l l y , w eb e g i nw i t hf i n d i n gak - b a s i so fa l lh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p so f a q t h e nw ed e s c r i b et h em u l t i p l i c a t i o no fh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n go fa 口i nt e r m s o fp a r a l l e lp a t h a sac o n s e q u e n c e ，t h es t r u c t u r eo fh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n go fa q i sd e t e r m i n e d k e yw o r d s ：q u a n t u me x t e r i o ra l g e b r a ；g a l o i sc o v e r i n g ；h o c h s c h i l d ( c o ) h o m o l o g y ； c y c l i ch o m o l o g y ；h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n g 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：五傻 签名日期：3 u o ? ：军- - 5 月? d 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：五俊 签名日期：2 0 0 8 年s 月歹。日 一名：掾刍f 刻 签名日期咿年易月妒 第一章绪论 第一章绪论 1 1 h o c h s c h i l d ( 上) 同调群 设a 是域kl - _ 的有限维结合基( b a s i c ) 代数( 含单位元1 ) a e = a 印。耙a 是a 的包 络代数则a 是右a e 模，通篇路或映射的合成采用从左到右的顺序m 是k 上有限 维a a 一双模，贝l j h o c h s c h i l d 复形c 。= ( c ，) i z 定义如下： = 0 ，v i 0 ， 其中a o i 表示七上的张量积ap ao o a ( 共有i 次) ，映射为 d o ：m _ h o m k ( a ，m ) ，d o ( m ) = 【一，m 】，其中【_ ，m 】( a ) = a m m a ，v a a ； ： 一c 件1 由下述法则给出：v f ，a lp 圆a i + 1 a 固( 件， ( d f ) ( a l 圆圆a i + 1 ) = a l f ( a 2 圆o a i + 1 ) + ( - 1 ) j f ( a zp o 口j + 1 圆 a i + 1 ) + ( 一1 ) 件1 f ( a lp oa i ) a i + 1 直接代入验证可知+ 1 = 0 由此定义 h h ( a ，m ) = h h ( 矿) = k e r a n n d ，v z 为a 的系数在m 中的第i 次h o c h s c h i l d _ e 同调群【1 】1 若取m = a ，则记日( a ) ：= h h ( a ，a ) ，称为a 的第i 次h o c h s c h i l d 上同调 群上同调理论是由h o c h s c h i l d1 9 4 5 年引入【，经c a f t a n 和e i l e n b e r g 发展并逐步完 善的一个同调代数分支 而h o c h s c h i l d 同调群并非h o c h s c h i l d 本人所引进，它首先出现在书【2 】中考 虑h o c h s c h i l d 复形 _ 胖+ 1 ) 土a 固i 叫d i - 1 乌aoa 鸟a 立0 ， 湖北大学硕士学位论文 其中 令 h 凰( a ) = k e r d i i m d i + l ，i 0 ， 则 h h t ( a ) 型t o p 。( a ，a ) 笺d e x t _ 。( a ，d ( a ) ) ，d = h o m a ( 一，忌) ， 称为a 的第i 次h o c h s c h i l d 同调群【2 】 从而，a 的第i 阶h o c h s c h i l d 同调群与上同调群f 2 ，3 】也可分别定义为 h h i ( a ) = t 0 p 。( a ，a ) 与h h ( a ) = e x t 爻。( a ，a ) 代数的h o c h s c h i l d 同调和上同调是结合代数较精细的不变量，女l ：i m o r i t a 等价 不变量，t i l t i n g 等价不变量及导出等价不变量等它们( 尤其是低阶上同调 群) 在a r t i n 代数的表示理论中具有重要的作用：g e r s t e n h a b e r 在【4 】中证明了二 阶上同调群h 日2 ( a ) 控制了代数a 的形变理论，而一阶上同调群h h l ( a ) 与代 数a 的g a b r i e l 箭图顶点的可分性质如单连通性密切相关【5 一，h a p p e l 等人证明了代 数闭域上的有限表示型代数是单连通的当且仅当它的a u s l a n d e r 代数的一阶上同 调群为零吲而同调群与代数的整体维数及定向圈密切相关【8 一 一般情况下计算代数的h o c h s c h i l d 同调与上同调群是比较困难的但一些 特殊的代数类，如外代数、截面代数、单项式代数等的同调与上同调群已被计 算1 1 0 一【1 4 】；某些特殊代数的上同调群也已被计算，如i n c i d e n c e 代数【1 5 】，具有狭窄箭 图的代数【1 6 】，根方零代数【1 7 ，截面代数i i i , 1 8 ，单项式代数【1 4 1 ，具有n o r m e d 基的特殊 双列代数【1 9 】等我们也注意到这些代数都具有乘法基z a c h a r i a 也证明了拟遗传 代数的非零阶的同调群均为零 循环同调理论在非交换微分几何、代数拓扑、交换代数、代数k 理 论、h o p 玳数以及分析中有着非常重要而广泛的应用，同时揭示出了代数、 拓扑、几何、分析之间更多紧密的联系循环同调理论产生不久便与表示理论 联系起来了，如：1 9 9 0 年i g u s a 应用循环同调和代数k - 理论在“无环猜测”( n ol o o p + 毗 啦 圆p0 v， 1 一+ + 吼， pp + 0po u ， 1 工 一 ；他 = +吼po o 也 第一章绪论 c o n j e c t u r e ) 方面取得重大进展【8 】；同年c i b i l s 给出可分代数的循环同调的一个约化 算法，并用它计算了根方零代数的循环同调【2 1 】等等 1 2k o s z u l 代数 1 9 7 0 年p r i d d y 首次给出t k o s z u l 代数的定义f 2 2 1 目前为止，关- ：k o s z u l 代数有 很多等价的定义下面我们只介绍较常见的一种定义f 2 3 】令a = k q j 是- - 个分 次k 代数若分次a 模m 有一个分次投射分解： ( 只，e ) ： 一r 马r l 譬马马乌最马岛一0 ， 使得对于每化，投射模弓是由某些次数为歹的齐次元组成的集合有限生成，则 称m 是线性或k o s z u l 的a 称为k o s z u l 代数，如果任一个分次单a 模都是线性的 k o s z u l 代数是一类有着很好性质的代数类p o l i s h c h u k 等人对它的结构和悠 久的历史作了详细的介绍1 2 4 1 k o s z u l 代数的应用非常广泛，它在代数几何、量子 群、代数拓扑及组合数学中有着重要的作用【2 5 】一【2 7 1 对于任意一个k o s z u l 代数， b u t l e r 等人构造了它的t o p 的极小投射a 分解f 2 8 】g r e e n 等人则给出了它的极小投 射a a 双模分解【2 引 其实我们对k o s z u l 代数并不陌生，我们熟悉的很多代数都是k o s z u l 代数，如 根方零代数，外代数 1 0 1 ，无限表示型的有限维不可分解三次根方零自入射代 数【删以及许多预投射代数f 2 3 】等等 本文主要研究一类特殊的k o s z u l 代数的同调性质，即二元量子外代数的z 2 g a l o i s 覆盖 1 2 1 二元量子外代数 设a = a q = 七伍，可) ( z 2 ，x v + q y x ，v 2 ) 是两个变元的量子外代数，其中q 七 0 】a 是一类非常特殊的k o s z u l 代数【3 1 】 随着对量子外代数a 口= 忌( z ，秒) ( 护，q v x + x v ，y 2 ) 日益深入的研究，b u c h w e i t z 等人通过计算它的h o c h s c h i l d 上同调展现了它的某些“病态”行为，从而 否定t h a p p e l 猜想【3 2 1 事实上，这类代数在很多方面都呈现出“病态”行为，从 而为一些著名的猜想提供了反例：t a c h i k a w a 提出关于拟f r o b e n i u s 代数上的 没有自扩张的有限生成模是投射模的猜想【3 3 1 ；r i n g e l 就a r 箭图所提出的问 3 湖北大学硕士学位论文 题( 在a r 箭图的的连通分支中，具有相同长度的模的数目是有限的吗? ) 【3 钏等 记h h d i m a = i n f n nid i m h h i ( a ) = o 对所有的i 礼与h c h d i m a = i n f n nd i m 日( a ) = o 对所有的i 佗) 分别为a 的h o c h s c h i l d 同调与上同调 维数【9 】韩阳注意到这类代数在h o c h s c h i l d 同调方面却并不呈现“病态”行为，他证 明- j h h d i m a 。= o o = 9 1 d i m a 。 9 1 a 。的h o c h s c h i l d 同调群和上同调群已被清晰 地计算，且它的h o c h s c h i l d 上同调环已由其生成元和关系而确定 3 1 , 3 2 1 当q = 1 时， a 1 是含有两个变元的外代数，当特征为2 时，它同构于群环k z 2xz 2 1 1 2 2 二元量子外代数的z 2 一g a l o i s 覆盖 近年来，一些源于代数拓扑的结论和工具如覆盖理论已经被广泛应用 于有限维非交换结合代数的表示理论m a r t i n s 等人率先对k r o n e c k e r ( 数 的z 2 g a l o i s 覆盖的h o c h s c h i l d 上同调进行了比较删c i b i l s 等人则给出了线性 范畴的g a l o i s 覆盖的h o c h s c h i l d m i t c h e l l ( 上) 同调群的c a r t a n l e r a y 谱序列【3 7 1 c i b i l s 等人还研究了环范畴的s k e w 范畴，g a l o i s 覆盖和s m a s h 积之间的关烈3 8 ，3 9 1 众所周知，s k e w 群代数，g a l o i s 覆盖及分次代数的s m a s h 积之间有很强的联系 韩阳应用g a l o i s 覆盖理论，给出c o n t r o l l e dw i l d 的一个方便实用的覆盖标准，极大 地支持了“r i n g e l 猜测”并且引入了c o n t r o l l i n gi n d e x 的概念，这一概念的引入 连同前述的覆盖标准使困扰表示论诸多专家十几年之久的“c r a w l e y b o e v e y 猜 测”有了较大的突破，即有这样的结论( n a g a s e ) ：若对具有有限c o n t r o l l i n gi n - d e x 的c o n t r o l l e dw i l d 的代数类，则“c r a w l e y b o e v e y 猜测”成立从而极大地支持 了“c r a w l e y b o e v e y 猜测”【4 1 】 设a = a 。是二元量子外代数的z 2 g a l o i s 覆盖本文从以下三方面研究了这一 类特殊覆盖代数a 口的同调性质： 首先，我们通过对a 。的极小投射双模分解的细致分析，用组合的方法计算 了a 口的各阶h o c h s c h i l d 同调群的维数且在基域的特征为零时，也计算了人口的循 环同调群的维数 其次，我们通过计算a 。的h o c h s c h i l d _ l 同调展现了它的h o c h s c h i l d 上同调行 为，结果表明人。的h o c h s c h i l d _ j 二同调行为仍是“病态”的从而对h a p p e l 猜想又给出 了一族反例 最后，我们先找出了a 口的各阶上同调群的k 一基，再用平行路的语言刻画了上 同调环的乘法结构，从而给出了上同调环的结构 4 第二章h o c h s c h i l d 同调群与循环同调群 第二章h o c h s c h i l d 同调群与循环同调群 2 1 极小投射分解 假定k 是域，设a 为有限维结合k 代数( 含单位元) ，a e = a o p 固七a 是它的包络 代数，其中a 叩为它的反代数人的第m 阶h o c h s c h i l d 同调群和上同调群【2 ，3 】分别定 义为 日日n ( a ) = t o 搿( a ，a ) 与日日m ( a ) = e x t 朵( a ，a ) 这里我们强调尽管h o c h s c h i l d 同调群与上同调群之间有一公式日日( a ，a ) 兰 日凰( a ，d ( a ) ) ( 其中d = 日d m ( 一，七) 是平凡对偶) ，但二者既不是向量空间意义 下的对偶也不是范畴意义下的对偶，它们反映了代数不同方面的性质由上面的 定义，要计算h o c h s c h i l d 同调群和上同调群，我们首先应找出a 在其包络代数上的 投射双模分解 通篇假定c h a r k 2 设q = ( q o ，q 1 ) 是有限箭图，其中q o = 6 ，i ) 是顶点集， q 1 = z 6 ，y o ，x i ，秒i ) 是箭向集，箭向z 6 ，y o 从顶点6 指向i ，z i ，们从顶点i 指向6 为 了记号的简便，我们将巧，协分别简记为巧，协，歹= 0 ，1 ，且假定对于任意的非负整 数k ，j ，若k 三j ( m o d 2 ) ，则z 七= 且y k = 协记，是由r 生成的路代数k q 的允许理 想，其中冗：= z 歹z j + 1 ，协珊+ l d = 0 ，1 ) t _ j q y j x j + l + 协+ 1 d = 0 ，1 ) ，q k o ) 关于箭图的相关知识，详见文献【4 2 】设a = a 口= k q i ，则a 就是域尼上二元量子一 外代数的z 2 一g a l o i s 覆盖，且韩阳在文献【4 3 】中证明人也是k o s z u l 代数显然，人有一 组基召= e 0 ，e 1 ，z o ，y o ，x l ，y l ，y o x l ，y x x o ，其中e o ，e l 是a 中的本原正交幂等元，且 我们将召中元素等同于它们在a 中的像记b 召的长度为z ( 6 ) 。设召莳为基召中从i 到歹的元素组成的集合，则 b o o = e o ，y o x l ， 1 3 0 1 = x 0 ，珈) ， 召1 1 = e l ，y l x 0 ， 召1 0 = f z l ，1 ) 现在我们构造a 的一个极小投射双模分解对于每个礼0 ，我们先构造元 5 湖北大学硕士学位论文 素 z n j i o i 竹，歹= 0 ，1 ) 令 对于n 2 ，n j 可由 z n j ) = z n 一1 j + 1 + 矿一协定f 1 + ，j = 0 ，1 ( 2 1 ) 归纳定义得到，其中僻) = 0 = ，f n n ( n + d 1 ) ，j = 0 ，1 记r ( 1 ) = 一n j 10 i 佗，j = 0 ，1 ) 显然，i r ( n ) i = 2 ( n + 1 ) 对于庇q 中的任意非零元素z ，如果在q o 中存在点钍和t j ，使得z = u x o ，则 称z 为一致( u n i f o r m ) 的易知对任意的f r ( 川，f 都是一致的我们记o ( s ) # i l t ( f ) 分另u 为出现在，中所有路的共同起点和终点，r = ，r ( - ) l o ( f ) = i 且t ( f ) = j i ) ，i ，歹= 0 ，1 记o ：= o 七令r ：= u a o ( y ) ot ( f ) a ，扎0 而且 矗n j ) = q i f ( n 一1 j 押一1 + 世f 1 协棚一l ，j = 0 ，1 ( 2 2 ) 定义矗：r 只一1 ， 如( 。( 矗 j ) 。( 一n j ) )= x j 圆亡( z n 一1 j + 1 ) + 矿一协。t ( 船f 1 j + 1 ) + ( 一1 ) n ( 矿d ( 矗n 一1 j ) o 巧扣一1 + o ( 摩f 1 j ) oy j + - - 1 ) ， 其中j = 0 ，l ，0 i 仡则有 命题2 1 1 设a = a 口是量子外代数厶的z 2 - g a l o i s 覆盖，则复形 ( 只，民) ：一r 旦r l 马鸟尼鸟 1 乌p o 一0 是a 的一个极小投射双模分解 证明令x = z o ，y o ，z 1 ，y 1 ) 根据文【2 8 】中第九节关于极小投射双模分解的构 造，我们只需证明r ( n ) 是忌向量空间k 。：=n x p r 即的一组尼一基 p + q = n - 2 6 玑 = d 0 现 = 矗 = l i d m 斧 印 跏 i l i i 0 1 蠢矗 第二章h o c h s c h i l d 同调群与循环同调群 一方面，由公式( 2 1 ) 与( 2 2 ) 归纳可得矗n 0 1 ，矗n ，1 ) j 厶，0 i n ，且它们 是k 线性无关的另一方面，又由于a 的二次对偶a 2 = k q ( y o x l q x o y l ，y l x o q x l y o ) 同构于它的y o n e d a 代数e ( a ) ( e f t 【2 7 】，定理2 1 0 1 】) ，所以，a 在a 8 上的极小 投射分解的b e 倔数是d i m 知玩= 2 ( n + 1 ) 因此r ( n ) 是的一组七一基 映射以由文献【2 8 】，p 3 5 4 决定，也参见文献【2 9 】证毕 2 2h o c h s c h i l d 同调群与循环同调群 这一节，我们将计算覆盖代数人的各阶h o c h s c h i l d 同调群和循环同调群的维 数设x ，y 是k q 中一些一致元素组成的集合，定义xoy = ( z ，y ) x yl 亡 ) = o ( y ) n _ t ( y ) = d ( z ) ) ，k ( x6 3y ) 表示以集合xo y 作为k 一基的向量空间 将函子ao a 。一作用于极小投射双模分解( 只，以) ，则有 引理2 2 1a 舻( 只，以) ；( ，n ) ，其中垡k ( t 3 0 r ( n ) ) ，且当j = 0 ，1 时，对 任意的( 6 ，矗 ) bor ( 川，有 ( 6 ，矗n j ) = ( 6 ，矗n 一1 j + 1 ) + q n - i ( b y j ，蠢= 1 j + 1 ) + ( 一1 ) 竹( 矿( 巧+ n - l b ，f - - 1 j ) ) + ( 协+ n - l b ，艘f 1 j ) ) 证明显然，心= a a cr = a 圆s eu ，m ) ( o f f ) o 南t ( 川竺u b ：oe i a e jo 南 勺哆e i ，其中e 是a 的极大半单子代数因此bo r ( n ) 构成心的一组后- 基 微分可由上述同构及a 的极小投射双模分解( 只，民) 中对应的映射得到证 毕 欲计算a 的各阶h 0 c h s c h i l d 同调群的维数，由h h n ( a ) = k e r r i m r + l 知 d i m k h h n ( a ) = d i m 詹k e r r n d i m k i m t n + l = d i m k 7 、7 k d i m k l m t n d i m k l m t n + 1 ( 2 4 ) 故我们只需计算d i m k n n 和d i m k l m t n 对于任意的( 6 ，f ) bor ( 川，易见2 ( 6 ) 和钆具有相同的奇偶性，因此，当钆为 奇数时，bor ( n ) = ( b 0 1or i o ) u ( 召1 0or 船) ；当扎为偶数时，bor ( n ) = ( 伊oo r 盘) u ( 召1 1or ( n ) ) 炯d i m 七= 4 + 1 ) 我们先在召上定义一个序：e o e l z 1 z o y l y o 蜘z l y l x o 从而 7 一 湖北大学硕士学位论文 对于任意的( 6 1 ，搿j l ) ，( b 2 ，峋f ( n j 2 ) 8o r ( 川，定义： ( 6 1 ，踏j l ) ( 6 2 ，露庇) 如果i l 2 ， i2 n k + 1 ， 当，是奇数，且存在偶数k ，使得n = k r 一1 或佗= k r ； r a n k ( t n ) = 2 n 一2 k + 1 ，当7 是偶数，且存在k ，使得n = k r 一1 或扎= k r ； l2 n ， 其它 证明情形i 礼为奇数每个矩阵g 通过初等变换都可变为 e鼍=(善。耋。g；+，至口n一；g；+， 0 矿叶 4 x 4 3 2 私磊 良承磊 f【 f l，ill，1ll o o 湖北大学硕士学位论文 其中i = 0 ，1 ，扎一1 易知r n 礼后( 岛) = 1 或2 ，j l r a n k ( c i ) = 1 当且仅当 2 ) ，则对于n 2 ， r a n k ( t n ) 当礼是奇数，q = 4 - 1 时； 当n 是偶数，q = 4 - 1 时； 当q 0 不是单位根时 证明如果n 是偶数且q = 4 - 1 ，则1 一q 2 = 0 与q 舻一矿= o 从而r 彻愚( 阢) = 1 故r a n k ( r n ) = 死一1 + 2 = 佗+ l ；类似地，如果佗是奇数且q = 4 - 1 ，则r 口佗七( ) = 佗 如果q 0 不是一个单位根，则若n 是奇数，有1 一q 2 i + 2 0 ，故r 彻詹( g ) = 2 ； 如果n 是偶数，则1 一q 2 0 ，) , ) 湎r a n k ( u i ) = 2 综上所述，当q 0 不是一个单位 根时，r a n k ( t ) = 2 n 证毕 现在我们可以计算a = a 口的各阶h o c h s c h i l d 同调群及循环同调群的维数 定理2 2 4 设a = 是量子外代数厶的z 2 g a l o i s 覆盖如果q 是一个r 驴 2 ) 次本原单位根，则对于扎 2 ， 删舻b 当n ，r 都是奇数，且佗= k r 一1 ； 当扎是奇数，r 是偶数，且n = k r 一1 ； 当礼是偶数，r 是奇数，且n = k r 或n = k r 一2 ； 当佗，r 都是偶数，且佗= k r 或n = k r 一2 ； 其它 证明由公式( 2 4 ) ，引理2 2 2 即得该定理证毕 记日g ( a ) 为人的n 阶循环同调群( c f 【4 4 】) ，则有 时饥 湖北大学硕士学位论文 推论2 2 5 如果g 是一个r ( r 2 ) 次的本原单位根j | c h a r k = 0 ，则 ik + 1 ，当r 是奇数，且存在偶数k 使得，n = k r 一2 或佗= k r 一1 ； d i m k h c , , ( a ) = 2 k + l ，当r 是偶数，且存在k 使得，佗= k r 一2 或礼= k r 一1 ； i2 ， 其它 故 证明由文【4 4 】，定理4 1 1 3 ，可知 d i m k h c n ( a ) 一d i m 七h c n ( k 2 ) = 一( d i m k h c n l l ( a ) 一d i m 知h c 一x ( k 2 ) ) + ( d i m k h h n ( a ) 一d i m k h h n ( k 2 ) ) ， d i m k h c n ( a ) 一d i m k h c n ( k 2 ) = e ( - 1 ) 州( d i m k h h i ( a ) 一d i m k h h i ( k 2 ) ) ( 2 5 ) i = 0 又因为 垅m 知日鼠c 后2 ，= 言：耋：蓁：反仇七日q c 七2 ，= 言：雪：茎筹萋： 所以根据定理2 2 4 和公式( 2 5 ) 可直接得到该推论证毕 由公式( 2 4 ) 和引理2 2 3 ，可得 定理2 2 6 设a = a q 是量子外代数a 的z 2 - g a l o i s 覆盖如果g 0 不是一 个r 次的本原单位根p 2 ) ，则对于扎 2 ， 帆删舻臀“) ， 1 2 当q = 4 - 1 ； 当q 0 不是一个单位根 第二章h o c h s c h i l d 同调群与循环同调群 推论2 2 7 如果q 0 不是一个r ( r 2 ) 次本原单位根f l c h a r k = 0 ，则有 出m 七日c k c 人，= i ：三： 当n 是奇数且q = 4 - 1 ； 当扎是偶数且q = 4 - 1 ； 当q 0 不是一个单位根 证明由定理2 2 6 和公式( 2 5 ) 即得证毕 为了结论的完整性，我们现在考虑q 退化为0 的情形 定理2 2 8 设a = 是a o = 惫( z ，y ) l ( x 2 ，x y ，y 2 ) 的z 2 一g a l o i s 覆盖，则班m 缸日e 。 ( a ) = 2 证明当q = o 时，a o 是二次零关系代数，易知它是k o s z u l 代数砧= k q ( y o x l ，y l x o ) 是它的一i 次对偶，且以g ( 付) = 矗m ) = 巧+ 1 + n i 一1 协+ n - - i 协+ 舾l l j = 0 ，1 ，0 i 佗) 作为一组南- 基对n 0 ，令只：=ua o ( f ) p t ( f ) a 则类似于命题2 1 1 证明，可给出a o 的极小投射双模分解( 只，配) 再将函 子a o a 8 一作用于( 只，配) ，可得到链复形( ：，) ，其中心皇k ( bo g ( n ) ) ，且对于 任意的( 6 ，矗w ) 召o g ( 川，有 当i = 0 ： 当i = 礼： 当i 0 ，扎 不难验证r n 砒( ) = 2 n 故d i m k h 风( 人) = 2 推论2 2 9 如果q = 0 且c h a r k = 0 ，则砒m 七日g ( a ) = 2 证明由定理2 2 8 ，公式( 2 5 ) 即得证毕 任意有限维代数a 的h o c h s c h i l d 同调维数f 9 】定义为h h d i m a = i n f n ni d i m 七h 凰) = 0 对所有的i 扎) 基于我们的计算结果，则有 推论2 2 1 0 设a = a 口是量子外代数a 口的z 2 g a l o i s 覆盖，则对于任意的q k ， 可得h h d i m a 口= 0 0 = 9 1 d i m a 口 1 3 川即飞h 托 扩詹禽 阢j玩夙 肛 铲 + 扣 钾 户p 广 一 一 一 + 十 + ) ) ) “ 川 “ 埘 玲 一 一一 扩齿扩 彬彬彬 力 矗p 湖北大学硕士学位论文 第三章h o c h s c h i l d 上同调 3 1h o c h s c h i l d 上同调群 这一节，我们将计算a 的各阶h o c h s c h i l d 上同调群的维数设x ，y 是忌q 中一 些一致元素组成的集合，定义x y = ( z ，y ) xx y ld ( z ) = o ( v ) g t ( x ) = 亡( 可) ) ，则( z ，y ) x y 称为平行路，k ( x f f y ) 表示p a x r 作为k 一基的向量空间 将函子h a m ，a e ( 一，a ) 作用于极小投射双模分解( 只，以) ，则有 引理3 1 1 上同调复形h o m a e ( ( 只，以) ，a ) = ( m 。，仃。) ，其中m m 笺k ( b r ( 仇) ) ， 且当歹= 0 ，l 时，对任意( 6 ，矗m 驯) b f ( 删，可得 a m + l ( b ，矗仇j ) = ( 一1 b ，z m + 1 j + 1 ) + q m - i ( 协一l b ，f ( m + 1 j + 1 ) + ( 一1 ) 州q ( b x j + m ，f ( i m + l , j ) ) + ( 嘞棚搿1 j ) ) 证明显然，m 仇= h o m a c ( ，a ) = h o m a e ( u ，r ( 。) a o ( f ) 圆t ( f ) a ，a ) 竺 l i i e r ( 。) ( a o ( - 厂) o ( ，) ) 竺u ，r ( 。) ( d ( 厂) m ( ，) ) ，从而b r ( m ) 构成m m 的一组七一基 微分盯m + 1 可由上述同构及极小投射双模分解( p ，以) 中对应的映射得到证 毕 欲计算a 的各阶上同调群的维数，由日日m ( a ) = k e r a m + l l i m a ”知 d i m 七h h m ( a ) = d i m 尼k e r a m + 1 一d i m 南i m a m = d i m 七m m d i m 七i m a m + 1 一d i m 知i m a m ( 3 1 ) 所以只需求出珑m 庇m 和d i m 南i m a m + 1 显然，对任意的( 6 ，) b r ( 仃，易矢n l ( b ) 和m 具有相同的奇偶性，因 l l 七d i m k m m = 4 ( m + 1 ) 我们先在3 _ 1 = 定义一个序：e o e 1 x o x l y o y 1 y o x l y l x o ( 注意 该序与第2 章中的序不同) ，从而在b r ( m ) 定义一个序，如下： ( 6 1 ，舒。l ) ( 6 2 ，廖j 2 ) 如果i l 2 ， r a n k ( a m + 1 ) = 2 ( m + 2 ) 一k 一1 ， 2 ( m + 2 ) 一2 后一1 ， 2 ( m + 2 ) ， 2 ( m + 1 ) 一k 一1 ， 2 ( m + 1 ) 一2 七一1 ， 2 ( m + 1 ) ， 当m ，r 都是奇数，且m = k r + l ； 当m 是奇数，r 是偶数，且m = k r + l ； 当m 是奇数，但m 胁+ 1 ； 当m 是偶数，r 是奇数，且m = k r ； 当m ，r 都是偶数，且m = k r ； 当m 是偶数，但m k r 证明情形im 是奇数显然，r a n k ( c o ) = r a n k ( d i n ) = 2 ，从而r o 扎后( 仃m + 1 ) = 值m - - 0 1r a n k ( b i ) + 4 ，其中对于i = 0 ，1 ，m 一1 ， 可通过初等变换变为 1 6 0 0 一口m 叫 0 q i + 1 4 8 q 一4 8 4 3 2 6 4 1 ，jfli【，il-，、【 o o 叫扩 o o 一叫 o 0 0 0 0